# Eindexamen Wiskunde B HAVO 2002 tijdvak 2

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2002/tijdvak-2

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Opgave 1

### Vraag 4 – Opgave 4

### Vraag 15 – Opgave 15

### Vraag 16 – Opgave 16

### Vraag 17 – Opgave 17

### Vraag 18 – Opgave 18

### Vraag 19 – Opgave 19

### Vraag 20 – Opgave 20

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen HAVO
Wiskunde B1 (nieuwe stijl)
Hoger
Algemeen
Voortgezet
Onderwijs
20 02
Tijdvak 2
Woensdag 19 juni
13.30-16.30 uur
Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te
behalen; het examen bestaat uit 20 vragen.
Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel
punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
Voor de uitwerking van de vragen 1, 4 en 15 is een
bijlage toegevoegd.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of
berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als
deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen,
voorbeelden c.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden
gevraagd en je geeft meer dan twee redenen,
dan worden alleen de eerste twee in de
beoordeling meegeteld.
200028 18 Begin

### Pagina 2

Pompen of ...

Een cilindervormig vat met een hoogte van 32 decimeter heeft een inhoud van 8000 liter (1 liter = 1 dm³) en is geheel gevuld met water.
Aan de kraan onder aan het vat (zie figuur 1) wordt een pomp aangesloten. Hiermee wordt per minuut 60 liter water uit het vat gepompt. Daardoor zal de waterspiegel met constante snelheid dalen.
De hoogte $h$ in decimeter van de waterspiegel is afhankelijk van de tijd $t$ in minuten vanaf het moment waarop de pomp wordt aangezet. Op tijdstip $t=0$ geldt dus $h=32$.

4p 1 $\Box$ Teken in de figuur op de bijlage de grafiek die het verband weergeeft tussen de hoogte $h$ en de tijd $t$ bij het leegpompen van het vat.

Men kan ook de kraan open draaien zonder de pomp aan te sluiten. Het vat stroomt dan leeg.
Tijdens het leegstromen geldt voor de hoogte $h$ van de waterspiegel op tijdstip $t$ bij benadering de formule:
$$h(t) = 0,0008t^2 - 0,32t + 32$$
Hierin is $t$ de tijd in minuten vanaf het moment waarop de kraan wordt opengedraaid en $h$ de hoogte van de waterspiegel in decimeter.

De snelheid waarmee de waterspiegel daalt, neemt voortdurend af.
Volgens bovenstaande formule valt het tijdstip waarop deze snelheid gelijk aan 0 is samen met het tijdstip waarop het vat leeg is.
5p 2 $\Box$ Toon dit met behulp van differentiëren aan.

Op een gegeven moment is het vat geheel gevuld met water en laat men het leeg stromen. De tijd die nodig is om de eerste 4000 liter te laten wegstromen is korter dan de tijd die nodig is voor de tweede 4000 liter.
5p 3 $\Box$ Bereken hoeveel minuten korter het laten wegstromen van de eerste 4000 liter duurt dan het laten wegstromen van de tweede 4000 liter. Geef je antwoord in gehele minuten nauwkeurig.

200028 18 2 Lees verder

### Pagina 3

In figuur 2 is de grafiek van $h$ als functie van $t$ getekend als men het vat leeg laat stromen.
Deze figuur staat ook op de bijlage.
[FIGUUR: Grafiek met op de y-as hoogte $h$ (van 0 tot 35) en op de x-as tijd $t$ (van 0 tot 140). De grafiek toont een dalende lijn, beginnend bij (0, 35) en eindigend bij (140, 5).]

Als men het vat leeg pompt, daalt de waterspiegel met een constante snelheid.
Als men het vat laat leeg stromen, neemt de snelheid waarmee de waterspiegel daalt
voortdurend af.

5p 4
Geef op de bijlage het grafiekdeel aan waar geldt dat de waterspiegel bij leeg stromen
sneller daalt dan bij leeg pompen. Licht je werkwijze toe.

