# Eindexamen Wiskunde A HAVO 2024 tijdvak 2

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2024/tijdvak-2

## Vraag 1 – Opgave 1 (3 punten)

1 staat een bericht dat op internet te lezen was over de appel- en perenoogst in Nederland. Hierin wordt gesproken over de oogstraming van 2021; dit is de schatting van de oogstopbrengst (in miljoen kilo) van dat jaar. figuur 1 Meer appels en minder peren verwacht dan vorig jaar Geplaatst op 27 juli 2021 Dit jaar zullen in Nederland naar verwachting meer appels worden geplukt dan vorig jaar, terwijl de totale perenoogst lager wordt geraamd dan vorig jaar. De Nederlandse oogstraming komt uit op 250 miljoen kilo appels en 325 miljoen kilo peren. Dit blijkt uit informatie van GroentenFruit Huis en NFO. Er hangen meer appels aan de bomen dan in 2020. Hierdoor wordt de totale appeloogst (in miljoen kilo) 14 procent hoger ingeschat dan in 2020. Bij peren is het beeld juist andersom waardoor de perenoogst (in miljoen kilo) 19 procent lager wordt geraamd dan vorig jaar.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een tekst met informatie over de oogst van appels en peren. Je moet percentages omzetten naar groeifactoren en hiermee berekeningen uitvoeren om de oogst van een vorig jaar te bepalen. Uiteindelijk vergelijk je twee berekende waarden en geef je het verschil.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een percentage toename of afname omzet naar een groeifactor. Je moet ook kunnen werken met grote getallen (miljoenen) en deze correct interpreteren in de context van de vraag.

Wat moet je kunnen: Je kunt de groeifactor bepalen bij een gegeven percentage toename of afname. Je kunt met deze groeifactor terugrekenen naar een oorspronkelijke waarde. Je kunt het verschil tussen twee berekende waarden bepalen en dit correct afronden en benoemen in de gevraagde eenheid.

Waar op letten: Let goed op het verschil tussen een percentage toename en een percentage afname bij het bepalen van de groeifactor. Een toename van 14% betekent een groeifactor van 1 + 0,14 = 1,14. Een afname van 19% betekent een groeifactor van 1 - 0,19 = 0,81.
Je moet terugrekenen naar de oogst van vorig jaar (2020). Dit betekent dat je de huidige oogst (2021) deelt door de groeifactor.
Houd de eenheden goed in de gaten. De oogstraming is in 'miljoen kilo'. Je antwoord moet uiteindelijk ook in 'miljoen' worden gegeven.
Rond de tussenantwoorden niet te vroeg af om afrondingsfouten in het eindantwoord te voorkomen.
Zorg ervoor dat je het eindantwoord in de gevraagde eenheid en afronding geeft, namelijk 'in hele miljoenen'.

Kernbegrippen: rekenen met grote getallen, eenheden omrekenen, verhoudingen, contextuele problemen

Veelgemaakte fouten:
- Incorrect omrekenen van eenheden (miljoen kilo naar kilo, gram naar kilo).
- Fouten maken met de ordes van grootte (miljoen, miljard).
- Te vroeg afronden van tussenantwoorden.
- Het eindantwoord niet in de gevraagde eenheid (geheel aantal miljoenen) geven.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2024/tijdvak-2/vraag/1

## Vraag 2 – Opgave 2 (3 punten)

2 · √((p(1-p))/(n))\), met p de steekproefproportie en n de steekproefomvang. Het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het populatiegemiddelde is \barX ± 2 · (S)/(√(n)), met \barX het steekproefgemiddelde, n de steekproefomvang en S de steekproefstandaardafwijking.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een tekst met informatie over oogstcijfers en procentuele veranderingen. Je moet terugrekenen naar een eerder jaar en vervolgens de totalen optellen.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je procentuele veranderingen omzet naar groeifactoren. Je moet ook begrijpen hoe je met groeifactoren terugrekent in de tijd.

Wat moet je kunnen: Je kunt de groeifactor berekenen voor zowel een toename als een afname. Je kunt de formule voor exponentiële groei (N_nieuw = N_oud * groeifactor) omschrijven om N_oud te vinden. Je kunt de berekende waarden correct optellen en afronden.

Waar op letten: Let goed op het verschil tussen een percentage en een groeifactor. Een toename van 14% is NIET groeifactor 0,14.
Bij een afname van 19% is de groeifactor ook NIET 0,19. Denk aan 100% - 19%.
Je rekent terug in de tijd (van 2021 naar 2020). Dit betekent dat je de groeifactor niet vermenigvuldigt, maar deelt.
Rond pas af bij het allerlaatste antwoord. Gebruik de onafgeronde getallen voor je berekeningen om afrondingsfouten te voorkomen.
Vergeet niet de eenheid (miljoen kg) in je antwoord te vermelden.

Kernbegrippen: procenten, groeifactor, terugrekenen

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd omrekenen van percentage naar groeifactor (bijv. 1,14 voor +14% en 1-0,19=0,81 voor -19%)
- Verkeerd om terug te rekenen: niet vermenigvuldigen met de groeifactor, maar delen.
- Afrondingsfouten bij tussenantwoorden.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2024/tijdvak-2/vraag/2

## Vraag 3 – Opgave 3 (3 punten)

3p 1 Neem aan dat een appel gemiddeld 150 gram weegt en een peer gemiddeld 225 gram. Op basis van de oogstraming kun je het geschatte aantal appels en het geschatte aantal peren in 2021 berekenen. Bereken het verschil tussen deze twee aantallen. Geef je antwoord in een geheel aantal miljoenen.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een gecombineerde grafiek te zien met een lijn en staven. Je moet de trends en waarden voor specifieke jaren aflezen en interpreteren om een conclusie te trekken over de gemiddelde oogst per hectare.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een gecombineerde grafiek afleest, waarbij de lijn en de staven verschillende schalen en eenheden hebben. Je moet ook het concept van 'gemiddelde per hectare' begrijpen als een verhouding tussen de totale oogst en de teeltoppervlakte.

Wat moet je kunnen: Je kunt de waarden van de perenteeltoppervlakte (lijn) en de oogst (staven) aflezen voor de jaren 2003 en 2008. Je kunt deze waarden vervolgens kwalitatief met elkaar vergelijken (groter, kleiner, gelijk) en hieruit een logische conclusie trekken over de gemiddelde perenoogst per hectare in 2008 ten opzichte van 2003.

Waar op letten: Let goed op de twee verschillende verticale assen: de linker as is voor de teeltoppervlakte (lijn) en de rechter as is voor de oogst (staven).
Lees de trend van de perenteeltoppervlakte af voor de jaren 2003 en 2008. Is deze toegenomen, afgenomen of gelijk gebleven?
Lees de trend van de perenoogst af voor de jaren 2003 en 2008. Is deze toegenomen, afgenomen of gelijk gebleven?
Bedenk wat er gebeurt met een breuk (oogst / oppervlakte) als de teller (oogst) gelijk blijft of daalt, en de noemer (oppervlakte) stijgt.
Je hoeft geen exacte getallen te berekenen, maar je moet de trends en verhoudingen kwalitatief beschrijven en hieruit een conclusie trekken.

Kernbegrippen: grafiek aflezen, verhoudingen, redeneren met variabelen, kwalitatieve analyse

Veelgemaakte fouten:
- Getallenvoorbeelden gebruiken ondanks de expliciete instructie om dit niet te doen.
- Alleen naar de oogst (staven) of alleen naar de oppervlakte (lijn) kijken, en niet naar de verhouding (gemiddelde oogst per hectare).
- Verkeerd aflezen of interpreteren van de trends in de grafiek voor de betreffende jaren.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2024/tijdvak-2/vraag/3

## Vraag 5 – Opgave 5 (4 punten)

Men verwachtte dat na 2015 de appelteeltoppervlakte exponentieel zou afnemen met 19,4% per vijf jaar.
4p 5 Bereken met hoeveel procent de appelteeltoppervlakte dan per jaar afneemt. Geef je antwoord in één decimaal.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over exponentiële afname en het omrekenen van een groeifactor over een bepaalde periode naar een groeifactor per jaar. Je moet goed begrijpen hoe percentages en groeifactoren met elkaar samenhangen.

Wat moet je kennen: Je moet het verschil kennen tussen een percentage en een groeifactor. Je moet weten hoe je een afnamepercentage omzet naar een groeifactor. Ook moet je de relatie kennen tussen een groeifactor over een langere periode (bijvoorbeeld 5 jaar) en de groeifactor per jaar.

Wat moet je kunnen: Je kunt een gegeven afnamepercentage omzetten naar de bijbehorende groeifactor. Je kunt een groeifactor over een bepaalde periode (bijvoorbeeld 5 jaar) omrekenen naar een groeifactor per jaar door middel van machten. Tot slot kun je de berekende jaarlijkse groeifactor weer omzetten naar een percentage afname en dit correct afronden.

Waar op letten: Let goed op het verschil tussen een percentage afname en de groeifactor. Een afname van 19,4% betekent dat je nog (100 - 19,4)% overhoudt.
Deel het percentage NOOIT door het aantal jaren. Je moet werken met de groeifactor en machten.
Als je de groeifactor per 5 jaar hebt, moet je de vijfdemachtswortel nemen (of tot de macht (1/5) verheffen) om de groeifactor per jaar te vinden.
Vergeet niet om je uiteindelijke groeifactor per jaar weer om te zetten naar een percentage afname. Dit doe je door (1 - groeifactor) * 100% te berekenen.
Rond je eindantwoord pas op het allerlaatste moment af, zoals gevraagd (op één decimaal).

