# Eindexamen Wiskunde A HAVO 2022 tijdvak 3

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2022/tijdvak-3

## Vraag 1 – Opgave 1 (4 punten)

De wereldbevolking bestond in 1990 uit 5,3 miljard mensen en in 2011 uit 7 miljard mensen. Neem aan dat de wereldbevolking in deze periode exponentieel groeide.
4p 1 Bereken het hierbij behorende jaarlijkse groeipercentage. Geef je antwoord in één decimaal.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over exponentiële groei van een populatie over een bepaalde periode. Je moet het jaarlijkse groeipercentage berekenen, gegeven de begin- en eindwaarde en de tijdsduur.

Wat moet je kennen: Je moet het verschil kennen tussen lineaire en exponentiële groei. Je moet weten hoe je een groeifactor berekent over een bepaalde periode en hoe je deze omzet naar een groeifactor per jaar. Ook moet je weten hoe je een groeifactor omzet naar een groeipercentage.

Wat moet je kunnen: Je kunt de groeifactor over een periode berekenen met de formule: groeifactor = (nieuwe waarde) / (oude waarde). Je kunt deze groeifactor vervolgens omrekenen naar een groeifactor per jaar door de juiste machtswortel te trekken (bijvoorbeeld de 21e-machtswortel voor 21 jaar). Je kunt de jaarlijkse groeifactor omzetten naar een groeipercentage door (groeifactor - 1) * 100% te doen. Je kunt je GR gebruiken voor het berekenen van machten en wortels en voor het afronden op het gevraagde aantal decimalen.

Waar op letten: Let goed op dat je uitgaat van exponentiële groei en niet van lineaire groei. Dit betekent dat je werkt met vermenigvuldigen en machten, niet met optellen en delen.
Bereken eerst de totale groeifactor over de hele periode. Deel de eindwaarde door de beginwaarde.
Om de jaarlijkse groeifactor te vinden, moet je de n-de machtswortel trekken van de totale groeifactor, waarbij 'n' het aantal jaren is. Gebruik hiervoor de macht tot de breuk (1)/(n) op je GR.
Zet de berekende jaarlijkse groeifactor (bijvoorbeeld 1,013) correct om naar een groeipercentage. Vergeet niet de '1' eraf te halen en te vermenigvuldigen met 100%.
Rond je uiteindelijke antwoord af op het gevraagde aantal decimalen (één decimaal) en vermeld de eenheid (%).

Kernbegrippen: exponentiële groei, groeifactor per tijdseenheid, groeipercentage berekenen

Veelgemaakte fouten:
- Lineaire groei veronderstellen in plaats van exponentiële groei (bijv. het verschil nemen en delen door het aantal jaar).
- De groeifactor over de gehele periode delen door het aantal jaar in plaats van de n-de machtswortel nemen.
- Vergeten de groeifactor (bijv. 1,013) om te rekenen naar een groeipercentage (1,3%).
- Onjuist afronden op het gevraagde aantal decimalen.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2022/tijdvak-3/vraag/1

## Vraag 2 – Opgave 1 (4 punten)

In 2011 bestond de wereldbevolking uit 7 miljard mensen. In 2012 waren er 80 miljoen mensen bijgekomen. Er zijn verschillende scenario's denkbaar voor de groei van de wereldbevolking na 2012.
In een eerste scenario wordt aangenomen dat de groei vanaf 2011 lineair zal zijn.
Bereken in welk jaar de wereldbevolking volgens dit eerste scenario tot 9 miljard mensen zal zijn toegenomen.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een tekst met informatie over de groei van de wereldbevolking. Je moet een lineair model toepassen om te berekenen wanneer een bepaald aantal mensen bereikt wordt. Je moet goed letten op de eenheden en het startjaar.

Wat moet je kennen: Je moet weten wat lineaire groei betekent en hoe je dit kunt vertalen naar een berekening. Je moet ook goed kunnen omgaan met grote getallen zoals miljoenen en miljarden.

Wat moet je kunnen: Je kunt de totale benodigde groei berekenen. Je kunt de jaarlijkse groei gebruiken om het aantal benodigde jaren te vinden. Je kunt het berekende aantal jaren optellen bij het startjaar om het uiteindelijke jaar te bepalen. Je kunt een lineaire vergelijking opstellen en oplossen.

Waar op letten: Let goed op de eenheden: de startpopulatie en de doelpopulatie zijn in 'miljard', terwijl de jaarlijkse groei in 'miljoen' is. Zorg ervoor dat je alles in dezelfde eenheid omrekent voordat je gaat rekenen.
Bedenk wat 'lineaire groei' betekent: er komt elk jaar een vast aantal mensen bij. Dit is anders dan exponentiële groei, waarbij er elk jaar een vast percentage bijkomt.
Bereken eerst de totale toename die nodig is om van de startpopulatie naar de doelpopulatie te komen.
Deel de totale benodigde toename door de jaarlijkse toename om het aantal jaren te vinden dat nodig is.
Vergeet niet het berekende aantal jaren op te tellen bij het startjaar (2011) om het uiteindelijke jaar te bepalen. Het antwoord is een jaartal, niet alleen het aantal jaren.

Kernbegrippen: lineair model, lineaire groei, rekenen met grote getallen

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd omgaan met eenheden (miljard en miljoen).
- Het aantal jaren berekenen (25) maar vergeten dit op te tellen bij het startjaar (2011).
- Een rekenfout maken bij de deling.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2022/tijdvak-3/vraag/2

## Vraag 3 – Opgave 1 (4 punten)

Een tweede scenario gaat uit van groei, waarin het jaarlijkse groeipercentage tot 2050 langzaam afneemt. In dit scenario wordt een wereldbevolking van 8,9 miljard mensen in 2050 voorspeld. Zie de figuur.

Verder neemt men in dit scenario aan dat het jaarlijkse groeipercentage dat in de figuur is af te lezen voor het jaar 2050, in de jaren na 2050 blijft gelden.
Bereken of daarmee in het jaar 2100 een wereldbevolking van 12 miljard mensen gehaald wordt.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over exponentiële groei van de wereldbevolking. Je moet informatie uit een grafiek aflezen en deze gebruiken om een voorspelling te doen voor de toekomst. Uiteindelijk vergelijk je jouw berekende waarde met een gegeven waarde en trek je een conclusie.

Wat moet je kennen: Je moet het verband tussen een groeipercentage en een groeifactor kennen. Je moet weten hoe je een exponentiële groeiformule opstelt en gebruikt (N(t) = N_0 * g^t). Ook moet je goed grafieken kunnen aflezen.

Wat moet je kunnen: Je moet nauwkeurig een waarde (het groeipercentage) kunnen aflezen uit een lijngrafiek voor een specifiek jaartal (2050). Je moet dit percentage kunnen omzetten naar een groeifactor. Vervolgens stel je een exponentiële groeiformule op en bereken je de wereldbevolking in een toekomstig jaar (2100). Tot slot vergelijk je jouw antwoord met de vraag en formuleer je een duidelijke conclusie.

Waar op letten: Lees het jaarlijkse groeipercentage voor 2050 heel nauwkeurig af uit de grafiek. Let goed op de juiste as en de schaalverdeling.
Zet het afgelezen groeipercentage correct om naar een groeifactor. Onthoud dat een percentage van 0,4% niet 1,4 of 1,04 is, maar 1 + (0,4/100) = 1,004.
Bepaal de juiste exponent voor je berekening. Dit is het aantal jaren tussen het startjaar (2050) en het eindjaar (2100).
Gebruik de juiste beginwaarde voor je berekening, namelijk de wereldbevolking in het jaar 2050 (8,9 miljard).
Vergelijk je berekende wereldbevolking in 2100 met de 12 miljard uit de vraag en geef een duidelijke 'ja' of 'nee' als antwoord, met een korte toelichting.

Kernbegrippen: exponentiële groei, groeifactor, groeipercentage, grafiek aflezen, voorspellen met een model

Veelgemaakte fouten:
- Incorrect aflezen van het groeipercentage uit de grafiek (verkeerde as, onnauwkeurig).
- Fout bij omrekenen van groeipercentage naar groeifactor (bijv. 1.04 i.p.v. 1.004).
- Fout in de exponent (bijv. 2100-2050 = 50, niet 100 of 2100).
- Vergeten de beginwaarde (8,9 miljard in 2050) te gebruiken.
- Conclusie niet of onjuist trekken (vergelijken met 12 miljard).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2022/tijdvak-3/vraag/3

## Vraag 4 – Opgave 1 (3 punten)

Vrijwel alle scenario's voorspellen een groei van de wereldbevolking. Hierdoor zal de voedselproductie omhoog moeten. Niet alleen omdat er meer mensen zullen zijn, maar ook omdat naar verwachting in snel groeiende economieën de gemiddelde voedselconsumptie per persoon zal toenemen. In de tabel zie je de gegevens van de totale wereldbevolking uit 2006 en een voorspelling voor 2050.
tabel
| | wereldbevolking | totale voedselconsumptie per dag |
| :----- | :----- | :----- |
| 2006 | 6569 miljoen | 18000 miljard kilocalorieën |
| 2050 | 9111 miljoen | 28000 miljard kilocalorieën |
Bereken met bovenstaande gegevens met hoeveel kilocalorieën de gemiddelde voedselconsumptie per persoon per dag naar verwachting zal toenemen in de periode van 2006 tot 2050. Geef je antwoord in een geheel aantal kilocalorieën.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een tabel met gegevens over de wereldbevolking en de totale voedselconsumptie in twee verschillende jaren. Je moet de gemiddelde consumptie per persoon berekenen voor beide jaren en vervolgens het verschil bepalen.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een gemiddelde berekent als je een totaal en een aantal hebt. Ook moet je goed om kunnen gaan met grote getallen zoals 'miljoen' en 'miljard'.

