# Eindexamen Wiskunde A HAVO 2025 tijdvak 1

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2025/tijdvak-1

## Vraag 1 – Opgave 1 (4 punten)

4p 1 Onderzoek met bovenstaande gegevens en aannames of de genoemde doelstelling gehaald wordt. CO_2 heeft het grootste aandeel in de broeikasgassen die worden uitgestoten. In figuur 1 staat de wereldwijde uitstoot van CO_2 per jaar. figuur 1 wereldwijde CO_2-uitstoot CO_2-uitstoot (miljard ton) 40 35 30 25 20 15 10 5 0 1900 1920 1940 1960 1980 2000 2020 Neem aan dat de wereldwijde uitstoot van CO_2 in de periode van 1900 tot 1980 exponentieel is gegroeid.

Wat kun je verwachten: Je moet een doelstelling berekenen en vervolgens onderzoeken of deze doelstelling gehaald wordt op basis van een lineaire trend. Je zult een afname per jaar moeten berekenen en daarmee een voorspelling doen voor de toekomst.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een lineaire afname berekent (richtingscoëfficiënt) en hoe je daarmee een toekomstige waarde voorspelt (extrapoleren). Ook moet je de doelstelling correct interpreteren en berekenen.

Wat moet je kunnen: Je kunt de jaarlijkse afname berekenen op basis van twee meetpunten. Je kunt deze afname gebruiken om de uitstoot in een toekomstig jaar te voorspellen. Je kunt de voorspelde waarde vergelijken met de doelstelling en een duidelijke conclusie trekken.

Waar op letten: Let goed op de tijdsperiodes die je gebruikt voor je berekeningen. Het aantal jaren tussen 1990 en 2017 is niet hetzelfde als tussen 2017 en 2030, of tussen 1990 en 2030.
Zorg ervoor dat je de doelstelling correct berekent. Vaak is dit een halvering of een ander percentage van een beginwaarde.
Bereken de jaarlijkse afname nauwkeurig. Gebruik voldoende decimalen in je tussenberekeningen om afrondingsfouten te voorkomen.
Vergeet niet om een duidelijke conclusie te trekken: wordt de doelstelling wel of niet gehaald? Onderbouw je antwoord met je berekeningen.
Let op de eenheid in je antwoord: 'ton per inwoner per jaar'.

Kernbegrippen: lineair model, extrapoleren, richtingscoëfficiënt

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd aantal jaren berekenen (2017-1990=27, 2030-2017=13, 2030-1990=40)
- Vergeten de conclusie te trekken
- Reken- of afrondingsfouten

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2025/tijdvak-1/vraag/1

## Vraag 2 – Opgave 2 (5 punten)

Neem aan dat de wereldwijde uitstoot van CO2 in de periode van 1900 tot 1980 exponentieel is gegroeid.
5p 2 Bereken met de gegevens van 1900 en 1980 in figuur 1 het jaarlijkse groeipercentage in deze periode. Geef je antwoord in één decimaal.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over exponentiële groei, waarbij je gegevens uit een grafiek moet aflezen en vervolgens moet omrekenen naar een jaarlijks groeipercentage. Dit is een standaardvraagtype voor Wiskunde A.

Wat moet je kennen: Je moet het verschil kennen tussen een groeifactor en een groeipercentage. Je moet ook weten hoe je een groeifactor over een langere periode omrekent naar een groeifactor per jaar (of een andere tijdseenheid).

Wat moet je kunnen: Je moet nauwkeurig waarden kunnen aflezen uit een lijngrafiek. Je moet de formule voor exponentiële groei kunnen toepassen en je GR kunnen gebruiken om machten te berekenen (bijvoorbeeld x^(1/n)). Je moet een groeifactor kunnen omzetten naar een percentage en andersom.

Waar op letten: Je leest de CO2-uitstoot in 1900 en 1980 nauwkeurig af uit figuur 1. Let goed op de schaalverdeling van de verticale as.
Je berekent eerst de totale groeifactor over de periode van 1900 tot 1980. Dit doe je door de eindwaarde te delen door de beginwaarde.
Je zet de totale groeifactor om naar een jaarlijkse groeifactor. Denk goed na over de macht die je hiervoor moet gebruiken, het is NIET delen door het aantal jaren.
Je converteert de jaarlijkse groeifactor naar een jaarlijks groeipercentage. Vergeet niet dat een groeifactor van 1,025 een groei van 2,5% betekent.
Je rondt je uiteindelijke antwoord af op één decimaal en geeft het in procenten.

Kernbegrippen: exponentiële groei, groeifactor per tijdseenheid, groeipercentage, grafiek aflezen

Veelgemaakte fouten:
- Verwarren van groeifactor en groeipercentage
- Lineaire groei aannemen in plaats van exponentiële
- Verkeerd omrekenen van groeifactor over een periode naar groeifactor per jaar (bijv. delen door de periode i.p.v. machtsverheffen met 1/periode)
- Onnauwkeurig aflezen van de grafiek

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2025/tijdvak-1/vraag/2

## Vraag 4 – Opgave 4 (5 punten)

India brengt de uitstoot van broeikasgassen ook in verband met de omvang van het bruto nationaal product van het land.
Neem aan dat voor India de volgende formules gelden:
U = 3,6 · 1,02^t
B = 1,34 + 0,01 · t
BNP = 2597 · 1,06^t
Hierin is:
- U de uitstoot van alle broeikasgassen (in miljard ton)
- B het aantal inwoners (in miljarden)
- BNP het bruto nationaal product (in miljard US-dollar)
- t het geheel aantal jaren na 2017

De uitkomsten van de formules gelden telkens op het einde van het jaar.
Volgens deze formules zal in India de gemiddelde uitstoot van alle broeikasgassen per inwoner \left((U)/(B)\right) in de jaren na 2017 steeds stijgen.
Er komt dan een moment waarop (U)/(B) voor het eerst verdubbeld zal zijn ten opzichte van de waarde in 2017.
Bereken in welk jaar dat voor het eerst zal zijn.

Wat kun je verwachten: Je krijgt formules voor uitstoot (U), aantal inwoners (B) en bruto nationaal product (BNP) van India, afhankelijk van de tijd (t in jaren na 2017). Je moet de gemiddelde uitstoot per inwoner (U/B) analyseren. De vraag stelt dat deze waarde zal stijgen en vraagt wanneer deze voor het eerst verdubbeld zal zijn ten opzichte van de waarde in 2017.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een beginwaarde berekent met t=0. Je moet begrijpen wat 'verdubbelen' betekent in een vergelijking. Je moet ook weten hoe je een complexe vergelijking oplost met behulp van de grafische rekenmachine (GR).

Wat moet je kunnen: Je kunt de beginwaarde van (U)/(B) berekenen voor t=0. Je kunt een vergelijking opstellen waarbij de uitkomst van (U)/(B) gelijk is aan twee keer de beginwaarde. Je kunt deze vergelijking oplossen met de GR, bijvoorbeeld door de grafieken van Y1 = (U)/(B) en Y2 = verdubbelde beginwaarde te plotten en het snijpunt te vinden. Tot slot kun je de gevonden waarde van t correct interpreteren en omzetten naar het juiste jaartal.

Waar op letten: Bereken eerst de beginwaarde van (U)/(B) voor t=0. Dit is de waarde in 2017.
Verdubbel deze beginwaarde zorgvuldig. Dit is de doelwaarde die je zoekt.
Stel de vergelijking op: (U)/(B) = (jouw verdubbelde beginwaarde).
Gebruik je GR om deze vergelijking op te lossen. Voer de linkerkant in als Y1 en de rechterkant als Y2. Gebruik dan de 'intersect'-functie om het snijpunt te vinden.
De gevonden waarde van t is het aantal jaren na 2017. Omdat de vraag vraagt 'voor het eerst', moet je de gevonden t-waarde correct afronden naar boven als het een decimaal getal is, en dit optellen bij 2017 om het uiteindelijke jaartal te bepalen.

Kernbegrippen: oplossen van vergelijkingen met de grafische rekenmachine, werken met exponentiële en lineaire modellen, opstellen van een vergelijking op basis van een tekst, interpreteren van variabelen in een formule

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten de beginwaarde te verdubbelen bij het opstellen van de vergelijking.
- Incorrect afronden van de gevonden waarde voor t. Omdat de verdubbeling plaatsvindt bij t=51,3..., is dit in de loop van het 52e jaar. Het gevraagde jaartal is dus 2017 + 52.
- Vergeten de berekende waarde van t op te tellen bij het beginjaar 2017.
- Invoerfout van de complexe breuk in de grafische rekenmachine.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2025/tijdvak-1/vraag/4

## Vraag 5 – Opgave 5 (3 punten)

De gemiddelde uitstoot van alle broeikasgassen per US-dollar bruto nationaal product ((U)/(BNP)) laat een dalende trend zien na 2017.
Beredeneer dit aan de hand van de gegeven formules, zonder hierbij gebruik te maken van getallenvoorbeelden of van een schets of tekening van de grafiek van (U)/(BNP).

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over de verhouding tussen twee grootheden die beide exponentieel groeien. Je moet beredeneren of deze verhouding stijgt of daalt, zonder getallenvoorbeelden te gebruiken.

Wat moet je kennen: Je moet de eigenschappen van exponentiële groei kennen, met name de rol van de groeifactor. Je moet ook weten hoe breuken zich gedragen wanneer de teller en noemer met verschillende snelheden groeien.

Wat moet je kunnen: Je kunt de groeifactoren uit de gegeven formules identificeren en interpreteren. Je kunt logisch redeneren over de impact van verschillende groeifactoren op een breuk. Je kunt je redenering helder en volledig opschrijven, zonder verboden hulpmiddelen zoals getallenvoorbeelden of schetsen.

