# Eindexamen Wiskunde B HAVO 2009 tijdvak 1

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2009/tijdvak-1

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Opgave 1

### Vraag 2 – Opgave 2

### Vraag 3 – Opgave 3

### Vraag 4 – Opgave 4

### Vraag 5 – Opgave 5

### Vraag 6 – Opgave 6

### Vraag 7 – Opgave 7

### Vraag 8 – Opgave 8

### Vraag 9 – Opgave 9

### Vraag 10 – Opgave 10

### Vraag 11 – Opgave 11

### Vraag 12 – Opgave 12

### Vraag 13 – Opgave 13

### Vraag 14 – Opgave 14

### Vraag 15 – Opgave 15

### Vraag 16 – Opgave 16

### Vraag 17 – Opgave 17

### Vraag 18 – Opgave 18

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen HAVO
2009
tijdvak 1
dinsdag 19 mei
13.30 - 16.30 uur
wiskunde B
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Dit examen bestaat uit 18 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 80 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord
meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er
bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee redenen, dan
worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
923-1025-a-HA-1-o

### Pagina 2

Vetpercentage
Al heel lang onderzoekt men het verband tussen enerzijds het gewicht en de
lengte van volwassen mensen en anderzijds hun gezondheid. Hierbij gebruikt
men vaak de Body Mass Index ($BMI$). De $BMI$ wordt als volgt berekend:
$BMI = \frac{G}{L^2}$ met $1,50 \leq L \leq 2,20$
Hierin is $G$ het gewicht in kilogram en $L$ de lengte in meter.
In tabel 1 zie je hoe bij volwassenen een diagnose wordt gesteld op basis van
de $BMI$.
tabel 1
BMI
diagnose
minder dan 18,5
ondergewicht
vanaf 18,5 tot 25,0
normaal gewicht
vanaf 25,0 tot 30,0
matig overgewicht
vanaf 30,0
ernstig overgewicht
Iemand heeft een lengte van 1,90 m en een gewicht van 100 kg. Zijn $BMI$ is
27,7 en daarom wordt de diagnose 'matig overgewicht' gesteld.
3p
1
Bereken hoeveel het gewicht van deze persoon minimaal moet dalen om
volgens de $BMI$ een 'normaal gewicht' te krijgen. Rond je antwoord af op hele
kilogrammen.
Voedingsdeskundigen zijn geïnteresseerd in het ideale gewicht van een
persoon. Dit ideale gewicht kan op verschillende manieren worden berekend.
Als met de $BMI$-formule wordt gewerkt, gaat men ervan uit dat een $BMI$ van 22,0
overeenkomt met het ideale gewicht.
Een andere manier om het ideale gewicht te bepalen, is door gebruik te maken
van de volgende vuistregel:
Het ideale gewicht is 100 keer de lengte in meter verminderd met 110.
Bij een bepaalde lengte is het ideale gewicht volgens beide manieren van
berekenen gelijk.
6p
2
Bereken op algebraïsche wijze bij welke lengte dit het geval is. Rond daarna je
antwoord af op hele centimeters.
Een hoog vetpercentage levert meer gezondheidsrisico's op dan een laag
vetpercentage. Het vetpercentage is het gewicht van het vetweefsel gedeeld
door het totale lichaamsgewicht, maal 100. Om het vetpercentage te bepalen
gebruikt men de zogenaamde formule van Siri, die geldt voor voorwaarden
waaraan voor de meeste mensen voldaan is. Deze formule luidt als volgt:
$VP = (\frac{1}{d} \cdot 4,95 - 4,50) \cdot 100$ met $0,90 \leq d \leq 1,10$
Hierin is $VP$ het vetpercentage en $d$ de dichtheid van het lichaam in g/cm³.
923-1025-a-HA-1-o
2
lees verder

### Pagina 3

```json
{
  "page_type": "opgaven",
  "exam_info": {
    "subject": null,
    "year": null,
    "tijdvak": null
  },
  "figures": [
    "Grafiek met op de y-as 'vet %' (lopend van 0 tot 50) en op de x-as 'd (g/cm³)' (lopend van 1,00 tot 1,10). Twee lijnen zijn getekend, een doorgetrokken en een gestippelde, beide dalend over het weergegeven domein."
  ],
  "keywords": "vetpercentage, dichtheid, formule, grafiek, lineaire benadering, algebraïsch, onderwatergewicht, weegschaal, weggenomen, water"
}
```

