# Eindexamen Wiskunde A HAVO 2025 tijdvak 2

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2025/tijdvak-2

## Vraag 1 – Opgave 1 (3 punten)

1 kortingsactie I Winter SALE (alleen op de wintercollectie) bij aankoop van elk paar schoenen 20% korting kortingsactie II Winter SALE (alleen op de wintercollectie) bij aankoop van 2 paar schoenen 2e paar schoenen voor de halve prijs* *geldig voor het goedkoopste paar Twee vriendinnen, Famke en Milla, gaan schoenen kopen. Famke koopt twee paar schoenen: een paar van 100 euro en een paar van 80 euro. Ze wil gebruikmaken van kortingsactie II.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over het berekenen van een kortingspercentage in een realistische context. Je moet goed de voorwaarden van de kortingsactie lezen en toepassen.

Wat moet je kennen: Je moet het concept van procentuele korting kennen en hoe je een percentage berekent van een deel ten opzichte van een geheel. Je moet ook weten hoe je de basis (het 'geheel') correct identificeert.

Wat moet je kunnen: Je kunt de absolute korting berekenen op basis van de gegeven actie. Je kunt vervolgens het kortingspercentage berekenen door de korting te delen door de totale oorspronkelijke prijs en dit om te zetten naar een percentage. Je kunt je antwoord correct afronden.

Waar op letten: Je leest goed welke kortingsactie Famke wil gebruiken. Er zijn twee acties, maar je focust op actie II.
Je berekent eerst de absolute korting in euro's. Let op: de korting geldt voor het goedkoopste paar schoenen.
Je bepaalt het totale bedrag waarover de korting wordt berekend. Dit is de oorspronkelijke prijs van BEIDE paren schoenen samen.
Je berekent het kortingspercentage door de absolute korting te delen door het totale oorspronkelijke bedrag en dit te vermenigvuldigen met 100%.
Je rondt je uiteindelijke antwoord af op hele procenten, zoals vaak gevraagd bij percentages in context.

Kernbegrippen: procenten, korting berekenen, deel/geheel

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerde basis voor percentage (bv. bedrag na korting, of slechts één van de prijzen).
- Korting berekend over het verkeerde bedrag (bv. totaalbedrag of het duurste paar in plaats van het goedkoopste paar).
- Afrondingsfout of niet afronden op een heel getal zoals gevraagd.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2025/tijdvak-2/vraag/1

## Vraag 2 – Opgave 2 (3 punten)

2 · √((p(1-p))/(n))\] , met p de steekproefproportie en n de steekproefomvang. Het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het populatiegemiddelde is \overlineX ± 2 · (S)/(√(n)) , met \overlineX het steekproefgemiddelde, n de steekproefomvang en S de steekproefstandaardafwijking.

Wat kun je verwachten: Je krijgt twee kortingsacties gepresenteerd en je moet bepalen welke actie het voordeligst is. Je moet dus de korting of de uiteindelijke prijs per actie berekenen en deze met elkaar vergelijken.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je kortingen berekent, zowel in percentages als in euro's. Je moet ook begrijpen wat 'de halve prijs' betekent in een kortingscontext.

Wat moet je kunnen: Je kunt de korting per actie berekenen voor een gegeven situatie (bijvoorbeeld twee paar schoenen van verschillende prijzen). Je kunt de berekende kortingen of prijzen met elkaar vergelijken om de voordeligste optie te kiezen. Je kunt je berekeningen duidelijk opschrijven.

Waar op letten: Lees de voorwaarden van elke kortingsactie heel nauwkeurig. Let goed op de details, zoals 'elk paar schoenen' versus '2e paar schoenen voor de halve prijs'.
Bij kortingsactie II is de korting alleen geldig voor het 'goedkoopste paar'. Zorg ervoor dat je de korting op de juiste prijs toepast.
Je kunt de korting in euro's berekenen, of de uiteindelijke kosten in euro's. Beide methoden zijn goed, zolang je ze maar consistent toepast voor beide acties.
Vergeet niet de eenheid (euro) bij je antwoord te vermelden.
Formuleer je conclusie duidelijk: welke actie is voordeliger en waarom?

Kernbegrippen: procenten, korting berekenen, vergelijken

Veelgemaakte fouten:
- Korting toepassen op het verkeerde (duurste) paar bij actie II.
- Verkeerd berekenen van het totale bedrag of de totale korting.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2025/tijdvak-2/vraag/2

## Vraag 3 – Opgave 3 (3 punten)

We bekijken het kopen van twee paar schoenen uit de wintercollectie met korting. In figuur 2 staat langs de verticale as de prijs van het duurste paar en langs de horizontale as de prijs van het goedkoopste paar schoenen.

In de figuur zijn twee lijnen getekend waardoor er drie gebieden A, B en C zijn. Eén van deze drie gebieden geeft combinaties van prijzen van het duurste en goedkoopste paar schoenen weer, waarbij kortingsactie II voordeliger is dan kortingsactie I.
3p 3 Welk gebied is dat? Licht je antwoord toe.

Wat kun je verwachten: Je moet een grafiek met gebieden interpreteren en bepalen welk gebied voldoet aan een bepaalde voorwaarde. Je vergelijkt twee kortingsacties en bepaalt welke voordeliger is.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je percentages berekent en hoe je kortingen toepast. Je moet ook de betekenis van de assen in een grafiek begrijpen.

Wat moet je kunnen: Je kunt een punt kiezen in een van de gebieden en voor dat punt de korting berekenen voor beide acties. Je kunt de resultaten vergelijken en op basis daarvan een conclusie trekken over het juiste gebied. Je kunt ook logisch redeneren over de betekenis van de gebieden.

Waar op letten: Let goed op de assen: de horizontale as is de prijs van het goedkoopste paar, de verticale as is de prijs van het duurste paar. Dit is cruciaal voor je berekeningen.
Kies een duidelijk voorbeeldpunt (x,y) binnen een van de gebieden. Gebruik ronde getallen om het rekenwerk makkelijk te houden.
Bereken voor je gekozen voorbeeldpunt de korting voor beide acties. Zorg dat je de korting correct berekent, ofwel in euro's ofwel als percentage van de totale prijs.
Vergelijk de kortingen: 'voordeliger' betekent hier 'de meeste korting'.
Denk na over de logische beperkingen van de gebieden. Kan het goedkoopste paar duurder zijn dan het duurste paar? Dit kan je helpen een gebied uit te sluiten.

Kernbegrippen: vergelijken van kortingen, grafiek aflezen, redeneren met gebieden, rekenen met percentages

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd interpreteren van de assen (goedkoopste vs duurste paar).
- Een rekenfout maken bij het berekenen van de korting voor een voorbeeldpunt.
- Vergeten de logische onmogelijkheid van gebied C (goedkoopste > duurste) te benoemen.
- Verwarren van 'voordeliger' met 'laagste prijs' in plaats van 'hoogste korting'.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2025/tijdvak-2/vraag/3

## Vraag 4 – Opgave 4 (3 punten)

Ondanks de kortingsacties is de wintercollectie na enkele weken nog steeds niet helemaal verkocht. De schoenenzaak gaat daarom over tot een nieuwe kortingsactie waarin nog meer korting wordt gegeven: de 'final wintersale'. Zie figuur 3.
Deze final wintersale bestaat ook weer uit twee kortingsacties (I en II), waarover het in de rest van deze opgave gaat.

De meeste klanten denken nu dat bij de aankoop van twee paar schoenen kortingsactie II **altijd** meer korting oplevert dan kortingsactie I. Dit is echter niet juist.
Stel dat het goedkoopste paar G euro kost en het duurste paar f keer zo duur is. Dan kunnen we de (totale) korting (in euro) berekenen voor beide kortingsacties met de onderstaande formules:
Korting bij kortingsactie I: K_I = 0,3 ⋅ G + 0,3 ⋅ f ⋅ G
Korting bij kortingsactie II: K_II = 0,75 ⋅ G

Als bijvoorbeeld het goedkoopste paar schoenen 30 euro kost en het duurste paar drie keer zo duur is, dan is de totale korting bij kortingsactie I gelijk aan 0,3 ⋅ 30 + 0,3 ⋅ 3 ⋅ 30 = 36 euro.

4 Stel dat het goedkoopste paar 75 euro kost.
Bereken hoeveel keer zo duur (als het goedkoopste paar) het duurste paar maximaal mag zijn, zodat kortingsactie II minstens evenveel korting oplevert als kortingsactie I.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over twee verschillende kortingsacties. Je moet de gegeven formules gebruiken en een specifieke voorwaarde ('minstens evenveel korting') vertalen naar een vergelijking. Vervolgens los je deze vergelijking op om een onbekende waarde te vinden.

Wat moet je kennen: Je moet de betekenis van 'minstens evenveel' kunnen vertalen naar een wiskundige uitdrukking. Je moet ook de gegeven formules correct kunnen interpreteren en gebruiken. Kennis van algebraïsche vaardigheden is essentieel voor het oplossen van de vergelijking.

Wat moet je kunnen: Je kunt de gegeven waarde van G (prijs van het goedkoopste paar) invullen in de formules voor K_I en K_II. Je stelt een vergelijking op die de voorwaarde 'minstens evenveel korting' weergeeft. Je lost deze vergelijking algebraïsch op om de waarde van f te vinden. Je rondt je antwoord correct af en geeft de juiste eenheid.

Waar op letten: Je vertaalt 'minstens evenveel korting' correct. Voor de maximale waarde van f betekent dit dat je de gelijkheid K_II = K_I moet oplossen.
Je vult de waarde van G = 75 euro correct in de formules K_I en K_II in.
Je stelt de vergelijking 0,3 ⋅ 75 + 0,3 ⋅ f ⋅ 75 = 0,75 ⋅ 75 correct op.
Je lost de vergelijking zorgvuldig op met algebraïsche stappen. Let op de volgorde van bewerkingen.
Je geeft het antwoord in de juiste eenheid ('keer') en rondt correct af zoals gevraagd.

Kernbegrippen: vergelijking opstellen, vergelijking oplossen, algebra

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd opstellen van de vergelijking
- De ongelijkheid K_II >= K_I niet correct vertalen naar een gelijkheid voor de maximale waarde
- Reken- of algebrafouten bij het oplossen van de vergelijking.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2025/tijdvak-2/vraag/4

## Vraag 5 – Opgave 5 (2 punten)

Met behulp van de formule voor K_I kunnen we een formule opstellen voor het bedrag B (in euro) dat de klant uiteindelijk moet betalen bij kortingsactie I:
B = 0,7 ⋅ G + 0,7 ⋅ f ⋅ G

Laat zonder getallenvoorbeelden zien hoe deze formule opgesteld kan worden.

