# Eindexamen Wiskunde A HAVO 2024 tijdvak 1 > Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2024/tijdvak-1 ## Vraag 1 – Opgave 1 (3 punten) 1 en 2 zie je de grafieken die horen bij twee types telefoons (PRO 5 en PRO 6). Op de horizontale as staat de tijd vanaf het moment dat de lege telefoon aan de oplader gelegd wordt. figuur 1 PRO 5 vermogen (W) 20 16 12 8 4 0 0 15 30 45 60 75 90 → tijd (minuten) Legenda: — vermogen ........ batterijpercentage batterijpercentage (%) 100 80 60 40 20 0 figuur 2 PRO 6 vermogen (W) 20 16 12 8 4 0 0 15 30 45 60 75 90 → tijd (minuten) Legenda: — vermogen ........ batterijpercentage batterijpercentage (%) 100 80 60 40 20 0 Op de uitwerkbijlage is figuur 1 vergroot afgebeeld, waarbij de doorgetrokken grafiek en de bijbehorende linkeras zijn weggelaten. Het batterijpercentage van de PRO 5 neemt in de eerste 30 minuten lineair toe. Als het batterijpercentage op dezelfde manier zou blijven toenemen, dan is de totale oplaadtijd (van 0 tot 100%) korter dan nu af te lezen is uit figuur 1. Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over het opladen van een telefoon, waarbij je informatie uit een grafiek moet halen en een lineair verband moet doortrekken (extrapoleren). Je moet goed kijken naar de assen en de legenda om de juiste lijn te volgen. Wat moet je kennen: Je moet weten wat een lineair verband inhoudt en hoe je dit herkent in een grafiek. Ook moet je begrijpen hoe je een grafiek nauwkeurig afleest en hoe je een trend kunt doortrekken buiten de gegeven punten. Wat moet je kunnen: Je moet de grafiek van het batterijpercentage van de PRO 5 kunnen aflezen. Je moet het lineaire deel van de grafiek kunnen identificeren en deze lijn nauwkeurig kunnen verlengen tot 100% batterijpercentage. Vervolgens lees je de bijbehorende tijd op de horizontale as af. Waar op letten: Je let goed op welke grafieklijn je moet gebruiken: de gestippelde lijn voor het batterijpercentage van de PRO 5 (figuur 1). Je identificeert het lineaire deel van de grafiek, zoals aangegeven in de vraagtekst (de eerste 30 minuten). Je verlengt deze lineaire lijn nauwkeurig op de uitwerkbijlage (of in je gedachten) tot het batterijpercentage 100% bereikt. Je leest de tijd af op de horizontale as die hoort bij 100% op jouw verlengde lijn. Je geeft je antwoord in hele minuten, zoals vaak gevraagd bij tijdsduur in dit soort contexten. Kernbegrippen: lineair verband, grafiek aflezen, extrapoleren Veelgemaakte fouten: - De lijn niet recht doortrekken (niet lineair extrapoleren). - De tijd onnauwkeurig aflezen van de horizontale as. - De oorspronkelijke tijd tot 100% aflezen in plaats van de geëxtrapoleerde tijd. - Het antwoord niet in hele minuten geven. Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2024/tijdvak-1/vraag/1 ## Vraag 2 – Opgave 2 (4 punten) 2 zie je de grafieken die horen bij twee types telefoons (PRO 5 en PRO 6). Op de horizontale as staat de tijd vanaf het moment dat de lege telefoon aan de oplader gelegd wordt. figuur 1 PRO 5 vermogen (W) 20 16 12 8 4 0 0 15 30 45 60 75 90 → tijd (minuten) Legenda: — vermogen ........ batterijpercentage batterijpercentage (%) 100 80 60 40 20 0 figuur 2 PRO 6 vermogen (W) 20 16 12 8 4 0 0 15 30 45 60 75 90 → tijd (minuten) Legenda: — vermogen ........ batterijpercentage batterijpercentage (%) 100 80 60 40 20 0 Op de uitwerkbijlage is figuur 1 vergroot afgebeeld, waarbij de doorgetrokken grafiek en de bijbehorende linkeras zijn weggelaten. Het batterijpercentage van de PRO 5 neemt in de eerste 30 minuten lineair toe. Als het batterijpercentage op dezelfde manier zou blijven toenemen, dan is de totale oplaadtijd (van 0 tot 100%) korter dan nu af te lezen is uit figuur 1. Wat kun je verwachten: Je krijgt twee grafieken te zien die het oplaadgedrag van twee verschillende telefoons (PRO 5 en PRO 6) weergeven. Je moet informatie uit beide grafieken halen en deze combineren om een vraag over het batterijpercentage te beantwoorden. Het gaat hierbij om het aflezen van tijdstippen en percentages, en het berekenen van tijdsduren. Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een lijngrafiek met twee y-assen correct afleest. Je moet ook begrijpen wat 'lineair toenemen' betekent in de context van een grafiek. Daarnaast moet je het verschil tussen een tijdstip en een tijdsduur kennen. Wat moet je kunnen: Je kunt nauwkeurig waarden aflezen van zowel de horizontale als de verticale assen van een grafiek. Je kunt tijdsduren berekenen door het verschil te nemen tussen twee tijdstippen. Je kunt informatie uit de ene grafiek gebruiken om een conclusie te trekken over de andere grafiek. Je kunt ook een lineaire trend herkennen en toepassen. Waar op letten: Let goed op welke grafiek bij welke telefoon hoort (PRO 5 of PRO 6) en welke lijn het batterijpercentage weergeeft (de stippellijn). Lees de waarden zo nauwkeurig mogelijk af. Gebruik eventueel een liniaal op je scherm of papier om preciezer te zijn. Maak geen verwarring tussen het vermogen (linker y-as) en het batterijpercentage (rechter y-as). De vraag gaat over het batterijpercentage. Bereken de tijdsduur door het verschil tussen de eindtijd en de starttijd te nemen. Een tijdsduur is geen tijdstip. Controleer of je de juiste eenheden gebruikt in je antwoord (minuten voor tijd, procenten voor batterij). Kernbegrippen: grafiek aflezen, rekenen met tijdintervallen, vergelijken van grafieken, probleemoplossen in context Veelgemaakte fouten: - Onnauwkeurig aflezen van de waarden uit de grafieken. - Verwarren van de grafieken van PRO 5 en PRO 6. - Een tijdstip verwarren met een tijdsduur. - Vergeten de starttijd af te trekken van de eindtijd om de oplaadduur te berekenen. Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2024/tijdvak-1/vraag/2 ## Vraag 3 – Opgave 3 (2 punten) Het eerste stuk van de gestippelde grafieken in figuur 1 en figuur 2 is voor zowel de PRO 5 als de PRO 6 te beschrijven door een formule van de vorm B=c ⋅ t, waarbij B het batterijpercentage in procenten is, t de tijd in minuten en c een getal. 2p 3 Onderzoek of het getal c bij de PRO 5 groter is dan bij de PRO 6. Je kunt hierbij gebruikmaken van de figuren op de uitwerkbijlage. Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over het vergelijken van twee situaties aan de hand van grafieken. Je moet een lineair verband herkennen en de richtingscoëfficiënt daarvan bepalen en vergelijken. Wat moet je kennen: Je moet weten wat een lineair verband is (B=c ⋅ t) en hoe je de constante 'c' (de richtingscoëfficiënt) bepaalt uit een grafiek. Je moet ook de betekenis van 'c' in deze context begrijpen. Wat moet je kunnen: Je kunt de grafieken nauwkeurig aflezen om de benodigde waarden te vinden. Je kunt de richtingscoëfficiënt berekenen met behulp van twee punten op de lijn. Je kunt de berekende waarden correct vergelijken en een conclusie trekken. Waar op letten: Je leest de waarden voor het batterijpercentage (B) af op de rechter verticale as en de tijd (t) op de horizontale as. Je focust op het 'eerste stuk' van de gestippelde grafieken, wat betekent dat je kijkt naar het deel waar de lijn recht is (lineair). In dit geval is dat van t=0 tot t=30 minuten. Je berekent de constante 'c' voor beide telefoons. 'c' is de toename van het batterijpercentage per minuut. Denk aan 'c = (verandering in B) / (verandering in t)'. Je let goed op de vraag: is 'c' bij de PRO 5 groter of kleiner dan bij de PRO 6? Je formuleert je conclusie duidelijk. Je zorgt voor een duidelijke toelichting van je berekeningen en je vergelijking, zoals gevraagd in de CV-opmerkingen. Kernbegrippen: lineaire groei, richtingscoëfficiënt, grafiek aflezen, vergelijken Veelgemaakte fouten: - Afleesfouten in de grafiek. - Verkeerd interpreteren van 'c' (bijvoorbeeld de eindwaarde aflezen in plaats van de toename). - Conclusie omdraaien (groter/kleiner). Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2024/tijdvak-1/vraag/3 ## Vraag 4 – Opgave 4 (5 punten) 4 0 \endarray \] 0 15 30 45 60 75 90 → tijd (minuten) Legenda: — vermogen ........ batterijpercentage batterijpercentage (%) 100 80 60 40 20 0 figuur 2 PRO 6 vermogen (W) 20 16 12 8 4 0 0 15 30 45 60 75 90 → tijd (minuten) Legenda: — vermogen ........ batterijpercentage batterijpercentage (%) 100 80 60 40 20 0 Op de uitwerkbijlage is figuur 1 vergroot afgebeeld, waarbij de doorgetrokken grafiek en de bijbehorende linkeras zijn weggelaten. Het batterijpercentage van de PRO 5 neemt in de eerste 30 minuten lineair toe. Als het batterijpercentage op dezelfde manier zou blijven toenemen, dan is de totale oplaadtijd (van 0 tot 100%) korter dan nu af te lezen is uit figuur 1. Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over het vermogen van een telefoon tijdens het opladen, weergegeven in een grafiek. Je moet hieruit gegevens aflezen en vervolgens een exponentiële afname berekenen en interpreteren. Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een grafiek met twee verticale assen correct afleest. Je moet het concept van exponentiële groei/afname en de groeifactor kennen. Ook moet je weten hoe je een groeifactor per eenheid omrekent naar een groeifactor per andere eenheid (bijvoorbeeld van 65 minuten naar 1 minuut). Wat moet je kunnen: Je kunt nauwkeurig waarden aflezen uit een grafiek. Je kunt de groeifactor berekenen over een bepaalde periode. Je kunt een groeifactor omrekenen naar een andere tijdseenheid met behulp van machten. Tot slot kun je een groeifactor interpreteren als een procentuele toe- of afname en dit correct formuleren. Waar op letten: Je leest de waarden voor het vermogen nauwkeurig af uit figuur 1 op de juiste tijdstippen. Let op de doorgetrokken lijn en de linkeras (vermogen in W). Je berekent eerst de groeifactor over de periode tussen de twee afgelezen punten. Dit doe je door de 'nieuwe' waarde te delen door de 'oude' waarde. Let op dat dit een exponentieel verband is. Je zet de berekende groeifactor om naar een groeifactor per minuut. Denk goed na over de macht die je hiervoor moet gebruiken. Je interpreteert de groeifactor per minuut correct als een procentuele afname. Een groeifactor van bijvoorbeeld 0,96 betekent een afname van 4%. Je rondt je uiteindelijke antwoord af in procenten en op het juiste aantal decimalen. Kernbegrippen: exponentiële groei, groeifactor per tijdseenheid, procentuele afname, grafiek aflezen Veelgemaakte fouten: - Incorrect aflezen van de waarden uit de grafiek. - Verwarren van de groeifactor met de procentuele afname (bijv. 0,96 als antwoord geven in plaats van 4%). - Lineair rekenen in plaats van exponentieel, bijvoorbeeld door het verschil te delen door het aantal minuten. - De groeifactor per 65 minuten (1/14) verwarren met de groeifactor per minuut. Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2024/tijdvak-1/vraag/4 ## Vraag 5 – Opgave 5 (2 punten) 5 en PRO 6). Op de horizontale as staat de tijd vanaf het moment dat de lege telefoon aan de oplader gelegd wordt. figuur 1 PRO 5 vermogen (W) 20 16 12 8 4 0 0 15 30 45 60 75 90 → tijd (minuten) Legenda: — vermogen ........ batterijpercentage batterijpercentage (%) 100 80 60 40 20 0 figuur 2 PRO 6 vermogen (W) 20 16 12 8 4 0 0 15 30 45 60 75 90 → tijd (minuten) Legenda: — vermogen ........ batterijpercentage batterijpercentage (%) 100 80 60 40 20 0 Op de uitwerkbijlage is figuur 1 vergroot afgebeeld, waarbij de doorgetrokken grafiek en de bijbehorende linkeras zijn weggelaten. Het batterijpercentage van de PRO 5 neemt in de eerste 30 minuten lineair toe. Als het batterijpercentage op dezelfde manier zou blijven toenemen, dan is de totale oplaadtijd (van 0 tot 100%) korter dan nu af te lezen is uit figuur 1. Wat kun je verwachten: Je moet twee grafieken met elkaar vergelijken en op basis daarvan een conclusie trekken. Het gaat hierbij om het vermogen van twee verschillende telefoons tijdens het opladen. Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je informatie uit een grafiek afleest en hoe je twee grafieken met elkaar vergelijkt. Je moet ook het verschil begrijpen tussen de doorgetrokken lijn (vermogen) en de gestippelde lijn (batterijpercentage) in de legenda. Wat moet je kunnen: Je kunt de doorgetrokken lijnen (vermogen) van figuur 1 (PRO 5) en figuur 2 (PRO 6) nauwkeurig aflezen. Je kunt deze twee vermogensgrafieken over de gehele tijdsperiode van 0 tot 90 minuten met elkaar vergelijken. Je kunt je observaties duidelijk verwoorden in een toelichting, schets of tabel. Waar op letten: Let goed op welke grafiek je moet vergelijken: het gaat om het 'vermogen' (doorgetrokken lijn), niet om het 'batterijpercentage' (gestippelde lijn). Vergelijk de grafieken over de *hele* periode die op de horizontale as staat (van 0 tot 90 minuten). Zorg ervoor dat je duidelijk aangeeft wat je ziet bij de PRO 5 en wat je ziet bij de PRO 6, en hoe deze zich tot elkaar verhouden. Je toelichting moet helder zijn en laten zien dat je de grafieken correct hebt geïnterpreteerd. Gebruik de eenheden die in de grafiek staan (W voor vermogen, minuten voor tijd) in je redenering, indien relevant. Kernbegrippen: grafiek aflezen, vergelijken van grafieken, redeneren met context Veelgemaakte fouten: - Vergelijken van de verkeerde grafieken (batterijpercentage i.p.v. vermogen) - Niet de hele periode van 90 minuten beschouwen - Onvoldoende duidelijke toelichting geven Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2024/tijdvak-1/vraag/5 ## Vraag 6 – Opgave 6 (3 punten) Leerkrachten verdienden in 2015 gemiddeld een bruto-uurloon van 26 euro. Daarmee verdienden zij 14 procent minder dan werknemers buiten het onderwijs met hetzelfde opleidingsniveau. 3p 6 Bereken het gemiddelde bruto-uurloon in 2015 van werknemers buiten het onderwijs met hetzelfde opleidingsniveau. Geef je antwoord in een geheel aantal euro's. Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over procentuele veranderingen, waarbij je moet terugrekenen naar het oorspronkelijke bedrag. Je moet goed begrijpen wat een percentage betekent in relatie tot een geheel. Wat moet je kennen: Je moet het concept van procentuele afname en toename kennen. Je moet weten hoe je een percentage omzet naar een groeifactor of een deel van het geheel. Je moet ook weten hoe je terugrekent naar 100% als je een deelpercentage weet. Wat moet je kunnen: Je kunt een percentage omrekenen naar een decimaal getal. Je kunt een bedrag dat een bepaald percentage van een ander bedrag is, gebruiken om het 'oorspronkelijke' bedrag te vinden. Je kunt correct afronden op hele getallen zoals gevraagd. Waar op letten: Lees goed of het gegeven bedrag het startbedrag is, of het resultaat ná een procentuele verandering. In dit geval is 26 euro het bedrag NA de afname. Let op het woord 'minder'. Dit betekent dat 26 euro NIET 114% is, maar een ander percentage van het bedrag dat je zoekt. Bedenk welk percentage de 26 euro dan wél vertegenwoordigt. Als iets 14% minder is, welk percentage van het origineel is het dan? Gebruik dit percentage om terug te rekenen naar 100%. Je deelt het bekende bedrag door het bijbehorende percentage (als decimaal). Rond je eindantwoord af op een geheel aantal euro's, zoals expliciet gevraagd in de vraagtekst. Kernbegrippen: rekenen met percentages, procentuele afname, terugrekenen naar 100% Veelgemaakte fouten: - Een procentuele afname van 14% (van A naar B) verwarren met een procentuele toename van 14% (van B naar A). Dit leidt tot de foute berekening 26 * 1,14. - Vergeten het eindantwoord af te ronden op een geheel getal zoals gevraagd. Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2024/tijdvak-1/vraag/6 ## Vraag 7 – Opgave 7 (2 punten) 2p 7 Bij deze vragen horen drie variabelen die elk kwalitatief en ordinaal zijn. Leg uit waarom de drie variabelen kwalitatief zijn. Leg ook uit waarom de drie variabelen ordinaal zijn. In het basisonderwijs werken veel parttimers. In de rest van deze opgave kijken we naar de arbeidsduur per week van leerkrachten. Zowel in 2003 als in 2017 is hier onderzoek naar gedaan. We nemen aan dat er in 2003 en in 2017 een aselecte steekproef is getrokken uit alle leerkrachten die toen werkzaam waren. In de steekproeven is van elke leerkracht zijn of haar arbeidsduur in uur per week bekend. De steekproefresultaten zijn verwerkt in de figuur op de volgende pagina. Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over de aard van variabelen, specifiek over kwalitatieve en ordinale variabelen. Je moet uitleggen waarom de genoemde variabelen aan deze kenmerken voldoen. Wat moet je kennen: Je moet de definities kennen van 'kwalitatieve variabele' en 'ordinale variabele'. Je moet ook het verschil weten tussen kwalitatief en kwantitatief, en tussen nominaal en ordinaal. Wat moet je kunnen: Je moet de definities van kwalitatieve en ordinale variabelen kunnen toepassen op een concrete situatie. Je moet duidelijk kunnen uitleggen waarom de variabelen kwalitatief zijn en waarom ze ordinaal zijn, gebaseerd op de aard van de mogelijke antwoorden of waarden. Waar op letten: Let goed op het verschil tussen 'kwalitatief' (beschrijvend, geen getallen) en 'kwantitatief' (meetbaar, getallen). Denk na over de mogelijke antwoorden of categorieën van de variabele. Zijn dit getallen of beschrijvingen? Voor 'ordinaal' moet je nagaan of er een logische of natuurlijke volgorde zit in de categorieën (bijvoorbeeld van 'weinig' naar 'veel', of van 'slecht' naar 'goed'). Verwar 'ordinaal' niet met 'nominaal'. Bij nominaal is er geen logische volgorde. Zorg dat je uitleg specifiek is en verwijst naar de kenmerken van de variabelen, niet alleen naar de definities. Kernbegrippen: kwalitatieve variabele, ordinale variabele, meetniveaus Veelgemaakte fouten: - Verwarring tussen kwalitatief en kwantitatief - Verwarring tussen ordinaal en nominaal - Niet uitleggen waarom de specifieke antwoordmogelijkheden ('nooit', 'soms', 'vaak', 'altijd') de variabele ordinaal maken. Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2024/tijdvak-1/vraag/7 ## Vraag 8 – Opgave 8 (3 punten) 3p 8 Uit de figuur kun je bijvoorbeeld afleiden dat in 2017 bij de mannen de steekproefproportie die voltijds werkt 0,6 is. Veronderstel dat het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de bijbehorende populatieproportie precies [0,58; 0,62] is. Bereken met deze gegevens het totaal aantal mannen in de steekproef van 2017. Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over betrouwbaarheidsintervallen en steekproeven. Je moet de formule voor de foutmarge van een betrouwbaarheidsinterval gebruiken om de steekproefgrootte te berekenen. Wat moet je kennen: Je moet de formule voor de foutmarge van een betrouwbaarheidsinterval kennen en weten hoe je deze toepast. Je moet ook begrijpen wat een steekproefproportie en een populatieproportie zijn. Wat moet je kunnen: Je kunt de foutmarge afleiden uit een gegeven betrouwbaarheidsinterval. Je kunt de formule voor de foutmarge opstellen met de juiste waarden. Je kunt een vergelijking oplossen waarin de steekproefgrootte (n) onbekend is, eventueel met behulp van je GR. Waar op letten: Let goed op het verschil tussen de breedte van het betrouwbaarheidsinterval en de foutmarge. De foutmarge is de helft van de breedte. De steekproefproportie (p) is het middelpunt van het betrouwbaarheidsinterval. Je gebruikt deze waarde in de formule voor de foutmarge. De formule voor de foutmarge bij een 95%-betrouwbaarheidsinterval is 2 * sqrt((p * (1-p)) / n). Zorg dat je deze correct toepast. Bij het oplossen van de vergelijking voor 'n' is het belangrijk dat je de stappen correct uitvoert, zowel algebraïsch als met je GR. Beschrijf je GR-methode als je die gebruikt. Vergeet niet de eenheid in je antwoord te vermelden, in dit geval 'mannen'. Kernbegrippen: betrouwbaarheidsinterval, steekproefproportie, foutmarge, steekproefgrootte berekenen Veelgemaakte fouten: - Foutmarge verwarren met de breedte van het interval - Vergeten de GR-methode te beschrijven - Algebraïsche fouten bij het oplossen voor n Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2024/tijdvak-1/vraag/8 ## Vraag 9 – Opgave 9 (4 punten) 4p 9 Op basis van de figuur zou je kunnen denken dat er in de steekproef van alle leerkrachten in 2017 een lager percentage voltijds werkt dan in de steekproef van alle leerkrachten in 2003. Geef een getallenvoorbeeld waaruit blijkt dat dit niet noodzakelijk waar hoeft te zijn. Licht je antwoord toe. We kijken in het laatste onderdeel van deze opgave naar het verschil in arbeidsduur voor mannen en vrouwen die als leerkracht werken. In een steekproef onder leerkrachten in 2021 was de gemiddelde arbeidsduur voor de mannen 31,2 uur per week met een standaardafwijking van 8,3. De vrouwen werkten gemiddeld 27,2 uur per week met een standaardafwijking van 7,6. Vaak wordt beweerd dat er een groot verschil bestaat in de arbeidsduur per week voor mannen en vrouwen die als leerkracht werken. Bovenstaande gegevens over gemiddelden en standaardafwijkingen in combinatie met de vuistregels op het formuleblad leiden echter tot een andere conclusie, namelijk dat het verschil middelmatig is. Wat kun je verwachten: Je moet een getallenvoorbeeld bedenken en toelichten. Dit voorbeeld moet aantonen dat een ogenschijnlijke daling in percentages (voor mannen én vrouwen afzonderlijk) niet per se leidt tot een daling van het totale percentage als de samenstelling van de groep verandert. Je gebruikt hiervoor de percentages die je afleest uit het staafdiagram. Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je percentages afleest uit een gestapeld staafdiagram. Je moet ook begrijpen hoe een 'gewogen gemiddelde' werkt, vooral wanneer je percentages van subgroepen combineert tot een totaalpercentage. Het is belangrijk dat je het verschil begrijpt tussen relatieve (percentages) en absolute (aantallen) gegevens. Wat moet je kunnen: Je kunt de percentages 'voltijd' aflezen voor mannen en vrouwen in zowel 2003 als 2017 uit het staafdiagram. Je kunt vervolgens zelf aantallen mannen en vrouwen kiezen voor beide jaren. Met deze aantallen kun je het totale aantal voltijdwerkers en het totale aantal leerkrachten berekenen, om zo het totale percentage voltijdwerkers voor elk jaar te bepalen. Je moet een voorbeeld kunnen construeren waarbij het totale percentage in 2017 hoger is dan in 2003, ondanks dat de individuele percentages voor mannen en vrouwen lager zijn. Je licht je voorbeeld duidelijk toe met berekeningen. Waar op letten: Je leest de percentages voor 'voltijd' correct af uit het staafdiagram voor mannen en vrouwen in 2003 en 2017. Let op de bovenkant van het 'voltijd' segment. Je kiest zelf aantallen mannen en vrouwen voor 2003 en 2017. Deze aantallen bepalen de 'weging' van de percentages. Je berekent het totale aantal voltijdwerkers en het totale aantal leerkrachten voor elk jaar afzonderlijk. Daarna bereken je het totale percentage voltijdwerkers voor 2003 en 2017. Je doel is om een voorbeeld te geven waarbij het totale percentage voltijdwerkers in 2017 HOGER is dan in 2003, ondanks de daling van de individuele percentages. Dit betekent dat je strategisch moet kiezen hoe de verhouding mannen/vrouwen verandert tussen 2003 en 2017. Je licht je getallenvoorbeeld en de bijbehorende berekeningen duidelijk toe. Zorg dat je uitlegt waarom jouw voorbeeld aantoont dat de bewering niet noodzakelijk waar is. Kernbegrippen: gewogen gemiddelde, samengestelde percentages, verschil tussen relatieve en absolute aantallen, statistisch redeneren, aflezen van een gestapeld staafdiagram Veelgemaakte fouten: - Aannemen dat de verhouding mannen/vrouwen in de steekproeven van 2003 en 2017 gelijk is. - Een ongewogen gemiddelde van de percentages nemen, wat impliciet aanneemt dat er evenveel mannen als vrouwen zijn. - Niet begrijpen dat de vraag om een tegenvoorbeeld vraagt, waarbij de conclusie niet waar is. - Verkeerd aflezen van de percentages uit het staafdiagram. Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2024/tijdvak-1/vraag/9 ## Vraag 10 – Opgave 10 (3 punten) We kijken in het laatste onderdeel van deze opgave naar het verschil in arbeidsduur voor mannen en vrouwen die als leerkracht werken. In een steekproef onder leerkrachten in 2021 was de gemiddelde arbeidsduur voor de mannen 31,2 uur per week met een standaardafwijking van 8,3. De vrouwen werkten gemiddeld 27,2 uur per week met een standaardafwijking van 7,6. Vaak wordt beweerd dat er een groot verschil bestaat in de arbeidsduur per week voor mannen en vrouwen die als leerkracht werken. Bovenstaande gegevens over gemiddelden en standaardafwijkingen in combinatie met de vuistregels op het formuleblad leiden echter tot een andere conclusie, namelijk dat het verschil middelmatig is. 3p 10 Laat met een berekening zien dat deze conclusie juist is. Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over het vergelijken van twee groepen (mannen en vrouwen) op basis van hun gemiddelde en standaardafwijking. Je moet de effectgrootte berekenen en interpreteren. Wat moet je kennen: Je moet de formule voor de effectgrootte (E) kennen en weten hoe je deze toepast. Ook moet je de vuistregels voor de interpretatie van de effectgrootte kennen (klein, middelmatig, groot verschil). Deze vuistregels staan op je formuleblad. Wat moet je kunnen: Je kunt de juiste waarden (gemiddelden en standaardafwijkingen) uit de vraag halen en correct invullen in de formule voor de effectgrootte. Je kunt de berekende waarde van E vergelijken met de vuistregels op het formuleblad en hieruit een conclusie trekken. Waar op letten: Zoek de formule voor de effectgrootte (E) op je formuleblad. Deze is essentieel voor deze vraag. Identificeer duidelijk de twee gemiddelden (mu1 en mu2) en de twee standaardafwijkingen (sigma1 en sigma2) voor mannen en vrouwen. Let goed op de volgorde van aftrekken in de teller van de formule. Het maakt niet uit welke groep je als eerste neemt, zolang je de absolute waarde van het verschil gebruikt. Rond je antwoord voor de effectgrootte af op één decimaal, zoals gebruikelijk is bij deze berekening. Vergeet niet de conclusie te trekken. Vergelijk je berekende E-waarde met de vuistregels op je formuleblad om te bepalen of het verschil 'klein', 'middelmatig' of 'groot' is. Kernbegrippen: effectgrootte, gemiddelde, standaardafwijking, interpreteren van statistische resultaten Veelgemaakte fouten: - De formule voor de effectgrootte niet kennen of kunnen vinden op het formuleblad. - Waarden onjuist invullen in de formule. - Vergeten de conclusie te trekken op basis van de berekende effectgrootte. Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2024/tijdvak-1/vraag/10 ## Vraag 11 – Opgave 11 (3 punten) 3p 11 Bereken welke waarden van de hartslag er voor Hans mogelijk zijn waarbij hij zich houdt aan het advies. Geef de waarden in een geheel aantal slagen per minuut. De formules voor de maximale hartslag voor ongetrainde en getrainde mannen verschillen. Je kunt je afvragen bij welke leeftijden ze meer dan 5 slagen per minuut verschillen. Wat kun je verwachten: Je moet een praktische situatie vertalen naar wiskundige stappen. Je berekent eerst een maximale hartslag met een formule en gebruikt daarna een tabel om een passend interval te vinden. Dit is een typische vraag waarbij je meerdere stappen combineert. Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je formules gebruikt door waarden in te vullen (substitueren). Je moet ook begrijpen hoe je percentages van een getal berekent en hoe je een interval correct afrondt. Wat moet je kunnen: Je kunt de juiste formule kiezen op basis van de context (getraind/ongetraind). Je kunt een leeftijd invullen in een formule en de maximale hartslag berekenen. Je kunt de juiste trainingszone aflezen uit een tabel en de bijbehorende percentages toepassen op de berekende maximale hartslag. Tot slot rond je de berekende waarden correct af naar gehele getallen om het uiteindelijke interval te bepalen. Waar op letten: Lees goed of Hans getraind of ongetraind is, want dit bepaalt welke formule je moet gebruiken voor de maximale hartslag (M). Vul de leeftijd van Hans correct in de gekozen formule in en bereken de maximale hartslag (M). Kijk in de tabel welk percentage-interval hoort bij het advies ('rustige duurtraining'). Bereken de ondergrens en de bovengrens van de hartslag door de percentages toe te passen op de berekende maximale hartslag (M). Rond de berekende waarden correct af naar gehele slagen per minuut, zoals gevraagd in de vraag. Let op dat 'tot en met' betekent dat de afgeronde grenzen inclusief zijn. Kernbegrippen: formules substitueren, procenten berekenen, tabel aflezen, afronden Veelgemaakte fouten: - De verkeerde formule gebruiken (voor ongetrainde mannen in plaats van getrainde). - Het verkeerde percentage-interval uit de tabel aflezen. - Foutief afronden naar gehele getallen. Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2024/tijdvak-1/vraag/11 ## Vraag 12 – Opgave 12 (5 punten) De formules voor de maximale hartslag voor ongetrainde en getrainde mannen verschillen. Je kunt je afvragen bij welke leeftijden ze meer dan 5 slagen per minuut verschillen. Onderzoek bij welke leeftijden dit het geval is. Wat kun je verwachten: Je krijgt twee formules die de maximale hartslag beschrijven voor ongetrainde en getrainde mannen, afhankelijk van hun leeftijd (L). Je moet onderzoeken bij welke leeftijden het verschil tussen deze twee formules meer dan 5 slagen per minuut is. Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je met formules werkt en hoe je een vergelijking of ongelijkheid kunt opstellen en oplossen. Ook moet je begrijpen wat 'verschil' betekent in een wiskundige context, inclusief de absolute waarde. Wat moet je kunnen: Je kunt de twee gegeven formules gebruiken om een nieuwe formule op te stellen die het verschil tussen de maximale hartslagen weergeeft. Je kunt deze verschilformule gelijkstellen aan 5 en -5 om de grenswaarden te vinden. Je kunt de grafische rekenmachine (GR) gebruiken om deze vergelijkingen op te lossen (bijvoorbeeld met de 'intersect' functie) of om een tabel te maken. Tot slot kun je de gevonden oplossingen correct interpreteren in de context van de vraag, namelijk als leeftijdsintervallen. Waar op letten: Je moet het 'verschil' tussen de twee formules bepalen. Dit betekent dat je de absolute waarde van het verschil moet nemen, of twee aparte vergelijkingen moet opstellen: één waarbij het verschil 5 is en één waarbij het verschil -5 is. Je stelt de vergelijking(en) op en lost deze op met je GR. Je kunt de functies invoeren in Y1 en Y2 en de snijpunten bepalen. Let goed op de afronding van de leeftijden. De vraag vraagt naar 'leeftijden', wat meestal hele jaren betekent. Je moet de decimale oplossingen correct omzetten naar hele leeftijdsjaren die voldoen aan de voorwaarde 'meer dan 5 slagen per minuut'. Je kunt ook een tabel maken op je GR om te zien bij welke hele leeftijden het verschil groter is dan 5. Zorg dan dat je voldoende waarden rond de verwachte grenzen berekent. Controleer je antwoord door een leeftijd binnen en buiten de gevonden intervallen in te vullen in de oorspronkelijke formules om te zien of het verschil inderdaad meer of minder dan 5 is. Kernbegrippen: vergelijking oplossen, werken met formules, lineaire functies, absolute waarde, ongelijkheid oplossen Veelgemaakte fouten: - Vergeten de absolute waarde van het verschil te nemen (dus maar één van de twee vergelijkingen oplossen) - Fouten bij het omzetten van de decimale oplossingen (L=29,2... en L=60,9...) naar de correcte gehele leeftijdsgrenzen (t/m 29 en vanaf 61). - Algebraïsche fouten bij het opstellen van de verschilformule. Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2024/tijdvak-1/vraag/12 ## Vraag 13 – Opgave 13 (3 punten) De Engelse fysioloog Hill stelde dat de hardloopprestatie wordt bepaald door de maximale zuurstofopname Z van het lichaam, uitgedrukt in het aantal milliliters per minuut per kilogram lichaamsgewicht (ml/min per kg). Een formule waarmee Z bij benadering kan worden bepaald is: Z = 15 · (M)/(R) (formule 3) Hierin is M de maximale hartslag en R de hartslag in rust, beide in aantal slagen per minuut. Een marathon is een hardloopwedstrijd over 42,195 km. De gemiddelde snelheid v waarmee een hardloper een marathon kan lopen, is afhankelijk van Z. Deze gemiddelde snelheid v (in km/uur) kan berekend worden met de volgende formule: v = (Z)/(3,74) (formule 4) Als twee mannen dezelfde hartslag in rust hebben, dan kun je met behulp van de formules 3 en 4 beredeneren dat de persoon met een hogere maximale hartslag een snellere tijd kan lopen op de marathon dan de persoon met een lagere maximale hartslag. Geef deze redenering zonder gebruik te maken van getallenvoorbeelden. Wat kun je verwachten: Je krijgt twee formules die een verband leggen tussen verschillende fysiologische metingen en de hardloopprestatie. Je moet een logische redenering opbouwen die laat zien hoe een verandering in één variabele (maximale hartslag) uiteindelijk de marathontijd beïnvloedt. Wat moet je kennen: Je moet de betekenis van de variabelen in de formules kennen en begrijpen hoe een verandering in een variabele de uitkomst van de formule beïnvloedt. Je moet ook de relatie tussen snelheid, afstand en tijd kennen. Wat moet