# Eindexamen Wiskunde A HAVO 2023 tijdvak 2

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2023/tijdvak-2

## Vraag 1 – Opgave 1 (4 punten)

1 komt uit het rapport Volksgezondheid Toekomst Verkenning 2018 van het RIVM^1. In deze figuur zijn voor Nederland het percentage van de mannen dat rookt en het percentage van de vrouwen dat rookt op 1 juli voor de jaren 1990 tot en met 2018 weergegeven. figuur 1 Percentage rokers 18 jaar of ouder percentage ↑ 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 1990 1995 2000 2005 2010 2015 2020 → jaar Legenda: •-----• mannen ---•--- vrouwen Deze hele opgave gaat alleen over mannen en vrouwen van 18 jaar of ouder. Op 1 juli 2015 telde Nederland 6 618 000 mannen en 6 853 000 vrouwen van 18 jaar of ouder.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over het aflezen van percentages uit een lijngrafiek en het berekenen van aantallen op basis van deze percentages. Vervolgens bereken je een deel van het geheel en druk je dit uit in een percentage.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je percentages afleest uit een grafiek en hoe je deze percentages omzet naar absolute aantallen. Ook moet je begrijpen hoe je een deel van een totaal als percentage uitdrukt.

Wat moet je kunnen: Je kunt nauwkeurig percentages aflezen uit een lijngrafiek. Je kunt met deze percentages en gegeven populatieaantallen de absolute aantallen rokers berekenen voor zowel mannen als vrouwen. Je kunt het totale aantal rokers bepalen en vervolgens het percentage mannelijke rokers ten opzichte van dit totale aantal rokers berekenen. Tot slot rond je het antwoord correct af op hele procenten.

Waar op letten: Lees de percentages voor mannen en vrouwen in het jaar 2015 heel nauwkeurig af uit de grafiek. Gebruik de legenda om de juiste lijn te volgen.
Zet de afgelezen percentages om naar decimalen (bijvoorbeeld 30% wordt 0,30) voordat je gaat vermenigvuldigen met de populatieaantallen.
Bereken eerst het absolute aantal mannelijke rokers en het absolute aantal vrouwelijke rokers. Tel deze daarna bij elkaar op voor het totale aantal rokers.
Let goed op de vraag: je moet het percentage rokers berekenen dat man is, dus het aantal mannelijke rokers gedeeld door het *totale aantal rokers*, niet de totale bevolking.
Rond je uiteindelijke antwoord af op hele procenten, zoals gevraagd in de opgave.

Kernbegrippen: procenten, grafiek aflezen, rekenen met grote getallen, gewogen gemiddelde

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd aflezen van de percentages uit de grafiek.
- Het percentage mannelijke rokers berekenen ten opzichte van de totale bevolking in plaats van ten opzichte van het totale aantal rokers.
- Vergeten het antwoord af te ronden op hele procenten zoals gevraagd.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2023/tijdvak-2/vraag/1

## Vraag 2 – Opgave 2 (3 punten)

3p 2 Het RIVM beweert dat volgens formule 1 het percentage van de mannen dat rookt voor de start van het jaar 2040 gehalveerd is ten opzichte van 1 juli 2018. Onderzoek of deze bewering juist is. Figuur 2 is ontstaan door in figuur 1 de trendlijn te tekenen voor het percentage van de vrouwen dat rookt. figuur 2 Percentage rokers 18 jaar of ouder percentage ↑ 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 1990 1995 2000 2005 2010 2015 2020 →jaar Legenda: •••••••••• mannen ---- vrouwen ----- trendlijn vrouwen De percentages van de vrouwen die roken op 1 juli in 1995 en 2004 liggen precies op de trendlijn. Met deze gegevens kan een formule voor de trendlijn worden opgesteld: P_v = -0,33t + 30,67 (formule 2) Hierin is P_v het percentage van de vrouwen dat rookt en t het aantal jaren vanaf 1 juli 1990.

Wat kun je verwachten: Je onderzoekt een bewering over het halveren van een percentage rokers. Je gebruikt hiervoor een gegeven lineaire formule en moet bepalen of een bepaalde waarde voor een specifieke datum wordt bereikt.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een lineaire formule interpreteert en hoe je deze gebruikt om een vergelijking op te lossen. Je moet ook begrijpen wat 'halveren' betekent in de context van percentages en hoe je de tijdsvariabele correct interpreteert.

Wat moet je kunnen: Je kunt de startwaarde van het percentage uit de formule halen en deze halveren. Je kunt vervolgens deze gehalveerde waarde invullen in de formule en de bijbehorende tijd (t) berekenen. Daarna interpreteer je of dit tijdstip vóór de gestelde deadline ligt. Je kunt ook de tijd van de deadline invullen en kijken of het percentage dan al gehalveerd is.

Waar op letten: Let goed op de definitie van 't' in formule 1: 't is het aantal jaren vanaf 1 juli 2018'. Dit is cruciaal voor je berekening en interpretatie.
Bereken eerst de exacte waarde van het gehalveerde percentage. Gebruik hiervoor de startwaarde van P_m uit formule 1, niet een afgelezen waarde uit een grafiek.
Los de vergelijking op om de waarde van 't' te vinden wanneer het percentage gehalveerd is. Je kunt dit algebraïsch doen of met je GR.
Interpreteer de berekende 't' waarde in jaren en maanden. De vraag stelt 'voor de start van het jaar 2040'. Bepaal welke 't' waarde hierbij hoort.
Vergelijk je berekende tijdstip met de deadline om te bepalen of de bewering juist is. Zorg dat je conclusie duidelijk is.

Kernbegrippen: Lineair model, Vergelijking oplossen, Interpreteren van variabelen in een model

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerde startwaarde voor halvering gebruiken (bijvoorbeeld de waarde aflezen uit de grafiek in plaats van de startwaarde uit de formule te gebruiken).
- Incorrecte interpretatie van de tijdsvariabele 't' en de deadline 'voor de start van het jaar 2040' (t < 21,5).
- Reken- of afrondingsfouten bij het halveren van het percentage.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2023/tijdvak-2/vraag/2

## Vraag 3 – Opgave 3 (3 punten)

3p 2 Het RIVM beweert dat volgens formule 1 het percentage van de mannen dat rookt voor de start van het jaar 2040 gehalveerd is ten opzichte van 1 juli 2018. Onderzoek of deze bewering juist is. Figuur 2 is ontstaan door in figuur 1 de trendlijn te tekenen voor het percentage van de vrouwen dat rookt. figuur 2 Percentage rokers 18 jaar of ouder percentage ↑ 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0 1990 1995 2000 2005 2010 2015 2020 →jaar Legenda: •••••••••• mannen ---- vrouwen ----- trendlijn vrouwen De percentages van de vrouwen die roken op 1 juli in 1995 en 2004 liggen precies op de trendlijn. Met deze gegevens kan een formule voor de trendlijn worden opgesteld: P_v = -0,33t + 30,67 (formule 2) Hierin is P_v het percentage van de vrouwen dat rookt en t het aantal jaren vanaf 1 juli 1990.

Wat kun je verwachten: Je moet een lineaire formule opstellen op basis van gegevens uit een grafiek. Dit betekent dat je de richtingscoëfficiënt en de startwaarde van de lijn moet bepalen.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe een lineaire formule eruitziet (y = ax + b of P = at + b) en wat de 'a' (richtingscoëfficiënt) en 'b' (startwaarde) betekenen in de context van de vraag. Je moet ook weten hoe je deze waarden berekent.

Wat moet je kunnen: Je moet nauwkeurig waarden kunnen aflezen uit een grafiek. Je moet de richtingscoëfficiënt kunnen berekenen met twee punten (y2-y1)/(x2-x1). Vervolgens moet je de startwaarde (het percentage op t=0, oftewel 1 juli 1990) kunnen berekenen door terug te rekenen met een van de afgelezen punten en de berekende richtingscoëfficiënt. Let op de juiste afronding.

Waar op letten: Lees de percentages voor de vrouwen in 1995 en 2004 heel nauwkeurig af uit de grafiek. De vraag geeft aan dat deze percentages gehele getallen zijn en precies op de trendlijn liggen.
De variabele 't' is het aantal jaren vanaf 1 juli 1990. Zorg ervoor dat je de juiste 't'-waarden gebruikt voor 1995 en 2004 bij het berekenen van de richtingscoëfficiënt.
Bereken de richtingscoëfficiënt 'a' met de formule (P2 - P1) / (t2 - t1).
Bereken de startwaarde 'b' (het percentage op t=0) door een van de afgelezen punten en de berekende richtingscoëfficiënt in de formule P_v = at + b in te vullen en op te lossen voor 'b'.
Rond de richtingscoëfficiënt en de startwaarde af op drie decimalen, zoals vaak gevraagd bij het opstellen van formules.

Kernbegrippen: lineair model opstellen, richtingscoëfficiënt berekenen, startwaarde berekenen, grafiek aflezen

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerde waarden aflezen uit de grafiek.
- Verkeerde jaren gebruiken voor de berekening van de richtingscoëfficiënt (bijv. t=1995 en t=2004 i.p.v. de tijdsduur 2004-1995=9).
- Fout bij het terugrekenen naar de startwaarde (t=0).
- Afrondingsfouten of niet voldoen aan de eis van drie decimalen.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2023/tijdvak-2/vraag/3

## Vraag 4 – Opgave 4 (5 punten)

4p 1 Bereken met behulp van figuur 1 hoeveel procent van de rokers op 1 juli 2015 man was. Geef je antwoord in hele procenten. Voor de periode vanaf 2018 heeft het RIVM een formule opgesteld om de ontwikkeling van het percentage van de mannen dat rookt te voorspellen. Men gaat uit van een lineaire afname volgens de volgende formule: P_m = -0,61t + 25,93 \quad (formule 1) Hierin is P_m het percentage van de mannen dat rookt en t het aantal jaren vanaf 1 juli 2018. noot 1 RIVM = Rijksinstituut voor Volksgezondheid en Milieu

Wat kun je verwachten: Je krijgt twee lineaire formules die de percentages rokende mannen en vrouwen beschrijven. De formules hebben elk een eigen startpunt voor de tijdsvariabele 't'. Je moet uitzoeken wanneer deze percentages aan elkaar gelijk zijn en dit omzetten naar een jaartal.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je lineaire formules interpreteert en hoe je een vergelijking oplost. Ook is het belangrijk dat je begrijpt hoe een tijdsvariabele 't' werkt als deze aan een specifiek startjaar gekoppeld is.

