# Eindexamen Wiskunde B HAVO 2005 tijdvak 2

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2005/tijdvak-2

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Opgave 1

### Vraag 2 – Opgave 2

### Vraag 3 – Opgave 3

### Vraag 4 – Opgave 4

### Vraag 5 – Opgave 5

### Vraag 6 – Opgave 6

### Vraag 7 – Opgave 7

### Vraag 8 – Opgave 8

### Vraag 9 – Opgave 9

### Vraag 10 – Opgave 10

### Vraag 11 – Opgave 11

### Vraag 12 – Opgave 12

### Vraag 13 – Opgave 13

### Vraag 14 – Opgave 14

### Vraag 15 – Opgave 15

### Vraag 16 – Opgave 16

### Vraag 17 – Opgave 17

### Vraag 18 – Opgave 18

### Vraag 19 – Opgave 19

### Vraag 20 – Opgave 20

### Vraag 21 – Opgave 21

### Vraag 22 – Opgave 22

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen
wiskunde B1
HAVO
Hoger
Algemeen
Voortgezet
Onderwijs
20 05
Tijdvak 2
Woensdag 22 juni
13.30 - 16.30 uur
Voor dit examen zijn maximaal 87 punten te
behalen; het examen bestaat uit 22 vragen.
Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel
punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
Voor de uitwerking van vraag 1 is een
uitwerkbijlage bijgevoegd.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of
berekening vereist is, worden aan het
aantal decimalen niet meer punten toegekend als
er bijvoorbeeld twee redenen worden
gevraagd en je er meer dan twee redenen,
dan worden alleen de eerste twee in de
beoordeling meegedeeld.
500047-2-130
Begin

### Pagina 2

Weggebruik

Als er een nieuwe wegersweg geopend wordt, dan zullen sommige automobilisten
overstappen van hun gebruikelijke route naar deze nieuwe weg. Bij de planning van nieuwe
verkeerswegen is het van belang te weten hoeveel procent van de automobilisten gebruik
zal gaan maken van zo’n weg. Uit een onderzoek door Amerikaanse verkeersdeskundigen
blijkt dat dit percentage (p) afhangt van de tijdwininst in minuten (t) en de afstandsbesparing
in mijlen (d) die een nieuwe autoweg oplevert.
In figuur 1 is voor een aantal waarden van $p$ in grafieken weergegegeven welke waarden van $d$
en $t$ hierbij horen. Een negatieve waarde van $d$ of $t$ betekent dat er sprake is van een omweg
of tijdverlies. Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage.
[FIGUUR: Een grafiek met op de horizontale as de tijd $t$ in minuten (van -12 tot 12) en op de verticale as de afstand $d$ in mijlen (van -6 tot 6). Er lopen meerdere lijnen door de grafiek. Sommige lijnen zijn labeled met 'besparing afstand extra tijd' en andere met 'extra afstand besparing tijd'. Er lopen ook lijnen die gelabeld zijn met verschillende waarden van $p$, beginnend bij $p=0$ tot $p=100$.]

In figuur 1 is een punt $A$ getekend. In dit punt $A$ geldt: $p = 70, d = 6$ en $t = -5$.
Dit betekent dat 70% van de automobilisten gebruik zal maken van de nieuwe weg dankzij
de afstandsbesparing van 6 mijl en ondanks het tijdverlies van 5 minuten.

Bij de planning van een nieuwe weg kan er gekozen worden uit twee verschillende
trajecten. Traject I levert een tijdsbesparing van 4 minuten op, maar wel een omweg van
2 mijl. Bij traject II is er een tijdverlies van 6 minuten, maar een afstandsbesparing van
7 mijl.

3p 1 $\square$ Onderzoek met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage bij welk traject (I of II) het
percentage gebruikers het grootst is.

