# Eindexamen Wiskunde A HAVO 2022 tijdvak 2

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2022/tijdvak-2

## Vraag 1 – Opgave 1 (3 punten)

1 Bereken de gemiddelde snelheid in km/uur van Bart tijdens zijn vrije val. Tijdens de vrije val die Bart maakt, wordt hij afgeremd door de lucht. Daarom duurt de vrije val van Bart langer dan een theoretische vrije val over dezelfde afstand. Een theoretische vrije val is een val ten gevolge van de zwaartekracht zonder dat de val door de lucht wordt afgeremd. Voor de hoogte van een voorwerp tijdens een theoretische vrije val die begint op een hoogte van 4000 meter geldt de formule: h = 4000 - 4.9 · t^2 (formule 1) Hierin is h de hoogte van het voorwerp tijdens de theoretische vrije val (in meters) en t de tijd (in seconden) vanaf het moment dat de theoretische vrije val begint. Er kan berekend worden hoeveel seconden de vrije val van Bart van 4000 meter naar 1500 meter langer duurt dan een theoretische vrije val over dezelfde afstand. 2 Voer deze berekening uit. Geef je antwoord in een geheel aantal seconden. Figuur 1 is een schets van het globale verloop van een parachutesprong. Nadat de parachutist uit het vliegtuig gesprongen is, maakt hij een vrije val. Zodra de parachute geopend is, neemt de snelheid in korte tijd flink af. Daarna wordt een constante valsnelheid bereikt. Dat wil zeggen: tot aan de landing heeft de parachutist dezelfde valsnelheid.

Wat kun je verwachten: Je moet de gemiddelde snelheid berekenen over een bepaald traject. Dit betekent dat je de totale afgelegde afstand deelt door de totale tijd die hiervoor nodig was. Let goed op de eenheden en zorg dat je deze correct omrekent naar de gevraagde eenheid.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je de gemiddelde snelheid berekent (afstand / tijd). Ook moet je de omrekenfactor kennen tussen meter per seconde (m/s) en kilometer per uur (km/uur).

Wat moet je kunnen: Je kunt de afgelegde afstand bepalen uit de gegeven hoogtes. Je kunt de tijd aflezen of berekenen uit de context. Je kunt vervolgens de gemiddelde snelheid berekenen en deze correct omrekenen van m/s naar km/uur (of andersom).

Waar op letten: Bereken eerst de totale afgelegde afstand. Dit is het verschil tussen de beginhoogte en de eindhoogte.
De tijd die Bart over deze val doet, staat in de vraagtekst genoemd, maar niet direct bij vraag 1. Zoek deze informatie goed op.
Bereken de snelheid in meter per seconde (m/s) voordat je deze omrekent.
Let goed op de omrekening van m/s naar km/uur. Je vermenigvuldigt met 3,6 om van m/s naar km/uur te gaan, en deelt door 3,6 om van km/uur naar m/s te gaan.
Geef je antwoord in de gevraagde eenheid (km/uur) en rond af zoals gevraagd (in helen).

Kernbegrippen: gemiddelde snelheid, eenheden omrekenen, afstand, snelheid en tijd

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten de eenheid om te rekenen van meter per seconde naar kilometer per uur.
- Een foute omrekenfactor gebruiken (bijvoorbeeld delen door 3,6 in plaats van vermenigvuldigen).
- De afgelegde afstand verkeerd berekenen (bijvoorbeeld 4000 of 1500 meter gebruiken in plaats van het verschil).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2022/tijdvak-2/vraag/1

## Vraag 2 – Opgave 1 (4 punten)

Tijdens de vrije val die Bart maakt, wordt hij afgeremd door de lucht. Daarom duurt de vrije val van Bart langer dan een theoretische vrije val over dezelfde afstand. Een theoretische vrije val is een val ten gevolge van de zwaartekracht zonder dat de val door de lucht wordt afgeremd. Voor de hoogte van een voorwerp tijdens een theoretische vrije val die begint op een hoogte van 4000 meter geldt de formule:

h = 4000 - 4,9 · t²
(formule 1)

Hierin is h de hoogte van het voorwerp tijdens de theoretische vrije val (in meters) en t de tijd (in seconden) vanaf het moment dat de theoretische vrije val begint.

Er kan berekend worden hoeveel seconden de vrije val van Bart van 4000 meter naar 1500 meter langer duurt dan een theoretische vrije val over dezelfde afstand.

2 Voer deze berekening uit. Geef je antwoord in een geheel aantal seconden.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een formule die de hoogte beschrijft tijdens een theoretische vrije val. Je moet deze formule gebruiken om een specifieke tijd te berekenen en dit resultaat vervolgens vergelijken met een gegeven tijd om een verschil te vinden.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een kwadratische vergelijking oplost. Je moet ook begrijpen hoe je een gegeven waarde (hoogte) invult in een formule en vervolgens de onbekende variabele (tijd) isoleert.

Wat moet je kunnen: Je kunt de gegeven hoogte invullen in de formule. Je kunt de vergelijking die hieruit ontstaat stap voor stap oplossen om de tijd (t) te vinden. Je kunt vervolgens het verschil berekenen tussen de theoretische valtijd en de werkelijke valtijd van Bart. Tot slot rond je je antwoord correct af op een geheel aantal seconden.

Waar op letten: Je vult de eindhoogte (1500 meter) in voor 'h' in de formule en lost de vergelijking op naar 't'.
Let goed op de volgorde van bewerkingen bij het oplossen van de kwadratische vergelijking (eerst termen verplaatsen, dan delen, dan de wortel trekken).
Vergeet niet dat t² twee oplossingen heeft (positief en negatief), maar in deze context is alleen de positieve tijd relevant.
Nadat je de theoretische valtijd hebt berekend, moet je deze aftrekken van de werkelijke valtijd van Bart (50 seconden).
Rond je eindantwoord pas op het allerlaatste moment af, en dan ook precies zoals gevraagd: in een geheel aantal seconden.

Kernbegrippen: kwadratische vergelijking oplossen, toepassen van een formule, rekenen met modellen

Veelgemaakte fouten:
- rekenfout bij oplossen vergelijking
- vergeten het verschil te berekenen met de werkelijke tijd
- foutief afronden van het eindantwoord

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2022/tijdvak-2/vraag/2

## Vraag 3 – Opgave 1 (3 punten)

3p 3 We kijken nu naar parachutisten met een massa van 90 kg die sprongen maken met parachutes met verschillende wrijvingscoëfficiënten W. Onderzoek met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage of de constante valsnelheid v van deze personen omgekeerd evenredig is met de wrijvingscoëfficiënt W van de parachutes. Bij figuur 2 hoort de volgende formule voor de constante valsnelheid: v = 3,13 · √((m)/(W)) (formule 2) Hierin is v de constante valsnelheid in meters per seconde, m de massa van de parachutist in kg en W de wrijvingscoëfficiënt van de parachute. Tina is een parachutist met een massa van 79 kg. De wrijvingscoëfficiënt van haar parachute is 45. Met deze parachute maakt zij een sprong. Precies 34 seconden na de afsprong is zij op 1300 meter hoogte en bereikt zij haar constante valsnelheid. Op dat moment start het laatste gedeelte van haar parachutesprong.

Wat kun je verwachten: Je onderzoekt een verband tussen twee grootheden aan de hand van een grafiek. Je moet bepalen of er sprake is van een omgekeerd evenredig verband door waarden af te lezen en te controleren of een bepaalde relatie klopt.

Wat moet je kennen: Je moet weten wat een omgekeerd evenredig verband inhoudt. Dit betekent dat als de ene grootheid met een factor vermenigvuldigd wordt, de andere grootheid door diezelfde factor gedeeld wordt. Of, anders gezegd, het product van de twee grootheden is constant.

Wat moet je kunnen: Je kunt nauwkeurig waarden aflezen uit een lijngrafiek. Je kunt de afgelezen waarden gebruiken om te controleren of er een omgekeerd evenredig verband is. Je kunt je conclusie helder onderbouwen met je berekeningen.

Waar op letten: Je leest de waarden af uit de juiste lijn in figuur 2. De vraag gaat over parachutisten met een massa van 90 kg, dus je kijkt op de horizontale as bij m = 90 kg.
Je kiest minimaal twee verschillende wrijvingscoëfficiënten W (bijvoorbeeld W=20 en W=40) en leest de bijbehorende constante valsnelheid v af.
Je controleert of het product W * v (ongeveer) constant is voor de afgelezen punten. Als W * v constant is, dan is er sprake van een omgekeerd evenredig verband.
Je let op de nauwkeurigheid van het aflezen. Gebruik de schaalverdeling van de grafiek zo precies mogelijk.
Je formuleert een duidelijke conclusie op basis van je bevindingen, waarbij je expliciet vermeldt of het verband wel of niet omgekeerd evenredig is.

Kernbegrippen: omgekeerd evenredig verband, grafiek aflezen

Veelgemaakte fouten:
- Incorrect aflezen van de grafiek
- Verwarring tussen evenredig en omgekeerd evenredig
- Onvoldoende onderbouwing van de conclusie (bijvoorbeeld maar één punt controleren)

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2022/tijdvak-2/vraag/3

## Vraag 4 – Opgave 1 (3 punten)

Bij figuur 2 hoort de volgende formule voor de constante valsnelheid:
v = 3,13 ⋅ √ (m/W) (formule 2)
Hierin is v de constante valsnelheid in meters per seconde, m de massa van de parachutist in kg en W de wrijvingscoëfficiënt van de parachute.
Tina is een parachutist met een massa van 79 kg. De wrijvingscoëfficiënt van haar parachute is 45. Met deze parachute maakt zij een sprong. Precies 34 seconden na de afsprong is zij op 1300 meter hoogte en bereikt zij haar constante valsnelheid. Op dat moment start het laatste gedeelte van haar parachutesprong.
Bereken met behulp van formule 2 hoelang haar totale sprong duurt. Geef je antwoord in een geheel aantal seconden.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een formule en een verhaal. Je moet de gegevens uit het verhaal in de formule invullen om een belangrijke waarde te berekenen. Daarna gebruik je die waarde om een ander deel van de vraag op te lossen. Uiteindelijk combineer je verschillende tijden om de totale duur te vinden.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een formule correct invult met de juiste getallen. Je moet ook het verband tussen afstand, snelheid en tijd kennen (afstand = snelheid * tijd, dus tijd = afstand / snelheid).