je kunnen: Je moet de formules kunnen interpreteren en kwalitatief kunnen redeneren. Dit betekent dat je kunt uitleggen hoe een toename of afname van de ene variabele leidt tot een toename of afname van een andere variabele, zonder concrete getallen te gebruiken. Je moet ook een heldere en complete redeneringsketen kunnen opstellen. Waar op letten: Je mag GEEN getallenvoorbeelden gebruiken. De vraag is hier expliciet over. Je moet de redenering stap voor stap opbouwen, beginnend bij de maximale hartslag (M) en eindigend bij de marathontijd. Let goed op de relatie tussen de variabelen: als M groter wordt, wordt Z dan groter of kleiner? En als Z groter wordt, wordt v dan groter of kleiner? Vergeet niet de laatste stap: leg uit waarom een hogere snelheid leidt tot een snellere tijd op de marathon. Zorg ervoor dat je redenering logisch en volledig is, en dat je alle schakels in de keten benoemt. Kernbegrippen: formule-interpretatie, kwalitatief redeneren, directe evenredigheid Veelgemaakte fouten: - Een getallenvoorbeeld gebruiken, terwijl de vraag expliciet vraagt dit niet te doen. - De redeneringsketen niet compleet maken (bijvoorbeeld de link tussen snelheid en tijd vergeten). - Een hogere snelheid incorrect koppelen aan een langere tijd in plaats van een kortere (snellere) tijd. Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2024/tijdvak-1/vraag/13 ## Vraag 14 – Opgave 14 (4 punten) 4p 14 Bereken met behulp van de formules 3 en 4 de tijd die hij op de marathon gaat lopen. Geef je antwoord in gehele minuten. Met behulp van de formules 3 en 4 is de volgende formule af te leiden voor de gemiddelde snelheid die een hardloper kan lopen op een marathon: v = (15M)/(3,74R) \quad (formule 5) Vervolgens is er met behulp van de formules 2 en 5 een formule af te leiden die voor een getrainde man v uitdrukt in L en R. Deze formule is te schrijven in de vorm: v = (a-b · L)/(R) \quad (formule 6) Hierin zijn a en b getallen. Wat kun je verwachten: Je gaat formules toepassen om een uiteindelijke tijd te berekenen. Je moet verschillende stappen doorlopen en goed letten op de eenheden en het omrekenen van tijd. Wat moet je kennen: Je moet de relatie tussen afstand, snelheid en tijd kennen (afstand = snelheid * tijd). Ook moet je weten hoe je uren omrekent naar minuten. Wat moet je kunnen: Je moet formules correct kunnen invullen en de resultaten van de ene formule kunnen gebruiken in de volgende. Je moet nauwkeurig kunnen rekenen met je GR en correct afronden aan het einde van de berekening. Waar op letten: Je gebruikt eerst formule 3 om Z te berekenen. Zorg ervoor dat je de juiste waarden voor M en R invult. Het resultaat van Z gebruik je vervolgens in formule 4 om de snelheid v te berekenen. Let op de eenheid van v (km/uur). De marathonafstand is 42,195 km. Gebruik deze afstand samen met de berekende snelheid v om de tijd in uren te vinden. Je moet de berekende tijd in uren omrekenen naar minuten. Let hierbij goed op het decimale deel van de uren. Rond je eindantwoord pas op het allerlaatste moment af in gehele minuten, zoals gevraagd. Kernbegrippen: formules toepassen, eenheden omrekenen, snelheid, afstand en tijd Veelgemaakte fouten: - verkeerd afronden van tussenantwoorden - fout bij omrekenen van uren naar minuten (decimale uren) - formules verkeerd invullen of combineren Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2024/tijdvak-1/vraag/14 ## Vraag 15 – Opgave 15 (3 punten) 15 · (M)/(R) \quad (formule 3)\] Hierin is M de maximale hartslag en R de hartslag in rust, beide in aantal slagen per minuut. Een marathon is een hardloopwedstrijd over 42,195 km. De gemiddelde snelheid v waarmee een hardloper een marathon kan lopen, is afhankelijk van Z. Deze gemiddelde snelheid v (in km/uur) kan berekend worden met de volgende formule: v = (Z)/(3,74) \quad (formule 4) Als twee mannen dezelfde hartslag in rust hebben, dan kun je met behulp van de formules 3 en 4 beredeneren dat de persoon met een hogere maximale hartslag een snellere tijd kan lopen op de marathon dan de persoon met een lagere maximale hartslag. Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag waarbij je verschillende formules moet combineren en herleiden tot één nieuwe formule. Je moet de variabelen op de juiste plek invullen en vervolgens de formule vereenvoudigen. Wat moet je kennen: Je moet de basisregels van algebra kennen, zoals het substitueren van formules, het wegwerken van haakjes en het combineren van termen. Ook moet je weten hoe je getallen correct afrondt. Wat moet je kunnen: Je kunt formules in elkaar invullen (substitueren). Je kunt haakjes wegwerken en breuken vereenvoudigen. Je kunt de rekenmachine gebruiken voor de berekeningen en correct afronden. Waar op letten: Je let goed op welke formule je in welke andere formule moet substitueren. Begin met de formule die de variabele bevat die je wilt vervangen. Je voert de berekeningen nauwkeurig uit, vooral bij het vermenigvuldigen en delen van de coëfficiënten. Gebruik je GR om rekenfouten te voorkomen. Je werkt de haakjes correct weg. Vergeet niet alle termen binnen de haakjes te vermenigvuldigen met de factor ervoor. Je controleert of de uiteindelijke formule de gevraagde vorm heeft, in dit geval v = (a-bL)/(R). Je rondt de waarden van 'a' en 'b' pas aan het einde af op het gevraagde aantal decimalen. Kernbegrippen: formules combineren, algebraïsche vaardigheden, variabelen substitueren Veelgemaakte fouten: - rekenfouten bij het vermenigvuldigen of delen - verkeerd afronden van de coëfficiënten a en b - de structuur van de eindformule niet correct krijgen Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2024/tijdvak-1/vraag/15 ## Vraag 16 – Opgave 16 (4 punten) 4p 16 Onderzoek of de 95%-betrouwbaarheidsintervallen voor de populatieproportie mannen en vrouwen die het eens zijn met de stelling elkaar overlappen. Met behulp van het formuleblad kunnen we onderzoeken of het verschil tussen mannen en vrouwen wat betreft het wel of niet eens zijn met de stelling gering, middelmatig of groot is. Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over het vergelijken van twee groepen (mannen en vrouwen) op basis van een steekproef. Je moet de betrouwbaarheidsintervallen voor de populatieproporties berekenen en vervolgens beoordelen of deze intervallen elkaar overlappen. Wat moet je kennen: Je moet de formule voor het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor een populatieproportie kennen. Je moet ook weten hoe je een steekproefproportie berekent en hoe je de conclusie trekt over het overlappen van intervallen. Wat moet je kunnen: Je berekent eerst de steekproefproporties voor zowel mannen als vrouwen. Vervolgens pas je de formule voor het 95%-betrouwbaarheidsinterval toe om de onder- en bovengrenzen te vinden. Tot slot vergelijk je de intervallen om te bepalen of ze elkaar overlappen en formuleer je een duidelijke conclusie. Waar op letten: Je berekent eerst de steekproefproportie p voor elke groep: p = (aantal successen) / (totale steekproefgrootte). Rond deze proporties niet te vroeg af. Je gebruikt de formule voor het 95%-betrouwbaarheidsinterval: p +/- 2 * sqrt((p * (1-p)) / n). Let goed op de haakjes bij het invoeren in je GR. Om te controleren op overlap, hoef je niet altijd beide intervallen volledig te berekenen. Het is vaak voldoende om de ondergrens van het hogere interval te vergelijken met de bovengrens van het lagere interval. Je formuleert een duidelijke conclusie over het overlappen van de intervallen. Geef aan waarom ze wel of niet overlappen op basis van je berekeningen. Je let goed op de gegevens voor mannen en vrouwen, zodat je deze niet verwisselt in je berekeningen. Kernbegrippen: betrouwbaarheidsinterval, populatieproportie, steekproefproportie, vergelijken van intervallen Veelgemaakte fouten: - Verwisselen van data voor mannen en vrouwen - Onjuiste conclusie trekken uit de berekende grenzen - Reken- of invoerfouten bij de formule voor het betrouwbaarheidsinterval Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2024/tijdvak-1/vraag/16 ## Vraag 17 – Opgave 17 (4 punten) 4p 17 Voer dit onderzoek uit. Zonlicht bevat uv A-straling die diep in de huid kan doordringen en daar schade kan aanrichten. Door crème te gebruiken wordt een deel van die straling geblokkeerd. Voor het percentage P van de uv A-straling dat geblokkeerd wordt, geldt: P=100 · \left(1-(1)/(F)\right) waarbij F de factor van de crème is. In de figuur op de volgende pagina is de grafiek afgebeeld die bij de formule hoort. Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over het onderzoeken van een verband tussen twee kwalitatieve variabelen (geslacht en mening). Je moet een kruistabel opstellen en de phi-coëfficiënt berekenen om de sterkte van het verband te bepalen. Daarna interpreteer je de uitkomst. Wat moet je kennen: Je moet de formule voor de phi-coëfficiënt kennen en weten hoe je deze toepast. Ook moet je de vuistregels voor de interpretatie van de phi-coëfficiënt (gering, middelmatig, groot verschil) kennen. Wat moet je kunnen: Je moet: 1. De ontbrekende absolute aantallen correct berekenen. 2. Een 2x2 kruistabel correct opstellen met de absolute aantallen. 3. De phi-coëfficiënt berekenen met de juiste waarden uit de kruistabel. 4. De berekende phi-waarde interpreteren in de context van de vraag. Waar op letten: Let goed op dat je de juiste absolute aantallen gebruikt voor de berekening van de phi-coëfficiënt. Gebruik de celfrequenties (de aantallen in de vier 'binnenste' cellen van de kruistabel), niet de totalen van rijen of kolommen. Controleer of je alle benodigde aantallen correct hebt berekend voordat je de kruistabel invult. Soms moet je eerst een aftreksom maken om een aantal te vinden. Zorg ervoor dat je de formule voor de phi-coëfficiënt correct invoert in je rekenmachine, vooral de wortel in de noemer. Rond de phi-coëfficiënt af op het gevraagde aantal decimalen (meestal twee) voordat je deze interpreteert. Vergeet niet de interpretatie van de phi-waarde te geven. Gebruik de standaardgrenzen: phi tussen -0,2 en 0,2 is een gering verschil, tussen -0,4 en -0,2 of 0,2 en 0,4 is een middelmatig verschil, en kleiner dan -0,4 of groter dan 0,4 is een groot verschil. Kernbegrippen: phi-coëfficiënt, kruistabel, associatiemaat, kwalitatieve variabelen Veelgemaakte fouten: - Verkeerde getallen in de kruistabel gebruiken (bijv. de totalen 410 en 611 in plaats van de celfrequenties voor 'eens' en 'oneens'). - Foutieve berekening van de 'oneens' aantallen (mannen: 410 - 74 = 336; vrouwen: 611 - 79 = 532). - Verkeerde interpretatie van de berekende phi-waarde (de grenzen voor gering/middelmatig/groot niet correct toepassen). Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2024/tijdvak-1/vraag/17 ## Vraag 18 – Opgave 18 (3 punten) Zonlicht bevat uv A-straling die diep in de huid kan doordringen en daar schade kan aanrichten. Door crème te gebruiken wordt een deel van die straling geblokkeerd. Voor het percentage P van de uv A-straling dat geblokkeerd wordt, geldt: P = 100 ⋅ (1 - 1/F) waarbij F de factor van de crème is. In de figuur op de volgende pagina is de grafiek afgebeeld die bij de formule hoort. [figuur] De figuur toont een grafiek met op de horizontale as de factor F van 0 tot 50 en op de verticale as het percentage P(%) van 0 tot 100. De grafiek is een stijgende, afvlakkende kromme die asymptotisch P=100 nadert. In de figuur is te zien dat de bescherming tegen uv A-straling toeneemt als de waarde van F toeneemt. 18 Beredeneer aan de hand van de formule dat de bescherming tegen uv A-straling toeneemt als de waarde van F toeneemt, zonder gebruik te maken van getallenvoorbeelden. Wat kun je verwachten: Je krijgt een formule en een bijbehorende grafiek. Je moet beredeneren hoe een verandering in de ene variabele (F) de andere variabele (P) beïnvloedt, puur op basis van de formule, zonder getallen te gebruiken. Wat moet je kennen: Je moet de basisprincipes van rekenen kennen: wat gebeurt er als je deelt door een groter getal, en wat gebeurt er als je een kleiner getal aftrekt van een vast getal. Wat moet je kunnen: Je moet een logische redenering kunnen opbouwen, stap voor stap, om te laten zien hoe de verandering van F uiteindelijk P beïnvloedt. Je moet dit kunnen formuleren zonder specifieke getallen te gebruiken. Waar op letten: Je moet de redenering stap voor stap opbouwen, beginnend bij de verandering van F en eindigend bij de verandering van P. Je mag GEEN getallenvoorbeelden gebruiken. De vraag vraagt expliciet om een beredenering aan de hand van de formule. Let goed op de volgorde van de bewerkingen in de formule. Begin met de term waar F direct in voorkomt. Denk na over het effect van 'een kleiner getal aftrekken' van een vast getal. Wat gebeurt er dan met de uitkomst? Zorg dat je conclusie direct aansluit bij de vraag: neemt de bescherming toe of af? Kernbegrippen: verbanden, formules, kwalitatief redeneren Veelgemaakte fouten: - Getallenvoorbeelden gebruiken waar dat niet mag - Fout in de redeneerstap (bijv. effect van een kleiner getal aftrekken) - Onvolledige redenering Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2024/tijdvak-1/vraag/18 ## Vraag 19 – Opgave 19 (3 punten) 3p 19 Bereken vanaf welke factor een crème minimaal 98% van de uv A-straling tegenhoudt. In de richtlijnen van huidartsen worden vaak alleen de gewenste blokkeringspercentages (P) voor een crème genoemd. Het is dan handig om F te kunnen berekenen met een herleide vorm van de formule voor P. Wat kun je verwachten: Je krijgt een formule die een verband beschrijft tussen twee grootheden. Je moet een waarde invullen en de andere onbekende grootheid berekenen. Dit doe je door een vergelijking op te lossen, waarschijnlijk met je grafische rekenmachine. Wat moet je kennen: Je moet de gegeven formule kennen en begrijpen wat de variabelen P en F voorstellen. Je moet ook weten hoe je een vergelijking opstelt als een van de waarden gegeven is. Wat moet je kunnen: Je moet een vergelijking kunnen opstellen door de gegeven waarde (98% geblokkeerde straling) in de formule in te vullen. Vervolgens moet je deze vergelijking kunnen oplossen met je grafische rekenmachine (bijvoorbeeld met de 'intersect'-functie of 'solver'). Je moet ook je stappen duidelijk kunnen beschrijven. Waar op letten: Let goed op de eenheid van P: het is al een percentage (98%), dus je hoeft het niet meer te delen door 100 als je het invult in de formule P = 100 ⋅ (1 - 1/F). Stel de vergelijking correct op door de gegeven waarde voor P in te vullen. Gebruik je grafische rekenmachine om de vergelijking op te lossen. Je kunt bijvoorbeeld Y1 = 98 en Y2 = 100 * (1 - 1/X) invoeren en het snijpunt bepalen. Beschrijf duidelijk welke stappen je op je GR hebt uitgevoerd om tot je antwoord te komen (bijvoorbeeld 'Y1=...', 'Y2=...', 'intersect'). Rond je antwoord correct af zoals gevraagd in de vraag of zoals logisch is in de context (in dit geval een factor, dus vaak een heel getal of op 1 decimaal). Kernbegrippen: vergelijking oplossen, werken met formules, gebruik van grafische rekenmachine Veelgemaakte fouten: - Verkeerd opstellen van de vergelijking, bijvoorbeeld 0,98 gebruiken in plaats van 98. - Vergeten te beschrijven hoe de vergelijking met de GR is opgelost. - Reken- of algebrafouten bij handmatig oplossen. Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2024/tijdvak-1/vraag/19 ## Vraag 20 – Opgave 20 (3 punten) In de richtlijnen van huidartsen worden vaak alleen de gewenste blokkeringspercentages (P) voor een crème genoemd. Het is dan handig om F te kunnen berekenen met een herleide vorm van de formule voor P. Herleid de formule voor P tot een vorm waarin F wordt uitgedrukt in P. Wat kun je verwachten: Je krijgt een formule en de opdracht om deze te herleiden. Dit betekent dat je de formule zo moet ombouwen dat een andere variabele (in dit geval F) wordt uitgedrukt in de overige variabele(n) (hier P). Wat moet je kennen: Je moet de basisregels van algebra kennen, zoals het verplaatsen van termen over het is-gelijk-teken (balansmethode) en het omgaan met breuken. Je moet weten hoe je een variabele isoleert. Wat moet je kunnen: Je moet de gegeven formule P = 100 ⋅ (1 - 1/F) stap voor stap kunnen omvormen. Je begint met het weghalen van de 100, dan isoleer je de term met F, en tot slot isoleer je F zelf. Je moet nauwkeurig werken met breuken en mintekens. Waar op letten: Je begint met de formule P = 100 ⋅ (1 - 1/F). Je doel is om F = ... te krijgen. Je eerste stap is om de factor 100 weg te werken. Je deelt beide kanten van de vergelijking door 100. Daarna isoleer je de term met de breuk (1/F). Let goed op de mintekens als je termen verplaatst. Als je eenmaal 1/F = ... hebt, moet je de breuk omdraaien om F te krijgen. Vergeet niet dat je dan ook de hele andere kant van de vergelijking omdraait. Controleer je stappen zorgvuldig, vooral bij het verplaatsen van termen en het omgaan met breuken. Een kleine fout kan grote gevolgen hebben voor het eindresultaat. Kernbegrippen: Formules herleiden, Algebraïsche vaardigheden, Variabelen isoleren Veelgemaakte fouten: - Fouten maken bij het verplaatsen van termen over het is-gelijk-teken (balansmethode). - Verkeerd omgaan met breuken, bijvoorbeeld bij het omdraaien van 1/F naar F. Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2024/tijdvak-1/vraag/20 ## Vraag 21 – Opgave 21 (3 punten) Het is zo dat een crème met factor 30 twee keer zo lang tegen zonnebrand beschermt als een crème met factor 15. 3p 21 Onderzoek of het percentage van de uv A-straling dat geblokkeerd wordt door een crème met factor 30 dan ook twee keer zo groot is als dat van een crème met factor 15. Wat kun je verwachten: Je krijgt een formule die een verband beschrijft tussen twee grootheden. Je moet deze formule gebruiken om waarden te berekenen en vervolgens een bewering te controleren. Dit vraagt om nauwkeurig rekenwerk en een goede interpretatie van de resultaten. Wat moet je kennen: Je moet de formule P = 100 * (1 - 1/F) kennen en begrijpen hoe je deze gebruikt. Je moet ook weten hoe je percentages berekent en vergelijkt. Het concept 'twee keer zo groot' moet je correct kunnen toepassen. Wat moet je kunnen: Je kunt de gegeven formule invullen met de juiste waarden voor F. Je kunt de uitkomsten van deze berekeningen correct afronden. Je kunt de berekende percentages met elkaar vergelijken en op basis daarvan een conclusie trekken over de bewering in de vraag. Je kunt ook de grafiek gebruiken om een schatting te maken, maar voor een precieze controle heb je de formule nodig. Waar op letten: Je vult de juiste factor (F) in de formule in voor beide crèmes (factor 15 en factor 30). Je berekent de percentages P nauwkeurig. Rond pas af aan het einde van je berekening. Je controleert of het percentage van factor 30 PRECIES twee keer zo groot is als dat van factor 15. Dit doe je door de twee berekende percentages met elkaar te vergelijken, bijvoorbeeld door ze op elkaar te delen of door het percentage van factor 15 te verdubbelen en te kijken of dit overeenkomt met het percentage van factor 30. Je formuleert een duidelijke conclusie op basis van je berekeningen. Vergeet niet de eenheid (%) te vermelden bij je percentages. Je kunt ook redeneren dat een percentage nooit boven de 100% kan uitkomen. Als het percentage van factor 15 al hoog is, kan het dubbele daarvan onmogelijk zijn. Kernbegrippen: formules, procenten, rekenen met modellen Veelgemaakte fouten: - Verkeerd interpreteren van 'twee keer zo groot' - Reken- of intoetsfouten bij de breuken in de formule. Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2024/tijdvak-1/vraag/21 ## Vraag 22 – Opgave 22 (7 punten) 7p 22 Neem aan dat er op elk bedrijf altijd evenveel kalveren als pinken waren. Onderzoek hoeveel stuks jongvee er in de periode 2005-2016 gemiddeld per bedrijf bij zijn gekomen. Wat kun je verwachten: Je moet informatie uit de vraagtekst en de bijgevoegde tabel combineren. Je gaat rekenen met groeifactoren om aantallen in het verleden te bepalen en vervolgens een lineaire vergelijking opstellen en oplossen om de toename in het aantal dieren te vinden. Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je met groeifactoren rekent, zowel vooruit als achteruit in de tijd. Je moet ook de betekenis van GVE (Grootvee-eenheden) begrijpen en hoe je deze gebruikt in berekeningen. Daarnaast moet je een lineaire vergelijking kunnen opstellen en oplossen op basis van gegeven informatie. Wat moet je kunnen: Je kunt de groeifactor bepalen en deze gebruiken om het aantal volwassen melkkoeien in 2005 te berekenen. Je kunt het GVE-aandeel van het jongvee in zowel 2005 als 2016 berekenen. Je kunt een lineaire vergelijking opstellen die de relatie tussen het aantal kalveren/pinken en de GVE-toename beschrijft, en deze vergelijking oplossen. Tot slot kun je de aanname 'evenveel kalveren als pinken' correct toepassen om het uiteindelijke antwoord te vinden. Waar op letten: Let goed op de periode waarover de groei plaatsvindt (2005-2016). Hoeveel jaar is dat precies? Verwar GVE (Grootvee-eenheden) niet met het daadwerkelijke aantal dieren. De tabel geeft de GVE-waarde per dier. Je moet terugrekenen naar 2005. Gebruik je de groeifactor dan als vermenigvuldiging of als deling? De vraag stelt dat er 'evenveel kalveren als pinken' zijn. Dit is cruciaal voor het opstellen van je vergelijking en het bepalen van het eindantwoord. Vergeet niet dat de berekende toename van 'x' (aantal kalveren of pinken) verdubbeld moet worden voor het totale aantal stuks jongvee, omdat er evenveel kalveren als pinken zijn. Kernbegrippen: exponentiële groei, terugrekenen met groeifactor, lineaire vergelijking opstellen, lineaire vergelijking oplossen, werken met eenheden, informatie combineren uit tekst en tabel Veelgemaakte fouten: - Verkeerde periode voor de exponentiële groei gebruiken (bijv. 12 jaar i.p.v. 11 jaar). - Verwarring tussen GVE (grootvee-eenheden) en het aantal dieren. - Vergeten de aanname 'evenveel kalveren als pinken' correct toe te passen. - Het eindantwoord niet verdubbelen (de berekende toename van 'x' geldt voor zowel kalveren als pinken, dus de totale toename is 2x). Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2024/tijdvak-1/vraag/22 ## Opgaven (tekst van het examen) ### Pagina 1 Examen HAVO 2024 tijdvak 1 dinsdag 14 mei 13.30 - 16.30 uur iskunde A Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage. Dit examen bestaat uit 22 vragen. Voor dit examen zijn maximaal 76 punten te behalen. Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald kunnen worden. Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt. Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld. HA-1024-a-24-1-o ### Pagina 2 ```json { "page_type": "theorie", "exam_info": { "subject": "n.v.t.", "year": "n.v.t.", "tijdvak": "n.v.t." }, "figures": [], "keywords": "formuleblad, vuistregels, verschil groepen, 2x2-kruistabel, phi, cumulatief percentage, effectgrootte, boxplots, kwartiel" } ``` ### Pagina 3 Betrouwbaarheidsintervallen Het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de populatieproportie is $p \pm 2\cdot\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$, met $p$ de steekproefproportie en $n$ de steekproefomvang. Het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het populatiegemiddelde is $\bar{X}\pm 2\cdot\frac{S}{\sqrt{n}}$, met $\bar{X}$ het steekproefgemiddelde, $n$ de steekproefomvang en $S$ de steekproefstandaardafwijking. HA-1024-a-24-1-o 3/12 lees verder ▶▶▶ Voor alle eindexamens, zie www.alleeindexamens.nl. Voor de perfecte voorbereiding op je eindexamen, zie ook www.ssl leiden.nl. ### Pagina 4 ‘Ff me telefoon opladen’ foto Op de foto zie je een telefoon waarvan het batterijpercentage 73% is. Daarmee wordt bedoeld dat de batterij van de telefoon voor 73% is opgeladen. Wanneer het batterijpercentage van een telefoon lager is dan 100%, kan de telefoon worden opgeladen met behulp van een oplader. Zo’n oplader levert een bepaald vermogen in watt (W). Welk vermogen op een bepaald moment door de oplader wordt geleverd, hangt af van het type telefoon en het batterijpercentage dat de telefoon op dat moment heeft. In de figuren 1 en 2 zie je de grafieken die horen bij twee types telefoons (PRO 5 en PRO 6). Op de horizontale as staat de tijd vanaf het moment dat de lege telefoon aan de oplader gelegd wordt. figuur 1 PRO 5 figuur 2 PRO 6 ver- 20 mogen (W) 16 12 8 4 0 0 15 30 45 60 75 90 -> tijd (minuten) Legenda: vermogen ....... batterijpercentage ver- 20 batt- rijper- centa- ge (%) 16 12 8 4 0 0 15 30 45 60 75 90 -> tijd (minuten) Legenda: vermogen ....... batterijpercentage Op de uitwerkbijlage is figuur 1 vergroot afgebeeld, waarbij de doorggetrokken grafiek en de bijbehorende linkeras zijn weggelaten. Het batterijpercentage van de PRO 5 neemt in de eerste 30 minuten lineair toe. Als het batterijpercentage op dezelfde manier zou blijven toenemen, dan is de totale oplaadtijd (van 0 tot 100%) korter dan nu af te lezen is uit figuur 1. 