# Eindexamen Wiskunde B HAVO 2011 tijdvak 1

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2011/tijdvak-1

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Opgave 1

### Vraag 2 – Opgave 2

### Vraag 3 – Opgave 3

### Vraag 4 – Opgave 4

### Vraag 5 – Opgave 5

### Vraag 6 – Opgave 6

### Vraag 7 – Opgave 7

### Vraag 8 – Opgave 8

### Vraag 9 – Opgave 9

### Vraag 10 – Opgave 10

### Vraag 11 – Opgave 11

### Vraag 12 – Opgave 12

### Vraag 13 – Opgave 13

### Vraag 14 – Opgave 14

### Vraag 15 – Opgave 15

### Vraag 16 – Opgave 16

### Vraag 17 – Opgave 17

### Vraag 18 – Opgave 18

### Vraag 19 – Opgave 19

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen HAVO
2011
tijdvak 1
donderdag 19 mei
13.30 - 16.30 uur

wiskunde B

Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Dit examen bestaat uit 19 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 80 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.

Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord
meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt.

Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er
bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee redenen, dan
worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.

HA-1025-a-11-1-o

### Pagina 2

Overlevingstijd
Als iemand in koud water terecht komt, daalt zijn lichaamstemperatuur. Als de
lichaamstemperatuur is gedaald tot 30 °C ontstaat een levensbedreigende
situatie. De tijd die verstrijkt tussen het te water raken en het bereiken van een
lichaamstemperatuur van 30 °C wordt de overlevingstijd genoemd.
Bij de eerste drie vragen wordt uitgegaan van een persoon die te water is
geraakt in gewone kleding en met een reddingsvest. Voor deze persoon geldt de
volgende formule:
$R = 15 + \frac{7,2}{0,0785 - 0,0034T}$ met $R > 0$ en $T \ge 5,0$
Hierin is $R$ de overlevingstijd in minuten en $T$ de watertemperatuur in °C.
Bij een watertemperatuur van 20 °C is de overlevingstijd groter dan bij een
watertemperatuur van 10 °C.
3p 1
Bereken hoeveel keer zo groot.
5p 2
Bereken op algebraïsche wijze de watertemperatuur waarbij de overlevingstijd
5,0 uur is. Rond daarna je antwoord af op een geheel aantal graden.
In de figuur is de grafiek van $R$ als functie van $T$ figuur
geschetst. De grafiek heeft een verticale asymptoot.
3p 3
Bereken de waarde van $T$ die de verticale
asymptoot hoort en leg uit wat de betekenis van de
verticale asymptoot is voor de situatie van de te water
geraakte persoon.
De overlevingstijd van personen die te water raken, is niet alleen afhankelijk van
de watertemperatuur. De kleding die een persoon draagt, is ook van invloed op
de overlevingstijd.
In de tabel staan watertemperaturen met bijbehorende overlevingstijden voor
personen in zwemkleding.
tabel
watertemperatuur $T$ in °C
5,0
10
15
20
overlevingstijd $Z$ in uren
0,5
1,0
2,0
4,0
We gaan voor $5,0 \le T \le 20$ uit van een exponentieel verband tussen $T$ en $Z$.
3p 4
Iemand ligt in zwemkleding in water van 17 °C.
Bereken op algebraïsche wijze zijn overlevingstijd. Geef je antwoord in uren.
Rond hierbij af op één decimaal.
HA-1025-a-11-1-o
2
lees verder ► ►►

### Pagina 3

Polynoom

De functie f is gegeven door
$f(x) = (x+1)(x^2 - 16)$. Van een van de twee toppen
van de grafiek van f is de x-coördinaat positief. Zie figuur 1.

figuur 1

[FIGUUR: Een grafiek van een polynoom met de x- en y-as. Er zijn twee toppen zichtbaar, waarvan er één een positieve x-coördinaat heeft.]

5p 5 Bereken op algebraïsche wijze de coördinaten van deze top.
Punt P is het snijpunt van de grafiek van f met de y-as. Punt Q is het snijpunt
van de grafiek van f met de positieve x-as.
Lijn k gaat door de punten P en Q. Zie figuur 2.

figuur 2

[FIGUUR: Een grafiek van een polynoom met de x- en y-as. Een lijn k snijdt de grafiek van de polynoom op punten P en Q. Punt P ligt op de y-as en punt Q ligt op de positieve x-as.]

5p 6 Stel op algebraïsche wijze een vergelijking op van k.