Kernbegrippen: Exponentiële groei/afname, Groeifactor per tijdseenheid omrekenen, Verband tussen groeifactor en procentuele verandering

Veelgemaakte fouten:
- Het percentage (19,4%) delen door 5 in plaats van de groeifactor tot de macht 1/5 te verheffen.
- Verwarren van afnamepercentage met de groeifactor (bijv. rekenen met 0,194 in plaats van 1 - 0,194 = 0,806).
- Vergeten het eindantwoord (de groeifactor per jaar) terug te rekenen naar een percentage.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2024/tijdvak-2/vraag/5

## Vraag 6 – Opgave 6 (3 punten)

Biologen vangen in een meer bij een eerste steekproef 80 vissen, merken deze en zetten ze weer terug in het meer. Een paar dagen later wordt een tweede steekproef vissen gevangen. Hierin bevinden zich 6 gemerkte en 92 ongemerkte vissen.
3p 6 Bereken met behulp van formule 1 hoeveel vissen er in het meer zijn. Geef je antwoord in een geheel honderdtal.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over het schatten van een totale populatiegrootte met behulp van een vangst-terugvangstmethode. Je moet de gegevens uit de tekst correct interpreteren en invullen in een gegeven formule (formule 1). Vervolgens los je de vergelijking op en rond je het antwoord correct af.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een verhouding opstelt en hoe je een vergelijking met breuken oplost. Ook moet je de betekenis van de variabelen in de formule begrijpen. Je moet ook weten hoe je correct afrondt op een geheel honderdtal.

Wat moet je kunnen: Je kunt de verschillende aantallen vissen uit de tekst toewijzen aan de juiste variabelen in de formule. Je kunt een vergelijking opstellen en deze oplossen, eventueel met behulp van je grafische rekenmachine. Je kunt het uiteindelijke antwoord correct afronden op het gevraagde honderdtal.

Waar op letten: Lees goed welke aantallen bij welke stap horen: het aantal gemerkte vissen in de eerste steekproef, het aantal gemerkte vissen in de tweede steekproef en het totale aantal vissen in de tweede steekproef.
Zorg ervoor dat je de formule 1 correct opstelt met de juiste variabelen op de juiste plek. Een veelvoorkomende fout is het verwisselen van de teller en noemer of het verkeerd invullen van de totale tweede steekproef.
Bereken eerst het totale aantal vissen in de tweede steekproef (gemerkte + ongemerkte vissen). Dit is cruciaal voor de verhouding.
Los de vergelijking nauwkeurig op. Je kunt dit doen door kruislings te vermenigvuldigen of door de 'solver' functie van je GR te gebruiken.
Rond je eindantwoord pas op het allerlaatste moment af en let goed op de afrondingseis: 'in een geheel honderdtal'. Dit betekent dat je antwoord een veelvoud van 100 moet zijn.

Kernbegrippen: verhoudingen, proporties, vergelijking opstellen, vergelijking oplossen, afronden

Veelgemaakte fouten:
- Incorrect bepalen van C (het totaal aantal vissen in de tweede steekproef). C is 6 + 92 = 98, niet 92.
- Verkeerd invullen van de formule (bijvoorbeeld R en M omwisselen).
- Vergeten af te ronden op een geheel honderdtal, of incorrect afronden.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2024/tijdvak-2/vraag/6

## Vraag 7 – Opgave 7 (4 punten)

We kunnen formule 1 herleiden tot een formule waarmee je eenvoudiger het aantal vissen N in het meer kunt berekenen:
N = (M · C)/(R) \quad (formule 2)
Biologen Adri en Fiona vangen samen een eerste steekproef, waarna zij alle 30 vissen merken die ze samen hebben gevangen. De gemerkte vissen zetten ze terug in het meer. Om de betrouwbaarheid van de schatting van het aantal vissen in het meer te vergroten, vangt elk van hen 180 vissen als tweede steekproef. Eerst vangt Adri 180 vissen en hij telt het aantal gemerkte vissen. Daarna zet hij de 180 vissen terug in het meer. Vervolgens vangt Fiona 180 vissen. In de steekproef van Fiona is er één vis meer gemerkt dan in de steekproef van Adri. Beiden berekenen met formule 2 het aantal vissen in het meer. Fiona's uitkomst blijkt 60 lager te zijn dan Adri's uitkomst.
4p 7 Bereken het aantal gemerkte vissen in de steekproef van Adri.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een context met een formule en verschillende metingen. Je moet deze informatie combineren om een onbekende waarde te vinden. Dit type vraag test je vermogen om een probleem te vertalen naar wiskundige uitdrukkingen en deze systematisch op te lossen, mogelijk met behulp van je GR.

Wat moet je kennen: Je moet de betekenis van de variabelen in de formule kennen: N (totaal aantal vissen), M (aantal gemerkte vissen in de eerste steekproef), C (aantal vissen in de tweede steekproef) en R (aantal gemerkte vissen in de tweede steekproef). Je moet ook begrijpen hoe je een formule invult met gegeven waarden en hoe je de relatie tussen verschillende uitkomsten (Adri en Fiona) kunt gebruiken.

Wat moet je kunnen: Je kunt de gegeven formule N = (M · C)/(R) invullen met de bekende waarden voor M en C. Je kunt vervolgens een vergelijking opstellen die het verband tussen de uitkomsten van Adri en Fiona weergeeft. Je kunt systematisch waarden proberen voor R (het aantal gemerkte vissen) en de bijbehorende N berekenen, bijvoorbeeld door een tabel te maken op je GR, totdat je de juiste situatie vindt die voldoet aan de voorwaarden in de vraag.

Waar op letten: Let goed op welke waarden bij M, C en R horen. M is het aantal vissen dat in de eerste steekproef is gemerkt (30). C is het aantal vissen in de tweede steekproef (180).
Formuleer de uitdrukkingen voor Adri en Fiona correct. Fiona heeft één vis meer gemerkt dan Adri, dus als Adri R gemerkte vissen heeft, heeft Fiona R+1 gemerkte vissen.
De uitkomst van Fiona is 60 lager dan die van Adri. Dit betekent N_Adri - N_Fiona = 60. Gebruik dit om de juiste R te vinden.
Je kunt een tabel maken op je GR (Y1 = (5400)/X en Y2 = (5400)/(X+1)) en kijken wanneer het verschil tussen Y1 en Y2 precies 60 is. Dit is een efficiënte manier om de oplossing te vinden.
Het antwoord moet het aantal gemerkte vissen in de steekproef van Adri zijn, dus de waarde van R die je vindt.

Kernbegrippen: Formules met variabelen opstellen, Verbanden tussen variabelen analyseren, Systematisch proberen / tabelmethode

Veelgemaakte fouten:
- Incorrect opstellen van de vergelijkingen voor Adri en Fiona.
- Verwarring over welke R-waarde bij wie hoort (R_Adri vs R_Fiona).
- Niet herkennen dat het een 'probeer' of 'tabel' vraag is en vastlopen in een poging tot algebraïsche oplossing.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2024/tijdvak-2/vraag/7

## Vraag 8 – Opgave 8 (2 punten)

2p 8 Beschrijf deze situatie en leg uit waarom het in die situatie niet lukt om met formule 2 het aantal vissen in het meer te schatten. Formule 1 en 2 werken in de praktijk minder goed als R klein is. Daarom is er met computersimulaties gezocht naar een formule die betere schattingen geeft. Uit die computersimulaties bleek dat bij kleine waarden van R, onderstaande formule betere schattingen geeft voor het aantal vissen in het meer dan formule 2. N = ((M+1) · (C+1))/(R+1) - 1 \quad (formule 3) Het verschil in de schattingen van het aantal vissen volgens de formules 2 en 3 wordt groter naarmate er minder gemerkte vissen in een tweede steekproef worden gevangen. We bekijken de situatie waarbij in de eerste steekproef 120 vissen zijn gevangen en gemerkt en in een tweede steekproef 150 vissen zijn gevangen.

Wat kun je verwachten: Je moet een specifieke situatie beschrijven waarin een formule niet werkt en uitleggen waarom dit wiskundig gezien zo is. Je analyseert de structuur van de formule en de betekenis van de variabelen in de context van het vangen van vissen.

Wat moet je kennen: Je moet de betekenis van de variabelen M, C en R in de context van het vissenexperiment kennen. Je moet ook de basisregel van de wiskunde kennen dat je niet door nul kunt delen.

Wat moet je kunnen: Je kunt een formule interpreteren en de beperkingen ervan herkennen. Je kunt een realistische situatie beschrijven die overeenkomt met een wiskundige beperking. Je kunt uitleggen waarom een wiskundige bewerking (zoals delen door nul) niet is toegestaan.

Waar op letten: Je beschrijft eerst de specifieke situatie in de context van het vissenexperiment. Denk na over wat er gebeurt als R heel klein wordt, of zelfs nul.
Je identificeert welke variabele in formule 2 de oorzaak is van het probleem in die specifieke situatie.
Je legt duidelijk uit waarom de formule in die situatie niet werkt, door te verwijzen naar een wiskundige regel.
Je zorgt ervoor dat je zowel de situatie als de wiskundige reden benoemt voor een volledig antwoord.

