# Eindexamen Wiskunde B HAVO 2014 tijdvak 1

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2014/tijdvak-1

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Opgave 1

### Vraag 2 – Opgave 2

### Vraag 3 – Opgave 3

### Vraag 4 – Opgave 4

### Vraag 5 – Opgave 5

### Vraag 6 – Opgave 6

### Vraag 7 – Opgave 7

### Vraag 8 – Opgave 8

### Vraag 9 – Opgave 9

### Vraag 10 – Opgave 10

### Vraag 11 – Opgave 11

### Vraag 12 – Opgave 12

### Vraag 13 – Opgave 13

### Vraag 14 – Opgave 14

### Vraag 15 – Opgave 15

### Vraag 16 – Opgave 16

### Vraag 17 – Opgave 17

### Vraag 18 – Opgave 18

### Vraag 19 – Opgave 19

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen HAVO
2014
tijdvak 1
woensdag 14 mei
13.30 - 16.30 uur
wiskunde B
Dit examen bestaat uit 19 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald
kunnen worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redener worden gevraagd en je geeft meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
HA-1025-a-14-1-o

### Pagina 2

Kwelder.

De vorm van eilanden, bijvoorbeeld in de Waddenzee, verandert
voortdurend. De zee spoelt stukken strand weg en op andere plekken
ontstaat juist nieuw land. Deze nieuwe stukken land worden kwelders
genoemd.

Een plant die op kwelders groeit, is de zoutmelde. Het verband tussen de
leeftijd van een kwelder en het percentage van de bodem dat bedekt is
met zoutmelde kan bij benadering beschreven worden door de formule:

$P(t) = \frac{100}{1+3000 \cdot 0,5^t}$

Hierin is $P$ het percentage van de kwelder dat bedekt is met zoutmelde en
$t$ de leeftijd van de kwelder in jaren. In figuur 1 is de bijbehorende grafiek
getekend.

figuur 1

[FIGUUR: Grafiek met op de y-as "zoutmelde-bedekking (in %)" van 0 tot 100, en op de x-as "leeftijd kwelder (in jaren)" van 0 tot 30. De grafiek toont een S-vormige curve die begint bij (0,0) en asymptotisch naar 100 stijgt.]

3p 1 Bereken na hoeveel jaar de helft van een kwelder bedekt is met
zoutmelde. Rond je antwoord af op een geheel aantal jaren.

HA-1025-a-14-1-o 2 / 9 lees verder ► ► ►

### Pagina 3

Zoutmelde neemt na verloop van tijd de plaats in van een deel van de
planten die door ganzen worden gegeten. Ganzen eten de zoutmelde niet.
Daarom heeft de hoeveelheid zoutmelde invloed op het aantal ganzen.
Het gemiddelde aantal ganzen per vierkante kilometer kwelder hangt dus
af van de leeftijd van de kwelder. Dit verband kan vanaf het vierde jaar bij
benadering beschreven worden door de formules:

$G_{1}(t) = 2(t-4)^2$ voor $4 \leq t \leq 8$
$G_{2}(t) = -2(t-12)^2 + 64$ voor $8 \leq t \leq 16$
$G_{3}(t) = \frac{80t-1184}{4t-61}$ voor $t \geq 16$

Hierin zijn $G_{1}$, $G_{2}$ en $G_{3}$ de gansdichtheden in de verschillende periodes
en is $t$ de leeftijd van de kwelder in jaren. De gansdichtheid is het
gemiddelde aantal ganzen per vierkante kilometer kwelder. In figuur 2 zijn
de bijbehorende grafieken getekend.

figuur 2
[FIGUUR: Grafiek met op de y-as "gansdichtheid (in ganzen per km²)" en op de x-as "leeftijd kwelder (in jaren)" van 0 tot 30. Een curve start bij 0, stijgt naar een piek rond t=6, daalt vervolgens en stabiliseert rond t=20.]

De grafieken van de eerste twee periodes sluiten vloeiend op elkaar aan.
Dit betekent dat aan de volgende twee voorwaarden is voldaan:
1 de formules hebben voor $t=8$ dezelfde uitkomst.
2 de hellingen van de grafieken zijn voor $t=8$ aan elkaar gelijk.

4p 2 Toon op algebraïsche wijze aan dat aan beide voorwaarden is voldaan.

Gedurende een aantal jaren ligt de gansdichtheid boven de 40 (ganzen
per km²).
4p 3 Bereken gedurende hoeveel jaar dit het geval is.

