# Eindexamen Wiskunde B HAVO 2007 tijdvak 2

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2007/tijdvak-2

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Opgave 1

### Vraag 2 – Opgave 2

### Vraag 3 – Opgave 3

### Vraag 4 – Opgave 4

### Vraag 5 – Opgave 5

### Vraag 6 – Opgave 6

### Vraag 7 – Opgave 7

### Vraag 8 – Opgave 8

### Vraag 9 – Opgave 9

### Vraag 10 – Opgave 10

### Vraag 11 – Opgave 11

### Vraag 12 – Opgave 12

### Vraag 13 – Opgave 13

### Vraag 14 – Opgave 14

### Vraag 15 – Opgave 15

### Vraag 16 – Opgave 16

### Vraag 17 – Opgave 17

### Vraag 18 – Opgave 18

### Vraag 19 – Opgave 19

### Vraag 20 – Opgave 20

### Vraag 21 – Opgave 21

### Vraag 22 – Opgave 22

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen HAVO
2007
tijdvak 2
woensdag 20 juni
13.30 - 16.30 uur
wiskunde B1
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Dit examen bestaat uit 22 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 86 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord
meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er
bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee redenen, dan
worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
700047-2-0530

### Pagina 2

Broze botten
Oudere mensen kunnen last krijgen van allerlei ouderdomskwalen, onder andere
van broze botten. Mensen met broze botten hebben een grotere kans dat ze een
bot breken.
In figuur 1 is een staafdiagram getekend van het aantal heupbreuken per jaar,
zowel per 1000 mannen als per 1000 vrouwen voor verschillende
leeftijdsklassen.
figuur 1
aantal
25
heupbreuken
per jaar per
20
1000
mannen/vrouwen
15
10
5
0
55-59
60-64
65-69
70-74
75-79
80-84
85-89
-> leeftijd (jaren)
mannen
vrouwen
3p 1
Uit figuur 1 blijkt dat bij vrouwen in de leeftijdsklasse 85-89 vaker een heupbreuk
voorkomt dan bij mannen in dezelfde leeftijdsklasse.
Bereken hoeveel keer zo vaak dit bij vrouwen voorkomt als bij mannen in de
leeftijdsklasse 85-89.
De botmineraaldichtheid, vaak kortweg aangeduid met botdichtheid, is een maat
voor de sterkte van het bot. De botdichtheid wordt uitgedrukt in een getal,
waarbij geldt dat hoe groter dit getal is, hoe sterker de botten zijn. De
botdichtheid van de heup bij vrouwen van 35 jaar blijkt bij benadering normaal
verdeeld te zijn met een gemiddelde van 950 en een standaardafwijking van
120.
Ook bij andere leeftijden is de botdichtheid van de heup bij vrouwen normaal
verdeeld. In figuur 2 is de kansverdeling van de botdichtheid voor een aantal
leeftijden weergegeven.
700047-2-0530
2
lees verder ► ► ►

### Pagina 3

figuur 2
osteoporose
normaa
leeftijd
85
75
65
55
45
35
25
500
700
900
1100
1300
→ botdichtheid
In onderstaande tabel is te zien hoe de gemiddelde botdichtheid van vrouwen
afneemt wanneer zij ouder worden.
tabel
leeftijd /
25
35
45
55
65
75
85
gemiddelde
botdichtheid GB
960
950
940
900
800
750
700
Vanaf de leeftijd van 60 jaar is er een lineair verband tussen de gemiddelde
botdichtheid en de leeftijd.
Dit lineaire verband kan worden weergegeven door de formule: $GB=a\cdot l+b$.
Hierin is $GB$ de gemiddelde botdichtheid van vrouwen en $l$ is de leeftijd in jaren.
4p 2
Bereken a en b.
Er is sprake van osteoporose bij een botdichtheid die kleiner is dan 650. Uit
figuur 2 blijkt dat hoe hoger de leeftijd van de vrouwen, hoe groter het
percentage met osteoporose. We gaan er hier van uit dat de normale
verdelingen in figuur 2 allemaal een standaardafwijking hebben van 120.
6p 3
Bereken op welke leeftijd 30% van de vrouwen lijdt aan osteoporose.
Er wordt een voorlichtingsprogramma gestart voor vrouwen van 55 jaar met
osteoporose. Om praktische redenen kunnen niet alle vrouwen van 55 jaar met
osteoporose meedoen. Er wordt voor gekozen om de helft van deze vrouwen,
namelijk die met de meest ernstige vorm van osteoporose, in het programma te
betrekken. Als de botdichtheid van een vrouw kleiner is dan een bepaalde
waarde G, doet zij mee aan het voorlichtingsprogramma. De waarde van G is zo
gekozen dat 50% van de 55-jarige vrouwen met osteoporose meedoet.
5p 4
Bereken de waarde van G.
700047-2-0530
3
lees verder