Kernbegrippen: delen door nul, formule interpretatie, randvoorwaarden model

Veelgemaakte fouten:
- Niet expliciet benoemen dat R=0
- Alleen de situatie beschrijven zonder de wiskundige reden (delen door nul) te geven

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2024/tijdvak-2/vraag/8

## Vraag 9 – Opgave 9 (4 punten)

Formule 1 en 2 werken in de praktijk minder goed als R klein is. Daarom is er met computersimulaties gezocht naar een formule die betere schattingen geeft. Uit die computersimulaties bleek dat bij kleine waarden van R, onderstaande formule betere schattingen geeft voor het aantal vissen in het meer dan formule 2.
N = ((M+1) · (C+1))/(R+1) - 1 \quad (formule 3)
Het verschil in de schattingen van het aantal vissen volgens de formules 2 en 3 wordt groter naarmate er minder gemerkte vissen in een tweede steekproef worden gevangen.
We bekijken de situatie waarbij in de eerste steekproef 120 vissen zijn gevangen en gemerkt en in een tweede steekproef 150 vissen zijn gevangen.
Bereken bij welke aantallen gemerkte vissen in een tweede steekproef de schatting volgens formule 2 meer dan 100 hoger is dan de schatting volgens formule 3.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag waarbij je twee formules met elkaar moet vergelijken. Je moet een ongelijkheid opstellen en oplossen om te bepalen wanneer het verschil tussen de uitkomsten van de formules aan een bepaalde voorwaarde voldoet. Dit doe je door de gegeven waarden in de formules in te vullen en de resulterende vergelijking of ongelijkheid op te lossen, waarschijnlijk met behulp van je grafische rekenmachine.

Wat moet je kennen: Je moet de formules correct kunnen invullen met de gegeven waarden. Je moet weten hoe je een ongelijkheid opstelt op basis van een tekstuele beschrijving ('meer dan 100 hoger'). Je moet ook begrijpen dat de variabele R (aantal gemerkte vissen) een geheel getal moet zijn en niet negatief kan zijn.

Wat moet je kunnen: Je kunt de formules 2 en 3 correct opstellen met de gegeven waarden voor M en C. Je kunt de ongelijkheid N_formule2 > N_formule3 + 100 opstellen. Je kunt deze ongelijkheid oplossen met je grafische rekenmachine, bijvoorbeeld door de grensvergelijking op te lossen met de 'intersect'-functie of door een tabel te maken. Je kunt de gevonden oplossing correct interpreteren in de context van de vraag, rekening houdend met het feit dat R een geheel aantal vissen is.

Waar op letten: Je stelt de ongelijkheid correct op: N_formule2 > N_formule3 + 100. Let goed op de 'meer dan' en de 'hoger is dan'.
Je vult de waarden M=120 en C=150 correct in in beide formules. Vergeet niet dat in formule 3 M+1 en C+1 staan.
Je gebruikt je GR om de ongelijkheid op te lossen. Dit kan door de grensvergelijking (N_formule2 - N_formule3 = 100) op te lossen met de 'intersect'-functie, of door een tabel te maken en te kijken wanneer het verschil groter is dan 100.
Je interpreteert de uitkomst van je GR correct. R staat voor een aantal vissen, dus het moet een positief geheel getal zijn. Als je een decimaal getal vindt, moet je goed nadenken welke gehele getallen voldoen aan de ongelijkheid.
Je geeft het antwoord als een reeks van alle mogelijke gehele aantallen gemerkte vissen die aan de voorwaarde voldoen, niet alleen de grenswaarde.

Kernbegrippen: Vergelijken van modellen, Ongelijkheid opstellen en oplossen, Werken met formules, Interpretatie van variabelen

Veelgemaakte fouten:
- Vergelijking oplossen (= 100) in plaats van ongelijkheid (> 100)
- Incorrect afronden van de grenswaarde
- Niet realiseren dat de variabele (R) een geheel getal moet zijn
- Vergeten de volledige range van antwoorden te geven (1 t/m 11) en bijvoorbeeld alleen '11' te noemen

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2024/tijdvak-2/vraag/9

## Vraag 10 – Opgave 10 (4 punten)

4p 10 Bereken het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het percentage Nederlandse leerlingen tussen de 5 en 16 jaar oud, waarvoor het bovenstaande geldt. Geef de percentages in je antwoord in gehelen. Van de 452 leerlingen in de steekproef zaten er 302 op de basisschool en 150 op de middelbare school. Precies de helft van de basisschoolleerlingen gaat op school niet naar het toilet. Bij de middelbare scholieren is dit 60%. In deze steekproef is er dus een verschil tussen basisschoolleerlingen en middelbare scholieren in het deel dat op school niet naar het toilet gaat.

Wat kun je verwachten: Je berekent een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor een populatieproportie. Dit betekent dat je een interval moet vinden waarbinnen het werkelijke percentage in de hele populatie (met 95% zekerheid) ligt, gebaseerd op een steekproef.

Wat moet je kennen: Je moet de formule voor het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor een proportie kennen. Je moet ook weten hoe je de steekproefproportie (p-dakje) berekent en hoe je deze gebruikt in de formule. Daarnaast moet je begrijpen wat een betrouwbaarheidsinterval betekent.

Wat moet je kunnen: Je kunt de totale steekproefproportie berekenen op basis van de gegeven aantallen. Je kunt de formule voor het betrouwbaarheidsinterval correct toepassen en de berekeningen uitvoeren met je grafische rekenmachine. Tot slot kun je de uitkomst correct afronden en omzetten naar gehele percentages.

Waar op letten: Bereken eerst de totale steekproefproportie (p-dakje) van alle leerlingen die niet naar het toilet gaan op school. Dit is de som van de basisschoolleerlingen en middelbare scholieren die niet naar het toilet gaan, gedeeld door het totale aantal leerlingen in de steekproef.
Gebruik de correcte formule voor het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor een proportie: p-dakje \pm 2 \cdot \text{sqrt}((p-dakje(1-p-dakje))/(n)).
Voer de berekening nauwkeurig uit op je GR. Let goed op de haakjes bij het invoeren van de formule.
De uitkomst van het interval is een decimaal getal. Vergeet niet dit om te zetten naar percentages door te vermenigvuldigen met 100.
Rond de grenzen van het interval af op hele percentages, zoals gevraagd in de vraag.

Kernbegrippen: betrouwbaarheidsinterval, steekproefproportie, populatieproportie, standaardfout van de proportie

Veelgemaakte fouten:
- Reken- of invoerfout in de formule
- Verkeerde afronding naar gehele percentages
- Vergeten de proportie om te zetten naar een percentage

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2024/tijdvak-2/vraag/10

## Vraag 11 – Opgave 11 (4 punten)

Van de 452 leerlingen in de steekproef zaten er 302 op de basisschool en 150 op de middelbare school. Precies de helft van de basisschoolleerlingen gaat op school niet naar het toilet. Bij de middelbare scholieren is dit 60%.
In deze steekproef is er dus een verschil tussen basisschoolleerlingen en middelbare scholieren in het deel dat op school niet naar het toilet gaat.
4p 11 Onderzoek met behulp van het formuleblad of dat verschil groot, middelmatig of gering is.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over het onderzoeken van een verband tussen twee categorische variabelen. Je moet absolute aantallen berekenen, een kruistabel opstellen en een statistische maat (phi-coëfficiënt) gebruiken om de sterkte van het verband te bepalen en te interpreteren.

Wat moet je kennen: Je moet de formule voor de phi-coëfficiënt kennen en weten hoe je deze toepast. Ook moet je de interpretatieregels voor de phi-coëfficiënt (gering, middelmatig, groot) van het formuleblad kennen.

Wat moet je kunnen: Je moet percentages kunnen omzetten naar absolute aantallen. Je moet een 2x2 kruistabel kunnen opstellen. Je moet de phi-coëfficiënt correct kunnen berekenen met je grafische rekenmachine. Tot slot moet je de berekende waarde kunnen interpreteren aan de hand van de grenswaarden op je formuleblad.

Waar op letten: Je berekent eerst de absolute aantallen voor elke categorie (basisschool/middelbare school en wel/niet naar toilet) voordat je de kruistabel maakt.
Je stelt een correcte 2x2 kruistabel op met de juiste absolute aantallen op de juiste plek.
Je gebruikt de formule voor de phi-coëfficiënt van je formuleblad. Let goed op de juiste invoer van de getallen in de formule.
Je voert de berekening van de phi-coëfficiënt nauwkeurig uit op je grafische rekenmachine.
Je vergelijkt de berekende phi-waarde met de grenswaarden op je formuleblad om te bepalen of het verschil gering, middelmatig of groot is. Vergeet niet je conclusie duidelijk te formuleren.

