# Eindexamen Wiskunde B HAVO 2013 tijdvak 2

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2013/tijdvak-2

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Opgave 1

### Vraag 2 – Opgave 2

### Vraag 3 – Opgave 3

### Vraag 4 – Opgave 4

### Vraag 5 – Opgave 5

### Vraag 6 – Opgave 6

### Vraag 7 – Opgave 7

### Vraag 8 – Opgave 8

### Vraag 9 – Opgave 9

### Vraag 10 – Opgave 10

### Vraag 11 – Opgave 11

### Vraag 12 – Opgave 12

### Vraag 13 – Opgave 13

### Vraag 14 – Opgave 14

### Vraag 15 – Opgave 15

### Vraag 16 – Opgave 16

### Vraag 17 – Opgave 17

### Vraag 18 – Opgave 18

### Vraag 19 – Opgave 19

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen HAVO
2013
tijdvak 2
woensdag 19 juni
13.30 - 16.30 uur
wiskunde B

Dit examen bestaat uit 19 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 77 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord
kunnen worden.

Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.

Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.

HA-1025-a-13-2-o

### Pagina 2

Windenergie
Er wordt steeds meer gebruikgemaakt van windenergie. Hoewel de
bijdrage van windenergie nu nog klein is, kan windenergie in de toekomst
een grote bijdrage aan onze elektriciteitsvoorziening gaan leveren.
Men voorspelt dat in het jaar 2050 in Nederland 60 000 gigawattuur (GWh)
aan windenergie opgewekt zal worden. Dat zal dan 40% tot 50% van de
totale behoefte aan elektrische energie in Nederland zijn.

Met behulp van deze gegevens kan worden berekend welke maximale
totale behoefte aan elektrische energie in Nederland er voor 2050 wordt
voorspeld.
3p 1 Bereken deze voorspelde maximale totale behoefte.

In de figuur is voor de periode 1993 - 2011 de ontwikkeling van het
wereldwijd door windmolens geleverde vermogen in megawatt (MW)
weergegeven. In deze periode is dit vermogen (bij benadering)
exponentieel gegroeid.
figuur
[FIGUUR: Een staafdiagram dat het wereldwijd door windmolens geleverde vermogen in MW weergeeft van 1993 tot 2010. De y-as loopt van 0 tot 300000 met intervallen van 100000. De x-as toont de jaren 1995, 2000, 2005 en 2010.]
Wereldwijd
door windmolens
geleverd vermogen
in MW
2000
100000
0
1995
2000
2005
2010

In 1993 was het wereldwijd door windmolens geleverde vermogen
2900 MW. In 2011 was dit 239 000 MW.
4p 2 Bereken in één decimaal nauwkeurig het jaarlijkse groeipercentage van
het wereldwijd door windmolens geleverde vermogen dat uit de gegevens
volgt.

Na 2011 wordt er een jaarlijkse groei van 22% van het wereldwijd door
windmolens geleverde vermogen verwacht.
4p 3 Bereken in welk jaar dit vermogen zal zijn verdubbeld ten opzichte van het
jaar 2011.

HA-1025-a-13-2-o
2 / 12
lees verder ►►►

### Pagina 3

Afgeknotte piramide

Gegeven is de piramide $T.ABCD$. Het grondvlak $ABCD$ van deze piramide is een vierkant met zijde 6. De top $T$ ligt recht boven $D$. De hoogte van de piramide is dus gelijk aan de lengte van $DT$. Deze is 8. De piramide wordt afgekot op hoogte 4. Hierdoor ontstaat de afgeknotte piramide $ABCD.EFGH$. Zie onderstaande figuur.

[FIGUUR: Een afgeknotte piramide met grondvlak ABCD en bovenvlak EFGH. Het grondvlak is een vierkant met zijde 6. De verticale lijnen van de punten E, F, G, H naar T zijn gestippeld en hebben lengte 4. De oorspronkelijke piramide T.ABCD is getekend met gestippelde lijnen vanaf T naar de hoekpunten van het grondvlak. De hoogte van de oorspronkelijke piramide is 8, en de hoogte van de afgeknotte piramide is 4. De zijde van het bovenvlak EFGH is niet gegeven, maar kan berekend worden.]

figuur

3p 4 Teken het bovenaanzicht van de afgeknotte piramide $ABCD.EFGH$. Zet de letters bij de hoekpunten.

