# Eindexamen Wiskunde B HAVO 2001 tijdvak 2

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2001/tijdvak-2

## Vragen in dit examen

### Vraag 6 – Opgave 6

### Vraag 10 – Opgave 10

### Vraag 11 – Opgave 11

### Vraag 12 – Opgave 12

### Vraag 13 – Opgave 13

### Vraag 14 – Opgave 14

### Vraag 15 – Opgave 15

### Vraag 16 – Opgave 16

### Vraag 17 – Opgave 17

### Vraag 18 – Opgave 18

### Vraag 19 – Opgave 19

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen HAVO
Hoger
Algemeen
Voortgezet
Onderwijs
[FIGUUR: Een verticale tekstkolom met de tekst "Wiskunde B1 (nieuwe stijl)"]
20 01
Tijdvak 2
Woensdag 20 juni
13.30 - 16.30 uur
Voor dit examen zijn maximaal 81 punten te
behalen; het examen bestaat uit 19 vragen.
Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel
punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
Voor de uitwerking van de vragen 10, 12, 13 en
14 is een bijlage toegevoegd.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of
berekening vereist is, worden aan het
aantal punten geen punten toegekend als
deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen,
voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden
gevraagd en je geeft er meer dan twee redenen,
dan worden alleen de eerste twee in de
beoordeling meegeteld.
100020 18
Begin

### Pagina 2

Dergraadsfunctie
In figuur 1 is de grafiek getekend van de
functie
$f(x) = (x^2 - 1) \cdot (x - 2)$.
[FIGUUR: Grafiek van een derdegraadsfunctie met een lokale maximum links van de y-as en een lokale minimum rechts van de y-as. De grafiek snijdt de y-as boven de oorsprong en snijdt de x-as bij $x = -1$, $x = 1$ en $x = 2$.]
4p 1
Los op voor welke waarden van $x$ geldt
$f(x) < 0$.
3p 2
Toon langs algebraïsche weg aan dat voor
de afgeleide functie $f'$ geldt
$f'(x) = 3x^2 - 4x - 1$.
4p 3
Lijn $l$ raakt de grafiek van $f$ in het punt $A(-3, -40)$.
Stel langs algebraïsche weg een vergelijking op van lijn $l$.
7p 4
Er is één horizontale lijn boven de $x$-as die met de grafiek van $f$ precies twee punten
gemeenschappelijk heeft. Die twee punten worden $B$ en $C$ genoemd.
Bereken de lengte van $BC$. Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.
100020 18 2 Lees verder

