# Eindexamen Wiskunde A HAVO 2023 tijdvak 1

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2023/tijdvak-1

## Vraag 1 – Opgave 1 (4 punten)

In 2018 was het gemiddelde aantal huisartsconsulten per persoon gelijk aan 4,5.
Stel dat in 2020 het gemiddelde aantal huisartsconsulten per persoon 10% hoger was dan in 2018. Volgens formule 1 zouden in 2020 de gemiddelde uitgaven aan huisartsenzorg dan ook hoger zijn geweest dan in 2018.
4p 1 Bereken hoeveel procent hoger. Geef je antwoord in hele procenten.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over procentuele veranderingen in een financiële context. Je moet een gegeven formule gebruiken om uitgaven te berekenen en vervolgens de procentuele toename bepalen.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een procentuele toename berekent en hoe je een groeifactor toepast. Ook moet je een lineaire formule kunnen invullen en interpreteren.

Wat moet je kunnen: Je kunt de nieuwe waarde berekenen na een procentuele toename. Je kunt de gegeven formule (U = 60 + 10A) correct invullen voor twee verschillende situaties. Je kunt de procentuele verandering tussen twee berekende waarden bepalen met de formule: ((nieuw - oud) / oud) * 100%. Je rondt je antwoord af op hele procenten.

Waar op letten: Let goed op het verschil tussen een percentage en een groeifactor. Een toename van 10% betekent een groeifactor van 1,10.
Bereken eerst het nieuwe gemiddelde aantal consulten voor 2020. Dit is je nieuwe 'A' waarde.
Bereken vervolgens de uitgaven (U) voor zowel 2018 als 2020 met de formule U = 60 + 10A.
Gebruik de correcte formule voor procentuele verandering: ( (nieuwe waarde - oude waarde) / oude waarde ) * 100%.
Rond je eindantwoord af op hele procenten, zoals gevraagd in de vraagtekst.

Kernbegrippen: procentuele toename, lineaire modellen, groeifactor

Veelgemaakte fouten:
- Onterecht aannemen dat een 10% toename in de variabele ook leidt tot een 10% toename in de uitkomst.
- Verkeerd toepassen van de formule voor procentuele verandering.
- Afrondingsfouten of het niet afronden op hele procenten zoals gevraagd.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2023/tijdvak-1/vraag/1

## Vraag 2 – Opgave 1 (3 punten)

In de rest van de opgave bedoelen we met de uitdrukkingen 'het aantal huisartsconsulten' en 'de uitgaven aan huisartsenzorg' steeds de gemiddelde waarden.

Voor ouderen is het aantal huisartsconsulten per persoon per jaar hoger dan voor jongeren. Voor personen van 5 jaar tot en met 64 jaar geldt voor het aantal huisartsconsulten per persoon per jaar A de volgende formule:

A = 1,75 + 0,05 · l
(formule 2)

Hierin is l de leeftijd van de persoon in jaren.

3p 2 Bereken bij welke leeftijden volgens formule 2 het aantal huisartsconsulten per persoon per jaar lager is dan 4,5.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een formule die een verband beschrijft tussen twee variabelen. Je moet een specifieke waarde berekenen door een vergelijking of ongelijkheid op te lossen en het resultaat te interpreteren binnen de context van de vraag.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een lineaire formule interpreteert en hoe je een ongelijkheid opstelt en oplost. Ook moet je de context van de vraag goed begrijpen om je antwoord correct te formuleren.

Wat moet je kunnen: Je kunt een lineaire vergelijking of ongelijkheid opstellen op basis van de gegeven informatie. Je kunt deze vergelijking of ongelijkheid oplossen, eventueel met je GR. Tot slot kun je je berekende waarde correct interpreteren en formuleren als een antwoord in de context van de vraag, rekening houdend met de eenheden en de grenzen van het model.

Waar op letten: Je stelt eerst de juiste vergelijking of ongelijkheid op. Let goed op het woord 'lager dan'.
Je lost de vergelijking of ongelijkheid correct op. Dit kan algebraïsch of met de GR (bijvoorbeeld met de intersect-functie).
Je interpreteert de uitkomst van je berekening zorgvuldig. De vraag gaat over 'leeftijden' en 'lager dan', wat betekent dat je een bereik van leeftijden moet geven.
Je let op de context van de formule: deze geldt voor personen van 5 jaar tot en met 64 jaar. Dit is belangrijk voor de ondergrens van je antwoord.
Je formuleert je antwoord in hele jaren, aangezien leeftijd meestal in hele jaren wordt uitgedrukt. Let op of je 'tot en met' of 'jonger dan' moet gebruiken.

Kernbegrippen: lineaire ongelijkheid oplossen, formules met variabelen

Veelgemaakte fouten:
- Alleen de vergelijking oplossen (l=55) en niet de ongelijkheid interpreteren.
- Incorrecte conclusie trekken uit l < 55, bijvoorbeeld 'jonger dan 55 jaar' zonder rekening te houden met de context (vanaf 5 jaar) of de discrete aard van leeftijd in jaren (tot en met 54).
- De opmerking in het CV over '55 jaar en jonger' is een specifieke valkuil die leidt tot puntaftrek.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2023/tijdvak-1/vraag/2

## Vraag 3 – Opgave 1 (3 punten)

Door de formules 1 en 2 te combineren kan voor personen van 5 jaar tot en met 64 jaar een formule worden afgeleid waarin de uitgaven aan huisartsenzorg per persoon per jaar (U) worden uitgedrukt in de leeftijd (l) van de persoon.
Deze formule kan worden geschreven in de vorm U = ... ⋅ l + ... waarbij op de puntjes getallen staan.
3p 3 Geef de afleiding van de formule in deze vorm.

Wat kun je verwachten: Je krijgt twee formules en je moet deze combineren tot één nieuwe formule. De nieuwe formule moet een specifieke vorm hebben, namelijk U = ... ⋅ l + ... . Dit betekent dat je de formule moet herleiden tot een lineaire functie van l.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je variabelen uit de ene formule kunt vervangen (substitueren) in een andere formule. Ook moet je de regels van het herleiden van algebraïsche uitdrukkingen kennen, zoals het wegwerken van haakjes en het samenvoegen van gelijksoortige termen.

Wat moet je kunnen: Je kunt formule 2 (voor A) substitueren in formule 1 (voor U). Je kunt vervolgens de haakjes correct wegwerken door de distributieve eigenschap toe te passen. Tot slot kun je de termen herordenen en optellen om de formule in de gevraagde lineaire vorm U = a ⋅ l + b te krijgen.

Waar op letten: Let goed op de volgorde van bewerkingen (eerst vermenigvuldigen, dan optellen).
Zorg ervoor dat je de hele uitdrukking van formule 2 tussen haakjes zet wanneer je deze substitueert in formule 1. Dit is cruciaal voor het correct wegwerken van de haakjes.
Vermenigvuldig de factor 10 met *beide* termen binnen de haakjes (1,75 en 0,05 ⋅ l).
Combineer de constante termen correct nadat je de haakjes hebt weggewerkt.
Controleer of je uiteindelijke formule de gevraagde vorm U = ... ⋅ l + ... heeft, dus met de term met 'l' eerst.

Kernbegrippen: substitutie, lineaire formules combineren, algebraïsch herleiden

Veelgemaakte fouten:
- Haakjes vergeten bij substitutie, waardoor de factor 10 niet over de hele term 0,05 ⋅ l wordt gedistribueerd.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2023/tijdvak-1/vraag/3

## Vraag 4 (3 punten)

4p 1 Bereken hoeveel procent hoger. Geef je antwoord in hele procenten. In de rest van de opgave bedoelen we met de uitdrukkingen 'het aantal huisartsconsulten' en 'de uitgaven aan huisartsenzorg' steeds de gemiddelde waarden. Voor ouderen is het aantal huisartsconsulten per persoon per jaar hoger dan voor jongeren. Voor personen van 5 jaar tot en met 64 jaar geldt voor het aantal huisartsconsulten per persoon per jaar A de volgende formule: A = 1,75 + 0,05 · l (formule 2) Hierin is l de leeftijd van de persoon in jaren.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over het vergelijken van twee waarden en het uitdrukken van het verschil als een percentage. Je moet een lineaire formule gebruiken en mogelijk een waarde berekenen die buiten het gegeven bereik valt (extrapoleren).

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een lineaire formule interpreteert en hoe je een percentage verschil berekent. Je kent het verschil tussen een absolute toename en een relatieve toename (percentage).

Wat moet je kunnen: Je kunt de gegeven formule gebruiken om het aantal consulten voor een bepaalde leeftijd te berekenen. Je kunt vervolgens de berekende waarden gebruiken om het procentuele verschil te bepalen. Je kunt nauwkeurig rekenen met decimalen en correct afronden.

Waar op letten: Let goed op welke twee waarden je met elkaar moet vergelijken om het procentuele verschil te berekenen. De vraag is 'hoeveel procent hoger', dus de referentiewaarde (de 'oude' of 'basis' waarde) is belangrijk.
Zorg ervoor dat je de juiste formule gebruikt voor de juiste leeftijdsgroep. Er is een formule gegeven voor 5 t/m 64 jaar, maar de vraag gaat over 'ouderen' en 'jongeren'. Je moet dus eerst bepalen welke leeftijden je moet gebruiken voor de vergelijking.
Denk goed na over de betekenis van 'hoger dan'. Dit betekent dat je de toename deelt door de oorspronkelijke waarde en vermenigvuldigt met 100%.
Rond je eindantwoord pas af op hele procenten aan het einde van je berekening, om afrondingsfouten te voorkomen.
Controleer of je de eenheid 'procent' correct vermeldt in je antwoord.

