# Eindexamen Wiskunde B HAVO 1999 tijdvak 2

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/1999/tijdvak-2

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Opgave 1

### Vraag 3 – Opgave 3

### Vraag 4 – Opgave 4

### Vraag 5 – Opgave 5

### Vraag 6 – Opgave 6

### Vraag 7 – Opgave 7

### Vraag 8 – Opgave 8

### Vraag 9 – Opgave 9

### Vraag 10 – Opgave 10

### Vraag 11 – Opgave 11

### Vraag 12 – Opgave 12

### Vraag 13 – Opgave 13

### Vraag 14 – Opgave 14

### Vraag 15 – Opgave 15

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Wiskunde B
Examen
HAVO en VHBO
Hoger
Algemeen
Voortgezet
Onderwijs
Vooropleiding
Hoger
Beroeps
Onderwijs
1999
HAVO Tijdvak 2
VHBO Tijdvak 3
Dinsdag 22 juni
13.30-16.30 uur
Dit examen bestaat uit 15 vragen.
Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel
punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
Voor de uitwerking van de opgaven 1, 3 en 4 is
een bijlage toegevoegd.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of
berekening vereist is, worden aan het antwoord
meestal geen punten toegekend als deze
verklaring, uitleg of berekening ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen,
voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als
er bijvoorbeeld twee redener worden gevraagd
en je geeft meer dan twee redeneren, worden
alleen de eerste twee in de beoordeling
meegeteld.
900012 13
Begin

### Pagina 2

Opgave 1 Een functie
De functie $f$ is gegeven door
$f(x) = \frac{2x-40}{x-19}$, waarbij $x \ne 19$.
[FIGUUR: Grafiek van een functie met een verticale asymptoot bij $x=19$ en een horizontale asymptoot op de x-as.]
In figuur 1 en op de bijlage is de grafiek getekend van $f$ en de verticale asymptoot $x = 19$.
6p 1 Los op: $0 < f(x) < 4$.
De functie $g$ is gegeven door $g(x) = x - 17$.
5p 2 Teken in de figuur op de bijlage de grafiek van $g$ en de horizontale asymptoot van de grafiek van $f$; geef een toelichting.
De grafiek van $f$ heeft punten waarin de raaklijn aan de grafiek van $f$ evenwijdig is aan de grafiek van $g$.
6p 3 Bereken de $x$-coördinaten van die punten.

Opgave 2 Vaas
In figuur 2 zie je twee foto's van een vaas.
Als zijvlakken heeft die vaas een ruit en een aantal driehoeken.
De bodem heeft de vorm van een gelijkzijdige driehoek.
[FIGUUR: Twee foto's van een geometrische vaas met een driehoekige bodem.]
In figuur 3 en in figuur 4 is deze zelfde vaas op schaal getekend. De vaas past precies in een balkvormige doos. Zie figuur 4.
900012 13 2 Lees verder

### Pagina 3

figuur 3
figuur 4
[FIGUUR: Een driedimensionale tekening van een onregelmatige piramide met basis ABCD en top E.]
[FIGUUR: Een driedimensionale tekening van een andere onregelmatige piramide met basis ABHG en top I.]
In deze opgave wordt de dikte van de vaaswand verwaarloosd. In figuur 4 zijn $A$, $B$, $H$ en $G$ hoekpunten van de balk; $C$, $E$, $I$ en $F$ zijn de middens van de ribben; $D$ is het snijpunt van de zijvlaksdiagonalen $AH$ en $BG$.
De hoogte van de doos in figuur 4 is $BH = 21$ cm en de breedte $AB = 9$ cm.
5p 4 $\Box$ Toon aan dat de derde afmeting van de doos gelijk is aan $4\frac{1}{2}\sqrt{3} \approx 7,8$ cm.
6p 5 $\Box$ Onderzoek of driehoek $DEB$ gelijkbenig is.
8p 6 $\Box$ Bereken de inhoud van de vaas; rond je antwoord af op gehele cm$^3$.
In de vaas wordt een roos met rechte stengel geplaatst. De stengel staat op de bodem van de vaas en rust in $I$ tegen de bovenrand. We nemen aan dat de stengel geen dikte heeft.
6p 7 $\Box$ Onderzoek of het mogelijk is dat het uiteinde van de stengel op de bodem in $B$ komt.
Opave 3 Twee functies
Gegeven zijn de functies: $f(x) = 2 \cdot ^3\log x$ en $g(x) = ^3\log(6 - x)$.
Op de bijlage is de grafiek van $f$ getekend.
8p 8 $\Box$ Teken in de figuur op de bijlage de grafiek van $g$; licht je werkwijze toe.
7p 9 $\Box$ Los op: $f(x) \leq g(x)$.
De grafiek van $f$ wordt $a$ eenheden naar links verschoven zo dat de grafiek door het punt $(-5, 6)$ gaat.
8p 10 $\Box$ Bereken $a$ en stel een formule op voor de beeldfiguur.
900012 13 3 Lees verder