Waar op letten: Je identificeert de groeifactor van U en de groeifactor van BNP uit de formules.
Je vergelijkt de twee groeifactoren met elkaar. Welke is groter?
Je legt uit wat het betekent als de teller (U) en de noemer (BNP) met verschillende groeifactoren toenemen voor de waarde van de breuk (U)/(BNP).
Je vermijdt strikt het gebruik van getallenvoorbeelden, schetsen of tekeningen, zoals expliciet in de vraag staat.
Je zorgt ervoor dat je redenering volledig is en leidt tot de conclusie over de dalende trend.

Kernbegrippen: exponentiële groei, groeifactor, vergelijken van groei, breuken, dalende trend

Veelgemaakte fouten:
- Gebruik maken van getallenvoorbeelden, wat expliciet verboden is.
- Verkeerd interpreteren van de groeifactoren.
- Onvolledige redenering, bijvoorbeeld alleen constateren dat de groeifactoren verschillen zonder de consequentie voor de breuk te benoemen.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2025/tijdvak-1/vraag/5

## Vraag 6 – Opgave 6 (3 punten)

3p 6 Bereken hoeveel procent van de nesten in 24 dagen verloren gaat. Geef je antwoord in hele procenten. 24 dagen na het uitkomen van het ei is een kuiken vliegvlug. Dit betekent dat de donsveren hebben plaatsgemaakt voor echte veren en dat het kuiken kan vliegen. Voor het gewicht van kuikens die opgroeien, geldt in de periode vanaf het uitkomen van het ei tot het moment dat het kuiken vliegvlug is, bij benadering: G = (273)/(1,08+12,5 · 0,8^d) \quad (formule 1) Hierin is d het aantal hele dagen na de dag dat het ei uitkwam en G het gewicht van het kuiken in grammen.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over exponentiële groei of afname. Je moet een groeifactor bepalen en deze toepassen over een bepaalde periode. Uiteindelijk bereken je een percentage verandering.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een percentage afname omzet naar een groeifactor. Je moet ook begrijpen hoe je een groeifactor toepast over meerdere perioden (machten).

Wat moet je kunnen: Je kunt de groeifactor berekenen uit een gegeven percentage afname. Je kunt de groeifactor met een macht toepassen om de totale verandering over een periode te vinden. Je kunt het resterende deel omzetten naar een percentage verlies.

Waar op letten: Let goed op het verschil tussen een percentage afname en de groeifactor. Als er 2% verloren gaat, is de groeifactor NIET 0,02, maar 1 - 0,02.
Gebruik de juiste macht voor het aantal dagen. In dit geval is dat 24 dagen.
Controleer of je het percentage dat OVERBLIJFT berekent, of het percentage dat VERLOREN GAAT. Dit is een veelvoorkomende valkuil.
Rond pas aan het einde af, en dan in hele procenten zoals gevraagd.

Kernbegrippen: exponentiële afname, groeifactor, procentuele verandering

Veelgemaakte fouten:
- Lineair rekenen (24 * 2% = 48%) in plaats van exponentieel.
- Het percentage overgebleven nesten (ongeveer 62%) als antwoord geven in plaats van het percentage verloren nesten.
- Een groeifactor van 1,02 gebruiken in plaats van een afnamefactor van 0,98.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2025/tijdvak-1/vraag/6

## Vraag 7 – Opgave 7 (3 punten)

3p 7 Bereken hoeveel keer zo zwaar een kuiken is op de dag dat het vliegvlug is, ten opzichte van de dag dat het ei uitkwam. Geef je antwoord als geheel getal. We kijken nu naar de gewichtstoename per dag van de kuikens. Er geldt bij benadering: T = 3000 - 0,6G^2 + 152,9G \quad (formule 2) Hierin is G het gewicht van het kuiken in grammen en T de gewichtstoename per dag in milligrammen.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een formule voor het gewicht van een kuiken en je moet de verhouding van gewichten op twee verschillende tijdstippen berekenen. Je moet dus twee keer een waarde in de formule invullen en daarna een deling uitvoeren.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een formule met exponenten correct invult en hoe je de uitkomst interpreteert in de context van de vraag. Je moet ook weten dat 'keer zo zwaar' betekent dat je een verhouding berekent door te delen.

Wat moet je kunnen: Je kunt de formule G = (273)/(1,08+12,5 * 0,8^d) correct gebruiken. Je kunt de waarde van d=0 en d=24 invullen en de bijbehorende gewichten G berekenen. Je kunt vervolgens de verhouding van deze twee gewichten bepalen en het antwoord correct afronden op een geheel getal.

Waar op letten: Let goed op de waarde van d voor 'de dag dat het ei uitkwam'. Welke waarde van d hoort hierbij?
Identificeer de waarde van d voor 'de dag dat het vliegvlug is'. Deze staat expliciet in de tekst van de casus.
Wees extra voorzichtig met het berekenen van 0,8^0. Dit is een veelvoorkomende valkuil.
Voer de berekeningen nauwkeurig uit op je GR. Gebruik eventueel haakjes om de volgorde van bewerkingen te garanderen, vooral in de noemer van de breuk.
Lees goed de vraag: 'hoeveel keer zo zwaar'. Dit betekent dat je de twee gewichten door elkaar moet delen. Let op welke je deelt door welke om een getal groter dan 1 te krijgen.

Kernbegrippen: formule invullen, exponentiële groei, verhouding berekenen, afronden

Veelgemaakte fouten:
- rekenfout bij 0.8^0 (is 1, niet 0)
- verkeerde volgorde van bewerkingen
- foutieve invoer in rekenmachine
- verkeerd afronden

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2025/tijdvak-1/vraag/7

## Vraag 8 – Opgave 8 (5 punten)

We kijken nu naar de gewichtstoename per dag van de kuikens. Er geldt bij benadering:
T = 3000 - 0,6G^2 + 152,9G \quad (formule 2)
Hierin is G het gewicht van het kuiken in grammen en T de gewichtstoename per dag in milligrammen.

5p 8 Bereken hoeveel dagen na de dag dat het ei uitkwam (d) de gewichtstoename per dag (T) van het kuiken maximaal is. Geef je antwoord in gehele dagen.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over het bepalen van een maximumwaarde in een context van gewichtstoename van kuikens. Je moet twee formules combineren en je grafische rekenmachine gebruiken om het antwoord te vinden.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je het maximum van een functie kunt vinden met je grafische rekenmachine. Ook moet je begrijpen hoe je formules kunt substitueren en hoe je een vergelijking oplost met je GR.

Wat moet je kunnen: Je kunt de functie T(G) invoeren in je GR en het maximum bepalen. Je kunt de gevonden G-waarde gebruiken om de bijbehorende d-waarde te vinden door de formule voor G(d) gelijk te stellen aan de gevonden G-waarde en deze vergelijking op te lossen met je GR. Of je kunt de formule voor G(d) substitueren in de formule voor T(G) om een nieuwe functie T(d) te maken, die je vervolgens in je GR invoert om het maximum te vinden.

Waar op letten: Let goed op de twee formules die je krijgt: één voor T in termen van G, en één voor G in termen van d. Je moet deze aan elkaar koppelen.
Als je eerst het maximum van T(G) bepaalt, zorg er dan voor dat je de juiste G-waarde afleest en deze vervolgens gebruikt in de formule voor G(d).
Als je de formules combineert, wees dan heel nauwkeurig met het invoeren van de lange formule in je GR. Gebruik voldoende haakjes.
Gebruik de 'maximum'-functie van je GR (vaak onder CALC of G-Solv) om het maximum te vinden.
Rond je eindantwoord af op hele dagen, zoals gevraagd in de vraag.

Kernbegrippen: maximum van een functie bepalen, substitutie van formules, grafische rekenmachine gebruiken, kwadratische functies

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten dat T een kwadratische functie is van G en dat de top van de parabool het maximum geeft.
- Fouten bij het invoeren van de gecombineerde, complexe formule in de GR.
- Afleesfout van het maximum op de GR.
- Verkeerd afronden van het eindantwoord (moet een geheel aantal dagen zijn).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2025/tijdvak-1/vraag/8

## Vraag 9 – Opgave 9 (3 punten)

In grasland vinden de grutto's veel prooien, zoals insecten. Naarmate de grutto's ouder worden, kunnen ze steeds grotere prooien vangen. De grootte van een prooi wordt gegeven in milligram droge stof. Voor de maximale grootte van een prooi die grutto's kunnen eten, geldt de formule:
P = 1,309 + \frac2,151+0,74^d-14,69 (formule 3)
Hierin is P de maximale grootte van de prooi in milligram droge stof en d het aantal hele dagen na de dag dat het ei uitkwam.
De maximale grootte van de prooi die een grutto kan eten, nadert op den duur naar een bepaalde waarde.
3p 9 Beredeneer met behulp van formule 3 welke waarde dit is.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een formule met een exponentiële term. Je moet de waarde bepalen waar de formule naartoe gaat als de tijd (d) heel groot wordt. Dit wordt ook wel een grenswaarde of asymptoot genoemd.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe exponentiële functies zich gedragen als de variabele heel groot wordt. Specifiek, wat gebeurt er met een term als a^x als x heel groot wordt en a tussen 0 en 1 ligt?

Wat moet je kunnen: Je moet de formule kunnen analyseren en beredeneren wat er met de verschillende termen gebeurt als d heel groot wordt. Je moet de grenswaarde van de exponentiële term kunnen bepalen en deze vervolgens invullen in de rest van de formule om de uiteindelijke grenswaarde te vinden.

Waar op letten: Let goed op de exponentiële term 0,74^(d-14,69). Wat gebeurt er met deze term als d oneindig groot wordt? Denk aan de groeifactor 0,74 die tussen 0 en 1 ligt.
Beredeneer stap voor stap wat er met de breuk gebeurt als de exponentiële term zijn grenswaarde bereikt.
Vergeet niet de constante term 1,309 aan het begin van de formule mee te nemen in je uiteindelijke berekening.
Geef je antwoord in de juiste eenheid, namelijk milligram droge stof.
Rond je antwoord af zoals gevraagd, in dit geval op 3 decimalen.

