# Eindexamen Wiskunde B HAVO 2010 tijdvak 1

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2010/tijdvak-1

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Opgave 1

### Vraag 2 – Opgave 2

### Vraag 3 – Opgave 3

### Vraag 4 – Opgave 4

### Vraag 5 – Opgave 5

### Vraag 6 – Opgave 6

### Vraag 7 – Opgave 7

### Vraag 8 – Opgave 8

### Vraag 9 – Opgave 9

### Vraag 10 – Opgave 10

### Vraag 11 – Opgave 11

### Vraag 12 – Opgave 12

### Vraag 13 – Opgave 13

### Vraag 14 – Opgave 14

### Vraag 15 – Opgave 15

### Vraag 16 – Opgave 16

### Vraag 17 – Opgave 17

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen HAVO
2010
tijdvak 1
dinsdag 18 mei
13.30 - 16.30 uur
wiskunde B
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Dit examen bestaat uit 17 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 77 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord
meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er
bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee redenen, dan
worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
HA-1025-a-10-1-o

### Pagina 2

Diersoorten

foto

Uit onderzoek is gebleken dat er een verband bestaat tussen de lengte van diersoorten en het aantal diersoorten met die lengte. Met de lengte van een diersoort wordt bedoeld de gemiddelde lengte van volwassen dieren van die soort. Het blijkt dat er weinig lange diersoorten zijn en veel korte diersoorten. Uit gegevens die de onderzoeker Dobson verzamelde, blijkt dat bij benadering de volgende formule geldt:

$S = \frac{700}{L^2}$

Hierin is $L$ de lengte in meter en $S$ het aantal diersoorten met die lengte. Deze formule geldt voor $0,01 \leq L \leq 10$.

Het aantal diersoorten van 10 cm lang is veel groter dan het aantal diersoorten van 50 cm lang.

3p 1 Bereken met behulp van de bovenstaande formule hoeveel maal zo groot.

figuur 1

De grafiek van $S$ als functie van $L$ is op het scherm van een grafische rekenmachine lastig in beeld te brengen vanwege de enorme verschillen in $S$-waarden.

Het is wél mogelijk om de grafiek van $\log S$ als functie van $\log L$ goed in beeld te krijgen. Als een assenstelsel wordt gebruikt waarin $\log S$ is uitgezet tegen $\log L$, wordt de grafiek een rechte lijn. In figuur 1 is een dergelijk assenstelsel getekend. Deze figuur staat vergroot op de uitwerkbijlage.

Met behulp van de bovenstaande formule kan voor een aantal waarden van $L$ de bijbehorende waarde van $S$ worden berekend. Daarna kun nen $\log L$ en $\log S$ worden berekend en kan het bijbehorende punt in het assenstelsel worden getekend.

5p 2 Teken in de figuur op de uitwerkbijlage de grafiek van $\log S$ als functie van $\log L$.
Geef een toelichting.

HA-1025-a-10-1-o

2

Beschikbaar gesteld door Stichting Studiegbegeleiding Leiden (SSL).


### Pagina 3

De formule $S = \frac{700}{L^2}$ is met behulp van algebra om te werken tot de vorm
$\\log S = p + q \cdot \log L$.
Opgave 3
4p
Bereken op deze manier de waarden van $p$ en $q$.
Voor diersoorten met een lengte tussen 10 en 50 cm blijkt er ook een verband te
bestaan tussen het gemiddelde gewicht van de volwassen dieren van een
diersoort en het aantal diersoorten met dit gemiddelde gewicht. Bij benadering
geldt:
$D = \frac{8500}{G^{\frac{2}{3}}}$
Hierin is $G$ het gemiddelde gewicht in kilogram en $D$ is het aantal diersoorten
met dit gemiddelde gewicht.
Volwassen huiscavia's zijn gemiddeld 28 cm lang en hebben een gemiddeld
gewicht van 1,1 kg. Iemand beweert dat er uit de gegeven formules volgt dat er
7000 diersoorten zouden kunnen zijn met dezelfde gemiddelde lengte en met
hetzelfde gemiddelde gewicht als de huiscavia.
4
3p
Heeft deze persoon gelijk? Licht je antwoord met berekeningen toe.
HA-1025-a-10-1-o
3
lees verder