Wat moet je kunnen: Je moet de twee gegeven formules kunnen gebruiken. Je moet één van de formules kunnen aanpassen zodat beide formules hetzelfde startjaar voor 't' hebben. Daarna stel je de twee formules aan elkaar gelijk en los je de vergelijking op met je GR. Tot slot zet je de gevonden waarde van 't' om naar het juiste jaartal.

Waar op letten: Let goed op de startjaren van de tijdsvariabele 't' voor beide formules. Voor P_m is t het aantal jaren vanaf 1 juli 2018, maar voor P_v is t het aantal jaren vanaf 1 juli 1990.
Je moet één van de formules aanpassen zodat ze beide hetzelfde referentiepunt voor 't' hebben. Bedenk hoeveel jaar verschil er zit tussen 1990 en 2018.
Als je de formules aan elkaar gelijkstelt, zorg dan dat je de vergelijking correct oplost. Dit kan met de 'intersect' functie op je GR of door de vergelijking algebraïsch op te lossen.
De uitkomst van 't' is het aantal jaren na het gekozen referentiejaar. Vergeet niet dit bij het juiste startjaar op te tellen om het uiteindelijke jaartal te vinden.
Rond je antwoord af zoals gevraagd, in dit geval in hele jaren.

Kernbegrippen: Lineaire modellen, Vergelijking oplossen, Snijpunt van twee lijnen, Tijdsvariabele met referentiepunt

Veelgemaakte fouten:
- Verschillende startjaren voor de tijdsvariabele 't' over het hoofd zien
- Fout bij het omrekenen van een van de formules
- Vergeten de berekende 't' om te zetten naar een jaartal
- De berekende 't' bij het verkeerde startjaar optellen

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2023/tijdvak-2/vraag/4

## Vraag 5 – Opgave 5 (2 punten)

5 0 1990 1995 2000 2005 2010 2015 2020 →jaar Legenda: •••••••••• mannen ---- vrouwen ----- trendlijn vrouwen De percentages van de vrouwen die roken op 1 juli in 1995 en 2004 liggen precies op de trendlijn. Met deze gegevens kan een formule voor de trendlijn worden opgesteld: P_v = -0,33t + 30,67 (formule 2) Hierin is P_v het percentage van de vrouwen dat rookt en t het aantal jaren vanaf 1 juli 1990.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over het interpreteren van een trendlijn en de bijbehorende formule. Je moet begrijpen hoe de variabelen in de formule zich verhouden tot de context van de vraag en wat de beperkingen of implicaties zijn van het gebruik van zo'n model.

Wat moet je kennen: Je moet de betekenis van een lineaire formule (y = ax + b) kennen in een context. Je moet weten wat de 'a' (richtingscoëfficiënt) en de 'b' (startwaarde) betekenen. Ook moet je begrijpen wat 'representativiteit' van data inhoudt en waarom dit belangrijk is bij het trekken van conclusies.

Wat moet je kunnen: Je moet de formule P_v = -0,33t + 30,67 kunnen interpreteren. Je moet kunnen uitleggen wat de 't' en 'P_v' voorstellen. Je moet ook kritisch kunnen nadenken over hoe data verzameld wordt en welke invloed dit heeft op de betrouwbaarheid van een model of conclusie. Je moet een concreet voorbeeld kunnen geven van een situatie waarin de dataverzameling tot een vertekend beeld leidt.

Waar op letten: Let goed op de definitie van 't': het aantal jaren vanaf 1 juli 1990. Dit is cruciaal voor het correct plaatsen van jaren op de tijdas.
Begrijp wat 'P_v' betekent: het percentage van de vrouwen dat rookt. Dit is de afhankelijke variabele.
De vraag gaat over de representativiteit van gegevens. Denk na over factoren die de meting kunnen beïnvloeden, zoals het tijdstip van meten (bijvoorbeeld alleen in de zomer of alleen in het weekend).
Geef een concreet voorbeeld. Een algemeen antwoord is niet voldoende. Koppel je voorbeeld aan een specifiek product of gedrag dat seizoens- of weekgebonden is.
Specificeer of het vertekende beeld een overschatting of een onderschatting is in jouw voorbeeld. Dit toont aan dat je de impact van de dataverzameling begrijpt.

Kernbegrippen: representativiteit, steekproef, vertekend beeld, sampling bias

Veelgemaakte fouten:
- Geven van een te algemeen antwoord zonder concreet voorbeeld
- Niet specificeren wat het vertekende beeld is (overschatting/onderschatting)
- Voorbeeld geven dat niet gerelateerd is aan seizoens- of weekinvloeden

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2023/tijdvak-2/vraag/5

## Vraag 6 – Opgave 6 (4 punten)

Bereken met behulp van figuur 1 welk percentage van de totale voedselconsumptie per persoon per dag bestond uit dranken (zonder zuivel). Geef je antwoord in hele procenten.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag waarbij je informatie uit een staafdiagram moet aflezen en vervolgens een percentage moet berekenen. Je moet goed kijken welke specifieke categorieën je nodig hebt voor het 'deel' en wat het 'geheel' is.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een staafdiagram correct afleest, vooral als het gestapelde staven betreft. Je moet ook de basisformule voor het berekenen van een percentage kennen: (deel / geheel) * 100%.

Wat moet je kunnen: Je kunt de juiste waarden voor 'dranken (zonder zuivel)' aflezen uit het staafdiagram, zowel 'binnen Schijf van Vijf' als 'buiten Schijf van Vijf'. Je kunt ook de totale voedselconsumptie aflezen. Daarna bereken je het percentage en rond je dit correct af op hele procenten.

Waar op letten: Lees de vraag heel nauwkeurig: welke specifieke categorieën vallen onder 'dranken (zonder zuivel)'? Je moet zowel de 'binnen Schijf van Vijf' als de 'buiten Schijf van Vijf' waarden voor dranken meenemen.
Identificeer het 'geheel': de vraag vraagt naar het percentage van de *totale* voedselconsumptie. Zorg dat je de juiste totale waarde afleest, dus de som van 'totaal binnen Schijf van Vijf' en 'totaal buiten Schijf van Vijf'.
Wees precies met aflezen: gebruik de schaalverdeling op de verticale as zorgvuldig. Er is een marge van 25 gram per dag toegestaan, maar probeer zo nauwkeurig mogelijk te zijn.
Gebruik de formule voor percentage correct: (deel / geheel) * 100%.
Rond je antwoord af zoals gevraagd: 'in hele procenten'. Dit betekent dat je naar het dichtstbijzijnde hele getal afrondt.

Kernbegrippen: Staafdiagram aflezen, Percentage berekenen

Veelgemaakte fouten:
- Afleesfout in het staafdiagram
- Verkeerd deel of geheel gebruiken voor de percentageberekening
- Afrondingsfout (niet op hele procenten afronden)

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2023/tijdvak-2/vraag/6

## Vraag 7 – Opgave 7 (4 punten)

Figuur 1 kwam tot stand op basis van een steekproef van 2237 personen.
Ga uit van de volgende aannames:
– de steekproef is aselect en representatief
– de populatie bestaat uit in Nederland wonende personen met een leeftijd tussen de 1 en 79 jaar
– de gemiddelde voedselconsumptie per persoon is normaal verdeeld
– het bijbehorende 95%-betrouwbaarheidsinterval van het populatiegemiddelde van de gemiddelde voedselconsumptie per persoon is 25 gram breed
We kunnen dan de standaardafwijking berekenen die bij de steekproef hoort.
Bereken deze standaardafwijking. Geef je antwoord in gehele grammen.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over het berekenen van de standaardafwijking van een steekproef, gegeven de breedte van een 95%-betrouwbaarheidsinterval en de steekproefgrootte. Je moet de juiste formule voor het betrouwbaarheidsinterval kennen en deze algebraïsch oplossen.

Wat moet je kennen: Je moet de formule voor de breedte van een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het populatiegemiddelde kennen. Je moet ook weten wat de verschillende onderdelen van deze formule betekenen (standaardafwijking, steekproefgrootte).

Wat moet je kunnen: Je kunt de formule voor de breedte van het 95%-betrouwbaarheidsinterval opstellen met de gegeven waarden. Je kunt vervolgens deze vergelijking algebraïsch oplossen om de standaardafwijking (S) te vinden. Je rondt je antwoord correct af op gehele grammen.

Waar op letten: Let goed op het verschil tussen de breedte van het betrouwbaarheidsinterval en de foutmarge. De breedte is het hele interval, de foutmarge is de helft daarvan.
Gebruik de correcte formule voor de breedte van het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het populatiegemiddelde. Deze is vaak 4 * S / sqrt(n) of 2 * z * S / sqrt(n) waarbij z voor 95% betrouwbaarheid ongeveer 2 is.
Voer de steekproefgrootte (n) correct in de formule in.
Los de vergelijking nauwkeurig op om S te isoleren. Gebruik je GR voor de berekeningen.
Rond je eindantwoord af zoals gevraagd: in gehele grammen. Vergeet de eenheid 'grammen' niet in je antwoord.

Kernbegrippen: 95%-betrouwbaarheidsinterval, steekproefstandaardafwijking, breedte van betrouwbaarheidsinterval, normale verdeling

Veelgemaakte fouten:
- Breedte van het interval (25 gram) verwarren met de foutmarge (12,5 gram), wat leidt tot een halvering van het eindantwoord.
- De verkeerde formule voor de breedte van het 95%-interval gebruiken, bijvoorbeeld 2 * S/√n in plaats van 4 * S/√n.
- Algebraïsche fout bij het isoleren van S in de vergelijking.
- Vergeten het antwoord af te ronden op gehele grammen zoals gevraagd.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2023/tijdvak-2/vraag/7

## Vraag 8 – Opgave 8 (2 punten)

De behoefte aan voedingsstoffen verschilt per persoon en is normaal verdeeld. Een **voedingsnorm** is de aanbevolen hoeveelheid voedingsstof die genoeg is voor bijna alle mensen. Zie figuur 2.