Kernbegrippen: kruistabel, phi-coëfficiënt, effectgrootte, procenten, absolute aantallen

Veelgemaakte fouten:
- Incorrect berekenen van de absolute aantallen uit de percentages (bijv. 50% van 452 i.p.v. 302).
- Verwisselen van rijen en kolommen in de kruistabel.
- Reken- of invoerfout bij de berekening van de phi-coëfficiënt.
- Vergeten de berekende phi-waarde te interpreteren (gering, middelmatig, groot) aan de hand van de regels op het formuleblad.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2024/tijdvak-2/vraag/11

## Vraag 12 – Opgave 12 (2 punten)

Veel ouders vermoeden dat een betere hygiëne op een school samengaat met een lager percentage ziekmeldingen onder de leerlingen van de betreffende school.
Neem aan dat de hygiëne van een school uitgedrukt wordt in een score tussen 0 en 100 waarbij geldt: hoe hoger de score, hoe beter de hygiëne van de betreffende school.
2p 12 Geef op de uitwerkbijlage een schets van een mogelijke puntenwolk die het vermoeden ondersteunt dat een betere hygiëne samengaat met een lager percentage ziekmeldingen.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een beschrijving van een verband tussen twee variabelen. Je moet dit verband visualiseren in een grafiek, specifiek een puntenwolk.

Wat moet je kennen: Je moet weten wat een puntenwolk is en hoe je een verband (correlatie) tussen twee variabelen daarin weergeeft. Je moet het verschil kennen tussen een positieve en negatieve correlatie.

Wat moet je kunnen: Je moet een assenstelsel kunnen opzetten met de juiste variabelen op de juiste as. Je moet punten kunnen tekenen die een bepaald verband (in dit geval een dalende trend) weergeven, zonder dat het een perfecte lijn is.

Waar op letten: Lees goed welke variabele op de horizontale as (x-as) moet en welke op de verticale as (y-as). In dit geval is 'hygiëne' de oorzaak/onafhankelijke variabele en 'ziekmeldingen' het gevolg/afhankelijke variabele.
Begrijp het verband: 'betere hygiëne' (hogere score) gaat samen met 'lager percentage ziekmeldingen'. Dit betekent dat als de ene waarde toeneemt, de andere afneemt. Dit is een negatieve correlatie.
Je tekent een puntenwolk, geen perfecte lijn. De punten moeten wel een duidelijke trend laten zien, maar mogen verspreid liggen.
Zorg dat de punten globaal een dalende lijn volgen. Als je een stijgende lijn tekent, geef je een positieve correlatie weer, wat niet klopt met het vermoeden.

Kernbegrippen: puntenwolk, spreidingsdiagram, negatieve correlatie, dalende trendlijn

Veelgemaakte fouten:
- Verwarren van positieve en negatieve correlatie (een stijgende lijn/wolk tekenen).
- Een perfecte rechte lijn tekenen in plaats van een puntenwolk die een trend aangeeft.
- De punten te wijd verspreiden waardoor er geen duidelijke trend zichtbaar is.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2024/tijdvak-2/vraag/12

## Vraag 14 – Opgave 14 (3 punten)

Een journalist maakte bij de gegevens uit de tabel een grafiek van het cumulatieve percentage. Zie de figuur.

De manier waarop de reactiemogelijkheid 'weet niet' is opgenomen in de grafiek kan misleidend worden genoemd.
14 Leg uit waarom deze manier misleidend kan worden genoemd en geef aan wat een betere manier is om met deze reactiemogelijkheid om te gaan bij het maken van zo'n grafiek.

Wat kun je verwachten: Je moet uitleggen waarom een bepaalde grafische weergave van data misleidend kan zijn en hoe je dit beter kunt aanpakken. Dit gaat over het kritisch kijken naar hoe statistieken gepresenteerd worden.

Wat moet je kennen: Je moet weten wat een cumulatief percentage is en hoe dit wordt opgebouwd. Ook moet je begrijpen wat het verschil is tussen ordinale data (met een logische volgorde) en nominale data (zonder logische volgorde).

Wat moet je kunnen: Je moet de gepresenteerde grafiek kritisch kunnen analyseren en de impact van de volgorde van categorieën kunnen beoordelen. Je moet ook een alternatieve, betere methode kunnen voorstellen voor het omgaan met de 'weet niet'-categorie in een cumulatieve grafiek.

Waar op letten: Let goed op de volgorde van de categorieën op de horizontale as van de cumulatieve grafiek. Is deze volgorde logisch voor alle reactiemogelijkheden?
Bedenk wat 'cumulatief' betekent: percentages worden bij elkaar opgeteld. Wat gebeurt er als je een categorie toevoegt die eigenlijk geen onderdeel is van de oplopende schaal?
Analyseer de 'weet niet'-categorie. Heeft deze een logische plaats in de reeks 'helemaal mee oneens' tot 'helemaal mee eens'?
Denk na over de interpretatie die een lezer van de grafiek zou kunnen maken door de manier waarop 'weet niet' is gepositioneerd.
Formuleer niet alleen het probleem, maar geef ook een concrete en statistisch verantwoorde oplossing voor hoe je met de 'weet niet'-categorie zou moeten omgaan bij het maken van zo'n grafiek.

Kernbegrippen: cumulatieve frequentie, grafische representatie, misleidende statistiek, ordinale schaal, kwalitatieve data

Veelgemaakte fouten:
- Niet begrijpen wat een cumulatieve grafiek voorstelt.
- De 'weet niet' categorie behandelen als een ordinale waarde in plaats van een aparte, niet-geordende categorie.
- Alleen het probleem benoemen zonder een concrete oplossing voor te stellen.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2024/tijdvak-2/vraag/14

## Vraag 15 – Opgave 15 (3 punten)

15 50 100 variabele kosten voor extra pagina's € 1 per 10 pagina's € 1 per 10 pagina's € 1 per 15 pagina's Bijvoorbeeld: als je het Print Soms-abonnement hebt en in een maand 51 pagina's afdrukt, dan zijn de kosten voor die maand 3 + 1 = 4 euro. Ook 52 pagina's kosten bij dit abonnement 4 euro.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over het vergelijken van kosten van verschillende printabonnementen. Je moet informatie uit een tabel halen en daarmee berekeningen uitvoeren om een procentueel verschil te bepalen.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je kosten berekent op basis van een vast bedrag, een aantal gratis eenheden en variabele kosten per extra eenheid. Ook moet je de formule voor procentuele verandering kennen en correct toepassen.

Wat moet je kunnen: Je kunt gegevens uit een tabel aflezen en interpreteren. Je kunt de totale kosten per abonnement berekenen voor een gegeven aantal pagina's. Je kunt een procentuele besparing berekenen, waarbij je goed let op de basis (waar je door deelt).

Waar op letten: Lees de vraag goed: 'hoeveel procent lager' betekent dat je de besparing moet uitdrukken ten opzichte van de kosten van het duurdere abonnement (Print Soms).
Begin met het berekenen van de kosten voor Print Soms voor 35 pagina's. Vergeet niet de gratis pagina's af te trekken voordat je de variabele kosten berekent.
Bereken vervolgens de kosten voor Print Gratis voor 35 pagina's. Let ook hier op de gratis pagina's en de variabele kosten.
Bereken het verschil in kosten tussen de twee abonnementen.
Gebruik de formule voor procentuele verandering: (verschil / oorspronkelijke waarde) * 100%. Zorg dat je de juiste 'oorspronkelijke waarde' gebruikt (de kosten van Print Soms).

Kernbegrippen: procentuele verandering, aflezen van tabel, financiële rekenkunde

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerde basis voor percentageberekening (delen door de kosten van Print Gratis in plaats van Print Soms).
- Fout bij berekenen van variabele kosten, bijvoorbeeld door de gratis pagina's niet af te trekken.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2024/tijdvak-2/vraag/15

## Vraag 16 – Opgave 16 (4 punten)

4p 16 Redouan en Jelle hebben beiden het Print Soms-abonnement voor een jaar afgesloten. In dat jaar drukken ze elk 600 pagina's af. Het is mogelijk dat Redouan voor dat jaar een ander bedrag kwijt is dan Jelle. Bereken het maximale verschil in euro's dat mogelijk is.

Wat kun je verwachten: Je moet de kosten berekenen voor twee verschillende scenario's van pagina's afdrukken en daarna het verschil bepalen. Dit is een vraag over financiële berekeningen waarbij je goed moet kijken naar vaste en variabele kosten per maand en per jaar.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je kosten berekent op basis van een vast bedrag per maand en variabele kosten voor extra verbruik. Je moet ook begrijpen hoe de verdeling van het printen over een jaar de totale kosten kan beïnvloeden.

Wat moet je kunnen: Je kunt informatie uit een tabel halen en deze gebruiken om berekeningen uit te voeren. Je kunt de totale kosten voor een jaar berekenen, rekening houdend met maandelijkse vaste kosten en variabele kosten voor extra pagina's. Je kunt ook twee scenario's vergelijken om het maximale verschil te vinden.

Waar op letten: Je leest de gegevens voor het 'Print Soms'-abonnement zorgvuldig af uit de tabel.
Je bedenkt wat de meest voordelige manier is om 600 pagina's over een jaar te verdelen en wat de minst voordelige manier is. Dit zijn de twee uitersten die het maximale verschil opleveren.
Je berekent voor beide scenario's de totale kosten voor één jaar. Vergeet niet dat er 12 maanden in een jaar zitten voor de vaste kosten.
Je let goed op de variabele kosten: '€ 1 per 10 pagina's'. Dit betekent dat je het aantal extra pagina's moet delen door 10 om het aantal 'blokken' te vinden waarvoor je betaalt.
Je geeft je antwoord in euro's en rondt correct af.