Wat moet je kunnen: Je kunt de gegeven massa en wrijvingscoëfficiënt correct invullen in de formule voor de valsnelheid. Je kunt de berekende valsnelheid gebruiken om de duur van het laatste deel van de sprong te berekenen. Je telt de twee tijdsperioden bij elkaar op om de totale sprongduur te vinden en rondt correct af.

Waar op letten: Let goed op welke waarden je voor 'm' en 'W' moet invullen in formule 2. De eenheden moeten kloppen.
Rond de berekende valsnelheid NIET tussentijds af. Gebruik het onafgeronde getal voor de volgende berekening om afrondingsfouten te voorkomen.
Vergeet niet dat de sprong uit twee delen bestaat: de eerste 34 seconden en het deel met constante valsnelheid. Je moet beide tijden bij elkaar optellen voor de totale duur.
De vraag vraagt om de totale sprongduur in een geheel aantal seconden. Rond je eindantwoord pas op het allerlaatste moment af.

Kernbegrippen: formule toepassen, rekenen met snelheid, afstand en tijd, samengestelde berekening

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten de eerste 34 seconden bij de berekende tijd op te tellen.
- Afrondingsfouten door tussentijds afronden van de snelheid.
- Eenheden verwarren (hoewel hier alles in meters en seconden is).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2022/tijdvak-2/vraag/4

## Vraag 5 – Opgave 1 (3 punten)

We kijken nu naar één bepaalde parachute met een wrijvingscoëfficiënt van 40. Personen met verschillende massa's kunnen met deze parachute gaan springen. Formule 2 kan dan worden herleid tot de volgende vorm:
v = ... ⋅ √m (formule 3)
Geef deze herleiding. Geef daarbij het getal op de puntjes in twee decimalen.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een formule en een gegeven waarde voor een variabele. Je moet deze waarde invullen en de formule herleiden naar een specifieke vorm. Dit betekent dat je de rekenregels voor wortels moet toepassen en een constante moet berekenen.

Wat moet je kennen: Je moet de rekenregels voor wortels kennen, met name hoe je een wortel over een breuk kunt splitsen: sqrt(a/b) = sqrt(a) / sqrt(b). Je moet ook weten hoe je getallen correct afrondt.

Wat moet je kunnen: Je kunt een gegeven waarde substitueren in een formule. Je kunt wortels splitsen en vereenvoudigen. Je kunt een berekening uitvoeren met je GR en het resultaat correct afronden op het gevraagde aantal decimalen.

Waar op letten: Je substitueert de wrijvingscoëfficiënt W = 40 correct in Formule 2.
Je past de rekenregel voor wortels correct toe: sqrt(m/40) is niet hetzelfde als sqrt(m) / 40. Denk aan sqrt(a/b) = sqrt(a) / sqrt(b).
Je berekent de constante die voor sqrt(m) komt te staan nauwkeurig met je GR.
Je rondt het eindantwoord van de constante correct af op twee decimalen, zoals gevraagd.
Je presenteert de herleide formule in de gevraagde vorm v = ... ⋅ sqrt(m).

Kernbegrippen: Formules herleiden, Rekenregels voor wortels, Substitutie

Veelgemaakte fouten:
- Incorrecte toepassing wortelregels
- Afrondingsfout
- Niet voldoen aan afrondingseis

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2022/tijdvak-2/vraag/5

## Vraag 6 – Opgave 1 (4 punten)

Op de uitwerkbijlage staan deze vier variabelen in een tabel.
Geef voor elk van de vier variabelen in de tabel op de uitwerkbijlage aan welke soort variabele het betreft. Zet per variabele precies één kruisje.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een tabel met verschillende variabelen. Je moet voor elke variabele bepalen welk type het is: kwantitatief (discreet of continu) of kwalitatief (nominaal of ordinaal).

Wat moet je kennen: Je moet de definities van de verschillende soorten variabelen kennen: kwantitatief (meetbaar met getallen) en kwalitatief (categorieën). Binnen kwantitatief moet je het verschil tussen discreet (telbaar, hele getallen) en continu (meetbaar, kan elke waarde aannemen binnen een bereik) weten. Binnen kwalitatief moet je het verschil tussen nominaal (categorieën zonder rangorde) en ordinaal (categorieën met een rangorde) kennen.

Wat moet je kunnen: Je moet in staat zijn om de aard van een variabele te analyseren en deze correct te classificeren volgens de statistische definities. Je kruist per variabele de juiste categorie aan in de tabel.

Waar op letten: Let goed op het verschil tussen 'telbaar' (discreet) en 'meetbaar' (continu). Een aantal is altijd discreet, een tijd of lengte is altijd continu.
Controleer of er een logische rangorde zit in de categorieën van een kwalitatieve variabele. Zo ja, dan is het ordinaal. Zo nee, dan is het nominaal.
Vraag jezelf af of de variabele een getalwaarde heeft waarmee je kunt rekenen (kwantitatief) of dat het een beschrijving of categorie is (kwalitatief).
Zorg ervoor dat je per variabele slechts één kruisje zet, zoals gevraagd in de instructie.

Kernbegrippen: statistische variabelen, kwalitatieve variabele, kwantitatieve variabele, nominaal meetniveau, ordinaal meetniveau, discreet, continu

Veelgemaakte fouten:
- Verwarring tussen nominaal en ordinaal: 'mate van urgentie' heeft een rangorde, 'regio' niet.
- Verwarring tussen discreet en continu: 'aantal ritten' is telbaar (discreet), 'responstijd' is meetbaar (continu).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2022/tijdvak-2/vraag/6

## Vraag 7 – Opgave 1 (3 punten)

In de rest van de opgave kijken we alleen naar A1-ritten en A2-ritten. Omdat er bij A1-ritten sprake is van direct levensgevaar voor de patiënt, zijn de responstijden van deze ritten over het algemeen korter dan de responstijden van de A2-ritten.
In de figuur staan de relatieve cumulatieve frequentiepolygonen van de responstijden van de A1-ritten en die van de responstijden van de A2-ritten in 2014. De figuur staat twee keer op de uitwerkbijlage vergroot afgedrukt. In de figuur is niet aangegeven welke polygoon bij de A1-ritten hoort en welke bij de A2-ritten.

3p 7 Bepaal met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage de interkwartielafstand van de responstijd van de A1-ritten. Geef hierbij aan welke polygoon je gebruikt hebt en licht je keuze toe.

Wat kun je verwachten: Je gaat aan de slag met een relatief cumulatief frequentiepolygoon. Je moet de juiste polygoon kiezen op basis van de context en daaruit de kwartielen aflezen om de interkwartielafstand te bepalen.

Wat moet je kennen: Je moet weten wat een relatief cumulatief frequentiepolygoon is en hoe je hieruit informatie afleest. Je moet ook de definitie van het eerste kwartiel (Q1), het derde kwartiel (Q3) en de interkwartielafstand (IKA = Q3 - Q1) kennen. Daarnaast moet je de context van de vraag (A1-ritten versus A2-ritten) kunnen interpreteren om de juiste polygoon te selecteren.

Wat moet je kunnen: Je kunt een relatief cumulatief frequentiepolygoon correct interpreteren. Je kunt de kwartielen (25% en 75%) nauwkeurig aflezen op de verticale as en de bijbehorende responstijden op de horizontale as bepalen. Je kunt de interkwartielafstand berekenen en je keuze voor de polygoon toelichten op basis van de gegeven informatie.

Waar op letten: Lees de vraag goed: je moet eerst de juiste polygoon kiezen en je keuze toelichten, voordat je gaat aflezen.
Interpreteer de context: 'direct levensgevaar' en 'over het algemeen kortere responstijden' zijn belangrijke aanwijzingen voor welke polygoon bij A1-ritten hoort.
Voor het eerste kwartiel (Q1) zoek je de waarde op de horizontale as die hoort bij 25% op de verticale as. Voor het derde kwartiel (Q3) zoek je de waarde op de horizontale as die hoort bij 75% op de verticale as.
Wees nauwkeurig met aflezen. Gebruik eventueel een liniaal op de uitwerkbijlage om precieze waarden te vinden.
Vergeet niet de eenheid (minuten) bij je antwoord te vermelden en rond af zoals gevraagd.

Kernbegrippen: Relatief cumulatief frequentiepolygoon, Interkwartielafstand, Kwartielen aflezen, Statistische context interpretatie

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerde polygoon kiezen
- Afleesfouten bij kwartielen
- Verklaring voor keuze polygoon vergeten
- Reken- of aftrekfout

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2022/tijdvak-2/vraag/7

## Vraag 8 – Opgave 1 (4 punten)

Het gedeelte van de rechter polygoon waarbij de responstijden tussen 18 en 30 minuten liggen, kan benaderd worden met de grafiek van een formule van de volgende vorm:

P = 100 / (1 + 27 * a^t)

Hierin is P het cumulatieve percentage, t de responstijd in minuten en a een getal.
Bepaal de waarde van a. Geef je antwoord in één decimaal. Je kunt hierbij gebruikmaken van de figuur op de uitwerkbijlage.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een formule die een cumulatief percentage (P) relateert aan een responstijd (t). Je moet een onbekende variabele (a) in deze formule bepalen door informatie uit een grafiek te halen en een vergelijking op te lossen met je grafische rekenmachine.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een punt correct afleest uit een cumulatieve frequentiepolygoon. Je moet ook de basisprincipes van exponentiële functies kennen en hoe je vergelijkingen met machten oplost met je GR.