Wat moet je kunnen: Je kunt gegevens uit een tabel aflezen. Je kunt een gemiddelde berekenen door een totaal te delen door het aantal. Je kunt het verschil tussen twee waarden berekenen. Je kunt grote getallen (miljoen, miljard) correct invoeren in je GR of omrekenen naar machten van 10. Je rondt je antwoord af zoals gevraagd.

Waar op letten: Let goed op de eenheden 'miljoen' en 'miljard'. Dit zijn machten van 10 (10^6 en 10^9). Zorg dat je deze correct verwerkt in je berekening.
Bereken eerst de gemiddelde voedselconsumptie *per persoon* voor het jaar 2006.
Bereken daarna de gemiddelde voedselconsumptie *per persoon* voor het jaar 2050.
De vraag vraagt om de *toename* van de gemiddelde consumptie per persoon. Dit betekent dat je het verschil tussen de twee berekende gemiddelden moet nemen.
Rond je uiteindelijke antwoord af op een geheel aantal kilocalorieën, zoals gevraagd.

Kernbegrippen: rekenen met grote getallen, gemiddelde berekenen, absolute verandering berekenen

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd omgaan met de eenheden 'miljoen' en 'miljard' (machten van 10).
- De totale toename in consumptie berekenen in plaats van de toename per persoon.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2022/tijdvak-3/vraag/4

## Vraag 5 – Opgave 1 (4 punten)

Bereken deze gevoelstemperatuur. Gebruik hierbij de gevoelstemperaturen die horen bij een werkelijke temperatuur van 0 °C en -25 °C. Geef je antwoord in gehele graden.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over gevoelstemperatuur waarbij je een tabel moet gebruiken. Je moet een lineair verband herkennen en toepassen om een waarde te berekenen die niet direct in de tabel staat.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je gegevens uit een tabel afleest en hoe je een lineair verband kunt gebruiken om te interpoleren of extrapoleren. Je moet ook begrijpen wat 'gevoelstemperatuur' betekent in deze context.

Wat moet je kunnen: Je kunt de juiste gegevens uit de tabel halen. Je kunt een verhouding opstellen op basis van de gegeven temperaturen en gevoelstemperaturen. Je kunt deze verhouding vervolgens toepassen om de gevraagde gevoelstemperatuur te berekenen. Je rondt je antwoord correct af.

Waar op letten: Je leest de tabel goed af voor de juiste windsnelheid (25 km/u) en de werkelijke temperaturen (0 °C en -25 °C).
Je bepaalt de verandering in gevoelstemperatuur over het interval van 0 °C tot -25 °C werkelijke temperatuur.
Je stelt een lineaire verhouding op: hoeveel daalt de gevoelstemperatuur per graad daling van de werkelijke temperatuur?
Je gebruikt deze verhouding om de gevoelstemperatuur te berekenen voor de gevraagde werkelijke temperatuur, die buiten de directe tabelwaarden valt (extrapoleren).
Je rondt je uiteindelijke antwoord af op hele graden, zoals gevraagd in de vraagtekst, en vermeldt de eenheid (°C).

Kernbegrippen: lineair verband, extrapoleren, tabel aflezen

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd aflezen van de tabel.
- Fout bij het opstellen van de lineaire verhouding.
- Reken- of afrondingsfouten.
- Vergeten het antwoord in gehele graden te geven.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2022/tijdvak-3/vraag/5

## Vraag 6 – Opgave 1 (4 punten)

Sinds het begin van deze eeuw wordt bij het KNMI de gevoelstemperatuur berekend met een formule die in Canada ontwikkeld is. Deze formule luidt:
G = 13,12 + 0,62 · T - 13,96 · w⁰,¹⁶ + 0,49 · T · w⁰,¹⁶ (Canadese formule)
In deze formule is T de werkelijke temperatuur in °C, w de windsnelheid in m/s en G de gevoelstemperatuur in °C.
De tabel van Steadman geeft iets andere gevoelstemperaturen dan de Canadese formule. Vooral bij een hoge windsnelheid en een lage werkelijke temperatuur is er een behoorlijk groot verschil tussen de gevoelstemperatuur volgens de tabel en die volgens de formule.
4p 6 Bereken hoeveel graden dit verschil is bij een werkelijke temperatuur van -20 °C en een windsnelheid van 80 km/u. Geef je antwoord in gehelen.

Wat kun je verwachten: Je gaat een verschil berekenen tussen twee gevoelstemperaturen. De ene haal je uit een tabel, de andere bereken je met een formule. Let goed op de eenheden en de juiste manier van aflezen en invullen.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je gegevens uit een tabel afleest en hoe je een formule invult met de juiste waarden. Ook is het belangrijk dat je weet hoe je eenheden omrekent, in dit geval van km/u naar m/s.

Wat moet je kunnen: Je kunt een waarde aflezen uit een tabel met twee ingangen (windsnelheid en temperatuur). Je kunt een windsnelheid omrekenen van km/u naar m/s. Je kunt de gegeven waarden voor temperatuur (T) en windsnelheid (w) correct invullen in de Canadese formule en de uitkomst berekenen met je GR. Tot slot kun je het absolute verschil tussen de twee berekende gevoelstemperaturen bepalen en dit correct afronden.

Waar op letten: Let goed op de eenheden! De windsnelheid in de formule (w) moet in m/s zijn, terwijl de vraag en de tabel ook km/u gebruiken. Je moet 80 km/u omrekenen naar m/s voordat je deze in de formule invult.
Lees de gevoelstemperatuur uit de tabel van Steadman zorgvuldig af bij de juiste werkelijke temperatuur (-20 °C) en windsnelheid (80 km/u).
Vul de waarden voor T en de omgerekende w correct in de Canadese formule in. Gebruik je GR voor de berekening, vooral bij de machtsverheffing (w^0,16).
Bereken het verschil tussen de twee gevonden gevoelstemperaturen. Het gaat om het absolute verschil, dus de positieve waarde van het verschil.
Rond je eindantwoord af in gehele graden Celsius, zoals gevraagd.

Kernbegrippen: formule invullen, tabel aflezen, eenheden omrekenen, verschil berekenen

Veelgemaakte fouten:
- Windsnelheid in km/u gebruiken in de formule in plaats van m/s.
- Verkeerd aflezen uit de tabel.
- Afrondingsfouten bij het berekenen van het verschil.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2022/tijdvak-3/vraag/6

## Vraag 7 – Opgave 1 (3 punten)

Op het eiland Schiermonnikoog waait het in de wintermaanden behoorlijk. De windsnelheid is in deze maanden gemiddeld 6,5 m/s. Je kunt bij deze windsnelheid de Canadese formule herleiden tot de vorm G = a ⋅ T + b waarbij a en b getallen zijn.
Voer deze herleiding uit en geef a en b in twee decimalen.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een formule met meerdere variabelen. Je moet één van de variabelen substitueren met een gegeven waarde en de formule vervolgens herleiden naar een specifieke lineaire vorm (G = a ⋅ T + b). Dit betekent dat je de termen met T en de constante termen apart moet nemen en samenvoegen.

Wat moet je kennen: Je moet de Canadese formule kennen die in de bijlage staat. Je moet ook de basisregels van algebra kennen, zoals de rekenvolgorde (machten eerst), het samenvoegen van gelijksoortige termen en het correct omgaan met positieve en negatieve getallen.

Wat moet je kunnen: Je kunt de gegeven windsnelheid (w) correct invullen in de Canadese formule. Je kunt vervolgens de machten berekenen met je GR. Je kunt de termen met T en de constante termen identificeren en apart van elkaar berekenen. Daarna kun je deze termen samenvoegen om de formule in de vorm G = a ⋅ T + b te krijgen. Tot slot rond je de waarden van a en b correct af op twee decimalen.

Waar op letten: Let goed op de rekenvolgorde: machten gaan voor vermenigvuldigen en optellen/aftrekken. Gebruik je GR voor de machtsverheffing (w^0,16).
Substitueer de windsnelheid (w = 6,5 m/s) correct in de formule. Zorg dat je dit op alle plekken doet waar 'w' voorkomt.
Bereken de numerieke waarden van de termen zonder T en de coëfficiënten van de termen met T nauwkeurig. Rond tussenresultaten niet te vroeg af om afrondingsfouten in het eindantwoord te voorkomen.
Verzamel alle termen die T bevatten en alle constante termen apart. Voeg deze vervolgens samen om de uiteindelijke vorm G = a ⋅ T + b te krijgen.
Rond de uiteindelijke waarden van a en b af op twee decimalen, zoals gevraagd in de vraag.

Kernbegrippen: formule herleiden, substitutie, algebraïsche vaardigheden

Veelgemaakte fouten:
- Rekenvolgorde fouten
- Verkeerd afronden van tussenresultaten of eindantwoorden
- Vergeten de termen met T en de constante termen correct samen te voegen

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2022/tijdvak-3/vraag/7

## Vraag 9 – Opgave 1 (4 punten)

4p 9 Monique vraagt zich af of er een lineair verband bestaat tussen de winnende tijd van de vrouwen op de 500 m en het aantal personen in de kajak. Onderzoek met gegevens uit de tabel of dat verband lineair kan zijn.