Kernbegrippen: financieel rekenen, optimalisatie, variabele kosten, vaste kosten

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten de vaste kosten mee te rekenen in beide scenario's (of juist in één van de twee)
- Verkeerd berekenen van het aantal 'blokken' van 10 extra pagina's
- Niet realiseren dat de verdeling van de 600 pagina's over het jaar de totale kosten beïnvloedt
- Vergeten dat er 12 maanden in een jaar zijn voor de vaste kosten

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2024/tijdvak-2/vraag/16

## Vraag 17 – Opgave 17 (4 punten)

De copyshop besluit dat je voortaan het afdrukken van de extra pagina's niet meer per 10 of 15 pagina's betaalt, maar per stuk. Voor elk abonnement kunnen de kosten per afgedrukte pagina worden berekend met behulp van de variabele kosten uit de onderste rij van de tabel. Zo zijn bijvoorbeeld deze kosten bij het Print Gratis-abonnement 0,10 euro per pagina.

In de figuur zijn voor deze nieuwe situatie de afdrukkosten in een bepaalde maand voor de abonnementen Print Soms en Print Regelmatig weergegeven, afhankelijk van het aantal afgedrukte pagina's. Ook is de grafiek weergegeven van een nieuw abonnement dat de copyshop aanbiedt: Print Vaak.

figuur

Met behulp van de beschrijving van de nieuwe situatie en de figuur, zou je aan de tabel (van de oude situatie) een kolom kunnen toevoegen voor het abonnement Print Vaak.
Bepaal voor het abonnement Print Vaak het vaste bedrag per maand, het aantal gratis pagina's per maand en het aantal extra pagina's dat je voor 1 euro kunt afdrukken. Licht je drie antwoorden toe.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over het interpreteren van een grafiek die kosten van abonnementen weergeeft. Je moet specifieke waarden, zoals een vast bedrag, een aantal gratis pagina's en een tarief per extra pagina, aflezen of berekenen uit deze grafiek. Daarna moet je deze waarden toelichten.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een lineaire grafiek interpreteert. Dit betekent dat je de betekenis van de horizontale en verticale as kent, en hoe je een startwaarde (vaste kosten) en een hellingsgetal (kosten per pagina) uit de grafiek haalt. Ook moet je begrijpen wat 'gratis pagina's' betekent in de context van zo'n grafiek.

Wat moet je kunnen: Je kunt: 
- Het vaste bedrag per maand direct aflezen waar de grafiek de verticale as snijdt of waar het horizontale deel begint.
- Het aantal gratis pagina's aflezen op de horizontale as, waar het horizontale deel van de grafiek eindigt en het stijgende deel begint.
- De kosten per extra pagina berekenen door de helling van het stijgende deel van de grafiek te bepalen (delta y / delta x). Let op de eenheden van de assen.
- Deze berekende kosten per pagina omrekenen naar het aantal pagina's dat je voor 1 euro kunt afdrukken.
- Je antwoorden duidelijk toelichten met verwijzing naar de grafiek.

Waar op letten: Let goed op de eenheden op de assen: 'aantal afgedrukte pagina's' op de x-as en 'afdrukkosten (in €)' op de y-as.
Het 'vaste bedrag per maand' is de hoogte van het horizontale deel van de grafiek. Lees dit zorgvuldig af.
Het 'aantal gratis pagina's' is het aantal pagina's waarvoor de kosten nog niet stijgen. Dit is de x-waarde waar het horizontale deel van de grafiek eindigt.
Om de 'kosten per extra pagina' te bepalen, bereken je de helling van het stijgende deel van de grafiek. Kies twee duidelijke punten op dit stijgende deel om de helling te berekenen: (verandering in kosten) / (verandering in aantal pagina's).
De laatste stap is cruciaal: als je de kosten per pagina hebt, moet je omrekenen hoeveel pagina's je voor 1 euro krijgt. Dit is een omgekeerde berekening.

Kernbegrippen: grafiek aflezen, lineaire verbanden, hellingsgetal berekenen, tarieven en kosten

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd aflezen van de assen
- Fout bij het berekenen van de helling (kosten per pagina)
- Vergeten de laatste stap te doen: omrekenen van kosten per pagina naar pagina's per euro.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2024/tijdvak-2/vraag/17

## Vraag 18 – Opgave 18 (3 punten)

3p 18 Bereken met behulp van de formules voor K_S en K_R vanaf welk aantal pagina's de afdrukkosten bij het abonnement Print Regelmatig lager zijn dan bij Print Soms. Voor de **afdrukkosten per pagina** G_R voor het abonnement Print Regelmatig geldt: G_R = (K_R)/(p) (formule 3) Hierin is p het aantal pagina's, waarbij p minstens 100 is. Formule 3 kan in de volgende vorm worden geschreven: G_R = a - (b)/(p) (formule 4) Hierin zijn a en b positieve getallen en p is het aantal pagina's, waarbij minstens 100 is.

Wat kun je verwachten: Je moet twee functies met elkaar vergelijken om te bepalen wanneer de ene functie lager is dan de andere. Dit doe je door een vergelijking op te stellen en op te lossen. Let goed op de voorwaarden van de functies (de 'als'-delen).

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je stuksgewijze functies (functies met verschillende formules voor verschillende bereiken) interpreteert. Je moet ook de basisprincipes van het oplossen van lineaire vergelijkingen beheersen.

Wat moet je kunnen: Je kunt de juiste delen van de stuksgewijze functies selecteren die je met elkaar moet vergelijken. Je kunt een lineaire vergelijking opstellen en oplossen. Tot slot kun je het antwoord correct interpreteren in de context van de vraag, vooral met betrekking tot 'vanaf welk aantal' en het afronden op hele pagina's.

Waar op letten: Let goed op de voorwaarden (de 'als'-delen) van de formules K_S en K_R. Je moet de juiste delen van de formules kiezen die relevant zijn voor de situatie.
De vraag is wanneer de kosten van Print Regelmatig LAGER zijn dan die van Print Soms. Dit betekent dat je een ongelijkheid moet oplossen, of een vergelijking en daarna de interpretatie doen.
Vergeet niet dat p het aantal pagina's is en dus een geheel getal moet zijn. Let op de afronding en de interpretatie van 'vanaf welk aantal'.
Controleer of je de juiste formules voor K_S en K_R gebruikt, en niet per ongeluk G_R (kosten per pagina) in plaats van K_R (totale kosten).
Nadat je de vergelijking hebt opgelost, moet je controleren of de gevonden p-waarde binnen de voorwaarden van de gekozen functieonderdelen valt.

Kernbegrippen: stelsel van vergelijkingen oplossen, lineaire functies, piecewise functies, snijpunt van grafieken

Veelgemaakte fouten:
- De verkeerde delen van de stuksgewijze (piecewise) functies met elkaar vergelijken.
- Het snijpunt (p=70) als antwoord geven in plaats van het eerste gehele getal waarvoor de voorwaarde geldt (p=71).
- Een rekenfout maken bij het oplossen van de vergelijking.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2024/tijdvak-2/vraag/18

## Vraag 19 – Opgave 19 (3 punten)

Voor de **afdrukkosten per pagina** G_R voor het abonnement Print Regelmatig geldt:
G_R = (K_R)/(p) (formule 3)
Hierin is p het aantal pagina's, waarbij p minstens 100 is.

Formule 3 kan in de volgende vorm worden geschreven:
G_R = a - (b)/(p) (formule 4)
Hierin zijn a en b positieve getallen en p is het aantal pagina's, waarbij minstens 100 is.

3p 19 Bepaal de waarden van a en b in formule 4, zonder gebruik te maken van getallenvoorbeelden voor p. Geef deze waarden in twee decimalen.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een formule voor de afdrukkosten per pagina (G_R) die je moet herschrijven naar een andere, specifieke vorm (G_R = a - (b)/(p)). Je moet de waarden van 'a' en 'b' bepalen door algebraïsche manipulatie, zonder getallenvoorbeelden te gebruiken.

Wat moet je kennen: Je moet goed kunnen werken met breuken en het splitsen van breuken. Ook moet je weten hoe je breuken omzet naar decimalen en hoe je correct afrondt.

Wat moet je kunnen: Je kunt een samengestelde breuk splitsen in twee afzonderlijke breuken. Je kunt breuken omzetten naar decimalen met je GR en deze correct afronden op het gevraagde aantal decimalen. Je kunt de instructie 'zonder gebruik te maken van getallenvoorbeelden' opvolgen.

Waar op letten: Je moet eerst de juiste uitdrukking voor K_R kiezen, gezien de voorwaarde voor 'p' (p minstens 100).
Je vervangt K_R in de formule voor G_R door de gekozen uitdrukking.
Je splitst de resulterende breuk correct. Denk aan de regel (X - Y) / Z = X / Z - Y / Z.
Je zet de gevonden waarden voor 'a' en 'b' om naar decimalen en rondt deze af op twee decimalen.
Je gebruikt GEEN getallenvoorbeelden voor 'p', dit is expliciet verboden in de vraagstelling.

