# Eindexamen Wiskunde B HAVO 2006 tijdvak 2

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2006/tijdvak-2

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Opgave 1

### Vraag 2 – Opgave 2

### Vraag 3 – Opgave 3

### Vraag 4 – Opgave 4

### Vraag 5 – Opgave 5

### Vraag 6 – Opgave 6

### Vraag 7 – Opgave 7

### Vraag 8 – Opgave 8

### Vraag 9 – Opgave 9

### Vraag 10 – Opgave 10

### Vraag 11 – Opgave 11

### Vraag 12 – Opgave 12

### Vraag 13 – Opgave 13

### Vraag 14 – Opgave 14

### Vraag 15 – Opgave 15

### Vraag 16 – Opgave 16

### Vraag 17 – Opgave 17

### Vraag 18 – Opgave 18

### Vraag 19 – Opgave 19

### Vraag 20 – Opgave 20

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

wiskunde B1
Examen HAVO
Hoger
Algemeen
Voortgezet
Onderwijs
20
06
Tijdvak 2
Woensdag 21 juni
13.30-16.30 uur
Voor dit examen zijn maximaal 83 punten te
behalen; het examen bestaat uit 20 vragen.
Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel
punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of
berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als
deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen,
voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redener worden
gevraagd en je geeft meer dan twee redenen,
dan worden alleen de eerste twee in de
beoordeling meegedeeld.
600061-2-500
Begin

### Pagina 2

Toename lichaamsgewicht zwangere vrouw
Een vrouwenarts heeft van een zwangere vrouw gedurende de zwangerschap allerlei
gegevens verzameld. In tabel 1 staan enkele resultaten. Daaruit is onder andere af te lezen
dat deze vrouw als ze 25 weken zwanger is, sinds het begin van de zwangerschap 3030
gram zwaarder is geworden.
tabel 1
Aantal weken zwanger
Toename lichaamsgewicht in gram
(afgerond op tientallen)
15
1520
25
3030
35
5990
40
8400
Het verband tussen het aantal weken zwangerschap en de gewichtstoename van deze vrouw
is vanaf de vijftiende week bij benadering exponentieel.
4p 1
Bereken de groeifactor per week van dit exponentiële verband.
Rond je antwoord af op twee decimalen.
De gewichtstoename van een zwangere vrouw wordt voor een deel veroorzaakt door het
gewicht van de ongeboren baby. Onderzoek toont aan dat vanaf week 20 dit gewicht elke
week ongeveer evenveel toeneemt.
In tabel 2 zijn gewichten weergegeven van het ongeboren kind van de vrouw van wie de
gewichtstoename in tabel 1 staat.
tabel 2
Aantal weken zwanger
Gewicht van het ongeboren
kind in gram
20
523
25
1390
35
3120
40
3990
De formule $F = a \cdot t + b$ geeft bij benadering het verband weer tussen het gewicht van het
ongeboren kind en de duur van de zwangerschap. Hierin is $t$ de tijd in weken dat de vrouw
zwanger is en $F$ het gewicht van het ongeboren kind in gram.
4p 2
Bereken $a$ en $b$ met behulp van de gegevens in tabel 2.
Tijdens de zwangerschap van een andere vrouw zijn ook de gewichtstoename van de
moeder en het gewicht van het ongeboren kind door de vrouwenarts bijgehouden. De
gegevens zijn in formules verwerkt. De bijbehorende grafieken zijn in figuur 1 afgebeeld.
figuur 1
gewichts-
toename
in gram
9000
8000
7000
6000
5000
4000
3000
2000
1000
0
20
25
30
35
40
45
-> aantal weken zwangerschap
De formules die bij deze zangerschap horen zijn: $G=1450 \cdot 2^{0,1t-1,5}$ en $F=165t-2875$.
Hierin is $t$ de duur van de zwangerschap in weken, $G$ de gewichtstoename van de vrouw in
gram en $F$ het gewicht van het ongeboren kind in gram.
In figuur 1 is met een stippellijn de grafiek getekend van het verschil van $G$ en $F$.
600061-2-50o
2
Lees verder

### Pagina 3

Aan het eind van de zwangerschap wordt er veel vocht opgeslagen. Ook neemt het gewicht
van de vrouw toe door vochtvorming rond het ongeboren kind. Aan het eind van de
zwangerschap kunnen G en F wel 4000 tot 8000 gram verschillen.
5p 3 ☐ Bereken met behulp van de gegeven formules op welke dag na het begin van de
zwangerschap bij deze vrouw dit verschil voor het eerst meer dan 4000 gram is.
De grafiek van F en de verschilgrafiek snijden elkaar voor twee waarden van t. Op deze
4p 4 ☐ twee tijdstippen geldt dat G twee keer zo groot is als F.
Beredeneer dit zonder de snijpunten met behulp van de formules uit te rekenen.
600061-2-50o
3
Lees verder