Wat kun je verwachten: Je onderzoekt of een verband lineair is door de verandering per stap te controleren. Je moet de juiste gegevens uit een tabel halen en berekeningen uitvoeren om de gemiddelde verandering te bepalen.

Wat moet je kennen: Je moet weten wat een lineair verband inhoudt: een constante verandering per stap. Je kent het verschil tussen absolute verandering en relatieve verandering, en hoe je een gemiddelde verandering berekent over een interval.

Wat moet je kunnen: Je kunt relevante gegevens uit een tabel aflezen. Je kunt de verandering in de afhankelijke variabele (tijd) berekenen en deze delen door de verandering in de onafhankelijke variabele (aantal personen) om de gemiddelde verandering per persoon te vinden. Je kunt deze gemiddelde veranderingen vergelijken om te bepalen of het verband lineair is.

Waar op letten: Je leest de gegevens voor de VROUWEN 500 m af, niet die van de mannen.
Je berekent de verandering in tijd per extra persoon voor de stap van N=1 naar N=2.
Je berekent de verandering in tijd per extra persoon voor de stap van N=2 naar N=4. Let op: hier is de toename in personen 2, dus je deelt door 2.
Je vergelijkt de berekende veranderingen per persoon. Als deze (ongeveer) gelijk zijn, is het verband lineair. Zo niet, dan is het niet lineair.
Je vermeldt duidelijk je conclusie en onderbouwt deze met je berekeningen.

Kernbegrippen: lineair verband, richtingscoëfficiënt, gemiddelde verandering, tabel aflezen

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten de afname van N=2 naar N=4 te delen door de toename in personen (ΔN=2).
- De absolute afnames (ongeveer 9s en 9s) vergelijken en onterecht concluderen dat het verband lineair is.
- De verkeerde rij uit de tabel gebruiken (mannen i.p.v. vrouwen).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2022/tijdvak-3/vraag/9

## Vraag 10 – Opgave 1 (4 punten)

Meer personen leveren een grotere gezamenlijke kracht, maar maken de kajak ook zwaarder. Toch wordt er door meer personen sneller gevaren.
Natuurkundig is te beredeneren dat er bij benadering het volgende verband bestaat:
V = c · N^(1)/(9)
Hierin is V de gemiddelde snelheid in m/s, c een constant getal dat afhangt van het type kajak en de omstandigheden waarin gevaren wordt en N het aantal personen in de boot.
Ook is bekend dat:
V = \fracafstandtijd (met afstand in m en tijd in s)
We gaan ervan uit dat V tijdens een wedstrijd constant is. Je kunt dan met de drie winnende tijden in de tabel nagaan dat dit verband tussen V en N bij benadering klopt.

10 Ga dit voor de mannen op de 1000 meter met berekeningen na.

Wat kun je verwachten: Je gaat een gegeven formule controleren met behulp van data uit een tabel. Je berekent eerst een onbekende variabele (snelheid V) en gebruikt die vervolgens om een constante (c) te bepalen. Dit doe je voor meerdere situaties om te zien of de constante inderdaad constant is.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je de formule voor snelheid (V = afstand / tijd) gebruikt. Je moet ook begrijpen hoe je een variabele isoleert in een formule met machten (V = c * N^(1/9)).

Wat moet je kunnen: Je kunt gegevens correct aflezen uit een tabel. Je kunt snelheden berekenen met de gegeven afstanden en tijden. Je kunt vervolgens de berekende snelheden en het aantal personen (N) invullen in de formule V = c * N^(1/9) en de constante c berekenen. Je kunt dit voor meerdere datapunten doen en een conclusie trekken over de geldigheid van het verband.

Waar op letten: Je leest de juiste tijden af uit de tabel: het gaat om de mannen op de 1000 meter, niet de vrouwen op 500 meter.
Je berekent eerst de snelheid V voor elk aantal personen (N=1, N=2, N=4) met de formule V = afstand / tijd. Let op de eenheden.
Je vult de berekende V en de bijbehorende N in de formule V = c * N^(1/9) in en lost op naar c. Gebruik je GR voor de machtsverheffing.
Je controleert of de berekende waarden voor c voor N=1, N=2 en N=4 'bij benadering' gelijk zijn. Dit is cruciaal voor je conclusie.
Je trekt een duidelijke conclusie of het verband klopt bij benadering, gebaseerd op de berekende waarden van c.

Kernbegrippen: machtsfuncties, modelverificatie, formules met machten, rekenen met snelheid, afstand en tijd

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten de snelheid V eerst te berekenen uit afstand en tijd.
- Reken- of intoetsfouten bij de machtsverheffing.
- Niet de juiste data uit de tabel gebruiken (vrouwen i.p.v. mannen).
- Niet expliciet de conclusie trekken dat de waarden van c bij benadering gelijk zijn.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2022/tijdvak-3/vraag/10

## Vraag 11 – Opgave 1 (4 punten)

11 Geef deze herleiding. Wanneer één persoon vaart met dit type kajak, geeft dat een bepaalde gemiddelde snelheid. Er zouden heel wat personen in ditzelfde type kajak nodig zijn om die gemiddelde snelheid met minstens 25% te verhogen. 12 Bereken hoeveel personen daarvoor minimaal nodig zijn.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een formule waarin de snelheid (V) afhangt van het aantal personen (N) in een kajak. Je moet deze formule omzetten zodat N wordt uitgedrukt in V. Daarna pas je een percentageverandering toe op de snelheid en bereken je het benodigde aantal personen.

Wat moet je kennen: Je moet de rekenregels voor machten kennen, vooral hoe je een macht ongedaan maakt (met de omgekeerde macht). Je moet ook weten hoe je een percentageverhoging toepast op een waarde.

Wat moet je kunnen: Je moet een formule kunnen herschrijven om een andere variabele vrij te maken. Je moet ook met je GR machten kunnen uitrekenen en een percentageverhoging kunnen toepassen om een nieuwe snelheid te bepalen.

Waar op letten: Let goed op de volgorde van de bewerkingen bij het herschrijven van de formule. Begin met het isoleren van de macht N^(1/9).
Om N^(1/9) om te zetten naar N, moet je beide kanten van de vergelijking tot de macht 9 verheffen. Vergeet niet de constante ook tot de macht 9 te verheffen.
Bij de percentageverhoging van de snelheid: een verhoging van 25% betekent dat de nieuwe snelheid 125% van de oorspronkelijke snelheid is. Dit is een groeifactor van 1,25.
Gebruik je GR om de constante in de herschreven formule nauwkeurig te berekenen. Let op de notatie met machten van 10.
Lees goed of er gevraagd wordt naar een exact aantal personen of een afgerond aantal. 'Minimaal nodig' kan betekenen dat je naar boven moet afronden.

Kernbegrippen: formules herschrijven, machtsfuncties, rekenregels voor machten

Veelgemaakte fouten:
- Incorrect toepassen van de macht 9 op de breuk (V/4,4).
- Vergeten de constante 1/(4,4^9) uit te rekenen.
- Reken- of notatiefouten bij het werken met machten en breuken.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2022/tijdvak-3/vraag/11

## Vraag 12 – Opgave 12 (5 punten)

Wanneer één persoon vaart met dit type kajak, geeft dat een bepaalde gemiddelde snelheid. Er zouden heel wat personen in ditzelfde type kajak nodig zijn om die gemiddelde snelheid met minstens 25% te verhogen.

5p 12 Bereken hoeveel personen daarvoor minimaal nodig zijn.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een formule die de snelheid (V) van een kajak relateert aan het aantal personen (N). Je moet eerst de beginsnelheid berekenen voor één persoon. Daarna moet je bepalen hoeveel personen nodig zijn om die beginsnelheid met minstens 25% te verhogen.

Wat moet je kennen: Je moet de gegeven formule $V = 4,4 \cdot N^{\frac{1}{9}}$ kunnen gebruiken. Je moet weten hoe je een procentuele toename omzet naar een groeifactor. Je moet ook begrijpen dat het aantal personen een geheel getal moet zijn.

Wat moet je kunnen: Je berekent eerst de snelheid voor N=1. Daarna bereken je de gewenste nieuwe snelheid door de beginsnelheid te vermenigvuldigen met de juiste groeifactor. Je stelt een vergelijking op met de formule en de gewenste snelheid. Deze vergelijking los je op met je GR, bijvoorbeeld met de 'intersect'-functie of door de vergelijking om te schrijven en direct in te voeren. Tot slot rond je het antwoord correct af, rekening houdend met de context van 'minimaal' en 'aantal personen'.

Waar op letten: Let goed op de groeifactor voor een toename van 25%. Dit is niet 0,25 of 25, maar 1,25.
Je berekent eerst de beginsnelheid voor N=1. Dit is je referentiewaarde.
Stel de vergelijking correct op: de formule met N als onbekende moet gelijk zijn aan de *nieuwe, verhoogde* snelheid.
Gebruik je grafische rekenmachine (GR) om de exponentiële vergelijking op te lossen. Dit kan vaak met de 'intersect'-functie (snijpunt van twee grafieken) of door de vergelijking om te schrijven naar N = ... en dan in te voeren.
Het aantal personen moet een geheel getal zijn. Let goed op de formulering 'minimaal' bij het afronden van je antwoord. Rond je naar boven of naar beneden af?