### Pagina 4

Hoogtetraining
Het was eind vorige eeuw onder topsporters erg populair om enkele weken op
grote hoogte te trainen. Vanwege de ijlere lucht worden in een dergelijke
trainingssituatie door het lichaam extra rode bloedlichaampjes aangemaakt. De
rode bloedlichaampjes zorgen voor het transport van zuurstof in het lichaam.
Hoe meer rode bloedlichaampjes aanwezig in het lichaam, hoe beter er
gepresteerd zou kunnen worden omdat bij het leveren van zware prestaties veel
zuurstof nodig is in de spieren. Inmiddels heeft men ontdekt dat er ook nadelige
effecten optreden zodat het netto effect voor de sporter nihil lijkt.
Wanneer de hoogte toeneemt, neemt de luchtdruk af. Deze afname van de
luchtdruk verloopt exponentieel. De luchtdruk kan worden gemeten in mm Hg
(Hg staat voor kwik).
Op een gegeven moment is op een bepaalde plaats de luchtdruk op zeeniveau
(hoogte = 0) gelijk aan 760 mm Hg en op één kilometer hoogte is deze gelijk aan
648 mm Hg. Volgens het exponentiële model is de luchtdruk op 100 meter
hoogte vrijwel gelijk aan 748 mm Hg.
4p 5
Toon dit door middel van een berekening aan.
Een andere eenheid om de luchtdruk te meten is hectopascal (hPa).
Er geldt bij benadering dat 1 mm Hg = 4
3
hPa.
Voor kleine hoogtes, tot ongeveer 100 meter, gebruikt men de volgende
vuistregel:
De daling van de luchtdruk bedraagt 1 hPa per 8 meter toename van de hoogte.
4p 6
Bereken in bovengenoemde situatie het verschil tussen de luchtdruk op
100 meter hoogte, berekend volgens de vuistregel, en de waarde volgens het
exponentiële model in mm Hg.
Door de verminderde luchtdruk bij toenemende hoogte kan er minder zuurstof
worden opgenomen in de longen. De maximale hoeveelheid zuurstof die de
longen per minuut kunnen opnemen wordt het maximale
zuurstofopnamevermogen (VO₂max) genoemd en wordt gemeten in liter per
minuut (liter/min).
In figuur 1 is het verband weergegeven tussen deze VO₂max en de hoogte.
Hierbij is de VO₂max op zeeniveau gelijkgesteld aan 100%. In figuur 1 is te zien
dat vanaf een hoogte van 1500 meter de VO₂max lineair afneemt en wel met
10% per 1000 meter stijging.
700047-2-053o
4
lees verder

