# Eindexamen Wiskunde B HAVO 2005 tijdvak 1

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2005/tijdvak-1

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Opgave 1

### Vraag 2 – Opgave 2

### Vraag 3 – Opgave 3

### Vraag 4 – Opgave 4

### Vraag 5 – Opgave 5

### Vraag 6 – Opgave 6

### Vraag 7 – Opgave 7

### Vraag 8 – Opgave 8

### Vraag 9 – Opgave 9

### Vraag 10 – Opgave 10

### Vraag 11 – Opgave 11

### Vraag 12 – Opgave 12

### Vraag 13 – Opgave 13

### Vraag 14 – Opgave 14

### Vraag 15 – Opgave 15

### Vraag 16 – Opgave 16

### Vraag 17 – Opgave 17

### Vraag 18 – Opgave 18

### Vraag 19 – Opgave 19

### Vraag 20 – Opgave 20

### Vraag 21 – Opgave 21

### Vraag 22 – Opgave 22

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

wiskunde B1
Examen HAVO
Hoger
Algemeen
Voortgezet
Onderwijs
20
05
Tijdvak 1
Woensdag 25 mei
13.30 - 16.30 uur
Voor dit examen zijn maximaal 82 punten te
behalen; het examen bestaat uit 22 vragen.
Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel
punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
Voor de beantwoording van vraag 5 is een
uitwerkbijlage bijgevoegd.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of
berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als
deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen,
voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden
gevraagd en je geeft meer dan twee redenen,
dan worden alleen de eerste twee in de
beoordeling meegeteld.
500017-1-130
Begin

### Pagina 2

Modderstroom
Er zijn vulkanen die geen lava uitspuwen,
maar een constante stroom modder geven. De
koude modder stroomt als een rivier
langzaam de helling af (zie foto 1). Aan de
rand van deze stroom droogt de modder op.
Daar stroomt de modder dus wat langzamer
dan in het midden. Dit is te zien aan het
geribbelde patroon.
Om dit snelheidsverschil te meten, gebruiken
geologen stenen die ze op de modderstroom
leggen. Bij een modderstroom van ruim 6 dm
breed gebeurt dat als volgt:
Een geoloog legt een rij van 7 stenen dwars
in de stroom. Elke steen krijgt een nummer
van 0 t/m 6. Steen nummer 0 legt hij vlak bij
de rand van de stroom. Het midden van steen
nummer 1 legt hij op 1 dm van het midden
van steen nummer 0. De afstand tussen de
middens van opeenvolgende stenen is steeds
1 dm. Steen nummer 6 ligt vlak bij de andere
rand. Het resultaat zie je in foto 2.
Elk uur meet hij de afstand die de stenen door
de stroom hebben afgelegd. In de
onderstaande figuren zie je de ligging na één
uur en na drie uur.
foto 1
foto 2
figuur 1
afgelegde
afstand
Ligging van de stenen na 1 uur
figuur 2
afgelegde
afstand
Ligging van de stenen na 3 uur
De afstand A (in dm) die de stenen na één uur hebben afgelegd, wordt beschreven door de
formule:
$A = -0,1x^2 + 0,6x + 19,4$
Hierbij is x de afstand in dm van het midden van een steen tot het midden van steen 0 bij
het begin van het proces.
3p 1□ Bereken de afstand die steen nummer 2 het eerste uur heeft afgelegd.
500017-1-130
2