Kernbegrippen: exponentiële vergelijking, procentuele toename, groeifactor, modelleren

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten dat het aantal personen een geheel getal moet zijn en daardoor incorrect afronden (bijvoorbeeld naar 7).
- Een foutieve groeifactor gebruiken voor de 25% toename, bijvoorbeeld 0,25 of 25 in plaats van 1,25.
- De vergelijking algebraïsch proberen op te lossen en daarbij fouten maken, in plaats van de GR te gebruiken zoals aangegeven in het CV.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2022/tijdvak-3/vraag/12

## Vraag 13 – Opgave 1 (2 punten)

2p 13 Bepaal voor welk vak het lesgeld per maand op deze scholen over het algemeen het laagst was. Licht je antwoord toe. Er waren scholen bij waar niet alle drie de vakken werden gegeven.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over cumulatieve frequentiepolygonen. Je moet de grafieken interpreteren om een conclusie te trekken over de verdeling van lesgelden voor verschillende vakken.

Wat moet je kennen: Je moet weten wat een cumulatieve frequentiepolygoon voorstelt. Je moet begrijpen dat de horizontale as (x-as) de waarde van de variabele (lesgeld) weergeeft en de verticale as (y-as) het cumulatieve aantal scholen. Je moet ook weten hoe je de 'over het algemeen laagste' waarde afleidt uit zo'n grafiek.

Wat moet je kunnen: Je moet de cumulatieve frequentiepolygonen van de verschillende vakken met elkaar kunnen vergelijken. Je moet kunnen bepalen welke polygoon het meest naar links ligt en wat dit betekent voor de lesgelden. Je moet je antwoord kunnen toelichten met een correct argument gebaseerd op de grafiek.

Waar op letten: Let goed op de assen: de x-as is het lesgeld en de y-as is het cumulatieve aantal scholen.
Een cumulatieve frequentiepolygoon die meer naar links ligt, betekent dat een bepaald percentage of aantal scholen al bij lagere lesgelden wordt bereikt.
Vergelijk de startpunten en de stijging van de polygonen. Welke polygoon stijgt het snelst bij de laagste lesgelden?
Kijk niet alleen naar het eindpunt van de polygoon, maar naar het hele verloop van de lijn.
Je moet je antwoord toelichten. Zorg dat je uitleg duidelijk verwijst naar de eigenschappen van de grafiek.

Kernbegrippen: cumulatieve frequentiepolygoon, interpretatie van grafieken, verdelingen vergelijken

Veelgemaakte fouten:
- Verwarren van cumulatieve frequentie met absolute frequentie.
- Niet begrijpen dat een polygoon die meer naar links ligt, duidt op lagere waarden.
- Kijken naar de eindwaarde van de polygoon in plaats van de positie langs de x-as.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2022/tijdvak-3/vraag/13

## Vraag 14 – Opgave 1 (2 punten)

Er waren scholen bij waar niet alle drie de vakken werden gegeven.
Leg uit hoe je dit in de figuur kan zien.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over het interpreteren van een cumulatieve frequentiepolygoon. Je moet uitleggen hoe je een specifiek gegeven uit de context kunt aflezen in de grafiek.

Wat moet je kennen: Je moet weten wat een cumulatieve frequentiepolygoon voorstelt en hoe je de totale frequentie (het totale aantal waarnemingen) hieruit afleest. Je moet ook de context van de vraag goed begrijpen, namelijk dat er in totaal 64 scholen zijn.

Wat moet je kunnen: Je moet de grafiek nauwkeurig kunnen aflezen, met name de eindpunten van de verschillende lijnen op de verticale as. Je moet ook je observaties kunnen koppelen aan de gegeven context en een duidelijke uitleg formuleren.

Waar op letten: Let goed op de titel van de grafiek en de labels van de assen. De verticale as geeft de cumulatieve frequentie (aantal scholen) weer.
Identificeer de verschillende lijnen in de grafiek en welke vakken ze representeren.
Zoek het eindpunt van elke lijn op de verticale as. Dit eindpunt geeft het totale aantal scholen weer dat deelneemt aan dat specifieke vak.
Vergelijk de afgelezen eindpunten met het totale aantal scholen dat in de vraagtekst wordt genoemd (64 scholen).
Formuleer je uitleg helder en specifiek, verwijzend naar de grafiek en de afgelezen waarden.

Kernbegrippen: cumulatieve frequentiepolygoon, aflezen van grafieken, interpreteren van statistische grafieken

Veelgemaakte fouten:
- Niet realiseren dat een cumulatieve frequentiepolygoon moet eindigen op het totale aantal (N) als alle data is meegenomen.
- Verwarren van de verschillende lijnen.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2022/tijdvak-3/vraag/14

## Vraag 15 – Opgave 1 (3 punten)

3p 15 Het lesgeld per vak bedroeg op elke school een geheel aantal stuivers per maand. Niet alle mogelijke aantallen stuivers kwamen voor. Geef alle verschillende aantallen stuivers die voor het vak schrijven als lesgeld per maand betaald werden. Helaas gingen niet alle kinderen naar school. In het jaar 1796 bleken in de stad Veere 221 van de 323 kinderen naar school te gaan. Als deze gegevens representatief zijn voor alle steden in Zeeland en Staats-Vlaanderen, dan kan hiermee het 95%-betrouwbaarheidsinterval bepaald worden van het percentage kinderen dat in 1796 in de steden van Zeeland en Staats-Vlaanderen naar school ging.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een cumulatieve frequentiepolygoon te zien. Je moet hieruit specifieke discrete waarden aflezen die een bepaalde eigenschap vertegenwoordigen, in dit geval de verschillende lesgelden per vak.

Wat moet je kennen: Je moet weten wat een cumulatieve frequentiepolygoon is en hoe je deze interpreteert. Je moet begrijpen dat een verticale sprong in de polygoon aangeeft dat er op die specifieke x-waarde (lesgeld) een of meerdere scholen zijn die dat bedrag vragen.

Wat moet je kunnen: Je moet nauwkeurig de grafiek kunnen aflezen. Je moet de juiste lijn (voor 'schrijven') kunnen volgen en alle x-waarden kunnen identificeren waar de cumulatieve frequentie toeneemt (een verticale sprong maakt).

Waar op letten: Let goed op welke lijn je moet aflezen. In dit geval is dat de lijn voor het vak 'schrijven'.
Een cumulatieve frequentiepolygoon toont de opgetelde frequenties. Een verticale sprong in de grafiek betekent dat er op die specifieke x-waarde (aantal stuivers) een nieuwe waarneming (school) bijkomt.
Je moet alle x-waarden noteren waar de lijn voor 'schrijven' een verticale sprong maakt. Dit zijn de verschillende lesgelden die voorkomen.
Verwar de cumulatieve frequentie op de y-as niet met de absolute frequentie. De sprongen geven de unieke waarden aan.
Zorg ervoor dat je alle verschillende aantallen stuivers noemt en geen enkele vergeet of dubbel telt.

Kernbegrippen: cumulatieve frequentiepolygoon, aflezen van grafieken, discrete data

Veelgemaakte fouten:
- Verwarren van cumulatieve frequentie met absolute frequentie.
- Verkeerde polygoon aflezen (bijv. 'lezen' of 'rekenen' in plaats van 'schrijven').
- Niet alle sprongen in de grafiek correct identificeren.
- Denken dat elke x-waarde waar de lijn niet nul is, een mogelijk lesgeld is.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2022/tijdvak-3/vraag/15

## Vraag 16 – Opgave 1 (4 punten)

Helaas gingen niet alle kinderen naar school. In het jaar 1796 bleken in de stad Veere 221 van de 323 kinderen naar school te gaan. Als deze gegevens representatief zijn voor alle steden in Zeeland en Staats-Vlaanderen, dan kan hiermee het 95%-betrouwbaarheidsinterval bepaald worden van het percentage kinderen dat in 1796 in de steden van Zeeland en Staats-Vlaanderen naar school ging.
Bereken met behulp van het formuleblad dit 95%-betrouwbaarheidsinterval. Geef de getallen in je antwoord in één decimaal.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een situatie waarin je een steekproefproportie moet gebruiken om een betrouwbaarheidsinterval te berekenen. Dit interval geeft je een schatting van het werkelijke percentage in de populatie, met een bepaalde zekerheid (hier 95%).

Wat moet je kennen: Je moet de formule voor het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor een proportie kennen. Ook moet je weten hoe je een proportie berekent uit gegeven aantallen en hoe je dit omzet naar een percentage.

Wat moet je kunnen: Je moet de steekproefproportie (p) en de steekproefomvang (n) correct uit de vraag halen. Je moet de formule voor het betrouwbaarheidsinterval correct toepassen en de berekeningen nauwkeurig uitvoeren met je GR. Tot slot moet je het resultaat omzetten naar percentages en correct afronden.

Waar op letten: Je berekent eerst de steekproefproportie (p). Dit is een getal tussen 0 en 1.
Je gebruikt de juiste formule voor het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor een proportie. Let op dat je de formule voor een proportie gebruikt en niet die voor een gemiddelde.
Je voert de berekening zorgvuldig uit op je GR. Vergeet de wortel en de vermenigvuldiging met 2 niet.
Je antwoord moet in percentages gegeven worden. Vermenigvuldig je uitkomst met 100 om van proportie naar percentage te gaan.
Je rondt de grenzen van het interval af op één decimaal, zoals gevraagd in de vraag.