HA-1025-a-11-1-o
3
lees verder ►►►

### Pagina 4

Lichaam in kubus
Gegeven is de kubus ABCD.EFGH met ribbe 6,0 cm. Binnen deze kubus
bevindt zich het lichaam ABCD.MGH. Het punt M ligt in het bovenvlak van de
kubus. De afstand van M tot GH is 4,0 cm en HM = GM . Zie figuur 1.
figuur 1
E
H
M
F
D
A
B
C
3p 7 Teken op ware grootte het bovenaanzicht van het lichaam ABCD.MGH. Zet de
letters bij de hoekpunten.
Op de uitwerkbijlage is een begin gemaakt met een uitslag van het lichaam
ABCD.MGH op schaal 1:2.
7p 8 Maak de uitslag af. Zet de letters bij de hoekpunten en licht je werkwijze toe.
Het lichaam ABCD.MGH kan worden
gesplitst in twee delen: de piramide
ABGH.M en het prisma ADH.BCG.
figuur 2
F
M
4,0
G
De rechthoek ABGH is het grondvlak
van de piramide ABGH.M. De hoogte
van deze piramide is gelijk aan de lengte
van het lijnstuk MQ in het zijaanzicht
van het lichaam van de kubus in figuur 2.
6p 9 Bereken op algebraïsche wijze de
inhoud van het lichaam ABCD.MGH .
O
B
6,0
C
HA-1025-a-11-1-o
4
lees verder

### Pagina 5

Bushalte
Langs een rechte weg staan twee flatgebouwen. De ingang van flat 1 (punt $E$) ligt 40 meter van de weg af en de ingang van flat 2 (punt $D$) ligt 60 meter van de weg af. Men wil een bushalte plaatsen (punt $B$) en daarna van de bushalte naar de ingang van elk van de twee flats een recht voetpad aanleggen. Punt $A$ is het punt aan de weg dat het dichtst bij de ingang van flat 1 ligt en punt $C$ is het punt aan de weg dat het dichtst bij de ingang van flat 2 ligt. De afstand tussen punt $A$ en punt $C$ is 80 meter. In de figuur is van deze situatie een bovenaanzicht getekend.
figuur
[FIGUUR: Bovenaanzicht van twee flats, een weg en een bushalte. Flat 1 bevindt zich links, met ingang E op 40 meter van de weg. Flat 2 bevindt zich rechts, met ingang D op 60 meter van de weg. De afstand tussen de punten A en C op de weg is 80 meter. Voetpaden EA en DB worden gevormd. De bushalte B ligt op de weg, tussen A en C.]

flat 1
E
40
$A$
weg
80
flat 2
D
60
C
De lengte van het voetpad tussen de bushalte en de ingang van flat 1 in meters wordt gegeven door de formule
$BE=\sqrt{x^{2}+1600}$ en de lengte van het voetpad
tussen de bushalte en flat 2 in meters wordt gegeven door de formule
$BD=\sqrt{x^{2}-160x+10000}$. Hierin is $x$ de afstand tussen punt $A$ en de bushalte $B$
in meters.
4p 10
Het is mogelijk de bushalte zo te plaatsen dat de twee voetpaden even lang zijn.
Bereken op algebraïsche wijze de waarde van $x$ in deze situatie.
De totale lengte van de twee voetpaden $L$ in meters wordt gegeven door de
formule:
$L=\sqrt{x^{2}+1600}+\sqrt{x^{2}-160x+10000}$
Als de twee voetpaden even lang zijn, is de totale lengte van deze voetpaden
(ongeveer) 132 meter. Men wil de bushalte zo plaatsen dat de totale lengte van
de twee voetpaden minimaal is. Hierdoor hoeft er minder dan 132 meter voetpad
aangelegd te worden.
6p 11
Bereken met behulp van differentiëren hoeveel meter minder.
HA-1025-a-11-1-0
5
lees verder

