# Eindexamen Wiskunde B HAVO 2012 tijdvak 1

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2012/tijdvak-1

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Opgave 1

### Vraag 2 – Opgave 2

### Vraag 3 – Opgave 3

### Vraag 4 – Opgave 4

### Vraag 5 – Opgave 5

### Vraag 6 – Opgave 6

### Vraag 7 – Opgave 7

### Vraag 8 – Opgave 8

### Vraag 9 – Opgave 9

### Vraag 10 – Opgave 10

### Vraag 11 – Opgave 11

### Vraag 12 – Opgave 12

### Vraag 13 – Opgave 13

### Vraag 14 – Opgave 14

### Vraag 15 – Opgave 15

### Vraag 16 – Opgave 16

### Vraag 17 – Opgave 17

### Vraag 18 – Opgave 18

### Vraag 19 – Opgave 19

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen HAVO
2012
tijdvak 1
donderdag 24 mei
13.30 - 16.30 uur
wiskunde B
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Dit examen bestaat uit 19 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 80 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord kunnen
worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord
meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er
bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee redenen, dan
worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
HA-1025-a-12-1-o

### Pagina 2

Vliegende parkieten

De wetenschapper Vance Tucker heeft onderzocht hoeveel energie een parkiet verbruikt bij het vliegen met verschillende snelheden.

Uit zijn onderzoek blijkt dat de hoeveelheid energie die een parkiet per meter bij een bepaalde snelheid verbruikt, bij benadering berekend kan worden met behulp van de formule
$$ D = \frac{6,0}{v^2} + 0,00050v - 0,033 $$
Hierin is $D$ het energieverbruik per meter (in Joule per meter, J/m) en $v$ de snelheid in meter per seconde (m/s). De formule geldt voor $v > 5$.
In de figuur zie je de grafiek die bij deze formule hoort.

[FIGUUR: Grafiek met op de y-as D (energieverbruik per meter) en op de x-as v (snelheid). De D-as loopt van 0 tot 0,20 en de v-as loopt van 0 tot 15. Er is een curve zichtbaar die daalt en daarna weer stijgt.]

4p 1 Een parkiet versnelt van 12 m/s naar 15 m/s.
Bereken met hoeveel procent $D$ toeneemt.

4p 2 Als het energieverbruik per meter minder is dan 0,10 J/m, kan een parkiet heel lang blijven vliegen.
Bereken bij welke snelheden dit het geval is. Geef je antwoord in meter per seconde in één decimaal nauwkeurig.

De snelheid waarbij het energieverbruik per meter minimaal is, heet de
kruissnelheid. Om de kruissnelheid te berekenen, is de afgeleide van $D$ nodig.
Er geldt
$$ \frac{dD}{dv} = -\frac{12,0}{v^3} + 0,00100v $$

3p 3 Toon de juistheid van deze formule voor $\frac{dD}{dv}$ aan.

4p 4 Bereken op algebraïsche wijze de kruissnelheid van parkieten in meter per seconde. Rond daarna je antwoord af op één decimaal.

HA-1025-a-12-1-o
2
lees verder

### Pagina 3

Prisma

Gegeven is balk $ABCD.EFGH$, met $AB = 8$ en $BC = CG = 6$. De punten $K$ respectievelijk $L$ zijn de middens van $AE$ respectievelijk $BF$. De punten $M$ en $N$ liggen op $FG$ en $EH$ zo dat $HN = GM = 2$.

[FIGUUR: Balk $ABCD.EFGH$ met de punten $K$ en $L$ op de ribben $AE$ en $BF$. De lengtes van de ribben $AB$, $BC$, $CG$ en $EF$ zijn aangegeven. De punten $M$ en $N$ liggen op de ribben $FG$ en $EH$.]

Van balk $ABCD.EFGH$ wordt een stuk afgesneden zodat prisma $ADHNK.BCGML$ ontstaat. Zie figuur 1.

Op de uitwerkbijlage is een begin getekend van een uitslag van het prisma. Hierbij komt een lengte-eenheid van de balk in figuur 1 overeen met $0,5$ cm.

4p 5 Maak deze uitslag af. Zet de namen bij alle hoekpunten.

Het prisma wordt doorsneden door het vlak $PQRST$. Dit vlak is evenwijdig aan $ADHNK$ en verdeelt prisma $ADHNK.BCGML$ in twee delen. Zie figuur 2.