Als de kwelder op den duur grotendeels is begroeid met zoutmelde is het
voor de ganzen moeilijk om voedsel te vinden. Toch blijven er dan ganzen
op de kwelder komen. In figuur 2 is te zien dat de gansdichtheid op de
lange duur tot een bepaalde grenswaarde daalt.
3p 4 Onderzoek hoe groot deze grenswaarde volgens de formule voor $G_{3}$ is.

HA-1025-a-14-1-o 3/9 lees verder ►►►

### Pagina 4

Gebroken functie
De functie $f$ is gegeven door $f(x) = \frac{60}{x^4+4}$.
In de figuur is de grafiek van $f$ getekend.

figuur
[FIGUUR: Een grafiek met de y-as links van de oorsprong, de x-as rechts van de oorsprong. De grafiek begint hoog links, daalt en eindigt laag rechts. Er zijn markeringen op de y-as en x-as: y-as heeft een 2, x-as heeft -2, 0 en 2.]

De horizontale lijn met vergelijking $y = 2$ snijdt de grafiek van $f$ in twee punten.
4p 5 Bereken exact de coördinaten van deze twee punten.

Voor de afgeleide van $f$ geldt: $f'(x) = \frac{-240x^3}{(x^4+4)^2}$.
4p 6 Toon dit op algebraïsche wijze aan.

Het punt $A(2, 3)$ ligt op de grafiek van $f$.
3p 7 Bereken exact de waarden van $a$ en $b$ waarvoor $y=ax+b$ een vergelijking van de raaklijn aan de grafiek van $f$ in $A$ is.

HA-1025-a-14-1-o 4 / 9 lees verder ► ► ►

### Pagina 5

Bloembak

Op de foto is een bloembak afgebeeld. De bloembak heeft de vorm van
een (omgekeerde) halve kegel met boven aan de vlakke achterkant een
extra halve cirkelschijf voor de bevestiging. De totale hoogte van de
bloembak is 39,0 cm. De straal van de extra halve cirkelschijf is 9,0 cm.
In de figuur is de bloembak schematisch getekend.

foto
[FIGUUR: Een foto van een bloembak in de vorm van een kegel met een halve cirkel aan de bovenzijde, hangend aan een houten schutting.]

figuur
[FIGUUR: Een schematische tekening van een kegel met een halve cirkelschijf aan de bovenzijde. De halve cirkelschijf wordt aangeduid met punten P en Q, met M als middelpunt. De hoogte van de kegel is 39,0. De straal van de halve cirkel is 9,0. De top van de kegel is aangeduid met T.]

2p 8 Teken op schaal 1 : 3 het zijaanzicht van de bloembak in de kijkrichting $PQ$.

Zo'n bloembak wordt gemaakt door uit een plaat metaal de verschillende
stukken te snijden en deze dan aan elkaar te lassen.

6p 9 Bereken hoeveel $cm^2$ metaal hiervoor nodig is.

De bloembak wordt met 1 liter potgrond gevuld. Dit is niet genoeg om de
bloembak tot de rand te vullen.

6p 10 Bereken tot hoeveel centimeter onder de rand de potgrond komt. Rond je
antwoord af op één decimaal.

HA-1025-a-14-1-o
5 / 9
lees verder ►►►

### Pagina 6

f boven g

Op het domein [0, 4] zijn de functies $f$ en $g$ gegeven door $f(x) = \sin x$ en
$g(x) = x - \frac{1}{6}x^3$.
In de figuur zijn de grafieken van $f$ en $g$ getekend.

figuur

[FIGUUR: Een grafiek met de y-as en x-as. Op de y-as staan de waarden -1, 0 en 1. De x-as loopt van 0 naar rechts. Twee grafieken zijn getekend: een grafiek die lijkt op een sinusboog en een grafiek die omhoog begint en daarna naar beneden buigt. De grafiek die op een sinusboog lijkt is gelabeld met 'f'. De andere grafiek is gelabeld met 'g'. De grafiek 'g' snijdt de x-as in het punt O (de oorsprong) en in een punt B. De grafiek 'f' snijdt de x-as in het punt O en in een punt A.]

5p 11 De grafiek van $g$ snijdt de x-as in de oorsprong en in punt $B$. De grafiek
van $f$ snijdt de x-as in de oorsprong en in punt $A$. Bereken exact de lengte van het lijnstuk $AB$.