Wat moet je kunnen: Je moet nauwkeurig een punt (t, P) kunnen aflezen van de *rechter* polygoon in de figuur. Vervolgens vul je deze waarden in de gegeven formule in. Daarna los je de vergelijking op voor 'a' met behulp van de 'intersect' of 'solver' functie van je GR. Tot slot rond je je antwoord correct af.

Waar op letten: Let goed op dat je de *rechter* polygoon gebruikt en niet de linker. De vraag specificeert dit duidelijk.
Lees een punt (t, P) zo nauwkeurig mogelijk af van de grafiek. De CV geeft aan dat een kleine marge is toegestaan, maar probeer zo precies mogelijk te zijn.
Vul de afgelezen waarden voor P en t correct in de formule P = 100 / (1 + 27 * a^t).
Gebruik je grafische rekenmachine om de vergelijking op te lossen voor 'a'. Je kunt dit doen door de linkerkant en de rechterkant van de vergelijking als aparte functies in te voeren (Y1 en Y2) en het snijpunt te zoeken, of door de 'solver' functie te gebruiken.
Rond je uiteindelijke antwoord voor 'a' af op één decimaal, zoals gevraagd in de vraagtekst.

Kernbegrippen: exponentiële modellen, vergelijking oplossen met GR, grafiek aflezen

Veelgemaakte fouten:
- Incorrect aflezen van de grafiek.
- De verkeerde polygoon (de linker) gebruiken.
- Algebraïsche fouten bij het handmatig proberen op te lossen van de vergelijking.
- Vergeten het antwoord af te ronden op één decimaal zoals gevraagd.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2022/tijdvak-2/vraag/8

## Vraag 9 – Opgave 1 (3 punten)

Het kleinste B-formaat dat gebruikt wordt, is het B10-formaat.
Bereken de afmetingen van een vel papier in B10-formaat. Geef je antwoord in een geheel aantal mm.

Wat kun je verwachten: Je moet de afmetingen van een specifiek B-formaat papier berekenen. Dit doe je door te begrijpen hoe de afmetingen veranderen van het ene B-formaat naar het volgende.

Wat moet je kennen: Je moet het principe van halvering van papierformaten kennen, zoals dat wordt toegepast bij de B-serie. Je moet weten dat de lange zijde van een vel papier wordt gehalveerd om het volgende formaat te creëren, en hoe dit de breedte en hoogte beïnvloedt.

Wat moet je kunnen: Je kunt de startafmetingen (B0) gebruiken en systematisch de halveringen toepassen om de afmetingen van B10 te vinden. Je kunt dit doen door een reeks berekeningen uit te voeren of door een tabel op te stellen. Je kunt ook de groeifactor (0,5) toepassen voor het juiste aantal stappen. Je rondt je antwoord correct af op hele millimeters.

Waar op letten: Let goed op de 'figuur' in de bijlage. Deze figuur laat zien hoe de B-formaten ontstaan door steeds de lange zijde te halveren.
Tel zorgvuldig hoeveel stappen van halvering er zijn van B0 naar B10. Dit is cruciaal voor de exponent in je berekening.
Begrijp dat niet elke halvering beide afmetingen tegelijk halveert. De figuur helpt je te zien welke zijde (breedte of hoogte) gehalveerd wordt bij elke stap.
Zorg ervoor dat je de juiste startafmetingen van B0 gebruikt (1000 mm bij 1414 mm).
Rond je uiteindelijke antwoord af op hele millimeters, zoals gevraagd in de vraag.

Kernbegrippen: Exponentiële afname, Meet- en rekenkunde, Groeifactor

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd aantal halveringen (bijv. 10 keer voor elke dimensie in plaats van 5 keer).
- Beide dimensies bij elke stap halveren in plaats van alleen de langste zijde.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2022/tijdvak-2/vraag/9

## Vraag 10 – Opgave 1 (3 punten)

In de rest van deze opgave kijken we naar de oppervlakte van papier en enveloppen. Het gaat dan telkens om de oppervlakte van de voorkant. Er geldt: oppervlakte = breedte × hoogte.
De oppervlakte van een vel papier in B4-formaat is 88 375 mm². Om zo'n vel papier ongevouwen te versturen is een speciaal formaat enveloppe ontwikkeld, de zogenaamde EB4-enveloppe.
Een enveloppe in EB4-formaat heeft een breedte b van 262 mm en een hoogte h van 371 mm.
De oppervlakte van deze enveloppe is groter dan de oppervlakte van een vel papier in B4-formaat.
Bereken hoeveel procent groter. Geef je antwoord in gehele procenten.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag waarbij je eerst een oppervlakte moet berekenen en daarna de procentuele toename tussen twee oppervlaktes moet bepalen. Je moet goed opletten welke waarde de basis (100%) is voor je berekening.

Wat moet je kennen: Je moet de formule voor oppervlakte van een rechthoek kennen (breedte x hoogte). Je moet ook de formule voor procentuele verandering kennen: ((nieuw - oud) / oud) * 100%.

Wat moet je kunnen: Je kunt de oppervlakte van de enveloppe berekenen. Je kunt de procentuele toename berekenen door de juiste waarden in de formule in te vullen. Je kunt je antwoord correct afronden op gehele procenten.

Waar op letten: Bereken eerst de oppervlakte van de EB4-enveloppe met de gegeven breedte en hoogte.
Identificeer welke waarde de 'oude' situatie is (de basis, 100%) en welke de 'nieuwe' situatie. In dit geval is de oppervlakte van het B4-papier de basis.
Gebruik de formule voor procentuele verandering: ((nieuwe waarde - oude waarde) / oude waarde) * 100%.
Let goed op de afronding: je moet je antwoord in gehele procenten geven.
Controleer of je antwoord logisch is. Als de enveloppe groter is, verwacht je een positief percentage.

Kernbegrippen: procentuele toename, oppervlakte berekenen, rekenen met procenten

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerde waarde als basis (100%) gebruiken voor de procentberekening, bijvoorbeeld de oppervlakte van de enveloppe in plaats van het papier.
- De procentuele toename berekenen als (nieuw/oud) * 100% en vergeten er 100% van af te trekken.
- Onjuist afronden op gehele procenten.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2022/tijdvak-2/vraag/10

## Vraag 11 – Opgave 1 (3 punten)

3p 11 Beredeneer met deze formule, zonder getallenvoorbeelden te gebruiken of een schets/tekening van de grafiek van h te maken, of de hoogte van de enveloppe kleiner of groter wordt als het formaatnummer groter wordt. Voor de breedte b in mm van enveloppen EBn, waarin n het formaatnummer is, geldt de volgende formule: b = 1048 · 2^-(1)/(2)n Hoe groter het formaatnummer, des te kleiner is de breedte van de enveloppe.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een formule met een exponentiële term en je moet beredeneren wat er met de uitkomst gebeurt als één van de variabelen (in de exponent) groter wordt. Je moet dit doen zonder getallen te gebruiken of een grafiek te schetsen.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe exponentiële functies werken, vooral wanneer de exponent negatief is. Je moet begrijpen dat als het grondtal groter is dan 1, een kleinere exponent leidt tot een kleinere uitkomst van de macht. Je moet ook weten hoe je stap voor stap een redenering opbouwt.

Wat moet je kunnen: Je kunt de formule b = 1048 * 2^-(1/2)n analyseren. Je kunt beredeneren wat er gebeurt met de term -(1/2)n als n groter wordt. Vervolgens kun je beredeneren wat dit betekent voor 2^-(1/2)n. Tot slot kun je concluderen wat dit betekent voor de totale breedte b.

Waar op letten: Let goed op de negatieve exponent: als n groter wordt, wat gebeurt er dan met -(1/2)n? Wordt deze term groter of kleiner?
Bedenk wat het effect is van een verandering in de exponent op de totale macht (2^exponent) als het grondtal (2) groter is dan 1.
Voorkom het gebruik van getallenvoorbeelden of een schets, dit is expliciet verboden in de vraag.
Bouw je redenering stap voor stap op, beginnend bij de verandering van 'n' en eindigend bij de verandering van 'b'.

Kernbegrippen: exponentiële functies, dalende functie, redeneren met formules, negatieve exponent

Veelgemaakte fouten:
- Verwarring over het effect van een negatieve exponent.
- Onjuist redeneren over de tussenstappen (bijv. denken dat als -1/2n kleiner wordt, de macht ook groter wordt).
- Toch getallenvoorbeelden gebruiken, wat expliciet verboden is.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2022/tijdvak-2/vraag/11

## Vraag 12 – Opgave 1 (3 punten)

Voor de breedte b in mm van enveloppen EBn, waarin n het formaatnummer is, geldt de volgende formule:
b = 1048 · 2^−( )n

Hoe groter het formaatnummer, des te kleiner is de breedte van de enveloppe.

12 Bereken vanaf welk formaatnummer de breedte van de enveloppe kleiner is dan 100 mm.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een formule die de breedte van enveloppen relateert aan een formaatnummer. Je moet bepalen vanaf welk formaatnummer de breedte onder een bepaalde waarde komt. Dit betekent dat je een exponentiële vergelijking of ongelijkheid moet oplossen en het antwoord correct moet interpreteren.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe exponentiële formules werken en hoe je deze kunt gebruiken om een ongelijkheid op te lossen. Je moet ook begrijpen hoe je de grafische rekenmachine (GR) effectief inzet voor het oplossen van vergelijkingen.