200028 18 3 Lees verder

### Pagina 4

```json
{
  "description": "Dit is een examenpagina (opgave) betreffende het 'Balansspel', gericht op beroeps- en studiekeuze in het voortgezet onderwijs. De pagina bevat tekstuele uitleg over het spel en de bijbehorende opgaven, aangevuld met een ondersteunende visuele element. Het visuele element omvat een logo van 'BALANS BALANCE' dat een gestileerde voorstelling van mensen in beweging lijkt te zijn. Kern van de pagina is een tabel met een 'wensenlijst', onderverdeeld in drie leefgebieden: A (gezin/zorg), B (school/beroep), en C (engagement/vrije tijd). Elk gebied bevat 5 specifieke wensen.\n\nDe opgaven vereisen het toepassen van waarschijnlijkheidsrekening en combinatoriek. De student wordt gevraagd om: \n1. De kans te berekenen dat bij een selectie van 6 leerlingen uit een klas van 20 jongens en 10 meisjes specifiek 4 jongens en 2 meisjes worden gekozen (vraag 5).\n2. De kans te berekenen dat een speler (Pieter) die een vaste combinatie van wensen kiest uit verschillende gebieden (alles uit A, 2 uit B, 1 uit C) bepaalde specifieke wensen heeft gekozen (vraag 6).\n3. De kans te berekenen dat twee spelers (Anouk en Myrthe) bij een willekeurige keuze van wensen uit gebied A beiden dezelfde specifieke wens hebben gekozen (vraag 7).\n4. Te bewijzen dat een speler (Bas) die acht wensen kiest uit twee specifieke gebieden (A en C), een bepaald aantal keuzemogelijkheden heeft (45) (vraag 8).\n5. Het totale aantal toegestane keuzemogelijkheden voor acht wensen te berekenen, waarbij van elk van de drie gebieden één wens gekozen moet worden (vraag 9).\n\nDe vragen zijn oplopend in complexiteit en vereisen een grondig begrip van kansberekening en combinatorische principes zoals combinaties en voorwaardelijke kansen. De opgave test zowel analytisch denkvermogen als de vaardigheid om wiskundige concepten toe te passen in een contextuele spelsetting.",
  "summary": "Examenpagina met opgaven over kansrekening en combinatoriek in het 'Balansspel'. Bevat een tabel met wensenlijst voor drie leefgebieden. Studenten moeten kansen berekenen voor selectie van leerlingen, selectie van wensen, en het aantal keuzemogelijk

### Pagina 5

Visserijbeheer

Regelmatig wordt er onderzoek gedaan naar de visstand in de Noordzee. De paaistand van
een vissoort is de hoeveelheid vis (in tonnen) die voor nakomelingen kan zorgen
(1 ton = 1000 kg).
Voor kabeljauw is een ondergrens van 70 000 ton voor de paaistand vastgesteld. Als de
paaistand onder deze grens komt, dan komt bij normale omstandigheden de aanwas van
voldoende kabeljauw voor de toekomst in gevaar. In figuur 3 zijn voor de periode
1963-2000 de paaistand en de ondergrens grafisch weergegeven.
Om de paaistand op peil te houden moet de visvangst worden beperkt. Voor
de vangst van kabeljauw is een bovengrens vastgesteld van 0,86; dat betekent dat bij een
jaarlijkse vangst van 86% (of meer) van de totale populatie de aanwas in gevaar komt. In
figuur 4 zijn voor de periode 1963-1999 het verloop van de vangst van kabeljauw en de
bovengrens grafisch weergegeven.

[FIGUUR: Grafiek met op de x-as de jaren van 1963 tot 1998 en op de y-as de paaistand van kabeljauw in tonnen. Een lijn met datapunten geeft de paaistand weer, met een horizontale lijn op 70.000 ton.]
figuur 3 Paai stand van kabeljauw (in tonnen)
in de Noordzee met ondergrens

[FIGUUR: Grafiek met op de x-as de jaren van 1963 tot 1998 en op de y-as de vangst van kabeljauw als deel van de totale populatie. Een lijn met datapunten geeft de vangst weer, met een horizontale lijn op 0,86.]
figuur 4 Vangst van kabeljauw (als deel van de totale populatie)
in de Noordzee met bovengrens

3p 10 □ Neem aan dat de paai stand een vast percentage is van de totale populatie.
Onderzoek of in 1978 ongeveer evenveel kabeljauw gevangen is als in 1972.

4p 11 □ De grafiek van de paai stand voor de periode 1983-1993 kan benaderd worden door de