De lengte van $AP$ is zo gekozen dat de inhoud van het deel $ADH NK.PQR ST$ een kwart is van de inhoud van balk $ABCD.EFGH$.

5p 6 Bereken de lengte van $AP$.

[FIGUUR: Uitslag van prisma $ADHNK.BCGML$ met de doorsnede $PQRST$. De doorsnede is gearceerd. De relatie tussen de lengte-eenheid van het prisma en de lengte op de uitwerkbijlage is aangegeven.]

HA-1025-a-12-1-o 3 lees verder

### Pagina 4

CO₂

Sinds 1870 meet men de CO₂-concentratie in de atmosfeer. De CO₂-concentratie wordt uitgedrukt in parts per million (ppm). Dit is het aantal CO₂-deeltjes per miljoen deeltjes. In de figuur kun je zien hoe de CO₂-concentratie in de atmosfeer is veranderd in de periode 1870-2000. Deze figuur is vergroot op de uitwerkbijlage weergegeven.

[FIGUUR: Grafiek met op de y-as 'CO₂-concentratie (in ppm)' met waarden van 280 tot 380, en op de x-as 'jaar' met waarden van 1870 tot 1990. Een curve loopt vanaf 1870 langzaam omhoog, en versnelt na 1950 aanzienlijk.]

In het jaar 1900 veronderstelde de latere Nobelprijswinnaar Arrhenius dat de lineaire groei van de CO₂-concentratie zoals die toen al sinds 1880 optrad, zich op dezelfde manier zou voortzetten. Hij voorspelde hiermee hoeveel de CO₂-concentratie tussen 1900 en 2000 zou toenemen. De toename zoals die Arrhenius voorspeld, is veel kleiner dan de werkelijke toename tussen 1900 en 2000.

3p 7 Bepaal met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage hoeveel ppm de door Arrhenius voorspelde toename te klein uitviel.

Na 1930 steeg de CO₂-concentratie sneller dan Arrhenius in 1900 had aangenomen. Een model dat beter past bij de gegevens van 1930 tot 2000 gaat uit van een natuurlijk niveau in de CO₂-concentratie met daar bovenop een bijdrage van de mens aan de CO₂-concentratie, de zogheten menselijke component. Wetenschappers hebben kunnen vaststellen dat het natuurlijke niveau al eeuwen rond de 285 ppm schommelt. Voor de menselijke component vanaf 1930 wordt in het model uitgegaan van exponentiële groei.

In 1930 bedroeg de CO₂-concentratie 300 ppm. Hiervan was 285 ppm het natuurlijke niveau en 15 ppm de menselijke component. In 2000 was de CO₂-concentratie gestegen tot 370 ppm. Met behulp van deze gegevens kun je berekenen met hoeveel procent de menselijke component elke 10 jaar volgens het model toeneemt.

4p 8 Bereken deze procentuele toename per 10 jaar. Rond je antwoord af op een geheel aantal procenten.

HA-1025-a-12-1-o 4 lees verder

### Pagina 5

Een formule die de CO$_2$-concentratie vanaf 1 juli 1930 benadert, is
$C = 15 \cdot 1,025^t + 285$.
Hierin is $C$ de CO$_2$-concentratie in ppm en $t$ is de tijd in jaren na 1 juli 1930.
4p 9 Bereken met behulp van deze formule in welk jaar de menselijke component
even groot zal zijn als het natuurlijke niveau.

Wortelfunctie

De functie $f$ is gegeven door $f(x) = \sqrt{4x-12}$.
5p 10 De lijn met vergelijking $y = 2x - 5$ en de grafiek van $f$ snijden elkaar niet.
Toon dit op algebraïsche wijze aan.

Er bestaat precies één lijn die evenwijdig is aan de lijn $y = 2x - 5$ en die raakt
aan de grafiek van $f$. Omdat deze lijn evenwijdig is aan de lijn $y = 2x - 5$ heeft
7p 11 deze een vergelijking van de vorm $y = 2x + b$.
Bereken met behulp van differentiëren de exacte waarde van $b$.

De functie $g$ is gegeven door $g(x) = \sqrt{x}$. De grafiek van $f$ ontstaat uit de grafiek
van $g$ door twee transformaties na elkaar toe te passen.
3p 12 Geef aan welke twee transformaties dit kunnen zijn en in welke volgorde ze
moeten worden toegepast.