6p 5 Bereken de totale oppervlakte van de afgeknotte piramide $ABCD.EFGH$.

HA-1025-a-13-2-o 3 / 12 lees verder ►►►

### Pagina 4

Debiet
Via een rechthoekige goot loost een fabriek koelwater op een rivier.
De hoeveelheid koelwater die per seconde een dwarsdoorsnede van een goot passeert, wordt het debiet van de goot genoemd. In figuur 1 is dit uitgebeeld.
Het debiet van de goot van de fabriek is te berekenen met de formule:
$Q = 0,73 \cdot \frac{A^{\frac{5}{3}}}{P^{\frac{2}{3}}}$
Hierbij geldt:
- $Q$ is het debiet in $m^3$ per seconde;
- $A$ is de oppervlakte van de rechthoekige dwarsdoorsnede van het water in $m^2$;
- $P$ is de totale lengte van de randen van de dwarsdoorsnede die onder water liggen in m. In figuur 1 zijn deze randen dikgedrukt aangegeven.
De rechthoekige goot waarmee de fabriek het koelwater loost, is 3,0 meter breed en 1,0 meter hoog. In figuur 2 is de dwarsdoorsnede van deze goot getekend bij een maximaal debiet.

[FIGUUR: Een rechthoekig diagram met de y-as gelabeld met 1,0 en de x-as gelabeld met 3,0. Binnen het diagram staat de letter A.]

De fabriek loost 5000 m$^3$ koelwater per uur.
Bereken het maximale debiet en leid daaruit af of de goot tijdens deze lozing zal overstromen.
5p 6
HA-1025-a-13-2-o 4 / 12 lees verder ►►►

### Pagina 5

De waterhoogte in de goot noemen we $h$, met $h$ in m. Zie figuur 3.
figuur 3
[FIGUUR: Een doorsnede van een goot met een waterniveau. De breedte van de goot is 3,0 m. De waterhoogte is aangegeven met $h$ en de totale diepte van de goot is 1,0 m. Het wateroppervlak is grijs gekleurd en heeft een oppervlakte $A$.]
5p 7 Bij normale lozing stroomt er continu 1,0 m$^3$ koelwater per seconde door
de goot.
Bereken in dit geval de waterhoogte in de goot. Geef je antwoord in
centimeter nauwkeurig.
HA-1025-a-13-2-0 5 / 12 lees verder ►►►

### Pagina 6

Cosinus met lijnen

De functie $f$ is gegeven door $f(x) = x + \cos x$ en de lijn $k$ is gegeven door $y = x - 1$. In figuur 1 zijn de grafiek van $f$ en de lijn $k$ getekend op het interval $[0, 14]$.

figuur 1
[FIGUUR: Grafiek van de functie f(x) = x + cos x en de lijn y = x - 1 in het interval [0, 14]. De y-as loopt van 0 tot 10. De x-as loopt van 0 tot 10.]

De grafiek van $f$ en de lijn $k$ hebben op het interval $[0, 14]$ twee gemeenschappelijke punten.
3p 8 Bereken exact de coördinaten van deze punten.

HA-1025-a-13-2-o 6 / 12 lees verder ► ► ►

### Pagina 7

In de gemeenschappelijke punten van de grafiek van $f$ en de lijn $k$ raakt
de lijn $l$ aan de grafiek van $f$.
In figuur 2 zijn weergegeven de grafiek van $f$, de lijn $k$ en de lijn $l$ die is
gegeven door $y = x + 1$.

figuur 2
[FIGUUR: Grafiek met de functies f, k, en l. De y-as loopt van 0 tot 10+. De x-as loopt van 0 tot 10+.]