Kernbegrippen: asymptoot, limiet, exponentiële functie, groeifactor tussen 0 en 1

Veelgemaakte fouten:
- Niet begrijpen van 'op den duur' als limiet voor d naar oneindig
- Reken- of optelfout
- Vergeten van de constante term 1,309

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2025/tijdvak-1/vraag/9

## Vraag 10 – Opgave 10 (4 punten)

Iemand trekt op basis van dit onderzoek twee conclusies:
I Er is volgens de vuistregels op het formuleblad een groot verschil tussen de grondwaterstand in graslanden met een afnemend aantal grutto's en de grondwaterstand in graslanden met een stabiel aantal grutto's.
II De grondwaterstand in graslanden met een afnemend aantal grutto's is normaal verdeeld.
Leg voor elk van deze twee conclusies uit of je die wel of niet kunt trekken op basis van de figuur.

Wat kun je verwachten: Je moet twee conclusies beoordelen op basis van een figuur met boxplots. Je legt uit of je elke conclusie wel of niet kunt trekken, met een duidelijke onderbouwing. Dit vereist kennis van boxplots en de eigenschappen van een normale verdeling.

Wat moet je kennen: Je kent de opbouw van een boxplot (minimum, Q1, mediaan, Q3, maximum). Je kent de vuistregels voor het vergelijken van boxplots, met name wanneer er sprake is van een 'groot verschil'. Je kent de eigenschappen van een normale verdeling, in het bijzonder de symmetrie.

Wat moet je kunnen: Je kunt informatie aflezen uit boxplots. Je kunt de vuistregels voor het vergelijken van boxplots toepassen. Je kunt beoordelen of een verdeling symmetrisch is op basis van een boxplot. Je kunt uitleggen waarom een verdeling wel of niet normaal verdeeld kan zijn op basis van de symmetrie van de boxplot.

Waar op letten: Let bij conclusie I goed op de vuistregels voor het vergelijken van boxplots. Wat betekent het als de boxen (het interkwartielbereik) elkaar wel of niet overlappen?
Voor conclusie II moet je de eigenschappen van een normale verdeling kennen. Een normale verdeling is altijd symmetrisch. Hoe zie je symmetrie (of het gebrek daaraan) terug in een boxplot?
Kijk bij het beoordelen van symmetrie in een boxplot niet alleen naar de lengte van de 'snorharen' (whiskers), maar vooral naar de positie van de mediaan binnen de box.
Zorg ervoor dat je je uitleg baseert op concrete kenmerken die je afleest uit de figuur, zoals de positie van de mediaan of de overlap van de boxen.
Vergeet niet om voor beide conclusies expliciet te vermelden of je deze wel of niet kunt trekken, en geef daarbij een duidelijke onderbouwing.

Kernbegrippen: boxplot, normale verdeling, spreiding, vuistregels statistiek, symmetrie

Veelgemaakte fouten:
- Misinterpreteren van de vuistregels voor het vergelijken van boxplots, bijvoorbeeld niet weten dat niet-overlappende boxen een groot verschil suggereren.
- Incorrect beoordelen van de symmetrie van een verdeling op basis van een boxplot, bijvoorbeeld alleen naar de lengte van de 'snorharen' (whiskers) kijken en niet naar de positie van de mediaan binnen de box.
- Verwarren van de eigenschappen van een normale verdeling met algemene symmetrie; een symmetrische boxplot garandeert geen normale verdeling, maar een asymmetrische sluit dit wel uit.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2025/tijdvak-1/vraag/10

## Vraag 11 – Opgave 11 (5 punten)

Het gaat niet zo goed met de grutto. Sinds 1990 daalt het aantal grutto's exponentieel. Twee instanties deden een uitspraak over deze daling:
– Een onderzoeksinstituut gaf aan dat in de periode 1990-2019 het aantal grutto's elke 13 jaar halveerde.
– Vogelbescherming Nederland gaf aan dat het aantal grutto's met twee derde was afgenomen in de periode 1990-2019.
5p 11 Onderzoek welke uitspraak leidt tot het hoogste aantal grutto's in 2019: die van het onderzoeksinstituut of die van Vogelbescherming Nederland.

Wat kun je verwachten: Je moet twee verschillende scenario's voor de daling van het aantal grutto's met elkaar vergelijken. Beide scenario's beschrijven exponentiële dalingen. Je moet de groeifactoren van deze dalingen bepalen en vergelijken om te zien welke uitspraak leidt tot het hoogste aantal grutto's in 2019.

Wat moet je kennen: Je moet weten wat een groeifactor is en hoe je deze berekent bij een halveringstijd. Ook moet je begrijpen wat 'afname met twee derde' betekent in termen van een groeifactor. Je moet ook weten hoe je een groeifactor per periode kunt omrekenen naar een groeifactor per jaar, of andersom.

Wat moet je kunnen: Je kunt de groeifactor per jaar berekenen als de halveringstijd gegeven is. Je kunt de groeifactor over een bepaalde periode berekenen als een percentage afname gegeven is. Je kunt groeifactoren met elkaar vergelijken door ze om te rekenen naar dezelfde tijdseenheid (bijvoorbeeld per jaar of over de hele periode 1990-2019). Je gebruikt je GR om machten en wortels te berekenen.

Waar op letten: Let goed op de periode waarover de uitspraken gaan: 1990-2019 is 29 jaar. Dit is belangrijk voor je berekeningen.
Bij de uitspraak van het onderzoeksinstituut: als het aantal grutto's elke 13 jaar halveert, wat is dan de groeifactor per jaar? Denk aan de formule g = (halveringsfactor)^(1/halveringstijd).
Bij de uitspraak van Vogelbescherming Nederland: 'afgenomen met twee derde' betekent dat er een bepaald deel overblijft. Wat is dat deel? Dit is je groeifactor over de hele periode van 29 jaar.
Om de twee uitspraken te vergelijken, moet je ze naar dezelfde tijdseenheid omrekenen. Je kunt beide groeifactoren per jaar berekenen, of beide groeifactoren over de hele periode van 29 jaar.
Rond tussentijdse berekeningen van groeifactoren niet te snel af (gebruik minimaal 3-4 decimalen) om afrondingsfouten in je eindvergelijking te voorkomen.

Kernbegrippen: Exponentiële groei, Groeifactor, Halveringstijd

Veelgemaakte fouten:
- Groeifactor per tijdseenheid verkeerd berekenen (delen i.p.v. machtsverheffen)
- Verkeerd interpreteren van 'afname met twee derde' (groeifactor is 1/3, niet 2/3)
- Verkeerde macht gebruiken bij omrekenen groeifactor (bv. g^13 i.p.v. g^(1/13))

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2025/tijdvak-1/vraag/11

## Vraag 12 – Opgave 12 (3 punten)

Op basis van bovenstaande gegevens kun je voor het percentage 50-74-jarigen in de populatie mantelzorgers van 18 jaar en ouder een 95%-betrouwbaarheidsinterval opstellen.
Stel met behulp van het formuleblad dit 95%-betrouwbaarheidsinterval op voor de populatieproportie. Geef de grenzen van het interval als percentages in één decimaal.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over het opstellen van een betrouwbaarheidsinterval voor een populatieproportie. Hiervoor moet je informatie uit een grafiek aflezen en een formule van je formulekaart toepassen.

Wat moet je kennen: Je moet de vuistregel voor het 95%-betrouwbaarheidsinterval kennen en weten hoe je deze toepast. Ook moet je weten hoe je een proportie uit een percentage haalt en andersom.

Wat moet je kunnen: Je moet percentages correct kunnen aflezen uit een gestapeld staafdiagram. Je moet de formule voor het betrouwbaarheidsinterval correct kunnen invullen en berekenen met je grafische rekenmachine. Tot slot moet je het antwoord correct afronden en in de gevraagde eenheid (percentages) presenteren.

Waar op letten: Je leest het percentage voor de leeftijdsgroep 50-74 jaar af uit het gestapelde staafdiagram. Let op dat je het verschil tussen twee waarden afleest, niet de eindwaarde.
Je zet het afgelezen percentage om naar een proportie (decimaal getal) voordat je het in de formule voor het betrouwbaarheidsinterval invult.
Je gebruikt de juiste vuistregel voor het 95%-betrouwbaarheidsinterval. Deze vind je op je formulekaart.
Je vult de steekproefgrootte (n) correct in de formule in.
Je rondt de grenzen van het interval af op één decimaal en geeft ze als percentages.

Kernbegrippen: betrouwbaarheidsinterval, populatieproportie, steekproefproportie, vuistregel betrouwbaarheidsinterval, aflezen gestapeld staafdiagram

Veelgemaakte fouten:
- Incorrect aflezen van percentage uit een gestapeld staafdiagram (verschil nemen, niet de eindwaarde)
- Vergeten de steekproefproportie (p) om te rekenen van percentage naar decimaal getal voor in de formule
- Reken- of afrondingsfouten
- Verkeerde formule voor betrouwbaarheidsinterval gebruiken

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2025/tijdvak-1/vraag/12

## Vraag 13 – Opgave 13 (3 punten)

We bekijken twee categorieën ouderen:
− jongere ouderen: 50 tot en met 74 jaar oud
− oudere ouderen: 85 jaar en ouder

Elke jongere oudere is een potentiële mantelzorger. Om het aantal potentiële mantelzorgers per oudere oudere in beeld te brengen, gebruikt men de maatstaf Oldest Old Support Ratio (OOSR); in formulevorm:

OOSR = (aantal jongere ouderen)/(aantal oudere ouderen)

Sinds 1975 neemt de OOSR op landelijk niveau af.
Ten opzichte van 1975 is het aantal jongere ouderen in 2015 met 25% toegenomen. In diezelfde periode is het aantal oudere ouderen tweeënhalf keer zo groot geworden.

3p 13 Bereken met hoeveel procent de OOSR in 2015 ten opzichte van 1975 is afgenomen.

