# Eindexamen Wiskunde B HAVO 1999 tijdvak 1

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-b/1999/tijdvak-1

## Vragen in dit examen

### Vraag 3 – Opgave 3

### Vraag 4 – Opgave 4

### Vraag 5 – Opgave 5

### Vraag 6 – Opgave 6

### Vraag 7 – Opgave 7

### Vraag 8 – Opgave 8

### Vraag 9 – Opgave 9

### Vraag 10 – Opgave 10

### Vraag 11 – Opgave 11

### Vraag 12 – Opgave 12

### Vraag 13 – Opgave 13

### Vraag 14 – Opgave 14

### Vraag 15 – Opgave 15

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Wiskunde B
Examen HAVO en VHBO
Hoger
Algemeen
Voortgezet
Onderwijs
Vooropleiding
Hoger
Beroeps
Onderwijs
19 99
HAVO Tijd vak 1
VHBO Tijd vak 2
Woensdag 26 mei
13.30-16.30 uur
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of
berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als
deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen,
voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden
gevraagd en je geeft meer dan twee redenen,
worden alleen de eerste twee in de
beoordeling meegeteld.
Dit examen bestaat uit 15 vragen.
Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel
punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
Voor de uitwerking van opgave 3 is een bijlage
toegevoegd.
900007 13
Begin

### Pagina 2

Opgave 1 Een functie
De functie $f$ is gegeven door $f(x) = \frac{2x}{1 - x^2}$.
In figuur 1 is de grafiek van $f$ getekend.
[FIGUUR: Grafiek van de functie f met de y-as en x-as. De grafiek heeft twee asymptoten, de y-as en een horizontale lijn bij y=0. De grafiek gaat door de oorsprong.]
figuur 1
6p 1 $\Box$ Toon aan dat de raaklijn in de oorsprong $O$ aan de grafiek van $f$ de vergelijking $y = 2x$ heeft.
Op de grafiek van $f$ liggen punten waarin de raaklijn aan deze grafiek evenwijdig is met de lijn $y = 2x$.
6p 2 $\Box$ Bereken de $x$-coördinaten van deze punten.
6p 3 $\Box$ Stel een vergelijking op van de asymptoten van de grafiek van $f$. Licht je antwoord toe.
7p 4 $\Box$ Los de volgende ongelijkheid op: $f(x) \leq 1$.
Opgave 2 Bedrijf in de koelkast
Nog steeds stellen veel Nederlandse huishoudens hun koelkast in op een te hoge temperatuur. Hierdoor kunnen producten eerder bederven dan de houdbaarheidsdatum aangeeft.
Omdat de consument steeds vaker verse producten wenst, wordt er veel onderzoek gedaan naar de houdbaarheid van producten die kunnen bederven. Een van die onderzoeken betreft het aantal pseudomonas-bacteriën per kilogram verse kip.
900007 13 2 Lees verder

### Pagina 3

In  figuur 2  en in  vraag 5  bekijken we de resultaten van een proef waarbij een kip werd bewaard in een koelkast die op 0°C is ingesteld. Er werd bijgehouden hoe het aantal bacteriën $B$ per kilogram kip zich ontwikkelde. Om alle gegevens in één grafiek overzichtelijk te presenteren is de logaritme van $B$ uitgezet tegen het aantal dagen $d$ vanaf het begin van de koeling.

[FIGUUR: Grafiek met op de y-as 'log B' van 0 tot 14, en op de x-as 'd' van 0 tot 22. Een rechte lijn loopt van ongeveer (0, 3) naar (22, 8).]

Volgens de Warenwet mag er ten hoogste 50 miljoen bacteriën aanwezig zijn per kilogram kip. Zijn er meer bacteriën aanwezig, dan wordt het kippenvlees afgekeurd en mag het niet meer gegeten worden.

5p 5 $\Box$ Onderzoek met behulp van de grafiek of de kip na 10 dagen koelen op 0°C nog gegeten mag worden.

Eén kilogram kippenvlees dat 1000 pseudomonas-bacteriën bevat, wordt in een koelkast bewaard. De volgende formule geldt:
$$ \log B = \frac{1}{3} \cdot 1,32 t \cdot d + 3 $$
Hierin is $B$ het aantal bacteriën, $t$ de temperatuur in de koelkast in °C en $d$ het aantal dagen dat de kip in de koelkast wordt bewaard.

7p 6 $\Box$ De kip blijkt, bij een bepaalde vaste temperatuurinstelling, na precies twee dagen 50 miljoen bacteriën te bevatten.
Bereken op welke temperatuur de koelkast is ingesteld. Geef je antwoord in gehele graden Celsius.

Uit de formule is af te leiden dat bij elke waarde van $t$ het verband tussen $B$ en $d$ exponentieel is.
5p 7 $\Box$ Neem aan dat de koelkast op 4 °C zou zijn ingesteld.
Bereken dan de groeifactor per dag voor het aantal bacteriën $B$. Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.