5p 12 Het maximum van $g$ kan geschreven worden in de vorm $a\sqrt{b}$ met $b$ een
zo klein mogelijk geheel getal.
Bereken exact de waarden van $a$ en $b$.

4p 13 De grafiek van $f$ ligt voor $0 < x \leq 4$ boven de grafiek van $g$.
Bereken de maximale waarde van $x$ waarvoor het verschil tussen $f(x)$ en
$g(x)$ minder dan 0,01 bedraagt. Geef je antwoord in twee decimalen
nauwkeurig.

HA-1025-a-14-1-o 6 / 9 lees verder ►►►

### Pagina 7

Functie met logaritme
De functie $f$ is gegeven door $f(x) = {^2}\log(x^2 - x)$.
figuur
[FIGUUR: Een grafiek met de y-as en x-as. De x-as heeft de punten O, A en B. Er zijn twee verticale asymptoten, één bij x=0 en één bij x=1. De grafiek van functie f buigt van de linker asymptoot naar boven, en van de rechter asymptoot naar boven. De grafiek heeft een minimum tussen de asymptoten.]
14 (2p) De grafiek van $f$ heeft twee verticale asymptoten. Zie de figuur. Geef van elk van deze asymptoten een vergelijking.
15 (5p) De grafiek van $f$ snijdt de $x$-as in de punten $A$ en $B$. Zie de figuur. Bereken exact de lengte van lijnstuk $AB$.
HA-1025-a-14-1-o 7 / 9 lees verder ► ► ►

### Pagina 8

Theezakje
Theezakjes zijn er in diverse vormen.
In deze opgave bekijken we een
theezakje in de vorm van een piramide.
Zie de foto.
foto
[FIGUUR: Een zakje met theeblaadjes, dat de vorm heeft van een piramide met een touwtje eraan.]
De in figuur 1 getekende piramide $T.ABC$
is een model van het theezakje. De vier
zijvlakken van deze piramide zijn
gelijkzijdige driehoeken met zijden van
6 cm. Punt $D$ is het midden van $AB$.
In figuur 1 zijn ook $CD$ en $TD$ en het punt
$S$ recht onder $T$ op $CD$ aangegeven.
Er geldt $CS:DS = 2:1$.
figuur 1
[FIGUUR: Een piramide met top T en basis ABCD. De zijden TC, TA, TB, CA, CB, AB, DA, DB zijn getekend. Op de basis liggen de punten A, B, C, D. De zijde AB is 6cm, en de zijde CA is 6cm. De zijde CB is 6cm. Er is een punt S op de zijde CD getekend. De zijden TA en TB zijn gestippeld.]
figuur 2
[FIGUUR: Een piramide met top T en basis ABCD. De zijden TA, TB, TC, TD, AB, BC, CD, DA zijn getekend. Op de basis liggen de punten A, B, C, D. Er zijn stippellijnen van T naar C en van T naar D.]
Voor de productie van deze theezakjes wordt gaas gebruikt.
De piramide wordt gevouwen uit een plat stuk gaas. Waar twee delen van
randen van het stuk gaas door het vouwen tegen elkaar aan zijn
gekomen, worden deze aan elkaar vast gemaakt zodat er naden in het
theezakje ontstaan. In figuur 2 zijn de naden dik getekend. Het betreft de
lijnstukken $AB, DI$ en $CT$. Er geldt $CD=TD$.
Uit de gegevens volgt:
$CD = \sqrt{27}$ cm en de hoogte $TS$ van de piramide is $\sqrt{24}$ cm.
4p 16 Toon door exacte berekening aan dat uit de gegevens volgt
en $TS = \sqrt{24}$ cm.
HA-1025-a-14-1-o
8 / 9
lees verder

### Pagina 9

Door de piramide van figuur 2 langs de naden $AB$, $DT$ en $CT$ open te
knippen en vervolgens open te vouwen, krijg je een uitslag van de
piramide.
4p 17 Teken deze uitslag op ware grootte. Zet daarin de letters $A, B, C, D$ en $T$
op de juiste plaatsen.

Twee functies

De functies $f$ en $g$ zijn gegeven door $f(x) = x\sqrt{x+2}$ en $g(x) = x^2$.
4p 18 De grafieken van $f$ en $g$ snijden elkaar in de punten $A$ en $B$.
Bereken exact de $x$-coördinaten van $A$ en $B$.

6p 19 De functie $f$ heeft een minimum.
Bereken exact de waarde van $x$ waarvoor dit minimum aangenomen
wordt.

HA-1025-a-14-1-o 9 / 9 einde