### Pagina 3

```json
{
  "description": "Dit is een examenpagina met opgaven die gericht zijn op statistiek en kansrekening, in de context van productgewicht en levering van potgrond. De pagina bevat vier opgaven (genummerd 5 t/m 8), elk met een puntentelling. Visuele elementen omvatten een tabel (Tabel 1) die het aantal zakken per vol pallet toont voor 50 liter-, 25 liter- en 80 liter-zakken potgrond. De wiskundige/wetenschappelijke concepten die aan bod komen zijn onder andere: normale verdeling, gemiddelde, standaardafwijking, kansberekening (met betrekking tot gewicht van individuele zakken en een hele partij), kwaliteitscontrole (percentage van zakken dat aan een gewichtseis voldoet) en optimalisatieproblemen (levering van een specifieke hoeveelheid met restricties op het aantal pallets van verschillende soorten zakken).\n\nVan de student wordt gevraagd: \n- Bij opgave 5: de kans te berekenen dat twee willekeurige zakken beide meer dan 11,7 kg wegen, gegeven dat het gewicht normaal verdeeld is.\n- Bij opgave 6: te onderzoeken of een partij van 500 zakken voldoet aan de eis dat minimaal 98% van de zakken 11,0 kg of meer weegt, eveneens gebaseerd op een normale verdeling.\n- Bij opgave 7: het gemiddelde vulgewicht te berekenen waarop een machine moet worden ingesteld, zodat slechts 2% van de zakken minder dan 11,0 kg weegt, met een gegeven standaardafwijking en normale verdeling.\n- Bij opgave 8: een optimalisatieprobleem op te lossen voor de levering van 20.000 liter potaarde. Hierbij moet de student het aantal pallets van drie verschillende soorten zakken bepalen, rekening houdend met diverse voorwaarden over de onderlinge verhoudingen (meer 50-liter dan 25-liter, meer 25-liter dan 80-liter) en het leveren van minstens één pallet van elke soort. De student moet alle stappen van de probleemoplossing documenteren.",
  "summary": "Examenpagina met opgaven over statistiek en kansrekening in de context van potgrond. Bevat concepten zoals normale verdeling, gemiddelde, standaardafwijking, kansberekening en optimalisatie. Vraagt om berekeningen van kansen, naleving van kwaliteitsnormen, instellen van machinevulgewichten en optimalisatie van palletleveringen

### Pagina 4

Deze examenpagina is een opgavepagina met als hoofdonderwerp 'Windenergie'. De pagina bevat zowel inleidende tekst, een visueel element (een figuur), als diverse opdrachten. Visueel is er 'figuur 2', een schematische tekening van een windturbine met aanduidingen voor 'rotor diameter', 'rotorblad', 'draaias', 'ashoogte' en 'grond'.

De pagina behandelt wiskundige en wetenschappelijke concepten omtrent windenergie, waaronder het vermogen van windturbines en de factoren die dit beïnvloeden: ashoogte, windsnelheid (V) en rotordiameter (D). Er worden specifieke formules gegeven, zoals P = 0,195 * V^3 voor een algemeen type windturbine bij bepaalde windsnelheden en P = 0,0001 * V^3 * D^2 voor 'Eolus' type windturbines. Er is tevens een verband beschreven tussen ashoogte en vermogen (1 meter toename ashoogte levert 1% meer vermogen).

Van de student wordt gevraagd diverse berekeningen uit te voeren: (9) berekening van procentuele vermogenstoename bij verandering van ashoogte, (10) het tekenen van een grafiek van vermogen als functie van windsnelheid op een bijlage, rekening houdend met verschillende bedrijfscondities van de turbine (inschakelen, constant vermogen, uitschakelen), (11) het berekenen van de windsnelheid voor een gegeven vermogen en rotordiameter met de Eolus-formule, en (12) het tekenen van een grafiek voor de Eolus-formule op een bijlage met behulp van een grafische rekenmachine, en het vermelden van de ingevoerde formule. De opdrachten testen kennis van exponentiële groei, functieanalyse, grafieken en het oplossen van vergelijkingen met windenergie als context.

### Pagina 5

Bevolkingsgroei
Op 1 januari 1985 telde een land 12,9 miljoen inwoners. Door het hoge geboortecijfer en