### Pagina 3

De stenen gaan met de modder mee de berg af.
Elke steen heeft zijn eigen constante snelheid.
4p 2 Van welke stenen ligt die snelheid het dichtst bij 20 dm per uur?
Licht je antwoord toe met een berekening.
De geoloog heeft de stenen op een rechte lijn
loodrecht op de stroomrichting gelegd. Steen
nummer 3 zal door de stroom sneller vooruit
komen dan de andere stenen. Het
weglengteverschil W dat op die manier tussen
steen nummer 3 en steen nummer 6 na één
uur ontstaat, is afgebeeld in de figuur
hiernaast.
3p 3 Toon aan dat het weglengteverschil W tussen
steen nummer 3 en steen nummer 6 na één
uur 9 cm is.
Op een gegeven moment meet de geoloog een
weglengteverschil W tussen steen nummer 3
en steen nummer 6 van 83 cm.
4p 4 Bereken de totale afgelegde weg van de steen
met nummer 3, gerekend vanaf de plek waar
de geoloog de stenen in de modderstroom gelegd heeft.
Geef je antwoord in cm nauwkeurig.
figuur 3
afgelegde
afstand
W
0
1
2
3
4
5
6
x
Ligging van de stenen na 1 uur
500017-1-130
3
Lees verder

### Pagina 4

Alcohol en rijvaardigheid
Iemand die alcohol heeft gedronken en in een auto gaat rijden heeft een verhoogde kans op
een ongeluk. Deze kans hangt af van het bloedalcoholgehalte $B$, dat wordt uitgedrukt in
promillage. Een promillage van 1 wil zeggen dat 1 milliliter bloed één milligram pure
alcohol bevat.
Onderzoekers hebben voor een aantal promillages de verhoogde kans op een ongeluk
vastgesteld. Zie onderstaande figuur. In deze grafiek is bijvoorbeeld af te lezen dat bij een
promillage van 1,3 de risicofactor $R$ ongeveer 7 is. Dat wil zeggen dat de kans op een
ongeluk zeven maal zo groot is als de kans bij een promillage van 0.
Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage.
figuur 4
20
$R
↑
15
10
5
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
→ B (promillage)
Als er geen alcohol in het lichaam afgebroken zou worden, is er voor mannen het volgende
verband tussen het aantal glazen geronken glazen en het bloedalcoholgehalte:
$B=\frac{100a}{7m}$ (a is het aantal glazen en m is het lichaamsgewicht in kilogram).
Een jongen die geslaagd is voor zijn examen, verschijnt om 22.00 uur op een examenfeest
en drinkt in korte tijd 6 glazen bier. Direct daarna rijdt hij met zijn auto naar een ander
feest. Zijn lichaam heeft dan nog geen tijd gehad om ook maar een gedeelte van de
genuttigde alcohol af te breken.
Deze jongen weegt 69 kg.
3p 5
Leid met behulp van de gegeven formule en de grafiek op de uitwerkbijlage af hoe groot de
risicofactor $R$ is.
500017-1-130
4
Lees verder

### Pagina 5

Een meisje drinkt ieder half uur een glas bier. Haar eerste glas drinkt zij om 20.00 uur. Haar
laatste glas bier drinkt zij om 23.30 uur. Naast het bier drinkt zij die avond geen andere
alcoholhoudende drank. Dit meisje weegt 65 kilo.
Als er geen alcohol in het lichaam afgebroken zou worden, is er voor vrouwen het volgende
verband tussen het aantal gedronken glazen en het bloedalcoholgehalte:
$B=\frac{100a}{5m}$ (a is het aantal glazen en m is het lichaamsgewicht in kilogram).
In werkelijkheid wordt alcohol in het lichaam afgebroken. Dat begint een half uur na de
inname ervan. De afbraak gaat door zolang het bloed alcohol bevat. Er wordt per uur steeds
evenveel alcohol afgebroken.
Er geldt de volgende formule: $A=0,002\cdot m(u-0,5)$.
In deze formule staat A voor de afname van het bloedalcoholgehalte (in promillages),
u voor het aantal uren vanaf het moment waarop het eerste glas wordt gedronken en m voor
het gewicht in kilogram.
Uit de formules voor B en A volgt dat door één glas bier per half uur te drinken het bloed
van het meisje op elk moment alcohol bevat.
Na het feest gaat het meisje met de auto naar huis. Om 02.00 uur wordt zij door de politie
aangehouden voor een blaastest. Doorrijden met een promillage van 0,5 of hoger is in
Nederland niet toegestaan.
5p 6 $\Box$ Onderzoek of het meisje volgens deze regel van de politie mag doorrijden.
Uit een onlangs gepubliceerd onderzoek bleek dat 88% van de Nederlandse mannen van
15 jaar en ouder wel eens alcohol gebruikt.
3p 7 $\Box$ We nemen willekeurig twee Nederlandse mannen van 15 jaar en ouder.
Bereken de kans dat precies één van de twee wel eens alcohol gebruikt.
Van de Nederlanders die 15 jaar of ouder zijn, is 48% man en 52% vrouw.
Uit het genoemde onderzoek bleek dat van alle Nederlanders van 15 jaar en ouder 80% wel
eens alcohol gebruikt.
4p 8 $\Box$ Bereken hoeveel procent van de vrouwen wel eens alcohol gebruikt.
500017-1-130
5
Lees verder