### Pagina 4

Wortelfunctie
De functie f is gegeven door $f(x)=\sqrt{4x-5}$. De lijn k heeft als vergelijking
$y = 2x+b$ .
Voor een bepaalde waarde van b raakt lijn k de grafiek van f. In figuur 1 zijn
deze lijn k en de grafiek van f te zien.
figuur 1
8p
6
Bereken op algebraïsche wijze deze waarde van b.
923-1025-a-HA-1-o
4
leest verder

### Pagina 5

```json
{
  "page_type": "opgaven",
  "exam_info": {
    "subject": "wiskunde",
    "year": null,
    "tijdvak": null
  },
  "figures": [
    "Een grafiek van een sinus-cosinusfunctie op de y-as en x-as. De grafiek begint links onder, gaat omhoog naar een piek, daalt door de oorsprong, gaat verder naar beneden naar een dal en stijgt weer naar rechts."
  ],
  "keywords": "sinus-cosinusfunctie, algebraïsche wijze, x-coördinaten, snijpunten, differentiëren, helling, sinusoïde, periode, vergelijking"
}
```

### Pagina 6

Bedankt voor je inzet!

Een uitzendbureau heeft voor haar werknemers een aantal cadeaus in een
fraaie doos verpakt. Zie de foto.

foto
[FIGUUR: Een foto van een doos met de letters A, B, E, F, G, H gemarkeerd op de hoeken en de tekst 'bedankt voor je inzet!' op een zijvlak.]

De bodem ABCD en het deksel EFGH van de doos zijn vierkanten van 18,0 cm
bij 18,0 cm. De acht opstaande zijvlakken zijn gelijkbenige driehoeken met twee
zijden van 20,0 cm en één zijde van 18,0 cm.

Met de stelling van Pythagoras is te berekenen dat de hoogte van een
gelijkbenige driehoek met basis 18 en opstaande zijden 20 exact $\sqrt{319}$ is.

Het uitzendbureau had ook een kubusvormige doos met zijden van 18,0 cm
kunnen nemen. Reden om voor de doos van de foto te kiezen zou de mooiere
vorm kunnen zijn. Mogelijk is een andere reden dat voor de gekozen doos
minder karton nodig is, terwijl de inhoud groter is.
5p 10 Bereken hoeveel procent de totale oppervlakte van de doos op de foto kleiner is
dan die van een kubusvormige doos met zijden van 18,0 cm.

923-1025-a-HA-1-o 6 lees verder

### Pagina 7

Als we de doos verticaal doorsnijden door de diagonaal $AC$ van het grondvlak,
krijgen we de doorsnede die is getekend in figuur 1.
figuur 1
[FIGUUR: Een tweedimensionale weergave van een doorsnede van een doos met de punten P en Q gemarkeerd als de middens van EH en FG.]
In deze doorsnede zijn de punten $P$ en $Q$ de middens van $EH$ en $FG$. Met
behulp van deze doorsnede kun je aantonen dat de hoogte van de doos
ongeveer gelijk is aan 17,5 cm.
3p 11 Toon dit door berekening aan.
Op de foto is te zien dat de hoek die het vlak $AEH$ met het grondvlak maakt
kleiner is dan 90°. Deze hoek is ook te zien in figuur 1.
3p 12 Bereken de hoek tussen het vlak $AEH$ en het grondvlak. Geef je antwoord in
gehele graden.
In figuur 2 is een bovenaanzicht van de doos getekend. Het bovenaanzicht van
de doos is op de uitwerkbijlage op schaal 1:2 te zien.
figuur 2
[FIGUUR: Een achthoekig figuur met de punten A, B, C, D, H, G, F, E gemarkeerd.]
De doorsnede op een derde van de hoogte van de doos gerekend vanaf de
bodem $ABCD$ is een achthoek.
4p 13 Teken op de uitwerkbijlage in het bovenaanzicht van de doos deze doorsnede.
Iemand berekent de inhoud van de doos als volgt:
Hij gaat uit van een recht prisma met de achthoek $AEBF CGDH$ van het
bovenaanzicht van figuur 2 als grondvlak. De hoogte van het prisma is 17,5 cm.
De doosvorm wordt bereikt door van dit prisma 8 keer een piramide af te halen.
6p 14 Bereken op deze manier de inhoud van de doos.
923-1025-a-HA-1-o
7
lees verder