Omdat figuur 2 gebaseerd is op de aanname dat de individuele behoefte normaal verdeeld is, kan er concreter worden aangegeven wat er bedoeld wordt met 'bijna alle mensen'.

2p 8 Geef het percentage dat hier bedoeld wordt met 'bijna alle mensen'.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over de normale verdeling en de interpretatie van een 'voedingsnorm'. Je moet de vuistregels van de normale verdeling toepassen om een percentage te bepalen.

Wat moet je kennen: Je moet de vuistregels van de normale verdeling kennen, met name het percentage dat binnen 2 standaardafwijkingen van het gemiddelde ligt. Je moet ook weten dat een normale verdeling symmetrisch is.

Wat moet je kunnen: Je moet de vuistregels van de normale verdeling kunnen toepassen op een specifieke situatie. Je moet kunnen redeneren over de symmetrie van de normale verdeling om het juiste percentage te vinden. Je moet het percentage kunnen berekenen dat onder een bepaalde waarde ligt, gegeven de afstand in standaardafwijkingen vanaf het gemiddelde.

Waar op letten: Let goed op de term 'voedingsnorm' in figuur 2. Je ziet dat deze precies op 'gemiddelde + 2 x standaardafwijking' ligt.
Herinner je de vuistregel voor de normale verdeling: welk percentage ligt tussen mu - 2 sigma en mu + 2 sigma?
Denk aan de symmetrie van de normale verdeling. Als je weet welk percentage tussen mu - 2 sigma en mu + 2 sigma ligt, welk percentage blijft er dan over in de 'staarten'?
Verdeel het overgebleven percentage eerlijk over de linker- en rechterstaart, vanwege de symmetrie.
Je zoekt het percentage dat 'onder' de voedingsnorm ligt. Dit betekent dat je het percentage van de linkerstaart, het gebied tussen mu - 2 sigma en mu, en het gebied tussen mu en mu + 2 sigma bij elkaar moet optellen, of een snellere methode moet gebruiken.

Kernbegrippen: Normale verdeling, Vuistregels normale verdeling (68-95-99,7%), Symmetrie van de normale verdeling

Veelgemaakte fouten:
- Het percentage tussen het gemiddelde min en plus twee keer de standaardafwijking (95%) verwarren met het percentage onder het gemiddelde plus twee keer de standaardafwijking.
- Alleen het percentage in de rechterstaart berekenen (2,5%) en dat als antwoord geven.
- De 50% links van het gemiddelde vergeten op te tellen bij de 47,5% tussen het gemiddelde en de voedingsnorm.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2023/tijdvak-2/vraag/8

## Vraag 9 – Opgave 9 (2 punten)

Met formule 1 kun je een schatting maken van het aantal stemmen op het liedje dat op positie 1 in de ranglijst staat.
2p 9 Laat zien dat dit geschatte aantal overeenkomt met het werkelijke aantal stemmen op dit liedje.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een formule en je moet laten zien dat deze formule een specifieke uitkomst geeft onder bepaalde voorwaarden. Dit betekent dat je een waarde in de formule moet invullen en de berekening stap voor stap moet uitvoeren om de gevraagde uitkomst te krijgen.

Wat moet je kennen: Je moet de basisregels van algebra kennen, vooral hoe je met breuken en haakjes omgaat. Je moet ook weten wat het betekent om een variabele te substitueren (vervangen door een getal).

Wat moet je kunnen: Je kunt een gegeven waarde correct invullen in een formule. Je kunt de volgorde van bewerkingen (haakjes, machten, vermenigvuldigen/delen, optellen/aftrekken) toepassen. Je kunt een breuk vereenvoudigen en laten zien dat de formule tot de gewenste uitkomst leidt.

Waar op letten: Je moet de juiste waarde voor de variabele N invullen. De vraag zegt 'positie 1', dus welke waarde hoort daarbij voor N?
Let goed op de haakjes in de formule. De term (N-1) is cruciaal voor de uitkomst.
Denk eraan dat 'iets gedeeld door 1' gewoon 'iets' is. Dit is belangrijk voor de vereenvoudiging aan het einde.
Schrijf je stappen duidelijk op. Het gaat erom dat je 'laat zien' hoe je tot de conclusie komt, niet alleen om het antwoord.
Controleer je berekening zorgvuldig, vooral als er een breuk in de noemer staat.

Kernbegrippen: variabelen substitueren, algebraïsche vaardigheden, formules met breuken

Veelgemaakte fouten:
- rekenfout bij substitutie
- verkeerd omgaan met de breuk in de noemer

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2023/tijdvak-2/vraag/9

## Vraag 10 – Opgave 10 (3 punten)

Het liedje met de meeste stemmen komt op positie 1, het liedje dat daarna de meeste stemmen heeft, komt op positie 2, enzovoort. Logischerwijs zou dus het geschatte aantal stemmen S op een liedje lager moeten worden naarmate N groter wordt.
10 Laat met een redenering zien dat formule 1 deze eigenschap heeft.

Wat kun je verwachten: Je moet een redenering opbouwen om te laten zien hoe de formule zich gedraagt als één van de variabelen verandert. Je analyseert de structuur van de formule en hoe de verschillende onderdelen elkaar beïnvloeden.

Wat moet je kennen: Je moet de basisprincipes van breuken en variabelen kennen. Je moet begrijpen hoe een toename of afname van een variabele in een formule de uiteindelijke uitkomst beïnvloedt, vooral bij breuken.

Wat moet je kunnen: Je kunt de formule stap voor stap ontleden. Je kunt logische verbanden leggen tussen de verandering van N en het effect daarvan op de teller en noemer van de breuk. Je kunt je redenering helder en volledig opschrijven.

Waar op letten: Je begint je redenering bij de variabele die verandert (N) en werkt van binnen naar buiten in de formule.
Je benoemt expliciet hoe elke stap in de formule verandert (groter/kleiner) en waarom.
Je let goed op de structuur van de breuk: wat gebeurt er met de noemer als N groter wordt? En wat betekent dat voor de totale waarde van de breuk S?
Je zorgt ervoor dat je redenering volledig is en geen stappen overslaat. Elke conclusie moet logisch volgen uit de vorige stap.
Je gebruikt de informatie over E en L (positief en constant) in je redenering.

Kernbegrippen: redeneren met formules, kwalitatieve analyse van een formule, verbanden tussen variabelen

Veelgemaakte fouten:
- Onvolledige redenering
- Verwarring over het effect van een grotere noemer op de waarde van een breuk

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2023/tijdvak-2/vraag/10

## Vraag 11 – Opgave 11 (4 punten)

Voor de Top 2000 van 2006 geldt:
- het liedje op positie 1 had 10000 stemmen;
- het liedje op positie 2000 had 150 stemmen.

Hiermee kan formule 1 herleid worden tot:

S = (300 000) / (N + 29) (formule 2)

4p 11 Geef deze herleiding.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een formule met variabelen en je moet deze formule herleiden tot een andere, vereenvoudigde vorm. Dit doe je door gegeven waarden in te vullen en vervolgens algebraïsche stappen te doorlopen om de formule te vereenvoudigen.

Wat moet je kennen: Je moet de basisregels van algebra goed kennen, met name hoe je breuken optelt, vermenigvuldigt en vereenvoudigt. Ook moet je weten hoe je haakjes wegwerkt en termen combineert.

Wat moet je kunnen: Je kunt de gegeven waarden correct substitueren in de formule. Je kunt vervolgens een complexe breuk stap voor stap vereenvoudigen door de noemer gelijknamig te maken en/of teller en noemer met dezelfde factor te vermenigvuldigen. Je kunt haakjes correct wegwerken en gelijksoortige termen samenvoegen.

Waar op letten: Let goed op de rekenvolgorde bij het invullen van de waarden en het vereenvoudigen van de breuk.
Wees zorgvuldig met het wegwerken van de dubbele breuk; vermenigvuldig teller en noemer met de juiste factor om de breuk in de noemer op te heffen.
Controleer je algebraïsche stappen nauwkeurig om slordigheidsfouten te voorkomen, vooral bij het optellen of aftrekken van termen.
Zorg ervoor dat je alle stappen van de herleiding duidelijk opschrijft, zodat je je redenering kunt volgen en controleren.

Kernbegrippen: formules herleiden, algebraïsche vaardigheden, substitueren, breuken vereenvoudigen

Veelgemaakte fouten:
- Reken- of slordigheidsfouten bij het vereenvoudigen van de breuk.
- Fouten bij het wegwerken van de dubbele breuk (breuk in de noemer).
- Verkeerd toepassen van de rekenvolgorde.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2023/tijdvak-2/vraag/11

## Vraag 12 – Opgave 12 (3 punten)

3p 12 Bereken hoeveel procent van de stemmen in totaal op de top 3 van deze Top 2000 is uitgebracht volgens formule 2. Geef je antwoord in hele procenten. Omdat het aantal stemmen per liedje normaal gesproken niet openbaar gemaakt wordt, vraagt men zich af wat men bij de Top 2000 doet als een liedje precies evenveel stemmen krijgt als een ander liedje. Als we met formule 2 het geschatte aantal stemmen per liedje berekenen en dat vervolgens afronden op een geheel getal, dan kan het zijn dat er na afronding liedjes zijn die evenveel stemmen hebben gekregen.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een formule waarmee je het aantal stemmen voor een bepaalde positie kunt berekenen. Je moet deze formule toepassen voor meerdere posities en vervolgens het totaal aantal stemmen voor de top 3 berekenen. Daarna zet je dit om naar een percentage van het totale aantal stemmen.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een formule invult en hoe je een percentage berekent. Je moet ook weten dat 'top 3' de posities 1, 2 en 3 omvat.

Wat moet je kunnen: Je kunt de gegeven formule correct invullen voor de posities 2 en 3. Je kunt de resultaten optellen, inclusief de stemmen voor positie 1. Je kunt het berekende totaal omzetten naar een percentage van het totale aantal stemmen en dit correct afronden op hele procenten.