Wat kun je verwachten: Je moet een procentuele verandering berekenen van een verhouding (de OOSR). Je krijgt informatie over de procentuele verandering van de teller en een factorverandering van de noemer. Je moet deze veranderingen combineren om de totale verandering van de OOSR te vinden en dit omzetten naar een procentuele afname.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een procentuele toename omzet naar een groeifactor. Je moet ook begrijpen wat 'tweeënhalf keer zo groot' betekent als groeifactor. Verder moet je weten hoe je een groeifactor weer omzet naar een procentuele toe- of afname.

Wat moet je kunnen: Je kunt een procentuele toename omzetten naar een groeifactor (bijvoorbeeld 25% toename wordt groeifactor 1,25). Je kunt een factorverandering (zoals 'tweeënhalf keer zo groot') direct als groeifactor gebruiken (2,5). Je kunt deze groeifactoren toepassen op de teller en de noemer van de gegeven formule. Tot slot kun je de resulterende groeifactor van de OOSR omzetten naar een procentuele afname.

Waar op letten: Let goed op het verschil tussen een percentage en een groeifactor. Een toename van 25% is een groeifactor van 1 + 0,25 = 1,25.
Interpreteer 'tweeënhalf keer zo groot' correct als een groeifactor van 2,5. Dit is niet 1,5 of 250%.
Deel de groeifactor van de teller door de groeifactor van de noemer om de totale groeifactor van de OOSR te vinden.
Zet de uiteindelijke groeifactor correct om naar een procentuele afname. Als de groeifactor bijvoorbeeld 0,5 is, betekent dit een afname van 50% (1 - 0,5 = 0,5, dus 50%).
Je mag ook een getallenvoorbeeld gebruiken om de berekening te verduidelijken, maar zorg ervoor dat je de stappen duidelijk uitlegt.

Kernbegrippen: procentuele verandering, groeifactor, verhoudingen, rekenen met factoren

Veelgemaakte fouten:
- De factor voor 'tweeënhalf keer zo groot' verkeerd interpreteren (het is 2,5, niet 1,5 of 250).
- De resulterende factor (0,5) niet correct omzetten naar een procentuele afname (50%).
- Proberen de percentages van de teller en noemer van elkaar af te trekken in plaats van de factoren op elkaar te delen.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2025/tijdvak-1/vraag/13

## Vraag 14 – Opgave 14 (4 punten)

Omdat mantelzorgers meestal in de buurt van oudere ouderen wonen, wordt de OOSR ook per gemeente berekend.
We vergelijken de OOSR van twee gemeenten met behulp van bevolkingsdiagrammen. Een bevolkingsdiagram is een diagram waarin aan twee kanten de leeftijdsopbouw van de bevolking is weergegeven, links die van de mannen en rechts die van de vrouwen.
In figuur 2 zie je twee bevolkingsdiagrammen (I en II) waarvan er één bij gemeente A hoort en de ander bij gemeente B. Daarbij geldt dat de OOSR van gemeente A groter is dan die van gemeente B.

4p 14 Beredeneer welk bevolkingsdiagram bij gemeente A hoort.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over de Oldest Old Support Ratio (OOSR) en twee bevolkingsdiagrammen. Je moet bepalen welk diagram bij welke gemeente hoort, gebaseerd op de gegeven OOSR-verhouding. Dit is een redeneervraag waarbij je de formule en de diagrammen goed moet interpreteren.

Wat moet je kennen: Je moet de definitie van 'jongere ouderen' (50 t/m 74 jaar) en 'oudere ouderen' (85 jaar en ouder) kennen. Ook moet je de formule voor de OOSR kennen: OOSR = (aantal jongere ouderen) / (aantal oudere ouderen).

Wat moet je kunnen: Je moet bevolkingsdiagrammen kunnen aflezen om het aantal mannen en vrouwen in specifieke leeftijdsgroepen te schatten. Je moet de OOSR-formule kunnen toepassen en begrijpen hoe een verandering in de teller of noemer de uitkomst van de breuk beïnvloedt. Je moet een logische redenering kunnen opbouwen om je keuze te onderbouwen.

Waar op letten: Let goed op de definitie van 'jongere ouderen' (50 t/m 74 jaar) en 'oudere ouderen' (85 jaar en ouder) en lees deze leeftijdsgroepen correct af in beide diagrammen.
Vergelijk voor elk diagram de aantallen in de relevante leeftijdsgroepen. Je hoeft geen exacte getallen af te lezen, maar een kwalitatieve vergelijking (meer/minder) is voldoende.
Begrijp de OOSR-formule: OOSR = (aantal jongere ouderen) / (aantal oudere ouderen). Een hogere OOSR betekent een grotere teller en/of een kleinere noemer.
Bedenk dat 'aantal jongere ouderen' in de teller staat en 'aantal oudere ouderen' in de noemer. Als de OOSR groter is, betekent dit dat de teller relatief groter is en/of de noemer relatief kleiner is.
Formuleer je redenering stap voor stap: vergelijk de aantallen in de diagrammen, leg uit hoe dit de OOSR beïnvloedt, en trek dan je conclusie welk diagram bij welke gemeente hoort.

Kernbegrippen: bevolkingsdiagram interpreteren, populatiepiramide aflezen, verhouding berekenen, redeneren met een formule, kwalitatieve vergelijking

Veelgemaakte fouten:
- De OOSR-formule verkeerd interpreteren (teller en noemer omdraaien).
- De leeftijdsgroepen voor 'jongere ouderen' (50-74) en 'oudere ouderen' (85+) verkeerd aflezen in de diagrammen.
- Vergeten dat een grotere breuk ontstaat door een grotere teller en/of een kleinere noemer.
- De conclusie omdraaien en diagram II aan gemeente A toewijzen.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2025/tijdvak-1/vraag/14

## Vraag 15 – Opgave 15 (3 punten)

We kijken in figuur 3 naar de gemeenten die een OOSR van minder dan 16 hebben. Iemand beweert dat het aantal gemeenten met deze eigenschap in de periode 2015-2020 met een kwart van het totaal aantal gemeenten is toegenomen.
Beredeneer met behulp van figuur 3 of deze bewering juist is.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een bewering over een toename van gemeenten met een bepaalde eigenschap. Je moet deze bewering controleren met behulp van boxplots. Dit betekent dat je de boxplots goed moet kunnen aflezen en interpreteren.

Wat moet je kennen: Je moet de betekenis van de verschillende onderdelen van een boxplot kennen: het minimum, het eerste kwartiel (Q1), de mediaan (Q2), het derde kwartiel (Q3) en het maximum. Je weet dat de mediaan het 50%-punt is en het derde kwartiel het 75%-punt.

Wat moet je kunnen: Je kunt de waarden van Q1, Q2 en Q3 aflezen uit de boxplots. Je kunt deze waarden interpreteren in de context van percentages van het totaal aantal gemeenten. Je kunt een verschil in percentages berekenen en dit vergelijken met de bewering in de vraag.

Waar op letten: Let goed op de specifieke waarde waar de vraag naar verwijst ('minder dan 16').
Lees voor beide jaren (2015 en 2020) de juiste waarde af die overeenkomt met 'minder dan 16'. Dit kan de mediaan of een kwartiel zijn.
Bedenk welk percentage van de gemeenten onder de afgelezen waarde valt. De mediaan staat voor 50%, Q1 voor 25% en Q3 voor 75%.
Bereken het verschil in percentages tussen 2015 en 2020. Dit verschil is een aantal procentpunten.
Vergelijk jouw berekende verschil met de bewering 'een kwart van het totaal aantal gemeenten'. Vergeet niet dat 'een kwart' overeenkomt met 25% of 25 procentpunten.

Kernbegrippen: boxplot aflezen, kwartielen, mediaan, procentuele verdeling

Veelgemaakte fouten:
- Verwarren van de mediaan en het derde kwartiel.
- Denken dat de toename van 50% naar 75% een toename van 50% is, in plaats van 25 procentpunt.
- Niet realiseren dat de vraag gaat om 'een kwart van het totaal aantal gemeenten', wat overeenkomt met 25% of 25 procentpunt.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2025/tijdvak-1/vraag/15

## Vraag 16 – Opgave 16 (3 punten)

Als thuis wonen zelfs met hulp van professionals en mantelzorgers niet meer mogelijk is, kunnen mensen in een zorginstelling gaan wonen.
Mantelzorgers krijgen dan minder zorgtaken, maar blijven noodzakelijk om bijvoorbeeld de financiën te regelen.
Een zorginstelling wil weten wat de bewoners en hun mantelzorgers vinden van de zorg die de zorginstelling biedt. Daarom wordt er een representatieve steekproef genomen uit de bewoners en hun mantelzorgers.
De deelnemers aan de steekproef gaven antwoord op de vraag:
In hoeverre bent u tevreden over de geboden zorg?
De uitkomsten van de steekproef staan in figuur 4.

3p 16 Geef aan van welke twee variabelen er sprake is in dit onderzoek en geef bij elk van deze twee variabelen aan of het een nominale of ordinale variabele is. Licht je antwoord toe.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over de basisbegrippen van statistiek, specifiek over variabelen en hun meetniveaus (nominaal en ordinaal). Je moet de variabelen in een onderzoek kunnen identificeren en correct kunnen classificeren.

Wat moet je kennen: Je moet de definities van 'variabele', 'nominale variabele' en 'ordinale variabele' kennen. Je moet begrijpen wat het verschil is tussen deze meetniveaus, met name of er een logische volgorde of rangorde in de categorieën zit.

Wat moet je kunnen: Je moet de context van de vraag analyseren om de twee belangrijkste variabelen te identificeren die in het onderzoek worden gemeten of vergeleken. Vervolgens moet je voor elke variabele bepalen of de categorieën een natuurlijke, logische volgorde hebben (ordinaal) of niet (nominaal). Je moet je antwoord kunnen toelichten met een duidelijke argumentatie.