Kernbegrippen: lineair model, richtingscoëfficiënt berekenen, extrapoleren

Veelgemaakte fouten:
- Reken- of afrondingsfouten met de richtingscoëfficiënt.
- Verkeerd startpunt kiezen voor de extrapolatie (bijvoorbeeld leeftijd 65 in plaats van 80).
- Vergeten het eindantwoord af te ronden op een geheel getal.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2023/tijdvak-1/vraag/4

## Vraag 5 (3 punten)

In Nederland was in 2017 het totale mobiele dataverbruik 325 miljoen gigabyte (GB), een stijging van 1050% ten opzichte van 2013.
3p 5 Bereken het totale mobiele dataverbruik in Nederland in 2013. Geef je antwoord in hele miljoenen GB.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over procentuele verandering en groeifactoren. Je moet een originele waarde berekenen na een grote procentuele stijging.

Wat moet je kennen: Je moet het verband kennen tussen een procentuele stijging en de bijbehorende groeifactor. Je moet ook weten hoe je terugrekent naar een eerdere waarde met behulp van een groeifactor.

Wat moet je kunnen: Je kunt een procentuele stijging omzetten naar een groeifactor. Je kunt deze groeifactor gebruiken om een oorspronkelijke waarde te berekenen als de eindwaarde en de procentuele stijging bekend zijn. Je rondt je antwoord correct af op hele miljoenen GB.

Waar op letten: Let goed op het verschil tussen een percentage en een groeifactor. Een stijging van 1050% betekent NIET dat de groeifactor 10,5 is.
Bedenk dat een stijging van 1050% betekent dat de nieuwe waarde 100% + 1050% = 1150% van de oorspronkelijke waarde is.
Zet het totale percentage (1150%) om naar de juiste groeifactor. Dit doe je door het percentage te delen door 100.
Om de oorspronkelijke waarde te vinden, deel je de eindwaarde door de groeifactor, je vermenigvuldigt niet.
Rond je uiteindelijke antwoord af zoals gevraagd: in hele miljoenen GB. Vergeet de eenheid niet in je antwoord.

Kernbegrippen: procentuele toename, groeifactor, terugrekenen met groeifactor

Veelgemaakte fouten:
- Incorrect omrekenen van percentage naar groeifactor (bijv. 10,5 of 1,1050 gebruiken i.p.v. 11,5).
- Vergeten dat een stijging van 1050% betekent dat de nieuwe waarde 1150% van de oude waarde is.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2023/tijdvak-1/vraag/5

## Vraag 6 – Opgave 1 (4 punten)

Je kunt in figuur 1 aflezen dat in Finland in het jaar 2013 het mobiele dataverbruik per simkaart 1,6 GB per maand was. Dit was in 2017 gegroeid naar 12,0 GB per maand. Neem aan dat er in deze periode sprake was van exponentiële groei.
4p 6 Bereken het jaarlijkse groeipercentage van het mobiele dataverbruik per simkaart per maand in deze periode in Finland. Geef je antwoord in hele procenten.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over exponentiële groei van een bepaalde grootheid over een periode. Je moet de jaarlijkse groeifactor berekenen en deze omzetten naar een groeipercentage.

Wat moet je kennen: Je moet het verschil kennen tussen lineaire en exponentiële groei. Je moet weten hoe je een groeifactor berekent en hoe je deze omzet naar een percentage. Ook moet je weten hoe je een groeifactor over meerdere jaren omrekent naar een groeifactor per jaar.

Wat moet je kunnen: Je kunt de begin- en eindwaarden en de tijdsduur uit de vraagtekst halen. Je kunt de totale groeifactor berekenen en vervolgens de jaarlijkse groeifactor met behulp van machten of wortels op je GR. Je kunt een groeifactor omzetten naar een percentage en dit correct afronden.

Waar op letten: Je herkent dat 'exponentiële groei' betekent dat je met groeifactoren werkt, niet met optellen of aftrekken.
Je berekent eerst de totale groeifactor over de gegeven periode. Dit doe je door de eindwaarde te delen door de beginwaarde.
Je bepaalt nauwkeurig de tijdsduur in jaren tussen de twee meetmomenten.
Je zet de totale groeifactor om naar een jaarlijkse groeifactor door de juiste machtswortel te trekken (bijvoorbeeld de vierdemachtswortel als het om 4 jaar gaat).
Je converteert de jaarlijkse groeifactor naar een jaarlijks groeipercentage en rondt dit correct af zoals gevraagd.

Kernbegrippen: exponentiële groei, groeifactor per tijdseenheid, jaarlijks groeipercentage

Veelgemaakte fouten:
- Lineaire groei aannemen in plaats van exponentiële groei (delen door 4 in plaats van de vierdemachtswortel nemen).
- De groeifactor (1,65) verwarren met het groeipercentage (65%).
- Een rekenfout maken bij het bepalen van de tijdsduur (2017 - 2013 = 4 jaar).
- Rekenen met het absolute verschil (12 - 1,6) in plaats van de verhouding (12 / 1,6).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2023/tijdvak-1/vraag/6

## Vraag 7 – Opgave 1 (4 punten)

4p 7 In 2017 was het mobiele dataverbruik per simkaart per maand in Finland 12 keer zo groot als in Nederland. Dit is deels te verklaren door het feit dat het dataverbruik in Finland een stuk goedkoper was. De providers in Nederland brachten in 2017 gemiddeld ongeveer 14 keer zoveel in rekening als de providers in Finland voor het verbruik van dezelfde hoeveelheid mobiele data. Bereken hoeveel procent de inwoners van Finland in 2017 in totaal minder uitgaven aan mobiele data dan de inwoners van Nederland. Geef je antwoord in hele procenten. In figuur 2 is voor het jaar 2017 het verband tussen de gemiddelde prijs (P) van het mobiele dataverbruik en het verbruik (V) per simkaart per maand weergegeven. figuur 2 14 V (GB) 12 Finland 10 8 Oostenrijk 6 Estland 4 Zweden Ierland Noorwegen 2 Groot-Brittannië Hongarije Nederland België 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 →P (eurocent per GB)

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over het vergelijken van uitgaven in twee verschillende landen, waarbij je werkt met verhoudingen en procenten. Je moet goed de tekst lezen om de juiste factoren te bepalen.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je met verhoudingen rekent en hoe je een procentuele afname berekent. Je moet ook begrijpen dat '12 keer zo groot' een groeifactor van 12 betekent, en '14 keer zoveel in rekening brengen' een factor 14.

Wat moet je kunnen: Je kunt de totale uitgaven in Finland uitdrukken in termen van de totale uitgaven in Nederland, door de factoren voor verbruik en prijs te combineren. Daarna bereken je de procentuele afname ten opzichte van Nederland.

Waar op letten: Je moet goed onderscheid maken tussen de factor voor het dataverbruik en de factor voor de prijs per hoeveelheid data.
Je kunt het beste een getallenvoorbeeld gebruiken (bijvoorbeeld: stel in Nederland is het verbruik 1 GB en de prijs 1 eurocent per GB) om de berekening concreet te maken.
Je berekent eerst de totale uitgaven in Finland ten opzichte van Nederland. Dit is een verhouding.
Je moet de procentuele afname berekenen. Dit betekent dat je de verhouding van Finland vergelijkt met 1 (wat staat voor 100% van Nederland).
Je rondt je uiteindelijke antwoord af op hele procenten, zoals gevraagd.

Kernbegrippen: procentuele verandering, rekenen met verhoudingen, getallenvoorbeeld

Veelgemaakte fouten:
- Verwarren van de factoren voor verbruik en prijs
- Foutieve berekening van procentuele afname
- Aannames maken over absolute getallen (aantal inwoners) die niet nodig zijn

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2023/tijdvak-1/vraag/7

## Vraag 8 – Opgave 1 (3 punten)

In figuur 2 is voor het jaar 2017 het verband tussen de gemiddelde prijs (P) van het mobiele dataverbruik en het verbruik (V) per simkaart per maand weergegeven.

In figuur 2 is te zien: hoe hoger de prijs in een bepaald land is, hoe lager het dataverbruik. Bij de trendlijn hoort een omgekeerd evenredig verband. Stel een formule op van dit verband.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een grafiek met een trendlijn en de beschrijving van een type verband. Je moet de formule van dit verband opstellen.

Wat moet je kennen: Je moet de algemene vorm van een omgekeerd evenredig verband kennen. Je moet ook weten hoe je een punt nauwkeurig afleest uit een grafiek.

Wat moet je kunnen: Je kunt een punt aflezen van een trendlijn in een grafiek. Je kunt dit punt invullen in de algemene formule van een omgekeerd evenredig verband om de constante te bepalen. Vervolgens kun je de volledige formule opstellen.