De grafiek van $f$ en de lijn $l$ hebben op het interval $[0, 14]$ drie
gemeenschappelijke punten en in deze gemeenschappelijke punten raakt
de lijn $l$ aan de grafiek van $f$.
4p 9 Toon dit met behulp van exacte berekeningen en differentiëren aan.

In figuur 3 zijn weergegeven de grafiek van $f$, de lijn $k$ die is gegeven door
$y = x - 1$ en de lijn $m$ die is gegeven door $y = x + 4$.

figuur 3
[FIGUUR: Grafiek met de functies f, k, en m. De y-as loopt van 0 tot 10+. De x-as loopt van 0 tot 10+.]

De functie $g$ is gegeven door $g(x) = x + 1\frac{1}{2} + a \cdot \cos x$.
Voor een bepaalde positieve waarde van $a$ raken de lijnen $k$ en $m$ beide
aan de grafiek van $g$.
3p 10 Onderzoek voor welke positieve waarde van $a$ dit het geval is.

HA-1025-a-13-2-o	7 / 12	lees verder ► ► ►

### Pagina 8

Zuinig inpakken

In deze opgave wordt een balkvormige doos in een rechthoekig vel papier
ingepakt. De hoogte van de doos noemen we $h$, de breedte $b$ en de
lengte $l$. Zie foto 1. Alle maten zijn in centimeter. Er geldt $h \le b \le l$.

Het papier wordt eerst strak in de lengterichting om de doos gevouwen.
Het papier is zo lang dat twee randen ervan precies tegen elkaar aan
komen. Zie foto 2. De lengte van het papier in centimeter is dus $2l+2h$.
Vervolgens wordt het papier aan de voor- en achterkant strak tegen de
doos aan gevouwen. Het papier is zo breed dat de randen van het papier
precies tegen elkaar aan komen. Zie foto 3. De breedte van het papier in
centimeter is dus $b+h$.

foto 1
[FIGUUR: Een doos ligt op een stuk papier. De doos heeft afmetingen hoogte $h$ en lengte $l$. De lengte is aangegeven met een pijl boven de doos en de hoogte met een pijl aan de zijkant.]

foto 2
[FIGUUR: Twee handen vouwen een stuk papier om een doos. De doos is al voor een deel ingepakt.]

foto 3
[FIGUUR: Twee handen vouwen de randen van het inpakpapier strak tegen de zijkanten van de doos.]

HA-1025-a-13-2-o
8 / 12
lees verder 

### Pagina 9

3p 11 De oppervlakte van het papier in cm$^2$ noemen we $O$.
Druk $O$ uit in $b$, $l$ en $h$. Werk de haakjes weg.

We vragen ons af hoe groot de maximale inhoud van een balkvormige
doos is als we deze op de beschreven manier in een stuk cadea upapier
van 120 cm bij 50 cm verpakken.

Als de doos op deze manier wordt ingepakt, geldt:
$2l + 2h = 120$ en $b + h = 50$.

Met behulp van bovenstaande gegevens is de inhoud $I$ in cm$^3$ uit te
drukken in de breedte $b$.
Er geldt: $I = b(b+10)(50-b)$

5p 12 Toon dit aan.

Er is een waarde van $b$ waarvoor $I$ maximaal is.
6p 13 Bereken met behulp van differentiëren de maximale inhoud van een
balkvormige doos die met dit stuk papier ingepakt kan worden. Geef je
antwoord in cm$^3$ nauwkeurig.

HA-1025-a-13-2-o 9 / 12 lees verder ►►►

### Pagina 10

Kegels en kubus

Gegeven is de kubus $ABCD.EFGH$ met ribbe 1. In deze kubus passen kegels waarvan de grondcirkel in het grondvlak van de kubus ligt en waarvan de top in het bovenvlak van de kubus ligt. Van deze kegels heeft de kegel waarvan de grondcirkel raakt aan de zijden van vierkant $ABCD$ de grootste inhoud. Zie figuur 1.

[FIGUUR: Een kubus met hoekpunten A, B, C, D op het grondvlak en E, F, G, H op het bovenvlak. Binnenin de kubus is een kegel getekend met punt T als top in het midden van het bovenvlak. De basis van de kegel is een cirkel die de zijden van het grondvlak raakt.]

