# Eindexamen Wiskunde B HAVO 2010 tijdvak 2

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2010/tijdvak-2

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Opgave 1

### Vraag 2 – Opgave 2

### Vraag 3 – Opgave 3

### Vraag 4 – Opgave 4

### Vraag 5 – Opgave 5

### Vraag 6 – Opgave 6

### Vraag 7 – Opgave 7

### Vraag 8 – Opgave 8

### Vraag 9 – Opgave 9

### Vraag 10 – Opgave 10

### Vraag 11 – Opgave 11

### Vraag 12 – Opgave 12

### Vraag 13 – Opgave 13

### Vraag 14 – Opgave 14

### Vraag 15 – Opgave 15

### Vraag 16 – Opgave 16

### Vraag 17 – Opgave 17

### Vraag 18 – Opgave 18

### Vraag 19 – Opgave 19

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen HAVO
2010
tijdvak 2
woensdag 23 juni
13.30 - 16.30 uur
wiskunde B

Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Dit examen bestaat uit 19 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 80 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.

Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord
meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt.

Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er
bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee redenen, dan
worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.

HA-1025-a-10-2-o

### Pagina 2

Verzet en snelheid
Een racefiets heeft een set voortandwielen en een set achtertandwielen. De
racefiets op de foto heeft drie voortandwielen, met 36, 46 en 52 tanden. De acht
achtertandwielen hebben 11, 14, 17, 20, 22, 24, 26 en 28 tanden.
Door te schakelen kan een wielrenner bepalen over welke tandwielen hij de
ketting wil laten lopen. Dit heet de keuze van een bepaald verzet.
foto
achtertandwiel
kettin
pedaal
voortandwiel
Een wielrenner kiest er bijvoorbeeld voor om de ketting over het voortandwiel
met 52 tanden en over het achtertandwiel met 20 tanden te laten lopen. Dit
betekent dat als hij de pedalen één keer rond laat gaan, het achterwiel
52
= 2,6 keer rondgaat. Bij een keuze van de combinatie 36 : 11 gaat het
20
achterwiel (afgerond) 3,3 keer rond. Hoe vaker het achterwiel ronddraait bij één
rondgang van de pedalen, hoe zwaarder het verzet is. De combinatie 36 : 11
levert dus een zwaarder verzet op dan de combinatie 52 : 20.
In de tabel op de uitwerkbijlage staat een overzicht van alle mogelijke
combinaties van een voor- en een achtertandwiel.
2p 1 Geef op de uitwerkbijlage met krisjes alle mogelijke combinaties aan van een
voor- en een achtertandwiel die een zwaarder verzet opleveren dan de
combinatie 52: 20.
In de eindsprint van een wielerwedstrijd haalt een wielrenner een snelheid van
68 km/uur. Hij gebruikt daarbij de combinatie 52 : 11. De diameter van zijn
achterwiel inclusief de opgepompte band is 67 cm.
5p 2 Bereken hoeveel keer per minuut de wielrenner de pedalen rond moet trappen
om deze snelheid te bereiken.
HA-1025-a-10-2-o
2
lees verder ►►►

### Pagina 3

Fietsen met een constante snelheid
is in de praktijk niet mogelijk omdat
de kracht die op de pedalen wordt
uitgeoefend, afhangt van de stand
van de crank. De grootte van de
hoek tussen de crank en de
verticale richting in radialen
noemen we $\alpha$. Zie figuur 1.
In figuur 2 is de snelheid $v$ van
een wielrenner in km/uur uitgezet
tegen $\alpha$.
figuur 1
0
$\\alpha$
crank
1 $\frac{1}{2}$ $\pi$
pedaal
$\\pi$
fietrichting
figuur 2
v
↑
50,00
49,95
49,90
49,85
0
1 $\frac{1}{2}$ $\pi$
$\\pi$
2 $\pi$
$\\alpha$
4p
3
De grafiek in figuur 2 is te beschrijven met een formule van de vorm
$v = p + q\sin(r(\alpha - s))$ .
Bepaal mogelijke waarden van $p$, $q$, $r$ en $s$.
HA-1025-a-10-2-o
3
lees verder