### Pagina 4

Functies
Gegeven is de functie $f(x) = x^4 - 16$ .
De grafiek van $f$ snijdt de $x$-as in de punten
$(-2, 0)$ en $(2, 0)$.
In figuur 2 zijn de grafiek van $f$ en de lijn
$y=20$ getekend.
4p 5 Bereken exact voor welke waarden van $x$ de
grafiek van $f$ tussen de $x$-as en de lijn $y = 20$
ligt.
figuur 2
[FIGUUR: Een grafiek met de y-as en x-as. De y-as heeft een markering bij 20. De x-as heeft markeringen bij -2 en 2. Een curve begint laag links, komt omhoog, snijdt de x-as bij -2, bereikt een minimum net onder de x-as, en snijdt de x-as bij 2, waarna de curve weer omhoog gaat. Een horizontale lijn is getekend op y=20, die de curve snijdt op twee punten.]
Door de grafiek van $f$ omlaag te schuiven
veranderen de snijpunten met de $x$-as in de
punten $(-3, 0)$ en $(3, 0)$. In figuur 3 zijn de
grafiek van $f$ en de verschoven grafiek
getekend.
figuur 3
[FIGUUR: Een grafiek met de y-as en x-as. De x-as heeft markeringen bij -3 en -2, en 2 en 3. Een curve begint laag links, snijdt de x-as bij -3, bereikt een minimum, en snijdt de x-as bij 3, waarna de curve weer omhoog gaat. Een tweede, vergelijkbare curve ligt lager, met zijn snijpunten met de x-as bij -2 en 2.]
3p 6 Bereken over welke afstand de grafiek van $f$
in deze situatie omlaag verschoven is.
De raaklijn aan de grafiek van $f$ in het punt
$(2, 0)$ is de lijn $k$.
De lijn $m$ gaat door het punt $(-2, 0)$ en is
evenwijdig aan de lijn $k$ (zie figuur 4).
figuur 4
[FIGUUR: Een grafiek met de y-as en x-as. De x-as heeft een markering bij 2. Een curve begint laag links en stijgt, snijdt de x-as bij 2, en blijft stijgen. Twee lijnen zijn getekend. De ene lijn, k, raakt de curve bij het punt (2,0). De andere lijn, m, is parallel aan lijn k en lijkt door het punt (-2,0) te gaan.]
4p 7 Stel met behulp van differentiëren een
vergelijking op van de lijn $m$.
Door $f(x)$ met $x$ te vermenigvuldigen ontstaat
de productfunctie $g(x) = x^5 - 16x$.
De grafiek van $g$ heeft twee toppen, $P$ en $Q$
(zie figuur 5). In figuur 5 is ook lij nstuk $PQ$
getekend.
figuur 5
[FIGUUR: Een grafiek met de y-as en x-as. Een curve begint hoog links, daalt, snijdt de x-as bij 0, bereikt een maximum links van de y-as, daalt weer, snijdt de x-as op een positief punt, bereikt een minimum rechts van de y-as, en stijgt weer. Twee punten P en Q zijn aangegeven op de curve, het ene aan de 'berg' en het andere aan de 'dal'. Een gestippelde lijn verbindt P en Q.]
5p 8 Bereken de lengte van het lijnstuk $PQ$.
Rond je antwoord af op één decimaal.
600061-2-50o
4
Lees verder

### Pagina 5

Intelligentiequotient

Meting van het intelligentiequotient (IQ) gebeurt door middel van tests. Op grond van deze
tests worden IQ-scores vastgesteld. De IQ-scores zijn bij benadering normaal verdeeld en
hebben een gemiddelde van 100 en een standaardafwijking van 15.

figuur 6

[FIGUUR: Een normale verdeling (klokcurve) met IQ-scores op de x-as en de frequentie op de y-as. Verschillende delen van de curve zijn gelabeld: '2,5% zwakbegaafd' aan de linkerkant, 'minder begaafd' in het volgende segment, '45% gemiddeld' rond het midden, 'vlug' in het volgende segment en '2,5% knap-begaafd' aan de rechterkant. De x-as heeft markeringen voor IQ-waarden van 50 tot 150.]

4p 9

De grafiek in figuur 6 is ontleend aan het boek De polen van het intellect van
J. Luning Prak uit 1948. In de figuur wordt onder andere vermeld dat 45% van de mensen
een IQ heeft tussen 90 en 110.
Onderzoek of deze bewering in overeenstemming is met de gegeven waarden voor het
gemiddelde en de standaardafwijking.

In het boek De schaal van Richter en andere getallen uit 1990 stelt Hans van Maanen dat de
IQ-scores normaal verdeeld zijn met een gemiddelde van 100 en dat 70% van de mensen
een IQ heeft tussen 84 en 116. Uitgaande van deze gegevens kun je de standaardafwijking
van de IQ-scores berekenen.

4p 10

Onderzoek of deze berekening een standaardafwijking van ongeveer 15 oplevert.