HA-1025-a-12-1-o 5 lees verder ► ► ►

### Pagina 6

Satellieten

Satellieten zijn objecten die om andere
objecten, bijvoorbeeld de aarde,
draaien. De tijd die een satelliet nodig
heeft om een volledige ronde om de
aarde te maken, wordt de omlooptijd
genoemd. Bij benadering geldt de
volgende formule:
$T = 0,00995 \cdot r^{\frac{1}{2}}$
Hierin is $T$ de omlooptijd in seconden en
$r$ de afstand in km van het middelpunt
van de satelliet tot het middelpunt van
de aarde.

foto
[FIGUUR: Een satelliet in de ruimte, met de aarde op de voorgrond.]

3p 13
De bekendste satelliet van de aarde is de maan. De omlooptijd van de maan is
ongeveer 28 dagen.
Bereken de afstand tussen het middelpunt van de maan en het middelpunt van
de aarde. Geef je antwoord in duizenden kilometers nauwkeurig.

In deze opgave wordt de aarde beschouwd als een bol. De straal van de aarde
is ongeveer 6400 km.

Een weersatelliet draait in een baan om de aarde op een constante hoogte van
800 km boven het aardoppervlak. Weersatellieten zijn klein vergeleken met de
afstand tot de aarde. Ze mogen daarom als punten worden beschouwd.
Bereken met welke snelheid deze weersatelliet om de aarde draait. Geef je
antwoord in duizenden km/uur nauwkeurig.

Een satelliet draait in een baan om de aarde, recht boven de
evenaar. De satelliet scant een deel van het aardoppervlak
aan beide zijden van de evenaar. De totale breedte van de
gescande strook is 400 km. Omdat dit klein is ten opzichte
van de straal van de aarde, mag de strook als een
cilindermantel worden beschouwd. Zie de figuur.
Bereken hoeveel procent van het aardoppervlak door de
satelliet wordt gescand. Rond je antwoord af op een geheel
aantal procenten.
figuur
[FIGUUR: Schematische weergave van een satelliet die een strook van het aardoppervlak scant. De strook is gekromd.]

3p 15

HA-1025-a-12-1-o
6
lees verder ►►►

### Pagina 7

Sinusoïde

Op het domein $[0, \pi]$ is de functie $f$ gegeven door $f(x) = 2 - 4\sin(2x)$.
De grafiek van $f$ snijdt de x-as in de punten $A$ en $B$. Zie de figuur.

[FIGUUR: Een grafiek van een sinusvormige functie $f$ op het interval $[0, \pi]$. De y-as loopt van -1 tot 1. De x-as loopt van 0 tot $\pi$. De grafiek start op y=2 (niet getoond in assenstelsel), daalt en kruist de x-as bij punt A, bereikt een minimum, stijgt en kruist de x-as bij punt B, en stijgt verder. De punten O, A, B en $\frac{1}{2}\pi$, $\pi$ zijn gemarkeerd op de x-as. De curve is gelabeld met $f$.]

4p 16 Bereken exact de x-coördinaten van de punten $A$ en $B$.

6p 17 Lijn $l$ is de raaklijn aan de grafiek van $f$ in het punt $(0,2)$.
Bereken exact de coördinaten van het snijpunt van $l$ met de x-as.

Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.

HA-1025-a-12-1-o 7 lees verder ►►►

### Pagina 8

Dit is een opgavepagina van een examen, getiteld 'Ei'. De pagina behandelt wiskundige en wetenschappelijke concepten gerelateerd aan de eigenschappen van een model-ei en een eirol. Visuele elementen omvatten een schematische figuur van een 'model-ei' met afmetingen (lengte l=6 cm en breedte b=4 cm) en een cirkelvormig eigeel daarin, en een foto van een cilindervormige 'eirol' met gesneden plakjes. De opgave introduceert een formule voor het volume (Inhoud I) van het model-ei: I = (1/6) * π * b² * l.  De student wordt gevraagd eerst aan te tonen dat de verhouding van de inhouden van eiwit en eigeel in het model-ei exact 23:9 is (opgave 18). Vervolgens wordt context gegeven over een 'eirol', die uit gekookt eiwit en eigeel bestaat en in plakjes wordt gesneden. Hierbij wordt gesteld dat de oppervlakteverhouding van eiwit en eigeel in een plakje ook 23:9 is, en dat de plakjes circulair zijn met een diameter van 4,0 cm. De tweede vraag (opgave 19) is om de diameter van het cirkelvormige eigeelstuk in een plakje te berekenen, afgerond op één decimaal. De documentpagina is nummer 8 van een examen.