Waar op letten: Je herkent de algemene vorm van een omgekeerd evenredig verband: V = c/P of P * V = c. Dit is cruciaal voor het opstellen van de formule.
Je leest een punt op de trendlijn zo nauwkeurig mogelijk af. Kies een punt dat duidelijk op de lijn ligt en waar de coördinaten goed af te lezen zijn, bijvoorbeeld waar de lijn een roosterpunt kruist.
Je vult de afgelezen waarden van P en V in de algemene formule in om de constante 'c' te berekenen.
Je schrijft de uiteindelijke formule op met de berekende constante 'c'. Vergeet niet de variabelen (P en V) in de formule te laten staan.
Je let op de eenheden van P (eurocent per GB) en V (GB) bij het interpreteren van de grafiek, hoewel deze niet direct in de formule zelf komen, helpt het bij het begrip.

Kernbegrippen: omgekeerd evenredig verband, formule opstellen, grafiek aflezen

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd type verband aannemen (bijv. lineair of exponentieel)
- Onnauwkeurig aflezen van een punt op de trendlijn
- Vergeten de constante 'c' te berekenen en alleen de algemene vorm V = c/P te geven.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2023/tijdvak-1/vraag/8

## Vraag 9 (5 punten)

In figuur 1 zie je bij de vier Europese landen dat het mobiele dataverbruik toenemend stijgt. In Zuid-Korea en Japan, die niet zijn opgenomen in figuur 1, is de sterke groei al wat afgenomen. In de tabel staan de gegevens van deze landen van de jaren 2014 en 2015.

tabel mobiel dataverbruik per simkaart per maand
| | 2014 | 2015 |
| :---------------- | :---------------- | :---------------- |
| Zuid-Korea | 1,711 GB | 2,198 GB |
| Japan | 1,631 GB | 1,945 GB |

Neem aan dat de toename van het mobiele dataverbruik per simkaart per maand in beide landen vanaf 2014 lineair is. Dan zal men in Zuid-Korea eerder gemiddeld 10 GB per simkaart per maand verbruiken dan in Japan.
Bereken hoeveel jaar eerder dit zal gebeuren. Geef je antwoord in hele jaren.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over het mobiele dataverbruik in twee landen. Je moet de gegevens uit een tabel gebruiken om een lineair model op te stellen en hiermee te voorspellen wanneer een bepaald verbruiksniveau wordt bereikt. Uiteindelijk bereken je het verschil in tijd tussen de twee landen.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een lineaire toename berekent en hoe je deze gebruikt om een lineaire formule op te stellen. Je moet ook begrijpen wat 'lineair' betekent in de context van groei.

Wat moet je kunnen: Je kunt de jaarlijkse toename (richtingscoëfficiënt) berekenen uit de gegeven data. Je kunt een lineaire formule opstellen van de vorm y = ax + b, waarbij 'a' de jaarlijkse toename is en 'b' de beginwaarde. Je kunt deze formule gebruiken om te berekenen wanneer het dataverbruik 10 GB bereikt. Je kunt het verschil tussen twee jaartallen berekenen en dit correct afronden.

Waar op letten: Je berekent eerst de jaarlijkse toename voor elk land afzonderlijk. Dit is de richtingscoëfficiënt van je lineaire model.
Je kiest een startjaar (bijvoorbeeld 2015) als t=0 en gebruikt de bijbehorende waarde als je beginwaarde (b) in de formule V = a*t + b, waarbij V het verbruik is en t het aantal jaren na het startjaar.
Je stelt voor elk land een lineaire vergelijking op en lost deze op voor V = 10 GB om het aantal jaren na je startjaar te vinden.
Je vertaalt het berekende aantal jaren terug naar een kalenderjaar. Let op dat je het jaar afrondt naar boven als de 10 GB-grens in dat jaar wordt overschreden.
Je berekent het verschil tussen de twee kalenderjaren en rondt dit af in hele jaren, zoals gevraagd.

Kernbegrippen: lineair model, extrapoleren, opstellen van een formule, richtingscoëfficiënt

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd startjaar kiezen (bijvoorbeeld 2014 in plaats van 2015 als t=0 of t=1)
- Afrondingsfouten bij het berekenen van het aantal jaren
- Vergeten het verschil tussen de berekende jaartallen te nemen als eindantwoord

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2023/tijdvak-1/vraag/9

## Vraag 10 – Opgave 1 (2 punten)

10 \] 8 6 4 2 0 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 Finland Zweden Groot-Brittannië Nederland Je kunt in figuur 1 aflezen dat in Finland in het jaar 2013 het mobiele dataverbruik per simkaart 1,6 GB per maand was. Dit was in 2017 gegroeid naar 12,0 GB per maand. Neem aan dat er in deze periode sprake was van exponentiële groei.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over exponentiële groei van mobiel dataverbruik. Je moet de groeifactor berekenen op basis van twee meetpunten uit de grafiek en de aanname van exponentiële groei.

Wat moet je kennen: Je moet weten wat exponentiële groei inhoudt en hoe je de groeifactor per tijdseenheid (in dit geval per jaar) berekent als je twee meetpunten hebt. Je kent de formule N(t) = N(0) * g^t.

Wat moet je kunnen: Je kunt gegevens aflezen uit een lijngrafiek. Je kunt met behulp van de afgelezen waarden de groeifactor berekenen. Je kunt deze berekening uitvoeren met je grafische rekenmachine.

Waar op letten: Je leest de beginwaarde (2013) en eindwaarde (2017) van het dataverbruik correct af uit de grafiek.
Je bepaalt de tijdsduur (t) tussen de twee meetpunten nauwkeurig.
Je stelt de vergelijking op voor exponentiële groei: Eindwaarde = Beginwaarde * groeifactor^tijd.
Je lost deze vergelijking op om de groeifactor (g) te vinden. Denk eraan dat je een macht moet 'wegwerken' met een wortel of door te delen en vervolgens tot de macht (1/t) te verheffen.
Je rondt de groeifactor af op het gevraagde aantal decimalen.

Kernbegrippen: aselecte steekproef, representativiteit, kansrekening in statistiek

Veelgemaakte fouten:
- Verwarren van aselecte steekproef op schoolniveau met aselecte steekproef op leerlingniveau.
- Niet inzien dat de grootte van de school (aantal klassen) de selectiekans van een leerling beïnvloedt.
- Alleen de definitie van een aselecte steekproef geven zonder deze toe te passen op de casus, wat slechts 1 punt oplevert.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2023/tijdvak-1/vraag/10

## Vraag 12 – Opgave 1 (5 punten)

12 keer zo groot als in Nederland. Dit is deels te verklaren door het feit dat het dataverbruik in Finland een stuk goedkoper was. De providers in Nederland brachten in 2017 gemiddeld ongeveer 14 keer zoveel in rekening als de providers in Finland voor het verbruik van dezelfde hoeveelheid mobiele data. Bereken hoeveel procent de inwoners van Finland in 2017 in totaal minder uitgaven aan mobiele data dan de inwoners van Nederland. Geef je antwoord in hele procenten. In figuur 2 is voor het jaar 2017 het verband tussen de gemiddelde prijs (P) van het mobiele dataverbruik en het verbruik (V) per simkaart per maand weergegeven. figuur 2 14 V (GB) 12 Finland 10 8 Oostenrijk 6 Estland 4 Zweden Ierland Noorwegen 2 Groot-Brittannië Hongarije Nederland België 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 →P (eurocent per GB)

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over het vergelijken van groepen op basis van steekproefgegevens. Je moet betrouwbaarheidsintervallen berekenen en interpreteren om een conclusie te trekken over mogelijke verschillen tussen de groepen.

Wat moet je kennen: Je moet de formule voor het 95%-betrouwbaarheidsinterval van een proportie kennen en weten hoe je deze toepast. Je moet ook begrijpen wat een betrouwbaarheidsinterval betekent en hoe je intervallen met elkaar vergelijkt.

Wat moet je kunnen: Je moet de benodigde gegevens (proportie en steekproefgrootte) correct uit een tabel kunnen aflezen. Je moet nauwkeurig kunnen rekenen met de formule voor het betrouwbaarheidsinterval en de resultaten correct afronden. Tot slot moet je een heldere conclusie kunnen formuleren op basis van de berekende intervallen.

Waar op letten: Je gebruikt de juiste formule voor het 95%-betrouwbaarheidsinterval van een proportie: p +/- 2 * sqrt(p(1-p)/n).
Je let goed op dat je de proportie (p) als decimaal getal gebruikt in de formule, dus 76,4% wordt 0,764.
Je zorgt ervoor dat je de juiste steekproefgrootte (n) voor meisjes en jongens afleest uit tabel 1.
Je berekent zowel de ondergrens als de bovengrens van het interval voor zowel de meisjes als de jongens.
Je trekt een duidelijke conclusie over het overlappen van de twee betrouwbaarheidsintervallen door de berekende grenzen met elkaar te vergelijken.

Kernbegrippen: 95%-betrouwbaarheidsinterval, populatieproportie, steekproefproportie, vergelijken van betrouwbaarheidsintervallen

Veelgemaakte fouten:
- Proportie (p) en percentage (p*100) verwarren in de formule
- Verkeerde steekproefgrootte (n) gebruiken
- Reken- of afrondingsfouten bij het berekenen van de intervalgrenzen
- Onjuiste conclusie trekken over de overlap van de intervallen

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2023/tijdvak-1/vraag/12

## Vraag 13 – Opgave 1 (4 punten)

In tabel 2 zie je het aantal leerlingen dat aan het onderzoek deelnam uitgesplitst naar schoolniveau, met daarbij het aantal leerlingen dat lid is van een sportclub.

tabel 2
| | vmbo | havo | vwo |
| :------------------------------ | :--- | :--- | :-- |
| aantal deelnemers onderzoek | 2745 | 1612 | 1214 |
| aantal dat lid is van een sportclub | 1779 | 1188 | 981 |

Op basis van tabel 2 kun je een uitspraak doen over het verschil tussen het aantal havo-leerlingen en het aantal vwo-leerlingen in Nederland dat lid is van een sportclub.
4p 13 Onderzoek met behulp van het formuleblad of dat verschil groot, middelmatig of gering is.