Wat kun je verwachten: Je moet een gegeven formule afleiden uit andere informatie, zonder getallen te gebruiken. Dit betekent dat je algebraïsch te werk gaat en de relatie tussen korting en het te betalen bedrag begrijpt.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je procentuele korting omzet naar een factor voor het te betalen bedrag. Je moet ook de basisregels van het herleiden van formules en het wegwerken van haakjes beheersen.

Wat moet je kunnen: Je kunt de formule voor de korting (K_I) gebruiken om de formule voor het te betalen bedrag (B) op te stellen. Je kunt dit doen door de korting af te trekken van de oorspronkelijke prijs, of door direct te redeneren met het percentage dat je wél betaalt. Je moet in staat zijn om haakjes correct weg te werken en termen samen te voegen.

Waar op letten: De vraag vraagt expliciet om GEEN getallenvoorbeelden te gebruiken. Je moet dit dus algebraïsch aantonen.
Je kunt op twee manieren redeneren: of je trekt de korting af van de totale oorspronkelijke prijs, of je redeneert direct met het percentage dat je betaalt.
Als je de korting aftrekt, let dan goed op het correct wegwerken van de haakjes. Een minteken voor haakjes verandert de tekens binnen de haakjes.
Bedenk dat 30% korting betekent dat je 70% van de prijs betaalt. Dit kun je direct toepassen op de onderdelen van de prijs.
Zorg ervoor dat je de stappen van je afleiding duidelijk en logisch opschrijft.

Kernbegrippen: formules omschrijven, procentuele korting, algebraïsche afleiding

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten de haakjes correct weg te werken (tekenfout).
- Een getallenvoorbeeld gebruiken terwijl de vraag expliciet vraagt dit niet te doen.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2025/tijdvak-2/vraag/5

## Vraag 6 – Opgave 6 (3 punten)

3p 6 Bereken met behulp van lineair interpoleren het aantal vaste routes in 2002 waarop vrijwilligers vlinders telden. In figuur 1 zie je per jaar het gemiddeld aantal getelde vlinders per route weergegeven voor de periode 1990-2014. Zo zie je dat in 1990 gemiddeld bijna 600 vlinders per route geteld zijn. Het gemiddelde over de hele periode 1990-2014 is met de horizontale lijn aangegeven. In 1990 is het gemiddeld aantal getelde vlinders per route lager dan het gemiddelde over de periode 1990-2014. figuur 1 gemiddeld aantal getelde vlinders per route l r 1200
|
1000
gemiddeld aantal
getelde vlinders
per route
↑ 800
|
600
|
400
|
200
|
0
1990 1994 1998 2002 2006 2010 2014
→ jaar

Wat kun je verwachten: Je moet een waarde berekenen die tussen twee bekende datapunten ligt, uitgaande van een constante verandering per jaar. Dit heet lineair interpoleren. Je berekent eerst de totale verandering over een periode en vervolgens de verandering per jaar. Daarna gebruik je dit om de waarde op een specifiek jaartal te vinden.

Wat moet je kennen: Je moet het concept van lineaire groei begrijpen, waarbij een hoeveelheid met een vaste waarde per tijdseenheid toeneemt of afneemt. Je moet ook weten hoe je een richtingscoëfficiënt (verandering per jaar) berekent en toepast.

Wat moet je kunnen: Je kunt de totale verandering tussen twee punten berekenen. Je kunt de verandering per jaar (richtingscoëfficiënt) bepalen door de totale verandering te delen door het aantal jaren. Je kunt deze jaarlijkse verandering gebruiken om een waarde voor een tussenliggend jaar te berekenen, door uit te gaan van het startpunt en de jaarlijkse verandering te vermenigvuldigen met het aantal jaren tot het gewenste punt.

Waar op letten: Let goed op de start- en eindjaren van de periode waarover je interpoleert. Tel het aantal jaren zorgvuldig.
Bereken de totale toename of afname over de hele bekende periode.
Bereken de toename of afname per jaar door de totale verandering te delen door het aantal jaren.
Bepaal hoeveel jaar er zit tussen het startjaar van je interpolatie en het jaar waarvoor je de waarde moet berekenen.
Zorg ervoor dat je het aantal vaste routes in 2002 afrondt op een geheel getal, aangezien het om 'routes' gaat.

Kernbegrippen: lineair interpoleren, lineaire groei, richtingscoëfficiënt

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd aantal jaren berekenen voor de totale periode (2014-1989 = 25, een veelgemaakte fout is 24).
- Verkeerd aantal jaren berekenen voor de interpolatie (2002-1989 = 13).
- Reken- of intoetsfouten.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2025/tijdvak-2/vraag/6

## Vraag 7 – Opgave 7 (3 punten)

Onderzoek voor de periode 1990-2014 of de mediaan van het gemiddeld aantal getelde vlinders per route groter of kleiner is dan het gemiddelde over die hele periode.

Wat kun je verwachten: Je onderzoekt de relatie tussen de mediaan en het gemiddelde van een dataset die in een staafdiagram wordt gepresenteerd. Je moet de waarden uit de grafiek interpreteren en de definities van mediaan en gemiddelde toepassen om een conclusie te trekken.

Wat moet je kennen: Je moet de definities van 'mediaan' en 'gemiddelde' kennen. De mediaan is de middelste waarde in een gesorteerde dataset. Het gemiddelde is de som van alle waarden gedeeld door het aantal waarden. Je moet ook weten hoe je een staafdiagram correct afleest en hoe je het aantal waarnemingen bepaalt.

Wat moet je kunnen: Je moet de waarden van de staven in het diagram kunnen vergelijken met de horizontale lijn die het gemiddelde aangeeft. Je moet kunnen tellen hoeveel waarnemingen (jaren) boven of onder dit gemiddelde liggen. Vervolgens gebruik je deze informatie om de positie van de mediaan ten opzichte van het gemiddelde te bepalen zonder alle waarden expliciet te sorteren.

Waar op letten: Je telt eerst het totale aantal waarnemingen (jaren) in de periode 1990-2014 om te bepalen welke waarneming de mediaan is.
Je hoeft niet alle waarden uit de grafiek exact af te lezen. Het is voldoende om te bepalen of een staaf (een jaar) boven of onder de horizontale lijn van het gemiddelde ligt.
Je telt hoeveel waarnemingen onder het gemiddelde liggen en hoeveel erboven. Dit helpt je om de positie van de mediaan te bepalen.
Je let goed op de definitie van de mediaan: het is de middelste waarneming NADAT je alle waarnemingen op volgorde hebt gezet. Bij een oneven aantal waarnemingen is er precies één middelste waarde.
Je formuleert je conclusie duidelijk: is de mediaan groter of kleiner dan het gemiddelde, en waarom?

Kernbegrippen: mediaan, gemiddelde, staafdiagram, data interpreteren

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd aflezen van de waarden uit het staafdiagram.
- Verwarren van mediaan en gemiddelde.
- Fout bij het bepalen van de middelste waarneming (bijv. (25+1)/2 = 13e, niet de 12.5e).
- Vergeten de waarden eerst op volgorde te zetten voor het bepalen van de mediaan.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2025/tijdvak-2/vraag/7

## Vraag 8 – Opgave 8 (3 punten)

Tijdens de vlindertelling zijn in een bepaald gebied drie vlindersoorten geteld. In figuur 2 zie je van deze drie vlindersoorten de getelde aantallen in 2020 (zwarte lijn) en de gemiddelde aantallen in de periode 1990-2019 (grijze lijn). De schaalverdeling op de assen is bij elk van de drie grafieken hetzelfde.

figuur 2
veldparelmoervlinder
bruin zandoogje
eikenpage

Bij figuur 2 zijn de volgende stellingen geformuleerd:
I Deze vlindersoort wordt in 2020 tijdens een kortere periode waargenomen dan gemiddeld in de periode 1990-2019.
II Deze vlindersoort is de meest waargenomen vlinder in 2020.
III In het voorjaar van 2020 wordt deze vlindersoort vaker waargenomen dan gemiddeld in de periode 1990-2019.

Elke stelling is van toepassing op minstens een van de drie vlindersoorten in figuur 2.
3p 8 Geef bij elke stelling een vlindersoort waarop die stelling van toepassing is. Licht je antwoord toe.

Wat kun je verwachten: Je krijgt drie stellingen en drie grafieken van vlindersoorten. Je moet bij elke stelling de juiste vlindersoort kiezen en je keuze toelichten door de grafieken te vergelijken.

Wat moet je kennen: Je moet de basisprincipes van het aflezen en interpreteren van lijngrafieken kennen. Je moet ook begrijpen wat termen als 'periode waargenomen', 'meest waargenomen' en 'in het voorjaar' betekenen in de context van de grafieken.

Wat moet je kunnen: Je moet de twee lijnen (zwart en grijs) in elke grafiek met elkaar kunnen vergelijken. Je moet de breedte, hoogte en relatieve positie van de lijnen kunnen beoordelen om de stellingen te beantwoorden. Je moet je observaties kunnen vertalen naar een heldere toelichting.

Waar op letten: Je let goed op de legenda: de zwarte lijn is 2020 en de grijze lijn is het gemiddelde van 1990-2019. Dit is cruciaal voor het vergelijken.
Je interpreteert 'kortere periode waargenomen' als een smallere breedte van de grafiek boven de x-as (de periode dat de vlinder actief is).
Je interpreteert 'meest waargenomen' als de vlindersoort met de hoogste piek en/of het grootste oppervlak onder de grafiek in 2020.
Je let goed op de tijdsperiode 'in het voorjaar'. Je kijkt dus alleen naar het eerste deel van de horizontale as (tot ongeveer half mei).
Je geeft bij elke stelling de juiste vlindersoort én een duidelijke toelichting waarom je die keuze maakt, gebaseerd op de grafieken.

Kernbegrippen: grafieken aflezen, vergelijken van grafieken, data interpreteren in context

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd interpreteren van de legenda (zwarte lijn vs. grijze lijn).
- Verkeerd interpreteren van de stellingen, bijvoorbeeld de betekenis van 'kortere periode' of 'meest waargenomen'.
- Onvoldoende toelichting geven bij de gekozen vlindersoort.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2025/tijdvak-2/vraag/8

## Vraag 9 – Opgave 9 (4 punten)

In figuur 3 zie je hoe het aantal getelde argusvlinders in een bepaald gebied zich in de loop van de tijd ontwikkeld heeft. De aantallen zijn op een logaritmische schaal weergegeven.

