# Eindexamen Wiskunde B HAVO 2011 tijdvak 2

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2011/tijdvak-2

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Opgave 1

### Vraag 2 – Opgave 2

### Vraag 3 – Opgave 3

### Vraag 4 – Opgave 4

### Vraag 5 – Opgave 5

### Vraag 6 – Opgave 6

### Vraag 7 – Opgave 7

### Vraag 8 – Opgave 8

### Vraag 9 – Opgave 9

### Vraag 10 – Opgave 10

### Vraag 11 – Opgave 11

### Vraag 12 – Opgave 12

### Vraag 13 – Opgave 13

### Vraag 14 – Opgave 14

### Vraag 15 – Opgave 15

### Vraag 16 – Opgave 16

### Vraag 17 – Opgave 17

### Vraag 18 – Opgave 18

### Vraag 19 – Opgave 19

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen HAVO
2011
tijdvak 2
woensdag 22 juni
13.30 - 16.30 uur
wiskunde B
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Dit examen bestaat uit 19 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord
meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er
bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee redenen, dan
worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
HA-1025-a-11-2-o

### Pagina 2

Tonregel van Kepler
foto
In het verleden gebruikte men vaak een ton voor
het opslaan en vervoeren van goederen. Tonnen
worden ook nu nog gebruikt voor bijvoorbeeld de
opslag van wijn. Zie de foto.
Voor handelaren was het belangrijk om de inhoud
van de ton te kunnen bepalen. De astronoom en
wiskundige Kepler (1571 - 1613) vond een manier
om de inhoud van een ton te benaderen.
De tonregel van Kepler luidt:
$I = \frac{1}{6}h \cdot (G + 4 \cdot M + B)$
figuur
In deze formule is:
- I de inhoud van de ton;
- h de hoogte van de ton;
- G de oppervlakte van het grondvlak;
- M de oppervlakte van de doorsnede
op halve hoogte, evenwijdig aan
het grondvlak en het bovenvlak;
- B de oppervlakte van het bovenvlak.
Zie de figuur.
Van de ton op de foto is zowel het grondvlak als
het bovenvlak een cirkel met diameter 58 cm. De
doorSNede op halve hoogte is een cirkel met
omtrek 223 cm. De hoogte van deze ton is 93 cm.
Bereken de inhoud van deze ton met de tonregel
van Kepler. Rond je antwoord af op een geheel aantal liters.
6p
1
De tonregel van Kepler geldt niet alleen voor tonnen. Ook voor heel andere
soorten lichamen geeft de tonregel een goede benadering van de inhoud. De
tonregel van Kepler geeft voor een aantal lichamen zelfs exact de juiste inhoud,
bijvoorbeeld voor een kegel, een bol en een piramide.
Een piramide met hoogte 9 heeft als grondvlak een vierkant met zijde 10.
Toon aan dat met de tonregel van Kepler voor deze piramide exact de juiste
inhoud wordt berekend.
4p
2
HA-1025-a-11-2-o
2
lees verder

### Pagina 3

Inkomensverdeling
Niet iedereen in een land heeft een even hoog inkomen. Om inzicht te krijgen in
de verdeling van de inkomens in een land worden lorenzcurves gebruikt.
Bij een lorenzcurve wordt de
bevolking gerangschikt van lage
inkomens naar hoge inkomens.
In de figuur staat een voorbeeld
van de lorenzcurve van een land.
Deze curve is de grafiek van $I$
als functie van $B$. Hierin is $I$ het
percentage van het totale
inkomen van dit land en $B$ het
percentage van de bevolking,
waarbij de bevolking van lage
inkomens naar hoge inkomens is
gerangschikt.
figuur
100
I
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
B
Uit de figuur valt bijvoorbeeld af
te lezen dat de minst
verdiende 30% van de
bevolking van dit land tezamen
bijna 10% van het totale inkomen
van dit land heeft.
De formule die bij de lorenzcurve in de figuur hoort, is $I = 0,25B + 0,000075B^3$
waarbij $0 \le I \le 100$ en $0 \le B \le 100$.
Als in dit land iedereen een even hoog inkomen zou hebben, dan zou de
lorenzcurve het lijnstuk zijn met beginpunt $(0, 0)$ en eindpunt $(100, 100)$.
Het punt op de lorenzcurve waar de raaklijn aan de curve evenwijdig is aan het
lijnstuk met beginpunt $(0, 0)$ en eindpunt $(100, 100)$, is de grens tussen een
bovengemiddeld en een beneden-gemiddeld inkomen.
Bereken met behulp van differentiëren hoeveel procent van de bevolking van dit
land een bovengemiddeld inkomen heeft.
5p
3
In het algemeen is de formule die bij een lorenzcurve hoort van de vorm
$I = a \cdot B + 100^{1-p} \cdot (1-a) \cdot B^p$. Hierbij is $0 \le a \le 1$ en $p \ge 1$.
De grafiek bij deze formule gaat voor alle waarden van $a$ en $p$ door de punten $(0, 0)$
en $(100, 100)$.
4p
4
Toon dit aan.
Kies $p = 3$. Bij deze keuze is er een waarde van $a$ waarvoor de formule een
lorenzcurve geeft van een land waarin de minst verdienende 50% van de bevolking
tezamen 17% van het totale inkomen van het land heeft.
3p
5
Bereken deze waarde van $a$.
HA-1025-a-11-2-o
3
lees verder