Waar op letten: Identificeer de TWEE variabelen die in het onderzoek worden onderzocht. Vaak gaat het om een kenmerk van de onderzoekspopulatie en een gemeten eigenschap.
Denk bij elke variabele na over de categorieën of waarden die deze kan aannemen. Kun je deze categorieën op een logische manier rangschikken van 'minder' naar 'meer' of van 'laag' naar 'hoog'?
Als er een duidelijke, logische volgorde is, is de variabele 'ordinaal'. Denk aan tevredenheidsscores (slecht, voldoende, goed) of opleidingsniveaus (vmbo, havo, vwo).
Als er GEEN logische volgorde is, is de variabele 'nominaal'. Denk aan geslacht (man, vrouw) of haarkleur (blond, bruin, zwart).
Licht je keuze voor nominaal of ordinaal altijd toe met een korte, duidelijke uitleg waarom er wel of geen rangorde is.

Kernbegrippen: variabelen, meetniveaus, nominale variabele, ordinale variabele

Veelgemaakte fouten:
- Verwarren van nominaal en ordinaal.
- Niet beide variabelen correct identificeren.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2025/tijdvak-1/vraag/16

## Vraag 17 – Opgave 17 (4 punten)

4p 17 Onderzoek met behulp van het formuleblad of het verschil in de mate van tevredenheid tussen bewoners en mantelzorgers groot, middelmatig of gering is.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een staafdiagram met twee groepen (bewoners en mantelzorgers) en een ordinale variabele (mate van tevredenheid). Je moet het verschil in tevredenheid tussen deze groepen beoordelen met behulp van het maximaal cumulatief percentageverschil (max Vcp).

Wat moet je kennen: Je moet de methode kennen om cumulatieve percentages te berekenen en hoe je het maximaal cumulatief percentageverschil (max Vcp) bepaalt. Ook moet je de interpretatieregels voor max Vcp van het formuleblad kennen.

Wat moet je kunnen: Je moet percentages kunnen aflezen uit een staafdiagram. Je moet cumulatieve percentages kunnen berekenen en het verschil tussen twee cumulatieve verdelingen kunnen bepalen. Tot slot moet je de uitkomst van het max Vcp kunnen interpreteren aan de hand van de regels op het formuleblad.

Waar op letten: Je leest de percentages voor 'bewoners' en 'mantelzorgers' nauwkeurig af uit het staafdiagram. Let op de schaalverdeling van de horizontale as.
Je berekent de cumulatieve percentages voor beide groepen. Dit betekent dat je de percentages per categorie bij elkaar optelt, beginnend bij 'slecht' en eindigend bij 'uitstekend'. De laatste cumulatieve percentage moet 100% zijn.
Je berekent het verschil tussen de cumulatieve percentages van bewoners en mantelzorgers voor elke categorie. Je neemt hierbij de absolute waarde van het verschil.
Je bepaalt het maximale cumulatieve percentageverschil (max Vcp) uit de berekende verschillen.
Je gebruikt het formuleblad om de interpretatie van het max Vcp (gering, middelmatig, groot) correct toe te passen. Let goed op de grenswaarden die op het formuleblad staan.

Kernbegrippen: maximaal cumulatief percentageverschil (max Vcp), cumulatief percentage, ordinale variabele, staafdiagram aflezen, verschil tussen verdelingen

Veelgemaakte fouten:
- Fouten bij het aflezen van de percentages uit het staafdiagram.
- Reken- of optelfouten bij het bepalen van de cumulatieve percentages.
- Vergeten de absolute waarde van het verschil te nemen voor Vcp.
- De regels voor de interpretatie van max Vcp (gering, middelmatig, groot) van het formuleblad verkeerd toepassen of niet gebruiken.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2025/tijdvak-1/vraag/17

## Vraag 18 – Opgave 18 (3 punten)

3p 18 Bereken hoeveel keer zo groot de zwaarte-index van de beklimming van de Mont Ventoux is als die van de beklimming van de Vaalserberg. Geef je antwoord als geheel getal. De beklimming van de Franse berg Alpe d'Huez start vanuit het dorpje Bourg d'Oisans op een hoogte van 799 meter. Het eindpunt ligt op een hoogte van 1860 meter. De zwaarte-index van deze beklimming is 9,2.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag waarbij je een gegeven formule moet gebruiken om een waarde te berekenen. Daarna moet je deze waarde vergelijken met een andere gegeven waarde door een verhouding te berekenen. Je moet goed letten op de eenheden en de afronding.

Wat moet je kennen: Je moet de formule voor de zwaarte-index kennen en weten hoe je deze correct invult. Je moet ook weten hoe je een verhouding berekent ('hoeveel keer zo groot').

Wat moet je kunnen: Je moet gegevens uit de vraagtekst kunnen halen en correct in de formule kunnen invullen. Je moet eenheden kunnen omrekenen (bijvoorbeeld van meters naar kilometers). Je moet een deling kunnen uitvoeren om een verhouding te bepalen en het resultaat correct kunnen afronden op een geheel getal.

Waar op letten: Let goed op de eenheden! De weglengte 'w' moet in kilometers worden ingevuld, terwijl deze in de tekst vaak in meters wordt gegeven. Zorg dat je dit correct omrekent.
De vraag vraagt 'hoeveel keer zo groot'. Dit betekent dat je een deling moet uitvoeren. Zorg dat je de juiste waarde deelt door de andere waarde om de correcte verhouding te krijgen.
Rond je eindantwoord af op een geheel getal, zoals expliciet gevraagd in de vraagstelling.
Controleer of je alle benodigde gegevens voor de berekening van de zwaarte-index van de Vaalserberg hebt gebruikt (hoogteverschil 'h' en weglengte 'w').
Vergeet niet de zwaarte-index van de Mont Ventoux (12,1) te gebruiken in je uiteindelijke vergelijking.

Kernbegrippen: formule invullen, rekenen met eenheden, verhoudingen berekenen

Veelgemaakte fouten:
- Eenheden niet correct omrekenen: de weglengte 'w' moet in kilometers worden ingevuld (2,83 km), terwijl deze in de tekst in meters wordt gegeven (2830 meter).
- Vergeten het eindantwoord af te ronden op een geheel getal, zoals gevraagd.
- De verhouding verkeerd om berekenen (Vaalserberg / Mont Ventoux in plaats van andersom).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2025/tijdvak-1/vraag/18

## Vraag 19 – Opgave 19 (4 punten)

De beklimming van de Franse berg Alpe d'Huez start vanuit het dorpje Bourg d'Oisans op een hoogte van 799 meter. Het eindpunt ligt op een hoogte van 1860 meter. De zwaarte-index van deze beklimming is 9,2.
Bereken de weglengte van deze beklimming. Geef je antwoord in gehele kilometers.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een context over een bergklim en een formule die de zwaarte-index relateert aan het hoogteverschil en de weglengte. Je moet de weglengte berekenen.

Wat moet je kennen: Je moet de formule kennen die de zwaarte-index (I) relateert aan het hoogteverschil (h) en de weglengte (w). Deze formule is I = (h^2) / (10000 * w). Je moet ook weten hoe je een vergelijking algebraïsch oplost.

Wat moet je kunnen: Je moet het hoogteverschil kunnen berekenen uit de gegeven start- en eindhoogte. Je moet de bekende waarden correct kunnen invullen in de formule. Je moet de resulterende vergelijking kunnen oplossen voor de onbekende weglengte (w). Tot slot moet je je antwoord correct afronden en de juiste eenheid gebruiken.

Waar op letten: Bereken eerst nauwkeurig het hoogteverschil (h) door de starthoogte van de eindhoogte af te trekken.
Vul de berekende waarde van h en de gegeven zwaarte-index (I) correct in de formule I = (h^2) / (10000 * w).
Los de vergelijking stap voor stap algebraïsch op om de waarde van w te vinden. Let goed op de volgorde van bewerkingen.
De hoogte is gegeven in meters, maar de weglengte wordt vaak in kilometers gevraagd. Let goed op de eenheden en of je moet omrekenen (1 km = 1000 m).
Rond je eindantwoord af op gehele kilometers, zoals gevraagd in de vraag.

Kernbegrippen: formule substitutie, vergelijking oplossen, algebraïsche vaardigheden

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten het hoogteverschil 'h' te berekenen en een van de gegeven hoogtes gebruiken.
- Reken- of invoerfout bij het kwadrateren van 1061.
- Fout bij het algebraïsch oplossen van de vergelijking voor 'w'.
- Het eindantwoord niet afronden op gehele kilometers zoals gevraagd.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2025/tijdvak-1/vraag/19

## Vraag 20 – Opgave 20 (2 punten)

Formule 1 kan worden herleid tot de vorm:
h = 100 ⋅ √w ⋅ I (formule 2)
Geef deze herleiding.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een formule en je moet deze herleiden naar een andere, gegeven vorm. Dit betekent dat je algebraïsche stappen moet uitvoeren om de ene formule om te zetten in de andere.

Wat moet je kennen: Je moet de rekenregels voor machten en wortels goed kennen. Denk hierbij aan hoe je een kwadraat weghaalt door de wortel te trekken, en hoe je een wortel van een product kunt splitsen (bijvoorbeeld sqrt(a * b) = sqrt(a) * sqrt(b)).

Wat moet je kunnen: Je moet een formule kunnen herschrijven door aan beide kanten van het gelijkteken dezelfde bewerkingen uit te voeren. Je moet specifiek kunnen omgaan met kwadraten en wortels, en de volgorde van bewerkingen correct toepassen.

Waar op letten: Let goed op de balansmethode: wat je aan de ene kant van de vergelijking doet, moet je ook aan de andere kant doen.
Controleer of je alle termen onder de wortel meeneemt als je de wortel trekt.
Vergeet niet dat sqrt(10000) een exact getal is dat je kunt vereenvoudigen.
Zorg ervoor dat je de rekenregels voor wortels correct toepast, vooral bij het splitsen van een wortel van een product.