Kernbegrippen: betrouwbaarheidsinterval, steekproefproportie, steekproefomvang

Veelgemaakte fouten:
- rekenfout
- vergeten om te rekenen naar percentages
- verkeerd afronden
- formule voor gemiddelde gebruiken ipv proportie

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2022/tijdvak-3/vraag/16

## Vraag 17 – Opgave 1 (4 punten)

Je kunt uit de gegevens afleiden dat er verschil is tussen mannen en vrouwen wat betreft het gebruik van een handtekening of een merk.
Bepaal met behulp van het formuleblad of dit verschil in de periode 1701 – 1750 gering, middelmatig of groot is.

Wat kun je verwachten: Je gaat een statistisch verband bepalen tussen twee categorische variabelen: geslacht (man/vrouw) en type ondertekening (handtekening/merk). Je gebruikt hiervoor de phi-coëfficiënt, een maat voor associatie die je op je formulekaart vindt. Uiteindelijk interpreteer je de berekende waarde om te bepalen of het verschil gering, middelmatig of groot is.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een 2x2 kruistabel opstelt uit gegeven data. Je moet de formule voor de phi-coëfficiënt van je formulekaart kunnen vinden en begrijpen hoe je deze invult. Ook moet je de vuistregels voor de interpretatie van de phi-coëfficiënt kennen (gering, middelmatig, groot).

Wat moet je kunnen: Je moet de relevante gegevens voor de periode 1701-1750 correct uit de tabel kunnen aflezen. Je moet deze gegevens in een 2x2 kruistabel kunnen plaatsen. Je vult de waarden correct in de formule voor de phi-coëfficiënt in en berekent de waarde met je GR. Tot slot interpreteer je de berekende phi-waarde aan de hand van de vuistregels.

Waar op letten: Je leest de juiste getallen af uit de tabel voor de specifieke periode 1701-1750. Let goed op de rijen en kolommen.
Je stelt een correcte 2x2 kruistabel op met de aantallen voor mannen/vrouwen en handtekening/merk.
Je vult de getallen nauwkeurig in de formule voor de phi-coëfficiënt in. Controleer of je de juiste waarden op de juiste plek zet in de teller en de noemer.
Je berekent de phi-coëfficiënt correct met je grafische rekenmachine. Let op de haakjes bij het invoeren van de formule.
Je interpreteert de berekende phi-waarde volgens de standaard vuistregels (die je op je formulekaart of in je boek vindt) om te bepalen of het verschil gering, middelmatig of groot is.

Kernbegrippen: phi-coëfficiënt, kruistabel, associatiematen, statistisch verband

Veelgemaakte fouten:
- Incorrect aflezen van de waarden uit de tabel voor de periode 1701-1750.
- Fouten bij het opstellen van de 2x2 kruistabel.
- Verkeerd invullen van de formule voor de phi-coëfficiënt.
- Verkeerde interpretatie van de berekende phi-waarde (gering, middelmatig, groot).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2022/tijdvak-3/vraag/17

## Vraag 18 – Opgave 1 (3 punten)

Noemen we de waterdiepte in meter M en de waterdiepte in vadem V, dan kunnen we V omrekenen naar M.
3p 18 Geef een formule waarbij M uitgedrukt is in V.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over het omrekenen van eenheden en het opstellen van een formule die dit verband beschrijft. Je moet de stappen van het omrekenen goed volgen en de juiste variabelen op de juiste plek zetten.

Wat moet je kennen: Je moet de basisprincipes van eenheden omrekenen kennen (bijvoorbeeld van millimeter naar meter). Ook moet je weten hoe je een lineaire formule opstelt op basis van een constante omrekenfactor.

Wat moet je kunnen: Je kunt de gegeven conversiefactoren correct toepassen om de uiteindelijke omrekenfactor te bepalen. Je kunt deze factor vervolgens gebruiken om een formule op te stellen waarbij de ene variabele (M) wordt uitgedrukt in de andere (V).

Waar op letten: Let goed op de volgorde van de omrekenstappen: van vadem naar voet, van voet naar inch, en van inch naar millimeter. Vermenigvuldig de factoren in de juiste volgorde.
Vergeet niet de uiteindelijke eenheid van millimeter om te rekenen naar meter. Dit is een veelvoorkomende fout.
Controleer of je de variabelen M en V correct in de formule hebt geplaatst. M moet uitgedrukt zijn in V, dus de formule begint met M = ...
Rond de omrekenfactor niet te vroeg af. Gebruik voldoende decimalen om nauwkeurig te blijven, of rond af zoals in de opmerking van het CV staat.

Kernbegrippen: eenheden omrekenen, formule opstellen, lineair verband

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerde eenheidsconversie (mm naar m)
- Rekenvolgorde van de conversiefactoren
- Variabelen M en V in de formule verwisselen

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2022/tijdvak-3/vraag/18

## Vraag 19 – Opgave 1 (3 punten)

3p 19 Bereken de echotijd als de bodem zich op 10 meter onder het echolood bevindt. Geef je antwoord in seconden en in drie decimalen. \blacktriangleright\blacktriangleright\blacktriangleright

Wat kun je verwachten: Je krijgt een formule en een situatiebeschrijving. Je moet de gegeven informatie correct interpreteren en in de formule invullen om de gevraagde waarde te berekenen.

Wat moet je kennen: Je moet de betekenis van de variabelen D, h en t kennen zoals die in de casus zijn gedefinieerd. Je moet ook weten hoe je een lineaire vergelijking oplost.

Wat moet je kunnen: Je kunt de formule D = h + 750t toepassen. Je kunt de afstand van het echolood tot de bodem correct vertalen naar een relatie tussen D en h. Je kunt vervolgens de vergelijking oplossen voor t en je antwoord correct afronden.

Waar op letten: Let goed op de definitie van de variabelen D (waterdiepte vanaf oppervlak) en h (afstand echolood tot oppervlak).
De vraag stelt dat de bodem zich op 10 meter 'onder het echolood' bevindt. Dit is NIET D en ook NIET h. Je moet deze afstand uitdrukken in D en h.
Zorg ervoor dat je de juiste waarde voor de afstand van het echolood tot de bodem in je vergelijking gebruikt.
Rond je eindantwoord pas op het allerlaatste moment af op drie decimalen, zoals gevraagd.
Vergeet niet de eenheid 'seconden' bij je antwoord te vermelden.

Kernbegrippen: formule toepassen, lineair verband, variabelen substitueren

Veelgemaakte fouten:
- Verwarring tussen D, h en de afstand van echolood tot bodem.
- Vergeten dat de afstand van echolood tot bodem gelijk is aan D - h.
- Afrondingsfout op het eindantwoord.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2022/tijdvak-3/vraag/19

## Vraag 20 – Opgave 1 (3 punten)

20 Wie heeft gelijk? Leg je antwoord uit met behulp van de formule. Een groep duikers vaart de zee op en zoekt een zo diep mogelijke plek om veilig voor anker te gaan. De ankerketting is 78 m lang en voor de veiligheid moet deze lengte minstens anderhalf keer de waterdiepte zijn. De waterdiepte die het echolood op deze boot aangeeft, kan door een onnauwkeurige meting 3% afwijken van de werkelijke waterdiepte. 21 Bereken de maximale waarde die het echolood als waterdiepte mag aangeven om veilig voor anker te kunnen gaan. Geef je antwoord in meter en in één decimaal. Let op: de laatste vraag van dit examen staat op de volgende pagina.

Wat kun je verwachten: Je moet een formule interpreteren in de context van een echolood. Je legt uit wie er gelijk heeft over de snelheid van het geluid, gebaseerd op de gegeven formule en de situatie.

Wat moet je kennen: Je moet de betekenis van de variabelen in de formule (D, h, t) en de context van een echolood goed begrijpen. Je moet weten wat een richtingscoëfficiënt betekent in een lineaire formule en hoe snelheid, afstand en tijd met elkaar samenhangen.

Wat moet je kunnen: Je kunt de formule D = h + 750t analyseren. Je kunt de rol van de echotijd (t) en de constante 750 in de formule uitleggen. Je kunt beredeneren welke afstand de geluidsgolf aflegt in de tijd 't' en dit relateren aan de snelheid van het geluid. Je kunt je antwoord helder en logisch onderbouwen.

Waar op letten: Let goed op de betekenis van 't' in de formule: dit is de echotijd, dus de tijd die het geluid nodig heeft om heen én terug te reizen.
Bedenk welke afstand de geluidsgolf aflegt in de tijd 't'. Is dit de waterdiepte D, of iets anders?
De formule D = h + 750t kan worden herschreven naar D - h = 750t. Wat stelt D - h voor in figuur 2?
Verwar de richtingscoëfficiënt (750) niet direct met de snelheid van het geluid zonder rekening te houden met de heen- en terugreis.
Zorg voor een duidelijke uitleg waarom Josje (of de ander) gelijk heeft, met een verwijzing naar de formule en de context.