Wat moet je kunnen: Je kunt de gegeven formule opstellen als een vergelijking of ongelijkheid. Je kunt de vergelijking oplossen met je GR (bijvoorbeeld met de 'intersect'-functie). Je kunt het resultaat van de berekening correct afronden en interpreteren in de context van de vraag, waarbij je rekening houdt met de aard van het formaatnummer (geheel getal).

Waar op letten: Je stelt de juiste vergelijking op: de formule gelijkstellen aan de grenswaarde (100 mm).
Je beschrijft duidelijk de stappen die je op je GR uitvoert om de vergelijking op te lossen (bijvoorbeeld 'Y1 = ...', 'Y2 = ...', 'intersect').
Je let goed op de vraag: 'vanaf welk formaatnummer'. Dit betekent dat je het berekende formaatnummer correct moet afronden en interpreteren, aangezien formaatnummers hele getallen zijn en de breedte kleiner wordt bij een groter formaatnummer.
Je controleert of je antwoord logisch is in de context van de vraag. De breedte neemt af als n toeneemt, dus als je een grens zoekt, moet je de juiste kant op afronden.

Kernbegrippen: exponentiële vergelijking oplossen, ongelijkheid oplossen, grafische rekenmachine gebruiken, interpreterend afronden

Veelgemaakte fouten:
- De ongelijkheid 'kleiner dan 100' verkeerd interpreteren en alleen de vergelijking oplossen.
- Vergeten de GR-methode (bijv. intersect) te beschrijven.
- Het resultaat van de vergelijking (n ≈ 6,78) incorrect afronden naar 6 in plaats van te redeneren dat het formaatnummer een geheel getal groter dan 6,78 moet zijn, dus 7.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2022/tijdvak-2/vraag/12

## Vraag 13 – Opgave 1 (6 punten)

Bij het spreidingsdiagram worden de volgende uitspraken gedaan over de resultaten van deze 86 schaatssters:
a Meer dan 90% van de schaatssters heeft de 500 meter afgelegd in minder dan 45,0 seconden.
b De mediaan van de tijd op de 1000 meter is ongeveer 81,5 seconden.
c De drie snelste schaatssters op de 500 meter zijn ook de drie snelste schaatssters op de 1000 meter.
Onderzoek van elke uitspraak of deze juist is of onjuist. Je kunt gebruikmaken van de figuren op de uitwerkbijlage.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een spreidingsdiagram te zien met data van schaatssters. Je moet drie uitspraken beoordelen op juistheid door nauwkeurig af te lezen, te tellen en te interpreteren.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een spreidingsdiagram afleest, hoe je de mediaan bepaalt in een dataset (ook visueel in een diagram), en hoe je een percentage berekent op basis van getelde waarden.

Wat moet je kunnen: Je kunt punten tellen in een spreidingsdiagram, zowel horizontaal als verticaal. Je kunt de mediaan van een reeks waarnemingen bepalen door de waarnemingen te ordenen en het middelste punt te vinden. Je kunt de snelste tijden op de 500 meter en 1000 meter identificeren en vergelijken. Je kunt een percentage berekenen van een deel ten opzichte van het geheel.

Waar op letten: Let goed op de assen: de x-as is de tijd op de 500 meter en de y-as is de tijd op de 1000 meter. Verwar deze niet.
Voor uitspraak a, tel je nauwkeurig het aantal schaatssters dat langer dan 45,0 seconden deed over de 500 meter. Vergeet niet het totaal aantal schaatssters (86) te gebruiken voor je percentageberekening.
Voor uitspraak b (mediaan), bedenk dat de mediaan de middelste waarde is als je alle waarnemingen op volgorde zet. Bij 86 schaatssters zoek je de 43e en 44e waarneming. Je kunt dit doen door de punten op de y-as (1000 meter) van laag naar hoog te tellen.
Voor uitspraak c, identificeer je de drie snelste schaatssters op de 500 meter (laagste x-waarden) en de drie snelste op de 1000 meter (laagste y-waarden). Controleer of dit dezelfde punten zijn in het diagram.
Wees nauwkeurig met tellen; een klein foutje kan leiden tot een verkeerde conclusie.

Kernbegrippen: spreidingsdiagram aflezen, mediaan bepalen in een spreidingsdiagram, percentage berekenen, rangorde bepalen

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd tellen van de punten in het diagram.
- Verwarren van de x- en y-as.
- Onnauwkeurig aflezen van de mediaan (niet tellen van de 43e/44e waarneming).
- Aannemen dat de snelste op de ene afstand ook de snelste op de andere is zonder dit te controleren.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2022/tijdvak-2/vraag/13

## Vraag 14 – Opgave 1 (3 punten)

Om de tijden op verschillende afstanden met elkaar te kunnen vergelijken, wordt elke tijd omgerekend naar de gemiddelde tijd per 500 meter.
Stel bijvoorbeeld dat een schaatsster 15 minuten en 20,4 seconden over de 10000 meter doet. Gemiddeld doet zij dan over 500 meter
(15\cdot60+20,4)/(10 000)\cdot500=46,02 seconden.
Voor de vier langste afstanden worden de persoonlijke recordtijden van alle 86 schaatssters omgerekend naar de gemiddelde tijd per 500 meter. Deze omgerekende tijden zijn weergegeven in boxplots. Zie figuur 2. Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage.

Als je de boxplots onderling vergelijkt, dan kun je met behulp van het formuleblad concluderen dat er een groot verschil is tussen de omgerekende tijden op de 1500 meter en die op de 10000 meter. Er zijn meer afstanden waarbij er sprake is van een groot verschil.
3p 14 Noem elk tweetal afstanden waarbij er sprake is van een groot verschil tussen de omgerekende tijden. Je kunt hierbij gebruikmaken van de figuur op de uitwerkbijlage. Licht je antwoord toe.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over het vergelijken van spreidingen, weergegeven in boxplots. Je moet de boxplots nauwkeurig aflezen en een statistisch criterium toepassen om verschillen te beoordelen.

Wat moet je kennen: Je moet de onderdelen van een boxplot kennen (minimum, Q1, mediaan, Q3, maximum) en weten hoe je deze afleest. Ook moet je de definitie van 'een groot verschil' tussen twee boxplots kennen, namelijk dat de boxen (het interkwartielgebied) elkaar niet overlappen.

Wat moet je kunnen: Je kunt de boxplots in figuur 2 correct aflezen. Je kunt systematisch alle mogelijke tweetallen afstanden vergelijken. Je kunt bepalen of de boxen van twee afstanden elkaar overlappen of niet. Je kunt je bevindingen helder toelichten.

Waar op letten: Je moet eerst de definitie van 'een groot verschil' tussen boxplots kennen. Deze staat vaak op je formulekaart of in je lesmateriaal.
Je vergelijkt de boxen (het gebied tussen Q1 en Q3) van elk tweetal afstanden. Let goed op of deze boxen elkaar overlappen of niet.
Je noemt alle tweetallen afstanden waarbij de boxen elkaar NIET overlappen. Wees systematisch om geen paren te missen.
Je moet je antwoord toelichten. Dit betekent dat je uitlegt waarom de door jou genoemde tweetallen een 'groot verschil' hebben, gebaseerd op de boxplots.

Kernbegrippen: boxplots vergelijken, spreidingsmaten, interkwartielafstand, statistische verschillen

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten de definitie van 'groot verschil' te geven (niet-overlappende boxen)
- Niet alle paren met een groot verschil noemen
- Verkeerd aflezen van de boxplot-grenzen

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2022/tijdvak-2/vraag/14

## Vraag 15 – Opgave 1 (3 punten)

15 minuten en 20,4 seconden over de 10000 meter doet. Gemiddeld doet zij dan over 500 meter (15\cdot60+20,4)/(10 000)\cdot500=46,02 seconden. Voor de vier langste afstanden worden de persoonlijke recordtijden van alle 86 schaatssters omgerekend naar de gemiddelde tijd per 500 meter. Deze omgerekende tijden zijn weergegeven in boxplots. Zie figuur 2. Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage. figuur 2 omgerekende tijd (gemiddelde tijd per 500 meter) 10000 m 5000 m 3000 m 1500 m 38 40 42 44 46 48 50 52 54 56 58 \longrightarrow omgerekende tijd (seconden) Als je de boxplots onderling vergelijkt, dan kun je met behulp van het formuleblad concluderen dat er een groot verschil is tussen de omgerekende tijden op de 1500 meter en die op de 10000 meter. Er zijn meer afstanden waarbij er sprake is van een groot verschil.

Wat kun je verwachten: Je moet de recordtijden van een schaatsster vergelijken met de prestaties van een groep schaatssters. Je gebruikt hiervoor een tabel met recordtijden en boxplots die de omgerekende tijden per 500 meter weergeven. Je moet goed kunnen aflezen en rekenen met tijden.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een boxplot afleest, met name de minimumwaarde. Je moet ook weten hoe je tijden (minuten en seconden) omrekent naar een totaal aantal seconden en hoe je een gemiddelde berekent.

Wat moet je kunnen: Je kunt recordtijden uit een tabel halen en deze omrekenen naar een gemiddelde tijd per 500 meter. Je kunt de minimumwaarde van een boxplot aflezen. Je kunt vervolgens de omgerekende tijden van de schaatsster vergelijken met de afgelezen waarden uit de boxplots en een conclusie trekken.

Waar op letten: Let goed op het omrekenen van minuten en seconden naar een totaal aantal seconden. Denk eraan dat 1 minuut 60 seconden is.
Bij het omrekenen naar 'gemiddelde tijd per 500 meter' voor de 1500 meter, moet je de totale afstand (1500 m) delen door 500 m om te weten door welk getal je de totale tijd moet delen. Dit is dus 1500/500 = 3.
Lees de minimumwaarden van de boxplots in figuur 2 nauwkeurig af. Gebruik de schaalverdeling op de horizontale as.
Vergelijk de berekende tijden van de schaatsster met de afgelezen minimumwaarden uit de figuren. Je moet voor twee afstanden een vergelijking maken: de 500 meter en de 1500 meter.
Zorg dat je een duidelijke conclusie formuleert voor beide afstanden, gebaseerd op je berekeningen en aflezingen.