### Pagina 4

Tetraëder van Bottrop
Een regelmatige tetraëder is een vierlak waarvan de vier grensvlakken de vorm
van een gelijkzijdige driehoek hebben. In figuur 1 is een bovenaanzicht van de
regelmatige tetraëder ABC·T te zien. Hierin is ABC het grondvlak en T de top.
Er geldt AB = 60 .
figuur 1
[FIGUUR: Bovenaanzicht van een regelmatige tetraëder ABC·T, waarbij ABC het grondvlak is en T de top. De zijde AB is gelabeld met 60. De punten zijn gelabeld A, B, C en T.]
De lengte van CT in het bovenaanzicht van figuur 1 is ongeveer 35.
4p 5 Berken exact de lengte van CT in het bovenaanzicht van figuur 1.
Bij de Duitse stad Bottrop staat een stalen uitkijktoren die is ontworpen door de
architect Wolfgang Christ. Zie de foto.
foto
[FIGUUR: Een zwart-witfoto van een stalen uitkijktoren, bestaande uit driehoeksconstructies.]
De hoofdconstructie bestaat uit zes even lange buizen van 60 meter en heeft de
vorm van een regelmatige tetraëder. Het bovenaanzicht van de tetraëder van
Bottrop waarin alleen de hoofdconstructie wordt getekend, heeft dezelfde vorm
als het bovenaanzicht in figuur 1.
De vier betonnen pijlers waar de tetraëder van Bottrop op staat, hebben een
hoogte van 9 meter.
4p 6 Bereken de totale hoogte van de uitkijktoren. Rond je antwoord af op een geheel
aantal meters.
HA-1025-a-10-1-o
4
lees verder ►►►

### Pagina 5

Bij de bouw van de uitkijktoren werden in elk van de vier grensvlakken van de
grote tetraëder de middens van de zijden met elkaar verbonden. Hiervoor zijn in
totaal 12 buizen van 30 meter gebruikt. Zie figuur 2.
figuur 2
[FIGUUR: Een driedimensionale tekening van een tetraëder met de middens van de
zijden verbonden, wat resulteert in kleinere driehoeken en een centraal
figuur.]
In figuur 3 is van dit gedeelte van de tetraëder een bovenaanzicht getekend. Op
de uitwerkbijlage is deze figuur vergroot weergegeven.
figuur 3
[FIGUUR: Een tweedimensionale tekening van een deel van de tetraëder gezien van
boven, met de middens van de zijden gemarkeerd met letters.]
De hoofdconstructie van de uitkijktoren is tetraëder ABC.T. In figuur 2 zijn nog
vier kleinere tetraëders te onderscheiden: UVW.T, CED.U, BDF.W en AFE.V.
Op de foto is te zien dat bij drie van deze kleinere tetraëders de middens van de
zijden in de grensvlakken met elkaar verbonden zijn. Daarvoor zijn in elk van
deze drie tetraëders 12 buizen van 15 meter gebruikt.
4p 7 Teken in het bovenaanzicht op de uitwerkbijlage de 12 buizen van 15 meter in
tetraëder CED.U.
HA-1025-a-10-1-0
5
lees verder ►►►

### Pagina 6

Raken
Op het domein [-1, 4] zijn de functies f en g gegeven door
f(x) = (x^3 - 2x)·sin(x-2)+5 en g(x) = 4x+10sin(\frac{1}{4}\pi x).
In figuur 1 zijn de grafieken van f en g getekend.
figuur 1
y
O
P
f
g
x
Verder zijn gegeven punt P op de grafiek van f en punt Q op de grafiek van g.
De x-coördinaat van P is gelijk aan de x-coördinaat van Q. Bovendien is
gegeven dat de hellingen in punt P en punt Q gelijk zijn.
De grafiek van f wordt over een afstand a omhoog geschoven, waarbij de
waarde van a zo gekozen wordt dat het verschoven punt P samenvalt met
punt Q. Hierdoor zullen de verschoven grafiek van f en de grafiek van g elkaar
raken in Q.
7p 8 Bereken de waarde van a met behulp van differentiëren.