### Pagina 4

Hersengewicht
figuur 1
Niet alle dieren hebben even zware hersenen.
Zwaardere dieren hebben meestal zwaardere
hersenen.
mens
olifant
dolfijn
gorilla
hond
Het gemiddelde lichaamsgewicht van volwassen
dieren van een soort in kg, noemen we G. Het
gemiddelde hersengewicht van volwassen dieren
van die soort in kg, noemen we H. De grafiek in
figuur 2 geeft het verband weer tussen de
logaritme van G en de logaritme van H.
In figuur 2 zijn meetpunten te zien die horen bij
477 soorten zoogdieren. De meetpunten liggen
min of meer op een rechte lijn. Deze rechte lijn is
ook in figuur 2 getekend. Figuur 2 staat ook op
de uitwerkbijlage.
kat
muis
figuur 2
log H
-2
-3
-4
0
-1
1
2
3
4
→ log G
4p 4
Het gemiddelde lichaamsgewicht van volwassen katten is 5 kg.
Bepaal met behulp van de rechte lijn in de figuur op de uitwerkbijlage het
gemiddelde hersengewicht van volwassen katten.
Een formule die bij de rechte lijn hoort is log H = 0,767· log G − 2,097 .
3p 5
Er zijn diersoorten waarvan de volwassen dieren een gemiddeld lichaamsgewicht
hebben dat 1% is van hun gemiddelde lichaamsgewicht.
Bereken met behulp van de gegeven formule dit gemiddelde lichaamsgewicht.
5p 6
De bovenstaande formule is ook te schrijven als H = a·G
b
Bereken de waarden van a en b. Geef je antwoorden in drie decimalen
nauwkeurig.
HA-1025-a-10-2-0
4
lees verder >>>

### Pagina 5

Klimhal

In Enschede staat een klimhal. Zie de foto.
De klimhal beeft de vorm van een balk met een vierkant grondvlak waarvan aan
de bovenkant twee pyramides zijn afgehaald. Aan de onderkant, bij de ingang,
ontbreekt een prisma.
In figuur 1 is een model van de klimhal (zonder de ramen) in de balk getekend.
EN en FN zijn hulplijnen, met N het midden van GH.

foto
figuur 1
[FIGUUR: Schematische weergave van een gebouw met een balkvormige onderbouw en een piramidevormige opbouw. De afmetingen van de balk en piramide zijn aangegeven.]

De volgende gegevens zijn bekend:

— AM = JK = IL = BL = DE = 5,0 meter;
— AB = BC = CD = AD = 15,0 meter;
— CD = AD = 15,0 meter;
— AH = CG = 16,5 meter;
— AJ = AI = KM = LM = 4,0 meter.

6p
7
Tekn op schaal 1 : 250 het aanzicht in kijkrichting BD van het model van de
klimhal. Zet alle letters op de juiste plaats. Licht je werkwijze met berekeningen
toe.

5p
8
Bereken met behulp van de gegevens over het model de inhoud van de klimhal.
De klimvereniging adverteert met een klimoppervlakte van 800 m².
Aan de binnenkant van de klimhal is een groot deel van de verticale en schuine
vlakken ingericht als klimwand. Het vlak dat in het model de hoekpunten I, J, K
en L heeft, wordt buiten beschouwing gelaten. Verder is gegeven dat
EN = FN = 15,6 meter.

5p
9
Bereken met behulp van de gegevens over het model hoeveel procent van alle
schuine en verticale vlakken, behalve vlak IJKL, is ingericht als klimwand.

HA-1025-a-10-2-0
5
lees verder ►►►

### Pagina 6

Productfuncties

De functie f is gegeven door $f(x)=(x-1)\cdot \sqrt{x}$.

6p

10

De functie f heeft een minimum.
Bereken exact de waarde van x waarbij dit minimum wordt aangenomen.

De functie f behoort tot de familie van functies $f_a$ die gegeven zijn door

$f_a(x) = (x - 1) \cdot \sqrt{x - a}$.

4p

11

Bereken op algebraïsche wijze voor welke waarde van a het punt $(5, 6)$ op de
grafiek van $f_a$ ligt.

Golfplaat

Golfplaat is een bouwmateriaal dat onder andere
gebruikt wordt als dakbedekking voor schuren en
fietstenstallingen.
Als je tegen de zijkant van een golfplaat aankijkt,
zies je een aaneenschakeling van gelijke cirkelbogen. Zie
figuur 1. Een cirkelboog is een deel van een cirkel.

foto

figuur 1

In figuur 1 vormen de cirkelbogen AB en BC samen één golf. De cirkel waarvan
cirkelboog AB een deel is, heeft als middelpunt M.
Voor het zijaanzicht van de golfplaat die we in deze opgave bekijken, geldt het
volgende:
– Het zijaanzicht bestaat uit een aaneenschakeling van 5 golven.
– Elke cirkelboog van dit zijaanzicht is \frac{1}{3} deel van een cirkel.
– De cirkels hebben een straal van 3 cm.

De totale lengte van alle cirkelbogen van het zijaanzicht van de golfplaat is
ongeveer 62,8 cm.

3p

12

Toon dit met een berekening aan.