Kernbegrippen: lineaire modellen, richtingscoëfficiënt, interpretatie van modelparameters, snelheid, afstand en tijd

Veelgemaakte fouten:
- Verwarren van de afgelegde afstand met de diepte (de geluidsgolf gaat heen en terug)
- De richtingscoëfficiënt (750) direct interpreteren als de snelheid zonder rekening te houden met de context
- Onvoldoende onderbouwing geven voor de keuze (zie opmerking in CV)

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2022/tijdvak-3/vraag/20

## Vraag 21 – Opgave 1 (3 punten)

Een groep duikers vaart de zee op en zoekt een zo diep mogelijke plek om veilig voor anker te gaan. De ankerketting is 78 m lang en voor de veiligheid moet deze lengte minstens anderhalf keer de waterdiepte zijn. De waterdiepte die het echolood op deze boot aangeeft, kan door een onnauwkeurige meting 3% afwijken van de werkelijke waterdiepte.
Bereken de maximale waarde die het echolood als waterdiepte mag aangeven om veilig voor anker te kunnen gaan. Geef je antwoord in meter en in één decimaal.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een contextvraag over veiligheid en metingen, waarbij je moet rekenen met verhoudingen en percentages. Je moet goed begrijpen wat 'minstens' betekent en hoe je omgaat met een afwijking van een meting.

Wat moet je kennen: Je moet de basisprincipes van procentueel rekenen kennen. Ook moet je weten hoe je een maximale of minimale waarde bepaalt op basis van gegeven voorwaarden en afwijkingen.

Wat moet je kunnen: Je kunt een tekstuele situatie omzetten naar een wiskundige berekening. Je kunt de maximale werkelijke waterdiepte berekenen en vervolgens de maximale aangegeven waterdiepte bepalen, rekening houdend met de procentuele afwijking. Je let goed op de juiste afronding en eenheid.

Waar op letten: Lees goed wat 'minstens anderhalf keer de waterdiepte' betekent. Dit geeft je een ongelijkheid die je moet omzetten naar een maximale waterdiepte.
Denk na over de 3% afwijking van het echolood. De vraag is naar de *maximale* waarde die het echolood mag aangeven om *veilig* te zijn. Dit betekent dat je rekening moet houden met de meest ongunstige scenario voor de veiligheid. Moet je vermenigvuldigen met 0,97 of met 1,03?
Zorg dat je de juiste volgorde van berekeningen aanhoudt: eerst de maximale werkelijke diepte, dan pas de correctie voor de afwijking van het echolood.
Rond je eindantwoord correct af op één decimaal, zoals gevraagd.
Vergeet niet de eenheid 'meter' bij je antwoord te vermelden.

Kernbegrippen: Rekenen met percentages, Procentuele afwijking, Verbanden in context

Veelgemaakte fouten:
- Verwarring tussen 97% en 103% bij de afwijking. De vraag is naar de maximaal aangegeven diepte. De meest ongunstige situatie is dat het echolood te weinig aangeeft, terwijl de werkelijke diepte groter is. De berekening moet dus 52 * 0,97 zijn, niet 52 * 1,03 of 52 / 1,03.
- Incorrect interpreteren van 'minstens anderhalf keer de waterdiepte': Dit betekent `kettinglengte >= 1.5 * waterdiepte`, wat leidt tot `waterdiepte <= kettinglengte / 1.5`.
- Niet afronden op de gevraagde één decimaal.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2022/tijdvak-3/vraag/21

## Vraag 22 – Opgave 1 (8 punten)

8p 22 Bereken hoeveel enkel glas en hoeveel dubbelglas Peter moet vervangen door hoogrendementsglas. Geef je antwoord in m^2 en in twee decimalen.

Wat kun je verwachten: Je moet een probleem oplossen waarbij je de hoeveelheid te vervangen glas berekent om een bepaalde vermindering van warmteverlies te realiseren. Dit doe je door de gegeven formule voor warmteverlies te gebruiken en de U-waarden uit de tabel. Je zult stapsgewijs moeten werken en een vergelijking moeten opstellen en oplossen.

Wat moet je kennen: Je moet de formule voor warmteverlies (W = U ⋅ G ⋅ ΔT) kennen en begrijpen hoe de U-waarde, de oppervlakte (G) en het temperatuurverschil (ΔT) het warmteverlies beïnvloeden. Je moet ook de U-waarden voor verschillende glassoorten uit de tabel kunnen halen. Daarnaast moet je weten hoe je een lineaire vergelijking oplost.

Wat moet je kunnen: Je kunt de formule W = U ⋅ G ⋅ ΔT toepassen om warmteverlies te berekenen. Je kunt de vermindering van warmteverlies berekenen als je de U-waarde verandert. Je kunt een strategie bedenken om de meest efficiënte manier te vinden om het warmteverlies te verminderen (welk glas je eerst vervangt). Je kunt een vergelijking opstellen en oplossen om de onbekende oppervlakte glas te vinden die vervangen moet worden.

Waar op letten: Je moet eerst het totale warmteverlies berekenen dat verminderd moet worden. Dit is het verschil tussen de situatie met folie en de situatie zonder folie.
Je moet bepalen welk type glas (enkel of dubbel) het meest efficiënt is om te vervangen. Dit betekent dat je kijkt welk glas de grootste reductie in U-waarde per m^2 oplevert bij vervanging door hoogrendementsglas.
Je vervangt eerst al het meest efficiënte glas. Bereken hoeveel warmteverlies hiermee al wordt gereduceerd.
Het resterende warmteverlies dat nog gereduceerd moet worden, moet worden opgevangen door het andere type glas te vervangen. Stel hiervoor een vergelijking op met de onbekende oppervlakte (G).
Let goed op de eenheden (m^2) en de afronding (twee decimalen) in je eindantwoord.

Kernbegrippen: formule toepassen, vergelijking opstellen, optimalisatie, stapsgewijs rekenen

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd berekenen van het doel-warmteverlies of de doel-warmteverliesreductie.
- Niet realiseren dat enkel glas eerst volledig vervangen moet worden omdat dit de grootste winst per m² oplevert (optimalisatie-stap).
- Fouten bij het opstellen van de eindvergelijking voor het dubbelglas.
- Reken- of afrondingsfouten.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2022/tijdvak-3/vraag/22

## Vragen in dit examen

### Vraag 8 – Opgave 1

Wat kun je verwachten: Je berekent een gemiddelde snelheid en moet daarbij goed letten op het omrekenen van eenheden. Je krijgt een tijd in minuten en seconden en een afstand in meters, en je moet de snelheid uiteindelijk in kilometer per uur geven.

Wat moet je kennen: Je moet de relatie tussen afstand, snelheid en tijd kennen (snelheid = afstand / tijd). Ook moet je weten hoe je eenheden omrekent: seconden naar uren, meters naar kilometers, en meters per seconde naar kilometers per uur.

Wat moet je kunnen: Je kunt een tijd die in minuten en seconden is gegeven, omzetten naar alleen seconden. Je kunt meters omzetten naar kilometers. Je kunt een snelheid in m/s omrekenen naar km/u, of andersom, door te vermenigvuldigen of te delen door 3,6. Je kunt de gemiddelde snelheid berekenen met de juiste eenheden.

Waar op letten: Je zet de tijd van 1 minuut en 37,252 seconden eerst volledig om naar seconden. Let op dat 1 minuut 60 seconden is.
Je berekent de snelheid in m/s (meter per seconde) door de afstand in meters te delen door de tijd in seconden.
Je zet de snelheid van m/s om naar km/u (kilometer per uur). Onthoud dat 1 m/s gelijk is aan 3,6 km/u. Je moet dus vermenigvuldigen met 3,6.
Je kunt er ook voor kiezen om eerst de afstand om te rekenen naar kilometers en de tijd naar uren, en dan de snelheid te berekenen. Let dan goed op de omrekening van seconden naar uren (delen door 3600).
Je rondt je eindantwoord af op één decimaal, zoals gevraagd, en vermeldt de juiste eenheid (km/u).

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen HAVO
2022
tijdvak 3
woensdag 6 juli
13.30 - 16.30 uur
wiskunde A
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Dit examen bestaat uit 22 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 81 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald
kunnen worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
HA-1024-a-22-3-o

### Pagina 2

FORMULEBLAD
Vuistregels voor de grootte van het verschil van twee groepen
2×2 kruistabel
(a b
c d
),
met phi =
adas 
ad-bc
√((a+b)(a+c)(b+d)(c+d))
waarin a, b, c en d absolute aantallen zijn
- als phi < -0,4 of phi > 0,4, dan zeggen we "het verschil is groot",
- als -0,4 ≤ phi < -0,2 of 0,2 < phi ≤ 0,4, dan zeggen we "het verschil
is middelmatig",
- als -0,2 ≤ phi ≤ 0,2, dan zeggen we "het verschil is gering".
Maximaal verschil in cumulatief percentage (max Vcp)
(met voor beide groepen een steekproefomvang n > 100)
- als max Vcp > 40, dan zeggen we “het verschil is groot”,
- als 20 < max Vcp ≤ 40, dan zeggen we “het verschil is middelmatig”,
- als max Vcp ≤ 20, dan zeggen we “het verschil is gering”.
Effectgrootte E = X1-X2
(X1 > X2), S1 en S2 de steekproefstandaardafwijkingen
met X1 en X2 de steekproefgemiddelden
- als E > 0,8, dan zeggen we “het verschil is groot”,
- als 0,4 < E ≤ 0,8, dan zeggen we “het verschil is middelmatig”,
- als E ≤ 0,4, dan zeggen we “het verschil is gering”.
Twee boxplots vergelijken
- als de boxen1) elkaar niet overlappen, dan zeggen we “het verschil is
groot”.
- als de boxen elkaar wel overlappen en een mediaan van een boxplot
buiten de box van de andere boxplot ligt, dan zeggen we “het
verschil is middelmatig”,
- in alle andere gevallen zeggen we “het verschil is gering”.
noot 1 De 'box' is het interval vanaf het eerste kwartiel tot en met het derde kwartiel.
HA-1024-a-o
2/14
lees verder