### Pagina 4

Opgave 4 Kanteldeur
In figuur 5 is een deel te zien van een kanteldeur van een garagebox. In figuur 6 is een schematische tekening gemaakt van het zijaanzicht van deze deur.
figuur 5
[FIGUUR: Foto van een deel van een kanteldeur van een garage, met een bakstenen muur.]
figuur 6
[FIGUUR: Schematische tekening van een kanteldeurmechanisme. Punt A, B, C, D, E, M, P, Q worden weergegeven. Een horizontale lijn PQ. Een gebogen lijn die B volgt. Een gespiraliseerde veer tussen C en E. M is het midden van PD.]
De kanteldeur is door middel van een metalen frame aan de muur bevestigd. PD en PQ zijn twee onderdelen van dat frame.
Bij het sluiten en openen van de kanteldeur glijdt het hoekpunt A van deze deur langs de horizontale rail PQ.
Het hoekpunt B van de deur is via een metalen arm BC verbonden met het midden M van PD.
Bij het sluiten en openen doorloopt B een halve cirkel, evenals punt C. Dit punt C is door middel van een veer CE verbonden met punt D op de grond. Deze veer zorgt voor tegenwicht zodat de deur bij sluiten en openen hanteerbaar blijft. Zie figuur 6.
Enige gegevens:
- $AB = PQ = PD = 200 \text{ cm}$
- Het draaipunt M is het midden van $PD$.
- $MC = 20 \text{ cm}$.

900012 13 4 Lees verder

### Pagina 5

7p 11 Een aanhangwaggentje, geparkeerd in de garage, is 60 cm hoog.
Teken in figuur 1 van de bijlage de kanteldeur AB in de stand waarbij het wagentje er
nog net onderdoor kan rijden.
5p 12 De deur wordt gesloten vanuit geheel geopende stand.
Bereken hoeveel cm de veer CE dan wordt uitgerekt.
Hoek BMP, uitgedrukt in radialen, noemen we $\alpha$. Zie figuur 7.
[FIGUUR: Een verticale lijn PD staat op de grond. A ligt op de horizontale lijn PDQ. B is een punt boven A en M. M is het midden van PD. $\angle BMP = \alpha$ is aangegeven. Een curve begint bij B, gaat door M en eindigt ergens op de grond.]
De hoogte (in cm) van B ten opzichte van de grond is afhankelijk van $\alpha$ en noemen
we $h_B$.
In figuur 8 is de grafiek van $h_B$ getekend voor $\alpha$ als functie van $\pi$: het is een
sinusoïde.
In figuur 2 van de bijlage de grafiek vergroot weergegeven.
5p 13 Stel een formule op voor $h_B$ als functie
van $\alpha$.
4p 14 De hoogte (in cm) van C ten opzichte van
de grond noemen we $h_C$.
Teken in figuur 2 op de bijlage de grafiek
van $h_C$.
[FIGUUR: Een grafiek met op de y-as $h_B$ in cm en op de x-as $\alpha$ in radialen. De grafiek begint hoog en daalt naar de x-as rond $\pi$. Er zijn markeringen bij 0, $\pi/2$ en $\pi$.]
In figuur 9 is de situatie geschetst voor
$\alpha = \frac{1}{2}\pi$.
7p 15 Bereken PA voor deze situatie. Geef het
antwoord in cm nauwkeurig.
[FIGUUR: Een verticale lijn PD staat op de grond. B en A liggen op een rechte lijn. De lijn PD is langer dan PA. D ligt op de grond. C ligt op PD. Er is een lijn getekend van P naar A.]
Einde
900012 13
5