### Pagina 4

Mosselen
Driehoeksmosselen (zie de foto) kunnen een bijdrage
leveren aan de vermindering van de hoeveelheid algen
in het water. Zij 'filteren' het water.
De hoeveelheid gefilterd water in ml/uur noemen we de
filtercapaciteit van een mossel. Er bestaat een verband
tussen de filtercapaciteit van een driehoeksmossel en zijn
schelplengte. Hiervoor geldt bij benadering de volgende formule:
$C=\frac{52,7}{1+179 \cdot 0,693^{L}}$
Hierin is $C$ de filtercapaciteit in ml/uur en $L$ is de schelplengte in mm.
Er wordt beweerd dat een driehoeksmossel van 29 mm lang per dag (24 uur)
meer dan 1 liter water kan filteren.
Onderzoek of deze bewering overeenstemt met de gegeven formule.
3p
6
In de praktijk blijkt dat de filtercapaciteit van een driehoeksmossel van 29 mm
nauwelijks toeneemt als deze driehoeksmossel verder groeit. Dit is in
overeenstemming met de formule.
Leg uit hoe uit de formule volgt dat de grafiek die bij deze formule hoort een
horizontale asymptoot heeft.
3p
7
Een mossel bestaat voor een deel uit schelp en voor een deel uit vlees. Er
bestaat een verband tussen de schelplengte $L$ (in mm) en het gewicht van het
vlees $W$ (in grammen) van mosselen.
Elk jaar wordt er onderzoek gedaan naar het verband tussen de schelplengte en
het gewicht van het vlees van de gewone mossel in de Waddenzee. Hiervoor
worden van een groot aantal van deze mosselen de schelplengte en het gewicht
van het vlees gemeten. De resultaten voor het jaar 2005 zijn in de figuur
weergegeven. In de figuur is ook een lijn te zien die een benadering geeft van
het verband tussen $\log W$ en $\log L$.
figuur
0,5
log W
1
-0,5
-1,0
-1,5
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
→ log L
HA-1025-a-11-2-o
4
lees verder

### Pagina 5

Deze lijn kan gebruikt worden om het gewicht van het vlees van een gewone
mossel te schatten als je de scheplengte van die mossel hebt gemeten. De
figuur staat vergroot op de uitwerkbijlage.
4p 8 Bepaal met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage het gewicht van het vlees
van gewone mosselen met een scheplengte van 65 mm. Geef je antwoord in
grammen op een decimaal nauwkeurig.
Voor de lijn in de figuur geldt de volgende formule:
log $W = -5,5 + 3,1 \cdot \log L$
4p 9 Werk deze formule om tot een formule van de vorm $W = a \cdot L^b$.
HA-1025-a-11-2-o
5
lees verder

