# Eindexamen Wiskunde B HAVO 2000 tijdvak 2

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/2000/tijdvak-2

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Opgave 1

### Vraag 2 – Opgave 2

### Vraag 3 – Opgave 3

### Vraag 4 – Opgave 4

### Vraag 5 – Opgave 5

### Vraag 6 – Opgave 6

### Vraag 7 – Opgave 7

### Vraag 8 – Opgave 8

### Vraag 9 – Opgave 9

### Vraag 10 – Opgave 10

### Vraag 11 – Opgave 11

### Vraag 12 – Opgave 12

### Vraag 13 – Opgave 13

### Vraag 14 – Opgave 14

### Vraag 15 – Opgave 15

### Vraag 16 – Opgave 16

### Vraag 17 – Opgave 17

### Vraag 21 – Opgave 21

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Wiskunde B1
Examen HAVO
Hoger
Algemeen
Voortgezet
Onderwijs
20|00
Tijd vak 2
Woensdag 21 juni
13.30-16.30 uur
Dit examen bestaat uit 21 vragen.
Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel
punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
Voor de uitwerking van de vragen 1, 10, 11, 12, 13
en 21 is een bijlage toegevoegd.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of
berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als
deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen,
voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden
gevraagd en je geeft er meer dan twee redenen,
worden alleen de eerste twee in de
beoordeling meegeteld.
000014 23
Begin

### Pagina 2

Temperatuurverloop
Het verloop van de temperatuur kan gedurende de 24 uren van een dag nogal grillig zijn.
In vereenvoudigde vorm is het temperatuurverloop gedurende een dag redelijk te
benaderen door een sinusoïde met een periode van 24 uur.
Het KNMI hanteert voor De Bilt voor de dagen in de maand juni de volgende
waarden: de maximumtemperatuur is 21,0 °C, deze wordt bereikt om 3 uur 's middags;
de minimumtemperatuur is 12,2 °C.
T is de temperatuur in graden Celsius op een dag in juni en u het aantal uren na
middernacht.
Bij vraag 1 hoort een figuur op de bijlage.
4p 1 ☐ Teken in deze figuur een assenstelsel en daarin de grafiek van het verband tussen T en u.
4p 2 ☐ Stel een formule op van het verband tussen T en u.
Voor een dag in april geldt bij benadering de volgende formule voor het verband
tussen T en u:
$$ T = 7,6 + 4,3 \sin \frac{\pi}{12}(u - 10) $$
5p 3 ☐ Bereken hoe lang het volgens deze formule op een dag in april warmer is dan 10 °C.
Rond je antwoord af op een geheel aantal minuten.
Op een bepaald moment op de dag is de temperatuurstijging het sterkst.
5p 4 ☐ Hoe groot is volgens de bovenstaande formule die sterkste stijging van de temperatuur?
Geef je antwoord in °C per minuut. Licht je antwoord toe.
000014 23 2 Lees verder

### Pagina 3

Melkpakken vullen
In een zuivelfabriek worden literpakken melk gevuld.
Op een zekere dag wordt van alle pakken melk die het eerste kwartier werden
geproduceerd de inhoud bepaald. De gegevens van deze metingen staan in
onderstaande frequentietabel.
[FIGUUR: Tabel met twee kolommen: "inhoud (ml)" en "aantal pakken". De rijen zijn: 980-985 (1), 985-990 (12), 990-995 (43), 995-1000 (154), 1000-1005 (234), 1005-1010 (92), 1010-1015 (35), 1015-1020 (8), totaal (550).]
label 1
tabel 1
3p 5 Hoe groot is de gemiddelde inhoud van deze pakken? Rond je antwoord af op één
decimaal.
Het bedrijf gebruikt ook een andere vulmachine. Van deze vulmachine is bekend dat
het de pakken vult met gemiddeld 1005 ml. De inhoud van deze pakken is normaal
verdeeld met een standaardafwijking van 8 ml.
4p 6 Bereken hoeveel procent van de pakken minder dan een liter melk bevat.
Nieuwe richtlijnen schrijven voor dat maximaal 2% van de pakken minder dan een
liter melk mag bevatten. Het gemiddelde van de machine is in te stellen in stappen
van 1 ml, de standaardafwijking blijft bij elke instelling 8 ml.
5p 7 Bereken de waarde waardoor het gemiddelde minstens ingesteld moet worden, opdat
aan de nieuwe richtlijnen wordt voldaan.
We gaan er bij de volgende vragen van uit dat bij een juist afgestelde machine de kans
dat een pak minder dan een liter melk bevat 0,02 is.
Elke dag wordt er een steekproef van 10 pakken melk uit de productie van zo’n
machine genomen om de instelling te controleren.
3p 8 Bereken de kans dat in zo’n steekproef precies één pak voorkomt dat minder dan een
liter melk bevat. Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.
Worden in een steekproef van 10 pakken twee of meer pakken aangegeven die
minder dan een liter melk bevatten, dan wordt de machine stilgezet, nageteken en
eventueel opnieuw afgesteld. Is er precies één pak met minder dan een liter melk
dan wordt nog een tweede steekproef van 10 pakken genomen. Zitten er in de twee
steekproeven samen twee of meer pakken met te weinig melk dan wordt de machine
stilgelegd.
De ondernemer wil deze omslachtige manier van testen vereenvoudigen. Hij stelt
voor direct een steekproef van 20 pakken te nemen. Zitten er twee of meer pakken
met minder dan een liter er dan moet de machine stilgelegd worden.
5p 9 Leidt de manier van testen die de ondernemer voorstelt vaker, minder vaak of even
vaak tot het stilleggen van de machine? Licht je antwoord toe.
000014 23
3
Lees verder