Waar op letten: Je telt de stemmen voor positie 1 (10.000) mee in je berekening voor de top 3.
Je vult de formule voor het aantal stemmen correct in voor de posities 2 en 3.
Je gebruikt het juiste totale aantal stemmen (1.500.000) voor de procentuele berekening.
Je rondt het uiteindelijke percentage correct af op hele procenten, zoals gevraagd.
Je controleert of je alle stappen hebt doorlopen: formule invullen, optellen, percentage berekenen en afronden.

Kernbegrippen: formules toepassen, procenten berekenen

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten de stemmen voor positie 1 mee te tellen
- Reken- of afrondingsfouten
- Fout in het totaal aantal stemmen (1,5 miljoen = 1.500.000)
- Onjuist afronden van het eindantwoord (niet op hele procenten).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2023/tijdvak-2/vraag/12

## Vraag 13 – Opgave 13 (3 punten)

Voor de Top 2000 van 2006 geldt:
- het liedje op positie 1 had 10000 stemmen;
- het liedje op positie 2000 had 150 stemmen.
Hiermee kan formule 1 herleid worden tot:
S=(300 000)/(N+29) (formule 2)

Omdat het aantal stemmen per liedje normaal gesproken niet openbaar gemaakt wordt, vraagt men zich af wat men bij de Top 2000 doet als een liedje precies evenveel stemmen krijgt als een ander liedje.
Als we met formule 2 het geschatte aantal stemmen per liedje berekenen en dat vervolgens afronden op een geheel getal, dan kan het zijn dat er na afronding liedjes zijn die evenveel stemmen hebben gekregen.

13 Bereken hoeveel liedjes er in de Top 2000 van 2006 zijn die volgens formule 2 na afronding 200 stemmen zouden hebben gekregen.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een formule die het aantal stemmen (S) relateert aan de positie (N) van een liedje in de Top 2000. Je moet bepalen hoeveel liedjes, na afronding van het aantal stemmen, op een specifiek aantal stemmen uitkomen.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe afrondingsregels werken, met name welke grenzen horen bij 'afgerond op een geheel getal'. Je moet ook weten hoe je een formule kunt gebruiken om waarden te berekenen en hoe je de tabelfunctie van je GR effectief inzet.

Wat moet je kunnen: Je kunt de gegeven formule S = (300 000)/(N+29) gebruiken. Je kunt de grenzen bepalen waarbinnen een getal afgerond 200 wordt. Je kunt je grafische rekenmachine (GR) gebruiken om waarden te vinden die aan deze voorwaarden voldoen, bijvoorbeeld met de tabelfunctie of door ongelijkheden op te lossen. Tot slot tel je nauwkeurig het aantal liedjes dat binnen dit bereik valt.

Waar op letten: Let goed op de afrondingsregels: welke waarden van S worden afgerond op 200? Denk aan de ondergrens en de bovengrens (bijvoorbeeld 199,5 en 200,5).
Gebruik je GR om de N-waarden te vinden. De tabelfunctie (Y=, TABLE) is hier erg handig voor. Je kunt ook de grafiek tekenen en snijpunten bepalen.
Vergeet niet dat N een geheel getal is (de positie van een liedje).
Als je de N-waarden hebt gevonden die aan de voorwaarde voldoen, tel dan nauwkeurig hoeveel gehele N-waarden er in dat interval liggen. Bijvoorbeeld, van 10 tot en met 15 zijn er 15 - 10 + 1 = 6 getallen.
Het is een veelvoorkomende valkuil om alleen de vergelijking S=200 op te lossen. Dit geeft maar één N-waarde, terwijl de vraag gaat over 'na afronding'.

Kernbegrippen: werken met formules, grafische rekenmachine, afrondingsregels, ongelijkheid oplossen

Veelgemaakte fouten:
- Alleen de vergelijking S=200 oplossen en 1 liedje als antwoord geven.
- De grenzen voor afronding verkeerd bepalen (bijvoorbeeld 199 en 201 gebruiken in plaats van 199,5 en 200,5).
- Telfout bij het bepalen van het aantal N-waarden in het interval (bijvoorbeeld 1474 - 1468 = 6).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2023/tijdvak-2/vraag/13

## Vraag 14 – Opgave 14 (4 punten)

Van 1960 tot 1985 steeg het totaal aantal geregistreerde misdrijven van 13 naar 81 per duizend inwoners. Neem aan dat deze stijging exponentieel verliep.
4p 14 Bereken met deze gegevens het jaarlijkse groeipercentage. Geef je antwoord in één decimaal.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over exponentiële groei van een bepaald fenomeen over een langere periode. Je moet de jaarlijkse groei berekenen op basis van de begin- en eindwaarde over die periode.

Wat moet je kennen: Je moet het verschil kennen tussen lineaire en exponentiële groei. Je moet weten hoe je een groeifactor berekent over een bepaalde periode en hoe je deze omrekent naar een groeifactor per jaar. Ook moet je weten hoe je een groeifactor omzet naar een groeipercentage.

Wat moet je kunnen: Je kunt de groeifactor over een periode berekenen met de formule: groeifactor = (nieuwe waarde) / (oude waarde). Je kunt een groeifactor over 'n' jaar omrekenen naar een jaarlijkse groeifactor door de n-de machtswortel te nemen. Je kunt een groeifactor (bijvoorbeeld 1,076) omzetten naar een groeipercentage (7,6%). Je gebruikt je GR om machtswortels te berekenen.

Waar op letten: Je herkent dat het hier om exponentiële groei gaat, niet om lineaire groei. Dit staat expliciet in de vraag.
Je berekent eerst de totale groeifactor over de hele periode (1960-1985).
Je bepaalt hoeveel jaar de periode duurt (1985 - 1960).
Je rekent de totale groeifactor om naar een jaarlijkse groeifactor door de juiste machtswortel te trekken. Let op de notatie van de machtswortel op je GR (bijvoorbeeld x^(1/n)).
Je zet de jaarlijkse groeifactor om naar een groeipercentage en rondt dit percentage af op één decimaal, zoals gevraagd.

Kernbegrippen: exponentiële groei, groeifactor per tijdseenheid, groeipercentage

Veelgemaakte fouten:
- Verwarring tussen lineaire en exponentiële groei
- Vergeten de groeifactor per periode om te rekenen naar de gevraagde tijdseenheid (per jaar)
- Foutieve omzetting van groeifactor naar groeipercentage
- Afrondingsfouten

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2023/tijdvak-2/vraag/14

## Vraag 15 – Opgave 15 (3 punten)

In 1985 was bijna 80% van het totaal aantal geregistreerde misdrijven een vermogensmisdrijf.
Beredeneer met behulp van de figuur, zonder een berekening te maken, of dit percentage in 2002 hoger of lager was dan in 1985.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag waarbij je informatie uit een lijngrafiek moet aflezen en interpreteren. Je moet een vergelijking maken tussen twee jaren en beredeneren of een percentage hoger of lager is, zonder een exacte berekening te maken.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een lijngrafiek correct afleest, inclusief de assen en de legenda. Je moet ook begrijpen wat een percentage betekent in de context van een 'deel van het geheel'.

Wat moet je kunnen: Je moet de juiste lijnen in de grafiek kunnen identificeren voor 'totaal aantal geregistreerde misdrijven' en 'vermogensmisdrijven'. Je moet de waarden voor deze lijnen in de jaren 1985 en 2002 kunnen aflezen. Vervolgens moet je deze afgelezen waarden gebruiken om een logische redenering op te bouwen over de verandering van het percentage.

Waar op letten: Je moet de juiste lijnen in de grafiek volgen: 'totaal' en 'vermogen'.
Je leest de waarden af voor de jaren 1985 en 2002. Let op de precieze positie op de x-as.
Je vergelijkt de afgelezen waarden voor 'totaal' in 1985 en 2002. Is het hoger of lager?
Je vergelijkt de afgelezen waarden voor 'vermogen' in 1985 en 2002. Is het hoger of lager, of ongeveer gelijk?
Je gebruikt deze vergelijkingen om te beredeneren wat er met het percentage 'vermogensmisdrijven van het totaal' gebeurt. Denk aan de formule: percentage = (deel / geheel) * 100%.

Kernbegrippen: grafiek aflezen, procentuele verandering, redeneren met verhoudingen

Veelgemaakte fouten:
- Alleen kijken naar de absolute waarde van vermogensmisdrijven en niet naar de verhouding tot het totaal.
- Onnauwkeurig aflezen van de grafiek.
- Verwarren van de verschillende lijnen in de grafiek.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2023/tijdvak-2/vraag/15

## Vraag 16 – Opgave 16 (3 punten)

3p 16 Onderzoek of het steekproefpercentage uit 2004 in het 95%-betrouwbaarheidsinterval ligt van het populatiepercentage in 1998. In 2004 is het steekproefpercentage woningen waarbij is ingebroken lager dan in 1998.

Wat kun je verwachten: Je onderzoekt of een steekproefpercentage uit 2004 binnen een betrouwbaarheidsinterval van een populatiepercentage uit 1998 valt. Dit is een typische vraag waarbij je de formule voor het betrouwbaarheidsinterval van een proportie moet toepassen en de resultaten moet interpreteren.

Wat moet je kennen: Je moet de formule voor het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor een populatieproportie kennen. Je moet ook weten hoe je een percentage omzet naar een proportie en vice versa. Daarnaast moet je de gegevens uit de tabel correct kunnen toewijzen aan de juiste variabelen (n en p) voor het juiste jaar.

Wat moet je kunnen: Je kunt de formule voor het betrouwbaarheidsinterval correct invullen met de gegevens van 1998. Je kunt de ondergrens (en eventueel de bovengrens) van dit interval berekenen met je GR. Vervolgens vergelijk je het steekproefpercentage van 2004 met dit interval en trek je een conclusie over de ligging ervan.