Kernbegrippen: Formule herschrijven, Algebraïsche vaardigheden, Worteltrekken

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten de wortel van 10000 te trekken
- Incorrect toepassen van rekenregels voor wortels

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2025/tijdvak-1/vraag/20

## Vraag 21 – Opgave 21 (3 punten)

Iemand zoekt een bergbeklimming met een maximale weglengte van 4 km. De zwaarte-index moet tussen die van de Alpe d'Huez (9,2) en die van de Mont Ventoux (12,1) in liggen.
Om zo'n bergbeklimming te vinden, geeft hij met behulp van formule 2 in een assenstelsel het gebied aan met de combinaties van w en h die leiden tot een dergelijke I. Op de uitwerkbijlage is het assenstelsel al getekend.
Teken in het assenstelsel op de uitwerkbijlage het juiste gebied.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een formule met meerdere variabelen en je moet een gebied in een assenstelsel tekenen dat aan bepaalde voorwaarden voldoet. Dit betekent dat je de formule moet gebruiken om twee grensgrafieken te tekenen en vervolgens het juiste gebied daartussen moet arceren.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een formule met meerdere variabelen kunt gebruiken om een verband tussen twee variabelen (hier h en w) te vinden, gegeven een constante waarde voor een derde variabele (hier I). Je moet ook de eigenschappen van wortelfuncties kennen, zodat je weet hoe de grafiek er ongeveer uit zal zien.

Wat moet je kunnen: Je moet de formule kunnen invullen met de gegeven I-waarden en deze eventueel omvormen om h uit te drukken in w. Je moet met je GR een tabel kunnen maken om punten te berekenen voor de grafieken. Vervolgens teken je deze punten nauwkeurig in het assenstelsel en verbind je ze tot vloeiende krommen. Tot slot arceer je het gebied dat aan alle voorwaarden voldoet, inclusief de maximale weglengte.

Waar op letten: Je moet de gegeven formule 2 gebruiken om h uit te drukken in w en I. Zorg dat je de formule correct omvormt als dat nodig is.
Je tekent twee grafieken: één voor de minimale zwaarte-index (I=9,2) en één voor de maximale zwaarte-index (I=12,1). Let goed op welke grafiek bij welke I-waarde hoort.
Je gebruikt je GR om punten te berekenen voor de grafieken. Maak een tabel met w-waarden (bijvoorbeeld van 0 tot 4) en de bijbehorende h-waarden.
Je let op de beperking van de weglengte: de grafieken en het gearceerde gebied mogen niet verder gaan dan w = 4 km.
Je arceert het gebied dat voldoet aan de voorwaarden. Dit is het gebied tussen de twee getekende grafieken.

Kernbegrippen: formules met meerdere variabelen, grafieken tekenen, wortelfuncties, gebieden arceren, ongelijkheden visualiseren

Veelgemaakte fouten:
- De twee waarden voor de zwaarte-index I verwisselen.
- De wortelfuncties incorrect tekenen, bijvoorbeeld als een rechte lijn.
- De beperking van de maximale weglengte (w ≤ 4 km) negeren.
- Het verkeerde gebied arceren (boven de bovenste grafiek of onder de onderste grafiek).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2025/tijdvak-1/vraag/21

## Vraag 22 – Opgave 22 (6 punten)

We nemen aan dat in 2018 voor de verzekerden met een verwijzing naar een specialist, elke stijging van 10 euro op de gemiddelde zorguitgaven aan huisartsen leidt tot een daling van 0,5% van hun gemiddelde zorguitgaven aan specialisten. Dus als bijvoorbeeld de 250 euro in de tabel zou stijgen naar 260 euro, dan zou de 3500 euro in de tabel met 0,5% dalen naar 3482,50 euro.

Stel nu dat in 2018 de zorguitgaven aan huisartsen van verzekerden met een verwijzing naar een specialist in totaal 510 miljoen euro hoger zouden zijn.
6p 22 Onderzoek aan de hand van bovenstaande gegevens en aannames of de totale zorguitgaven in 2018 dan lager zouden zijn dan 19,637 miljard euro.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een scenario voorgelegd over zorguitgaven en moet onderzoeken of een bepaalde verandering leidt tot een totale uitkomst die boven of onder een gegeven drempel ligt. Je moet hierbij rekening houden met procentuele veranderingen die elkaar beïnvloeden.

Wat moet je kennen: Je moet goed begrijpen hoe je met procentuele veranderingen rekent, vooral als deze herhaaldelijk plaatsvinden. Je moet ook het verschil kennen tussen gemiddelde uitgaven en totale uitgaven, en hoe je deze berekent met het aantal verzekerden. Kennis van groeifactoren is essentieel.

Wat moet je kunnen: Je moet de informatie uit de tabel kunnen combineren met de gegeven aannames. Je moet de stijging van de huisartsenkosten per verzekerde kunnen berekenen en vervolgens de daling van de specialistenkosten per verzekerde met de juiste groeifactor en macht. Daarna moet je de totale zorguitgaven opnieuw berekenen en vergelijken met de gegeven drempelwaarde. Je moet ook nauwkeurig kunnen rekenen met grote getallen (miljoenen en miljarden).

Waar op letten: Let goed op het verschil tussen een eenmalige procentuele verandering en een herhaalde procentuele verandering. Een herhaalde verandering bereken je met een groeifactor tot de macht van het aantal herhalingen (bijvoorbeeld 0,995^10).
Zorg dat je de juiste aantallen verzekerden gebruikt voor de berekeningen. De tabel geeft percentages (70% en 30%), maar je hebt het totale aantal verzekerden nodig om naar absolute aantallen te rekenen.
Wees nauwkeurig met de eenheden: euro's, miljoenen euro's en miljarden euro's. Een fout hierin kan leiden tot een totaal verkeerde conclusie.
Controleer of je de stijging van de huisartsenkosten correct omrekent naar een stijging per verzekerde, voordat je de impact op de specialistenkosten berekent.
Vergelijk aan het einde de berekende totale zorguitgaven met de gegeven drempelwaarde (19,637 miljard euro) en formuleer een duidelijke conclusie.

Kernbegrippen: procentuele verandering, groeifactor, rekenen met grote getallen, gemiddelden en totalen

Veelgemaakte fouten:
- verkeerd toepassen herhaalde procentuele verandering (lineair i.p.v. exponentieel)
- verwarring tussen totale en gemiddelde bedragen
- rekenfouten met grote getallen (miljoen/miljard)

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2025/tijdvak-1/vraag/22

## Vragen in dit examen

### Vraag 3 – Opgave 3

Wat kun je verwachten: Je moet de ontbrekende waarde in een tabel berekenen door informatie uit verschillende bronnen te combineren. Daarna stel je een ranglijst op van landen op basis van hun gemiddelde uitstoot per inwoner.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je gegevens uit staafdiagrammen en tabellen afleest en hoe je deze gegevens combineert om een nieuwe waarde te berekenen. Ook moet je begrijpen hoe je een ranglijst opstelt op basis van berekende waarden.

Wat moet je kunnen: Je kunt: 
- Specifieke waarden aflezen uit staafdiagrammen (figuren 2 en 3) voor China.
- De afgelezen waarden optellen om de totale uitstoot voor China te vinden.
- De totale uitstoot delen door het aantal inwoners van China (uit de tabel) om de gemiddelde uitstoot per inwoner te berekenen.
- Alle landen, inclusief China, rangschikken op basis van hun gemiddelde uitstoot per inwoner.

Waar op letten: Let goed op de eenheden bij het aflezen van de grafieken: de uitstoot is in 'miljard ton', terwijl het aantal inwoners in 'miljarden' is. Dit betekent dat je de getallen direct kunt delen zonder extra omrekeningen voor 'miljard'.
Zorg ervoor dat je zowel de CO2-uitstoot (figuur 2) als de uitstoot van 'overige broeikasgassen' (figuur 3) voor China afleest en deze bij elkaar optelt voor de totale uitstoot.
Lees het aantal inwoners voor China nauwkeurig af uit de tabel.
Rond je berekende gemiddelde uitstoot voor China correct af voordat je de ranglijst opstelt.
Controleer of je de ranglijst in de juiste volgorde opstelt (bijvoorbeeld van hoog naar laag of andersom, afhankelijk van wat logisch is in de context van 'ranglijst').

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen HAVO
2025
tijdvak 1
dinsdag 20 mei
13.30 - 16.30 uur

wiskunde A

Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Dit examen bestaat uit 22 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 82 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald
kunnen worden.

Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.

Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.

HA-1024-a-25-1-o

### Pagina 2

FORMULEBLAD
Vuistregels voor de grootte van het verschil van twee groepen
2×2-kruistabel
(C)
(a b
d
met phi =
ad - bc
√(a+b)(a+c)(b+d)(c+d)
waarin a, b, c en d absolute aantallen zijn
- als phi < -0,4 of phi > 0,4, dan zeggen we "het verschil is groot"
- als -0,4 ≤ phi < -0,2 of 0,2 < phi ≤ 0,4, dan zeggen we "het verschil is
middelmatig"
- als -0,2 ≤ phi ≤ 0,2, dan zeggen we "het verschil is gering"
Maximaal verschil in cumulatief percentage (max Vcp)
(met voor beide groepen een steekproefomvang n > 100)
- als max Vcp > 40, dan zeggen we "het verschil is groot"
- als 20 < max Vcp ≤ 40, dan zeggen we "het verschil is middelmatig"
- als max Vcp ≤ 20, dan zeggen we "het verschil is gering"
Effectgrootte E
= X1-X2
(S1+S2)
met X1 en X2 de steekproefgemiddelden
(X1 ≥ X2), S1 en S2 de steekproefstandaardafwijkingen
- als E > 0,8, dan zeggen we "het verschil is groot"
- als 0,4 < E ≤ 0,8, dan zeggen we "het verschil is middelmatig"
- als E ≤ 0,4, dan zeggen we "het verschil is gering"
Twee boxplots vergelijken
- als de boxen1) elkaar niet overlappen, dan zeggen we "het verschil is
groot"
- als de boxen elkaar wel overlappen en een mediaan van een boxplot
buiten de box van de andere boxplot ligt, dan zeggen we "het verschil is
middelmatig"
- in alle andere gevallen zeggen we "het verschil is gering"
noot 1 De 'box' is het interval vanaf het eerste kwartiel tot en met het derde kwartiel.
HA-1024-a-25-1-o
2 / 19
lees verder ►►►