### Pagina 6

```json
{
  "page_type": "opgaven",
  "exam_info": {
    "subject": "Nederlandse Spoorwegen",
    "year": null,
    "tijdvak": null
  },
  "transcription": "Nederlandse Spoorwegen\nBij de kaartjescontrole in de trein hanteert de\nNS het begrip controle-intensiteit. Met een\ncontrole-intensiteit van 10% op een bepaald\ntraject bedoelt de NS dat er in de spitsuren\ngemiddeld in 1 op de 10 ritten op dat traject\nkaartjescontrole plaatsvindt.\nWe gaan ervan uit dat iemand dan een kans\nvan 10% heeft om bij een rit op dat traject\ngecontroleerd te worden.\nfoto 3\nOpeens heb je\nJe wordt conducteu\n2p 9\nEen reiziger neemt op een dag een retourtje\nop dit traject (dat zijn dus twee ritten). Hij\nreist in de spitsuren. Neem aan dat de\ncontrole-intensiteit op dit traject 10% is.\nBereken de kans dat hij die dag op dit traject\nniet wordt gecontroleerd.\n3p 10\nDeze reiziger neemt in een bepaalde week op\nelk van de vijf werkdagen een retourtje op dit traject, waarbij hij steeds in de spits reist.\nBereken de kans dat hij tijdens deze werkweek precies één keer wordt gecontroleerd.\n3p 11\nWordt de controle-intensiteit op een bepaald traject gelijkgesteld aan p (in %), dan is de\nkans dat een reiziger in de spitsuren van een werkweek (10 ritten) geen enkele maal\ngecontroleerd wordt gelijk aan $(1 - 0,01p)^{10}$.\nToon dit aan.\n4p 12\nDe NS wil ervoor zorgen dat de kans dat een reiziger in de spitsuren van een werkweek\n(10 ritten) geen enkele maal gecontroleerd wordt, hoogstens 20% is.\nOnderzoek hoe groot de controle-intensiteit dan minstens moet zijn.\nGeef je antwoord in gehele procenten.\nfiguur 5\nDe pakkans bij zwartrijden hangt af van de wijze waarop wordt gecontroleerd en ook van de\nplaats die de reiziger in de trein kiest. Neem aan dat een trein uit 6 even grote rijtuigen\nbestaat: W1-W2-W3-W4-W5-W6 (zie onderstaande figuur).\nW1\nW2\nW3\nW4\nW5\nW6\n5p 13\nDe conducteur controleert op elke rit twee aangrenzende rijtuigen: hij stapt in een\n")]
}
```

### Pagina 7

Hieronder is de grafiek van een normale verdeling getekend met gemiddelde $\mu$ en standaardafwijking $\sigma$ .