Waar op letten: Let goed op dat je de juiste gegevens bij het juiste jaar gebruikt. Het interval is van 1998, het percentage dat je toetst is van 2004.
Gebruik in de formule voor het betrouwbaarheidsinterval altijd de proportie (bijvoorbeeld 0,0215) en niet het percentage (2,15%). Dit is een veelvoorkomende valkuil!
Voor een 95%-betrouwbaarheidsinterval gebruik je een z-waarde van 2. Dit staat vaak op de formulekaart.
Je hoeft niet per se de bovengrens te berekenen als je alleen hoeft te controleren of een waarde 'lager dan' de ondergrens is. Lees de vraag goed om te zien welke grens relevant is.
Formuleer je conclusie duidelijk: ligt het percentage wel of niet in het interval, en waarom (groter/kleiner dan de grenzen)?

Kernbegrippen: 95%-betrouwbaarheidsinterval, populatieproportie, steekproefproportie

Veelgemaakte fouten:
- Percentage (2,15) gebruiken in plaats van proportie (0,0215) in de formule.
- De gegevens van 1998 en 2004 door elkaar halen.
- Alleen de ondergrens berekenen is voldoende, maar het berekenen van de bovengrens is niet fout, wel overbodig.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2023/tijdvak-2/vraag/16

## Vraag 17 – Opgave 17 (4 punten)

Sinds het begin van deze eeuw daalt het totaal aantal geregistreerde misdrijven, met name door een daling van het aantal geregistreerde vermogensmisdrijven. Een voorbeeld van een vermogensmisdrijf is een woninginbraak. Iemand vermoedt dat er in het begin van deze eeuw bij een kleiner percentage van de woningen werd ingebroken dan aan het eind van de vorige eeuw. Om hier zicht op te krijgen is in 2004 in een aselecte steekproef uit de woningen gekeken bij welk percentage er in dat jaar was ingebroken. De resultaten kunnen worden vergeleken met die van een aselecte steekproef uit de woningen in 1998. Zie de tabel.

De tabel laat zien dat het steekproefpercentage woningen waarbij is ingebroken in 2004 lager is dan in 1998. We gaan deze gegevens op twee manieren met elkaar vergelijken.

In 2004 is het steekproefpercentage woningen waarbij is ingebroken lager dan in 1998.

17 Onderzoek met behulp van het formuleblad of het verschil in steekproefpercentage woningen waarbij is ingebroken in de twee steekproeven groot, middelmatig of gering is.

Wat kun je verwachten: Je gaat een statistische maat berekenen om het verschil tussen twee percentages te beoordelen. Je gebruikt hiervoor de phi-coëfficiënt, die je op je formulekaart vindt. Daarna interpreteer je de uitkomst om te bepalen of het verschil 'groot', 'middelmatig' of 'gering' is.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je percentages omrekent naar absolute aantallen. Je moet de formule van de phi-coëfficiënt kennen en kunnen toepassen. Ook moet je de interpretatieregels voor de phi-coëfficiënt kennen (welke waarden horen bij 'gering', 'middelmatig' en 'groot').

Wat moet je kunnen: Je kunt de gegevens uit de tabel omzetten naar een 2x2 kruistabel met absolute aantallen. Je kunt de phi-coëfficiënt berekenen met behulp van de formulekaart en je grafische rekenmachine. Je kunt de berekende phi-waarde correct interpreteren aan de hand van de grenswaarden die op je formulekaart staan.

Waar op letten: Je moet eerst de percentages omrekenen naar absolute aantallen 'wel inbraak' en 'geen inbraak' voor beide jaren. Let op dat je hierbij correct afrondt naar hele aantallen.
Je stelt een 2x2 kruistabel op met de absolute aantallen. Dit helpt je om de juiste waarden in de phi-formule in te vullen.
Je zoekt de formule voor de phi-coëfficiënt op je formulekaart. Let goed op de volgorde van de termen in de teller en de noemer.
Je voert de berekening van de phi-coëfficiënt zorgvuldig uit op je GR. Vergeet de wortel in de noemer niet.
Je interpreteert de berekende phi-waarde aan de hand van de grenswaarden voor 'gering', 'middelmatig' en 'groot' die op je formulekaart staan. Geef je conclusie duidelijk weer.

Kernbegrippen: phi-coëfficiënt, kruistabel, effectgrootte, verschil tussen proporties

Veelgemaakte fouten:
- Incorrecte berekening van absolute aantallen voor de kruistabel
- Verwisselen van cellen in de phi-formule
- Vergeten van de vierkantswortel in de noemer van de phi-formule
- Foutieve interpretatie van de phi-waarde

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2023/tijdvak-2/vraag/17

## Vraag 18 – Opgave 18 (3 punten)

3p 18 Bereken deze topsnelheid in twee decimalen.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over het berekenen van een snelheid op basis van een grafiek die de afgelegde afstand over tijd weergeeft. Je moet de relevante gegevens uit de grafiek halen en deze gebruiken om de snelheid te berekenen.

Wat moet je kennen: Je moet weten dat snelheid gelijk is aan afstand gedeeld door tijd. Je moet ook begrijpen hoe je informatie uit een grafiek afleest, vooral als deze uit verschillende fases bestaat.

Wat moet je kunnen: Je moet de start- en eindpunten van de relevante fase in de grafiek kunnen identificeren. Je moet de afgelegde afstand en de verstreken tijd in die fase kunnen bepalen. Vervolgens moet je deze waarden correct in de formule voor snelheid kunnen invullen en de uitkomst op het gevraagde aantal decimalen kunnen afronden.

Waar op letten: Let goed op welke 'fase' van de beweging wordt gevraagd. In dit geval is het de 'topsnelheid', wat vaak de constante snelheid is na een versnellingsfase.
Lees de begin- en eindwaarden van de afstand en de tijd voor de *specifieke fase* nauwkeurig af uit de grafiek. Dit zijn niet altijd de totale afstand en totale tijd.
Bereken de *verandering* in afstand (delta afstand) en de *verandering* in tijd (delta tijd) voor de gekozen fase.
Gebruik de formule snelheid = (delta afstand) / (delta tijd).
Rond je eindantwoord correct af op het gevraagde aantal decimalen en vermeld de juiste eenheid (m/s).

Kernbegrippen: snelheid, afstand, tijd, rekenen met context

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd aflezen van de gegevens uit de tekst (bijv. de totale tijd of de tijd/afstand van fase I).
- Reken- of afrondingsfout.
- Niet correct afronden op het gevraagde aantal decimalen.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2023/tijdvak-2/vraag/18

## Vraag 19 – Opgave 19 (3 punten)

Het eerste deel van de grafiek is (toenemend) stijgend. Je kunt je afvragen of er sprake is van exponentiële groei.
In de tabel staan een aantal waarden uit fase I van die sprint.
tabel
| t (s) | 1,2 | 1,9 | 3,0 |
|---|---|---|---|
| A (m) | 5 | 10 | 20 |
Onderzoek met behulp van de tabelwaarden of er sprake kan zijn van exponentiële groei.

Wat kun je verwachten: Je onderzoekt of een reeks meetpunten past bij een exponentieel verband. Je moet de eigenschappen van exponentiële groei kennen en toepassen om dit te controleren.

Wat moet je kennen: Je moet de definitie van exponentiële groei kennen: bij gelijke stappen in de tijd (of een andere variabele) wordt de hoeveelheid steeds met dezelfde factor vermenigvuldigd. Dit betekent dat de groeifactor per tijdseenheid constant is, of dat de verdubbelingstijd (of halveringstijd) constant is.

Wat moet je kunnen: Je kunt de groeifactor berekenen over verschillende tijdsintervallen. Je kunt ook de tijd berekenen die nodig is voor een bepaalde vermenigvuldiging (bijvoorbeeld verdubbeling) van de hoeveelheid. Vervolgens vergelijk je deze waarden om te bepalen of er sprake is van exponentiële groei.

Waar op letten: Je moet controleren of de groeifactor per *gelijke* tijdseenheid constant is. Dit betekent dat je de groeifactor per seconde moet berekenen voor de verschillende intervallen.
Je kunt ook kijken naar de verdubbelingstijd. Als de hoeveelheid steeds verdubbelt, moet de tijd die daarvoor nodig is, steeds hetzelfde zijn bij exponentiële groei.
Let goed op de intervallen in de tabel. De tijdsstappen zijn niet gelijk, dus je kunt niet zomaar de verhouding van de A-waarden vergelijken zonder de tijdsduur mee te nemen.
Zorg ervoor dat je je conclusie duidelijk formuleert en onderbouwt met je berekeningen.
Gebruik je GR om nauwkeurig te rekenen, vooral bij het berekenen van groeifactoren tot de macht van een breuk.

Kernbegrippen: exponentiële groei, groeifactor, verdubbelingstijd

Veelgemaakte fouten:
- Verwarren van lineaire en exponentiële groei
- Incorrect berekenen van de groeifactor per tijdseenheid
- Aannemen dat een verdubbeling van de output een verdubbeling van de inputtijd impliceert bij niet-exponentiële groei

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2023/tijdvak-2/vraag/19

## Vraag 20 – Opgave 20 (5 punten)

Het verband tussen de aflegde afstand A in meter en de tijd t in seconden in fase I kan voor de atleet benaderd worden door de formule:
A = 3,8 ⋅ t^1,5

5p 20 De atleet moet in het begin nog op snelheid komen. Hij zal daarom ook langer doen over de eerste 25 meter dan over de laatste 25 meter van de 100 meter. Bij de laatste 25 meter is hij immers al op topsnelheid.
Bereken hoeveel seconden hij hier langer over doet. Geef je antwoord in één decimaal.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een formule die de afgelegde afstand A beschrijft als functie van de tijd t. Je moet deze formule gebruiken om tijden te berekenen die horen bij specifieke afstanden. Vervolgens moet je het verschil tussen twee berekende tijden bepalen.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een machtsvergelijking oplost. Ook moet je begrijpen hoe je de informatie uit de grafiek (fase I en fase II) correct toepast op de vraag.

Wat moet je kunnen: Je moet de gegeven formule kunnen gebruiken om de tijd t te vinden als de afstand A bekend is. Dit betekent dat je een vergelijking van de vorm A = 3,8 * t^1,5 moet kunnen oplossen naar t. Je moet ook de informatie uit de grafiek kunnen interpreteren om te bepalen welke formule of methode je gebruikt voor welk deel van de sprint (fase I of fase II). Tot slot moet je een verschil berekenen en correct afronden.