### Pagina 6

Sinusoïde
Van een sinusoïde zijn de punten (0, 0) en ( $\frac{1}{2}\pi$, 1) twee opeenvolgende toppen.
Zie de figuur.
figuur
[FIGUUR: Een grafiek van een sinusoïde met de y-as met markering '1' en de x-as met markeringen '-π', '0', 'π', 'x'.]
Deze sinusoïde kan worden beschreven door een formule van de vorm
$y=a+b \cdot \sin(c(x-d))$.
4p 12 Bepaal mogelijke waarden van $a, b, c$ en $d$.
4p 13 Een andere formule die deze sinusoïde beschrijft, is $y=(\sin x)^2$.
Bereken met behulp van deze formule op algebraïsche wijze de helling van de
raaklijn aan de sinusoïde in het punt met $x$-coördinaat $\frac{1}{4}\pi$.
Toiletpapier
Toiletpapier zit vaak op een rol. In deze opgave wordt een wiskundig model van
een rol toiletpapier bekeken. In dit model is een rol toiletpapier een cilinder
waaruit in het midden een cilinder is weggelaten. In figuur 1 is het model van
een volle rol toiletpapier te zien. Deze rol heeft een buitendiameter van 12,0 cm,
een binnendiameter van 4,0 cm en een hoogte van 10,0 cm.
foto 1
figuur 1
[FIGUUR: Twee rollen toiletpapier, waarvan er één doorschijnend is om de holle kern te tonen.]
[FIGUUR: Een doorsnede van een rol toiletpapier als een cilinder met een kleinere cilinder erin. De buitendiameter is aangegeven als 12,0 en de hoogte als 10,0.]
Het volume van het toiletpapier op de rol in figuur 1 is $320\pi$ cm$^3$.
3p 14 Toon dit aan.
HA-1025-a-11-1-o
6
lees verder ► ►►

### Pagina 7

iemand beweert dat de helft van het toiletpapier gebruikt is, wanneer de
buitendiameter 8,0 cm is (midden tussen 4,0 cm en 12,0 cm). Dit is onjuist.
4p 15 Bereken de werkelijke buitendiameter van de toiletrol als de helft van het
t oiletpapier gebruikt is.
De rol toiletpapier bestaat uit een aantal velletjes. De buitendiameter van de rol
t oiletpapier hangt af van het aantal velletjes dat nog op de rol zit. Voor de rol
waarvan het model in figuur 1 te zien is, geldt de formule:
$d=2 \cdot \sqrt{0,16v+4,0}$
Hie rin is $d$ de buitendiameter in cm en $v$ het aantal velletjes toiletpapier dat nog
op de rol zit.
Een volle rol heeft een buitendiameter van 12,0 cm. Een velletje toiletpapier is
13,6 cm lang.
4p 16 Bereken hoeveel meter papier er op een volle rol zit.
foto 2
figuur 2
[FIGUUR: Een foto van een pak toiletpapier met vier rollen. Naast de foto een schematische tekening van twee cirkels die elkaar raken, omgeven door een rechthoek.]
Toiletpapier wordt vaak per vier rollen verpakt in plastic zoals te zien is op
foto 2. Ga ervan uit dat het plastic nergens overlapt. In figuur 2 is een
schematisch bovenaanzicht te zien met de plastic verpakking van vier rollen die
elk de afmetingen van het model in figuur 1 hebben.
4p 17 Bereken de oppervlakte van het plastic dat nodig is om de vier rollen op deze
manier te verpakken. Geef je antwoord in cm² nauwkeurig.
Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.
HA-1025-a-11-1-o
7
lees verder

### Pagina 8

Logaritmentafel

Wanneer de uitkomst van een logaritme geen geheel getal is, wordt de waarde
vaak berekend met behulp van de rekenmachine. 50 jaar geleden waren er
nauwelijks rekenmachines. De middelbare scholieren van toen gebruikten
tabellenboekjes om de waarde van een logaritme te bepalen. Zie de foto. In de
tabel staat een stukje uit zo'n tabellenboekje.

foto

Noordhoff's
logaritmentafel
in vier decimalen

rente tafels
in acht decimalen

NOORDHOFF N.V. - GRONINGEN

tabel
n
log n
1
0
2
0,3010
3
0,4771
4
0,6021
5
0,6990
6
0,7782
7
0,8451
8
0,9031
9
0,9542
10
1
100
2
1000
3

Met behulp van de tabel en de rekenregels voor logaritmen is het mogelijk om
logaritmische of exponentiële vergelijkingen op te lossen. Hierbij kan, zonder de
log-toets van de (grafische) rekenmachine te gebruiken, een benadering van het
antwoord gevonden worden.
Voorbeeld: $\log1\frac{1}{2} = \log 3 - \log 2 \approx 0,4771 - 0,3010 \approx 0,176$. 

3p 18 Bereken $\log 24$ op algebraïsche wijze met behulp van de tabel, dus zonder
gebruik te maken van de log-toets op je rekenmachine.

Gegeven is de vergelijking $7^x = 25$.
4p 19 Los deze vergelijking op algebraïsche wijze op met behulp van de tabel, dus
zonder gebruik te maken van de log-toets op je rekenmachine. Rond je
antwoord af op drie decimalen.

HA-1025-a-11-1-o*
8
einde