Wat kun je verwachten: Je gaat een verband onderzoeken tussen twee categorische variabelen (schoolniveau en lidmaatschap sportclub) met behulp van de phi-coëfficiënt. Je moet de gegevens uit de tabel omzetten naar een 2x2 kruistabel en vervolgens de formule van de phi-coëfficiënt toepassen. Tot slot interpreteer je de uitkomst.

Wat moet je kennen: Je moet de formule voor de phi-coëfficiënt kennen en weten hoe je deze toepast. Ook moet je de vuistregels van het formuleblad kennen om de berekende phi-waarde te interpreteren als 'gering', 'middelmatig' of 'groot' verschil.

Wat moet je kunnen: Je kunt een 2x2 kruistabel opstellen op basis van de gegeven informatie. Je kunt de phi-coëfficiënt correct berekenen met de formule van het formuleblad. Je kunt de berekende phi-waarde interpreteren en een conclusie trekken over de sterkte van het verschil.

Waar op letten: Je moet eerst een 2x2 kruistabel maken. Let goed op dat je de juiste aantallen voor 'wel lid' en 'geen lid' per schoolniveau (havo en vwo) gebruikt.
De formule voor de phi-coëfficiënt staat op je formuleblad. Zorg ervoor dat je de juiste waarden op de juiste plek invult in de formule.
Vergeet niet de aantallen voor 'geen lid' te berekenen door het aantal leden af te trekken van het totaal aantal deelnemers per schoolniveau.
Gebruik je GR om de berekening van de phi-coëfficiënt nauwkeurig uit te voeren. Let op de haakjes bij het invoeren van de formule.
Nadat je de phi-waarde hebt berekend, vergelijk je deze met de vuistregels op je formuleblad om te bepalen of het verschil 'groot', 'middelmatig' of 'gering' is. Dit is een essentieel onderdeel van je antwoord.

Kernbegrippen: phi-coëfficiënt, kruistabel, effectgrootte, associatiematen

Veelgemaakte fouten:
- Incorrect opstellen van de kruistabel (bijv. 'geen lid' verkeerd berekenen)
- Fouten bij het invullen van de phi-formule
- Vergeten de conclusie te trekken op basis van de berekende phi-waarde en de regels van het formuleblad.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2023/tijdvak-1/vraag/13

## Vraag 14 – Opgave 1 (4 punten)

In tabel 3 staat het aantal deelnemende leerlingen en het gemiddelde aantal dagen dat zij in de afgelopen zeven dagen minstens één uur per dag bezig waren met lichaamsbeweging, uitgesplitst naar gezinswelvaart.

Op basis van tabel 3 wil Yaralı het gemiddelde aantal dagen (met minstens één uur lichaamsbeweging) van de groepen laag en hoog met elkaar vergelijken. Hierbij wil Yaralı gebruikmaken van de effectgrootte zoals die op het formuleblad is weergegeven.
Veronderstel dat de standaardafwijking S₁ voor de groep met lage gezinswelvaart even groot is als de standaardafwijking S₂ voor de groep met hoge gezinswelvaart, dus S₁ = S₂ = S.

Bereken voor welke waarden van S het verschil middelmatig is.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over het vergelijken van groepen met behulp van de effectgrootte. Je moet gegevens uit een tabel halen en deze invullen in een formule van het formuleblad. Daarna los je een ongelijkheid op om een interval te vinden.

Wat moet je kennen: Je moet de formule voor effectgrootte kennen en weten hoe je deze toepast. Ook moet je de grenzen voor een 'middelmatig' verschil in effectgrootte kennen, zoals die op je formuleblad staan. Je moet ook weten hoe je algebraïsch een ongelijkheid oplost.

Wat moet je kunnen: Je kunt de juiste gemiddelden uit de tabel aflezen. Je kunt de formule voor de effectgrootte correct invullen. Je kunt de vergelijkingen opstellen met de grenswaarden voor de effectgrootte en deze algebraïsch oplossen naar S. Je kunt het uiteindelijke interval voor S correct noteren.

Waar op letten: Je leest de gemiddelden voor de groepen 'laag' en 'hoog' correct af uit tabel 3.
Je gebruikt de formule voor de effectgrootte van je formuleblad. Let op de notatie van de standaardafwijking S.
Je weet dat een 'middelmatig' verschil in effectgrootte ligt tussen 0,4 en 0,8 (inclusief 0,4, exclusief 0,8).
Je stelt twee vergelijkingen op (E = 0,4 en E = 0,8) en lost deze algebraïsch op naar S.
Je noteert het uiteindelijke interval voor S correct, let hierbij goed op de 'groter dan of gelijk aan' en 'kleiner dan' tekens.

Kernbegrippen: effectgrootte, statistische maten, algebraïsch oplossen

Veelgemaakte fouten:
- Verwisselen van de grenzen voor 'middelmatig' (0,4 en 0,8)
- Foutieve algebra bij het oplossen van 0,8/S = c
- Incorrecte notatie van het eindinterval (bijv. < i.p.v. ≤)

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2023/tijdvak-1/vraag/14

## Vraag 15 – Opgave 1 (3 punten)

Een coureur nadert een bocht met een straal van 80 meter.
Bereken met behulp van formule 1 voor deze bocht de maximale bochtensnelheid in hele km per uur.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een formule waarin de straal (r) en de snelheid (v) met elkaar in verband staan. Je moet een gegeven waarde voor de straal invullen en vervolgens de vergelijking oplossen voor de snelheid met je grafische rekenmachine.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een complexe vergelijking invoert in je GR en hoe je de snijpunten van grafieken kunt vinden om de oplossing te bepalen. Je moet ook de juiste eenheden en afronding toepassen.

Wat moet je kunnen: Je kunt de gegeven straal (r = 80 meter) correct substitueren in de formule. Je kunt de resulterende vergelijking (80 = \frac{4,026 \cdot v^2}{(7644 + 0,1929 \cdot v^2)^{0,8}}) invoeren in je GR, bijvoorbeeld als Y1 = 80 en Y2 = \frac{4,026 \cdot x^2}{(7644 + 0,1929 \cdot x^2)^{0,8}}. Je kunt vervolgens de 'intersect'-functie van je GR gebruiken om de waarde van v te vinden. Tot slot rond je je antwoord af op hele km per uur en beschrijf je kort je GR-methode.

Waar op letten: Let goed op de straal r die je moet invullen in de formule. Deze is gegeven in de vraagtekst.
Voer de formule nauwkeurig in je grafische rekenmachine in. Een kleine fout in haakjes of machten kan leiden tot een verkeerd antwoord.
Gebruik de 'intersect'-functie van je GR om de vergelijking op te lossen. Zorg dat je een passend window instelt zodat je het snijpunt kunt zien.
Vergeet niet je antwoord af te ronden op hele km per uur, zoals gevraagd.
Beschrijf kort de stappen die je op je GR hebt uitgevoerd om tot je antwoord te komen. Dit is vaak een verplicht onderdeel van de puntentelling.

Kernbegrippen: vergelijking oplossen met GR, formule substitueren, modelleren

Veelgemaakte fouten:
- verkeerd invoeren van de complexe formule in de GR
- vergeten af te ronden op een heel getal
- niet beschrijven van de GR-methode

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2023/tijdvak-1/vraag/15

## Vraag 16 – Opgave 1 (2 punten)

16 Op de uitwerkbijlage staat een schets van de grafiek die hoort bij het verband van formule 1. In deze schets is de maximale bochtensnelheid v uitgezet tegen de straal r van de bocht. Geef in de grafiek op de uitwerkbijlage het gebied aan waar de coureur uit de bocht vliegt. Licht je antwoord toe. Omdat de banden gedurende de race slijten, verliezen ze grip op het wegdek en lopen de rondetijden op. Daarom worden tijdens zogeheten pitstops de banden te verwisseld voor nieuwe, maar dat wisselen kost wel tijd (pitstraat inrijden, banden wisselen, pitstraat uitrijden). Voor een bepaald type F1-auto kan het totale tijdverlies T in een race als gevolg van slijtage van de banden en het aantal pitstops, worden gegeven door de formule: T=\frac0,5· b· L^2n+1+n· P \quad (formule 2) Hierin is: - T het totale tijdverlies in seconden - b de bandenslijtage, een getal dat onder andere afhangt van het circuit - L het aantal ronden van de race - n het aantal pitstops in de race - P het gemiddelde tijdverlies in seconden per pitstop Als we bij een race van 60 ronden uitgaan van een bandenslijtage van 0,1 en een gemiddeld tijdverlies van 20 seconden per pitstop, dan kunnen we formule 2 herleiden tot de formule: T=\frac20n^2+20n+180n+1 \quad (formule 3) 17 Geef deze herleiding. 18 Bereken met behulp van formule 3 het optimale aantal pitstops voor de bovenstaande race van 60 ronden.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een grafiek die de maximale bochtensnelheid weergeeft. Je moet een gebied in deze grafiek arceren en toelichten waarom dat gebied hoort bij de situatie dat een coureur uit de bocht vliegt.