Waar op letten: Let goed op de twee fases van de sprint: fase I (versnelling) en fase II (constante snelheid). De gegeven formule geldt alleen voor fase I.
Voor de eerste 25 meter gebruik je de gegeven formule A = 3,8 * t^1,5. Je moet deze vergelijking oplossen naar t.
Voor de laatste 25 meter (van 75 meter tot 100 meter) bevindt de atleet zich in fase II. In fase II is de snelheid constant. Je moet eerst de tijd en afstand aan het begin van fase II bepalen met de formule uit fase I, en de snelheid in fase II bepalen (bijvoorbeeld door de helling van de lijn in fase II te berekenen).
Zorg ervoor dat je de machtsvergelijking correct oplost. Gebruik je GR om t te vinden door beide kanten tot de macht (1/1,5) te verheffen.
Vergeet niet het verschil tussen de twee berekende tijden te bepalen en je antwoord af te ronden op één decimaal, zoals gevraagd. De eenheid van je antwoord is seconden.

Kernbegrippen: machtsfuncties, vergelijking oplossen, snelheid, afstand en tijd, rekenen met modellen

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten dat de laatste 25 meter (van 75m tot 100m) in fase II is, waar de snelheid constant is.
- Reken- of afrondingsfouten.
- Foutief oplossen van de machtsvergelijking 25 = 3,8 * t^1,5.
- Het verschil tussen de tijden vergeten te berekenen.
- Niet afronden op één decimaal zoals gevraagd.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2023/tijdvak-2/vraag/20

## Vraag 21 – Opgave 21 (3 punten)

3p 21 Bereken met behulp van zijn topsnelheid de waarde van k voor deze atleet. In de vragen hiervoor is de hele sprint van een topatleet over 100 meter beschreven. In figuur 2 staan vier globale grafieken (a, b, c, d), waarbij de snelheid v uitgezet is tegen de tijd t. figuur 2 a b c d
\begintikzpicture \draw[step=1cm,gray,very thin] (-0.5,-0.5) grid (3.5,2.5); \draw[->] (0,0) -- (3.7,0) node[right] t; \draw[->] (0,0) -- (0,2.7) node[above] v; \node at (0.7,2.2) I; \node at (2.2,2.2) II; \draw[densely dotted] (1.5,0) -- (1.5,2.5); \draw[thick] (0,0) parabola (3.5,2.2); \endtikzpicture \begintikzpicture \draw[step=1cm,gray,very thin] (-0.5,-0.5) grid (3.5,2.5); \draw[->] (0,0) -- (3.7,0) node[right] t; \draw[->] (0,0) -- (0,2.7) node[above] v; \node at (0.7,2.2) I; \node at (2.2,2.2) II; \draw[densely dotted] (1.5,0) -- (1.5,2.5); \draw[thick] (0,0) parabola (1.5,1.5); \draw[thick] (1.5,1.5) -- (3.5,2.2); \endtikzpicture \begintikzpicture \draw[step=1cm,gray,very thin] (-0.5,-0.5) grid (3.5,2.5); \draw[->] (0,0) -- (3.7,0) node[right] t; \draw[->] (0,0) -- (0,2.7) node[above] v; \node at (0.7,2.2) I; \node at (2.2,2.2) II; \draw[densely dotted] (1.5,0) -- (1.5,2.5); \draw[thick] (0,0) parabola (1.5,1.5); \draw[thick] (1.5,1.5) -- (3.5,1.5); \endtikzpicture \begintikzpicture \draw[step=1cm,gray,very thin] (-0.5,-0.5) grid (3.5,2.5); \draw[->] (0,0) -- (3.7,0) node[right] t; \draw[->] (0,0) -- (0,2.7) node[above] v; \node at (0.7,2.2) I; \node at (2.2,2.2) II; \draw[densely dotted] (1.5,0) -- (1.5,2.5); \draw[thick] (0,0) parabola (2.5,2.0); \draw[thick] (2.5,2.0) -- (3.5,2.0); \endtikzpicture

Wat kun je verwachten: Je krijgt een formule waarin de snelheid (v) afhangt van de tijd (t) en een onbekende constante (k). Je moet de waarde van k berekenen door de gegeven topsnelheid en het bijbehorende tijdstip in de formule in te vullen.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een wortelfunctie toepast en hoe je een eenvoudige vergelijking oplost om een onbekende variabele te vinden.

Wat moet je kunnen: Je kunt de juiste waarden uit de vraag halen en deze correct invullen in de formule v = k * sqrt(t). Daarna kun je de vergelijking oplossen om k te vinden. Je gebruikt je GR om de wortel te berekenen en de deling uit te voeren.

Waar op letten: Je identificeert de topsnelheid (v) en het tijdstip (t) waarop deze wordt bereikt. Deze waarden staan in de vraagtekst of in de context van de voorgaande vragen.
Je vult de waarden voor v en t correct in de formule v = k * sqrt(t).
Je berekent eerst de waarde van de wortel (sqrt(t)).
Je lost de vergelijking op om k te vinden. Dit doe je door de snelheid te delen door de berekende wortelwaarde.
Je let op de gevraagde afronding voor de waarde van k.

Kernbegrippen: formule toepassen, vergelijking oplossen, wortelfunctie

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerde waarde voor tijd (t) of snelheid (v) invullen.
- Reken- of afrondingsfout bij het oplossen van de vergelijking.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2023/tijdvak-2/vraag/21

## Vraag 22 – Opgave 22 (3 punten)

In de vragen hiervoor is de hele sprint van een topatleet over 100 meter beschreven. In figuur 2 staan vier globale grafieken (a, b, c, d), waarbij de snelheid v uitgezet is tegen de tijd t.

Er is één grafiek die het best past bij de sprint van de topatleet. Welke grafiek is dat? Licht je antwoord toe.

Wat kun je verwachten: Je moet de eigenschappen van een sprint van een topatleet vertalen naar de juiste grafiek van snelheid tegen tijd. Je analyseert de vorm van de grafieken in verschillende fases van de sprint.

Wat moet je kennen: Je moet de betekenis van 'afnemend stijgend', 'toenemend stijgend' en 'constant' kunnen herkennen in een grafiek. Je moet ook weten hoe een formule zoals v = k * sqrt(t) eruitziet als grafiek.

Wat moet je kunnen: Je kunt de gegeven informatie over de sprint (zoals de formule voor snelheid in fase I en de constante snelheid in fase II) interpreteren en koppelen aan de juiste grafiekvorm. Je kunt onderscheid maken tussen verschillende soorten stijging en constante waarden in een grafiek.

Waar op letten: Let goed op het verschil tussen een 'afstand-tijd' grafiek (zoals figuur 1) en een 'snelheid-tijd' grafiek (zoals figuur 2). De vraag gaat over snelheid tegen tijd.
Analyseer de formule v = k * sqrt(t) voor fase I. Hoe ziet de grafiek van een wortelfunctie eruit? Is deze toenemend of afnemend stijgend?
Wat betekent 'constante snelheid' in een snelheid-tijd grafiek? Is dat een stijgende lijn, een dalende lijn of een horizontale lijn?
Vergelijk de kenmerken van de sprint met elk van de vier grafieken (a, b, c, d) in figuur 2. Welke grafiek combineert de juiste vormen voor beide fases?
Vergeet niet je antwoord toe te lichten met argumenten die verwijzen naar de kenmerken van de sprint in fase I en fase II.

Kernbegrippen: grafiek interpretatie, model analyse, afnemende en toenemende stijging, verband formule en grafiek

Veelgemaakte fouten:
- Verwarren van toenemend en afnemend stijgend.
- Verwarren van de afstand-tijd grafiek (figuur 1) met de snelheid-tijd grafiek (figuur 2).
- Foutieve interpretatie van 'constante snelheid', wat niet een stijgende maar een horizontale lijn impliceert in een v-t diagram.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2023/tijdvak-2/vraag/22

## Vraag 23 – Opgave 23 (7 punten)

Het wel of niet meetellen van het aantal patiënten dat afhaakt bij de berekening van het succespercentage kan tot forse verschillen leiden. Men heeft afgesproken dat het succespercentage alleen berekend wordt als het percentage patiënten dat afhaakt niet hoger is dan 20%.
We kijken nu naar een onderzoek waarbij het percentage patiënten dat afhaakt gelijk was aan het maximale percentage van 20%. Bij dit onderzoek waren er uiteindelijk 240 patiënten die de behandeling hadden volgehouden en was het absolute verschil tussen de twee succespercentages 16.
Er kan nu onderzocht worden wat het aantal patiënten moet zijn geweest dat de behandeling heeft volgehouden, maar niet is genezen.
Voer dit onderzoek uit en bepaal dit aantal.

Wat kun je verwachten: Je gaat een situatie met percentages en aantallen patiënten omzetten in wiskundige formules. Je stelt een vergelijking op en lost deze op om een specifiek aantal patiënten te vinden.

Wat moet je kennen: Je moet de definities van P_exclusief en P_inclusief kennen, zoals gegeven in de casus. Je moet ook weten hoe je een percentage van een totaal berekent en hoe je een vergelijking met breuken en variabelen oplost.

Wat moet je kunnen: Je moet de gegeven informatie (20% afhakers, 240 volhouders, verschil van 16%) vertalen naar wiskundige uitdrukkingen. Je moet een vergelijking opstellen die het verschil van 16% weergeeft en deze vergelijking algebraïsch oplossen. Tot slot moet je het uiteindelijke gevraagde aantal patiënten berekenen.

Waar op letten: Je moet goed onderscheid maken tussen de verschillende groepen patiënten: G (genezen), N (niet genezen) en A (afhakers).
Je berekent eerst het totale aantal patiënten aan het begin van het onderzoek, rekening houdend met het percentage afhakers. Let op: 240 patiënten is 80% van het totaal, niet 20%!
Je drukt beide succespercentages (P_exclusief en P_inclusief) uit in de variabele G (aantal genezen patiënten).
Je stelt de vergelijking op waarbij het verschil tussen P_exclusief en P_inclusief gelijk is aan 16. Let op de volgorde van aftrekken.
Nadat je de waarde van G hebt gevonden, vergeet dan niet het uiteindelijke gevraagde aantal patiënten (N) te berekenen. Het antwoord is niet G!