900007 13
Lees verder

### Pagina 4

Opgave 3 Piramide-ingang
figuur 3
[FIGUUR: Foto van de ingang van een gebouw met een piramidevormige constructie van metaal en glas.]
figuur 4
[FIGUUR: Foto van een ander deel van het gebouw, met een schuin aflopende, piramideachtige vorm.]
900007 13 4 Lees verder

### Pagina 5

Op de foto's van de figuren 3 en 4 is de entree van een auto-showroom afgebeeld.
Voor de dakconstructie bij de ingang is als basisvorm een regelmatige piramide
$T.ABCD$ genomen waarvan een zijkant is vervangen door een overkapping $T.BCFE$.
In figuur 5 is de volledige piramide met uitbouw getekend in parallelprojectie. Deze
tekening staat ook in figuur 1 op de bijlage en kan gebruikt worden bij de
beantwoording van de volgende vragen.

[FIGUUR: Schematische tekening van een piramide T.ABCD met een uitbouw T.BCFE. De punten A, B, C, D vormen de basis, T is de top. De punten B, C, F, E vormen een trapezium dat deel uitmaakt van de uitbouw.]

figuur 5

Vierhoek $BCFE$ is een gelijkbenig trapezium ($BE = CF$). De deurwand $BCGH$ is
verticaal. Het dak boven de deurwand steekt ver over.

Ook is gegeven:
Grondvlak $ABCD$ is een vierkant met zijden van 6 meter.
De hoogte van de top $T$ boven de grond is 5 meter.

4p 8 $\square$ Bereken in gehele graden nauwkeurig de hoek tussen de vlakken $TAD$ en $ABCD$.

Verder is gegeven:
De hoogte van $EF$ boven de grond is 3 meter.
De lengte van $EF$ is 2 meter.
De afstand van $EF$ tot vlak $BCGH$ is 2 meter.

7p 9 $\square$ Bereken de afstand van $T$ tot $EF$. Geef je antwoord in meters, afgerond op twee
decimalen.

Op de bijlage is in figuur 2 een begin getekend van het rechterzijaanzicht, dat wil
zeggen het aanzicht waarbij de kijkrichting evenwijdig is aan de lijn $BA$.
Maak de tekening van dit aanzicht af en geef hierin vierhoek $BCGH$ aan. Licht je
werkwijze toe.

7p 10 $\square$ Maak de tekening van dit aanzicht af en geef hierin vierhoek $BCGH$ aan. Licht je
werkwijze toe.

7p 11 $\square$ Bereken de oppervlakte van de deurwand $BCGH$. Geef je antwoord in m$^2$, in
twee decimalen.

900007 13 5 Lees verder


### Pagina 6

Opgave 4 Kortste aansluiting
In een nieuwbouwwijk moeten twee huizen worden aangesloten op het waterleidingnet.
In figuur 6 is de situatie geschetst.
figuur 6
hoofdleiding
[FIGUUR: Schematische weergave van een hoofdleiding met een aftakking naar een huis. De hoofdleiding is een horizontale lijn met punt C erop. Daaronder is een rechthoek getekend die een huis voorstelt, met de punten A en B aan de onderkant. De afstand van de hoofdleiding tot de huizen is 12 meter. De punten A en B liggen onder de hoofdleiding.]
12 m
huis
A
B
huis
In het punt C wordt een aftakking gemaakt van de hoofdleiding naar de punten A en
B in de huizen.
De punten A, B en C liggen zo dat driehoek ABC gelijkbenig is met $AC=BC$ en
$AB=8$ meter. De hoofdleiding loopt evenwijdig aan AB op een afstand van 12 meter
van de lijn door A en B.
De verbinding tussen C en de beide huizen kan op verschillende manieren worden
gelegd. In figuur 7 zijn vier mogelijkheden aangegeven. De vragen 12, 13, 14 en 15 gaan
over deze mogelijkheden.
figuur 7
C
C
C
C
A
D
B
A
D
B
A
D
B
P
A
D
B
mogelijkheid I
mogelijkheid II
mogelijkheid III
mogelijkheid IV
Eerst bekijken we mogelijkheden I en II:
I Vanaf C twee rechtstreekse leidingen $CA$ en $CB$.
II Vanaf C een leiding naar het midden D van $AB$, die vervolgens vertakt naar A en B.
6p 12
Onderzoek bij welke van de mogelijkheden I en II de totale lengte van de verbinding
het kortst is.
900007 13
6
Lees verder

### Pagina 7

Vervolgens bekijken we mogelijkheid III.
III Vanaf C een leiding naar een punt P op de symmetrieas CD van driehoek ABC en
vervolgens vanuit P vertakkingen naar A en B, zo dat CP = PA = PB.
7p 13 Bereken de totale lengte van de verbinding bij mogelijkheid III.

Tenslotte bekijken we nog mogelijkheid IV:
IV Vanaf C een leiding naar een punt Q op CD en vanuit Q vertakkingen naar A en B.
De totale lengte van de verbindingsleidingen tussen C en de huizen hangt af van
hoek $\alpha$ tussen AQ en AB.
De totale lengte L($\alpha$) van de verbinding wordt dan voor elke toegestane waarde van $\alpha$
gegeven door de formule:
$$ L(\alpha) = \frac{8}{\cos \alpha} - 4 \tan \alpha + 12 (\alpha \text{ in radialen}; L(\alpha) \text{ in meters}). $$
5p 14 Toon de juistheid van deze formule aan.

5p 15 Er is een punt Q op CD zo dat de totale lengte L($\alpha$) minimaal is.
Bereken de bijbehorende waarde van $\alpha$.

Einde
900007 13