het steeds lager wordende sterftecijfer bleef de bevolking de jaren daarna sterk groeien.

In de grafiek van figuur 3 is voor de jaren 1985 tot en met 1990 de ontwikkeling van
het aantal inwoners weergegeven.
Op de verticale as is log $N$ uitgezet, waarbij $N$ het aantal inwoners is.
Op de horizontale as is de tijd $t$ uitgezet, waarbij $t$ de tijd in jaren is, gerekend vanaf
1 januari 1985.

De zes stippen in de grafiek staan voor het getelde aantal inwoners per 1 januari van
de betreffende jaren. De stippen liggen bij benadering op een rechte lijn.
Uit de grafiek kun je bijvoorbeeld aflezen dat voor $t = 0$ geldt dat log $N = 7,11$, waaruit
volgt dat $N = 10^{7,11} \approx 12,9$ miljoen.

De grafiek staat ook op de bijlage. Die mag je gebruiken bij het beantwoorden van de
vragen 13 en 14.

[FIGUUR: Een grafiek met op de y-as log N en op de x-as t (jaren, beginnend bij 0). De y-as loopt van 7,10 tot 7,40. De x-as loopt van 0 tot 30. Er is een lijn getekend die ongeveer recht stijgt. Twee lijnen, 'werkelijk' en 'denkbeeldig', zijn in de grafiek getekend.]

Voor de periode van 1-1-1985 ($t=0$) tot en met 1-1-1990 ($t=5$) geeft de grafiek
het werkelijke aantal inwoners weer.

In de vragen 13 en 14 veronderstellen we dat de groei van dit aantal vanaf 1-1-1990
zich voortzet als in de vijf voorafgaande jaren.

4p 13 Toon met behulp van deze grafiek aan dat de bevolking in de periode van 1-1-1985
tot en met 1-1-1995 met ongeveer 32% zou zijn toegenomen.

4p 14 In welk jaar zou het aantal inwoners zijn verdubbeld ten opzichte van 1-1-1985?
Licht je antwoord toe.

De bevolking van twee andere landen (land A en land B) groeit vanaf 1-1-1985
($t=0$) volgens de formules

$N = 9\ 300\ 000 \cdot 1,024^t$ (land A) en
$N = 6\ 200\ 000 \cdot 1,036^t$ (land B).

4p 15 Onderzoek vanaf welk jaar land B meer inwoners zal hebben dan land A.
Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.

100020 18 5 Lees verder
Voor alle eindexamens, zie ook www.alleeindexamens.nl. Voor de perfecte voorbereiding op je eindexamen, zie ook www.sslheiden.nl. Pagina: 1857

### Pagina 6

Powerbead-armbanden
Op de onderstaande foto's zie je verschillende zogenaamde powerbead-armbanden.
Van deze armbanden wordt beweerd dat ze, afhankelijk van de steensoort, een
bepaalde uitwerking hebben.
foto's

Een reformwinkel verkoopt acht soorten van deze armbanden. Hieronder zie je een
bestelformulier waarop de steensoort en de bijbehorende werking vermeld zijn.
Werking Powerbead-armbanden:
O Amethist: Intelligentie
Prikkelt een rationele geest en scherpt het
verstand.
O Aragoniet: Concentratie
Helpt bij concentratie en vermindert onrust
en nervositeit.
O Aventurijn: Succes
Verfeffent de weg naar succes.
O Bergkristal: Kracht
Geeft de kracht om alle uitdagingen van het
leven aan te kunnen.
O Labradoriet: Gevoel
Bevordert het gevoel en het herinnerings-
vermogen. Geeft een realistische blik.
O Onyx: Wilskracht
Helpt om genomen beslissingen
daadwerkelijk uit te voeren.
O Parelmoer: Geld
Zorgt voor een gelukkige hand als het geld
betreft.
O Roze kwarts: Liefde
Helpt om relaties te verdiepen of nieuwe
vriendschappen te beginnen.

3p 16 ☐ Bereken het totaal aantal bestellingen dat je kunt doen van drie verschillende
armbanden.

Marjolein heeft vier armbanden, namelijk van aventurijn,
kwarts.
Ze staan voor Succes, Gevoel, Wilskracht en Liefde.

Marjolein draagt altijd één of meer van deze vier armbanden.
4p 17 ☐ Bereken hoeveel verschillende mogelijkheden ze heeft om dat te doen.

Marjolein doet aselect de vier armbanden om haar linkerarm.
5p 18 ☐ Bereken hoe groot de kans is dat Liefde en Succes naast elkaar om haar arm zitten.

De ervaring leert dat 20% van de verkochte armbanden roze kwarts
armbanden (Liefde) zijn.
3p 19 ☐ Bereken de kans dat van 500 verkochte armbanden er 90 of minder van het soort
'roze kwarts' zijn. Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.

Einde

100020 18 6