[FIGUUR: Een normale verdeling met de x-as gelabeld met $\mu-4\sigma, \mu-3\sigma, \mu-2\sigma, \mu-\sigma, \mu, \mu+\sigma, \mu+2\sigma, \mu+3\sigma, \mu+4\sigma$. De y-as loopt van 0 tot 0,45. Een deel van de curve is gearceerd, overeenkomend met het gebied tussen $\mu-\sigma$ en $\mu+2\sigma$.]

figuur 6

3p 15 $\Box$ Bereken de kans dat op een willekeurige dag het aantal geboorten tussen $\mu - \sigma$ en $\mu + 2\sigma$ ligt.
De groei van de bevolking hangt ook af van het aantal sterfgevallen. We nemen aan dat het aantal sterfgevallen per dag ook bij benadering normaal verdeeld is en niet afhankelijk is van het aantal geboorten per dag.
Dagen waarop zowel het aantal geboorten als het aantal sterfgevallen ligt tussen het gemiddelde min één standaardafwijking en het gemiddelde plus één standaardafwijking komen uiteraard veel voor.
4p 16 $\Box$ Bereken dat op een willekeurige dag zowel het aantal geboorten als het aantal sterfgevallen minder dan één standaardafwijking afwijkt van het gemiddelde.
De normale verdeling van het aantal sterfgevallen per dag in Nederland heeft een gemiddelde van 385. Een grafiek hiervan staat hiernaast.
Gegeven is dat de kans op een uitkomst tussen 367,3 en 402,7 bij deze normale verdeling 60% is. Zie daarvoor de figuur en het grijs gekleurde vlakdeel.
4p 17 $\Box$ Bereken de standaardafwijking van deze verdeling.
[FIGUUR: Een normale verdeling met de x-as gelabeld met waarden rond 385, waaronder 367,3 en 402,7. Er zijn twee gebieden gearceerd, beide met 30% erin. De linkse gearceerde gebied is tussen de linker pijl (367,3) en het midden van de curve. Het rechtse gearceerde gebied is tussen het midden van de curve en de rechtse pijl (402,7).]
In onderstaande tabel staan prognoses van de bevolking in Nederland.
tabel

Jaar
Totale bevolking
Percentage 65+-ers
2005
16 425 000
13,9
2010
16 865 000
14,8
2015
17 205 000
16,9
2020
17 492 000
18,4
Volgens deze tabel vergrijst de bevolking in de periode van 2005 tot 2020. Het percentage 65+-ers neemt namelijk toe van 13,9 naar 18,4. Het aantal 65+-ers stijgt eveneens in deze periode.
4p 18 $\Box$ Bereken met hoeveel procent het aantal 65+-ers in Nederland in de periode 2005-2020 zal stijgen.
Om een schatting te geven van de grootte van de Nederlandse bevolking in 2009 gaat men uit van een exponentiële groei in de periode 2005-2010. Het groeicfciënt over deze periode is ongeveer 2,7%. Als startwaarde gebruiken we de grootte van de bevolking in 2005.
4p 19 $\Box$ Geef, uitgaande van deze exponentiële groei, een schatting van de grootte van de Nederlandse bevolking van 2009. Rond je antwoord af op duizendtallen.
Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.

500017-1-130
7
Lees verder

### Pagina 8

Derdegraadsfuncties
Gegeven is de functie $f(x) = -x^3 + 27x + 44$
De punten A en B zijn de toppen van de
grafiek van f (zie figuur 8).
Deze toppen liggen even ver van de y-as.
5p 20
Toon dit aan met behulp van differentiëren.
figuur 8
y!
A
Q is het snijpunt van de grafiek van f met de
y-as. De lijn k door Q evenwijdig aan de x-as
snijdt de grafiek ook nog in de punten P en R
(zie figuur 9).
5p 21
Bereken de lengte van PR.
Rond je antwoord af op twee decimalen.
Een familie van functies is gegeven door
$h(x) = (x+4)(p+4x-x^2)$, waarbij p elk reëel
getal kan voorstellen.
4p 22
Toon aan met behulp van algebra dat er een waarde van p is waarbij de bijbehorende functie
h gelijk is aan de functie f.
Einde
figuur 9
y!
B
P
k
O
R
x
500017-1-13o
8
B