### Pagina 7

Archimedes Wave Swing
De Archimedes Wave Swing (afgekort AWS) is ontwikkeld om de golfbeweging
van de zee te gebruiken om energie op te wekken.
Elke AWS bestaat uit twee halfopen delen. Het onderste deel is verankerd aan
de zeebodem. Het bovenste deel, ook wel drijver genoemd, valt over het
onderste heen. In figuur 1 zie je twee AWS'en onder een vlakke zeespiegel. In
figuur 2 zie je dat de golven er voor zorgen dat de drijvers op en neer bewegen.
Deze beweging van de drijvers wordt gebruikt om energie op te wekken.
figuur 1
figuur 2
De minimale hoogte van de bovenkant van de drijver ten opzichte van de
zeebodem is 30,0 meter. De maximale hoogte is 37,0 meter. De drijver maakt
onder invloed van de golven een periodieke beweging met dezelfde periode als
de periode van de golfbeweging.
We gaan voor de volgende vraag uit van een situatie waarbij de periode van de
golfbeweging 12 seconden is en de hoogte van de bovenkant van de drijver van
de AWS varieert van 30,0 meter tot en met 37,0 meter. De hoogte van de
bovenkant van de drijver kan dan worden beschreven door een formule van de
vorm $h=a+b\sin(ct)$. Hierin is $h$ de hoogte ten opzichte van de zeebodem in
meter en $t$ de tijd in seconde.
3p 9 Bereken de waarden van $a$, $b$ en $c$ in deze formule. Licht je antwoord toe.
HA-1025-a-10-1-o
7
lees verder

### Pagina 8

Van een bepaalde AWS bevindt de bovenkant van de drijver zich gemiddeld
4,0 meter onder de zeespiegel. De zeespiegel is de gemiddelde waterhoogte.
Zie figuur 3. De hoogte $d$ van de bovenkant van deze drijver ten opzichte van de
zeespiegel wordt nu beschreven door: $d = -4,0 + 3,5 \sin(0,5t)$ , met $d$ de hoogte
in meter en $t$ de tijd in seconde.
De waterhoogte ten opzichte van de zeespiegel hangt af van de amplitude van
de golven. Hiervoor geldt de formule $w = -A \cdot \cos(0,5t)$. Hierin is $w$ de
waterhoogte in meter, $A$ de amplitude van de golven ($A \geq 0,5$) in meter en $t$ de
tijd in seconde. In figuur 3 zijn grafieken van $d$ en $w$ getekend voor een bepaalde
waarde van $A$.
figuur 3
hoogte
1
W
0
-4
tijd
gemiddelde hoogte
van de bovenkant
van de drijver
seespiegel
In de situatie van figuur 3 blijft de bovenkant van de drijver altijd onder water.
Maar als de amplitude van de golfbeweging verder toeneemt, kan de drijver
soms boven het water uitsteken.
5p 10 Onderzoek met de grafische rekenmachine vanaf welke amplitude van de
golfbeweging de drijver af en toe boven water verschijnt. Rond je antwoord in
meter af op één decimaal.
HA-1025-a-10-1-o
8
lees verder