Kernbegrippen: statistiek, boxplots, data aflezen, rekenen met tijd

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd omrekenen van min:sec.honderdsten naar totale seconden.
- Verkeerd omrekenen van de recordtijd naar de gemiddelde tijd per 500 meter (bijv. voor 1500m delen door 1500 i.p.v. 3).
- Afleesfouten in de boxplot (figuur 2) of de niet-meegeleverde figuur 1.
- Vergeten om voor beide afstanden (500m en 1500m) het onderzoek uit te voeren.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2022/tijdvak-2/vraag/15

## Vraag 16 – Opgave 1 (3 punten)

In de tabel staan ook de persoonlijke recordtijden van Caroline Farestveit. Een fan van Farestveit doet de volgende uitspraak: "Als je Farestveit vergelijkt met de 85 andere schaatssters, dan presteert Farestveit beter op de 10000 meter dan op de 5000 meter."
3p 16 Leg uit dat de uitspraak van de fan juist is.

Wat kun je verwachten: Je moet de prestaties van Caroline Farestveit op de 5000 meter en 10000 meter vergelijken. Dit doe je door haar recordtijden om te rekenen naar een gemiddelde tijd per 500 meter en deze vervolgens te plaatsen in de context van alle schaatssters, zoals weergegeven in de boxplots.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je tijden in minuten en seconden omrekent naar alleen seconden. Ook moet je de betekenis van kwartielen en boxplots kennen om de relatieve positie van een schaatsster te kunnen bepalen. Een lagere tijd betekent een betere prestatie.

Wat moet je kunnen: Je kunt de recordtijden van Caroline Farestveit uit de tabel aflezen. Je kunt deze tijden correct omrekenen naar een gemiddelde tijd per 500 meter. Je kunt de boxplots in figuur 2 correct aflezen, met name de kwartielen (Q1, mediaan, Q3). Je kunt de omgerekende tijden van Farestveit plaatsen ten opzichte van de kwartielen en hieruit een conclusie trekken over haar relatieve prestatie op beide afstanden.

Waar op letten: Let goed op het omrekenen van minuten naar seconden (1 minuut = 60 seconden) voordat je de gemiddelde tijd per 500 meter berekent.
Voor de 5000 meter moet je delen door 10 (omdat 5000m = 10 * 500m) en voor de 10000 meter door 20 (omdat 10000m = 20 * 500m).
Lees de kwartielen (Q1, mediaan, Q3) nauwkeurig af uit de boxplots in figuur 2 voor zowel de 5000 meter als de 10000 meter.
Bedenk dat bij schaatsen een lagere tijd een betere prestatie betekent. Als een tijd boven Q3 ligt, behoor je tot de langzaamste 25%. Als een tijd tussen Q1 en Q3 ligt, behoor je tot de middelste 50%.
Zorg ervoor dat je de eenheid 'seconden' consistent gebruikt in je berekeningen en antwoord.

Kernbegrippen: omrekenen van eenheden, gemiddelde snelheid, boxplots aflezen, interpreteren van kwartielen, vergelijken van relatieve posities

Veelgemaakte fouten:
- Reken- of conversiefout bij het omzetten van min:sec naar seconden.
- Verkeerde deler gebruiken bij het omrekenen naar 500m-tijd (bijv. 5000 i.p.v. 10).
- Foutieve interpretatie van de boxplot (bijv. een hogere tijd als 'beter' zien).
- Conclusie trekken zonder de berekende tijden te relateren aan de kwartielen in de boxplot.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2022/tijdvak-2/vraag/16

## Vraag 17 – Opgave 1 (3 punten)

3p 17 De Schleicher ASH 31 Glider heeft een spanwijdte van 21 meter. Bereken de vleugeloppervlakte van dit vliegtuig. Geef je antwoord in een geheel aantal m^2.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over het berekenen van de vleugeloppervlakte van een vliegtuig. Je moet hiervoor twee gegeven formules gebruiken en de juiste waarden invullen. Het is een typische vraag waarbij je stap voor stap te werk moet gaan.

Wat moet je kennen: Je moet de betekenis van de variabelen (S, w, b, A) in de formules kennen. Je moet ook weten hoe je een vergelijking moet omstellen om een onbekende variabele te vinden.

Wat moet je kunnen: Je kunt de juiste formule kiezen en de gegeven waarden correct invullen. Je kunt een eenvoudige vergelijking oplossen (bijvoorbeeld voor 'b'). Je kunt vervolgens de gevonden waarde gebruiken in een tweede formule om het eindantwoord te berekenen. Tot slot rond je het antwoord correct af op een geheel getal.

Waar op letten: Je let goed op welke formule je als eerste gebruikt. Je hebt twee formules tot je beschikking.
Je identificeert welke waarden je al weet en welke je moet berekenen. De spanwijdte (w) en de aspect ratio (S) zijn gegeven.
Je stelt de eerste formule correct om om de gemiddelde vleugelbreedte (b) te vinden. Let op dat je niet per ongeluk deelt in plaats van vermenigvuldigt, of andersom.
Je gebruikt de berekende waarde van 'b' (zonder tussentijds af te ronden!) in de tweede formule om de vleugeloppervlakte (A) te berekenen.
Je rondt je eindantwoord af op een geheel aantal m^2, zoals gevraagd in de vraag.

Kernbegrippen: formules toepassen, variabelen substitueren, vergelijking oplossen, rekenen met eenheden

Veelgemaakte fouten:
- Formules door elkaar halen (formule 1 en 2)
- Verkeerd omstellen van de formule S = w/b
- Vergeten het eindantwoord (oppervlakte A) te berekenen na het vinden van b
- Afrondingsfout of niet afronden op een geheel getal zoals gevraagd.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2022/tijdvak-2/vraag/17

## Vraag 18 – Opgave 1 (4 punten)

Uit formule 2 volgt:
b = A/w (formule 3)
De Piper Cherokee met slankheid 5,6 heeft een vleugeloppervlakte van 15,1 m². Door gebruik te maken van formule 1 en formule 3 kun je de spanwijdte van dit vliegtuig berekenen.
4p 18 Bereken de spanwijdte van de Piper Cherokee in meters. Geef je antwoord in één decimaal.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag waarbij je meerdere formules moet combineren om een onbekende waarde te berekenen. Je moet de gegeven waarden correct invullen en de vergelijking oplossen.

Wat moet je kennen: Je moet de betekenis van de variabelen in de formules kennen en weten hoe je formules kunt herschrijven en combineren. Je moet ook weten hoe je een vergelijking met een kwadraat oplost.

Wat moet je kunnen: Je moet de formules kunnen herschrijven zodat je een variabele kunt isoleren. Je moet de gegeven waarden correct kunnen invullen in de formules. Je moet de resulterende vergelijking algebraïsch kunnen oplossen, eventueel met behulp van je GR voor het oplossen van w^2 = getal. Je moet je antwoord correct afronden en de juiste eenheid gebruiken.

Waar op letten: Let goed op welke formule je gebruikt en welke variabele je wilt berekenen. De vraag vraagt om de spanwijdte (w).
Zorg ervoor dat je de formules correct herschrijft en combineert. Een veelvoorkomende fout is het verwisselen van de variabelen of het verkeerd omzetten van de breuken.
Controleer of je alle gegeven informatie (slankheid, vleugeloppervlakte) op de juiste plek in de formules invult.
Als je een vergelijking krijgt zoals w^2 = getal, vergeet dan niet de wortel te trekken om w te vinden.
Rond je eindantwoord pas op het allerlaatste moment af op één decimaal en vermeld de eenheid 'meters'.

Kernbegrippen: formules combineren, algebraïsche vaardigheden, variabelen substitueren

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd omschrijven van de formules
- Reken- of afrondingsfouten
- Vergeten de wortel te trekken uit w²

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2022/tijdvak-2/vraag/18

## Vraag 19 – Opgave 1 (3 punten)

De getallen in figuur 3 geven het brandstofverbruik V (in kg) weer voor een vlucht van 11000 km afhankelijk van de vleugeloppervlakte A en de slankheid S. Figuur 3 staat vergroot weergegeven op de uitwerkbijlage.
figuur 3
De lijnen die alle punten met gelijk brandstofverbruik met elkaar verbinden, worden **isolijnen** genoemd. Tussen twee opeenvolgende isolijnen zit steeds een verschil van 2500 kg.
In figuur 3 kun je bijvoorbeeld aflezen dat een vliegtuig met een vleugeloppervlakte van 795 m² en een slankheid van 8 op een vlucht van 11000 km 212 500 kg brandstof verbruikt. Mark zegt:
"Als dit vliegtuig 25 m² minder vleugeloppervlakte zou hebben en de slankheid zou toenemen tot 9, dan zou dat flink wat brandstof besparen."
19 Bereken hoeveel kg brandstof dit vliegtuig zo aan brandstof zou kunnen besparen op een vlucht van 11000 km. Je kunt bij het beantwoorden van deze vraag gebruikmaken van de figuur op de uitwerkbijlage.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een grafiek met isolijnen die een verband weergeven tussen drie variabelen. Je moet waarden aflezen uit deze grafiek en daarmee een berekening uitvoeren.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je isolijnen afleest. Isolijnen verbinden punten met een gelijke waarde van de afhankelijke variabele (hier: brandstofverbruik). Je moet ook begrijpen dat tussen twee opeenvolgende isolijnen de waarde geleidelijk verandert.