De rechte lijn in figuur 3 is de trendlijn. Volgens deze trendlijn neemt het aantal argusvlinders af.
Bereken met hoeveel procent per jaar het aantal argusvlinders volgens de trendlijn afneemt. Geef je antwoord in één decimaal.

Wat kun je verwachten: Je berekent een procentuele afname per jaar op basis van een trendlijn in een grafiek met een logaritmische schaal. Je moet dus goed aflezen en rekenen met groeifactoren.

Wat moet je kennen: Je kent het verschil tussen een logaritmische en lineaire schaal. Je weet hoe je een groeifactor per periode omrekent naar een groeifactor per jaar. Je kent de relatie tussen een groeifactor en een procentuele verandering (toename of afname).

Wat moet je kunnen: Je kunt punten nauwkeurig aflezen van een logaritmische schaal. Je kunt de groeifactor over een bepaalde periode berekenen. Je kunt deze groeifactor omrekenen naar een jaarlijkse groeifactor met behulp van machten of wortels. Tot slot zet je de jaarlijkse groeifactor om in een afnamepercentage en rond je correct af.

Waar op letten: Let goed op de logaritmische schaal van de y-as. De stappen zijn niet lineair, maar vermenigvuldigend (bijvoorbeeld van 100 naar 1000 is een factor 10).
Kies twee duidelijke punten op de *trendlijn* (de gestippelde lijn) die je goed kunt aflezen. Hoe verder de punten uit elkaar liggen, hoe nauwkeuriger je berekening vaak is.
Bereken eerst de totale groeifactor over de periode tussen de twee afgelezen punten. Dit is 'eindwaarde / beginwaarde'.
Zet de totale groeifactor om naar een groeifactor per jaar. Gebruik hiervoor de juiste machtswortel: groeifactor_per_jaar = (groeifactor_over_periode)^(1/aantal_jaren).
Zet de jaarlijkse groeifactor om naar een afnamepercentage. Denk eraan dat een groeifactor van bijvoorbeeld 0,85 betekent dat er 15% afname is (1 - 0,85 = 0,15).
Rond je uiteindelijke antwoord af op één decimaal, zoals gevraagd, en vermeld de eenheid 'procent per jaar'.

Kernbegrippen: exponentiële afname, groeifactor per tijdseenheid, logaritmische schaal aflezen, procentuele verandering

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd aflezen van de logaritmische schaal.
- Lineaire daling veronderstellen in plaats van exponentiële daling (delen door het aantal jaar).
- Verwarring tussen groeifactor en groeipercentage.
- Verkeerde formule voor de groeifactor per jaar (bijv. (eind/begin)/tijd i.p.v. (eind/begin)^(1/tijd)).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2025/tijdvak-2/vraag/9

## Vraag 10 – Opgave 10 (4 punten)

Bij de Vlinderstichting worden behalve de gegevens van vlinders ook de gegevens van andere insectensoorten verwerkt, zoals van libellen. In figuur 4 zie je hoe het met de verschillende soortgroepen gaat in 2019.

4p 10 Onderzoek met behulp van het formuleblad of er een groot, middelmatig of gering verschil is tussen vlinders en libellen in de mate van bedreiging.

Wat kun je verwachten: Je gaat het verschil in bedreiging tussen vlinders en libellen bepalen. Dit doe je door percentages af te lezen, cumulatieve percentages te berekenen en vervolgens de verschilpercentages te vinden. Uiteindelijk interpreteer je het grootste verschilpercentage met behulp van de richtlijnen op je formuleblad.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een gestapeld staafdiagram afleest om de percentages per categorie te bepalen. Ook moet je het concept van cumulatieve percentages begrijpen en hoe je deze berekent. Tot slot moet je de formule voor het verschilpercentage (V_cp) en de interpretatieregels voor de maximale V_cp van je formuleblad kennen.

Wat moet je kunnen: Je kunt percentages nauwkeurig aflezen uit een gestapeld staafdiagram. Je kunt cumulatieve percentages berekenen voor twee verschillende groepen. Je kunt de absolute verschillen tussen deze cumulatieve percentages bepalen (V_cp). Je kunt het grootste verschilpercentage (max V_cp) vinden en dit correct interpreteren aan de hand van de grenswaarden op je formuleblad (gering, middelmatig, groot verschil).

Waar op letten: Lees de percentages voor elke categorie (zeer ernstig bedreigd, ernstig bedreigd, etc.) nauwkeurig af voor zowel vlinders als libellen uit figuur 4. Let op de marge van 1% die vaak is toegestaan.
Bereken de cumulatieve percentages voor beide soortgroepen. Dit betekent dat je de percentages van de categorieën bij elkaar optelt, beginnend bij 'zeer ernstig bedreigd' en zo verder naar beneden.
Bereken voor elke categorie het absolute verschil tussen de cumulatieve percentages van vlinders en libellen. Dit zijn de V_cp-waarden.
Zoek de grootste V_cp-waarde. Dit is je 'max V_cp'. Let op: de laatste categorie 'niet bedreigd' heeft altijd een V_cp van 0, dus die hoef je niet mee te nemen in de bepaling van het maximum.
Gebruik je formuleblad om de gevonden max V_cp te interpreteren. Daar staan de grenzen voor 'gering', 'middelmatig' en 'groot' verschil. Zorg dat je de juiste categorie kiest.

Kernbegrippen: Verschilmaat voor ordinale variabelen, Cumulatieve percentages, Verschilpercentage (V_cp), Maximum verschilpercentage (max V_cp), Interpreteren van max V_cp, Aflezen van een gestapeld staafdiagram

Veelgemaakte fouten:
- Incorrect aflezen van de percentages uit het staafdiagram.
- Verkeerd berekenen van de cumulatieve percentages.
- Vergeten de maximale V_cp te bepalen.
- De verkeerde schaalverdeling gebruiken voor de interpretatie van max V_cp (de grenzen van 20% en 40% moeten van het formuleblad komen).
- De laatste categorie 'niet bedreigd' meenemen in de berekening van max V_cp, waar het verschil altijd 0 is.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2025/tijdvak-2/vraag/10

## Vraag 11 – Opgave 11 (3 punten)

3p 11 In 2015 had de Wereldbank de ambitie om het percentage van de wereldbevolking dat in extreme armoede leeft, uiterlijk in het jaar 2030 onder de 3,0 te krijgen. De Wereldbank rapporteert dat in de periode 1990-2015 dit percentage bij benadering jaarlijks met 1 afnam. Neem aan dat deze constante daling zich na 2015 op dezelfde wijze voortzet. Onderzoek of de ambitie van de Wereldbank volgens deze benadering gehaald zal worden. We nemen aan dat de wereldbevolking in de periode van 1990-2015 exponentieel groeide en we maken gebruik van de gegevens van 1990 en 2015. Hieruit volgt de volgende formule, die een goede benadering voor de omvang van de wereldbevolking geeft: B = 5,28 · 1,013^t Hierin is B de wereldbevolking in miljarden en t het aantal jaren na 1990.

Wat kun je verwachten: Je onderzoekt of een gestelde ambitie gehaald wordt, gebaseerd op een aangenomen constante daling. Je moet een startpercentage aflezen en vervolgens berekenen hoe dit percentage zich ontwikkelt over tijd.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een lineaire daling toepast op een startwaarde en hoe je een doelstelling toetst. Je moet ook het verschil kennen tussen een procentuele daling en een daling in procentpunten.

Wat moet je kunnen: Je kunt een percentage aflezen uit een tabel. Je kunt een lineaire afname per jaar correct toepassen. Je kunt berekenen hoeveel jaar nodig is om een bepaalde drempel te bereiken, of wat de waarde is op een toekomstig tijdstip. Je kunt je conclusie helder formuleren.

Waar op letten: Lees het percentage in 2015 correct af uit de tabel. Dit is je startwaarde voor de verdere berekening.
De vraag stelt dat het percentage jaarlijks met 1 afnam. Dit betekent een afname van 1 procentpunt per jaar, niet een procentuele afname van de huidige waarde.
Je moet onderzoeken of het percentage 'onder de 3,0' komt. Dit betekent dat je moet controleren of de waarde kleiner wordt dan 3,0.
Je kunt op twee manieren redeneren: berekenen wanneer het percentage onder de 3,0 komt, of berekenen wat het percentage is in 2030 en dit vergelijken met 3,0.
Formuleer je conclusie duidelijk: wordt de ambitie wel of niet gehaald, en waarom?

Kernbegrippen: lineair model, extrapoleren, toetsen aan een doelwaarde

Veelgemaakte fouten:
- Rekenjaar verwarren met aantal jaren (bv. 2030 gebruiken ipv 15)
- Startwaarde uit de tabel verkeerd aflezen (bv. 1990 ipv 2015)
- De daling van 1 is een daling in percentagepunten, niet een procentuele daling.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2025/tijdvak-2/vraag/11

## Vraag 12 – Opgave 12 (5 punten)

We nemen aan dat de wereldbevolking in de periode van 1990-2015 exponentieel groeide en we maken gebruik van de gegevens van 1990 en 2015. Hieruit volgt de volgende formule, die een goede benadering voor de omvang van de wereldbevolking geeft:
B = 5,28 ⋅ 1,013^t
Hierin is B de wereldbevolking in miljarden en t het aantal jaren na 1990.

Laat zien hoe deze formule uit bovenstaande aanname en de genoemde gegevens volgt.

Wat kun je verwachten: Je moet laten zien hoe de gegeven exponentiële formule is afgeleid uit de informatie in de tabel. Dit betekent dat je de beginwaarde en de jaarlijkse groeifactor moet berekenen en aantonen dat deze overeenkomen met de formule.

Wat moet je kennen: Je moet het concept van exponentiële groei kennen, inclusief hoe je een beginwaarde en een groeifactor bepaalt. Je moet ook weten hoe je een groeifactor over een langere periode omrekent naar een groeifactor per jaar.

Wat moet je kunnen: Je moet: 
- Gegevens correct aflezen uit een tabel.
- De wereldbevolking berekenen voor specifieke jaren met behulp van de gegeven aantallen en percentages.
- De groeifactor over een periode berekenen (nieuwe waarde / oude waarde).
- Een groeifactor per periode omrekenen naar een groeifactor per jaar door middel van machtsverheffen (bijvoorbeeld tot de macht (1)/(25)).
- Je berekeningen duidelijk presenteren en afronden zoals gevraagd in de formule.

