# Eindexamen Wiskunde B HAVO 2013 tijdvak 1

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2013/tijdvak-1

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Opgave 1

### Vraag 2 – Opgave 2

### Vraag 3 – Opgave 3

### Vraag 4 – Opgave 4

### Vraag 5 – Opgave 5

### Vraag 6 – Opgave 6

### Vraag 7 – Opgave 7

### Vraag 8 – Opgave 8

### Vraag 9 – Opgave 9

### Vraag 10 – Opgave 10

### Vraag 11 – Opgave 11

### Vraag 12 – Opgave 12

### Vraag 13 – Opgave 13

### Vraag 14 – Opgave 14

### Vraag 15 – Opgave 15

### Vraag 16 – Opgave 16

### Vraag 17 – Opgave 17

### Vraag 18 – Opgave 18

### Vraag 19 – Opgave 19

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen HAVO
2013
tijdvak 1
vrijdag 17 mei
13.30 - 16.30 uur
wiskunde B

Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Dit examen bestaat uit 19 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 80 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald
kunnen worden.

Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.

Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft er meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.

HA-1025-a-13-1-o

### Pagina 2

```json
{
  "description": "Dit is een examenpagina (waarschijnlijk wiskunde A of B op HAVO/VWO niveau) gericht op het analyseren en toepassen van wiskundige modellen voor tornadoschalen. De pagina bevat inleidende tekst over tornadoschalen, in het bijzonder de Fujita-schaal en de Torro-schaal. Visueel is er een zwart-wit foto van een tornado aanwezig, aangegeven met 'foto'. De pagina presenteert twee wiskundige formules: \n\n1.  **Fujita-schaal (F):** `F = (v / 6.3)^(2/3) - 2` (Formule 1), waarbij 'v' de maximale windsnelheid in m/s is en 'F' de intensiteit op de Fujita-schaal (afgerond op een geheel getal).\n2.  **Torro-schaal (T):** `v = 2.39 * (T + 4)^(3/2)` (Formule 2), waarbij 'v' de maximale windsnelheid in m/s is en 'T' de intensiteit op de Torro-schaal (afgerond op een geheel getal).\n\nStudenten worden gevraagd om drie opgaven te beantwoorden:\n\n*   **Opgave 1 (3 punten):** Bereken de intensiteit op de Fujita-schaal (F) voor een tornado met een maximale windsnelheid van 280 km/u. Dit vereist een eenheidsconversie (km/u naar m/s) en invulling in Formule 1.\n*   **Opgave 2 (4 punten):** Bereken de minimale waarde van de maximale windsnelheid (v) voor een tornado met intensiteit 4 op de Fujita-schaal. Dit impliceert het herleiden van Formule 1 en het afronden op één decimaal.\n*   **Opgave 3 (4 punten):** Toon aan dat er een lineair verband bestaat (`F = aT + b`) tussen de *onafgeronde* F- en T-waarden door Formule 2 in Formule 1 in te vullen en vervolgens te herleiden. Bereken de waarden van de constanten 'a' en 'b' en rond deze af op twee decimalen. Dit is een complexere algebraïsche herleiding.\n\nDe pagina test vaardigheden in formulegebruik, eenheidsconversie, algebraïsche manipulatie (herleiden) en het concept van lineaire verbanden tussen gemodelleerde grootheden.",
  "summary": "Examenpagina over tornadoschalen (Fujita

### Pagina 3

Dit is een opgavepagina van een wiskunde-examen over wortel- en paraboolfuncties. De pagina bevat twee figuren (figuur 1 en figuur 2) die grafieken van functies visualiseren. Figuur 1 toont de grafieken van de functies f(x) = √(x^4 + 1) en g(x) = x^2 + 1, waarbij de parabool (g) en de wortelfunctie (f) elkaar lijken te raken in (0,1). Figuur 2 is een detailweergave van de grafieken f en g, waar ook een horizontale lijn y=3 is getekend, die snijpunten A, B, C en D markeert. De opgaven betreffen het bewijzen van raakpunten, het berekenen van hellingen met differentiëren en het berekenen van afstanden tussen punten. Specifieke concepten die aan bod komen zijn wortel- en kwadratische functies, algebraïsche methoden voor het vinden van snijpunten, differentiëren voor het bepalen van hellingen van raaklijnen, en afstandsformules in een coördinatenstelsel. Studenten moeten een gemeenschappelijk punt algebraïsch bewijzen, de helling van *f* in een specifiek punt berekenen, en de exacte lengte van een lijnstuk bepalen.

