# Eindexamen Wiskunde B HAVO 2009 tijdvak 2

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2009/tijdvak-2

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Opgave 1

### Vraag 2 – Opgave 2

### Vraag 3 – Opgave 3

### Vraag 4 – Opgave 4

### Vraag 5 – Opgave 5

### Vraag 6 – Opgave 6

### Vraag 7 – Opgave 7

### Vraag 8 – Opgave 8

### Vraag 9 – Opgave 9

### Vraag 10 – Opgave 10

### Vraag 11 – Opgave 11

### Vraag 12 – Opgave 12

### Vraag 13 – Opgave 13

### Vraag 14 – Opgave 14

### Vraag 15 – Opgave 15

### Vraag 16 – Opgave 16

### Vraag 17 – Opgave 17

### Vraag 18 – Opgave 18

### Vraag 19 – Opgave 19

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen HAVO
2009
tijdvak 2
woensdag 24 juni
13.30 - 16.30 uur
viskunde B
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Dit examen bestaat uit 19 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 81 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord
meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er
bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee redenen, dan
worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
947-1025-a-HA-2-0

### Pagina 2

Kaas
Op foto 1 zie je drie stukken kaas. Het zijn delen van een hele, ronde kaas. Het
grootste stuk is precies de helft van een hele kaas. Deze halve kaas heeft een
vlakke zijkant. De vorm van de vlakke zijkant bestaat bij benadering uit een
rechthoek van 30 cm bij 10 cm en twee halve cirkels met een diameter van
10 cm. Zie figuur 1.
foto 1
figuur 1
3p
1
Bereken de oppervlakte van de vlakke zijkant. Rond je antwoord af op een
geheel aantal cm².
Als je verticaal door het midden van de kaas snijdt, kun je stukken kaas maken
zoals die ook op foto 1 te zien zijn. Bij een van de stukken kaas op foto 1 maken
de snijvlakken een hoek van 40° met elkaar.
Zo'n stuk wordt met een snijvlak op de bodem van een balkvormig doosje
gelegd. De binnenmaten van het grondvlak van het doosje zijn 20 cm bij 10 cm.
Zie figuur 2.
figuur 2
4p
2
Bereken hoe hoog de binnenkant van dit doosje minimaal moet zijn om dit stuk
kaas er in te laten passen. Geef je antwoord in een geheel aantal centimeters.
947-1025-a-HA-2-o
2
lees verder

### Pagina 3

Het volume van hele kazen die de vorm hebben van de kaas op foto 1, kan
worden berekend met behulp van de volgende formule:
$V=\frac{1}{6}\pi \cdot h^3 + \frac{1}{8}\pi \cdot d^2 \cdot h + \frac{1}{4}\pi \cdot d^2 \cdot h$
Hierin is $V$ het volume in cm³, $h$ is de hoogte van de kaas in cm en $d$ is de
zogeheten binnendiameter van de kaas in cm. Zie figuur 3.
figuur 3
[FIGUUR: Schematische tekening van een kaasvorm met afmetingen 'd' en 'h'. De vorm bestaat uit een rechthoek met aan de uiteinden twee halve cirkels.]
lemand wil kazen maken met deze vorm. Het volume van een hele kaas moet
5000 cm³ zijn en de hoogte moet 8 cm zijn. De kaas wordt gerijpt in een kamer
van 3,50 m lang. Over de hele lengte van de kamer zijn planken tegen de muur
aan gemaakt waarop de kazen naast elkaar kunnen liggen. Zie foto 2.
foto 2
[FIGUUR: Twee rijen kazen die naast elkaar liggen op planken.]
6p 3 Bereken hoeveel van deze kazen er maximaal naast elkaar op een plank kunnen
liggen als ze worden neergelegd zoals op foto 2.
Als de binnendiameter 0 wordt, ontstaat een bolvormige kaas. De inhoud van
deze bolvormige kaas kun je ook uitrekenen met bovenstaande formule van $V$.
4p 4 Vul $d=0$ in de formule van $V$ in en werk de formule die hierbij ontstaat om tot
de bekende formule voor de inhoud van een bol met straal $r$.
947-1025-a-HA-2-o 3 lees verder ► ► ►