Kernbegrippen: Algebraïsch manipuleren, Formules herschrijven, Rekenen met breuken

Veelgemaakte fouten:
- Moeite met het splitsen van een breuk van de vorm (x-y)/z
- Fouten bij het omzetten van breuken naar decimalen
- Afrondingsfouten
- Gebruik van getallenvoorbeelden ondanks expliciet verbod

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2024/tijdvak-2/vraag/19

## Vraag 20 – Opgave 20 (3 punten)

De afdrukkosten per pagina G kunnen voor elk abonnement, als het aantal pagina's groter is dan het aantal gratis pagina's, beschreven worden met een formule van de vorm:

G = c - d/p (formule 5)

Hierin zijn c en d positieve getallen.

3p 20 Beredeneer met behulp van formule 5 of de afdrukkosten per pagina dan afnemen of toenemen als het aantal pagina's toeneemt.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een formule en je moet beredeneren wat er met de uitkomst gebeurt als één van de variabelen verandert. Je moet dus de relatie tussen de variabelen en de uitkomst begrijpen.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe breuken zich gedragen als de noemer groter wordt. Ook moet je begrijpen hoe een minteken in een formule de uitkomst beïnvloedt.

Wat moet je kunnen: Je moet de formule G = c - d/p kunnen analyseren. Je moet stap voor stap kunnen uitleggen wat er gebeurt met de term d/p als p toeneemt, en vervolgens wat dit betekent voor de totale waarde van G.

Waar op letten: Let goed op het minteken voor de term d/p. Dit is cruciaal voor je redenering.
Bedenk wat er met de breuk (d)/(p) gebeurt als de noemer p groter wordt. Wordt de breuk dan groter of kleiner?
Als je een steeds kleiner of groter getal van c aftrekt, wat betekent dat dan voor de uitkomst G?
Vergeet niet te concluderen of de afdrukkosten per pagina toenemen of afnemen.

Kernbegrippen: analyse van een formule, inverse relatie, stijgen en dalen

Veelgemaakte fouten:
- Verwarring tussen het gedrag van de term d/p en de totale uitkomst G (min-teken negeren)
- Verwarring tussen totale kosten en kosten per pagina

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2024/tijdvak-2/vraag/20

## Vraag 21 – Opgave 21 (9 punten)

9p 21 Onderzoek in welk jaar er op 31 december meer dan een kwart van de bevolking 65-plusser is. Bronvermelding Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen behorende correctievoorschrift. einde

Wat kun je verwachten: Je moet de gegevens uit de grafiek gebruiken om twee verschillende modellen op te stellen: één voor de totale bevolking en één voor het aantal 65-plussers. Vervolgens combineer je deze modellen om een vergelijking op te lossen die het gevraagde jaartal oplevert.

Wat moet je kennen: Je moet de kenmerken van lineaire en exponentiële groei kennen. Je moet weten hoe je een groeifactor per jaar berekent als je de groeifactor over een langere periode hebt. Ook moet je weten hoe je een lineaire toename per jaar berekent.

Wat moet je kunnen: Je kunt gegevens uit een grafiek aflezen en interpreteren. Je kunt formules opstellen voor lineaire en exponentiële verbanden. Je kunt een vergelijking oplossen met behulp van de grafische rekenmachine (bijvoorbeeld met de intersect-functie of door een tabel te maken). Je kunt een berekende t-waarde omzetten naar een jaartal.

Waar op letten: Je leest de totale bevolking en het aantal 65-plussers af voor zowel 2000 als 2030. Let op dat de totale bevolking de som is van de twee leeftijdscategorieën.
Je bepaalt welk type groei van toepassing is voor de totale bevolking (lineair) en voor de 65-plussers (exponentieel).
Je berekent de jaarlijkse toename voor de lineaire groei en de jaarlijkse groeifactor voor de exponentiële groei. Let op dat je de groeifactor per 30 jaar omzet naar een groeifactor per jaar (macht tot de macht (1)/(30)).
Je stelt de formules op voor beide populaties, waarbij je goed nadenkt over de startwaarde en de betekenis van t (bijvoorbeeld t=0 in 2000).
Je stelt een vergelijking op waarbij de verhouding van het aantal 65-plussers tot de totale bevolking gelijk is aan 0,25 (een kwart). Deze vergelijking los je op met je GR. Vergeet niet te beschrijven hoe je dit doet.

Kernbegrippen: lineaire groei, exponentiële groei, groeifactor, formule opstellen, vergelijking oplossen met GR, procenten en verhoudingen

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd type model gebruiken (lineair/exponentieel)
- Groeifactor per 30 jaar verwarren met groeifactor per jaar
- Reken- of afrondingsfouten bij het bepalen van de groeifactor of de lineaire toename
- Verkeerd opstellen van de vergelijking voor de proportie
- Foutieve interpretatie van de t-waarde (t=0 in 2000)

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2024/tijdvak-2/vraag/21

## Vragen in dit examen

### Vraag 4 – Opgave 4

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag waarbij je twee lineaire modellen moet vergelijken. Eén formule is al gegeven, de andere moet je zelf opstellen aan de hand van twee datapunten. Vervolgens moet je bepalen wanneer de ene oppervlakte voor het eerst groter is dan de andere.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een lineaire formule opstelt (y = ax + b) als je twee punten hebt. Je moet ook begrijpen wat 't' betekent in de gegeven formule (aantal jaren na 2000).

Wat moet je kunnen: Je moet: 
1. De richtingscoëfficiënt ('a') berekenen voor de appelteeltoppervlakte.
2. De startwaarde ('b') bepalen voor de appelteeltoppervlakte, rekening houdend met t=0 in het jaar 2000.
3. Een vergelijking opstellen waarin je de twee formules aan elkaar gelijkstelt.
4. Deze vergelijking oplossen met je GR (bijvoorbeeld met de intersect-functie of door een tabel te maken).
5. Het resultaat van je berekening correct interpreteren om het juiste jaar te vinden.

Waar op letten: Let goed op de definitie van 't': 't is het aantal gehele jaren na 2000'. Dit betekent dat t=0 in 2000, t=3 in 2003, en t=15 in 2015.
Bij het opstellen van de formule voor de appelteeltoppervlakte, zorg je ervoor dat je de juiste 't'-waarden gebruikt voor de jaren 2003 en 2015 om de richtingscoëfficiënt te berekenen.
Als je de vergelijking T_p = T_a oplost, krijg je een waarde voor 't'. Je moet dan goed nadenken welk *geheel jaar* het eerste is waarin de perenteeltoppervlakte *voor het eerst groter* is dan de appelteeltoppervlakte.
Rond de richtingscoëfficiënt van de appelteeltoppervlakte niet te vroeg af om afrondingsfouten in je eindantwoord te voorkomen.

### Vraag 13 – Opgave 13

Wat kun je verwachten: Je moet beoordelen of een gemiddelde zinvol is voor de gegeven data en je antwoord toelichten. Dit gaat over het begrijpen van verschillende soorten data en welke statistische maten je daarvoor kunt gebruiken.

Wat moet je kennen: Je moet het verschil kennen tussen kwalitatieve (categorische) en kwantitatieve data. Ook moet je weten welke centrummaten (gemiddelde, mediaan, modus) geschikt zijn voor welk type data.

Wat moet je kunnen: Je moet de reacties in de tabel kunnen classificeren als een bepaald type data. Vervolgens moet je kunnen beargumenteren of het berekenen van een gemiddelde voor dit type data logisch is of niet.

Waar op letten: Let goed op de aard van de 'reacties' in de tabel. Zijn dit getallen waar je mee kunt rekenen, of zijn het beschrijvingen?
Bedenk wat een 'gemiddelde' precies betekent. Kun je bijvoorbeeld het gemiddelde berekenen van kleuren of meningen?
Verwar percentages niet met de data zelf. De percentages geven de frequentie van elke reactie aan, maar de reacties zelf zijn de data.
Denk na over de meetniveaus: nominaal, ordinaal, interval, ratio. Welke past bij deze data en wat betekent dat voor het gemiddelde?
Je moet je antwoord duidelijk toelichten met een argumentatie die gebaseerd is op de aard van de data.

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen HAVO
2024
tijdvak 2
donderdag 20 juni
13.30 - 16.30 uur

iskunde A

Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Dit examen bestaat uit 21 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 75 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald
kunnen worden.

Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.

Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.

HA-1024-a-24-2-0

### Pagina 2

FORMULEBLAD
Vuistregels voor de grootte van het verschil van twee groepen

2×2-kruistabel
$

(a b
C d
)
met phi=
$

$\sqrt{(a+b)(a+c)(b+d)(c+d)}
$\frac{ad-bc}{
waarin a, b, c en d absolute aantallen zijn
- als phi < -0,4 of phi > 0,4, dan zeggen we "het verschil is groot"
- als -0,4 ≤ phi ≤ -0,2 of 0,2 ≤ phi ≤ 0,4, dan zeggen we "het verschil is
middmatig"
- als -0,2 ≤ phi ≤ 0,2, dan zeggen we "het verschil is gering"

Maximaal verschil in cumulatief percentage (max Vcp)
(met voor beide groepen een steekproefomvang n > 100)
- als max Vcp > 40, dan zeggen we "het verschil is groot"
- als 20 < max Vcp ≤ 40, dan zeggen we "het verschil is middmatig"
- als max Vcp ≤ 20, dan zeggen we "het verschil is gering"

Effectgrootte E =
$
$
$
$
X1-X2
2(S1+S2)
met X1 en X2 de steekproefgemiddelden
(X1 ≥ X2), S1 en S2 de steekproefstandaardafwijkingen
- als E > 0,8, dan zeggen we "het verschil is groot"
- als 0,4 < E ≤ 0,8, dan zeggen we "het verschil is middmatig"
- als E ≤ 0,4, dan zeggen we "het verschil is gering"

Twee boxplots vergelijken
- als de boxen') elkaar niet overlappen, dan zeggen we "het verschil is
groot"
- als de boxen elkaar wel overlappen en een mediaan van een boxplot
buiten de box van de andere boxplot ligt, dan zeggen we "het verschil is
middmatig"
- in alle andere gevallen zeggen we "het verschil is gering"
noot 1 De 'box' is het interval vanaf het eerste kwartiel tot en met het derde kwartiel.