Wat moet je kennen: Je moet begrijpen wat een 'maximale' waarde in een grafiek betekent en hoe je dit relateert aan de assen. Je moet ook weten hoe je een gebied in een grafiek correct aangeeft en toelicht.

Wat moet je kunnen: Je kunt de grafiek interpreteren en het verband tussen de maximale bochtensnelheid en de straal van de bocht uitleggen. Je kunt op basis hiervan het juiste gebied in de grafiek arceren en een duidelijke toelichting geven waarom dit gebied de situatie beschrijft waarin de coureur uit de bocht vliegt.

Waar op letten: Let goed op de betekenis van 'maximale bochtensnelheid'. Wat gebeurt er als de snelheid hoger is dan deze maximale snelheid?
Controleer welke variabele op de verticale as (y-as) staat en welke op de horizontale as (x-as). Dit is cruciaal voor je redenering.
Denk na over de relatie tussen de snelheid van de coureur en de maximale snelheid die de grafiek aangeeft. Waar in de grafiek liggen de punten waar de coureur te snel gaat?
Vergeet niet je antwoord duidelijk toe te lichten. Zonder toelichting krijg je geen punten, ook al heb je het juiste gebied gearceerd.
Zorg ervoor dat je toelichting specifiek verwijst naar de grafiek en de betekenis van de assen.

Kernbegrippen: grafiek interpreteren, verband tussen variabelen, gebied in een grafiek arceren

Veelgemaakte fouten:
- Het gebied onder de grafiek arceren in plaats van erboven.
- Vergeten een toelichting te geven, wat volgens het CV leidt tot 0 punten.
- De assen verwisselen in de redenering.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2023/tijdvak-1/vraag/16

## Vraag 17 (4 punten)

Omdat de banden gedurende de race slijten, verliezen ze grip op het wegdek en lopen de rondetijden op. Daarom worden tijdens zogeheten pitstops de banden te verwisseld voor nieuwe, maar dat wisselen kost wel tijd (pitstraat inrijden, banden wisselen, pitstraat uitrijden).

Voor een bepaald type F1-auto kan het totale tijdverlies T in een race als gevolg van slijtage van de banden en het aantal pitstops, worden gegeven door de formule:

T=\frac0,5· b· L^2n+1+n· P \quad (formule 2)

Hierin is:
- T het totale tijdverlies in seconden
- b de bandenslijtage, een getal dat onder andere afhangt van het circuit
- L het aantal ronden van de race
- n het aantal pitstops in de race
- P het gemiddelde tijdverlies in seconden per pitstop

Als we bij een race van 60 ronden uitgaan van een bandenslijtage van 0,1 en een gemiddeld tijdverlies van 20 seconden per pitstop, dan kunnen we formule 2 herleiden tot de formule:

T=\frac20n^2+20n+180n+1 \quad (formule 3)

17 Geef deze herleiding.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een formule met meerdere variabelen en een aantal gegeven waarden voor die variabelen. Je moet deze waarden invullen in de formule en de formule vervolgens herleiden tot een eenvoudigere vorm, zoals gegeven in de vraag.

Wat moet je kennen: Je moet de basisregels van algebra kennen, zoals het substitueren van waarden in een formule, het vermenigvuldigen van getallen, het kwadrateren van getallen, en het gelijknamig maken van breuken om ze op te tellen.

Wat moet je kunnen: Je kunt de gegeven waarden correct invullen in de formule. Je kunt de breuk vereenvoudigen en de twee termen (de breuk en de term met 'n') bij elkaar optellen door ze gelijknamig te maken. Je kunt haakjes wegwerken en de termen in de teller van de breuk op de juiste volgorde zetten.

Waar op letten: Je substitueert de waarden voor b, L en P correct in Formule 2. Let goed op de volgorde van bewerkingen (eerst kwadrateren, dan vermenigvuldigen).
Je vereenvoudigt de teller van de breuk na substitutie. Reken dit zorgvuldig uit.
Je maakt de twee termen (de breuk en de term met 'n') gelijknamig. Dit betekent dat je de term 'n * P' ook als een breuk met noemer (n+1) schrijft.
Je telt de tellers van de gelijknamige breuken bij elkaar op. Vergeet niet de haakjes correct weg te werken bij het vermenigvuldigen van 'n * P' met (n+1).
Je ordent de termen in de teller van de uiteindelijke breuk in de juiste volgorde (meestal aflopend op macht van n, dus n^2, dan n, dan constante).

Kernbegrippen: formules herleiden, algebraïsche vaardigheden, substitutie

Veelgemaakte fouten:
- rekenfouten bij het substitueren en vereenvoudigen
- fouten bij het gelijknamig maken van breuken

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2023/tijdvak-1/vraag/17

## Vraag 18 – Opgave 18 (3 punten)

18 Bereken met behulp van formule 3 het optimale aantal pitstops voor de bovenstaande race van 60 ronden.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een formule die een verband beschrijft tussen twee variabelen. Je moet de optimale waarde van één van die variabelen vinden, wat betekent dat je een minimum of maximum van de functie moet bepalen.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een minimum van een functie kunt vinden, zowel door waarden in te vullen als door de grafische rekenmachine te gebruiken. Je moet ook begrijpen wat 'optimaal' betekent in de context van de vraag (in dit geval: minimaal tijdverlies).

Wat moet je kunnen: Je kunt de gegeven formule correct invoeren in je grafische rekenmachine. Je kunt de tabel-functie van je GR gebruiken om functiewaarden te berekenen voor verschillende gehele getallen. Je kunt het minimum van een functie vinden met de GR (bijvoorbeeld via de 'minimum' functie of door de tabel te inspecteren). Je kunt je antwoord controleren door omliggende waarden te berekenen.

Waar op letten: Je interpreteert 'optimaal' correct: in deze context betekent het dat het totale tijdverlies T zo klein mogelijk moet zijn (een minimum).
Je gebruikt de juiste formule, namelijk formule 3, zoals expliciet in de vraag staat.
Je realiseert je dat het aantal pitstops (n) een geheel getal moet zijn. Je kunt dus geen antwoord geven zoals 2,3 pitstops.
Je controleert of de gevonden waarde voor n daadwerkelijk het minimum is door ook de waarden van T te berekenen voor n-1 en n+1 (bijvoorbeeld n=1 en n=3 als je denkt dat n=2 het minimum is).
Je geeft het antwoord in de juiste eenheid, namelijk het aantal pitstops.

Kernbegrippen: minimum van een functie bepalen, optimaliseren, werken met een wiskundig model, grafische rekenmachine gebruiken voor extremen

Veelgemaakte fouten:
- Niet begrijpen dat 'optimaal' betekent dat het tijdverlies 'T' minimaal moet zijn.
- Reken- of invoerfouten bij het gebruiken van de formule.
- Het aantal pitstops 'n' moet een geheel getal zijn; een niet-geheel getal als antwoord geven na het vinden van een minimum met de GR.
- Alleen de waarde van T voor n=2 berekenen zonder te controleren of dit daadwerkelijk een minimum is door te vergelijken met omliggende waarden (zoals n=1 en n=3).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2023/tijdvak-1/vraag/18

## Vraag 19 – Opgave 1 (4 punten)

Als het gemiddelde tijdverlies per pitstop zou kunnen afnemen, dan kan het optimale aantal pitstops misschien toenemen om het totale tijdverlies in de race zo klein mogelijk te houden.
Op een ander circuit, waar de race 45 ronden duurt, geldt voor een bepaalde F1-auto een bandenslijtage van 0,3. Je kunt dan met de volgende formule het optimale aantal pitstops bepalen:
N = -1 + 45√((3)/(20P)) (formule 4)
Hierin is N het (onafgeronde) optimale aantal pitstops en P het gemiddelde tijdverlies in seconden per pitstop.
Op dit circuit geldt voor deze F1-auto dat het gemiddelde tijdverlies van een pitstop 24,8 seconden is. Uit de formule volgt dan dat N ongeveer 2,5 is. Er moet een keuze gemaakt worden of er nu 2 of 3 pitstops moeten plaatsvinden. Deze keuze zou makkelijker zijn als N precies 3 was geweest.
4p 19 Bereken hoeveel korter het gemiddelde tijdverlies per pitstop moet zijn om uit te komen op een optimaal aantal pitstops van precies 3. Geef je antwoord in seconden en in één decimaal.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een formule waarin het optimale aantal pitstops (N) afhangt van het gemiddelde tijdverlies per pitstop (P). Je moet een specifieke waarde voor N invullen en vervolgens de bijbehorende waarde van P berekenen. Daarna bereken je een verschil.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een vergelijking met een wortel oplost, bij voorkeur met je grafische rekenmachine. Je moet ook de context van de vraag begrijpen om de juiste waarden in de formule in te vullen en het eindantwoord correct te interpreteren.

Wat moet je kunnen: Je kunt de gegeven formule correct invoeren in je grafische rekenmachine. Je kunt de 'intersect' of 'solver' functie van je GR gebruiken om de vergelijking op te lossen. Je kunt het resultaat van P interpreteren en het verschil berekenen met de oorspronkelijke waarde. Tot slot rond je het antwoord correct af op één decimaal en geef je de juiste eenheid.