### Pagina 3

Betrouwbaarheidsintervallen
Het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de populatieproportie is
p ± 2√ p(1-p)
n , met p de steekproefproportie en n de steekproefomvang.
Het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het populatiegemiddelde is
X ¯ ± 2 · S√ n , met X ¯ het steekproefgemiddelde, n de steekproefomvang en
S de steekproefstandaardafwijking.
HA-1024-a-25-1-o
3 / 19
lees verder >>>

### Pagina 4

```json
{
  "page_type": "opgaven",
  "exam_info": {},
  "transcription": "Ga verder op de volgende pagina.\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\

### Pagina 5

CO₂ en andere broeikasgassen
In discussies over het klimaat gaat het vaak over de uitstoot van
broeikasgassen. In het Nederlandse klimaatakkoord is als doel gesteld dat
de gemiddelde uitstoot van broeikasgassen per inwoner per jaar in 2030
gehalveerd is ten opzichte van 1990.

In 1990 was in Nederland de gemiddelde uitstoot van broeikasgassen per
inwoner per jaar 15,1 ton en in 2017 was die 11,6 ton.
Neem aan dat er in de periode 1990-2017 sprake was van een lineaire
daling en dat deze daling zich op dezelfde wijze voortzet na 2017.
Onderzoek met bovenstaande gegevens en aannames of de genoemde
doelstelling gehaald wordt.
4p 1
CO₂ heeft het grootste aandeel in de broeikasgassen die worden
uitgestoten. In figuur 1 staat de wereldwijde uitstoot van CO₂ per jaar.
figuur 1 wereldwijde CO₂-uitstoot
40
35
30
25
20
15
10
5
0
1900
1920
1940
1960
1980
2000
2020
(miljard ton)
Neem aan dat de wereldwijde uitstoot van CO₂ in de periode van 1900 tot
1980 exponentieel is gegroeid.
5p 2 Bereken met de gegevens van 1900 en 1980 in figuur 1 het jaarlijkse
groeivolledige percentage in deze periode. Geef je antwoord in één decimaal.
HA-1024-a-25-1-0
5/19
lees verder

### Pagina 6

In figuur 2 staat de top zes van landen met de grootste CO2-uitstoot in 2017.
In deze opgave beschouwen we de Europese Unie als één land.
figuur 2 CO2-uitstoot in 2017
12
10
CO2-uitstoot (miljard ton)
8
6
4
2
China
Verenigde Staten
Europese Unie
India
Rusland
Japan
In figuur 3 staat van dezelfde landen de uitstoot van overige broeikasgassen
in 2017 weergegeven.
figuur 3 uitstoot overige broeikasgassen in 2017
Japan
Rusland
Europese Unie
India
Verenigde Staten
China
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
uitstoot overige broeikasgassen (miljard ton)
Om de totale uitstoot van broeikasgassen in 2017 van deze landen eerlijk te
kunnen vergelijken, wordt er rekening gehouden met het aantal inwoners
van elk land. Zo kun je van deze landen een ranglijst maken op basis van de
gemiddelde uitstoot van alle broeikasgassen per inwoner per land.
HA-1024-a-25-1-o
6 / 19
lees verder ►►►

### Pagina 7

Om de ranglijst te kunnen maken, zijn de getallen in de onderstaande tabel
nodig, maar voor China ontbreekt nog de gemiddelde uitstoot van alle
broeikasgassen per inwoner in 2017.

tabel
land
aantal inwoners
in 2017 (in
miljarden)
gemiddelde uitstoot van
alle broeikasgassen per
inwoner in 2017 (in ton)
Japan
0,127
11,8
Rusland
0,145
16,6
Verenigde Staten
0,326
20,2
Europese Unie
0,511
9,2
India
1,339
2,7
China
1,386
...
4p 3
Bereken voor China de gemiddelde uitstoot van alle broeikasgassen per
inwoner in 2017 en geef de ranglijst op basis van de gemiddelde uitstoot.
India brengt de uitstoot van broeikasgassen ook in verband met de omvang
van het bruto nationaal product van het land.
Neem aan dat voor India de volgende formules gelden:
U = 3,6 · 1,02t
B = 1,34 + 0,01 · t
BNP = 2597 · 1,06t
Hierin is:
— U de uitstoot van alle broeikasgassen (in miljard ton)
— B het aantal inwoners (in miljarden)
— BNP het bruto nationaal product (in miljard US-dollar)
— t het geheel aantal jaren na 2017
De uitkomsten van de formules gelden telkens op het einde van het jaar.
Volgens deze formules zal in India de gemiddelde uitstoot van alle
broeikasgassen per inwoner (
U
B
) in de jaren na 2017 steeds stijgen.
Er komt dan een moment waarop
opzichte van de waarde in 2017.
U
B
voor het eerst verdubbeld zal zijn ten
5p 4
Bereken in welk jaar dat voor het eerst zal zijn.
HA-1024-a-25-1-0
7/19
lees verder

### Pagina 8

De gemiddelde uitstoot van alle broeikasgassen per US-dollar bruto
nationaal product ( $\frac{U}{BNP}$ ) laat een dalende trend zien na 2017.
3p 5
Berééneer dit aan de hand van de gegeven formules, zonder hierbij
gebruik te maken van getallenvoorbeelden of van een schets of tekening
van de grafiek van $\frac{U}{BNP}$.
HA-1024-a-25-1-o
8/19
lees verder

### Pagina 9

Grut van grutto's
De grutto is een weidevogel. Het vrouwtje maakt
een nestkuil in het gras en legt daarin haar
eieren. Daarna broeden het mannetje en het
vrouwtje om beurten. De eieren komen na
ongeveer 24 dagen uit.
Als de grutto's tijdens het broeden lastiggevallen
worden door andere dieren, bijvoorbeeld een vos
of een roofvogel, dan verlaat het broedpaar het
nest. Dagselijks gaat hierdoor ongeveer 2% van
de nesten verloren.
3p 6
Bereken hoeveel procent van de nesten in 24 dagen verloren gaat. Geef
je antwoord in hele procenten.
24 dagen na het uitkomen van het ei is een kuiken vliegvlug. Dit betekent
dat de donsveren hebben plaatsgemaakt voor echte veren en dat het kuiken
kan vliegen.
Voor het gewicht van kuikens die opgroeien, geldt in de periode vanaf het
uitkomen van het ei tot het moment dat het kuiken vliegvlug is, bij
benadering:
$G = \frac{273}{1,08+12,5\cdot 0,8^d}$ (formule 1)
Hierin is $d$ het aantal hele dagen na de dag dat het ei uitkwam en $G$ het
gewicht van het kuiken in grammen.
3p 7
Bereken hoeveel keer zo zwaar een kuiken is op de dag dat het vliegvlug
is, ten opzichte van de dag dat het ei uitkwam. Geef je antwoord als
geheel getal.
We kijken nu naar de gewichtstoename per dag van de kuikens. Er geldt bij
benadering:
$T = 3000-0,6G^2+152,9G$ (formule 2)
Hierin is $G$ het gewicht van het kuiken in grammen en $T$ de gewichtstoename
per dag in milligrammen.
5p 8
Bereken hoeveel dagen na de dag dat het ei uitkwam ($d$ ) de
gewichtstoename per dag ($T$) van het kuiken maximaal is. Geef je
antwoord in gehele dagen.
HA-1024-a-25-1-o
9/19
lees verder

### Pagina 10

In graslanden vinden de grutto's veel prooien, zoals insecten.
Naarmate de grutto's ouder worden, kunnen ze steeds grotere prooien
vangen. De grootte van een prooi wordt gegeven in milligram droge stof.
Voor de maximale grootte van een prooi die grutto's kunnen eten, geldt de
formule:
$P = 1,309 + \frac{2,15}{1+0,74^{d-14,69}}$ (formule 3)
Hierin is $P$ de maximale grootte van de prooi in milligram droge stof en $d$ het
aantal hele dagen na de dag dat het ei uitkwam.
De maximale grootte van de prooi die een grutto kan eten, nadert op den
duur naar een bepaalde waarde.
Beredeneer met behulp van formule 3 welke waarde dit is.
In vochtig grasland leven meer insecten en andere prooien voor grutto's dan
in droog grasland. Er is onderzoek gedaan naar de grondwaterstand in
graslanden met een afnemend aantal grutto's en naar de grondwaterstand in
graslanden met een stabiel aantal grutto's. De grondwaterstand is de hoogte
van het grondwater ten opzichte van het grasoppervlak. De resultaten zijn in
onderstaande boxplots verwerkt.
figuur grondwaterstand in graslanden met een
afnemend en met een stabiel aantal grutto's
hogte
grondwater
ten opzichte van
grasoppervlak
(cm)
0
-50
-100
afnemend
aantal grutto's
stabiel
aantal grutto's
3p
9
HA-1024-a-25-1-0
10/19
lees verder

### Pagina 11

lemand trekt op basis van dit onderzoek twee conclusies:
I Er is volgens de vuistregels op het formuleblad een groot verschil
tussen de grondwaterstand in graslanden met een afnemend aantal
grutto's en de grondwaterstand in graslanden met een stabiel aantal
grutto's.
II De grondwaterstand in graslanden met een afnemend aantal grutto's
is normaal verdeeld.
4p 10 Leg voor elk van deze twee conclusies uit of je die wel of niet kunt
trekken
op basis van de figuur.
Het gaat niet zo goed met de grutto. Sinds 1990 daalt het aantal grutto's
exponentieel. Twee instanties deden een uitspraak over deze daling:
– Een onderzoeksintituut gaf aan dat in de periode 1990-2019 het
aantal grutto's elke 13 jaar halveerde.
– Vogelbescherming Nederland gaf aan dat het aantal grutto's met
twee derde was afgenomen in de periode 1990-2019.
5p 11 Onderzoek welke uitspraak leidt tot het hoogste aantal grutto's in 2019:
die van het onderzoeksintituut of die van Vogelbescherming Nederland.
HA-1024-a-25-1-o
11 / 19
le es verder

### Pagina 12

Ga verder op de volgende pagina.
















H A - 1 0 2 4 - a - 2 5 - 1 - o

12 / 19

lees verder


### Pagina 13

Mantelzorgers
Steeds meer ouderen in Nederland blijven langer thuis wonen. Veel ouderen
hebben daarbij wel vaak meer zorg nodig. Behalve professionele hulp
hebben de meeste ouderen ook mantelzorgers die hen helpen.
Mantelzorgers zijn mensen, meestal familieleden, die onbetaald zorg
verlenen.
We bekijken de leeftijden van de mantelzorgers. In figuur 1 staan de
resultaten uit een representatieve steekproef onder 2749 mantelzorgers van
18 jaar en ouder die zorg verlenen aan ouderen van 85 jaar en ouder.
figuur 1 mantelzorgers in vier leeftijdsgroepen (in procenten)
Legenda:
18-49 jaar
50-74 jaar
75-84 jaar
≥ 85 jaar
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
100%
Op basis van bovenstaande gegevens kun je voor het percentage
50-74-jarigen in de populatie mantelzorgers van 18 jaar en ouder een
95%-betrouwbaarheidsinterval opstellen.
3p 12 Stel met behulp van het formuleblad dit 95%-betrouwbaarheidsinterval op
voor de populatieproportie. Geef de grenzen van het interval als
percentages in één decimaal.
We bekijken twee categorieën ouderen:
jongere ouderen: 50 tot en met 74 jaar oud
oudere ouderen: 85 jaar en ouder
Elke jongere oudere is een potentiële mantelzorger. Om het aantal
potentiële mantelzorgers per oudere oudere in beeld te brengen, gebruikt
men de maatstaf Oldest Old Support Ratio (OOSR); in formulevorm:
OOSR
aantal
aantal
jongere ouderen
oudere ouderen
Sinds 1975 neemt de OOSR op landelijk niveau af.
Ten opzichte van 1975 is het aantal jongere ouderen in 2015 met 25%
toegenomen. In diezelfde periode is het aantal oudere ouderen tweeënhalf
keer zo groot geworden.
3p 13 Bereken met hoeveel procent de OOSR in 2015 ten opzichte van 1975 is
afgenomen.
HA-1024-a-25-1-o
13/19
lees verder

### Pagina 14

Omdat mantelzorgers meestal in de buurt van oudere ouderen wonen, wordt de OOSR ook per gemeente berekend.
We vergelijken de OOSR van twee gemeenten met behulp van
bevolkingsdiagrammen. Een bevolkingsdiagram is een diagram waarin aan
twee kanten de leeftijdsopbouw van de bevolking is weergegeven, links die
van de mannen en rechts die van de vrouwen.
In figuur 2 zie je twee bevolkingsdiagrammen (I en II) waarvan er één bij
gemeente A hoort en de ander bij gemeente B. Daarbij geldt dat de OOSR
van gemeente A groter is dan die van gemeente B.
figuur 2 bevolkingsdiagram I bevolkingsdiagram II
jaar
jaar
95-99
90-94
85-89
80-84
75-79
70-74
65-69
60-64
55-59
50-54
45-49
40-44
35-39
30-34
25-29
20-24
15-19
10-14
05-09
00-04
80 70 60 50 40 30 20 10 0
← aantal mannen
(x 1000)
aantal vrouwen →
0 10 20 30 40 50 60 70 80
95-99
90-94
85-89
80-84
75-79
70-74
65-69
60-64
55-59
50-54
45-49
40-44
35-39
30-34
25-29
20-24
15-19
10-14
05-09
00-04
80 70 60 50 40 30 20 10 0
← aantal mannen
(x 1000)
aantal vrouwen →
4p 14
Beredeneer welk bevolkingsdiagram bij gemeente A hoort.
In figuur 3 zijn van alle gemeenten de OOSR's verwerkt in boxplots voor de
jaren 2015 en 2020.
figuur 3
2015
2020
5
10
15
20
25
30
35
OOSR
HA-1024-a-25-1-o
14/19
lees verder ►►►

### Pagina 15

We kijken in figuur 3 naar de gemeenten die een OOSR van minder dan 16
hebben. Iemand beweert dat het aantal gemeenten met deze eigenschap in
de periode 2015-2020 met een kwart van het totaal aantal gemeenten is
toegenomen.
3p
15
Beredeneer met behulp van figuur 3 of deze bewering juist is.
Als thuis wonen zelfs met hulp van professionals en mantelzorgers niet meer
mogelijk is, kunnen mensen in een zorginstelling gaan wonen.
Mantelzorgers krijgen dan minder zorgtaken, maar blijven noodzakelijk om
bijvoorbeeld de financiën te regelen.
Een zorginstelling wil weten wat de bewoners en hun mantelzorgers vinden
van de zorg die de zorginstelling biedt. Daarom wordt er een representatieve
steekproef genomen uit de bewoners en hun mantelzorgers.
De deelnemers aan de steekproef gaven antwoord op de vraag:
In hoeverre bent u tevreden over de geboden zorg?
De uitkomsten van de steekproef staan in figuur 4.
figuur 4
tevredenheid van de deelnemers aan de steekproef
slecht
onvoldoende
voldoende
goed
uitstekend
0
10
20
30
40
50
60
procenten
Legenda:
bewoners
mantelzorgers
3p
16
Geef aan van welke twee variabelen er sprake is in dit onderzoek en geef
bij elk van deze twee variabelen aan of het een nominale of ordinale
variabele is. Licht je antwoord toe.
4p
17
Onderzoek met behulp van het formuleblad of het verschil in de mate van
tevredenheid tussen bewoners en mantelzorgers groot, middelmatig of
gering is.
HA-1024-a-25-1-o
15/19
lees verder

### Pagina 16