### Pagina 3

```json
{
  "page_type": "theorie",
  "exam_info": {
    "subject": "Niet gespecificeerd",
    "year": "Niet gespecificeerd",
    "tijdvak": "Niet gespecificeerd"
  },
  "figures": [],
  "keywords": "betrouwbaarheidsinterval, populatieproportie, steekproefproportie, steekproefomvang, populatiegemiddelde, steekproefgemiddelde, steekproefstandaardafwijking"
}
```

### Pagina 4

Wereldbevolking
Veel wetenschappers waren het er tot voor kort over eens dat de groei
van de wereldbevolking na 2050 tot stilstand zou komen. Het aantal
mensen zou dan in 2050 ongeveer 9 miljard zijn.
Uit nieuwe wetenschappelijke voorspellingen blijkt echter dat er in 2100
mogelijk al 12 miljard mensen op aarde zullen leven.
De wereldbevolking bestond in 1990 uit 5,3 miljard mensen en in 2011 uit
7 miljard mensen. Neem aan dat de wereldbevolking in deze periode
exponentieel groeide.
4p 1
Bereken het hierbij behorende jaarlijkse groeipercentage. Geef je
antwoord in één decimaal.
In 2011 bestond de wereldbevolking uit 7 miljard mensen. In 2012 waren
er 80 miljoen mensen bijgekomen. Er zijn verschillende scenario's
denkenbaar voor de groei van de wereldbevolking na 2012.
In een eerste scenario wordt aangenomen dat de groei vanaf 2011 lineair
zal zijn.
4p 2
Bereken in welk jaar de wereldbevolking volgens dit eerste scenario tot
9 miljard mensen zal zijn toegenomen.
Een tweede scenario gaat uit van groei, waarin het jaarlijkse
groeipercentage tot 2050 langzaam afneemt. In dit scenario wordt een
wereldbevolking van 8,9 miljard mensen in 2050 voorspeld. Zie de figuur.
figuur
miljard
12
10
8
6
4
2
0
1950
1970
Legenda:
wereldbevolking
jaarlijks groeipercentage
1990
2010
2030
2050
3,0
% 3
2,5
2,0
1,5
1,0
0,5
HA-1024-a-0
4 / 14
lees verder

### Pagina 5

Verder neemt men in dit scenario aan dat het jaarlijkse groeipercentage
dat in de figuur is af te lezen voor het jaar 2050, in de jaren na 2050 blijft
gelden.
4p 3 Bereken of daarmee in het jaar 2100 een wereldbevolking van 12 miljard
mensen gehaald wordt.
Vrijwel alle scenario's voorspellen een groei van de wereldbevolking.
Hierdoor zal de voedselproductie omhoog moeten. Niet alleen omdat er
meer mensen zullen zijn, maar ook omdat naar verwachting in snel
groeiende economieën de gemiddelde voedselconsumptie per persoon zal
toenemen. In de tabel zie je de gegevens van de totale wereldbevolking
uit 2006 en een voorspelling voor 2050.
tabel
wereldbevolking
totale voedselconsumptie per dag
2006
6569 miljoen
18 000 miljard kilocalorieën
2050
9111 miljoen
28 000 miljard kilocalorieën
3p 4 Bereken met bovenstaande gegevens met hoeveel kilocalorieën de
gemiddelde voedselconsumptie per persoon per dag naar verwachting zal
toenemen in de periode van 2006 tot 2050. Geef je antwoord in een
geheel aantal kilocalorieën.
HA-1024-a-o 5 / 14 lees verder ►►►