HA-1025-a-10-2-o
6
lees verder

### Pagina 7

Bij de productie van een golfplaat wordt een vlakke plaat zodanig geperst dat er
een golfprofiel ontstaat. De lengte van de golfplaat die zo ontstaat, is gelijk aan
de lengte van de oorspronkelijke vlakke plaat. Het materiaal rekt dus uit als de
golven in de plaat geperst worden. Zie figuur 2.
figuur 2
A
K
Als men de totale lengte van de 10 cirkelbogen (62,8 cm) vergelijkt met de
lengte AK van de oorspronkelijke vlakke plaat, dan kan men uitrekenen hoeveel
het materiaal is uitgerekt.
5p 13 Bereken hoeveel procent het materiaal is uitgerekt.
De golfplaat wordt op een balk bevestigd. Zie figuur 3. In deze figuur is de balk
grijs gemaakt. De afmetingen van de dwarsdoorsnede van de balk zijn 4 cm bij
4 cm.
figuur 3
T
A
B
De schroeven worden bij T verticaal door de golfplaat in de balk geschroefd.
T is het midden van cirkelboog AB. De schroeven mogen niet aan de
onderkant van de balk uitsteken.
5p 14 Bereken in mm nauwkeurig de maximale lengte van de schroeven die gebruikt
mogen worden.
HA-1025-a-10-2-o
7
lees verder

### Pagina 8

Helling
De functie f is gegeven door
$f(x)=\frac{1}{x^{3}-2 x^{2}+1}$.
4p
15
Bereken met behulp van differentiëren de helling van de grafiek van f in het
punt (2, 1).
Water en zwaartekracht
In deze opgave gaan we ervan uit dat de
hoeveelheid water die per tijdseenheid uit een kraan
stroomt constant is en dat het water uit de kraan
recht naar beneden stroomt. Zie de foto.
We kunnen de uitstroomsnelheid v₁ van het water
niet uit de kraan uitrekenen met behulp
van de formule:
$v_{1}=\frac{W}{A_{1}}$
Hierin is $v_{1}$ de uitstroomsnelheid in cm/s, W is de
hoeveelheid water die per tijdseenheid uit de kraan
stroomt in cm³/s en A, is de oppervlakte van de
uitstroomopening van de kraan in cm².
Het duurt precies 2 minuten voordat een emmer met een inhoud van 10 liter
(= 10 000 cm³) volledig met water uit de kraan is gevuld. De cirkelvormige
uitstroomopening van de kraan heeft een diameter van 1,6 cm.
3p
16
Bereken de uitstroomsnelheid. Rond je antwoord af op een geheel aantal cm/s.
Het water onder in een waterstraal heeft een hogere snelheid dan het water dat
net uit de kraanopening stroomt. Dit komt door de werking van de
zwaartekracht.
Voor de stroomsnelheid van het water in een waterstraal geldt de volgende
formule:
$v_{2}=\sqrt{v_{1}^{2}+19,62 \cdot l}$
Hierin is v, weer de uitstroomsnelheid in cm/s en v₂ is de stroomsnelheid van
het water in cm/s op een afstand / in cm van de kraanopening.
We zijn geïnteresseerd in de stroomsnelheid van het water op een afstand van
40 cm van de kraanopening.
Er is een bepaalde uitstroomsnelheid waarbij de stroomsnelheid op deze afstand
twee maal zo groot is als de uitstroomsnelheid.
4p
17
Bereken bij welke uitstroomsnelheid dit het geval is.
HA-1025-a-10-2-o

### Pagina 9

Op elke hoogte in de waterstraal is de hoeveelheid water die per seconde
passeert gelijk. Er geldt dus:
(1)
$v_1 \cdot A_1 = v_2 \cdot A_2$
Hierin is $A_1$ de oppervlakte van de cirkelvormige uitstroomopening van de kraan
en $A_2$ is de oppervlakte van de cirkelvormige dwarsdoorsnede van de
waterstraal.
De straal van de kraanopening noemen we $r_1$ en de straal van de
dwarsdoorsnede van de waterstraal noemen we $r_2$. Voor de oppervlakten van
de kraanopening en de dwarsdoorsnede van de waterstraal geldt dan
(2)
$A_1 = \pi \cdot r_1^2$ en
(3)
$A_2 = \pi \cdot r_2^2$.
Ook geldt nog steeds de formule:
(4)
$v_2 = \sqrt{v_1^2 + 19,62 \cdot l}$
Uit de bovenstaande vier formules kan voor de straal $r_2$ de volgende formule
worden afgeleid:
$$ r_2^2 = \frac{v_1}{\sqrt{v_1^2 + 19,62 \cdot l}} $$ 
4p 18 Leid deze formule af.
Als je de foto goed bekijkt, zie je dat de waterstraal naar beneden toe steeds
smaller wordt. Dat blijkt ook uit de formules hierboven (hoe groter $l$, hoe
kleiner $r_2$).
Iemand wil een flesje met water vullen. De diameter van de cirkelvormige
opening van het flesje is 1,6 cm. Hij vult het flesje onder een kraan waarvan de
uitstroomopening een diameter van 2,0 cm heeft. Het water stroomt met een
snelheid van 18 cm/s uit de kraan. Om geen water te verspillen, zal hij het flesje
niet direct onder de opening van de kraan houden, maar een stuk lager.
3p 19 Bereken de minimale afstand tussen de opening van de kraan en de opening
van het flesje waarbij geen water verspild wordt. Rond je antwoord af op een
geheel aantal centimeters.
HA-1025-a-10-2-o*
einde