3p 1 Bepaal door te tekenen in de figuur op de uitwerkbijlage hoeveel minuten de totale oplaadtijd in dat geval zou zijn. Geef je antwoord in hele minuten. HA-1024-a-24-1-o 4 / 12 lees verder ### Pagina 5 ```json { "page_type": "opgaven", "exam_info": { "subject": "Niet zichtbaar", "year": "Niet zichtbaar", "tijdvak": "Niet zichtbaar" }, "figures": [], "keywords": "telefoon, oplader, batterijpercentage, grafiek, formule, vermogen, procent, tijd, minuten, exponentieel" } ``` ### Pagina 6 Leerkrachten basisonderwijs In 2017 werd er gestaakt door leerkrachten in het basisonderwijs. Er was sprake van aanhoudende onvrede over onder meer het salaris en de werkkdruk. In deze opgave wordt met ‘leerkrachten’ telkens ‘leerkrachten in het basisonderwijs’ bedoeld. Leerkrachten verdienden in 2015 gemiddeld een bruto-uurloon van 26 euro. Daarmee verdienden zij 14 procent minder dan werknemers buiten het onderwijs met hetzelfde opleidingsniveau. 3p 6 Bereken het gemiddelde bruto-uurloon in 2015 van werknemers buiten het onderwijs met hetzelfde opleidingsniveau. Geef je antwoord in een geheel aantal euro's. In een enquête in 2017 kregen leerkrachten onder meer de volgende drie vragen voorgelegd: 1 Moet u erg snel werken? 2 Moet u heel veel werk doen? 3 Moet u extra hard werken? Zij konden steeds antwoorden met: ‘nooit’, ‘soms’, ‘vaak’ of ‘altijd’. 2p 7 Bij deze vragen horen drie variabelen die elk kwalitatief en ordinaal zijn. Leg uit waarom de drie variabelen kwalitatief zijn. Leg ook uit waarom de drie variabelen ordinaal zijn. In het basisonderwijs werken veel parttimers. In de rest van deze opgave kijken we naar de arbeidsduur per week van leerkrachten. Zowel in 2003 als in 2017 is hier onderzoek naar gedaan. We nemen aan dat er in 2003 en in 2017 een selecte steekproef is getrokken uit alle leerkrachten die toen werkzaam waren. In de steekproeven is van elke leerkracht zijn of haar arbeidsduur in uur per week bekend. De steekproefresultaten zijn verwerkt in de figuur op de volgende pagina. HA-1024-a-24-1-o 6/12 lees verder ► ► ### Pagina 7 figuur Arbeidsduur per week vrouwen 2017 mannen 2003 2017 2003 0% 20% 40% 60% 80% 100% Legenda: voltijd 12 tot 20 uur per week 20 tot 36 uur per week minder dan 12 uur per week 8 3p Uit de figuur kun je bijvoorbeeld afleiden dat in 2017 bij de mannen de steekproefproportie die voltijds werkt 0,6 is. Veronderstel dat het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de bijbehorende populatieproportie precies [0,58; 0,62] is. Bereken met deze gegevens het totaal aantal mannen in de steekproef van 2017. 4p 9 Op basis van de figuur zou je kunnen denken dat er in de steekproef van alle leerkrachten in 2017 een lager percentage voltijds werkt dan in de steekproef van alle leerkrachten in 2003. Geef een getallenvoorbeeld waaruit blijkt dat dit niet noodzakelijk waar hoeft te zijn. Licht je antwoord toe. We kijken in het laatste onderdeel van deze opgave naar het verschil in arbeidsduur voor mannen en vrouwen die als leerkracht werken. In een steekproef onder leerkrachten in 2021 was de gemiddelde arbeidsduur voor de mannen 31,2 uur per week met een standaardafwijking van 8,3. De vrouwen werkten gemiddeld 27,2 uur per week met een standaardafwijking van 7,6. Vaak wordt beweerd dat er een groot verschil bestaat in de arbeidsduur per week voor mannen en vrouwen die als leerkracht werken. Bovenstaande gegevens over gemiddelden en standaardafwijkingen in combinatie met de vuistregels op het formuleblad leiden echter tot een andere conclusie, namelijk dat het verschil middelmatig is. 10 3p Laat met een berekening zien dat deze conclusie juist is. HA-1024-a-24-1-o 7/12 lees verder ### Pagina 8 ```json { "page_type": "opgaven", "exam_info": { "subject": "Hart-lopen", "year": null, "tijdvak": null }, "figures": [ "Een sporthorloge dat de hartslag weergeeft.", "Tabel met trainingssoorten en bijbehorende hartslagpercentages." ], "keywords": "hartslag, maximale hartslag, ongetraind, getraind, leeftijd, formule, training, sporthorloge, duurtraining, inspanningstraining" } ``` ### Pagina 9 ```json { "page_type": "opgaven", "exam_info": { "subject": "natuurkunde", "year": null, "tijdvak": null }, "transcription": "De Engelse fysioloog Hill stelde dat de hardloop­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ ### Pagina 10 Heel Holland Bakt Zonnebrandcrème, in deze opgave kortweg crème, beschermt de huid tegen verbranding door de zon. De mate van bescherming die een crème biedt, wordt aangegeven met de zogenoemde beschermingsfactor, in deze opgave kortweg factor. Hoe hoger de factor van de crème, hoe beter de bescherming tegen de zon. In een onderzoek werd de volgende stelling voorgelegd aan een aselecte steekproef uit de populatie ouders van jonge kinderen: Als je je insmeert met een crème met factor 50, dan kun je niet meer verbranden. De steekproef bevatte 410 mannen en 611 vrouwen. De onderzoeker was benieuwd in hoeverre er verschil zou zijn tussen de reacties van mannen en vrouwen. In de steekproef waren 74 mannen en 79 vrouwen het eens met de stelling. 4p 16 Onderzoek of de 95%-betrouwbaarheidsintervallen voor de populatieproportie mannen en vrouwen die het eens zijn met de stelling elkaar overlappen. Met behulp van het formuleblad kunnen we onderzoeken of het verschil tussen mannen en vrouwen wat betreft het wel of niet eens zijn met de stelling gering, middelmatig of groot is. 4p 17 Voer dit onderzoek uit. Zonlicht bevat uv A-straling die diep in de huid kan doordringen en daar schade kan aanrichten. Door crème te gebruiken wordt een deel van die straling geblokkeerd. Voor het percentage $P$ van de uv A-straling dat geblokkeerd wordt, geldt: $P=100\cdot\left(1-\frac{1}{F}\right)$, waarbij $F$ de factor van de crème is. In de figuur op de volgende pagina is de grafiek afgebeeld die bij de formule hoort. HA-1024-a-24-1-o 10/12 lees verder ### Pagina 11 figuur P (%) 100 80 60 40 20 0 0 10 20 30 40 50 F In de figuur is te zien dat de bescherming tegen uv A-straling toeneemt als de waarde van F toeneemt. 3p 18 Berene de aan de hand van de formule dat de bescherming tegen uv A-straling toeneemt als de waarde van F toeneemt, zonder gebruik te maken van getallenvoorbeelden. 3p 19 Bereken vanaf welke factor een crème minimaal 98% van de uv A-straling tegenhoudt. In de richtlijnen van huidartsen worden vaak alleen de gewenste blokkeringspercentages (P) voor een crème genoemd. Het is dan handig om F te kunnen berekenen met een herleide vorm van de formule voor P. 3p 20 Herleid de formule voor P tot een vorm waarin F wordt uitgedrukt in P. Het is zo dat een crème met factor 30 twee keer zo lang tegen zonnebrand beschermt als een crème met factor 15. 3p 21 Onderzoek of het percentage van de uv A-straling dat geblokkeerd wordt door een crème met factor 30 dan ook twee keer zo groot is als dat van een crème met factor 15. Let op: de laatste vraag van dit examen staat op de volgende pagina. HA-1024-a-24-1-o 11 / 12 lees verder ### Pagina 12 Over koetjes en kalfjes Op melkveebedrijven wordt onderscheid gemaakt tussen jongvee en volwassen melkkoeien. Binnen het jongvee wordt nog onderscheid gemaakt tussen kalveren en pinken. [FIGUUR: Drie tekeningen van vee: links een kalf, in het midden een pink en rechts een volwassen melkkoe.] kal f pink volwassen melkkoe De grootte van een melkveebedrijf wordt uitgedrukt in het aantal grootvee-eenheden (GVE). In de tabel staat voor hoeveel GVE een dier van een bedrijf meetelt. tabel jongvee volwassen melkkoe kal f pink leeftijd (jaar) 0 tot 1 1 tot 2 2 of ouder aantal GVE 0,25 0,5 1 In de periode 2005-2016 zijn melkveebedrijven gemiddeld genomen steeds groter geworden. Vanaf 2005 is het gemiddeld aantal volwassen melkkoeien per melkveebedrijf in Nederland jaarlijks met 3,75% gestegen tot 99 in 2016. Tegelijkertijd steeg het gemiddeld aantal GVE per bedrijf van 84 in 2005 tot 126 in 2016. 7p 22 Neem aan dat er op elk bedrijf altijd evenveel kalveren als pinken waren. Onderzoek hoeveel stuks jongvee er in de periode 2005-2016 gemiddeld per bedrijf bij zijn gekomen. Bronvermelding Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen behorende correctievoorschrift. HA-1024-a-24-1-o 12/12 einde