### Pagina 5

figuur 1
VO2max
(%)
100
90
80
70
60
0
2000
4000
6000
hoogte (m)
Een wielrenner heeft op zeeniveau een VO2max van 5,8 liter/min. Hij traint op
de wielerbaan van Mexico City op een hoogte van 2278 meter.
4p 7
Bereken het maximale zuurstofopnamevermogen in Mexico City van deze
wielrenner in liter per minuut. Geef je antwoord in 1 decimaal nauwkeurig.
Een illustratie van het feit dat een sporter op grote hoogte sneller uitgeput raakt
is te zien in figuur 2.
figuur 2
zuurstof-
opname
(l/min)
4,0
3,0
2,0
1,0
50%
VO2max
zeeniveau
zuurstofopname
nodig voor training
70%
VO2max
4350 m
In de figuur is te zien dat een wielrenner voor een bepaalde training 2,0 liter/min
nodig heeft. Op zeeniveau heeft de wielrenner 50% van zijn VO2max nodig voor
deze training. Op een hoogte van 4350 m heeft hij voor diezelfde training 70%
van zijn VO2max nodig. Op deze hoogte raakt hij daardoor sneller uitgeput.
De training zoals hierboven beschreven, wordt door dezelfde wielrenner
uitgevoerd op een hoogte van 3000 meter. Met behulp van zijn VO2max op deze
hoogte kan berekend worden hoeveel procent hiervan nodig is voor deze
training.
3p 8
Bereken dit percentage.
700047-2-0530
5
lees verder ► ► ►

### Pagina 6

Een atleet wil een bepaald trainingsschema volgen. De hoogte waarop hij gaat
trainen is nog niet vastgesteld. Het verband tussen de hoogte en het percentage
van zijn VO2max dat hij nodig heeft voor dit trainingsschema wordt gegeven
door de formule:
P = 
6000
115-0,01h
Hierin is h de hoogte in meter met h>1500 en P het percentage van de
VO2max van de atleet op hoogte h dat nodig is voor het trainingsschema.
5p 9 Bereken op algebraïsche wijze op welke hoogte het percentage P gelijk is
aan 80%.
700047-2-0530
6
lees verder ►►►

### Pagina 7

```json
{
  "page_type": "opgaven",
  "exam_info": {
    "subject": "Wiskunde",
    "year": null,
    "tijdvak": null
  },
  "transcription": "Derdemacht en logaritme\nIn onderstaande figuur zie je twee grafieken getekend.\nHet functievoorschrift van $f$ is $f(x)=0,01x^3-0,2x^2+1,5x-2$ en het\nfunctievoorschrift van $g$ is $g(x)=2+^3\log(x-3)$.\nfiguur\n[FIGUUR: Een grafiek met de y-as en x-as. De y-as heeft een schaalverdeling van 0 tot 5. De x-as heeft een schaalverdeling die loopt van 0 tot verder dan 5. Twee grafieken zijn getekend. Grafiek $f$ begint ongeveer bij (0,-2), gaat omhoog en snijdt de x-as. Grafiek $g$ begint met een verticale asymptoot bij x=3, gaat omhoog en snijdt de x-as. Op de grafiek zijn de punten A en B aangegeven. Punt A ligt op grafiek $f$, punt B ligt op grafiek $g$. Punt A ligt onder punt B.]\n3p 10\nBereken exact de x-coördinaat van het snijpunt van de grafiek van $g$ met de\nx-as.\n$A$ is een punt op de grafiek van $f$ en $B$ is een punt op de grafiek van $g$. De\nx-coördinaat van zowel $A$ als $B$ is 7. Zie de figuur.\nDe raaklijn aan de grafiek van $f$ in punt $A$ en de raaklijn aan de grafiek van $g$ in\npunt $B$ lopen vrijwel parallel. Dit betekent dat de helling van de grafiek van $f$ in\npunt $A$ bijna gelijk is aan de helling van de grafiek van $g$ in punt $B$.\n3p 11\nBereken de exacte waarde van de helling van de grafiek van $f$ in $A$ met behulp\nvan differentiëren.\nDe helling van de grafiek van $g$ in punt $B$ kan benaderd worden met een\ndifferentiequotiënt op een voldoende klein interval.\n3p 12\nBereken op deze manier de helling van de grafiek van $g$ in punt $B$. Geef je\nantwoord in 2 decimalen nauwkeurig.",
  "figures": [
    "Een grafiek met de y-as en x-as. De y-as heeft een schaalverdeling van 0 tot 5. De x-as heeft een schaalverdeling die loopt van 0 tot verder dan 5. Twee grafieken zijn getekend. Grafiek $f$ begint ongeveer bij (0,-2), gaat omhoog en snijdt de x-as. Grafiek $g$ begint met een verticale asymptoot bij x=3, gaat omhoog en snijdt de x-as. Op de grafiek zijn de punten A en B aangegeven. Punt A ligt op grafiek $f$, punt B ligt op grafiek $g$. Punt A ligt onder punt B."
  ],
  "keywords": "derdemacht, logaritme, functievoorschrift, grafiek, snijpunt, x-as, raaklijn, helling, differentiëren, differentiequotiënt"
}
```