Waar op letten: Je stelt de vergelijking correct op door N = 3 in de formule in te vullen: -1 + 45 * sqrt((3)/(20P)) = 3.
Je lost deze vergelijking op voor P met je grafische rekenmachine (bijvoorbeeld door Y1 = -1 + 45 * sqrt((3)/(20X)) en Y2 = 3 in te voeren en het snijpunt te zoeken).
Je berekent het verschil tussen het oorspronkelijke tijdverlies (24,8 seconden) en de nieuw berekende waarde van P.
Je let goed op de afronding: het eindantwoord moet in seconden en op één decimaal nauwkeurig zijn.
Je controleert of je antwoord logisch is in de context van de vraag.

Kernbegrippen: vergelijking oplossen met de grafische rekenmachine, werken met formules in context, interpreteren van rekenresultaten

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten het verschil te berekenen tussen de oude en nieuwe pitstoptijd (24,8 - P).
- Foutief invoeren van de formule in de rekenmachine.
- Incorrect afronden van het eindantwoord op één decimaal.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2023/tijdvak-1/vraag/19

## Vraag 20 – Opgave 1 (3 punten)

20 seconden per pitstop, dan kunnen we formule 2 herleiden tot de formule: T=\frac20n^2+20n+180n+1 \quad (formule 3) 17 Geef deze herleiding. 18 Bereken met behulp van formule 3 het optimale aantal pitstops voor de bovenstaande race van 60 ronden.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een formule en je moet deze herleiden tot een nieuwe formule. Daarna gebruik je de herleide formule om een optimale waarde te berekenen. Dit vraagt om inzicht in het manipuleren van formules en het vinden van een minimum met je grafische rekenmachine.

Wat moet je kennen: Je moet de basisregels van algebra kennen om formules te herleiden. Ook moet je weten hoe je de grafiek van een functie plot op je GR en hoe je het minimum van een functie vindt.

Wat moet je kunnen: Je kunt een gegeven formule stap voor stap herleiden door termen te combineren en te vereenvoudigen. Je kunt de herleide formule invoeren in je GR en de optie 'minimum' gebruiken om het optimale aantal pitstops te vinden. Je interpreteert de uitkomst in de context van de vraag.

Waar op letten: Let goed op de volgorde van bewerkingen bij het herleiden van de formule. Combineer alleen gelijksoortige termen.
Controleer na het herleiden of de nieuwe formule logisch is en overeenkomt met de gegeven informatie (20 seconden per pitstop).
Bij het berekenen van het optimale aantal pitstops met je GR, zorg je ervoor dat je de juiste functie invoert en dat je het minimum correct afleest.
Het 'optimale aantal pitstops' is vaak een geheel getal. Denk na over hoe je de uitkomst van je GR afrondt in de context van het aantal pitstops.
Vergeet niet de eenheid (of het ontbreken daarvan) te vermelden bij je antwoord voor het aantal pitstops.

Kernbegrippen: verbanden in formules, omgekeerd evenredig verband, wiskundig redeneren

Veelgemaakte fouten:
- gebruiken van getallenvoorbeelden ondanks verbod
- verkeerd redeneren over de invloed van een variabele in de noemer
- onvolledige redenering (stappen overslaan)

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2023/tijdvak-1/vraag/20

## Vraag 21 – Opgave 1 (7 punten)

De hypotheekkosten en de huurprijs van de grond veranderen niet tijdens de looptijd. We nemen aan dat de percentages G en H ook niet veranderen tijdens de looptijd.
Het huis en de grond worden in de loop van de 30 jaar meer waard. We nemen aan dat de waarde van zowel het huis als de grond jaarlijks met 2% toeneemt.
Nicolette en Fouad overwegen het huis met duo-koop te kopen. Daarmee zijn de maandelijkse kosten lager dan bij de gewone koop. Na de looptijd van 30 jaar verwachten ze voldoende geld te hebben om de grond alsnog te kopen, uiteraard voor de prijs die de grond op dat moment waard is. Dit zal betekenen dat de totale kosten over de looptijd van 30 jaar bij duo-koop hoger zullen zijn dan bij gewone koop.
Nicolette en Fouad willen het huis met duo-koop kopen als de totale kosten daarbij minder dan € 100 000 hoger zijn dan bij gewone koop. Als dat niet zo is, gaat de koop niet door.
21 Onderzoek of Nicolette en Fouad het huis in Den Haag wel of niet zullen kopen.

Wat kun je verwachten: Je gaat de totale kosten van twee verschillende koopopties (gewone koop en duo-koop) vergelijken over een periode van 30 jaar. Je moet rekening houden met maandelijkse kosten, eenmalige kosten en een jaarlijkse waardestijging van de grond. Uiteindelijk bepaal je of de extra kosten van duo-koop binnen een bepaalde grens vallen.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je maandelijkse kosten omrekent naar totale kosten over een langere periode. Je moet ook begrijpen hoe je een percentage gebruikt om een deel van een totaalbedrag te berekenen (zoals de waarde van de grond). Daarnaast is kennis van groeifactoren en exponentiële groei essentieel om de toekomstige waarde van de grond te bepalen.

Wat moet je kunnen: Je kunt informatie uit een tabel aflezen en deze correct toepassen in je berekeningen. Je kunt de groeifactor berekenen en gebruiken voor exponentiële groei. Je kunt alle kostenposten voor beide scenario's nauwkeurig berekenen en optellen. Tot slot kun je de totale kosten van beide scenario's vergelijken en op basis daarvan een conclusie trekken, rekening houdend met de gestelde voorwaarde.

Waar op letten: Lees de tabel goed af: welke kosten horen bij 'gewone koop' en welke bij 'duo-koop'? Let op de percentages G en H voor de grond bij duo-koop.
Bereken eerst de waarde van de grond bij aankoop. Dit is een percentage (G) van de totale huiswaarde.
Houd rekening met de looptijd van 30 jaar en dat kosten vaak per maand worden gegeven. Je moet dus vermenigvuldigen met 12 (maanden) en 30 (jaren) om tot totale kosten te komen.
Vergeet niet de jaarlijkse waardestijging van 2% voor de grond mee te nemen in je berekening voor de prijs na 30 jaar. Gebruik hiervoor de groeifactor (1 + 0,02 = 1,02) en de exponent (30 jaar).
Vergelijk de totale kosten van beide opties en bepaal het verschil. Controleer of dit verschil minder dan € 100 000 is om de uiteindelijke conclusie te trekken.

Kernbegrippen: financieel rekenen, procentuele toename, groeifactor, kostenvergelijking, hypotheek

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten van de 2% jaarlijkse waardestijging van de grond
- Verwarring tussen maandelijkse en totale kosten over 30 jaar
- Onjuiste berekening van de totale kosten voor een van de scenario's
- Foutieve conclusie door de drempel van €100.000 verkeerd te interpreteren

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2023/tijdvak-1/vraag/21

## Vragen in dit examen

### Vraag 11

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over het classificeren van variabelen. Je moet de verschillen kennen tussen kwalitatieve en kwantitatieve variabelen, en specifiek tussen nominale en ordinale variabelen. Je moet uitleggen waarom een variabele wel of niet ordinaal is.

Wat moet je kennen: Je moet de definities van kwalitatieve, kwantitatieve, nominale en ordinale variabelen kennen. Een kwalitatieve variabele beschrijft een eigenschap of categorie. Een ordinale variabele is een kwalitatieve variabele waarvan de categorieën een logische volgorde of rangorde hebben. Een nominale variabele is een kwalitatieve variabele waarvan de categorieën geen logische volgorde hebben.

Wat moet je kunnen: Je moet gegeven kenmerken kunnen analyseren en bepalen of de categorieën een natuurlijke rangorde hebben. Je moet je keuze helder kunnen toelichten met een argumentatie die verwijst naar de aanwezigheid of afwezigheid van een logische ordening.

Waar op letten: Let goed op het verschil tussen 'kwalitatief' en 'ordinaal'. Alle ordinale variabelen zijn kwalitatief, maar niet alle kwalitatieve variabelen zijn ordinaal.
Controleer bij elk kenmerk of er een duidelijke 'meer dan' of 'minder dan' relatie is tussen de categorieën. Zo ja, dan is het ordinaal.
Vergeet niet bij elk kenmerk je antwoord toe te lichten. Zonder toelichting krijg je geen punten.
Denk na over voorbeelden: 'kleur' is kwalitatief en nominaal (geen volgorde), 'opleidingsniveau' is kwalitatief en ordinaal (vmbo < havo < vwo).

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen HAVO
2023
tijdvak 1
dinsdag 23 mei
13.30 - 16.30 uur

wiskunde A

Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

Dit examen bestaat uit 21 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 76 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald
kunnen worden.

Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.

Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.