3p 14. Bereken exact de inhoud van de kegel met de grootste inhoud die in de kubus $ABCD.EFGH$ past.

Er zijn ook kegels die precies om de kubus $ABCD.EFGH$ passen. Hiermee bedoelen we dat geldt:
- het grondvlak $ABCD$ van de kubus ligt in het grondvlak van de kegel;
- de hoekpunten $E, F, G$ en $H$ van het bovenvlak van de kubus liggen op de kegelmantel;
- het middelpunt $M$ van de grondcirkel van de kegel ligt recht onder de top $T$ van de kegel.
Zie bijvoorbeeld de figuren 2 en 3.

[FIGUUR: Een kegel met een ingesloten kubus. De basis van de kegel is een cirkel. Het grondvlak van de kubus ABCD ligt binnen deze cirkel. De top van de kegel is T.]

[FIGUUR: Een kegel met een ingesloten kubus. De basis van de kegel is een cirkel. Het grondvlak van de kubus ABCD ligt binnen deze cirkel. De top van de kegel is T.]

HA-1025-a-13-2-o
10 / 12
lees verder ► ► ►

### Pagina 11

In figuur 4 is een verticale doorsnede door A, C en T getekend.
Het punt N is het snijpunt van MT met het bovenvlak van de kubus.
De afstand van de top T van de kegel tot het bovenvlak van de kubus
noemen we x.

figuur 4
[FIGUUR: Een doorsnede van een kegel met daarin een ingeschreven kubus. De kegel heeft als top T en grondvlak PQR. De kubus heeft een bovenvlak met hoekpunten E, G en een punt N op MT, en een ondervlak met hoekpunten M en C op PR. Er is een loodrechte hoek aangegeven bij A op PR en bij M op PR en bij N op het bovenvlak.]

De lengte van de straal PM van de grondcirkel van de kegel kan uitgedrukt
worden in x. Er geldt:

$$PM = \frac{1}{2}\sqrt{2} \cdot \left(\frac{x+1}{x}\right)$$

4p 15 Leid deze formule af met behulp van gelijkvormigheid van driehoeken.

Voor de inhoud I van de kegel geldt:
$$I = \frac{1}{6}\pi \cdot (x+3x^{-1} + x^{-2})$$

Er bestaan twee kegels met inhoud $\frac{4}{3}\pi$ die precies op kubus ABCD.EFGH
passen.

4p 16 Bereken de hoogten van deze twee kegels. Rond (indien nodig) je antwoord
af op één decimaal.

5p 17 Bereken met behulp van differentiëren de kleinst mogelijke inhoud van een
kegel die precies om kubus ABCD.EFGH past.

Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.
HA-1025-a-13-2-0
11 / 12
lees verder

### Pagina 12

Wortel met raaklijn

De functie $f$ is gegeven door $f(x) = -3 + \sqrt{2x+6}$. De grafiek van $f$ snijdt
de $x$-as in het punt $A(1\frac{1}{2}, 0)$. Verder zijn gegeven de punten $B(-3, 0)$ en
$C(-3, -3)$. Zie onderstaande figuur.

[FIGUUR: Een grafiek met de y-as verticaal en de x-as horizontaal. De oorsprong is met O aangeduid. Een kromme lijn, de grafiek van functie f, begint bij punt C in het derde kwadrant, buigt af naar rechts en stijgt. De grafiek passeert punt A op de x-as. Een rechte lijn, die de raaklijn in punt A is, loopt vanuit punt A schuin omhoog naar rechts. Punt B ligt op de x-as links van de oorsprong.]

figuur

De helling van de grafiek van $f$ in punt $A$ is $\frac{1}{3}$.

3p 18 Toon dit langs algebraïsche weg aan.

4p 19 De raaklijn in $A$ aan de grafiek van $f$ snijdt de lijn $BC$ in het punt $S$.
Toon aan dat $S$ het midden van $BC$ is.

HA-1025-a-13-2-o 12 / 12 einde