### Pagina 4

Atomium
Een bekend gebouw in Brussel is
het Atomium. Zie de foto.
De constructie van het Atomium bestaat
uit 9 bollen die door buizen verbonden
zijn. Van deze 9 bollen liggen er 8 op de
hoekpunten van een kubus. De negende
bol ligt in het midden van deze kubus op
het snijpunt van de lichaamsdiagonalen.
De kubus steunt op een van de
hoekpunten zo dat het middelpunt van
de kubus recht boven het steunpunt ligt.
De bollen van het Atomium hebben een
diameter van 18 meter.
In figuur 1 is een model van het atomium
te zien. Als de bollen van het Atomium als punten worden beschouwd en de
buizen als lijnen, dan ziet het Atomium er schematisch uit zoals in figuur 2.
figuur 1
foto
figuur 2
F
D
E
H
A
C
G
B
Van 2003 tot 2005 heeft men gewerkt aan de renovatie van het Atomium. Hierbij
is de bekleding van aluminium platen aan de buitenkant van de bollen
vervangen door platen van roestvrij staal.
Er zijn plaatsen waar geen roestvrij staal aangebracht hoefde te worden.
Dat zijn:
– de plaatsen waar een buis aan een bol vastzit. De oppervlakte van één zo'n
aanhechting is 7 m².
– de ramen, de trapaanhechtingen en het steunpunt van de onderste bol, met
een gezamenlijke oppervlakte van 750 m².
4p
5
Bereken de totale oppervlakte van de roestvrijstalen bekleding van de bollen.
947-1025-a-HA-2-o
4
lees verder

### Pagina 5

Door de stand van de kubus liggen de punten F, H en C van het schematische
model van figuur 2 op dezelfde hoogte. Ook de punten B, E en D liggen even
hoog.
Op de uitwerkbijlage is, op schaal, een begin gemaakt met het bovenaanzicht
van het model in figuur 2.
Maak dit bovenaanzicht verder af. Zet de namen van alle punten erbij.
4p
6
In enkele bollen van het Atomium zijn twee verdiepingen aangebracht. De
oppervlakten van de vloeren van de beide verdiepingen zijn even groot. Zie
figuur 3. De straal van de bol is 9 meter.
figuur 3
[FIGUUR: Een doorsnede van een bol met twee grijze elliptische vlakken, die de verdiepingen voorstellen. Er staat een pijl met "Afstand" die het verticale verschil tussen de twee vlakken aangeeft.]
Afstand
De oppervlakte van de vloer van een verdieping is 240 m².
Bereken de afstand tussen de twee verdiepingen.
5p
7
Product van twee sinusoïden
De functie f is gegeven door f(x) = 2 sin x · (1 + sin x) met domein [0, 1 1/3 π].
De afgeleide van deze functie is te schrijven als f'(x) = 2 cos x · (1 + 2 sin x)
4p
8
Toon dit op algebraïsche wijze aan.
Op het interval [0, 1 1/3 π] heeft de functie f één minimum en één maximum.
6p
9
Bereken exact dit minimum en dit maximum.
947-1025-a-HA-2-o
5
lees verder

### Pagina 6

```json
{
  "page_type": "opgaven",
  "exam_info": {
    "subject": "Niet zichtbaar",
    "year": "Niet zichtbaar",
    "tijdvak": "Niet zichtbaar"
  },
  "figures": [
    "Afbeelding van een sluiw.p.",
    "Grafiek met op de y-as E (aantal larven met eitjes) en op de x-as L (aantal larven). De grafiek toont een stippellijn met punten en een curve."
  ],
  "keywords": "sluiw.p, larven, eitjes, experiment, formule, grafiek, bestrijding, grens.waarde"
}
```

### Pagina 7

Gebroken functie met rechthoek
De functie $f$ is gegeven door $f(x)=\frac{1}{x}+1$
met $x>0$.
Op de grafiek van $f$ wordt een punt $B$ gekozen.
Daarna worden punt $A$ op de $x$-as en punt $C$ op
de $y$-as zodanig gekozen dat vierhoek $OABC$
een rechthoek is. Zie figuur 1.
Van een punt $B$ is gegeven dat de
$y$-coördinaat $\frac{4}{3}$ is.
3p 12 Bereken exact de omtrek van rechthoek $OABC$
in deze situatie.
Voor elk punt $B(b, \frac{1}{b}+1)$ op de grafiek van $f$ is
de oppervlakte van rechthoek $OABC$ groter
dan 1.
3p 13 Toon dit op algebraïsche wijze aan.
De raaklijn aan de grafiek van $f$ in een punt $B$
heeft een richtingscoëfficiënt van $-\frac{1}{2}$.
4p 14 Zie figuur 2.
Bereken exact de $x$-coördinaat van punt $B$ in
deze situatie.
figuur 1
y
C
B
O
A
X
figuur 2
y
B
O
X
947-1025-a-HA-2-o
7
lees verder