### Pagina 8

Biggen
Het spel 'Biggen' wordt gespeeld met twee 'dobbelstenen' in de vorm van kleine
plastic varkentjes. De spelers werpen met deze dobbelstenen, biggen genaamd.
Hoeveel punten een speler krijgt, hangt af van hoe deze biggen terecht komen.
Doel van het spel is zo veel mogelijk punten te scoren. Wie het eerst 100 punten
of meer heeft, wint.
Een big kan op zes verschillende manieren terecht komen: op zijn linkerzij, op
zijn rechterzij, rechtop op zijn poten, op zijn rug, op zijn snuit of op zijn wang.
(Zie de foto's.) De big is niet volledig symmetrisch. Zo is de kans dat de big op
zijn linkerzij terecht komt niet gelijk aan de kans dat hij op zijn rechterzij terecht
komt. Bovendien kan de big niet op zijn rechterwang blijven liggen, maar wel op
zijn linkerwang. Daarom duiden we deze situatie simpelweg aan met wang.
In tabel 1 zijn de kansen voor de verschillende worpen met één big en de punten
die daarbij horen gegeven.
tabel 1
big valt op
linkerkzij
rechterzij
poten
rug
snuit
wang
kans
0,29
0,35
0,08
0,23
0,04
0,01
punten
0
0
5
5
10
15
3p
13
Uit tabel 1 blijkt dat bij 50 worpen met één big de big naar verwachting vier keer
(50x0,08) op zijn poten terecht komt. In de praktijk is het natuurlijk wel mogelijk
dat de big acht keer of vaker op zijn poten terecht komt.
Bereken de kans dat een big bij 50 worpen acht keer of vaker op zijn poten
terecht komt.
Bij een worp met twee biggen worden de punten van de twee biggen opgeteld.
Dit geldt echter niet wanneer bij een worp beide biggen op exact dezelfde
manier terecht zijn gekomen. Dan krijg je namelijk meer punten. Zie tabel 2.
tabel 2
beide biggen
vallen op
punten
linkerkzij
rechterzij
poten
rug
snuit
wang
1
1
20
20
40
60
700047-2-053o
8
lees verder

### Pagina 9

Het is mogelijk dat iemand in twee worpen, dus door twee keer met beide biggen
te gooien, 80 punten haalt. Een manier is bijvoorbeeld als bij de eerste worp de
twee biggen allebei op hun wang terecht komen en bij de tweede worp één big
op zijn rug en één big op zijn wang terecht komt. Je mag ervan uitgaan dat de
twee biggen identiek zijn, dus een worp met wang-rug is hetzelfde als rug-wang.
In dat geval zijn er in totaal 9 verschillende manieren om in twee worpen
5p 14 80 punten te halen.
Schrijf deze manieren op.
Zolang een speler doorgaat met gooien, worden de punten van zijn worpen bij
elkaar opgeteld. Als hij vrijwillig stopt, worden zijn punten genoteerd en is de
volgende speler aan de beurt.
Het doorgaan met gooien heeft echter ook een risico: als bij een worp één big
op zijn linkerzij valt én de andere big op zijn rechterzij, moet de speler stoppen
en is hij alle punten van deze beurt kwijt. De kans dat dit gebeurt, is afgerond op
2 decimalen 0,20.
3p 15 Toon dit met een berekening aan.
3p 16 Bereken de kans dat een speler drie keer achter elkaar kan gooien zonder dat
hij zijn punten kwijt raakt.
Twee spelers spelen het spel. Op een gegeven moment heeft een van de
spelers 98 punten. Hij is aan de beurt. Hij wil graag weten hoe groot de kans is
dat hij het spel zal winnen in deze beurt. Je mag er daarbij van uitgaan dat
zodra de speler 100 punten of meer heeft gehaald, hij zal stoppen met gooien
omdat hij dan al heeft gewonnen. Je mag er ook van uitgaan dat wanneer de
speler in zijn eerst worp 1 punt haalt, hij zal doorgaan met gooien.
6p 17 Bereken de kans dat deze speler in deze beurt het spel wint.
700047-2-0530
9
lees verder