HA-1024-a-23-1-o

### Pagina 2

FORMULEBLAD
Vuistregels voor de grootte van het verschil van twee groepen
2×2-kruistabel $\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)$, met $phi = \frac{ad-bc}{\sqrt{(a+b)(a+c)(b+d)(c+d)}}$,
waarin $a, b, c$ en $d$ absolute aantallen zijn
– als $phi < -0,4$ of $phi > 0,4$, dan zeggen we "het verschil is groot"
– als $-0,4 \le phi < -0,2$ of $0,2 < phi \le 0,4$, dan zeggen we "het verschil is
middelmatig"
– als $-0,2 \le phi \le 0,2$, dan zeggen we "het verschil is gering"
Maximaal verschil in cumulatief percentage (max $V_{cp}$)
(met voor beide groepen een steekproefomvang $n > 100$)
– als max $V_{cp} > 40$, dan zeggen we "het verschil is groot",
– als $20 < \max V_{cp} \le 40$, dan zeggen we "het verschil is middelmatig",
– als $\max V_{cp} \le 20$, dan zeggen we "het verschil is gering".
Effectgrootte $E = \frac{\overline{X}_{1}-\overline{X}_{2}}{\frac{1}{2}(S_{1}+S_{2})}$, met $\overline{X}_{1}$ en $\overline{X}_{2}$ de steekproefgemiddelden
($\overline{X}_{1} \ge \overline{X}_{2}$), $S_{1}$ en $S_{2}$ de steekproefstandaardafwijkingen
– als $E > 0,8$, dan zeggen we "het verschil is groot",
– als $0,4 < E \le 0,8$, dan zeggen we "het verschil is middelmatig",
– als $E \le 0,4$, dan zeggen we "het verschil is gering".
Twee boxplots vergelijken
– als de boxen¹) elkaar niet overlappen, dan zeggen we "het verschil is
groot",
– als de boxen elkaar wel overlappen en een mediaan van een boxplot
buiten de box van de andere boxplot ligt, dan zeggen we "het verschil is
middelmatig",
– in alle andere gevallen zeggen we "het verschil is gering".
noot 1 De 'box' is het interval vanaf het eerste kwartiel tot en met het derde kwartiel.
HA-1024-a-23-1-0
2/15
le es verder

### Pagina 3

Betrouwbaarheidsintervallen

Het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de populatieproportie is

$p \pm 2 \cdot \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$, met $p$ de steekproefproportie en $n$ de steekproefomvang.

Het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het populatiegemiddelde is

$\bar{X} \pm 2 \cdot \frac{S}{\sqrt{n}}$, met $\bar{X}$ het steekproefgemiddelde, $n$ de steekproefomvang en
$S$ de steekproefstandaardafwijking.

HA-1024-a-23-1-o

3/15

lees verder


### Pagina 4

```json
{
  "page_type": "opgaven",
  "exam_info": {
    "subject": "Huisartsenzorg",
    "year": null,
    "tijdvak": null
  },
  "figures": [],
  "keywords": "huisartsenzorg, uitgaven, aantal consulten, formule, leeftijd, model, procenten, afronden, afleiding"
}
```

### Pagina 5

3p 4 We kijken nu naar personen van 65 jaar of ouder. Neem ook voor deze
leeftijdsgroep aan dat het verband tussen het aantal huisartsconsulten per
persoon per jaar (/) en de leeftijd in jaren (/) lineair is. Voor personen van
65 jaar is het aantal huisartsconsulten per persoon per jaar gelijk aan 5.
Voor personen van 80 jaar is dit aantal gelijk aan 9.
Bereken met deze gegevens het aantal huisartsconsulten per persoon per
jaar voor personen die 92 jaar oud zijn. Geef je antwoord als geheel getal.

HA-1024-a-23-1-o
5/15
lees verder

### Pagina 6

Mobiel dataverbruik
Op de hele wereld gebruiken mensen hun
mobiele telefoon steeds meer. De
hoeveelheid verbruikte mobiele data neemt
daardoor elk jaar toe.
In Nederland was in 2017 het totale
mobiele dataverbruik
325 miljoen gigabyte (GB), een stijging van
1050% ten opzichte van 2013.
3p 5 Bereken het totale mobiele dataverbruik in Nederland in 2013. Geef je
antwoord in hele miljoen GB.
In figuur 1 is te zien dat het mobiele dataverbruik per simkaart1) in diverse
Europese landen in de periode 2008-2017 enorm is gestegen.
figuur 1 mobiel dataverbruik per simkaart per maand
data-
verbruik
(GB) 12
14
Finland
10
8
6
4
2
0
2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017
Zweden
Groot-Brittannië
Nederland
Je kunt in figuur 1 aflezen dat in Finland in het jaar 2013 het mobiele
dataverbruik per simkaart 1,6 GB per maand was. Dit was in 2017
gegroeid naar 12,0 GB per maand. Neem aan dat er in deze periode
sprake was van exponentiële groei.
4p 6 Bereken het jaarlijkse groeipercentage van het mobiele dataverbruik per
simkaart per maand in deze periode in Finland. Geef je antwoord in hele
procenten.
noot 1 Een simkaart is een chip die in een mobiel apparaat gedaan wordt. In deze opgave
wordt steeds het gemiddelde mobiele dataverbruik per simkaart bedoeld. SIM staat
voor Subscriber Identity Module.
HA-1024-a-23-1-o
6/15
lees verder

### Pagina 7

In 2017 was het mobiele dataverbruik per simkaart per maand in Finland
12 keer zo groot als in Nederland. Dit is deels te verklaren door het feit
dat het dataverbruik in Finland een stuk goedkoper was. De providers in
Nederland brachten in 2017 gemiddeld ongeveer 14 keer zoveel in
rekening als de providers in Finland voor het verbruik van dezelfde
hoeveelheid mobiele data.
4p
7
Bereken hoeveel procent de inwoners van Finland in 2017 in totaal minder
uitgaven aan mobiele data dan de inwoners van Nederland. Geef je
antwoord in hele procenten.
In figuur 2 is voor het jaar 2017 het verband tussen de
gemiddelde prijs (P) van het mobiele dataverbruik en het verbruik (V) per
simkaart per maand weergegeven.
figuur 2
V (GB)
14
12
10
8
6
4
2
0
Finland
Oostenrijk
Estland
Ierland
Zweden
Noorwegen
Groot-Brittannië
Hongarije
Nederland
België
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
28
→ P (eurocent per GB)
In figuur 2 is te zien: hoe hoger de prijs in een bepaald land is, hoe lager
het dataverbruik. Bij de trendlijn hoort een omgekeerd evenredig verband.
Stel een formule op van dit verband.
3p
8
In figuur 1 zie je bij de vier Europese landen dat het mobiele dataverbruik
toenemend stijgt. In Zuid-Korea en Japan, die niet zijn opgenomen in
figuur 1, is de sterke groei al wat afgenomen. In de tabel staan de
gegevens van deze landen van de jaren 2014 en 2015.
tabel mobiel databruik per simkaart per maand
2014
2015
Zuid-Korea
1,711 GB
2,198 GB
Japan
1,631 GB
1,945 GB
Neem aan dat de toename van het mobiele dataverbruik per simkaart per
maand in beide landen vanaf 2014 lineair is. Dan zal men in Zuid-Korea
eerder gemiddeld 10 GB per simkaart per maand verbruiken dan in Japan.
5p
9
Bereken hoeveel jaar eerder dit zal gebeuren. Geef je antwoord in hele
jaren.
HA-1024-a-23-1-0
7/15
lees verder

### Pagina 8

Bewege n jongeren genoeg?

[FIGUUR: Een collage van vijf foto's van jongeren die sporten: voetballen, taekwondo, kickboksen, tennis en basketballen.]

Het lijkt erop dat een aanzienlijk deel van de jongeren in Nederland te
weinig beweegt. Het onderzoek ‘Health Behaviour in School-aged
Children’ dat sinds 1985 uitgevoerd wordt, bevat informatie over het
beweeggedrag van jongeren in Nederland. Deze opgave gaat over het
deel van dit onderzoek dat betrekking heeft op jongeren in het reguliere
voortgezet onderwijs in de eerste vier leerjaren. Deze groep beschouwen
we in deze opgave als de onderzoekspopulatie. Aan het onderzoek deden
67 scholen mee. We nemen aan dat deze groep scholen een aselecte en
representatieve steekproef vormt uit alle scholen voor regulier voortgezet
onderwijs.

Onder de deelnemende scholen waren er scholen met een groot aantal
klassen en scholen met een klein aantal klassen. De onderzoekers kregen
van elke school een lijst van alle klassen van de eerste vier leerjaren.
Uit elke lijst trokken de onderzoekers vervolgens aselect uit elk leerjaar
één klas. Alle leerlingen uit die getrokken klassen deden mee aan het
onderzoek.

De leerlingen die op deze manier in de steekproef terecht zouden komen,
vormen geen aselecte steekproef uit de onderzoekspopulatie.

2p
10
Leg dit uit.

De onderzoekers hebben het bovengenoemde probleem uiteindelijk
opgelost. In de rest van de opgave nemen we aan dat de steekproef
aselect en representatief is.

Aan de leerlingen zijn onder andere de volgende vragen over bewegen
gesteld:
– Doe je minstens twee keer per week aan sport of speel je minstens
twee keer per week buiten?
– Ben je lid van een sportclub?
– Op hoeveel dagen van de afgelopen zeven dagen was je ten minste
één uur per dag bezig met lichaamsbeweging?