Bij de grafieken uit figuur 1 hebben de Amerikaanse verkeersdeskundigen de volgende
formule gevonden voor het verband tussen $p, d$ en $t$:
$p = 50 + \frac{50d + 25t}{\sqrt{(4,3 + (d - 0,5t)^2)}}$

3p 2 $\square$ In figuur 1 is tevens een punt $B$ getekend.
Bereken met behulp van de gegeven formule het bij punt $B$ behorende percentage $p$.

4p 3 $\square$ Bereken met behulp van de gegeven formule bij welke tijdsbesparing 45% van de
automobilisten een omweg van 5 mijl zal accepteren.

4p 4 $\square$ In figuur 1 lijkt de grafiek die hoort bij $p = 50$ op een rechte lijn.
Toon op algebraïsche wijze aan dat volgens de formule deze grafiek een rechte lijn is.

We gaan nu uit van een situatie dat de nieuwe weg reeds aangelegd is. Volgens het
onderzoek is de kans dat een automobilist van deze nieuwe weg gebruik zal maken gelijk
aan 80%. Ga er bij de volgende vraag van uit dat dit klopt.
Op een bepaalde dag zijn er 140 automobilisten die van de nieuwe weg gebruik zouden
kunnen maken.

4p 5 $\square$ Bereken de kans dat meer dan 110 van deze 140 automobilisten inderdaad gebruik zullen
maken van de nieuwe weg.

500047-2-13o
2
Lees verder

Voor alle eindexamens, zie

### Pagina 3

Waterstransport

Bij transport van water via de waterleiding
wordt de druk op peil gehouden door pompen
in drukstations.
In figuur 2 is een transportschema getekend.
Vanaf de bron $B$ wordt het water gepompt
naar het drukstation $T$.
In $T$ wordt het water verder gepompt naar een
stadswijk $W$.

[FIGUUR: Een verticaal lijnsegment met de labels B, T en W van boven naar beneden.]

De kans dat er een storing optreedt op het gedeelte $BT$ is $3,3%$ per dag. Voor het gedeelte
$TW$ geldt dezelfde kans op een storing.
Als er op een dag in één of meerde delen van het traject $BT-W$ storing is, valt de
watervoorziening in wijk $W$ geheel of gedeeltelijk weg. We noemen dit stagnatie.

De kans op een dag met stagnatie in wijk $W$ is ongeveer gelijk aan $6,5%$.
3p 6 $\square$ Toon dit aan.

Neem bij de volgende vragen aan dat elke storing bij het begin van de volgende dag is
opgeheven.

4p 7 $\square$ Bereken de kans op precies één dag met stagnatie in wijk $W$ in een periode van vier weken.

Het aantal dagen waarop de watervoorziening in wijk $W$ stagneert, kan teruggebracht door de wijk ook aan te sluiten op een leiding vanuit een andere bron $C$ met
drukstation $U$. De watervoorziening in wijk $W$ stagneert nu pas indien zolang het traject
vanuit $B$, als in het traject vanuit $C$ een storing optreedt. Dit nieuwe systeem
weergegeven in figuur 3.

[FIGUUR: Een schema met verticaal getekende trajecten B-T en C-U, die samenkomen bij W.]

Neem aan dat op elk van de delen $CU$ en $UW$
de kans op een storing ook $3,3%$ per dag is.

Door bij elk gedeelte een + (transport) of een
- (storing) te plaatsen kun je de verschillende
situaties weergeven die zich in dit nieuwe
systeem kunnen voordoen.
In figuur 4 zie je in voorbeeld 1 een situatie
waarbij geen stagnatie in de watervoorziening
in wijk $W$ optreedt en in voorbeeld 2 een
situatie waarbij dat wel zo is.

[FIGUUR: Twee schema's, voorbeeld 1 toont geen stagnatie, voorbeeld 2 toont stagnatie.]

4p 8 $\square$ Teken op soortgelijke wijze alle mogelijke
situaties van het nieuwe systeem waarbij er
sprake is van geen stagnatie in wijk $W$.