### Pagina 10

Dijkverhoging
Nederland heeft regelmatig te kampen met hoge waterstanden in de rivieren
waarbij soms overstromingen optreden zoals in 1994 en 1995. Rijkswaterstaat
heeft na deze overstromingen onderzocht of er langs de grote rivieren in
Zuid-Holland een dijkverhoging nodig was.
Bij de bepaling van een veilige dijkhoogte spelen kansen een grote rol.
`Rijkswaterstaat stelt als veiligheidsnorm voor rivierdijken een dijkhoogte waarbij
hoogstens 1 keer per 4000 jaar een overstroming wordt verwacht.
Neem bij de beantwoording van de volgende drie vragen aan dat de rivierdijken
in Nederland precies aan de hierboven gestelde norm voldoen, dus een hoogte
hebben waarbij de kans op een overstroming in een jaar gelijk is aan
1
4000
.
Het is erg onwaarschijnlijk dat in twee opeenvolgende jaren overstromingen
optreden. Toch gebeurde dat in 1994 en 1995.
3p 18
Bereken de kans dat in twee opeenvolgende jaren overstromingen optreden.
De kans dat er in een periode van 100 jaar géén overstroming optreedt, is
redelijk groot.
3p 19
Bereken deze kans. Geef je antwoord in 3 decimalen nauwkeurig.
3p 20
Bereken de kans dat in een periode van 100 jaar er precies twee jaren zijn met
overstromingen. Geef je antwoord in 4 decimalen nauwkeurig.
De dijkhoogtes laat men niet alleen afhangen van de kans op een overstroming
maar ook van de benodigde investeringskosten. Hoe hoger de dijk, hoe kleiner
de kans op een overstroming maar hoe hoger de kosten. Vanwege de hoge
kosten is men gedwongen om een bepaald risico te accepteren.
Voor de waterstanden in de grote rivieren in Zuid-Holland hanteert men de
volgende formule:
$P=10^{3,95-1,58w}$
Hierin is P de kans dat in een jaar tijd het water minimaal de hoogte w bereikt.
De hoogte w wordt uitgedrukt in meter boven NAP. Om aan de norm te voldoen,
zal de gewenste dijkhoogte dus minstens gelijk moeten zijn aan de hoogte w. Het
model kan alleen gebruikt worden als $w\ge 2,5$.

### Pagina 11

In onderstaande figuur is de grafiek van $P = 10^{3,95-1,58w}$ te zien.
figuur
[FIGUUR: Grafiek met P op de y-as van 0,2 tot 1,0 en w op de x-as van 0 tot 10. De grafiek toont een exponentieel dalende curve.
]w (m)
6p 22 Deze grafiek is zeker bij grote waterhoogtes (bijvoorbeeld vanaf 4 m) niet handig
in het gebruik. Om deze reden bekijkt men liever de grafiek die het verband
weergeeft tussen $\log P$ en $w$. Het verband tussen $\log P$ en $w$ is lineair.
Leid uit bovenstaande formule voor $P$ de formule af die het lineaire verband
beschrijft tussen $\log P$ en $w$ en teken in de figuur op de uitwerkbijlage de grafiek
die dit verband weergeeft voor $w \ge 2,5$.
700047-2-0530*
11
einde