### Pagina 6

Vuilnisbak
Op de foto is een metalen vuilnisbak te zien. De stang waar de vuilnisbak aan
hangt, laten we in deze opgave buiten beschouwing. In deze opgave worden de
rondingen van de vuilnisbak en de dikte van het materiaal verwaarloosd. De
breedte van de vuilnisbak is 40 cm.
In figuur 1 is de vuilnisbak schematisch weergegeven. In figuur 2 is een
zijaanzicht van de vuilnisbak getekend. Hierin ligt punt L recht boven punt B en
punt F ligt recht boven punt C. BC en FG zijn beide horizontaal. In figuur 1 en
figuur 2 is een aantal maten in cm aangegeven.
foto
figuur 1
figuur 2
K
L
15
F
G
H
E
F
B
30
58
A
40
B
C
B
20
C
4p 10
De vuilnisbak heeft de vorm van een vijfzijdijg prisma.
Bereken de inhoud van de vuilnisbak.
Aan de bovenkant van de vuilnisbak, in vlak EFKL, zit een rechthoekige
opening. Om deze opening zit een rand, die in figuur 1 grijs is gemaakt.
We gaan er in deze opgave van uit dat deze rand overal 4,5 cm breed is.
Tekenen op schaal 1 : 5 het bovenaanzicht van de vuilnisbak (met opening, zonder
stang). Licht je werkwijze toe.
6p 11
In de vuilnisbak zit een metalen bak die er uitgehaald kan worden om de
vuilnisbak te legen. Deze metalen bak is gelijkvormig met de onderste deel van
de vuilnisbak: ABCD.EFGH. De inhoud van de metalen binnenbak is 10%
kleiner dan de inhoud van het deel ABCD.EFGH.
3p 12
Bereken de hoogte van de binnenbak. Geef je antwoord in cm nauwkeurig.
HA-1025-a-11-2-o
6
lees verder

### Pagina 7

```json
{
  "page_type": "opgaven",
  "exam_info": {
    "subject": "Wiskunde",
    "year": "2011",
    "tijdvak": "2"
  },
  "figures": [
    "Een grafiek met de y-as en x-as. De y-as heeft een markering bij 20. De x-as heeft een markering bij 5. Er zijn twee lijnen getekend. Eén lijn, aangeduid met $f_{18}$, start in de oorsprong en buigt naar boven af. De andere lijn, aangeduid met $k$, start ook in de oorsprong en gaat schuiner omhoog. Beide lijnen snijden elkaar bij punt P."
  ],
  "keywords": "Functies, wortel, berekenen, grafiek, lijn, snijpunten, lengte, differentiëren, minimum"
}
```

### Pagina 8

Kruis in cirkel
Gegeven is een cirkel met middelpunt M en straal 1. In deze cirkel is een kruis
met vier even brede en even lange armen aangebracht. In de onderstaande
figuren is dit kruis wit en zijn de vier vlakdelen die buiten het kruis en binnen de
cirkel liggen grijs gemaakt. In figuur 1 is voor de breedte van de armen 1/2
genomen en in figuur 2 is deze breedte 1. In figuur 2 is te zien welke punten P,
Q en S genoemd worden. Het punt R is het midden van PQ.
figuur 1
figuur 2
M
De breedte van de armen van het
kruis kan variëren. Hierdoor varieert
ook de plaats van de punten P en R.
Als voor de breedte van de armen van
het kruis 2x genomen wordt, betekent
dit dat MR = RP = x. Zie figuur 3.
figuur 3
S
X
M
Er geldt $PS=1-x\sqrt{2}$.
3p 16 Toon dit aan.
Als de breedte van de armen van het kruis toeneemt, komt het punt P dichter bij
punt S te liggen. Er is een waarde van x waarvoor geldt $PS=2\cdot MP$.
3p 17 Bereken exact deze waarde van x.
HA-1025-a-11-2-o
8
lees verder

### Pagina 9

In figuur 4 is te zien welke punten U en T genoemd worden. De breedte van de
armen van het kruis kan ook veranderen door hoek UMT in grootte te variëren.
De grootte van de helft van deze hoek in radialen noemen we t.
figuur 4
[FIGUUR: Een cirkel met een kruis erin. Twee punten U en T op de cirkelrand zijn gemarkeerd. Een hoek UMT wordt aangegeven, waarbij M het middelpunt van de cirkel is. Een deel van de cirkel en een deel van het kruis zijn grijs gekleurd.]
Als t verandert, dan verandert de oppervlakte A van het kruis ook. Er geldt:
$A(t) = 4t + 2\sin(2t) + 2\cos(2t) - 2$ met $0 \leq t \leq \frac{1}{4}\pi$
In figuur 5 is de grafiek van A geschetst. Deze figuur staat ook op de
uitwerkbijlage.
figuur 5
oppervlakte
$t$
4p 18
De totale oppervlakte van de vier grijze delen hangt eveneens van t af.
Teken in de figuur op de uitwerkbijlage de grafiek die hoort bij de totale
oppervlakte van de vier grijze delen. Licht je werkwijze toe.
5p 19
De helling van de grafiek van A neemt af van 8 bij $t=0$ tot 0 bij $t=\frac{1}{4}\pi$.
Onderzoek met behulp van differentiëren of de helling van de grafiek van A
halverwege het interval [0, $\frac{1}{4}\pi$] gehalveerd is.
HA-1025-a-11-2-o*
9
einde