Wat moet je kunnen: Je moet nauwkeurig punten kunnen vinden in de grafiek op basis van gegeven coördinaten (vleugeloppervlakte A en slankheid S). Je moet de bijbehorende waarde van het brandstofverbruik kunnen aflezen, eventueel door te interpoleren tussen isolijnen. Daarna voer je een eenvoudige aftreksom uit om de besparing te berekenen.

Waar op letten: Lees de vraag goed: wat is de nieuwe vleugeloppervlakte? Let op 'minder' of 'meer'.
Zoek het nieuwe punt in de grafiek nauwkeurig op met de berekende vleugeloppervlakte A en de gegeven slankheid S.
Lees de waarde van de isolijn af die bij dit nieuwe punt hoort. Als het punt precies op een isolijn ligt, is dat de waarde. Als het tussen twee isolijnen ligt, moet je de waarde van de dichtstbijzijnde isolijn nemen, of als het precies in het midden ligt, de gemiddelde waarde.
Vergeet niet de laatste stap: bereken de besparing door het nieuwe verbruik af te trekken van het oorspronkelijke verbruik.
Noteer altijd de eenheid (kg) bij je antwoord.

Kernbegrippen: grafiek aflezen, isolijnen, rekenen met context

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerde nieuwe vleugeloppervlakte berekenen (bijv. optellen i.p.v. aftrekken).
- De isolijnen-grafiek verkeerd aflezen (verkeerde coördinaten gebruiken of verkeerde isolijn kiezen).
- Het nieuwe brandstofverbruik als eindantwoord geven in plaats van de besparing.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2022/tijdvak-2/vraag/19

## Vraag 20 – Opgave 1 (4 punten)

Het vergroten van de slankheid van een vliegtuig is de moeite waard: een ontwerper van vliegtuigen kan bij een gegeven vleugeloppervlakte veel toekomstig brandstofverbruik besparen door de slankheid van het vliegtuig groter te maken.
Bekijk in figuur 3 het gebied tussen S=6 en S=7. Op de verticale lijn met A=760 liggen de isolijnen ongeveer even ver van elkaar. Voor A=760 en S tussen 6 en 7 geldt daarom dat het verband tussen V en S lineair is.
Stel een formule op die V uitdrukt in S voor A=760 en S tussen 6 en 7. Je kunt hierbij gebruikmaken van de figuur op de uitwerkbijlage.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een grafiek met isolijnen en de opdracht om een lineaire formule op te stellen voor een specifiek deel van de grafiek. Je moet punten aflezen en daarmee de formule V = aS + b bepalen.

Wat moet je kennen: Je moet weten wat een lineair verband is en hoe je de richtingscoëfficiënt (a) en het startgetal (b) van een lineaire formule bepaalt. Je moet ook begrijpen hoe je isolijnen in een grafiek interpreteert.

Wat moet je kunnen: Je moet nauwkeurig punten kunnen aflezen uit een grafiek, zelfs als deze tussen de gegeven isolijnen liggen. Je moet de formule voor de richtingscoëfficiënt (a = (y2 - y1) / (x2 - x1)) correct kunnen toepassen en vervolgens het startgetal (b) kunnen berekenen om de volledige lineaire formule op te stellen.

Waar op letten: Lees de V-waarden op de isolijnen heel nauwkeurig af. Let op de schaalverdeling en de stapgrootte tussen de isolijnen (hier 2500 kg).
Zorg ervoor dat je de juiste coördinaten (S, V) gebruikt voor de punten die je afleest. De S-waarde is de onafhankelijke variabele (x-as in de formule) en V de afhankelijke variabele (y-as in de formule).
Bereken de richtingscoëfficiënt (a) correct met de formule (V2 - V1) / (S2 - S1). Verwissel de S- en V-waarden niet.
Gebruik een van de afgelezen punten om het startgetal (b) te berekenen. Vul de waarden van S, V en de berekende 'a' in de formule V = aS + b in en los op voor b.
Controleer of je uiteindelijke formule logisch is. Als S toeneemt en V afneemt, moet de richtingscoëfficiënt negatief zijn.

Kernbegrippen: lineair verband, formule opstellen, richtingscoëfficiënt, startgetal, grafiek aflezen, isolijnen

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd aflezen van de V-waarden op de isolijnen.
- Verwisselen van S en V in de formule voor de richtingscoëfficiënt (Δx/Δy i.p.v. Δy/Δx).
- Reken- of tekenfout bij het berekenen van de richtingscoëfficiënt of het startgetal.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2022/tijdvak-2/vraag/20

## Vraag 21 – Opgave 21 (8 punten)

Veronderstel dat men het woningtekort wil terugdringen, zodat in het jaar 2040 het relatieve woningtekort 1% is.
Neem het volgende aan:
- De woningbehoefte groeit van 2025 tot 2030 jaarlijks met een vast percentage. Na 2030 blijft dit met hetzelfde percentage doorgroeien.
- De woningvoorraad neemt vanaf 2030 toe met een constant aantal woningen per jaar.
Bereken met welk constant aantal woningen per jaar de woningvoorraad vanaf 2030 moet toenemen zodat het relatieve woningtekort in 2040 gelijk is aan 1%. Geef je antwoord in gehele duizendtallen.

Wat kun je verwachten: Je berekent een toekomstige woningbehoefte met exponentiële groei en een toekomstige woningvoorraad met lineaire groei. Je moet een vergelijking opstellen en oplossen om het gevraagde aantal woningen te vinden.

Wat moet je kennen: Je kent het verschil tussen exponentiële en lineaire groei. Je weet hoe je een groeifactor per jaar berekent uit een groeifactor over meerdere jaren. Je weet hoe je een percentage omzet naar een decimaal getal voor berekeningen.

Wat moet je kunnen: Je kunt een jaarlijkse groeifactor bepalen uit gegevens over een langere periode. Je kunt de woningbehoefte voor een toekomstig jaar berekenen met behulp van deze groeifactor. Je kunt een vergelijking opstellen voor het relatieve woningtekort en deze oplossen om de benodigde woningvoorraad te vinden. Je kunt vervolgens de benodigde lineaire toename per jaar berekenen en correct afronden.

Waar op letten: Let goed op het verschil tussen de groei van de woningbehoefte (exponentieel) en de groei van de woningvoorraad (lineair vanaf 2030).
Zorg ervoor dat je de groeifactor per 5 jaar correct omzet naar een groeifactor per jaar. Dit doe je met een macht, niet door te delen.
Stel de vergelijking voor het relatieve woningtekort correct op: (behoefte - voorraad) / voorraad = percentage. Vergeet niet het percentage om te zetten naar een decimaal getal (bijvoorbeeld 1% = 0,01).
Rond pas aan het einde van de berekening af, en dan ook op de gevraagde manier: in gehele duizendtallen. Gebruik tussendoor zoveel mogelijk onafgeronde waarden op je GR.
Vergeet niet de eenheid 'woningen per jaar' bij je antwoord te vermelden.

Kernbegrippen: exponentiële groei, lineaire groei, procenten, groeifactor, vergelijking oplossen

Veelgemaakte fouten:
- Verwarring tussen jaarlijkse en 5-jaarlijkse groeifactor
- Incorrect omrekenen van 5-jaars groeifactor naar jaargroeifactor (delen door 5 i.p.v. machtsverheffen tot 1/5)
- Foutief opstellen van de vergelijking voor het relatieve woningtekort
- Afrondingsfouten bij tussenstappen (hoewel het CV hier coulant is)
- Vergeten het eindantwoord af te ronden op gehele duizendtallen

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2022/tijdvak-2/vraag/21

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen HAVO
2022
tijdvak 2
tijdsduur: 3 uur
iskunde A
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Dit examen bestaat uit 21 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 76 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald
kunnen worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
HA-1024-a-22-2-0

### Pagina 2

FORMULEBLAD

Vuistregels voor de grootte van het verschil van twee groepen

2x2 kruistabel

(a b)
(c d)

met phi =

ad-bc

√((a+b)(a+c)(b+d)(c+d))

waarin a, b, c en d absolute aantallen zijn.

- als phi < -0,4 of phi > 0,4, dan zeggen we "het verschil is groot",
- als -0,4 ≤ phi < -0,2 of 0,2 < phi ≤ 0,4, dan zeggen we "het verschil is
middelmati­g",
- als -0,2 ≤ phi ≤ 0,2, dan zeggen we "het verschil is gering".

Maximaal verschil in cumulatief percentage (max Vcp)
(met voor beide groepen een steekproefomvang n > 100)

- als max Vcp > 40, dan zeggen we "het verschil is groot",
- als 20 < max Vcp ≤ 40, dan zeggen we "het verschil is middelmat­ig",
- als max Vcp ≤ 20, dan zeggen we "het verschil is gering".

Effectgrootte E =
X₁ - X₂
2
(S₁ + S₂)

met X₁ en X₂ de steekproefgemiddelden
en S₂ de steekproefstandaardafwijkingen

(X₁ ≥ X₂),
S₁ en
- als E > 0,8, dan zeggen we "het verschil is groot",
- als 0,4 < E ≤ 0,8, dan zeggen we "het verschil is middelmati­g",
- als E ≤ 0,4, dan zeggen we "het verschil is gering".

Twee boxplots vergelijken

- als de boxen¹) elkaar niet overlappen, dan zeggen we "het verschil is
groot",
- als de boxen elkaar wel overlappen en een mediaan van een boxplot
buiten de box van de andere boxplot ligt, dan zeggen we "het verschil is
middelmati­g",
- in alle andere gevallen zeggen we "het verschil is gering".

noot 1 De 'box' is het interval vanaf het eerste kwartiel tot en met het derde kwartiel.