Kernbegrippen: procenten, vergelijking opstellen, algebraïsche vaardigheden, formules met variabelen

Veelgemaakte fouten:
- Verwarring tussen de verschillende groepen (G, N, A)
- Fout bij het berekenen van het totaal aantal patiënten (300) uit het percentage afhakers (20%)
- Moeite met het opstellen van de vergelijking met het verschil van 16
- Vergeten het eindantwoord (N) te berekenen na het vinden van G

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2023/tijdvak-2/vraag/23

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen HAVO
2023
tijdvak 2
tijdsduur 3 uur

                    wiskunde A

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift
opgenomen.

Dit examen bestaat uit 23 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 80 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald
kunnen worden.

Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.

Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.

HA-1024-a-23-2-0

### Pagina 2

FORMULEBLAD
Vuistregels voor de grootte van het verschil van twee groepen
2x2 kruistabel
(a b)
(c d)
met phi = ad - bc
√(a + b)(a + c)(b + d)(c + d)
waarin a, b, c en d absolute aantallen zijn.
als phi < -0,4 of phi > 0,4, dan zeggen we “het verschil is groot”,
als -0,4 ≤ phi < -0,2 of 0,2 < phi ≤ 0,4, dan zeggen we “het verschil is
middelmatiq”.
als -0,2 ≤ phi ≤ 0,2, dan zeggen we “het verschil is gering”.
Maximaal verschil in cumulatief percentage (max Vcp)
(met steekproefomvang n > 100)
als max Vcp > 40, dan zeggen we “het verschil is groot”,
als 20 < max Vcp ≤ 40, dan zeggen we “het verschil is middelmatiq”,
als max Vcp ≤ 20, dan zeggen we “het verschil is gering”.
Effectgrootte E
=
X1-X2
2(S1+S2)met X1 en X2 de steekproefgemiddelden
(X1 ≥ X2), S1 en S2 de steekproefstandaardafwijkingen
als E > 0,8, dan zeggen we “het verschil is groot”,
als 0,4 < E ≤ 0,8, dan zeggen we “het verschil is middelmatiq”,
als E ≤ 0,4, dan zeggen we “het verschil is gering”.
Twee boxplots vergelijken
als de boxen 1) elkaar niet overlappen, dan zeggen we “het verschil is
groot”.
als de boxen elkaar wel overlappen en een mediaan van een boxplot
buiten de box van de andere boxplot ligt, dan zeggen we “het verschil is
middelmatiq”.
in alle andere gevallen zeggen we “het verschil is gering”.
noot 1 De 'box' is het interval vanaf het eerste kwartiel tot en met het derde kwartiel.
HA-1024-a-23-2-o
2/17
lees verder

### Pagina 3

Betrouwbaarheidsintervallen

Het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de populatieproportie is
$p \pm 2 \cdot \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$, met $p$ de steekproefproportie en $n$ de steekproefomvang.

Het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het populatiegemiddelde is
$\bar{X} \pm 2 \cdot \frac{S}{\sqrt{n}}$, met $\bar{X}$ het steekproefgemiddelde, $n$ de steekproefomvang en
$S$ de steekproefstandaardafwijking.

HA-1024-a-23-2-o
3/17
lees verder ►►►

### Pagina 4

Minder rokers
Figuur 1 komt uit het rapport Volksgezondheid Toekomst Verkenning 2018
van het RIVM1). In deze figuur zijn voor Nederland het percentage van de
mannen dat rookt en het percentage van de vrouwen dat rookt op 1 juli
voor de jaren 1990 tot en met 2018 weergegeven.
figuur 1 Percentage rokers 18 jaar of ouder
percentage
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
1990
1995
2000
2005
2010
2015
2020
jaar
Legenda:
mannen
vrouwen
Deze hele opgave gaat alleen over mannen en vrouwen van 18 jaar of
ouder.
4p
1
Op 1 juli 2015 telde Nederland 6 618 000 mannen en 6 853 000 vrouwen
van 18 jaar of ouder.
Bereken met behulp van figuur 1 hoeveel procent van de rokers op
1 juli 2015 man was. Geef je antwoord in hele procenten.
Voor de periode vanaf 2018 heeft het RIVM een formule opgesteld om de
ontwikkeling van het percentage van de mannen dat rooked te voorspellen.
Men gaat uit van een lineaire afname volgens de volgende formule:
$Pm = -0,61t + 25,93$ (formule 1)
Hierin is $P_m$ het percentage van de mannen dat rookt en $t$ het aantal jaren
vanaf 1 juli 2018.
noot 1 RIVM = Rijksinstituut voor Volksgezondheid en Milieu
HA-1024-a-23-2-o
4 / 17
lees verder ►►►

### Pagina 5

Het RIVM beweert dat volgens formule 1 het percentage van de mannen
dat rookt voor de start van het jaar 2040 gehalveerd is ten opzichte van
1 juli 2018.
3p 2
Onderzoek of deze bewering juist is.
Figuur 2 is ontstaan door in figuur 1 de trendlijn te tekenen voor het
percentage van de vrouwen dat rookt.
figuur 2 Percentage rokers 18 jaar of ouder
Legenda:
percentage
50
mannen
45
vrouwen
40
trendlijn vrouwen
35
30
25
20
15
10
5
0
1990
1995
2000
2005
2010
2015
2020
→ jaar
De percentages van de vrouwen die roken op 1 juli in 1995 en 2004 liggen
precies op de trendlijn.
Met deze gegevens kan een formule voor de trendlijn worden opgesteld:
$P_{v} = -0,33t + 30,67$
(formule 2)
Hierin is $P_{v}$ het percentage van de vrouwen dat rookt en $t$ het aantal jaren
vanaf 1 juli 1990.
De percentages van de vrouwen die roken in 1995 en 2004 zijn gehele
getallen.
3p 3
Bereken met deze percentages de getallen in formule 2 in drie decimalen.
Het percentage van de mannen dat rookt, kan vanaf 1 juli 2018 worden
berekend met formule 1. Het percentage van de vrouwen dat rookt, kan
vanaf 1 juli 1990 worden berekend met formule 2.
5p 4
Onderzoek in welk jaar het percentage van de mannen dat rookt en het
percentage van de vrouwen dat rookt gelijk zullen zijn.
HA-1024-a-23-2-0
5/17

### Pagina 6

Voedselconsumptie
In de periode 2012-2014 is onderzocht wat kinderen en volwassenen aten
en dronken. Deze voedselconsumptiepeiling is uitgevoerd bij personen die
toen tussen de 1 en 79 jaar oud waren en in Nederland woonden.
Om een goed beeld te krijgen van wat er gedurende het jaar gegeten en
gedronken werd, is de gegevensverzameling gelijkmatig verdeeld over de
dagen van het jaar.
2p 5 Geef een voorbeeld van welk vertekend beeld je zou kunnen krijgen
wanneer de gegevensverzameling niet gelijkmatig over de dagen van het
jaar verdeeld is.
In de voedselconsumptiepeiling werd onderscheid gemaakt tussen vast
voedsel (inclusief zuivel) en dranken (zonder zuivel). Daarnaast werd ook
gekeken of de voedingsmiddelen binnen of buiten de Schijf van Vijf
vallen. De Schijf van Vijf is een hulpmiddel dat wordt gebruikt in de
voorlichting over gezonde voeding en bevat vijf categorieën met
aanbevolen voedingsmiddelen:
– dranken (zonder zuivel)
– brood, graanproducten en aardappelen
– smeer- en bereidingsvetten
– zuivel, noten, vis, peulvruchten, vlees en ei
– groente en fruit
Buiten de Schijf van Vijf vallen bijvoorbeeld koekjes, cola, chips, witbrood
en vla, maar ook groenten met toegevoegd zout in pot of fruit op siroop in
blik.
Op de volgende bladzijde staat op de verticale as van figuur 1 de
gemiddelde voedselconsumptie per persoon per dag (in gram).
HA-1024-a-23-2-o
6/17
lees verder ►►►

### Pagina 7

figuur 1 Gemiddelde voedselconsumptie per persoon
gram per dag
2000
1500
1000
500
0
binnen buiten binnen buiten binnen buiten
Schijf Schijf Schijf Schijf Schijf Schijf
van Vijf van Vijf van Vijf van Vijf van Vijf van Vijf
totaal
vast voedsel
(inclusief zuivel)
dranken
(zonder zuivel)
Legenda:
dranken (zonder zuivel)
brood, graanproducten en aardappelen
smeer- en bereidingsvetten
zuivel, noten, vis, peulvruchten, vlees en ei
groente en fruit
overige producten
4p 6 Bereken met behulp van figuur 1 welk percentage van de totale
voedselconsumptie per persoon per dag bestond uit dranken (zonder
zui­vel). Geef je antwoord in hele procenten.
Figuur 1 kwam tot stand op basis van een steekproef van 2237 personen.
Ga uit van de volgende aannames:
- de steekproef is aselect en representatief
- de populatie bestaat uit in Nederland wonende personen met een
leeftijd tussen de 1 en 79 jaar
- de gemiddelde voedselconsumptie per persoon is normaal verdeeld
- het bijbehorende 95%-betrouwbaarheidsinterval van het
populatiegemiddelde van de gemiddelde voedselconsumptie per
persoon is 25 gram breed
We kunnen dan de standaardafwijking berekenen die bij de steekproef
hoort.
4p 7 Bereken deze standaardafwijking. Geef je antwoord in gehele grammen.
HA-1024-a-23-2-o
7/17
lees verder

### Pagina 8

De behoefte aan voedingsstoffen verschilt per persoon en is normaal
verdeeld. Een voedingsnorm is de aanbevolen hoeveelheid voedingsstof
die genoeg is voor bijna alle mensen. Zie figuur 2.
figuur 2
gemiddelde
behoefte
voedingsnorm
percentage van de
bevolkingsgroep
2x
standaardafwijking
individuele behoefte
Omdat figuur 2 gebaseerd is op de aanname dat de individuele behoefte
normaal verdeeld is, kan er concreter worden aangegeven wat er bedoeld
wordt met ‘bijna alle mensen’.
2p 8 Geef het percentage dat hier bedoeld wordt met ‘bijna alle mensen’.
HA-1024-a-23-2-0
8/17
lees verder

### Pagina 9

Ga verder op de volgende pagina.