4p 9 $\square$ In voorbeeld 2 is sprake van stagnatie.
Bereken de kans dat de situatie van dit
gegeven voorbeeld zich voordoet.

In het oude systeem van figuur 2 is de kans op een dag met stagnatie ongeveer $6,5%$. In het
nieuwe systeem is deze kans kleiner. In een jaar kun je daarom met het nieuwe systeem
minder dagen met stagnatie verwachten dan met het oude systeem.
5p 10 $\square$ Bereken hoeveel dagen met stagnatie je minder kunt verwachten in een periode van een
jaar.

500047-2-13o 3 Lees verder


### Pagina 4

Leesvaardigheid

Aan een groot aantal achtjarigen wordt op de basisschool een toets afgenomen voor het meten van de leesvaardigheid. Alle kinderen krijgen dezelfde toets. De scores zijn bij benadering normaal verdeeld met een gemiddelde score van 75 en een standaardafwijking van 10. Ga bij de volgende twee vragen uit van deze normale verdeling.

4p 11 $\Box$ Een achtjarige leerling haalt een score van 85. Onderzoek of deze leerling tot de 25% best lezende leerlingen van zijn leeftijdsgroep behoort.

Om het lezen te bevorderen verloot de Minister van Onderwijs 20 boeken onder alle achtjarigen die hebben meegedaan aan de leestoets.
3p 12 $\Box$ Bereken de kans dat bij minstens 10 van de 20 leerlingen die een boek geloot hebben de score voor de leestoets boven het gemiddelde lag.

In het jaar 2000 is in meer dan 30 landen een onderzoek gedaan naar de leesvaardigheid van 15- en 16-jarigen. Dit onderzoek heeft de naam PISA 2000.
In figuur 5 zijn de resultaten van de vier best presterende landen weergegeven. Neem aan dat voor ieder land de scores normaal verdeeld zijn met de gemiddeldes die in figuur 5 staan.

[FIGUUR: Een grafiek met drie normaalverdelingen, elk met een label aan de rechterkant: Finland, Canada en Nederland. Onder elke verdeling staat een getal dat het gemiddelde aangeeft: 546 voor Finland, 534 voor Canada en 532 voor Nederland.]

Van de Nederlandse leerlingen had 44% een score die hoger lag dan de gemiddelde score van Finland.

4p 13 $\Box$ Bereken met behulp van deze gegevens de standaardafwijking van de scores van de Nederlandse leerlingen. Rond af op een geheel getal.

[FIGUUR: Een grafiek met twee normaalverdelingen, elk met een label aan de rechterkant: Finland en Nieuw-Zeeland. Onder de verdelingen staan de getallen 546 en 529. Onder de grafiek voor Finland staat P95.]

De score waar 95% van alle leerlingen onder blijft, heet P95.
Ieder land heeft zijn eigen P95.
In figuur 6 vergelijken we de scores van Finland en Nieuw Zeeland.

Het blijkt dat de P95 van Nieuw Zeeland iets hoger ligt dan de P95 van Finland.
De gemiddelde score van Nieuw Zeeland is 529, met een standaardafwijking van 108.
Voor Finland geldt: $\mu = 546$ en $\sigma = 89$.

6p 14 $\Box$ Bereken hoeveel procent van de scores uit Nieuw Zeeland boven de P95 van Finland ligt.

500047-2-13o 4 Lees verder


### Pagina 5

Een familie van functies

In figuur 7 is de grafiek getekend van de
functie $f$ gegeven door:
$f(x) = 2x^2 - 2x$

[FIGUUR: Een grafiek van een parabool met de toppen naar boven, met de y-as en de x-as. De functie heet f. De lijn k snijdt de parabool in de punten A en B.]

De lijn $k$ met vergelijking $y = 1$ snijdt deze
grafiek in de punten $A$ en $B$.

4p 15 Bereken de lengte van het lijnstuk $AB$. Geef
je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.