### Pagina 6

```json
{
  "page_type": "opgaven",
  "exam_info": {
    "subject": "Niet zichtbaar",
    "year": "Niet zichtbaar",
    "tijdvak": "Niet zichtbaar"
  },
  "transcription": "Hoe koud voelt het aan?\n\nIn de winter kan het, vooral als het hard waait, veel kouder aanvoelen dan het in werkelijkheid is. We zeggen dan dat de gevoelstemperatuur lager is dan de werkelijke temperatuur.\nTot aan het einde van de vorige eeuw gebruikte het KNMI (Koninklijk Nederlands Meteorologisch Instituut) de tabel van Steadman om de gevoelstemperatuur te bepalen. Zie de tabel.\ntabel gevoelstemperatuur volgens Steadman afgerond op helen, in °C\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n\n

### Pagina 7

4p 5 Bereken deze gevoelstemperatuur. Gebruik hierbij de
gevoelstemperaturen die horen bij een werkelijke temperatuur van
0 °C en −25 °C. Geef je antwoord in gehele graden.
Sinds het begin van deze eeuw wordt bij het KNMI de gevoelstemperatuur
berekend met een formule die in Canada ontwikkeld is. Deze formule
luidt:
G = 13,12 + 0,62·T − 13,96·w
0,16
+ 0,49·T·w
0,16
(Canadese formule)
In deze formule is T de werkelijke temperatuur in °C, w de windsnelheid
in m/s en G de gevoelstemperatuur in °C.
De tabel van Steadman geeft iets andere gevoelstemperaturen dan de
Canadese formule. Vooral bij een hoge windsnelheid en een lage
werkelijke temperatuur is er een behoorlijk groot verschil tussen de
gevoelstemperatuur volgens de tabel en die volgens de formule.
4p 6
Bereken hoeveel graden dit verschil is bij een werkelijke temperatuur van
−20 °C en een windsnelheid van 80 km/u. Geef je antwoord in gehelen.
Op het eiland Schiermonnikoog waait het in de wintermaanden behoorlijk.
De windsnelheid is in deze maanden gemiddeld 6,5 m/s. Je kunt bij deze
windsnelheid de Canadese formule herleiden tot de vorm G = a · T + b
waarbij a en b gehelen zijn.
3p 7
Voer deze herleiding uit en geef a en b in twee decimalen.

### Pagina 8

Kajak
Kanovaren is een Olympische sport. Een van de onderdelen is de
vlakwatersprint kajakvaren. Een kajak is een soort kano. Zie de foto.
foto
[FIGUUR: Twee personen in een kajak op het water, kijkend naar voren]
Tijdens de Olympische Spelen in Peking in 2008 was de winnende tijd
met een eenpersoonskajak op de 500 meter vlakwatersprint voor mannen
1 minuut en 37,252 seconden.
3p
8
Bereken de gemiddelde snelheid van de winnende kajak op deze afstand
in km/u. Geef je antwoord in één decimaal.
Er zijn ook races voor kajaks met 2 of 4 personen. In de tabel staan nog
enkele winnende tijden (in seconden) die op de Olympische Spelen van
2008 in Peking met kajaks zijn behaald. Het aantal personen in de boot
wordt aangeduid met N.
tabel
N=1
N=2
N=4
mannen 1000 m
206,323 s
191,809 s
175,714 s
vrouwen 500 m
110,673 s
101,308 s
92,231 s
Monique vraagt zich af of er een lineair verband bestaat tussen de
winnende tijd van de vrouwen op de 500 m en het aantal personen in de
kajak.
4p
9
Onderzoek met gegevens uit de tabel of dat verband lineair kan zijn.
HA-1024-a-o
8/14
lees verder

### Pagina 9

Meer personen leveren een grotere gezamenlijke kracht, maar maken de
kajak ook zwaarder. Toch wordt er door meer personen sneller gevaren.
Natuurkundig is te beredeneren dat er bij benadering het volgende
verband bestaat:
$V=c \cdot N^{\frac{1}{9}}$
Hierin is $V$ de gemiddelde snelheid in m/s, $c$ een constant getal dat
afhangt van het type kajak en de omstandigheden waarin gevaren wordt
en $N$ het aantal personen in de boot.
Ook is bekend dat:
$V=\frac{afstand}{tijd}$ (met $afstand$ in m en $tijd$ in s)
We gaan ervan uit dat $V$ tijdens een wedstrijd constant is. Je kunt dan met
de drie winnende tijden in de tabel nagaan dat dit verband tussen $V$ en $N$
bij benadering klopt.
4p 10 Ga dit voor de mannen op de 1000 meter met berekeningen na.
In de rest van deze opgave gaan we uit van een bepaald type kajak en
bepaalde omstandigheden zodat geldt $c=4,4$, dus:
$V=4,4 \cdot N^{\frac{1}{9}}$
Deze formule is te herleiden tot een formule van de vorm $N=a \cdot V^b$.
11 Geef deze herleiding.
Wanneer één persoon vaart met dit type kajak, geeft dat een bepaalde
gemiddelde snelheid. Er zouden heel wat personen in ditzelfde type kajak
nodig zijn om die gemiddelde snelheid met minstens 25% te verhogen.
5p 12 Bereken hoeveel personen daarvoor minimaal nodig zijn.
HA-1024-a-o 9/14 lees verder ►►►

### Pagina 10

Onderwijs in vroeger tijden
Hoe zag het basisonderwijs er vroeger uit? Dat heeft de heer Uil
onderzocht. In zijn proefschrift bespreekt hij het onderwijs in Zeeland en
Staats-Vlaanderen¹ in de periode 1578 – 1801.
In die tijd gingen veel kinderen naar deNederduitse school. Daar leerden
ze eerst lezen. Pas wanneer een kind kon lezen, mocht het gaan leren
schrijven. Als het kind ook dat kon, mocht het gaan leren rekenen. Voor
elk vak apart moest lesgeld worden betaald door de ouders: één of
meerdere stuivers. Het lesgeld was niet op alle scholen even hoog. Op
geen enkele school bedroeg het lesgeld voor een vak meer dan
22 stuivers per maand.
In de figuur zie je van 64 scholen in Zeeland en Staats-Vlaanderen de
cumulatieve frequentiepolygonen van het lesgeld dat per maand betaald
moest worden voor de drie vakken. Zo lees je bijvoorbeeld af dat op
60 scholen het lesgeld per maand voor lezen 6 stuivers of minder
bedroeg. De figuur staat vergroot afgebeeld op de uitwerkbijlage.
figuur
lesgeld per maand per vak
cumulatieve
frequentie
(aantal
scholen)
60
50
40
30
20
10
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
22
lezen
schrijven
rekenen
lesgeld (aantal stuivers)
2p
13
Bepaal voor welk vak het lesgeld per maand op deze scholen over het
algemeen het laagst was. Licht je antwoord toe.
2p
14
Er waren scholen bij waar niet alle drie de vakken werden gegeven.
Leg uit hoe je dit in de figuur kan zien.
noot 1 Zeeland en Staats-Vlaanderen waren delen van Nederland toen het nog een republiek
was.
HA-1024-a-o
10/14
lees verder ► ► ►

### Pagina 11

Het lesgeld per vak bedroeg op elke school een geheel aantal stuivers per
maand. Niet alle mogelijke aantallen stuivers kwamen voor.
3p 15 Geef alle verschillende aantallen stuivers die voor het vak schrijven als
lesgeld per maand betaald werden.
Helaas gingen niet alle kinderen naar school. In het jaar 1796 bleken in
de stad Veere 221 van de 323 kinderen naar school te gaan. Als deze
gegevens representatief zijn voor alle steden in Zeeland en Staats-
Vlaanderen, dan kan hiermee het 95%-betrouwbaarheidsinterval bepaald
worden van het percentage kinderen dat in 1796 in de steden van
Zeeland en Staats-Vlaanderen naar school ging.
4p 16 Bereken met behulp van het formuleblad dit
95%-betrouwbaarheidsinterval. Geef de getallen in je antwoord in één
decimaal.
De heer Uil heeft ook een schatting gemaakt van het aantal
volwassenen dat kon schrijven. Daartoe heeft hij verzoekschriften
bekeken die in die tijd bij de Zeeuwse en Staats-Vlaamse overheden
ingediend zijn. De indieners ervan ondertekenden die met een
handtekening of met een merk, bijvoorbeeld een kruisje of een
zelfbedacht teken. Wie een handtekening zette kon waarschijnlijk
schrijven. Wie een merk zette, kon waarschijnlijk niet schrijven. In de tabel
is te zien hoeveel handtekeningen en hoeveel merken er gezet zijn.
tabel
mannen
vrouwen
periode
handtekening
merk
handtekening
merk
totaal
1609-1650
265
102
367
1651-1700
556
85
4
2
647
1701-1750
530
80
103
83
796
1751-1800
1735
181
255
68
2239
Je kunt uit de gegevens afleiden dat er verschil is tussen mannen en
vrouwen wat betreft het gebruik van een handtekening of een merk.
4p 17 Bepaal met behulp van het formuleblad of dit verschil in de periode
1701-1750 gering, middelmatig of groot is.
HA-1024-a-o
11 / 14
lees verder

### Pagina 12

Waterdiepte meten
figuur 1
Waterdiepte werd vroeger vanaf een schip
gemeten met behulp van een lang touw met
een stuk lood aan het uiteinde. Het lood werd
aan het touw het water ingelaten. Lood is
zwaar, dus het zinkt. Wanneer het lood de
bodem raakte, werd het touw uit het water
gehaald. Daarna werd het deel gemeten dat
onder water was geweest. Dit deed de
schipper door telkens een deel van het touw
tussen uitgestrekte handen te pakken. Zie
figuur 1. Het aantal keer dat dat kon, was de
diepte in vadem. Deze oude lengtemaat geeft
dus de spanwijdte aan van de armen van een
volwassen man. Omdat het een
onnauwkeurige manier van meten is, is deze
lengte later precies vastgelegd: 1 vadem is
gelijk aan 6 voet. Een voet is even lang als
12 inch en een inch is 25,4 mm.
Noemen we de waterdiepte in meter $M$ en de waterdiepte in vadem $V$, dan
kunnen we $V$ omrekenen naar $M$.
3p
18
Geef een formule waarbij $M$ uitgedrukt is in $V$.
Tegenwoordig meet men waterdiepte met
een echolood. Dit apparaat bestaat uit een
zender en een ontvanger die onder het
wateroppervlak bevestigd zijn aan een boot. Het
echolood zendt een geluidsgolf naar de bodem
en even later wordt de door de bodem
teruggekaatste geluidsgolf, de echo, weer door
het echolood ontvangen.
Er geldt:
$D=h+750t$
Hierin is:
– $D$ de waterdiepte in meter, dus de afstand
tussen het wateroppervlak en de bodem;
– $t$ de echotijd tussen het zenden van de
geluidsgolf en het ontvangen van de echo in seconden;
– $h$ de afstand tussen de onderkant van het echolood en het
wateroppervlak in meter.
Zie figuur 2.
figuur 2
3p
19
Bereken de echotijd als de bodem zich op 10 meter onder het echolood
bevindt. Geef je antwoord in seconden en in drie decimalen.
HA-1024-a-o
12 / 14
lees verder

### Pagina 13

De snelheid waarmee geluid zich verplaatst in water kun je uit de formule
afleiden.
Yvonne zegt: "Die snelheid is de helft van 750, dus 375 meter per
seconde."
Josje zegt: "Die snelheid is het dubbele van 750, dus 1500 meter per
seconde."
Eén van beiden heeft gelijk.
3p 20 Wie heeft gelijk? Leg je antwoord uit met behulp van de formule.
Een groep duikers vaart de zee op en zoekt een zo diep mogelijke plek
om veilig voor anker te gaan. De ankerketting is 78 m lang en voor de
veiligheid moet deze lengte minstens anderhalf keer de waterdiepte zijn.
De waterdiepte die het echolood op deze boot aangeeft, kan door een
onnauwkeurige meting 3% afwijken van de werkelijke waterdiepte.
3p 21 Bereken de maximale waarde die het echolood als waterdiepte mag
aangeven om veilig voor anker te kunnen gaan. Geef je antwoord in meter
en in één decimaal.
Let op: de laatste vraag van dit examen staat op de volgende pagina.
HA-1024-a-o
13 / 14
lees verder

### Pagina 14

Glas
Voor ramen in woningen kunnen verschillende soorten glas gebruikt
worden. Zo bestaan er ramen van enkel glas, van dubbelglas en van
hoogrendementsglas. Enkel glas isoleert het minst goed. Dat wil zeggen:
de warmte blijft minder goed binnenshuis. Dubbelglas isoleert beter.
Hoogrendementsglas isoleert het best.
Om verschillende glassoorten te vergelijken gebruikt men de
warmtedoorgangscoëfficiënt U. Er geldt: hoe lager U, des te beter is de
isolatie. Om te berekenen hoeveel warmte er door het glas verloren gaat,
kan de volgende formule worden gebruikt:
$W=U\cdot G\cdot \Delta T$
Hierin is W het warmteverlies in watt, G de glasoppervlakte in m² en $\Delta T$
het verschil tussen de binnentemperatuur en de buitentemperatuur in °C.
Er wordt tegenwoordig ook isolatiefolie verkocht. Dit doorzichtige folie
wordt op het glas geplakt. De warmtedoorgangscoëfficiënt U van het glas
wordt daardoor lager. Zie de tabel.
tabel
soort beglazing
U zonder folie
U met folie
enkel glas
5,8
2,5
dubbelglas
2,9
1,6
hoogrendementsglas
1,1
0,97
Peter is eigenaar van een woning met 10,65 m² enkel glas en 24,85 m²
dubbelglas. Hij wil het warmteverlies verminderen.
Peter zou al het bestaande glas met folie kunnen beplakken. Hij vindt folie
niet mooi en besluit daarom het warmteverlies in zijn woning te
verminderen door een gedeelte van het glas in zijn woning te vervangen
door hoogrendementsglas. Om te bepalen hoeveel enkel glas en hoeveel
dubbelglas hij zal vervangen, kiest hij de volgende uitgangspunten:
– De gemiddelde binnentemperatuur is 19 °C en de gemiddelde
buitentemperatuur is 9 °C.
– Het warmteverlies moet evenveel verminderd worden als wanneer
al het bestaande glas met folie beplakt zou worden.
– Hij wil zo weinig mogelijk glasoppervlak vervangen.
– Hij laat alle kosten buiten beschouwing.
8p 22 Bereken hoeveel enkel glas en hoeveel dubbelglas Peter moet vervangen
door hoogrendementsglas. Geef je antwoord in m² en in twee decimalen.
Bronvermelding
Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen
behorende correctievoorschrift, dat na afloop van het examen wordt gepubliceerd.
HA-1024-a-o
14 / 14
einde