### Pagina 8

Bumpersticker
foto
figuur 1
In het verkeer zie je regelmatig auto's met bumperstickers. Een veel
voorkomende sticker is er een in de vorm van een visje zoals te zien is op de
foto. Dit visje is opgebouwd uit twee even grote cirkelbogen die in een
gemeenschappelijk punt beginnen en elkaar in een tweede punt snijden. Zie
figuur 1. Ook is in deze figuur te zien dat het visje precies wordt omsloten door
een rechthoek.
In deze opgave wordt nagegaan hoe een visje getekend kan worden dat in een
rechthoek past met een breedte van 10 cm en een hoogte van 4 cm. Om het
visje te kunnen tekenen, is het nodig te weten wat de straal is van de
bijbehorende cirkelbogen. Ook moet de positie van de middelpunten van de
cirkelbogen ten opzichte van de rechthoek bekend zijn.
In figuur 2 zijn de rechthoek en een
deel van de onderste cirkel getekend.
Er geldt het volgende:
- AB = CD = 10 cm
- AD = BC = 4 cm
- E is het midden van AD
- G is het midden van FH
- DH = EG = AF = p cm
- De straal van de cirkelboog is r cm.
figuur 2
D
p
C
10-p
E
G
2
2
F
B
A
r
M
947-1025-a-HA-2-0
8
lees verder ► ► ►

### Pagina 9

Met behulp van de stelling van Pythagoras in driehoek MGE kan een
vergelijking worden opgesteld. Deze vergelijking kan vervolgens worden
omgewerkt tot
I r = p2 + 1
6p
15 Stel de gevraagde vergelijking op en werk deze om tot r = p2 + 1.
Op soortgelijke manier kan met behulp van de stelling van Pythagoras in
driehoek MBF een vergelijking worden opgesteld. Deze vergelijking kan
vervolgens worden omgewerkt tot
II p2-20p+116-8r = 0
De in vergelijking I gegeven uitdrukking voor r kan in vergelijking II worden
gesubstitueerd. Hierdoor ontstaat een vergelijking die kan worden omgewerkt
tot
III p2+20p-108 = 0
3p
16
Voer de hierboven beschreven substitutie uit en werk de daarbij verkregen
vergelijking om tot p2 + 20p - 108 = 0.
Op de uitwerkbijlage is een rechthoek van 10 cm bij 4 cm getekend. Om daarin
een visje te kunnen tekenen, heb je de waarden van p en r nodig. Deze kunnen
worden berekend door eerst vergelijking III op te lossen en daarna de gevonden
waarde van p in vergelijking I in te vullen.
6p
17 Bereken de waarden van p en r en teken daarmee een visje in de rechthoek op
de uitwerkbijlage. Geef duidelijk uitleg over je werkwijze.
Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.
947-1025-a-HA-2-o
9
lees verder

### Pagina 10

Wortelfunctie en raaklijn
De functie $f$ is gegeven door $f(x) = 4 \sqrt{9+3x}$. Lijn $m$ is de raaklijn aan de grafiek
van $f$ in het punt $S(9, 24)$. Zie figuur 1.
figuur 1
[FIGUUR: Een grafiek met de y-as en x-as. De curve van de functie f begint in het negatieve x-gebied en stijgt. Een rechte lijn, lijn m, raakt de curve van f in punt S. Een andere rechte lijn, de y-as, snijdt de curve f in punt A en de lijn m in punt B. De oorsprong is aangeduid met O.]
De richtingscoëfficiënt van lijn $m$ is 1.
4p 18 Toon dit door middel van differentiëren aan.
De grafiek van $f$ snijdt de y-as in punt $A$. De lijn $m$ snijdt de y-as in punt $B$. Zie
figuur 1.
5p 19 Bereken exact de oppervlakte van driehoek $ASB$.
947-1025-a-HA-2-o*
10
einde