grafiek van een exponentieel verband. Volgens dit exponentieel verband daalt de paai stand
in deze periode van 150 000 ton in 1983 tot 65 000 ton in 1993.
Bereken de paai stand in 1990 volgens dit model.

4p 12 □ De vangst van kabeljauw schommelt al bijna 20 jaar rond de bovengrens.
Neem aan dat er vanaf 1999 een totaal verbod geldt op het vissen van kabeljauw in de
Noordzee en dat de paai stand P zich vanaf dat moment bij benadering ontwikkelt volgens
de formule:

$$ \log P = 4,82 + 0,1t $$ met P in tonnen en t in jaren vanaf 1999

Als de paai stand boven de 150 000 ton ligt, wordt het vangstverbod weer opgeheven.
Na hoeveel jaar zou volgens deze formule de paai stand P voor het eerst weer boven de
150 000 ton liggen?

200028 18 5 Lees verder


### Pagina 6

Geboortegewicht
Baby's wegen bij de geboorte gemiddeld 3250 gram. Het geboortegewicht is bij benadering
normaal verdeeld met een standaardafwijking van 425 gram.

3p 13□ Volgens babyinfo.nl weegt een baby bij de geboorte meestal zo'n 3000 tot 3500 gram.
Onderzoek of deze bewering van babyinfo.nl juist is.

Volgens Dr. Miriam Stoppard, schrijfster van o.a. het boek Baby, heeft ongeveer 4 procent
van de baby's een laag geboortegewicht.
5p 14□ Bereken, uitgaande van het\vspace{0.1cm}genoemde gemiddelde en standaardafwijking, onder welk
gewicht een baby volgens Dr. Stoppard een laag geboortegewicht heeft.

[FIGUUR: Grafiek met op de y-as percentage (van 0 tot 30) en op de x-as gewicht in kg (van 2,7 tot 3,1). Twee krommen, een gestippelde voor meisjes en een doorgetrokken voor jongens.]

Figuur 5 is een illustratie uit Het lijfboek van het kind en is gebaseerd op cijfermateriaal van
ruim 25 jaar geleden. De figuur laat de verdelingen zien van het geboortegewicht van
jongens en meisjes.
Neem aan dat de groep baby's waarop het cijfermateriaal betrekking heeft, bestaat uit
evenveel jongens als meisjes. Ook van die hele groep baby's kan de verdeling van het
geboortegewicht getekend worden.
3p 15□ Teken die grafiek in de figuur op de bijlage.

Al jarenlang worden er meer jongens dan meisjes geboren.
In Nederland is dat ongeveer 51% jongens tegen 49% meisjes.
Op basis hiervan nemen we aan dat bij een geboorte de kans op een jongen 51% is.

In een kraamkamer van een ziekenhuis liggen 15 pasgeboren baby's.
5p 16□ Bereken de kans dat het aantal meisjes hierbij acht of meer is. Geef je antwoord in vier
decimalen nauwkeurig.

200028 18 6 Lees verder

### Pagina 7

Deze pagina maakt deel uit van een examenopgave met de titel 'Vliegen', gericht op de relatie tussen gewicht, vleugeloppervlak, kruissnelheid en luchtdichtheid bij vogels en vliegtuigen. De pagina bevat geen visuele elementen zoals grafieken of tabellen. De wiskundige concepten omvatten het werken met formules, het omrekenen van eenheden (gram naar kilogram, cm² naar m², km/uur naar m/s) en het uitvoeren van berekeningen met exponenten en verhoudingen. De kernformule die wordt geïntroduceerd is W = 0,03 * d * V² * S, waarbij W het gewicht in kilogram is, S het vleugeloppervlak in vierkante meter, d de luchtdichtheid in kilogram per kubieke meter en V de kruissnelheid in meter per seconde. Later wordt het concept 'vleugelbelasting' (W/S) geïntroduceerd. Een specifieke verhouding voor zeevogels wordt gegeven: W/S = 5,5 * W^(1/3). Van de student wordt gevraagd om in vier deelvragen (17 t/m 20) diverse berekeningen uit te voeren: (17) de kruissnelheid van een merel berekenen met gegeven waarden en eenheden omrekenen; (18) de vleugelbelasting van een Boeing 747 berekenen, eveneens met eenhedenconversie; (19) de relatieve vleugelbelasting tussen een mantelmeeuw en een kokmeeuw bepalen op basis van een geschaalde kruissnelheid; en (20) een gegeven formule voor zeevogels (W/S = 5,5 * W^(1/3)) om te zetten naar de vorm S = a * W^b en de coëfficiënten a en b te berekenen. Daarbij wordt nauwkeurigheid in afronden (gehele getallen of twee decimalen) gevraagd.