HA-1024-a-22-2-o
2/18
lees verder

### Pagina 3

Betrouwbaarheidsintervallen
Het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de populatieproportie is
$p \pm 2\cdot\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$, met $p$ de steekproefproportie en $n$ de steekproefomvang.
Het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het populatiegemiddelde is
$\bar{X} \pm 2\cdot\frac{S}{\sqrt{n}}$, met $\bar{X}$ het steekproefgemiddelde, $n$ de steekproefomvang en
$S$ de steekproefstandaardafwijking.
HA-1024-a-22-2-o
3 / 18
lees verder ►►►

### Pagina 4

Parachutespringen
Bij parachutespringen spring je uit een vliegtuig. Eerst maak je enige tijd
een vrije val. Tijdens die vrije val is de parachute nog niet geopend.
Daarna open je de parachute en land je met een veilige snelheid op de
grond.
Bart springt op een hoogte van 4000 meter uit het vliegtuig en maakt dan
een vrije val. Na 50 seconden is hij op 1500 meter hoogte en stopt de
vrije val, omdat hij dan zijn parachute opent.
3p 1 Bereken de gemiddelde snelheid in km/uur van Bart tijdens zijn vrije val.
Tijdens de vrije val die Bart maakt, wordt hij afgeremd door de lucht.
Daarom duurt de vrije val van Bart langer dan een theoretische vrije val
over dezelfde afstand. Een theoretische vrije val is een val ten gevolge
van de zwaartekracht zonder dat de val door de lucht wordt afgeremd.
Voor de hoogte van een voorwerp tijdens een theoretische vrije val die
begint op een hoogte van 4000 meter geldt de formule:
$h = 4000 – 4,9 \cdot t^{2}$ (formule 1)
Hierin is $h$ de hoogte van het voorwerp tijdens de theoretische vrije val
(in meters) en $t$ de tijd (in seconden) vanaf het moment dat de
theoretische vrije val begint.
4p 2 Er kan berekend worden hoeveel seconden de vrije val van Bart van 4000
meter naar 1500 meter langer duurt dan een theoretische vrije val over
dezelfde afstand.
Voer deze berekening uit. Geef je antwoord in een geheel aantal
seconden.
Figuur 1 is een schets van het globale verloop van een parachutesprong.
Nadat de parachutist uit het vliegtuig gesprongen is, maakt hij een vrije
val. Zodra de parachute geopend is, neemt de snelheid in korte tijd flink
af. Daarna wordt een constante valsnelheid bereikt. Dat wil zeggen: tot
aan de landing heeft de parachutist dezelfde valsnelheid.
HA-1024-a-22-2-o
4 / 18
lees verder

### Pagina 5

figuur 1
hoogte afsprong
vrije val
parachute wordt geopend
val met geopende parachute
-> tijd
De constante vnelsnelheid op het laatste deel noemen we v (in meters per
seconde). Deze snelheid is afhankelijk van de massa m (in kg) van de
parachutist (in deze opgave is dat altijd inclusief kleding en parachute) en
van de wrijvingscoëfficiënt W van de parachute. Deze wrijvingscoëfficiënt
is een getal dat afhangt van onder andere de grootte, de vorm en het
materiaal van de parachute. Zo geldt bijvoorbeeld: hoe groter de
parachute, hoe groter de wrijvingscoëfficiënt.
Bij een grotere wrijvingscoëfficiënt heb je meer wrijving met de lucht,
waardoor je minder snel valt.
In figuur 2 is voor een aantal waarden van de wrijvingscoëfficiënt W te
zien hoe v afhangt van m. Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage.
HA-1024-a-22-2-o
5/18
lees verder

### Pagina 6

figuur 2
11
v
(m/s)
10
9
8
7
6
5
4
3
0
W = 10
W = 20
W = 30
W = 40
W = 50
50 60 70 80 90 100 110 120
→m (kg)
3p 3 We kijken nu naar parachutisten met een massa van 90 kg die sprongen
maken met parachutes met verschillende wrijvingscoëfficiënten W.
Onderzoek met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage of de constante
valsnelheid v van deze personen omgekeerd evenredig is met de
wrijvingscoëfficiënt W van de parachutes.
Bij figuur 2 hoort de volgende formule voor de constante valsnelheid:
v = 3,13
(formule 2)
m
√W
Hierin is v de constante valsnelheid in meters per seconde, m de massa
van de parachutist in kg en W de wrijvingscoëfficiënt van de parachute.
Tina is een parachutist met een massa van 79 kg. De wrijvingscoëfficiënt
van haar parachute is 45. Met deze parachute maakt zij een sprong.
Precies 34 seconden na de afsprong is zij op 1300 meter hoogte en
bereikt zij haar constante valsnelheid. Op dat moment start het laatste
gedeelte van haar parachutesprong.
3p 4 Bereken met behulp van formule 2 hoelang haar totale sprong duurt. Geef
je antwoord in een geheel aantal seconden.
HA-1024-a-22-2-o
6/18
lees verder ►►►

### Pagina 7

We kijken nu naar één bepaalde parachute met een wrijvingscoëfficiënt
van 40. Personen met verschillende massa's kunnen met deze parachute
gaan springen. Formule 2 kan dan worden herleid tot de volgende vorm:
(formule 3)
$v = ... \sqrt{m}$
3p 5 Geef deze herleiding. Geef daarbij het getal op de puntjes in twee
decimalen.
HA-1024-a-22-2-0
7 / 18
lees verder ► ► ►

### Pagina 8

Spoedeisende ritten van ambulances
De ambulancezorg is in Nederland per
regio georganiseerd. Er zijn 25 regio's.
Elke regio heeft zijn eigen Regionale
Ambulancevoorziening (RAV). Elke RAV
beschikt over een aantal ambulances en
een meldkamer.
Wanneer er een melding bij de
meldkamer binnenkomt, moet men de
mate van urgentie van de melding vaststellen en zorgen voor de inzet van
een ambulance: een ambulancerit. De mate van urgentie kan zijn:
— Hoge urgentie: de benodigde zorg is spoedeisend en er is sprake van
direct levensgevaar voor de patiënt. We noemen dit een A1-rit.
— Lage urgentie: de benodigde zorg is spoedeisend, maar er is geen
direct levensgevaar voor de patiënt. We noemen dit een A2-rit.
— Geen urgentie: de benodigde zorg is niet spoedeisend. We noemen dit
een B-rit.
De responstijd is de tijd tussen het aannemen van de telefoon in de
meldkamer en de aankomst van de ambulance bij de patiënt.
In een rapport over de ambulancezorg in Nederland spelen de volgende
vier statistische variabelen een rol:
— regio
— mate van urgentie (van een melding bij de meldkamer)
— aantal ambulanceritten (per jaar per regio)
— responstijd (van een ambulancerit)
4p
6
Op de uitwerkbijlage staan deze vier variabelen in een tabel.
Geef voor elk van de vier variabelen in de tabel op de uitwerkbijlage aan
welke soort variabele het betreft. Zet per variabele precies één kruisje.
HA-1024-a-22-2-o
8/18
leest verder

### Pagina 9

In de rest van de opgave kijken we alleen naar A1-ritten en A2-ritten.
Omdat er bij A1-ritten sprake is van direct levensgevaar voor de patiënt,
zijn de responstijden van deze ritten over het algemeen korter dan de
responstijden van de A2-ritten.
In de figuur staan de relatieve cumulatieve frequentiepolygonen van de
responstijden van de A1-ritten en die van de responstijden van de
A2-ritten in 2014. De figuur staat twee keer op de uitwerkbijlage vergroot
afgedrukt. In de figuur is niet aangegeven welke polygoon bij de A1-ritten
hoort en welke bij de A2-ritten.
figuur
cumulatief
percentage
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60
→ respons(tijd (minuten)
3p 7
Bepaal met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage de
interkwartielafstand van de responstijd van de A1-ritten. Geef hierbij aan
welke polygoon je gebruikt hebt en licht je keuze toe.
Het gedeelte van de rechter polygoon waarbij de responstijden tussen
18 en 30 minuten liggen, kan benaderd worden met de grafiek van een
formule van de volgende vorm:
$P=\frac{100}{1+27 \cdot a^{t}}$
Hierin is $P$ het cumulatieve percentage, $t$ de responsijd in minuten en
$a$ een getal.
4p 8
Bepaal de waarde van $a$. Geef je antwoord in één decimaal. Je kunt
hierbij gebruikmaken van de figuur op de uitwerkbijlage.
HA-1024-a-22-2-o
9/18
lees verder

### Pagina 10

B-papier in een envelop
Papier is er in verschillende soorten en maten. Een internationaal gebruikt
formaat is het B-formaat. Bij dit formaat is een vel papier met een breedte
van 1000 mm en een hoogte van 1414 mm als basisformaat gekozen. Dit
is het zogenaamde B0-formaat. Als een vel papier met B0-formaat
gehalveerd wordt, ontstaat een vel papier in B1-formaat, waarvan de
afmetingen 707 mm bij 1000 mm zijn. Opnieuw halveren geeft een vel
papier in B2-formaat, dat gehalveerd een vel papier in B3-formaat
oplevert, enzovoorts. Zie de figuur.
figuur
1000 mm
B10
↓
B9 B8
B6
B7
B5
B4
B2
1414 mm
B3
B0
707 mm
B1
3p 9
Het kleinste B-formaat dat gebruikt wordt, is het B10-formaat.
Bereken de afmetingen van een vel papier in B10-formaat. Geef je
antwoord in een geheel aantal mm.
HA-1024-a-22-2-o
10 / 18
lees verder ►►►