HA-1024-a-24-2-0
2/13
lees verder ►►►

### Pagina 3

Betrouwbaarheidsintervallen
Het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de populatieproportie is
p ± 2 ⋅
$$\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$$ , met $p$ de steekproefproportie en $n$ de steekproefomvang.

Het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het populatiegemiddelde is
$\bar{X}$ ± 2 ⋅ $\frac{S}{\sqrt{n}}$, met $\bar{X}$ het steekproefgemiddelde, $n$ de steekproefomvang en
$S$ de steekproefstandaardafwijking.

HA-1024-a-24-2-0
3 / 13
lees verder ►►►

### Pagina 4

Appels met peren vergelijken

In figuur 1 staat een bericht dat op internet te lezen was over de appel- en
perenoogst in Nederland. Hierin wordt gesproken over de oogstraming
van 2021; dit is de schatting van de oogstopbrengst (in miljoen kilo) van
dat jaar.

figuur 1

Meer appels en minder peren verwacht dan vorig jaar
Geplaatst op 27 juli 2021

Dit jaar zullen in Nederland naar verwachting meer appels
worden geplukt dan vorig jaar, terwijl de totale perenoogst
wordt geraamd dan vorig jaar. De Nederlandse oogstraming
komt uit op 250 miljoen kilo appels en 325 miljoen kilo peren.
Dit blijkt uit informatie van GroentenFruit Huis en NFO.

Er hangen meer appels aan de bomen dan in 2020. Hierdoor wordt
de totale appelOOgst (in miljoen kilo) 14 procent hoger ingeschat dan
in 2020. Bij peren is het beeld juist andersom waardoor de perenoogst
(in miljoen kilo) 19 procent lager wordt geraamd dan vorig jaar.

3p 1
Neem aan dat een appel gemiddeld 150 gram weegt en een peer
gemiddeld 225 gram. Op basis van de oogstraming kun je het geschatte
aantal appels en het geschatte aantal peren in 2021 berekenen.
Bereken het verschil tussen deze twee aantallen. Geef je antwoord in een
geheel aantal miljoenen.

Op basis van het bericht kun je het totale gewicht berekenen dat in 2020
aan appels en peren samen is geoogst.
3p 2
Bereken dit totale gewicht. Geef je antwoord in een geheel aantal
miljoenen kilogram.

In figuur 2 zie je de periode 2000-2010 het totaalgewicht aan peren
dat in Nederland is geoogst. Ook zie je de oppervlakte waarop deze peren
werden geteeld. Neem aan dat deze oppervlakte gedurende een
kalenderjaar gelijk blijft.

HA-1024-a-24-2-0
4/13
lees verder

### Pagina 5

figuur 2 perenteelt
perenteeltoppervlakte (hectare)
oogst (miljoen kg)
2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010
→ jaar
Legenda:
perenteeltoppervlakte
oogst
3p 3 Beredeneer, zonder gebruik te maken van getallenvoorbeelden, met
behulpp van figuur 2 of de gemiddelde perenoogst in miljoen kg per
hectare in 2008 groter of kleiner is dan in 2003.
De perenteeltoppervlakte neemt in de periode van 2000 tot en met 2015
lineair toe. We kunnen voor die periode de perenteeltoppervlakte
beschrijven met de volgende formule:
$T_{p}=6000+200t$
Hierin is $T_{p}$ de perenteeltoppervlakte in hectare en $t$ het aantal gehele
jaren na 2000.
In de tabel staat de appelteeltoppervlakte in 2003 en 2015.
tabel
jaar
2003
2015
appelteeltoppervlakte $T_{a}$ (in hectare)
10296
7600
Ga ervan uit dat de appelteeltoppervlakte in de periode 2000-2015 lineair
afneemt en dat deze oppervlakte gedurende een kalenderjaar steeds
gelijk blijft.
5p 4 Bereken in welk jaar de perenteeltoppervlakte voor het eerst groter is dan
de appelteeltovpervlakte.
Men verwachtte dat na 2015 de appelteeltoppervlakte exponentieel zou
afnemen met 19,4% per vijf jaar.
4p 5 Bereken met hoeveel procent de appeltoppervlakte dan per jaar
afneemt. Geef je antwoord in één decimaal.
HA-1024-a-24-2-o
5/13
lees verder

### Pagina 6

Vangen-hervangen

Het is niet eenvoudig het totaal aantal vissen in een meer te tellen. Met
behulp van de statistische techniek 'vangen-hervangen' is het mogelijk
een schatting te doen van het aantal vissen. Deze techniek werkt als
volgt:

Vang een aantal vissen uit het meer. Dit is de eerste steekproef. Geef
deze vissen een merkteken. Zie figuur 1.

figuur 1

[FIGUUR: Een man zit op een kruk aan de waterkant met een hengel. Onder water zwemmen veel vissen. Een paar vissen hebben een cirkel met een kruisje.]

Zet de gemerkte vissen vervolgens weer terug in het meer. Wacht een
tijdje tot de gemerkte vissen zich over het hele meer verspreid hebben en
vang nogmaals een aantal vissen uit het meer. Dit is de tweede
steekproef. Zie figuur 2.

figuur 2

[FIGUUR: Een pijl gaat van de linker tekening naar een ronde cirkel. In de cirkel zwemmen vissen, waarvan een deel gemerkt is met een cirkel met een kruisje.]

We kunnen nu onderstellen dat de proportie gemerkte vissen in de
tweede steekproef, gelijk is aan de proportie gemerkte vissen in het hele
meer. In formulevorm:
$rac{R}{C} = rac{M}{N}$ (formule 1)
Hierbij is:

R het aantal gemerkte vissen in de tweede steekproef;

C het aantal gevangen vissen dat in de tweede steekproef;

M het aantal gevangen, en dus gemerkte, vissen in de eerste
steekproef;

N het (geschatte) aantal vissen in het meer.

HA-1024-a-24-2-0
6/13
lees verder ► ►►


### Pagina 7

Biologen vangen in een meer bij een eerste steekproef 80 vissen, merken deze en zetten ze weer terug in het meer. Een paar dagen later wordt een tweede steekproef vissen gevangen. Hierin bevinden zich 6 gemerkte en
92 ongemerktte vissen.
3p 6 Bereken met behulp van formule 1 hoeveel vissen er in het meer zijn.
Geef je antwoord in een geheel honderdtal.
We kunnen formule 1 herleiden tot een formule waarmee je eenvoudiger
het aantal vissen $N$ in het meer kunt berekenen:
$N=\frac{M \cdot C}{R}$ (formule 2)
Biologen Adri en Fiona vangen samen een eerste steekproef, waarna zij
alle 30 vissen merken die ze samen hebben gevangen. De gemerkte
vissen zetten ze terug in het meer. Om de betrouwbaarheid van de
schatting van het aantal vissen in het meer te vergroten, vangt elk van
hen 180 vissen als tweede steekproef. Eerst vangt Adri 180 vissen en hij
telt het aantal gemerkte vissen. Daarna zet hij de 180 vissen terug in het
meer. Vervolgens vangt Fiona 180 vissen. In de steekproef van Fiona is
er één vis meer gemerkt dan in de steekproef van Adri. Beiden berekenen
met formule 2 het aantal vissen in het meer. Fiona's uitkomst blijkt 60
lager te zijn dan Adri's uitkomst.
4p 7 Bereken het aantal gemerkte vissen in de steekproef van Adri.
Er is een situatie mogelijk, waarbij je vissen in de eerste steekproef vangt
en merkt, in een tweede steekproef weer vissen vangt, maar dat het niet
lukt om met formule 1 of 2 het aantal vissen in het meer te schatten.
2p 8 Beschrijf deze situatie en leg uit waarom het in die situatie niet lukt om
met formule 2 het aantal vissen in het meer te schatten.
Formule 1 en 2 werken in de praktijk minder goed als $R$ klein is. Daarom
is er met computersimulaties gezocht naar een formule die betere
schattingen geeft. Uit die computersimulaties bleek dat bij kleine waarden
van $R$, onderstaande formule betere schattingen geeft voor het aantal
vissen in het meer dan formule 2.
$N=\frac{(M+1) \cdot (C+1)}{R+1}-1$ (formule 3)
Het verschil in de schattingen van het aantal vissen volgens de formules 2
en 3 wordt groter naarmate er minder gemerkte vissen in een tweede
steekproef worden gevangen.
We bekijken de situatie waarbij in de eerste steekproef 120 vissen zijn//vangen en gemerkt en in een tweede steekproef 150 vissen zijn
gevangen.
4p 9 Bereken bij welke aantallen gemerkte vissen in een tweede steekproef de
schatting volgens formule 2 meer dan 100 hoger is dan de schatting
volgens formule 3.
HA-1024-a-24-2-o
7/13
lees verder