### Pagina 9

De AWS zet de energie van de golfbeweging om in elektrische energie. De
hoeveelheid energie die per seconde wordt omgezet, heet het opgewekt
vermogen. Bij vier verschillende perioden T (in seconde) zijn het opgewekte
vermogen P (in kilowatt) en de amplitude van de golven A (in meter) gemeten.
De resultaten zijn te zien in figuur 4. Deze figuur is vergroot op de uitwerkbijlage
opgenomen.
figuur 4
6000
T=16
P
5000
4000
T=13
3000
T=10
2000
1000
0
0
1
2
3
4
5
6
→A
lemand wil onderzoeken of er bij een periode van 16 seconden een kwadratisch
verband bestaat tussen de amplitude en het vermogen. Hij stelt daarom de
volgende formule op: $P = k \cdot A^2$. Vervolgens leest hij het punt (5, 3850) af.
Hiermee kan hij de waarde van k berekenen. Ten slotte kan met de formule het
vermogen bij $A = 6$ worden berekend.
5p 11 Bereken het vermogen bij $A = 6$ op de hierboven beschreven manier, teken het
bijbehorende punt in de grafiek op de uitwerkbijlage en beargumenteer of het
zinvol is dat de persoon op basis van dit punt zijn onderzoek voortzet of dat hij
moet concluderen dat er geen kwadratisch verband bestaat tussen de amplitude
en het vermogen.
lemand vermoedt dat bij een amplitude van 6 meter er een eenvoudig verband
bestaat tussen de periode T en het vermogen P. Om dit verband zichtbaar te
maken leest hij uit de vergroting van figuur 4 op de uitwerkbijlage bij $A = 6$ vier
paren waarden van T en P af. Met behulp hiervan tekent hij vier punten in een
assenstelsel waarin de periode is uitgezet tegen het vermogen. Dit assenstelsel
staat op de uitwerkbijlage.
5p 12 Teken op de hierboven beschreven manier vier punten in het assenstelsel op de
uitwerkbijlage en bepaal daarmee of er waarschijnlijk sprake is van een
exponentieel, een kwadratisch, een lineair, een omgekeerd evenredig of een
rechtevenredig verband. Verbind de punten. Welke van de vijf genoemde
verbanden maak je hiermee zichtbaar?
HA-1025-a-10-1-o
9
lees verder

### Pagina 10

```json
{
  "page_type": "opgaven",
  "exam_info": {
    "subject": "wiskunde",
    "year": null,
    "tijdvak": null
  },
  "figures": [
    "Foto van een vierkante bloempot.",
    "Schematische tekening van een afgeknotte piramide met labels voor de hoekpunten A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L.",
    "Schematische tekening van een verticale doorsnede met labels I, J, K, L en afmetingen 20,0 en 30,0."
  ],
  "keywords": "Snijpunt, functies, exponentiële functies, grafieken, bloempot, afgeknotte piramide, meetkunde, inhoud, volume"
}
```

### Pagina 11

In figuur 3 is een verticale doorsnede van de
bloem pot weergegeven. De dikte van de wanden
en de bodem is nu zichtbaar.
Verder is gegeven dat
– de binnenwanden evenwijdig zijn aan de
buitenwanden
– de binnenkant $MPON$ van de bloempot een
exacte verkleining is van de buitenkant $ILKJ$
– $IJ = 25,0$ cm
– $MN = 22,0$ cm
– $PQ = 17,6$ cm
– $LK = 20,0$ cm
figuur 3
[FIGUUR: Schematische weergave van een bloempot in doorsnede met de hoekpunten gelabeld.]
Iemand wil de bloempot vullen met potgrond. Voordat hij de potgrond gaat
kopen, wil hij onderzoeken of een zak met 10 liter potgrond genoeg is om de
bloem pot helemaal te vullen. Om dit te onderzoeken, moet de inhoud van de
bloem pot berekend worden. Daarbij kan gebruik gemaakt worden van het feit
dat de binnenkant van de bloempot een exacte verkleining is van de buitenkant.
Onderzoek of je met 10 liter potgrond de bloempot helemaal kunt vullen.
5p
15
Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.
HA-1025-a-10-1-o
11
lees verder ►►►

### Pagina 12

Wortelfunctie
De functie $f$ is gegeven door $f(x)=\sqrt{x^2-6x}$ voor $x \le 0$ en voor $x \ge 6$.
4p 16 Bereken met behulp van differentiëren de exacte waarde van de helling van de
grafiek van $f$ in het punt met $x$-coördinaat 7.
De functie $g$ is gegeven door $g(x)=x-2$. In figuur 1 zijn de grafieken van $f$ en
g getekend.
figuur 1

5p 17 Toon op algebraïsche wijze aan dat de grafieken van $f$ en $g$ geen snijpunt
hebben.
HA-1025-a-10-1-o*
12
einde