Waar op letten: Let goed op de eenheden in de tabel: 'aantal (miljoenen)' en 'percentage van de wereldbevolking'. De formule gebruikt 'miljarden'. Je moet dus omrekenen.
De wereldbevolking is NIET het 'aantal (miljoenen)' uit de tabel, maar moet je berekenen met behulp van het percentage. Denk na over hoe je de totale bevolking berekent als je het aantal mensen in extreme armoede en het percentage van de wereldbevolking dat dit betreft, weet.
Verwar de groeifactor over de hele periode (25 jaar) niet met de jaarlijkse groeifactor. Je moet de groeifactor over 25 jaar tot de macht (1)/(25) doen om de jaarlijkse groeifactor te vinden.
Rond de tussenresultaten, zoals de berekende wereldbevolking, niet te vroeg af om afrondingsfouten in de uiteindelijke groeifactor te voorkomen.
Zorg ervoor dat je de stappen duidelijk opschrijft, zodat je laat zien hoe je tot de formule bent gekomen.

Kernbegrippen: exponentiële groei, groeifactor berekenen, beginwaarde bepalen, formule opstellen

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd berekenen van de wereldbevolking (aantal / percentage). Let op dat het aantal in miljoenen is, en het percentage een decimaal getal wordt (35,9% = 0,359).
- Lineaire groei aannemen in plaats van exponentieel.
- Groeifactor per periode (25 jaar) verwarren met groeifactor per jaar.
- Rekenmachinefouten bij machtsverheffen met een breuk, zoals `^(1/25)`.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2025/tijdvak-2/vraag/12

## Vraag 13 – Opgave 13 (2 punten)

De internationale armoedegrens is voor iedereen in de wereld gelijk, dus onafhankelijk van het land waarin iemand leeft. Onderzoekers bij de Wereldbank hebben voorgesteld om bij studies naar extreme armoede ook te kijken naar een nationale armoedegrens N (in US per persoon per dag²)). Deze grens verschilt per land en ligt hoger naarmate een land welvarender is. Hoe welvarend een land is, wordt uitgedrukt in de welvaartsscore W (in US per persoon per dag).
In de figuur is van diverse landen het verband weergegeven tussen de nationale armoedegrens N en de welvaartsscore W. Beide assen in de figuur hebben een logaritmische schaalverdeling. Er is een lijn getekend die past bij de losse punten in het rechterdeel van de figuur.

Een land heeft een welvaartsscore van 8.
Bepaal met behulp van de figuur de nationale armoedegrens in dit land.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een grafiek met logaritmische schalen op beide assen. Je moet een waarde op de ene as gebruiken om de corresponderende waarde op de andere as af te lezen. Dit vereist nauwkeurigheid bij het interpreteren van de logaritmische schaal.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een logaritmische schaal afleest. Dit betekent dat de afstanden tussen de getallen niet lineair zijn, maar dat elke stap een vermenigvuldiging is (bijvoorbeeld van 1 naar 10, dan van 10 naar 100). Je moet ook de context van de nationale armoedegrens N en de welvaartsscore W begrijpen.

Wat moet je kunnen: Je moet nauwkeurig een gegeven welvaartsscore (W) op de horizontale as kunnen vinden. Vervolgens moet je verticaal omhoog gaan naar de getekende lijn (of de punten die de trend volgen) en dan horizontaal naar links om de bijbehorende nationale armoedegrens (N) op de verticale as af te lezen. Je moet hierbij de logaritmische schaal correct interpreteren.

Waar op letten: Let goed op de logaritmische schaalverdeling van beide assen. De stapjes zijn niet gelijk, maar elke grote stap is een factor 10.
Zoek de welvaartsscore W = 8 op de horizontale as. Dit getal ligt tussen 1 en 10. Bedenk waar 8 zich bevindt op een logaritmische schaal.
Volg vanuit W = 8 een verticale lijn omhoog naar de getekende lijn in de figuur.
Lees vervolgens de corresponderende waarde voor N af op de verticale as door horizontaal naar links te gaan. Let ook hier op de logaritmische schaal.
Vergeet niet de eenheid 'US$ per persoon per dag' in je antwoord te vermelden.

Kernbegrippen: aflezen van logaritmische schaal, grafiek interpretatie

Veelgemaakte fouten:
- misinterpreteren van logaritmische schaal
- onjuist aflezen van de assen

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2025/tijdvak-2/vraag/13

## Vraag 14 – Opgave 14 (4 punten)

4p 14 Bereken tot en met welke welvaartsscore W het verschil tussen de uitkomsten van beide formules voor N kleiner is dan 1. Geef je antwoord in één decimaal. Het gebruik van de nationale armoedegrens in plaats van de internationale armoedegrens leidt tot een andere kijk op de omvang van het probleem van extreme armoede in de wereld. Voor het aantal mensen dat in extreme armoede leeft, gelden bij benadering de volgende formules: A_i = (35,9 - 1,04 · t) · 0,0528 · 1,013^t A_n = (44,2 - 0,51 · t) · 0,0528 · 1,013^t Hierin is A_i het aantal mensen (in miljarden) dat in extreme armoede leeft bij gebruik van de internationale armoedegrens, A_n het aantal mensen (in miljarden) dat in extreme armoede leeft bij gebruik van de nationale armoedegrens en t het aantal jaren na 1990. Er komt een moment waarop er geen mensen meer in extreme armoede leven, wanneer je uitgaat van de formule van A_i.

Wat kun je verwachten: Je moet het verschil tussen twee formules bepalen en dit verschil gelijkstellen aan een bepaalde waarde. Vervolgens los je de vergelijking op met je grafische rekenmachine.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je formules invoert in je GR en hoe je de 'intersect' of 'zero' functie gebruikt om een vergelijking op te lossen. Je moet ook begrijpen wat 'het verschil tussen de uitkomsten' betekent.

Wat moet je kunnen: Je kunt de twee gegeven formules voor N correct invoeren in je GR. Je kunt de vergelijking opstellen die het verschil tussen de twee formules weergeeft. Je kunt de 'intersect' of 'zero' functie van je GR gebruiken om de waarde van W te vinden waarvoor dit verschil geldt. Je kunt je antwoord correct afronden en de juiste eenheid toevoegen.

Waar op letten: Let goed op welke formules je moet gebruiken. De vraagtekst bevat formules voor 'A_i' en 'A_n' en ook voor 'N'. Voor deze specifieke vraag zijn de formules voor 'N' relevant.
Je moet het verschil tussen de twee formules voor N bepalen. Dit betekent dat je de ene formule van de andere aftrekt. Het is belangrijk dat je dit verschil gelijkstelt aan de waarde die in de vraag wordt genoemd (in dit geval 'kleiner dan 1').
Je stelt de vergelijking op: |N_formule2 - N_formule1| = 1 of N_formule2 - N_formule1 = 1 (of andersom, afhankelijk van welke formule de grootste waarde heeft in het relevante bereik). Je kunt ook twee vergelijkingen oplossen: N_formule2 - N_formule1 = 1 en N_formule2 - N_formule1 = -1.
Beschrijf duidelijk de stappen die je op je GR uitvoert om de vergelijking op te lossen (bijvoorbeeld 'voer Y1 = ... en Y2 = ... in, gebruik dan intersect').
Rond je eindantwoord af op het gevraagde aantal decimalen (één decimaal) en vermeld de juiste eenheid (US$ per persoon per dag).

Kernbegrippen: vergelijking oplossen met GR, modellen vergelijken, verschilfunctie

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd opstellen van de vergelijking (bijv. N1 - N2 = 0 i.p.v. N2 - N1 = 1)
- Vergeten de GR-methode te beschrijven (intersect, zero)
- Afrondingsfout of verkeerd aantal decimalen in het eindantwoord.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2025/tijdvak-2/vraag/14

## Vraag 15 – Opgave 15 (5 punten)

Het gebruik van de nationale armoedegrens in plaats van de internationale armoedegrens leidt tot een andere kijk op de omvang van het probleem van extreme armoede in de wereld.
Voor het aantal mensen dat in extreme armoede leeft, gelden bij benadering de volgende formules:
A_i = (35,9 - 1,04 ⋅ t) ⋅ 0,0528 ⋅ 1,013^t
A_n = (44,2 - 0,51 ⋅ t) ⋅ 0,0528 ⋅ 1,013^t
Hierin is A_i het aantal mensen (in miljarden) dat in extreme armoede leeft bij gebruik van de internationale armoedegrens, A_n het aantal mensen (in miljarden) dat in extreme armoede leeft bij gebruik van de nationale armoedegrens en t het aantal jaren na 1990.

Er komt een moment waarop er geen mensen meer in extreme armoede leven, wanneer je uitgaat van de formule van A_i.
5p 15 Bereken hoeveel jaar na 1990 dit het geval is en bereken hoeveel miljard mensen er dan volgens de formule van A_n nog wel in extreme armoede leven. Geef je antwoord in een geheel aantal jaren en een geheel aantal miljarden.

Wat kun je verwachten: Je krijgt twee formules die het aantal mensen in extreme armoede beschrijven, afhankelijk van de gebruikte armoedegrens. Je moet een moment bepalen waarop volgens de ene formule niemand meer in extreme armoede leeft, en vervolgens berekenen hoeveel mensen er op datzelfde moment volgens de andere formule nog wel in extreme armoede leven.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een vergelijking oplost waarbij een product gelijk is aan nul. Je moet ook begrijpen hoe je een berekende waarde correct invult in een andere formule en hoe je de resultaten volgens de instructies afrondt.

Wat moet je kunnen: Je kunt een vergelijking van de vorm A_i = 0 oplossen met je grafische rekenmachine (GR) of door de lineaire factor gelijk te stellen aan nul. Je kunt de gevonden waarde van 't' vervolgens substitueren in de formule voor A_n. Je kunt de uitkomsten correct afronden op hele jaren en hele miljarden, zoals gevraagd in de opgave.

Waar op letten: Let goed op welke formule je gebruikt voor het eerste deel van de vraag (A_i) en welke voor het tweede deel (A_n).
Wanneer een product van factoren nul is, betekent dit dat minstens één van de factoren nul moet zijn. De factor 0,0528 en 1,013^t kunnen nooit nul zijn, dus je moet de andere factor gelijkstellen aan nul.
Rond de waarde van 't' pas af op een geheel aantal jaren nadat je deze hebt berekend, en gebruik deze afgeronde waarde voor de volgende berekening met A_n.
Vergeet niet om beide delen van de vraag te beantwoorden: zowel het aantal jaren als het aantal miljarden mensen.
Let op de eenheden: 't' is in jaren na 1990 en A_i en A_n zijn in miljarden mensen.