### Pagina 4

Hoge bomen

In Amerika zijn 576 verschillende soorten bomen onderzocht. Van elke soort is het
hoogste exemplaar opgespoord en daarvan is de diameter van de stam op 1 meter
boven de grond gemeten. Onderzocht is of er een verband bestaat tussen deze
diameter $D$ (in meters) en de hoogte $H$ (in meters) van deze bomen.
Om van alle bomen de gegevens in één figuur duidelijk te kunnen weergeven is $\log D$
uitgezet tegen $\log H$. Het resultaat is de puntenwolk in figuur 1. Hierin is een rechte
lijn $k$ getekend die goed bij deze puntenwolk past.
Dezelfde figuur staat vergroot op de bijlage bij de vragen 10, 11, 12 en 13.

[FIGUUR: Een grafiek met op de y-as 'log D' en op de x-as 'log H'. Er is een puntenwolk en een rechte lijn k getekend.]

Eén van de bomen is aangegeven met de letter $P$. Uit de grafiek op de bijlage lees je
bijvoorbeeld af dat voor deze boom geldt $\log D \approx 0,2$.
10 (3p) Bereken de diameter op 1 meter boven de grond en de hoogte van deze boom.
Rond de diameter af op een geheel aantal decimeters en de hoogte af op een geheel
aantal meters.

11 (4p) Voor een andere boom in de figuur geldt dat de hoogte 15,85 meter is en dat de
diameter op 1 meter boven de grond gelijk is aan 25,1 centimeter.
Geef in de figuur op de bijlage aan welke boom dit is. Geef een toelichting.

Het verband tussen $D$ en $H$ voor bomen in de puntenwolk kan grofweg worden
benaderd met een formule die past bij de lijn $k$.
Een formule voor $k$ is: $\log D = -2 + 1,5 \log H$.

12 (4p) Een boom heeft op 1 meter hoogte een diameter van 2,5 meter.
Bereken met behulp van de formule voor $k$ de hoogte van deze boom. Geef je antwoord
in gehele meters nauwkeurig.

13 (5p) In sommige gevallen is de hoogte van een boom met een bepaalde diameter het
dubbele van wat de lijn $k$ bij die diameter aangeeft. Voor die bomen geldt:
$\log D = -2,45 + 1,5 \log H$.
Geef in de figuur op de bijlage aan welke bomen de hoogte meer is dan het
dubbele van wat de lijn $k$ aangeeft.