HA-1024-a-23-1-0
8/15
lees verder

### Pagina 9

```json
{
  "page_type": "opgaven",
  "exam_info": {
    "subject": null,
    "year": null,
    "tijdvak": null
  },
  "figures": [
    "Tabel met het aantal deelnemers aan het onderzoek en het percentage dat minstens twee keer per week sport of buiten speelt, gesplitst naar geslacht.",
    "Tabel met het aantal deelnemers aan het onderzoek en het aantal dat lid is van een sportclub, gesplitst naar schoolniveau (vmbo, havo, vwo)."
  ],
  "keywords": "statistiek, variabelen, kwalitatieve variabelen, ordinale variabelen, betrouwbaarheidsinterval, populatieproportie, overlap, schoolniveau, sportclub, havo, vwo, vmbo"
}
```

### Pagina 10

In tabel 3 staat het aantal deelnemende leerlingen en het gemiddelde
aantal dagen dat zij in de afgelopen zeven dagen minstens één uur per
dag bezig waren met lichaamsbeweging, uitgesplitst naar gezinswelvaart.
tabel 3
gezinswelvaart
laag
midden
hoog
aantal deelnemers onderzoek
680
3097
1794
gemiddeld aantal dagen met minstens
één uur lichaamsbeweging
3,8
4,2
4,6
Op basis van tabel 3 wil Yarah het gemiddelde aantal dagen (met
minstens één uur lichaamsbeweging) van de groepen laag en hoog met
elkaar vergelijken. Hierbij wil Yarah gebruikmaken van de effectgrootte
zoals die op het formuleblad is weergegeven.
Veronderstel dat de standaardafwijking $S_1$ voor de groep met lage
gezinswelvaart even groot is als de standaardafwijking $S_2$ voor de groep
met hoge gezinswelvaart, dus $S_1=S_2=S$.
4p 14 Bereken voor welke waarden van S het verschil middelmatig is.
HA-1024-a-23-1-o
10/15
lees verder ► ► ►

### Pagina 11

Formules in de F1
Formule 1 (F1) is de hoogste klasse in de
autosport. Gedurende het jaar worden er
races gehouden op circuits in
verschillende landen.
In deze opgave kijken we naar enkele
formules in de F1 die het verschil kunnen
bepalen tussen winnen en verliezen.
In een F1-race moet de coureur steeds inschatten met welke snelheid hij
een bocht kan nemen. Voor de scherpte van de bocht geldt: hoe kleiner
de straal r van de bocht, hoe scherper de bocht. Zie de figuur.
figuur
scherpe bocht
flauwe bocht
Als de coureur sneller rijdt dan de maximale bochtsnelheid v, vliegt hij
uit de bocht.
Onder bepaalde omstandigheden geldt voor een bepaald type F1-auto het
volgende verband tussen v en r:
$r=\frac{4,026 \cdot v^{2}}{(7644+0,1929 \cdot v^{2})^{0.8}}$
(formule 1)
Hierin is r de straal van de bocht in meter en v de maximale
bochtsnelheid in km per uur.
Een coureur nadert een bocht met een straal van 80 meter.
3p 15 Bereken met behulp van formule 1 voor deze bocht de maximale
bochtsnelheid in hele km per uur.
HA-1024-a-23-1-o
11 / 15
lees verder

### Pagina 12

Op de uitwerkbijlage staat een schets van de grafiek die hoort bij het
verband van formule 1. In deze schets is de maximale bochtensnelheid v
uitgezet tegen de straal r van de bocht.
Geef in de grafiek op de uitwerkbijlage het gebied aan waar de coureur uit
de bocht vliegt. Licht je antwoord toe.
Omdat de banden gedurende de race slijten, verliezen ze grip op het
wegdek en lopen de rondetijden op. Daarom worden tijdens zogeheten
pitstops de banden te verwisseld voor nieuwe, maar dat wisselen kost
wel tijd (pitstraat inrijden, banden wisselen, pitstraat uitrijden).
Voor een bepaald type F1-auto kan het totale tijdverlies T in een race als
gevolg van slijtage van de banden en het aantal pitstops, worden gegeven
door de formule:
$T = \frac{0,5 \cdot b \cdot L^2}{n+1} + n \cdot P$
(formule 2)
Hierin is:
- T het totale tijdverlies in seconden
- b de bandenslijtage, een getal dat onder andere afhangt van het circuit
- L het aantal ronden van de race
- n het aantal pitstops in de race
- P het gemiddelde tijdverlies in seconden per pitstop
Als we bij een race van 60 ronden uitgaan van een bandenslijtage van
0,1 en een gemiddeld tijdverlies van 20 seconden per pitstop, dan kunnen
we formule 2 herleiden tot de formule:
$T = \frac{20n^2 + 20n + 180}{n+1}$
(formule 3)
4p 17 Geef deze herleiding.
3p 18 Bereken met behulp van formule 3 het optimale aantal pitstops voor de
bovenstaande race van 60 ronden.

### Pagina 13

Als het gemiddelde tijdverlies per pitstop zou kunnen afnemen, dan kan
het optimale aantal pitstops misschien toenemen om het totale tijdverlies
in de race zo klein mogelijk te houden.
Op een ander circuit, waar de race 45 ronden duurt, geldt voor een
bepaalde F1-auto een bandenslijtage van 0,3. Je kunt dan met de
volgende formule het optimale aantal pitstops bepalen:
$N=-1+45\sqrt{\frac{3}{20P}}$ (formule 4)
Hierin is $N$ het (onafgeronde) optimale aantal pitstops en $P$ het
gemiddelde tijdverlies in seconden per pitstop.
Op dit circuit geldt voor deze F1-auto dat het gemiddelde tijdverlies van
een pitstop 24,8 seconden is. Uit de formule volgt dan dat $N$ ongeveer
2,5 is. Er moet een keuze gemaakt worden of er nu 2 of 3 pitstops moeten
plaatsvinden. Deze keuze zou makkelijker zijn als $N$ precies 3 was
geweest.
4p 19 Bereken hoeveel korter het gemiddelde tijdverlies per pitstop moet zijn om
uit te komen op een optimaal aantal pitstops van precies 3. Geef je
antwoord in seconden en in één decimaal.
3p 20 Beredeneer met formule 4, zonder getallenvoorbeelden te gebruiken of
een schets/tekening van de grafiek van $N$ te maken, dat $N$ toeneemt als
het gemiddelde tijdverlies per pitstop afneemt.
HA-1024-a-23-1-o
13/15
lees verder ► ► ►

### Pagina 14

Wel het huis, maar niet de grond
Als je een huis koopt, word je normaal
gesproken niet alleen eigenaar van het huis,
maar ook van de grond waar het huis op
staat.
Voor de betaling sluit de koper meestal een
hypotheek af. Dit is een lening die in
maandelijkse termijnen met rente moet
worden terugbetaald binnen een afgesproken
termijn, de zogenoemde looptijd.
Soms wil een koper een huis kopen waarvoor
de bank geen hypotheek wil geven omdat het
huis eigenlijk te duur is voor de koper. In zo'n
geval kan de koper besluiten tot duo-koop. Je
koopt dan wel het huis, maar niet de grond.
De maandelijkse hypotheek kosten zijn dan
lager, maar er moet dan ook een maandelijkse bedrag voor het huren van
de grond worden betaald.
Bij duo-koop wordt de huurprijs van de grond bepaald aan de hand van
twee percentages:
- $G$: het grondpercentage, dat is de procentuele waarde van de grond
ten opzichte van de prijs van huis en grond samen.
- $H$: het huurpercentage, dat is het percentage van de waarde van de
grond dat jaarlijks aan huur voor de grond betaald moet worden.
Bijvoorbeeld: voor een huis dat inclusief de grond € 200 000 kost en
waarvoor geldt dat $G = 25$ en $H = 6$, is de waarde van de grond € 50 000
en zal bij duo-koop de huur van de grond € 3000 per jaar, dus € 250 per
maand zijn.
Nicolette en Fouad willen een huis kopen in Den Haag. Het huis kost
inclusief de grond € 240 000. Ze willen hiervoor een hypotheek afsluiten
met een looptijd van 30 jaar. In de tabel staat een aanbieding van een
bank voor beide manieren van kopen.
tabel Kosten voor een huis (inclusief grond) van € 240 000
wel het huis,
maar niet de grond
OPEN HUIS A.S. ZATERDAG
TE KOOP
CA CITY AGENCY
DENNIS ONSTENK
DEN HAAG
070 755 0885
gewone koop
duo-koop
huis en grond (koop)
hypotheek kosten
€ 774 per maand
huis (koop)
hypotheek kosten
€ 505 per maand
grond (huur)
$G=35$; $H=1,5$
HA-1024-a-23-1-o
14/15
lees verder

### Pagina 15

De hypotheek kosten en de huurprijs van de grond veranderen niet tijdens
de looptijd. We nemen aan dat de percentages $G$ en $H$ ook niet
veranderen tijdens de looptijd.
Het huis en de grond worden in de loop van de 30 jaar meer waard. We
nemen aan dat de waarde van zowel het huis als de grond jaarlijks met
2% toeneemt.
Nicolette en Fouad overwegen het huis met duo-koop te kopen. Daarmee
zijn de maandelijkse kosten lager dan bij de gewone koop.
Na de looptijd van 30 jaar verwachten ze voldoende geld te hebben om de
grond alsnog te kopen, uiteraard voor de prijs die de grond op dat
moment waard is. Dit zal betekenen dat de totale kosten over de looptijd
van 30 jaar bij duo-koop hoger zullen zijn dan bij gewone koop.
7p 21
Nicolette en Fouad willen het huis met duo-koop kopen als de totale
kosten daarbij minder dan € 100 000 hoger zijn dan bij gewone koop. Als
dat niet zo is, gaat de koop niet door.
Onderzoek of Nicolette en Fouad het huis in Den Haag wel of niet zullen
kopen.
Bronvermelding
Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen
behorende correctievoorschrift.
HA-1024-a-23-1-o
15/15
einde