Kernbegrippen: vergelijking oplossen, werken met formules, substitutie, afronden op basis van context

Veelgemaakte fouten:
- verkeerde formule gebruiken (A_n ipv A_i)
- vergelijking A=0 verkeerd oplossen
- vergeten GR-methode te beschrijven
- foutief afronden

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2025/tijdvak-2/vraag/15

## Vraag 16 – Opgave 16 (2 punten)

Is hier sprake van een aselecte steekproef? Licht je antwoord toe.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over een onderzoeksmethode en je moet beoordelen of de gebruikte steekproef aan bepaalde criteria voldoet. Je moet je antwoord toelichten.

Wat moet je kennen: Je moet het concept van een 'aselecte steekproef' kennen. Dit betekent dat elk individu in de populatie een gelijke kans moet hebben om in de steekproef te worden opgenomen. Je moet ook begrijpen wat 'representativiteit' inhoudt en welke factoren dit kunnen beïnvloeden.

Wat moet je kunnen: Je moet een beschreven onderzoeksmethode kunnen analyseren en kritisch beoordelen op basis van de definitie van een aselecte steekproef. Je moet je redenering helder en beargumenteerd kunnen opschrijven.

Waar op letten: Let goed op de definitie van een aselecte steekproef: heeft *elk* individu in de *gehele* populatie een gelijke kans om geselecteerd te worden?
Bedenk welke groepen mensen mogelijk worden uitgesloten door de gekozen methode (bijvoorbeeld mensen zonder telefoon, of mensen die op bepaalde tijden niet bereikbaar zijn).
Verwar 'willekeurig' (bijvoorbeeld willekeurige telefoonnummers bellen) niet met 'aselect' (elk individu heeft een gelijke kans).
Denk na over het 'steekproefkader': wie kan er überhaupt in de steekproef terechtkomen met deze methode?
Je moet je antwoord altijd toelichten met een duidelijke argumentatie.

Kernbegrippen: aselecte steekproef, representativiteit, steekproefkader, non-respons

Veelgemaakte fouten:
- Verwarren van 'willekeurig telefoonnummers genereren' met een aselecte steekproef uit de gehele populatie.
- Niet inzien dat de methode bepaalde groepen uitsluit, zoals mensen zonder (vaste of mobiele) telefoon.
- De hoge non-respons (51% plus degenen die niet wilden meedoen) negeren als een factor die de aselectiviteit kan beïnvloeden.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2025/tijdvak-2/vraag/16

## Vraag 17 – Opgave 17 (2 punten)

2p 17 Geef aan welke van de hierboven genoemde variabelen nominaal zijn. In het onderzoek is ook gevraagd naar de waardering van de bankbiljetten. Zie de figuur voor het resultaat. figuur 11% 35% 44% 3% 2% 5% 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% erg mooi tamelijk lelijk tamelijk mooi erg lelijk niet mooi, niet lelijk geen waardering gegeven Je kunt met de gegevens in de figuur berekenen hoeveel procent van de deelnemers die wel hun waardering van de bankbiljetten hebben gegeven, de bankbiljetten 'erg mooi' of 'tamelijk mooi' vindt.

Wat kun je verwachten: Je moet de verschillende meetniveaus van variabelen kennen en kunnen herkennen. Deze vraag test specifiek je kennis van nominale variabelen.

Wat moet je kennen: Je moet de definities van de verschillende meetniveaus (nominaal, ordinaal, interval, ratio) kennen. Een nominale variabele is een kwalitatieve variabele waarbij de categorieën geen logische volgorde hebben.

Wat moet je kunnen: Je moet de variabelen die in de vraagtekst of context worden genoemd, kunnen analyseren en bepalen welk meetniveau ze hebben. Je moet de nominale variabelen eruit kunnen filteren.

Waar op letten: Lees de vraag goed: er wordt specifiek gevraagd naar 'nominale' variabelen. Verwar dit niet met ordinale, interval of ratio variabelen.
Denk na over de kenmerken van een nominale variabele: de waarden zijn categorieën zonder een natuurlijke of logische volgorde (bijvoorbeeld 'kleur' of 'geslacht').
Ga alle genoemde variabelen in de context van de vraag na en bepaal voor elk of het een nominale variabele is.
Zorg ervoor dat je alle nominale variabelen noemt die in de context van het onderzoek voorkomen. Een onvolledig antwoord kan punten kosten.
Voeg geen variabelen toe die niet in de context van het onderzoek worden genoemd, ook al zijn ze nominaal.

Kernbegrippen: statistische variabelen, meetniveaus, nominale variabele

Veelgemaakte fouten:
- Verwarring tussen nominale, ordinale, interval- en ratiovariabelen.
- Onvolledig antwoord (niet alle nominale variabelen noemen).
- Incorrecte variabelen toevoegen (bijv. leeftijd of aantal leden huishouden).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2025/tijdvak-2/vraag/17

## Vraag 18 – Opgave 18 (2 punten)

Je kunt met de gegevens in de figuur berekenen hoeveel procent van de deelnemers die wel hun waardering van de bankbiljetten hebben gegeven, de bankbiljetten 'erg mooi' of 'tamelijk mooi' vindt.
2p 18 Bereken dit percentage in één decimaal.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over het berekenen van een percentage, maar niet zomaar een percentage van het totaal. Je moet een percentage berekenen binnen een specifieke subgroep van de deelnemers. Dit betekent dat je goed moet kijken naar wat het 'nieuwe totaal' is voor jouw berekening.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je percentages berekent: (deel)/(geheel) * 100%. Ook moet je begrijpen hoe je een 'geheel' aanpast als de vraag over een specifieke subgroep gaat. Je moet de verschillende categorieën en hun bijbehorende percentages uit de figuur kunnen halen.

Wat moet je kunnen: Je kunt de relevante percentages uit de figuur aflezen. Je kunt de percentages van de categorieën 'erg mooi' en 'tamelijk mooi' bij elkaar optellen. Je kunt het juiste 'geheel' bepalen door de groep 'geen waardering gegeven' van het totale aantal deelnemers af te trekken. Je kunt vervolgens de percentageberekening correct uitvoeren en je antwoord afronden op één decimaal.

Waar op letten: Lees de vraag heel nauwkeurig: 'hoeveel procent van de deelnemers die wel hun waardering van de bankbiljetten hebben gegeven'. Dit is cruciaal voor het bepalen van je 'geheel' (de noemer in je breuk).
Identificeer welke categorieën bij 'erg mooi' of 'tamelijk mooi' horen en tel hun percentages bij elkaar op. Dit is je 'deel' (de teller in je breuk).
Vergeet niet het percentage 'geen waardering gegeven' van het totale percentage (100%) af te trekken om het correcte 'geheel' te krijgen voor de deelnemers die wél een waardering gaven.
Voer de percentageberekening correct uit: (deel)/(geheel) * 100%.
Rond je eindantwoord af op één decimaal, zoals gevraagd in de vraag, en vermeld de eenheid (%).

Kernbegrippen: percentageberekening, deel van een deel, procenten

Veelgemaakte fouten:
- Het totaal (de noemer) niet aanpassen. De vraag gaat over de deelnemers 'die wel hun waardering hebben gegeven', dus de 5% 'geen waardering gegeven' moet van het totaal van 100% worden afgetrokken.
- Alleen de percentages optellen (11% + 35% = 46%) en dit als eindantwoord geven.
- Afrondingsfout; de vraag vereist een antwoord in één decimaal.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2025/tijdvak-2/vraag/18

## Vraag 19 – Opgave 19 (4 punten)

Ook in andere jaren is er onderzoek gedaan naar de waardering van bankbiljetten. In de rest van deze opgave gaan we ervan uit dat alle onderzoeken naar de waardering van de bankbiljetten representatief zijn voor Nederlanders.
Om de waardering van de bankbiljetten te meten, gebruikt men de volgende formule om het percentage 'mooi' (P_mooi) te berekenen:
P_mooi = \fracaantal 'erg mooi' + aantal 'tamelijk mooi' + 0,5 × aantal 'niet mooi, niet lelijk'totaal aantal deelnemers - aantal 'geen waardering gegeven' × 100
In deze formule staat bijvoorbeeld aantal 'erg mooi' voor het aantal onderzoeksdeelnemers dat aangeeft de bankbiljetten 'erg mooi' te vinden.
In 2002 was P_mooi gelijk aan 65. Met de gegevens in de figuur over het onderzoek onder de 1003 deelnemers in 2023 en de formule kunnen we nu P_mooi in 2023 en in 2002 vergelijken.
4p 19 Bereken het verschil tussen P_mooi in 2023 en P_mooi in 2002. Geef je antwoord in hele procenten.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een formule en data in een tabel. Je moet de data uit de tabel omzetten naar absolute aantallen en deze vervolgens invullen in de gegeven formule. Daarna vergelijk je jouw berekende waarde met een gegeven waarde uit een ander jaar.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je percentages omrekent naar absolute aantallen en hoe je een gegeven formule correct toepast. Ook moet je begrijpen wat er met 'verschil' wordt bedoeld.

Wat moet je kunnen: Je kunt percentages uit een tabel aflezen en omrekenen naar absolute aantallen. Je kunt deze aantallen correct invullen in een complexe formule. Je kunt het resultaat van de formule interpreteren en het verschil met een andere waarde berekenen, waarbij je let op de gevraagde afronding.

Waar op letten: Je moet de percentages uit de figuur eerst omrekenen naar absolute aantallen deelnemers (van de 1003 totaal) voordat je ze in de formule invult. Gebruik dus NIET direct de percentages in de formule.
Let goed op de factor 0,5 bij 'aantal niet mooi, niet lelijk' in de teller van de formule.
Controleer of je in de noemer het 'aantal geen waardering gegeven' correct aftrekt van het 'totaal aantal deelnemers'.
Vergeet niet om de berekende P_mooi voor 2023 te vergelijken met de gegeven P_mooi van 2002 (65%) en het verschil te berekenen.
Rond je eindantwoord af in hele procenten, zoals gevraagd.

Kernbegrippen: procenten, formule toepassen, data aflezen uit diagram, rekenen met absolute en relatieve getallen

Veelgemaakte fouten:
- Percentages direct in de formule gebruiken in plaats van absolute aantallen.
- De factor 0,5 bij 'niet mooi, niet lelijk' vergeten.
- Fout in de noemer: het aantal 'geen waardering gegeven' niet aftrekken.
- Eindantwoord niet afronden op hele procenten zoals gevraagd.
- Vergeten het verschil te berekenen met de waarde uit 2002.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2025/tijdvak-2/vraag/19

## Vraag 20 – Opgave 20 (3 punten)

Stel dat een aantal van de onderzoeksdeelnemers die geen waardering hebben gegeven voor de bankbiljetten, bij een heroverweging toch beslissen de bankbiljetten 'tamelijk lelijk' te vinden, en dat de overige deelnemers bij hun standpunt blijven. Dan zal de waardering van de bankbiljetten afnemen.
Beredeneer, zonder gebruik te maken van getallenvoorbeelden, dat P_mooi volgens de formule in dit geval inderdaad afneemt.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een scenario voorgelegd waarin de waardering van bankbiljetten verandert. Je moet beredeneren hoe dit de uitkomst van een gegeven formule beïnvloedt, zonder getallen te gebruiken.