```json
{
  "page_type": "opgaven",
  "exam_info": {
    "subject": "wiskunde",
    "year": null,
    "tijdvak": null
  },
  "figures": [
    "Een renner op een racefiets, drinkend uit een bidon, op een bergweg met op de achtergrond een berglandschap."
  ],
  "keywords": "bergklimming, fiets, zwaarte-index, hoogteverschil, weglengte, Mont Ventoux, Vaalserberg, Alpe d'Huez, formule, berekening"
}
```

### Pagina 17

lemand zoekt een
bergbeklimming met een maximale weglengte van 4 km.
De zwaarte-index moet tussen die van de Alpe d'Huez (9,2) en die van de
Mont Ventoux (12,1) in liggen.
Om zo'n
bergbeklimming te vinden, geeft hij met behulp van formule 2 in een
assenstelsel het gebied aan met de combinaties van w en h die leiden tot
een dergelijke I. Op de uitwerkbijlage is het assenstelsel al getekend.
3p 21 Teken in het assenstelsel op de uitwerkbijlage het juiste gebied.
HA-1024-a-25-1-o
17 / 19
lees verder

### Pagina 18

Zorg om zorguitgaven

In Nederland regelt de Zorgverzekeringswet (Zvw) een verplichte
basisverzekering voor alle inwoners. Deze basisverzekering dekt de
zorguitgaven aan huisartsen en de zorguitgaven aan specialisten; de som
hiervan noemen we de totale zorguitgaven. In 2018 bedroegen de totale
zorguitgaven 19,637 miljard euro.

Uit onderzoek blijkt dat er een samenhang bestaat tussen de zorguitgaven
aan huisartsen en de zorguitgaven aan specialisten. Als huisartsen meer
mogelijkheden krijgen om hun patiënten te helpen, worden de zorguitgaven
aan huisartsen hoger en de zorguitgaven aan specialisten lager. In deze
opgave onderzoeken we of extra uitgaven aan huisartsenzorg leiden tot
lagere totale zorguitgaven als we uitgaan van bepaalde gegevens en
aannames.

We bekijken het jaar 2018 en gebruiken de volgende gegevens:
– Er waren 17 miljoen verzekerden die onder de Zvw vielen.
– Alle 17 miljoen verzekerden stonden ingeschreven bij een huisarts.
– 30% van alle verzekerden kreeg van de huisarts een verwijzing naar
een specialist.
– In de tabel staan de gemiddelde zorguitgaven per verzekerde zonder
of met verwijzing naar een specialist.

tabel
gemiddelde zorguitgaven per verzekerde
zonder of met verwijzing naar een specialist (in euro's)
verzekerde
zonder verwijzing
naar een specialist
(70%)
verzekerde
met verwijzing
naar een specialist
(30%)
gemiddelde
zorguitgaven
aan huisartsen
43
250
gemiddelde
zorguitgaven
aan specialisten
0
3500
gemiddelde
totale
zorguitgaven
43
3750

HA-1024-a-25-1-o
18/19
lees verder ►►►

### Pagina 19

We nemen aan dat in 2018 voor de verzekerden met een verwijzing naar
een specialist, elke stijging van 10 euro op de gemiddelde zorguitgaven aan
huisartsen leidt tot een daling van 0,5% van hun gemiddelde zorguitgaven
aan specialisten. Dus als bijvoorbeeld de 250 euro in de tabel zou stijgen
naar 260 euro, dan zou de 3500 euro in de tabel met 0,5% dalen naar
3482,50 euro.
Stel nu dat in 2018 de zorguitgaven aan huisartsen van verzekerden met
een verwijzing naar een specialist in totaal 510 miljoen euro hoger zouden
zijn.
6p 22
Onderzoek aan de hand van bovenstaande gegevens en aannames of de
totale zorguitgaven in 2018 dan lager zouden zijn dan 19,637 miljard euro.
Bronvermelding
Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen
behorende correctievoorschrift.
HA-1024-a-25-1-o
19/19
einde