In figuur 8 is de grafiek getekend van de
functie $g$ gegeven door:

$g(x) = (2x^2 - 2x)^2$

[FIGUUR: Een grafiek van een functie met meerdere toppen, met de y-as en de x-as. De functie heet g.]

Dit voorschrift kan ook geschreven worden
als: $g(x) = 4x^4 - 8x^3 + 4x^2$.
Toon dit algebraïsch aan.

3p 16

De raaklijn aan de grafiek van $g$ in het punt
$(-1, 16)$ snijdt de $x$-as in een punt $S$.
Bereken met behulp van differentiëren de
exacte waarde van de $x$-coördinaat van $S$.

5p 17

Een familie van functies is gegeven door:

$y = (2x^2 - 2x)^n$

voor elk positief geheel getal $n$.

Bij $n=1$ hoort de functie $f$ van figuur 7 en bij
$n=2$ de functie $g$ van figuur 8.
In figuur 9 is in één assenstelsel voor een
aantal waarden van $n$ de grafiek van
$y = (2x^2 - 2x)^n$ getekend.

[FIGUUR: Een grafiek met de y-as en de x-as. Meerdere curven worden getekend, die lijken op de grafieken van f en g, maar dan met variërende n. De curven snijden elkaar bij x=0 en x=1.]

Voor elke waarde van $n$ heeft de grafiek van
$y = (2x^2 - 2x)^n$ een top voor $x = \frac{1}{2}$.

5p 18 Onderzoek voor welke waarden van $n$ de afstand van deze top tot de $x$-as kleiner is
dan 0,001.

Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.

500047-2-13o 5 Lees verder


### Pagina 6

Volumeknop

De volumeknop op een versterker kan
gedraaid worden vanuit stand 0 naar stand 18.
Zie figuur 10.
In stand 0 geeft de versterker geen geluid.
In stand 18 geeft de versterker het maximale
geluidsniveau.
Er geldt de volgende formule:
$P = a \cdot \log(x + 1)$
Hierin is $x$ de stand van de volumeknop.
$P$ het percentage van het maximale geluidsniveau
en $a$ een constante.
In figuur 11 is de grafiek getekend die het
verband tussen $x$ en $P$ weergeeft.
[FIGUUR: Grafiek met op de horizontale as $x$ en op de verticale as $P$. De grafiek toont een stijgende lijn die begint bij de oorsprong en een horizontale asymptoot bereikt bij $P=100$. De $x$-as loopt van 0 tot 18. De $P$-as loopt van 0 tot 100.]

4p 19 $\boxtwo$: Uit de gegevens is af te leiden dat $a \approx 78$.
Bereken $a$ in drie decimalen nauwkeurig.

In de volgende vragen gaan we uit van
$a = 78$.

4p 20 $\boxtwo$: Bereken bij welke stand van de volumeknop
het geluidsniveau gelijk is aan 75% van het
maximale geluidsniveau. Geef je antwoord in
één decimaal nauwkeurig.

[FIGUUR: Cirkelvormige wijzerplaat met markeringen van -3 tot en met 3, met tussenmarkeringen. De wijzer staat op -1,3.]

Bij deze versterker wordt de wijzerplaat van
de volumeknop vervangen door de
wijzerplaat van figuur 12.
In stand $-3$ geeft de versterker geen geluid.
In stand $3$ geeft de versterker het maximale
geluidsniveau.
$k$ is de stand van de volumeknop bij deze
wijzerplaat.

3p 21 $\boxtwo$: In figuur 12 is $k$ gelijk aan $-1,3$.
Onderzoek hoe groot de waarde van $P$ is bij
deze stand van de volumeknop.

4p 22 $\boxtwo$: Voor het verband tussen de stand $k$ van de volumeknop en het percentage $P$ van het
maximale geluidsniveau geldt ook bij deze wijzerplaat een formule.
Stel deze formule op.

Einde
500047-2-13o
6