Wat moet je kennen: Je moet de structuur van een breuk kennen en begrijpen hoe veranderingen in de teller en noemer de totale waarde van de breuk beïnvloeden. Je moet ook de betekenis van de verschillende termen in de formule voor P_mooi begrijpen.

Wat moet je kunnen: Je moet de gegeven formule kunnen analyseren en de impact van de beschreven veranderingen op de teller en de noemer kunnen bepalen. Je moet je redenering helder en logisch kunnen formuleren, zonder gebruik te maken van concrete getallenvoorbeelden.

Waar op letten: Lees de vraag heel nauwkeurig: 'zonder gebruik te maken van getallenvoorbeelden' is cruciaal. Gebruik dus geen percentages of aantallen uit de figuur.
Identificeer welke delen van de formule (teller, noemer) worden beïnvloed door de heroverweging van de deelnemers.
Bedenk wat er gebeurt met het 'aantal geen waardering gegeven' en hoe dit de noemer van de breuk beïnvloedt.
Controleer of de categorie 'tamelijk lelijk' voorkomt in de teller van de formule. Dit is belangrijk om te bepalen of de teller verandert.
Leg duidelijk uit hoe de veranderingen in de teller en noemer samen leiden tot een afname van P_mooi.

Kernbegrippen: formule-analyse, redeneren met variabelen, breuken

Veelgemaakte fouten:
- Toch een getallenvoorbeeld gebruiken terwijl dit expliciet verboden is.
- Verwarring over wat er met de teller en noemer gebeurt.
- Niet inzien dat de categorie 'tamelijk lelijk' niet in de teller van de formule voorkomt.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2025/tijdvak-2/vraag/20

## Vraag 21 – Opgave 21 (5 punten)

De 1003 deelnemers aan het onderzoek in 2023 zijn op basis van het kenmerk 'wel of niet beroepsmatig omgaan met bankbiljetten' onderverdeeld in de groepen A en B. Zie de tabel.

tabel percentage deelnemers groep A en B in 2023
groep A beroepsmatig omgaan met bankbiljetten 17,1%
groep B niet beroepsmatig omgaan met bankbiljetten 82,9%

Er blijkt een verschil te bestaan tussen groep A en B: 50% van de deelnemers in groep A en 61% van de deelnemers in groep B verwacht dat er over vijf jaar minder met contant geld betaald zal worden.
Onderzoek met behulp van het formuleblad of dit verschil in verwachting groot, middelmatig of gering is.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over het onderzoeken van een verband tussen twee categorische variabelen. Je moet percentages omzetten naar absolute aantallen en deze gebruiken in een statistische formule van je formuleblad. Uiteindelijk interpreteer je de uitkomst.

Wat moet je kennen: Je moet de formule voor de phi-coëfficiënt kennen en weten wanneer je deze toepast. Je moet ook de interpretatieregels voor de phi-coëfficiënt (gering, middelmatig, groot) van je formuleblad kennen.

Wat moet je kunnen: Je moet percentages kunnen omrekenen naar absolute aantallen. Je moet een kruistabel kunnen opstellen. Je moet de phi-coëfficiënt correct kunnen berekenen met je GR en de uitkomst kunnen interpreteren aan de hand van de grenswaarden op je formuleblad.

Waar op letten: Je moet eerst de percentages van groep A en B omzetten naar absolute aantallen deelnemers, gebaseerd op het totale aantal van 1003 deelnemers.
Je berekent vervolgens hoeveel deelnemers in elke groep de specifieke verwachting hebben (50% van groep A, 61% van groep B).
Je stelt een 2x2 kruistabel op met de absolute aantallen. Zorg ervoor dat je alle vier de cellen correct invult (bijvoorbeeld: groep A met verwachting, groep A zonder verwachting, groep B met verwachting, groep B zonder verwachting).
Je gebruikt de formule voor de phi-coëfficiënt van je formuleblad. Let goed op de juiste plaatsing van de getallen (a, b, c, d) in de formule en wees nauwkeurig met de berekening, vooral de wortel in de noemer.
Je interpreteert de berekende waarde van phi aan de hand van de grenswaarden op je formuleblad om te bepalen of het verschil 'gering', 'middelmatig' of 'groot' is.

Kernbegrippen: kruistabel, phi-coëfficiënt, effectgrootte, procenten, statistische variabelen

Veelgemaakte fouten:
- Incorrect berekenen van de absolute aantallen uit de gegeven percentages.
- Verwisselen van de cellen (a, b, c, d) bij het invullen van de phi-formule.
- Reken- of invoerfout bij de complexe berekening van de phi-coëfficiënt, met name de wortel in de noemer.
- De interpretatieregels voor de waarde van phi (gering, middelmatig, groot) van het formuleblad niet correct toepassen.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2025/tijdvak-2/vraag/21

## Vraag 22 – Opgave 22 (8 punten)

Neem aan dat zowel het aantal mannen met een topinkomen als het aantal vrouwen met een topinkomen groeide met een vast percentage per jaar in de periode 2011-2017 en dat deze groei zich voortzet in de jaren na 2017.
8p 22 Onderzoek in welk jaar er in Nederland voor het eerst minder dan drie keer zoveel mannen als vrouwen met een topinkomen zijn.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over exponentiële groei van aantallen mannen en vrouwen met een topinkomen. Je moet de groeifactoren berekenen en vervolgens een vergelijking opstellen en oplossen om te bepalen wanneer een bepaalde verhouding bereikt wordt.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een groeifactor berekent over een bepaalde periode. Je moet ook begrijpen hoe je een exponentiële formule opstelt en hoe je verhoudingen correct interpreteert en omzet in breuken.

Wat moet je kunnen: Je moet de start- en eindwaarden voor mannen en vrouwen uit de grafiek kunnen aflezen. Je moet de jaarlijkse groeifactoren voor beide groepen kunnen berekenen. Daarna stel je twee formules op voor het aantal mannen en vrouwen met een topinkomen als functie van de tijd. Je stelt een vergelijking op met de verhouding van deze twee formules en lost deze op met je GR (intersect of tabel). Tot slot interpreteer je de uitkomst van je berekening in het juiste jaartal.

Waar op letten: Let goed op de periode waarover de groei plaatsvindt (2011-2017). Hoeveel jaar is dat precies? Dit is cruciaal voor het berekenen van de groeifactor.
De grafiek toont 'aantal personen met een topinkomen'. Je moet de absolute aantallen voor mannen en vrouwen in 2011 en 2017 bepalen. De verhoudingen 'zeven keer zoveel mannen als vrouwen' en 'vijf keer zoveel mannen als vrouwen' moet je omzetten naar breuken om de aantallen te berekenen.
Stel de formules voor het aantal mannen en vrouwen op in de vorm N(t) = N_0 * g^t. Zorg dat je de juiste startwaarden en groeifactoren gebruikt.
De vraag is 'minder dan drie keer zoveel mannen als vrouwen'. Dit betekent dat je de vergelijking 'aantal mannen / aantal vrouwen = 3' moet oplossen. Let op de volgorde in de breuk.
De variabele 'x' of 't' in je vergelijking staat voor het aantal jaren ná 2017. Als je een waarde voor 'x' vindt, moet je deze correct omzetten naar het uiteindelijke jaartal.

Kernbegrippen: exponentiële groei, groeifactor berekenen, vergelijking oplossen met GR, rekenen met verhoudingen

Veelgemaakte fouten:
- Incorrect berekenen van de breukdelen uit de verhouding. Bij 'zeven keer zoveel mannen als vrouwen' is de totale verhouding 7:1, wat betekent dat er 1+7=8 delen zijn. De breuken zijn dus 1/8 en 7/8, niet 1/7 en 6/7.
- De periode van 2011 tot en met 2017 is een periode van 6 jaar (2017-2011=6). Een veelgemaakte fout is om dit als 7 jaar te zien, wat leidt tot een onjuiste macht (1/7 i.p.v. 1/6) bij het berekenen van de jaarlijkse groeifactor.
- De variabele x in de opgestelde vergelijking representeert het aantal jaren na 2017. De eindoplossing x=9,1... moet correct geïnterpreteerd worden als 'in de loop van het 10e jaar na 2017', wat resulteert in het jaartal 2027 (2017+10).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2025/tijdvak-2/vraag/22

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen HAVO
2025
tijdvak 2
woensdag 18 juni
13.30 - 16.30 uur
_wiskunde A
Dit examen bestaat uit 22 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 76 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald
kunnen worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redene
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
worden gevraagd en je geeft meer dan twee
HA-1024-a-25-2-0

### Pagina 2

FORMULEBLAD
Vuistregels voor de grootte van het verschil van twee groepen
2×2-kruistabel

(a
c
b
d
),
met
phi
=
(ad-bc)
\sqrt{(a+b)(a+c)(b+d)(c+d)}
,
waarin a, b, c en d absolute aantallen zijn
–
als phi < -0,4 of phi > 0,4, dan zeggen we "het verschil is groot"
–
als -0,4 < phi < -0,2 of 0,2 < phi \le 0,4, dan zeggen we "het verschil is
middelmatig"
–
als -0,2 \le phi \le 0,2, dan zeggen we "het verschil is gering"
Maximaal verschil in cumulatief percentage (max Vcp)
(met voor beide groepen een steekproefomvang n > 100)
–
als max Vcp > 40, dan zeggen we "het verschil is groot"
–
als 20 < max Vcp \le 40, dan zeggen we "het verschil is middelmatig"
–
als max Vcp \le 20, dan zeggen we "het verschil is gering"
Effectgrootte E =
(X1 - X2)
2
(S1 + S2)
met
X1 en
X2
de steekproefgemiddelden
en S2
de steekproefstandaardafwijkingen
(X1 X2), S1
–
als E > 0,8, dan zeggen we "het verschil is groot"
–
als 0,4 < E \le 0,8, dan zeggen we "het verschil is middelmatig"
–
als E \le 0,4, dan zeggen we "het verschil is gering"
Twee boxplots vergelijken
–
als de boxen¹) elkaar niet overlappen, dan zeggen we "het verschil is
groot"
–
als de boxen elkaar wel overlappen en een mediaan van een boxplot
buiten de box van de andere boxplot ligt, dan zeggen we "het verschil is
middelmatig"
–
in alle andere gevallen zeggen we "het verschil is gering"
noot 1 De 'box' is het interval vanaf het eerste kwartiel tot en met het derde kwartiel.
HA-1024-a-25-2-o
2 / 16
lees verder