De Amerikaanse psycholoog James Flynn heeft aangetoond dat het gemiddelde van de IQ-
scores bij het gebruik van dezelfde tests iedere tien jaar met drie punten toeneemt. De
standaardafwijking blijft wat gelijk, namelijk ongeveer 15. Als men de grenzen voor
zwakbegaafd, minder begaafd enz. gelijk houdt, lijkt het alsof het aantal zwakbegaafden
afneemt en het aantal knap-begaafden toeneemt. Daarom worden IQ-tests zo nu en dan
vernieuwd.
Mensen die een IQ hebben van 130 of meer heten knap-begaafd. Neem aan dat ze nu 2,5%
van de totale bevolking vormen. Stel dat je de tests waarmee nu de IQ-scores bepaald zijn
over 30 jaar zou gaan gebruiken.

4p 11

Bereken hoeveel procent knap-begaafden je dan volgens Flynn zou krijgen.

Mensen met een IQ-score van minder dan 70 heten zwakbegaafd. Bij vraag 12 gaan we uit
van de volgende gegevens:
20 jaar geleden had Nederland 14 400 000 inwoners en was 2,5% daarvan zwakbegaafd;
in de laatste 20 jaar is het aantal inwoners van Nederland gemiddeld met 0,63% per jaar
toegenomen.
Voor het vaststellen van de IQ-scores gebruikt men de IQ-tests die 20 jaar geleden ook
gebruikt werden. De gemiddelde IQ-score is dan volgens Flynn toegenomen tot 106. De
standaardafwijking is 15.

7p 12

Bereken hoeveel het aantal zwakbegaafden is afgenomen ten opzichte van 20 jaar geleden
als je rekening houdt met de bevolkingsgroei in die periode.
Rond je antwoord af op duizendtallen.

600061-2-500
5
Lees verder

### Pagina 6

```json
{
  "page_type": "opgaven",
  "exam_info": {
    "subject": "wiskunde",
    "year": null,
    "tijdvak": null
  },
  "figures": [
    "foto 1: Een kunstwerk met een paraboolvormige structuur.",
    "figuur 7: Een grafiek van een bergparabool met de x-as en y-as, met punten A, B en T.",
    "figuur 8: Een grafiek met een bergparabool en een dalparabool, met punten A, B, C, D, O, S en T, en een aanduiding van de hoogte 9,6."
  ],
  "keywords": "parabool, kunstwerk, bergparabool, dalparabool, functievoorschrift, x-as, y-as, top, helling, differentiëren, assenstelsel, spiegelbeeld"
}
```

### Pagina 7

Besmetting
Er wordt veel onderzoek gedaan naar mogelijkheden ter
bestrijding en voorkoming van plantenziekten. De volgende
vragen gaan over risico's dat planten besmet raken. De situaties
die we bekijken zijn daarbij sterk vereenvoudigd.
In de eerste situatie bekijken we een veldje waarop men
's ochtends 10 gezonde planten plant, in twee rijen van vijf. Zie
figuur 9. We nemen aan dat elke gezonde plant per dag een kans
van 0,3 heeft om besmet te raken.
4p 16 ☐ Bereken de kans dat op de eerste dag alle planten van de linkerr ij
wel besmet raken en alle planten op de rechter rij niet besmet
raken.
Rond je antwoord af op vier decimalen.
De tweede situatie gaat over een experiment waarbij op een zeker moment 40 gezonde
planten aan besmetting blootgesteld worden. We nemen ook hier aan dat elke gezonde plant
per dag een kans van 0,3 heeft op besmetting.
3p 17 ☐ Bereken de kans dat op de eerste dag van het experiment meer dan 12 planten besmet zullen
raken.
figuur 10
0,3
besmet
niet
besmet
0,7
We bekijken nu de kans op besmetting van
een willekeurig plantje van de 40 gezonde
planten na twee dagen. In figuur 10 is de
bijbehorende kansboom afgebeeld.
De kans dat alle 40 planten na twee dagen
niet besmet zijn, is minder dan een miljardste.
3p 18 ☐ Toon dit met een berekening aan.
Bij ditzelfde experiment bekijken we twee willekeurig gekozen gezonde planten. X is het
aantal daarvan dat na twee dagen besmet is.
In tabel 3 is een deel van de bijbehorende kansverdeling ingevuld.
tabel 3
Uitkomst X
Kans op uitkomst X
0
1
2
4p 19 ☐ Bereken de kansen op de verschillende uitkomsten, neem deze tabel over en vul de kansen
op de verschillende uitkomsten in.
Voor de kans $p$ dat een plant bij dit experiment in de eerste $n$ dagen besmet zal raken, geldt
de formule: $p=1-0,7^{n}$.
Voor het experiment worden weer 40 gezonde planten gebruikt.
3p 20 ☐ Bereken hoeveel planten naar verwachting na precies één week besmet zullen zijn.
Einde
600061-2-50o
7