HA-1024-a-23-2-0
9/17
lees verder

### Pagina 10

```json
{
  "page_type": "opgaven",
  "exam_info": {
    "subject": "niet zichtbaar",
    "year": "niet zichtbaar",
    "tijdvak": "niet zichtbaar"
  },
  "figures": [],
  "keywords": "aantal stemmen, radioprogramma, Top 2000, ranglijst, formule, schatting, liedjes, positie, stemmen, redenering"
}
```

### Pagina 11

Voor de Top 2000 van 2006 geldt:
– het liedje op positie 1 had 10000 stemmen;
– het liedje op positie 2000 had 150 stemmen.
Hiermee kan formule 1 herleid worden tot:
$S = \frac{300000}{N+29}$ (formule 2)
4p 11 Geef deze herleiding.
Over de Top 2000 van 2006 is meer bekend dan gebruikelijk: er zijn in
totaal 1,5 miljoen stemmen uitgebracht.
3p 12 Bereken hoeveel procent van de stemmen in totaal op de top 3 van deze
Top 2000 is uitgebracht volgens formule 2. Geef je antwoord in hele
procenten.
Omdat het aantal stemmen per liedje normaal gesproken niet openbaar
gemaakt wordt, vraagt men zich af wat men bij de Top 2000 doet als een
liedje precies evenveel stemmen krijgt als een ander liedje.
Als we met formule 2 het geschatte aantal stemmen per liedje berekenen
en dat vervolgens afronden op een geheel getal, dan kan het zijn dat er
na afronding liedjes zijn die evenveel stemmen hebben gekregen.
3p 13 Bereken hoeveel liedjes er in de Top 2000 van 2006 zijn die volgens
formule 2 na afronding 200 stemmen zouden hebben gekregen.
HA-1024-a-23-2-0
11/17
lees verder

### Pagina 12

Geregistreerde misdrijven
In de onderstaande figuur staat voor Nederland het aantal geregistreerde
misdrijven per duizend inwoners per jaar. Er is ook een uitsplitsing
gemaakt naar verschillende types misdrijven, waaronder
vermogensmisdrijven en geweldsmisdrijven.
figuur
per 1000 inwoners
100
80
60
40
20
0
1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010 2015
Legenda:
jaar
.... overige
---- geweld
........ verkeer
-- vernieling, openbare orde/gezag
vermogen
totaal
Van 1960 tot 1985 steeg het totaal aantal geregistreerde misdrijven van
13 naar 81 per duizend inwoners. Neem aan dat deze stijging
exponentieel verliep.
4p 14 Bereken met deze gegevens het jaarlijkse groeipercentage.
Geef je antwoord in één decimaal.
In 1985 was bijna 80% van het totaal aantal geregistreerde misdrijven een
vermogensmisdrijf.
3p 15 Beredeneer met behulp van de figuur, zonder een berekening te maken,
of dit percentage in 2002 hoger of lager was dan in 1985.
HA-1024-a-23-2-0
12/17
lees verder

### Pagina 13

Sinds het begin van deze eeuw daalt het totaal aantal geregistreerde
mis- drijven, met name door een daling van het aantal geregistreerde
ver- moge nsmisdrijven.
Een voorbeeld van een vermogensmisdrijf is een woninginbraak. Iemand
vermoedt dat er in het begin van deze eeuw bij een kleiner percentage
van de woningen werd ingebroken dan aan het eind van de vorige eeuw.
Om hier zicht op te krijgen is in 2004 in een aselecte steekproef uit de
woningen gekeken bij welk percentage er in dat jaar was ingebroken.
De resultaten kunnen worden vergeleken met die van een aselecte
steekproef uit de woningen in 1998. Zie de tabel.
tabel
1998
2004
aantal woningen
3437
1456
percentage woningen waarbij is ingebroken
2,15
1,58
De tabel laat zien dat het steekproefpercentage woningen waarbij is
ingebroken in 2004 lager is dan in 1998. We gaan deze gegevens op twee
manieren met elkaar vergelijken.
3p 16 Onderzoek of het steekproefpercentage uit 2004 in het
95%-betrouwbaarheidsinterval ligt van het populatiepercentage in 1998.
In 2004 is het steekproefpercentage woningen waarbij is ingebroken lager
dan in 1998.
4p 17 Onderzoek met behulp van het formuleblad of het verschil in
steekproefpercentage woningen waarbij is ingebroken in de twee
steekproeven groot, middelmatig of gering is.
HA-1024-a-23-2-o
13/17
lees verder

### Pagina 14

De 100 meter
In deze opgave bekijken we een wiskundig model van een sprint over
100 meter hardlopen. In dit model gaan we uit van 2 fases:
– fase I: zo snel mogelijk op topsnelheid komen;
– fase II: de topsnelheid vasthouden tot het einde van de sprint.
Van een bepaalde topatleet staat in figuur 1 de afgelegde afstand A in
meter uitgezet tegen de tijd t in seconden.
figuur 1
[FIGUUR: Grafiek met op de y-as de afgelegde afstand A in meters (lopend van 0 tot 120) en op de x-as de tijd t in seconden (lopend van 0 tot 12). De grafiek toont twee fases: fase I, die begint bij (0,0) en eindigt bij een verticale lijn rond t=4, en fase II, die na deze lijn verder stijgt. De lijn voor fase I is gekromd en na de verticale lijn is de grafiek een rechte lijn die doorloopt tot ongeveer (11,120). De verticale lijn is gemarkeerd als de overgang tussen fase I en fase II.]
120
A (meter)
100
80
60
40
20
0
2
4
6
8
10
12
→ t (seconden)
Deze atleet legt zijn sprint in 9,9 seconden af. Na 4,0 seconden bereikt hij
zijn topsnelheid, dan heeft hij al 31 meter afgelegd.
Je kunt met deze gegevens zijn topsnelheid berekenen; deze is afgerond
11,7 m/s.
3p 18 Bereken deze topsnelheid in twee decimalen.
HA-1024-a-23-2-o
14 / 17
lees verder

### Pagina 15

```json
{
  "page_type": "opgaven",
  "exam_info": {
    "subject": null,
    "year": null,
    "tijdvak": null
  },
  "figures": [
    "Tabel met waarden voor t (s) en A (m).",
    "Grafiek met vier subgrafieken genummerd a, b, c, d, die de snelheid (v) tegen de tijd (t) weergeven, met twee fasen I en II gemarkeerd."
  ],
  "keywords": "exponentiële groei, tabelwaarden, afstand, tijd, formule, snelheid, grafiek, sprint, topsnelheid, fase"
}
```

### Pagina 16

Testresultaten en afhakers
Wanneer artsen een nieuwe behandeling testen op patiënten, is het
mogelijk dat er tijdens het onderzoek een aantal patiënten afhaakt (de
afha
kers).
Dit komt bijvoorbeeld omdat ze de behandeling te belastend
vinden.
Het succespercentage $P$ van een nieuwe behandeling kan op twee
verschillende manieren berekend worden:
exclusief afhakers
inclusief afhakers
Hierbij worden patiënten
die afhaken niet meegeteld.
In formulevorm:
Hierbij worden patiënten
die afhaken wel meegeteld.
In formulevorm:
$P_{\text{exclusief}} = \frac{G}{G+N} \cdot 100$
$P_{\text{inclusief}} = \frac{G}{G+N+A} \cdot 100$
Hierin geldt:
- $G$ is het aantal patiënten dat de behandeling volhoudt en geneest
- $N$ is het aantal patiënten dat de behandeling volhoudt en niet geneest
- $A$ is het aantal patiënten dat afhaakt.
Het wel of niet meetellen van het aantal patiënten dat afhaakt in het
testresultaat zal tot verschillende succespercentages leiden, zie figuur.
figuur
[FIGUUR: Twee grafieken naast elkaar, beide met rijen silhouetten van mensen. De linker grafiek heeft een kader met gestippelde lijnen en daarin drie rijen met silhouetten. De bovenste rij is volledig grijs, de middelste rij heeft een mix van donkergrijs en lichtgrijs, de onderste rij is zwart. Onder deze grafiek staat 'P exclusief = 75'. De rechter grafiek heeft ook een kader met gestippelde lijnen en drie rijen silhouetten. De bovenste rij is volledig grijs, de middelste rij is een mix van donkergrijs en lichtgrijs, en de onderste rij is zwart. Onder deze grafiek staat 'P inclusief = 50'. Naast de linker grafiek staat een legenda met de titels 'Legenda:', gevolgd door symbolen en bijbehorende labels: donkergrijs voor 'G', lichtgrijs voor 'N', zwart voor 'A'.]
In het voorbeeld in de figuur is het absolute verschil tussen de twee
succespercentages gelijk aan 25.
HA-1024-a-23-2-o
16 / 17
lees verder

### Pagina 17

Het wel of niet meetellen van het aantal patiënten dat afhaakt bij de
berekening van het succespercentage kan tot forse verschillen leiden.
Men heeft afgesproken dat het succespercentage alleen berekend wordt
als het percentage patiënten dat afhaakt niet hoger is dan 20%.

We kijken nu naar een onderzoek waarbij het percentage patiënten dat
afhaakt gelijk was aan het maximale percentage van 20%. Bij dit
onderzoek waren er uiteindelijk 240 patiënten die de behandeling hadden
volgehouden en was het absolute verschil tussen de twee
succespercentages 16.
Er kan nu onderzocht worden wat het aantal patiënten moet zijn geweest
dat de behandeling heeft volgehouden, maar niet is genezen.
7p 23 Voer dit onderzoek uit en bepaal dit aantal.

Bronvermelding
Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen
behorende correctievoorschrift.
HA-1024-a-23-2-o
17/17
einde