### Pagina 3

Betrouwbaarheidsintervallen
Het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de populatieproportie is
p ± 2 · $\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$, met p de steekproefproportie en n de steekproefomvang.
Het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het populatiegemiddelde is
$\bar{X}$ ± 2 · $\frac{S}{\sqrt{n}}$, met $\bar{X}$ het steekproefgemiddelde, n de steekproefomvang en
S de steekproefstandaardafwijking.
HA-1024-a-25-2-0
3 / 16
lees verder ► ► ►

### Pagina 4

Uitverkoop
Een schoenenzaak geeft korting op de wintercollectie. Er zijn twee
kortingsacties (I en II) die met behulp van posters in de winkel onder de
aandacht worden gebracht. Zie figuur 1.
figuur 1
kortingsactie I
kortingsactie II
Winter
SALE
(alleen op de wintercollectie)
Winter
SALE
(alleen op de wintercollectie)
bij aankoop van
elk paar schoenen
bij aankoop van
2 paar schoenen
20%
korting
2e paar schoenen
voor de halve prijs*
*geldig voor het
goedkoopste paar
Twee vriendinnen, Famke en Milla, gaan schoenen kopen.
3p
1
Famke koopt twee paar schoenen: een paar van 100 euro en een paar
van 80 euro. Ze wil gebruikmaken van kortingsactie II.
Bereken hoeveel procent korting Famke krijgt op haar totale aankoop.
Geef je antwoord in hele procenten.
Milla koopt ook twee paar schoenen: een paar van 100 euro en een paar
van 40 euro.
Onderzoek bij welke van de twee kortingsacties Milla de meeste korting
krijgt.
3p
2
HA-1024-a-25-2-o
4 / 16
lees verder >>>

### Pagina 5

We bekijken het
kopen van twee paar schoenen uit de wintercollectie met
korting. In figuur 2 staat langs de verticale as de prijs van het duurste
paar en langs de horizontale as de prijs van het goedkoopste paar
schoenen.
figuur 2
220-
duurste paar
schoenen in
euro
200-
180-
160-
140-
120-
100-
80-
60-
40-
20-
0-
0
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
→ goedkoopste paar schoenen in euro
gebied A
gebied B
gebied C
3p
3
In de figuur zijn twee lijnen getekend waardoor er drie gebieden A, B en C
zijn. Eén van deze drie gebieden geeft combinaties van prijzen van het
duurste en goedkoopste paar schoenen weer, waarbij kortingsactie II
voordeliger is dan kortingsactie I.
Welk gebied is dat? Licht je antwoord toe.
HA-1024-a-25-2-o
5/16
lees verder

### Pagina 6

Ondanks de kortingsacties is de wintercollectie na enkele weken nog steeds niet helemaal verkocht. De schoenenzaak gaat daarom over tot een nieuwe kortingsactie waarin nog meer korting wordt gegeven: de ‘final wintersale’. Zie figuur 3.
Deze final wintersale bestaat ook weer uit twee kortingsacties (I en II), waarover het in de rest van deze opgave gaat.
figuur 3
kortingsactie I
kortingsactie II
FINAL
Winter
SALE
(alleen op de wintercollectie)
FINAL
Winter
SALE
(alleen op de wintercollectie)
bij aankoop van
elk paar schoenen
bij aankoop van
2 paar schoenen
2e paar schoenen
voor een kwart van de prijs*
30% korting
*geldig voor het
goedkoopste paar
De meeste klanten denken nu dat bij de aankoop van twee paar schoenen kortingsactie II altijd meer korting oplevert dan kortingsactie I. Dit is
echter niet juist.
Stel dat het goedkoopste paar G euro kost en het duurste paar f keer zo
duur is. Dan kunnen we de (totale) korting (in euro) berekenen voor beide
kortingsacties met de onderstaande formules:
Korting bij kortingsactie I: K I =0,3⋅G+0,3⋅f⋅G
Korting bij kortingsactie II: K II =0,75⋅G
Als bijvoorbeeld het goedkoopste paar schoenen 30 euro kost en het
duurste paar drie keer zo duur is, dan is de totale korting bij kortingsactie I
idelijk aan 0,3⋅30+0,3⋅3⋅30 = 36 euro.
Stel dat het goedkoopste paar 75 euro kost.
Bereken hoeveel keer zo duur (als het goedkoopste paar) het duurste
paar maximaal mag zijn, zodat kortingsactie II minstens evenveel korting
oplevert als kortingsactie I.
3p 4
HA-1024-a-25-2-o
6 / 16
lees verder

### Pagina 7

```json
{
  "page_type": "opgaven",
  "exam_info": {},
  "figures": [],
  "keywords": "formule, korting, bedrag, euro, voorbeelden, getallen"
}
```

### Pagina 8

Vlindertellingen
Voor de Vlinderstichting tellen vrijwilligers in heel Nederland vlinders
vanaf maart tot en met september. Deze vlindertellingen vinden al
meerdere jaren plaats. De vrijwilligers tellen dan alle vlinders die ze zien,
één keer per week, op een vaste dag en op vaste routes van ongeveer
een kilometer.
In 1989 telden vrijwilligers vlinders op 69 vaste routes. Sindsdien steeg
het aantal vaste routes waarop vrijwilligers vlinders telden vrijwel lineair
tot 394 routes in 2014.
3p 6 Bereken met behulp van lineair interpoleren het aantal vaste routes in
2002 waarop vrijwilligers vlinders telden.
In figuur 1 zie je per jaar het gemiddeld aantal getelde vlinders per route
weergegeven voor de periode 1990-2014. Zo zie je dat in 1990 gemiddeld
bijna 600 vlinders per route geteld zijn. Het gemiddelde over de hele
periode 1990-2014 is met de horizontale lijn aangegeven. In 1990 is het
gemiddeld aantal getelde vlinders per route lager dan het gemiddelde
over de periode 1990-2014.
figuur 1 gemiddeld aantal getelde vlinders per route
gemiddeld aantal
getelde vlinders 1000-
per route
800-
600-
400-
200-
0
1990
1994
1998
2002
2006
2010
2014
jaar
3p 7 Onderzoek voor de periode 1990-2014 of de mediaan van het gemiddeld
aantal getelde vlinders per route groter of kleiner is dan het gemiddelde
over die hele periode.
HA-1024-a-25-2-o
8/16
lees verder

### Pagina 9

Tijdens de vlindertelling zijn in een bepaald gebied drie vlindersoorten
geteld. In figuur 2 zie je van deze drie vlindersoorten de getelde aantallen
in 2020 (zwarte lijn) en de gemiddelde aantallen in de periode
1990-2019 (grijze lijn). De schaalverdeling op de assen is bij elk van de
drie grafieken hetzelfde.
figuur 2
veldparelm Mv linder
bruin zandoogje
eikenpage
apr mei jun jul aug sep okt
voorjaar
zomer
lherfst
apr mei jun jul aug sep okt
voorjaar
zomer
lherfst
apr mei jun jul aug sep okt
voorjaar
zomer
lherfst
Legenda:
- aantal getelde vlinders per dag in 2020
-- gemiddeld aantal getelde vlinders per dag in de periode 1990-2019
Bij figuur 2 zijn de volgende stellingen geformuleerd:
I Deze vlindersoort wordt in 2020 tijdens een kortere periode
waargenomen dan gemiddeld in de periode 1990-2019.
II Deze vlindersoort is de meest waargenomen vlinder in 2020.
III In het voorjaar van 2020 wordt deze vlindersoort vaker waargenomen
dan gemiddeld in de periode 1990-2019.
Elke stelling is van toepassing op minstens een van de drie vlindersoorten
in figuur 2.
3p 8 Geef bij elke stelling een vlindersoort waarop die stelling van toepassing
is. Licht je antwoord toe.
HA-1024-a-25-2-o
9 / 16
lees verder

### Pagina 10

In figuur 3 zie je hoe het aantal getelde argusvlinders in een bepaald
gebied zich in de loop van de tijd ontwikkeld heeft. De aantallen zijn op
een logaritmische schaal weergegeven.
figuur 3
argusvlinders
100 000
aantal
argusvlinders
10 000
1000
1990
1994
1998
2002
2006
2010
2014
Legenda:
--- aantal argusvlinders
-- trendlijn
De rechte lijn in figuur 3 is de trendlijn. Volgens deze trendlijn neemt het
aantal argusvlinders af.
4p
9
Bereken met hoeveel procent per jaar het aantal argusvlinders volgens de
trendlijn afneemt. Geef je antwoord in één decimaal.
Bij de Vlinderstichting worden behalve de gegevens van vlinders ook de
gegevens van andere insectensoorten verwerkt, zoals van libellen. In
figuur 4 zie je hoe het met de verschillende soortgroepen gaat in 2019.
figuur 4
mate van bedreiging per soortgroep 2019
steen vlieg en
eendagsvliegen
vlinders
bijen
libellen
sprinkhanen en krekels
0%
20%
40%
60%
80%
100%
Legenda:
zeer ernstig bedreigd
ernstig bedreigd
bedreigd
licht bedreigd
zeer licht bedreigd
niet bedreigd
4p
10
Onderzoek met behulp van het formuleblad of er een groot, middelmatig
of gering verschil is tussen vlinders en libellen in de mate van bedreiging.
HA-1024-a-25-2-o
10/16
lees verder