### Pagina 4

Deze pagina maakt deel uit van een examenopgave over de Hearst Tower, een constructie in New York. Het is een opgavepagina, wat blijkt uit de genummerde vragen (7, 8, 9) met bijbehorende puntentellingen (4p, 3p, 5p) en het 'lees verder' icoon en paginanummering (4/4). De pagina bevat zowel tekstuele informatie als een visueel element. De tekst beschrijft de constructie van de Hearst Tower, inclusief de hoogte (182,0 m), de driedelige opbouw (oud gebouw, balkvormige laag, bovenste deel met gelijkzijdige driehoeken), en specifieke afmetingen zoals de gecombineerde hoogte van het oude gebouw en de balkvormige laag (33,8 m), en de geschatte hoogte (16,5 m) en zijdelengte (19,0 m) van de gelijkzijdige driehoeken in het bovenste deel. Er is één visueel element: een zwart-wit 'foto' van de Hearst Tower, die de architectuur van het bovenste deel met de driehoekige panelen duidelijk weergeeft. De wiskundige en wetenschappelijke concepten omvatten meetkunde, specifiek met gelijkzijdige driehoeken, doorsnedes, schaaltekeningen en inhoudsberekeningen van samengestelde lichamen (balk met piramidevormige uitsnedes). Studenten wordt gevraagd om: 1) middels berekeningen de genoemde afmetingen van de gelijkzijdige driehoeken te verifiëren (Vraag 7), 2) een schaaltekening van het bovenaanzicht van het bovenste deel van de toren te maken en de werkwijze te lichten (Vraag 8), en 3) de inhoud van een van de lagen van het bovenste deel te berekenen, waarbij rekening gehouden moet worden met weggelaten piramidevormige stukken, en het antwoord in duizenden kubieke meters te geven (Vraag 9).

### Pagina 5

Derdegraadsfunctie en sinus
De functies $f$ en $g$ zijn gegeven door $f(x) = -x^3 + 4x$ en $g(x) = a \cdot \sin(\pi x)$.
6p 10 In de oorsprong zijn de hellingen van de grafieken van $f$ en $g$ gelijk.
Bereken exact de waarde van $a$.
HA-1025-a-13-1-o 5 / 5 lees verder ► ► ►

### Pagina 6

Olie
Olie is een belangrijke grondstof. In figuur 1 is af te lezen hoeveel olie er
wereldwijd in totaal is verbruikt sinds er in 1859 voor het eerst een
oliebron geslagen werd. Zo valt bijvoorbeeld af te lezen dat het totaal van
1000 miljard vaten in de loop van 2002 gepasseerd werd.
figuur 1
[FIGUUR: Een lijngrafiek met op de y-as "miljarden vaten" van 0 tot 1200 en op de x-as de jaren van 1948 tot 2004. Verschillende punten op de grafiek zijn gemarkeerd met hoeveelheden en jaren, en de tijd die nodig was voor verdubbeling.]
Totale hoeveelheid verbruikte olie
In de grafiek van figuur 1 zijn vanaf 1948 de perioden aangegeven waarin
de totale hoeveelheid verbruikte olie verdubbelde. Tussen 1948 en 1981
duurde het telkens ongeveer 11 jaar tot de totale hoeveelheid verbruikte
olie was verdubbeld. Dit betekent dat tussen 1948 en 1981 de totale
hoeveelheid verbruikte olie bij benadering exponentieel groeide.
4p 11 Bereken het jaarlijkse groeipercentage dat hoort bij een verdubbelingstijd
van 11 jaar. Geef je antwoord in één decimaal nauwkeurig.
Vanaf 1981 groeide de totale hoeveelheid verbruikte olie bij benadering
nog steeds exponentieel, maar met een andere groeifactor. In de grafiek
is te zien dat de totale hoeveelheid verbruikte olie verdubbelde van
500 miljard tot 1000 miljard vaten in de periode van 1981 tot 2002. Een
verdubbelingstijd van 21 jaar komt overeen met een groei van ongeveer
3,4% per jaar.
4p 12 Bereken op algebraïsche wijze het jaar waarin volgens dit exponentiële
model de totale hoeveelheid verbruikte olie de grens van 750 miljard