### Pagina 8

```json
{
  "page_type": "opgaven",
  "exam_info": {
    "subject": "Hygiëne op school",
    "year": null,
    "tijdvak": null
  },
  "figures": [],
  "keywords": "hygiëne, school, onderzoek, leerlingen, leraren, ouders, steekproef, betrouwbaarheidsinterval, percentage, ziekmeldingen"
}
```

### Pagina 9

De 630 leraren in de steekproef hebben gereageerd op de stelling of hun
school over voldoende schoonmaakbudget beschikt om de hygiëne op
school te kunnen waarborgen. Het resultaat staat in de tabel.
tabel
stelling: het schoonmaakbudget is voldoende
reactie
weetaanwezig
helemaal
mee
oneens
mee
oneens
neutraal
helemaal
mee
eens
percentage
27
11
27
12
19
4
In de media werd naar aanleiding van dit onderzoek geconcludeerd dat
ruim een derde van de leraren aangeeft dat het schoonmaakbudget te
laag is om de hygiëne te kunnen waarborgen.
Kennelijk had men hiervoor de twee reactiemogelijkheden 'helemaal mee
oneens' (11%) en 'mee oneens' (27%) samengevoegd.
2p
13
Had men op basis van deze tabel ook een uitspraak over het gemiddelde
van de lerarenreacties kunnen doen? Licht je antwoord toe.
Een journalist maakte bij de gegevens uit de tabel een grafiek van het
cumulatieve percentage. Zie de figuur.
figuur
cumulatief
percentage
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
weel niet
helemaal
mee oneens
mee
oneens
neutraal
mee eens
helemaal
mee eens
reactiemogelijkheden
De manier waarop de reactiemogelijkheid 'weet niet' is opgenomen in de
grafiek kan misleidend worden genoemd.
3p
14
Leg uit waarom deze manier misleidend kan worden genoemd en geef
aan wat een betere manier is om met deze reactiemogelijkheid om te
gaan bij het maken van zo'n grafiek.
HA-1024-a-24-2-0
9/13
leas verder

### Pagina 10

Printabonnement
Een copyshop biedt printabonnementen aan. Voor een vast bedrag per
maand kun je een vast aantal pagina's afdrukken. Wil je meer pagina's
afdrukken in die maand, dan moet je daarvoor extra betalen. Het aantal
extra pagina's dat je afdrukt, wordt bijgehouden door de copyshop. In
deze opgave bedoelen we met '(afdruk)kosten' telkens de kosten voor de
klant, niet voor de copyshop.
Er zijn verschillende abonnementen. Zie de tabel.
tabel
Naam abonnement
vast bedrag per maand
aantal gratis pagina's
per maand
variabele kosten voor
extra pagina's
Bijvoorbeeld: als je het Print Soms-abonnement hebt en in een maand
51 pagina's afdrukt, dan zijn de kosten voor die maand 3 + 1 = 4 euro.
Ook 52 pagina's kosten bij dit abonnement 4 euro.
3p 15 Bij het afdrukken van 35 pagina's in een maand zijn de kosten met een
Print Gratis-abonnement lager dan met een Print Soms-abonnement.
Bereken hoeveel procent lager. Geef je antwoord in hele procenten.
4p 16 Redouan en Jelle hebben beiden het Print Soms-abonnement voor een
jaar afgesloten. In dat jaar drukken ze elk 600 pagina's af. Het is mogelijk
dat Redouan voor dat jaar een ander bedrag kwijt is dan Jelle.
Bereken het maximale verschil in euro's dat mogelijk is.
Print
Gratis
€ 0
15
€ 1
per 10
pagina's
Print
Soms
€ 3
50
€ 1
per 10
pagina's
Print
Regelmatig
€ 5
100
€ 1
per 15
pagina's
HA-1024-a-24-2-o
10/13
lees verder ►►►

### Pagina 11

De copyshop besluit dat je voortaan het afdrukken van de extra pagina's
niet meer per 10 of 15 pagina's betaalt, maar per stuk. Voor elk
abonnement de kosten per afgedrukte pagina worden berekend
met behulp van de variabele kosten uit de onderste rij van de tabel. Zo
zijn bijvoorbeeld deze kosten bij het Print Gratis-abonnement 0,10 euro
per pagina.
In de figuur zijn voor deze nieuwe situatie de afdrukkosten in een
bepaalde maand voor de abonnementen Print Soms en Print Regelmatig
weergegeven, afhankelijk van het aantal afgedrukte pagina's. Ook is de
grafiek weergegeven van een nieuw abonnement dat de copyshop
aanbiedt: Print Vaak.
figuur
40
afdrukkosten
(in €)
30
20
10
0
0
100
200
300
400
aantal afgedrukte pagina's
Legenda:
Print Vaak
Print Regelmatig
Print Soms
4p 17 Met behulp van de beschrijving van de nieuwe situatie en de figuur, zou je
aan de tabel (van de oude situatie) een kolom kunnen toevoegen voor het
abonnement Print Vaak.
Bepaal voor het abonnement Print Vaak het vaste bedrag per maand, het
aantal gratis pagina's per maand en het aantal extra pagina's dat je voor
1 euro kunt afdrukken. Licht je drie antwoorden toe.
HA-1024-a-24-2-0
11/13
lees verder

### Pagina 12

In de rest van deze opgave bedoelen we met ‘afdrukkosten’ de
afdrukkosten per maand voor de klant en met ‘pagina’s’ afgedrukte
pagina’s per maand.
De afdrukkosten (in euro) voor de abonnementen Print Soms $K_{\mathrm{S}}$ en
Print Regelmatig $K_{\mathrm{R}}$ worden gegeven door de volgende formules:
$K_{\mathrm{S}}=\left{\begin{array}{ll}3 & \text { als } 0 \le p < 50 \\ 0,1 p-2 & \text { als } p \ge 50\end{array}\right. \text{ (formule 1)}
$K_{\mathrm{R}}=\left{\begin{array}{ll}5 & \text { als } 0 \le p < 100 \\ \frac{1}{15} p-\frac{1}{3} & \text { als } p \ge 100\end{array}\right. \text{ (formule 2)}
Hierin is $p$ het aantal pagina’s.
Voor kleine aantallen pagina’s zijn de afdrukkosten bij het abonnement
Print Soms lager dan bij Print Regelmatig.
3p
18
Bereken met behulp van de formules voor $K_{\mathrm{S}}$ en $K_{\mathrm{R}}$ vanaf welk aantal
pagina’s de afdrukkosten bij het abonnement Print Regelmatig lager zijn
dan bij Print Soms.
Voor de afdrukkosten per pagina $G_{\mathrm{R}}$ voor het abonnement
Print Regelmatig geldt:
$G_{\mathrm{R}}=\frac{K_{\mathrm{R}}}{p}
$ (formule 3)
Hierin is $p$ het aantal pagina’s, waarbij $p$ minstens 100 is.
Formule 3 kan in de volgende vorm worden geschreven:
$G_{\mathrm{R}}=a-\frac{b}{p}
$ (formule 4)
Hierin zijn $a$ en $b$ positieve getallen en $p$ is het aantal pagina’s, waarbij
minstens 100 is.
3p
19
Bepaal de waarden van $a$ en $b$ in formule 4, zonder gebruik te maken van
getallenvoorbeelden voor $p$. Geef deze waarden in twee decimalen.
De afdrukkosten per pagina $G$ kunnen voor elk abonnement, als het
aantal pagina’s groter is dan het aantal gratis pagina’s, beschreven
worden met een formule van de vorm:
$G=c-\frac{d}{p}
$ (formule 5)
Hierin zijn $c$ en $d$ positieve getallen.
3p
20
Berendeen met behulp van formule 5 of de afdrukkosten per pagina dan
afNemen of toenemen als het aantal pagina’s toeneemt.
HA-1024-a-24-2-0
12 / 13
lees verder

### Pagina 13

65-plussers
Het CBS (Centraal Bureau voor de Statistiek) publiceerde eind 2018 een
artikel met prognoses over het aantal inwoners in Nederland waaruit bleek
dat dit aantal minstens tot 2030 zal blijven toenemen. Ook beweerde het
CBS in dit artikel dat in 2030 bijna een kwart van de bevolking
65-plus (65 jaar of ouder) is. Zie de figuur. De gegevens gelden telkens op
31 december van het jaar.
figuur
Bevolkking naar leeftijd op 31 december
aantal
inwoners
(miljoenen)
Legenda:
65 jaar of ouder
0 tot 65 jaar
20
18
16
2,2
4,2
14
12
10
13,6
13,8
8
6
4
2
0
2000
2030
Op basis van gegevens van de jaren 2000 tot en met 2018 en prognoses
van 2019 tot en met 2030 verwacht men dat de totale bevolking in de
periode 2000-2030 nagenoeg lineair zal groeien, terwijl het aantal
65-plussers exponentieel zal groeien. In deze opgave gaan we ervan uit
dat deze lineaire en exponentiële groei zich beide na 2030 voortzetten.
9p 21 Onderzoek in welk jaar er op 31 december meer dan een kwart van de
bevolking 65-plusser is.
Bronvermelding
Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen
behorende correctievoorschrift.
HA-1024-a-24-2-0
einde
13 / 13