### Pagina 11

Extreme armoede
De Wereldbank stelt dat iemand in extreme armoede leeft wanneer hij of
zij moet leven van minder dan 1,90 Amerikaanse dollar (US$) per dag1).
Dit bedrag wordt de internationale armoedegrens genoemd.
In de tabel staat, voor de periode 1990-2015, uitgaand van de
internationale armoedegrens, hoeveel mensen wereldwijd in extreme
armoede leefden en welk percentage van de wereldbevolking dat was.
tabel aantal mensen wereldwijd in extreme armoede
1990 1993 1996 1999 2002 2005 2008 2011 2013 2015
aantal
(miljoenen)
percentage
van de
wereldbevolking
1895 1878 1703 1729 1610 1352 1223 963 804 736
35,9 33,9 29,4 28,6 25,7 20,8 18,1 13,7 11,2 10,0
3p 11
In 2015 had de Wereldbank de ambitie om het percentage van de
wereldbevolking dat in extreme armoede leeft, uiterlijk in het jaar 2030
onder de 3,0 te krijgen. De Wereldbank rapporteert dat in de periode
1990-2015 dit percentage bij benadering jaarlijks met 1 afnam. Neem aan
dat deze constante daling zich na 2015 op dezelfde wijze voortzet.
Onderzoek of de ambitie van de Wereldbank volgens deze benadering
gehaald zal worden.
We nemen aan dat de wereldbevolking in de periode van 1990-2015
exponentieel groeide en we maken gebruik van de gegevens van 1990 en
2015. Hieruit volgt de volgende formule, die een goede benadering voor
de omvang van de wereldbevolking geeft:
B = 5,28.1,013'
Hierin is B de wereldbevolking in miljarden en t het aantal jaren na 1990.
5p 12
Laat zien hoe deze formule uit bovenstaande aanname en de genoemde
gegevens volgt.
noot 1 uitgaande van basisjaar 2011
HA-1024-a-25-2-0
11/16
lees verder ► ►

### Pagina 12

De internationale armoedegrens is voor iedereen in de wereld gelijk, dus
onafhankelijk van het land waarin iemand leeft. Onderzoekers bij de
Wereldbank hebben voorgesteld om bij studies naar extreme armoede
ook te kijken naar een nationale armoedegrens $N$ (in US$ per persoon per
dag$^{2)}$). Deze grens verschilt per land en ligt hoger naarmate een land
welvarender is. Hoe welvarend een land is, wordt uitgedrukt in de
welvaartsscore $W$ (in US$ per persoon per dag).
In de figuur is van diverse landen het verband weergegeven tussen de
nationale armoedegrens $N$ en de welvaartsscore $W$. Beide assen in de
figuur hebben een logaritmische schaalverdeling. Er is een lijn getekend
die past bij de losse punten in het rechterdeel van de figuur.
figuur nationale armoedegrens en welvaartsscore
$N$
(US$ p.p.p.d.)
10
1,9
1
1,9
10
→ $W$ (US$ p.p.p.d.)
2p 13 Een land heeft een welvaartsscore van 8.
Bepaal met behulp van de figuur de nationale armoedegrens in dit land.
noot 2 uitgedrukt in US$ ten opzichte van 2011 per persoon per dag (US$ p.p.p.d)
HA-1024-a-25-2-0
12/16
lees verder

### Pagina 13

In de figuur is te zien dat de nationale armoedegrens nooit onder de
internationale armoedegrens van 1,9 komt. In de figuur is een lijn
getekend door de punten met $W \ge 10$. Bij deze lijn past de formule:
$N = 0,88 \cdot W^{0,83}$ (formule 1)
De onderzoekers gebruiken echter in hun rapport een andere formule:
$N = 1,00 + 0,5 \cdot W^{-1,15}$ (formule 2)
In beide formules is $N$ de nationale armoedegrens van een land en $W$ de
welvaartsscore van dat land, beide in US$ per persoon per dag.
Beide formules zijn geldig voor $W \ge 10$.

Formule 2 geeft steeds een grotere uitkomst voor $N$ dan formule 1.
De onderzoekers konden formule 2 toch gebruiken, omdat de uitkomsten
van de twee formules niet veel van elkaar verschillen voor bepaalde
welvaartsscores $W$.
4p 14
Bereken tot en met welke welvaartsscore $W$ het verschil tussen de
uitkomsten van beide formules voor $N$ kleiner is dan 1. Geef je antwoord
in één decimaal.

Het gebruik van de nationale armoedegrens in plaats van de
internationale armoedegrens leidt tot een andere kijk op de omvang van
het probleem van extreme armoede in de wereld.

Voor het aantal mensen dat in extreme armoede leeft, gelden bij
benadering de volgende formules:
$A_i = (35,9 - 1,04 \cdot t) \cdot 0,0528 \cdot 1,013^t$
$A_n = (44,2 - 0,51 \cdot t) \cdot 0,0528 \cdot 1,013^t$
Hierin is $A_i$ het aantal mensen (in miljarden) dat in extreme armoede leeft
bij gebruik van de internationale armoedegrens, $A_n$ het aantal mensen (in
miljarden) dat in extreme armoede leeft bij gebruik van de nationale
armoedegrens en $t$ het aantal jaren na 1990.

Er komt een moment waarop er geen mensen meer in extreme armoede
leven, wanneer je uitgaat van de formule van $A_i$.
5p 15
Bereken hoeveel jaar na 1990 dit het geval is en ben hoeveel miljard
mensen er dan volgens de formule van $A_n$ nog wel in extreme armoede
leven. Geef je antwoord in een geheel aantal jaren en een geheel aantal
miljarden.

HA-1024-a-25-2-o
13 / 16
lees verder ►►►

### Pagina 14

Eurobankbiljetten
In opdracht van De Nederlandsche Bank is in februari 2023 onderzocht
hoe (volwassen) Nederlanders het uiterlijk van (euro)bankbiljetten
waarderen. Het onderzoek is uitgevoerd door middel van telefonische
interviews. Er zijn daarvoor 20 823 telefoonnummers willekeurig door een
computer bedacht. Daarvan bleek 51% geen gehoor te geven, in gesprek
te zijn of er was sprake van een niet bestaand nummer. De resterende
telefoonnummers leverden 1003 deelnemers op die meegedaan hebben
aan het telefonisch interview.
2p 16
De 1003 deelnemers vormen op deze manier een steekproef uit de
populatie Nederlanders.
Is hier sprake van een aselecte steekproef? Licht je antwoord toe.
Bij de deelnemers aan het telefonisch interview werd gevraagd naar een
aantal kenmerken (statistische variabelen) zoals
het geslacht,
de leeftijd (in jaren),
het aantal leden van het huishouden,
het wel of niet beroepsmatig omgaan met bankbiljetten,
de provincie waarin men woont.
2p 17 Geef aan welke van de hierboven genoemde variabelen nominaal zijn.
In het onderzoek is ook gevraagd naar de waardering van de
bankbiljetten. Zie de figuur voor het resultaat.
figuur
11% 35%
44%
3% 2% 5%
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
erg mooi
tamelijk mooi
niet mooi, niet lelijk
tamelijk lelijk
erg lelijk
geen waardering gegeven
2p 18
Je kunt met de gegevens in de figuur berekenen hoeveel procent van de
deelnemers die wel hun waardering van de bankbiljetten hebben gegeven,
de bankbiljetten 'erg mooi' of 'tamelijk mooi' vindt.
Bereken dit percentage in één decimaal.
HA-1024-a-25-2-0
14/16
lees verder

### Pagina 15

Ook in andere jaren is er onderzoek gedaan naar de waardering van
bankbiljetten. In de rest van deze opgave gaan we ervan uit dat alle
onderzoeken naar de waardering van de bankbiljetten representatief zijn
voor Nederlanders.
Om de waardering van de bankbiljetten te meten, gebruikt men de
volgende formule om het percentage 'mooi' ( P
mooi
) te berekenen:
P
mooi
= 
aantal 'erg mooi' + aantal 'tamelijk mooi' + 0,5 × aantal 'niet mooi, niet lelijk'
totaal aantal deelnemers - aantal 'geen waardering gegeven'
× 100
In deze formule staat bijvoorbeeld aantal 'erg mooi' voor het aantal
onderzoeksdeelnemers dat aangeeft de bankbiljetten 'erg mooi' te vinden.
In 2002 was P
mooi
gelijk aan 65. Met de gegevens in de figuur over het
onderzoek onder de 1003 deelnemers in 2023 en de formule kunnen we
nu P
mooi
in 2023 en in 2002 vergelijken.
4p 19
Bereken het verschil tussen P
mooi
in 2023 en P
mooi
in 2002. Geef je
antwoord in hele procenten.
Stel dat een aantal van de onderzoeksdeelnemers die geen waardering
hebben gegeven voor de bankbiljetten, bij een heroverweging toch
beslissen de bankbiljetten 'tamelijk lelijk' te vinden, en dat de overige
deelnemers bij hun standpunt blijven. Dan zal de waardering van de
bankbiljetten afnemen.
3p 20
Beredeneer, zonder gebruik te maken van getallenvoorbeelden, dat P
mooi
volgens de formule in dit geval inderdaad afneemt.
De 1003 deelnemers aan het onderzoek in 2023 zijn op basis van het
kenmerk 'wel of niet beroepsmatig omgaan met bankbiljetten'
onderverdeeld in de groepen A en B. Zie de tabel.
tabel
percentage deelnemers groep A en B in 2023
groep A
beroepsmatig omgaan met bankbiljetten
17,1%
groep B
niet beroepsmatig omgaan met bankbiljetten
82,9%
Er blijkt een verschil te bestaan tussen groep A en B: 50% van de
deelnemers in groep A en 61% van de deelnemers in groep B verwacht
dat er over vijf jaar minder met contant geld betaald zal worden.
5p 21
Onderzoek met behulp van het formuleblad of dit verschil in verwachting
groot, middelmatig of gering is.
Let op: de laatste vraag van dit examen staat op de volgende pagina.
HA-1024-a-25-2-0
15/16
le
es verder ► ► ►

### Pagina 16

Topinkomens
Er is sprake van een topinkomen als het inkomen van iemand in een jaar
(gemeten op 31 december) 100 000 euro of meer is. Het aantal personen
met zo'n topinkomen in Nederland is vanaf 2011 sterk toegenomen, zie de
figuur.
aantal
personen
figuur
aantal personen in Nederland met een topinkomen
vrouw
man
jaar
In 2017 waren er 13,4 miljoen personen in Nederland met een inkomen.
Daarvan hadden er 360 000 een topinkomen. Dat waren 120 000
personen meer dan in 2011.
Het aantal vrouwen met een topinkomen groeide in de periode 2011-2017
relatief sterker dan het aantal mannen met een topinkomen. In 2011
waren er zeven keer zoveel mannen als vrouwen met een topinkomen. In
2017 was dat nog maar vijf keer zoveel.
8p
22
Neem aan dat zowel het aantal mannen met een topinkomen als het
aantal vrouwen met een topinkomen groeide met een vast percentage per
jaar in de periode 2011-2017 en dat deze groei zich voortzet in de jaren
na 2017.
Onderzoek in welk jaar er in Nederland voor het eerst minder dan drie
keer zoveel mannen als vrouwen met een topinkomen zijn.
Bronvermelding
Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen
behorende correctievoorschrift.
HA-1024-a-25-2-o
16/16
einde