### Pagina 8

Diergemeenschappen in Afrika
Er is veel onderzoek gedaan naar de samenstelling van grazende
diergemeenschappen in de natuurparken van Afrika. Dergelijke grazende
diergemeenschappen worden gilden genoemd.
Onderzoek heeft zich onder andere gericht op de gewichten van de diersoorten
binnen een gilde. Bij dit onderzoek heeft men de soorten binnen een gilde op
volgorde gezet van gemiddeld lichaamsgewicht. De lichtste soort heeft men
rangnummer 0 gegeven. De lichtste soort noemen we daarom soort 0, de op een
na luchtste soort noemen we soort 1, enzovoort. Je kunt nu de gewichten van
elkaar opvolgende soorten vergelijken.
Dit vergelijken gebeurt via de zogeheten gewichtsratio. Dat is de verhouding
tussen het (gemiddelde) gewicht van volwassen dieren van twee elkaar
opvolgende soorten. Als bijvoorbeeld soort 7 een gewicht heeft dat 1,8 keer zo
groot is als dat van soort 6, dan is de gewichtsratio tussen deze twee soorten
gelijk aan 1,8. Uit dergelijk onderzoek is nu gebleken:
Binnen elk gilde is de gewichtsratio tussen twee elkaar opvolgende diersoorten
vrijwel constant.
Dit betekent dat in het gilde van het voorbeeld hierboven geldt: soort 1 is
1,8 keer zo zwaar als soort 0, soort 2 is 1,8 keer zo zwaar als soort 1,
enzovoort.
Neem aan dat in een ander gilde de gewichtsratio gelijk is aan 1,35 en dat
soort 3 een gewicht heeft van 7,8 kg.
3p 15 Bereken het gewicht van de luchtste soort in dit gilde.
Niet alleen binnen een bepaald natuurgebied is er sprake van een vrijwel
constante gewichtsratio, maar dit geldt ook als men alle grazende diersoorten in
geheel Afrika als één diergemeenschap beschouwt. Omdat er in totaal dan meer
diersoorten zijn, zal de gewichtsratio voor heel Afrika kleiner zijn dan die voor de
afzonderlijke gliden. In tabel 1 staan de gewichten van drie diersoorten met
daarbij hun rangnummer in de gewichtsvolgorde van soorten in heel Afrika. Bij
de volgende vragen wordt ervan uitgegaan dat de gewichtsratio tussen alle
elkaar opvolgende soorten constant is.
tabel 1
soort
rangnummer in
gewichtsvolgorde
gewicht (kg)
hartebeest
71
164
steppezebra
81
286
Kaapse buffel
92
631
3p 16 Bereken de gewichtsratio voor heel Afrika met behulp van de gegevens in de
tabel voor hartebeest en Kaapse buffel in twee decimalen nauwkeurig.
923-1025-a-HA-1-o
8
lees verder

### Pagina 9

Voor diersoorten zwaarder dan de Kaapse buffel blijkt de gewichtsratio niet meer constant te zijn. Onderzoekers denken dat dit komt doordat lang geleden veel zware soorten zijn uitgestorven. De zwaarste grazersoort is momenteel de olifant met rangnummer 95 en een gewicht van 3550 kg.
Neem aan dat vroeger de gewichtsratio in Afrika voor alle elkaar opvolgende soorten constant gelijk aan 1,06 is geweest.
4p
17
Onderzoek hoeveel soorten in de rangschikking tussen de Kaapse buffel en de
olifant sindsdien zijn uitgestorven.
Voor dieren in een natuurpark in Oost-Afrika, het Serengeti park, geldt het volgende verband: $log W = 0,075 N + 0,4$.
Hierin is $W$ het lichaamsgewicht van een soort in kg en $N$ is het rangnummer van
die soort.
Deze formule kan met behulp van algebra worden omgewerkt tot $W = b \cdot g^N$.
4p
18
Bereken op deze wijze de waarden van $b$ en $g$. Rond je antwoorden af op
één decimaal.
923-1025-a-HA-1-o*
9
einde