000014 23 4 Lees verder


### Pagina 5

Niertransplantaties
Eurotransplant is een stichting die zich bezig houdt met het op elkaar afstemmen van
vraag en aanbod van donororganen.
Bij transplantaties ontstaan afstotingsverschijnselen die onder controle gehouden
moeten worden. Als iemand bijvoorbeeld een nier nodig heeft, moet bij transplantatie
gezorgd worden voor een donor met weefselkenmerken die goed bij de ontvanger
passen. Zo wordt de kans op afstotingsverschijnselen verminderd. Behalve op
weefselkenmerken wordt ook op veel andere kenmerken gelet.
Zo worden donor en ontvanger bijvoorbeeld ook vergeleken op de volgende twee
kenmerken van bloedcellen: het B-kenmerk en het L-kenmerk. Als donor en ontvanger
voor een kenmerk goed bij elkaar passen, zegt men dat ze 'matchen' voor dat
kenmerk.
Eurotransplant slaagt er bij niertransplantaties in om in 88% van de gevallen donor en
ontvanger te matchen voor het B-kenmerk. Voor het L-kenmerk is dit 65%.
We gaan er bij de volgende vragen van uit dat een ontvanger van een donor een
kans van 0,88 heeft dat hij een nier krijgt met het juiste B-kenmerk en een kans van
0,65 dat hij een nier krijgt met het juiste L-kenmerk. Deze kenmerken komen
onafhankelijk van elkaar voor.
4p 14 Toon aan dat de kans dat een ontvanger voor geen van beide kenmerken matcht met
de donor, ongeveer 4% is.
5p 15 In een bepaalde maand worden in een bepaalde regio 20 niertransplantaties gepland.
Bij hoeveel van deze niertransplantaties zal de ontvanger naar verwachting voor
slechts één of geen van beide kenmerken matchen met de donor? Licht je antwoord
toe.
5p 16 Bereken de kans dat in de maand 10 of meer van de ontvangers volledig matchen
met de donoren.
Als donor en ontvanger voor beide kenmerken matchen, is er toch nog kans dat er
afstotingsverschijnselen optreden. De kans hierop is in deze situatie 25%.
Als donor en ontvanger voor geen van beide kenmerken matchen, is de kans op
afstotingsverschijnselen 60%.
6p 17 In een ziekenhuis zijn in een week vier niertransplantaties uitgevoerd. Bij twee ervan
was sprake van volledig matchende donor en ontvanger; bij de twee andere was
sprake van ontvangers die voor geen van beide kenmerken matchten met de donoren.
Bereken de kans dat er in hoogstens één van deze vier gevallen sprake is van
afstotingsverschijnselen.
Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.
000014 23
5
Lees verder

### Pagina 6

Kelderluik

Een grote kelder kan worden afgesloten met een rechthoekig luik. De lengte $AB$ van het luik is 5 meter. Het luik sluit het keldergat precies af. In figuur 2 is een model van de situatie in een zijaanzicht getekend. De uiteinden van het luik ($A$ en $B$) lopen over rails $CD$ en $EC$.
Bij het openen en sluiten wordt $A$ aangedreven door een elektromotor, die $A$ een constante snelheid geeft van $0,1$ meter per seconde. We gaan er bij de volgende vragen steeds van uit dat deze snelheid onmiddellijk bij het openen en sluiten van het luik optreedt.

[FIGUUR: Schematische weergave van een luik dat opent, met afmetingen en labels A, B, C, D, E.]

figuur 2

5p 18 $\Box$ Het luik wordt vanuit geheel geopende stand ($A$ valt dan samen met $E$) gesloten. Bereken, zonder gebruik te maken van onderstaande formule, hoeveel $A$ gezakt is 20 seconden nadat het sluiten begonnen is. Geef je antwoord in gehele centimeters nauwkeurig.
$t$ is de tijd (in seconden) die verstreken is nadat het sluiten van het luik begonnen is. De afstand $d$ (in meters) die het punt $B$ dan afgelegd heeft, is afhankelijk van $t$. Het verband tussen $t$ en $d$ wordt voor elk tijdstip $t$ met $0 \le t \le 50$ gegeven door:
$$d = 5 - \sqrt{25 - 0,01t^2}$$
4p 19 $\Box$ Toon aan dat deze formule juist is.

Bij het sluiten van het luik is de snelheid $v$ (in meter per seconde) van het punt $B$ op tijdstip $t$ gelijk aan de helling van de grafiek van $d$ in het bijbehorende punt.

4p 20 $\Box$ Bereken de snelheid van het punt $B$ op het tijdstip $t = 25$. Geef je antwoord in meter per seconde in twee decimalen nauwkeurig.

In figuur 1 van de bijlage is de grafiek van $v$ als functie van $t$ getekend, behorend bij het sluiten van het luik.
Na precies 15 minuten (op $t = 900$) wordt het luik vanuit de gesloten stand helemaal geopend. De snelheid $v$ van het punt $B$ is weer een functie van $t$.
3p 21 $\Box$ Teken in figuur 2 van de bijlage de grafiek van $v$ die hoort bij dit openen van het kelderluik.

Einde

000014 23