vaten passeerde.
HA-1025-a-13-1-o
6/6
lees verder ►

### Pagina 7

Er zijn in de loop der jaren verschillende modellen gemaakt die het
verbruik van olie voorspellen. Een van deze modellen is het model van
Hubbert uit 1956. In figuur 2 zie je een grafiek die uit dit model volgt.

figuur 2
[FIGUUR: Een grafiek met op de y-as "miljarden vaten" van 0 tot 3000, en op de x-as de jaren van 1930 tot 2050. De grafiek toont een curve die begint bij 0 in 1930 en langzaam stijgt, versnelt rond 2010 en daarna weer langzamer stijgt.]

Deze grafiek hoort bij de totale hoeveelheid olie die tot dat moment
verbruikt is. Een formule voor deze totale hoeveelheid is:
$$V = \frac{2400}{1+56 \cdot 0,95^t}$$
Hierin is $V$ de totale hoeveelheid verbruikte olie in miljarden vaten en $t$ de
tijd in jaren, met $t=0$ op 1 januari 1930.

De totale hoeveelheid winbare olie in de wereld wordt geschat op
2400 miljard vaten.
4p 13 Bereken in welk jaar deze geschatte voorraad volgens het model van
Hubbert voor de helft verbruikt was.

HA-1025-a-13-1-o 7 / 7 lees verder ►►►

### Pagina 8

Grafiek van een logaritme
De functie $f$ is gegeven door $f(x) = ^3\log(4x+3)$. De grafiek van $f$ snijdt
de x-as in punt $A$ en de y-as in punt $B$.
Verder is $l$ de lijn door $A$ en $B$. Zie de figuur.

[FIGUUR: Een grafiek met de y-as verticaal en de x-as horizontaal. De oorsprong is aangegeven met $O$. Er is een kromme getekend die de y-as snijdt bij punt $B$ en de x-as snijdt bij punt $A$. Een rechte lijn $l$ snijdt de y-as bij punt $B$ en gaat ook door punt $A$. De kromme is gelabeld met $f$.]

figuur

5p 14 Stel op algebraïsche wijze een vergelijking op voor $l$.
3p 15 Bereken de helling van de grafiek van $f$ in het punt met x-coördinaat 1.
Rond je antwoord af op twee decimalen.

HA-1025-a-13-1-o 8 / 8 lees verder ►►►

### Pagina 9

Grafiek van een cosinus
In de figuur is op het interval $[0, 5]$ een sinusoïde getekend.
figuur
[FIGUUR: Een grafiek met de y-as van 0 tot 4 en de x-as van 0 tot 5. De grafiek begint bij y=3, stijgt naar y=4 rond x=1, daalt naar y=1 rond x=2, stijgt weer naar y=3 rond x=3, stijgt naar y=4 rond x=4, en daalt dan weer naar y=3 rond x=5.]
Deze sinusoïde is te beschrijven met een vergelijking van de vorm
$y = a + b \cos(c(x-d))$
5p 16 Bepaal geschikte waarden van a, b, c en d zodat $y = a + b \cos(c(x-d))$ een vergelijking is van deze sinusoïde. Licht je werkwijze toe.
Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.
HA-1025-a-13-1-o
9/9
lees verder

### Pagina 10

Lichaam
Gegeven is een lichaam $L$ dat bestaat uit een prisma $ABC.DEF$ en een
halve cilinder. Hierin is $AB=5$ cm, $AC=3$ cm, $AD=6$ cm en hoek $CAB$
is recht. De halve cilinder heeft middellijn $AD$ en hoogte $AC$. Zie figuur 1.

[FIGUUR: Een prisma met driehoekige grondvlakken ABC en DEF, waarvoor geldt dat de hoek CAB recht is. De lengtes van de ribben zijn aangegeven. Een halve cilinder met middellijn AD en hoogte AC is aan het prisma bevestigd.]

figuur 1

3p 17 Bereken de inhoud van $L$ in cm³ nauwkeurig.
Op de uitwerkbijlage is een begin gemaakt met een uitslag van $L$ op
schaal 1:2.

6p 18 Maak de uitslag af. Zet de letters bij de hoekpunten en licht je werkwijze
toe.
Punt $M$ is het midden van $AD$ en punt $N$ is het midden van $CF$.
Lichaam $L$ wordt doorsneden door het verticale vlak door $B, M$ en $N$. De
doorsnede die zo ontstaat is de vierhoek $BPQN$. Zie figuur 2.

[FIGUUR: Een prisma met driehoekige grondvlakken ABC en DEF, waarvoor geldt dat de hoek CAB recht is. Een halve cilinder met middellijn AD en hoogte AC is aan het prisma bevestigd. Punten M en N zijn aangegeven, evenals de doorsnede BPQN.]

figuur 2

4p 19 Bereken de oppervlakte van $BPQN$ in cm² nauwkeurig.
HA-1025-a-13-1-o
10 / 10
einde