### Pagina 11

In de rest van deze opgave kijken we naar de oppervlakte van papier en
enveloppen. Het gaat dan telkens om de oppervlakte van de voorkant. Er
geldt: oppervlakte = breedte × hoogte.
De oppervlakte van een vel papier in B4-formaat is 88 375 mm². Om zo'n
vel papier ongevouwen te versturen is een speciaal formaat envelope
ontwikkeld, de zogenaamde EB4-envelope.
Een envelope in EB4-formaat heeft een breedte b van 262 mm en een
hoogte h van 371 mm.
De oppervlakte van deze envelope is groter dan de oppervlakte van een
vel papier in B4-formaat.
3p 10 Bereken hoeveel procent groter. Geef je antwoord in gehele procenten.
Voor enveloppen EBn, waarin n het formaatnummer is, bestaan er
formules voor de breedte en de hoogte. Voor de hoogte h in mm geldt de
volgende formule:
h = 1484 · 2^{-\frac{1}{2}n}
3p 11 Beredeneer met deze formule, zonder getallenvoorbeelden te gebruiken
of een schets/tekening van de grafiek van h te maken, of de hoogte van
de envelope kleiner of groter wordt als het formaatnummer groter wordt.
Voor de breedte b in mm van enveloppen EBn, waarin n het
formaatnummer is, geldt de volgende formule:
b = 1048 · 2^{-\frac{1}{2}n}
Hoe groter het formaatnummer, des te kleiner is de breedte van de
enveloppe.
3p 12 Bereken vanaf welk formaatnummer de breedte van de envelope kleiner
is dan 100 mm.
HA-1024-a-22-2-o
11 / 12
lees verder ►►►

### Pagina 12

Recordtijden van schaatssters
In deze opgave vergelijken we de prestaties van schaatssters, ook al
hebben die schaatssters nooit in hetzelfde toernooi geschaatst. Hiervoor
maken we gebruik van de persoonlijke recordtijden van schaatssters op
zes verschillende afstanden, namelijk de 500, 1000, 1500, 3000, 5000 en
10000 meter. In deze opgave beperken we ons tot 86 topschaatssters en
hun persoonlijke recordtijden zoals die begin 2016 bekend waren.
De persoonlijke recordtijden van deze 86 schaatssters op de 500 meter
en op de 1000 meter zijn weergegeven in een spreidingsdiagram. Zie
figuur 1. Elke stip geeft één schaatsster weer. Deze figuur staat ook twee
keer op de uitwerkbijlage.
figuur 1
tijd op de 1000 meter
(seconden)
91
90
89
88
87
86
85
84
83
82
81
80
79
78
77
76
75
74
73
0
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
 tij d op de 500 meter (seconden)
Bij het spreidingsdiagram worden de volgende uitspraken gedaan over de
resultaten van deze 86 schaatssters:
a Meer dan 90% van de schaatssters heeft de 500 meter afgelegd in
minder dan 45,0 seconden.
b De mediaan van de tijd op de 1000 meter is ongeveer 81,5 seconden.
c De drie snelste schaatssters op de 500 meter zijn ook de drie snelste
schaatssters op de 1000 meter.
6p 13
Onderzoek van elke uitspraak of deze juist is of onjuist. Je kunt
gebruikmaken van de figuren op de uitwerkbijlage.
HA-1024-a-22-2-0
12/18
lees verder

### Pagina 13

Om de tijden op verschillende afstanden met elkaar te kunnen vergelijken,
wordt elke tijd omgerekend naar de gemiddelde tijd per 500 meter.
Stel bijvoorbeeld dat een schaatsster 15 minuten en 20,4 seconden over
de 10 000 meter doet. Gemiddeld doet zij dan over 500 meter
15.60 + 20,4
= 46,02 seconden.
10 000
Voor de vier langste afstanden worden de persoonlijke recordtijden van
alle 86 schaatssters omgerekend naar de gemiddelde tijd per 500 meter.
Deze omgerekende tijden zijn weergegeven in boxplots. Zie figuur 2.
Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage.
figuur 2 omgerekende tijd (gemiddelde tijd per 500 meter)
3p
14
Als je de boxplots onderling vergelijkt, dan kun je met behulp van het
formuleblad concluderen dat er een groot verschil is tussen de
omgerekende tijden op de 1500 meter en die op de 10 000 meter. Er zijn
meer afstanden waarbij er sprake is van een groot verschil.
Noem elk tweetal afstanden waarbij er sprake is van een groot verschil
tussen de omgerekende tijden. Je kunt hierbij gebruikmaken van de figuur
op de uitwerkbijlage. Licht je antwoord toe.
HA-1024-a-22-2-o
13/18
lees verder ►►►

### Pagina 14

In de tabel staan de persoonlijke recordtijden van twee van de
86 schaatssters. Zo zie je dat de persoonlijke recordtijd op de 1000 meter
van Martina Sáblíková 1:15,86 is. Zij deed er dus 1 minuut, 15 seconden
en 86 honderdsten van een seconde over.
tabel
Martina
Caroline
Sáblíková
Farestveit
recordtijd op de 500 meter in min:sec
0:39,23
0:44,83
recordtijd op de 1000 meter in min:sec
1:15,86
1:30,03
recordtijd op de 1500 meter in min:sec
1:53,44
2:17,08
recordtijd op de 3000 meter in min:sec
3:55,10
4:42,34
recordtijd op de 5000 meter in min:sec
6:42,66
8:06,64
recordtijd op de 10000 meter in min:sec
13:48,33
16:54,71
Sáblíková wordt gezien als een van de beste schaatssters ooit. Begin
2016 was zowel haar persoonlijke recordtijd op de 5000 meter als haar
persoonlijke recordtijd op de 10 000 meter de beste van de 86
schaatssters.
Met behulp van de tabel, figuur 1 en figuur 2 kun je ook voor andere
afstanden onderzoeken of Sáblíková's persoonlijke recordtijden de beste
waren van deze 86 schaatssters.
3p 15 Onderzoek dit zowel voor de 500 meter als voor de 1500 meter. Je kunt
hierbij gebruikmaken van de figuren op de uitwerkbijlage.
In de tabel staan ook de persoonlijke recordtijden van Caroline Farestveit.
Een fan van Farestveit doet de volgende uitspraak: "Als je Farestveit
vergelijkt met de 85 andere schaatssters, dan presteert Farestveit beter
op de 10 000 meter dan op de 5000 meter."
3p 16 Leg uit dat de uitspraak van de fan juist is.
HA-1024-a-22-2-o
14/18
lees verder ► ► ►

### Pagina 15

Ga verder op de volgende pagina.

HA-1024-a-22-2-0
15 / 18
lees verder ► ► ►

### Pagina 16

Slanke vleugels

In figuur 1 zie je twee vliegtuigen, de Schleicher ASH 31 Glider en de
Piper Cherokee. De slankheid van een vliegtuig wordt vaak uitgedrukt in
een getal S. In figuur 1 zie je van beide vliegtuigen de bijbehorende
waarde van S. De Schleicher heeft een hogere waarde van S, wat wil
zeggen dat die slanker is dan de Piper.

figuur 1

S = 33,5

Schleicher ASH 31 Glider

S wordt berekend met de
volgende formule:

S = $\frac{w}{b}$

(formule 1)
Hierin is w de spanwijdte in
meters en b de gemiddelde
vleugelbreedte in meters. Zie
figuur 2.

In deze opgave berekenen we de vleugeloppervlakte van een vliegtuig
met de volgende formule:

$A = w \cdot b$

(formule 2)
Hierin is A de vleugeloppervlakte in m², w de spanwijdte in meters en b de
gemiddelde vleugelbreedte in meters.

3p 17 De Schleicher ASH 31 Glider heeft een spanwijdte van 21 meter.
Bereken de vleugeloppervlakte van dit vliegtuig. Geef je antwoord in een
geheel aantal m².

figuur 2

spanwijdte w

Gemiddelde
vleugel-
breedte b

HA-1024-a-22-2-0
16 / 18
lees verder ►►►

### Pagina 17

Uit formule 2 volgt:

$b = \frac{A}{w}$

(formule 3)

De Piper Cherokee met slankheid 5,6 heeft een vleugeloppervlakte van
15,1 m
2
. Door gebruik te maken van formule 1 en formule 3 kun je de
spanwijdte van dit vliegtuig berekenen.
4p 18 Bereken de spanwijdte van de Piper Cherokee in meters. Geef je
antwoord in één decimaal.

De getallen in figuur 3 geven
figuur 3
het brandstofverbruik $V$ (in
10
S
kg) weer voor een vlucht van
9
↑
11 000 km afhankelijk van de
205000
210000
vleugeloppervlakte $A$ en de
212500
slankheid $S$. Figuur 3 staat
8
215000
vergroot weergegeven op de
220000
217500
uitwerkbijlage.
7
235000
6
750 760 770 780 790 800 810 820 830
$A$ (m
2
)
De lijnen die alle punten met gelijk brandstofverbruik met elkaar
verbinden, worden isolijnen genoemd. Tussen twee opeenvolgende
isolijnen zit steeds een verschil van 2500 kg.
In figuur 3 kun je bijvoorbeeld aflezen dat een vliegtuig met een
vleugeloppervlakte van 795 m
2
en een slankheid van 8 op een vlucht van
11 000 km 212 500 kg brandstof verbruikt. Mark zegt:
"Als dit vliegtuig 25 m
2
minder vleugeloppervlakte zou hebben en de
slankheid zou toenemen tot 9, dan zou dat flink wat brandstof besparen."
3p 19 Bereken hoeveel kg brandstof dit vliegtuig zo aan brandstof zou kunnen
besparen op een vlucht van 11 000 km. Je kunt bij het beantwoorden van
deze vraag gebruikmaken van de figuur op de uitwerkbijlage.
Het vergroten van de slankheid van een vliegtuig is de moeite waard:
een ontwerper van vliegtuigen kan bij een gegeven vleugeloppervlakte
veel toekomstig brandstofverbruik besparen door de slankheid van het
vliegtuig groter te maken.
Bekijk in figuur 3 het gebied tussen $S=6$ en $S=7$. Op de verticale lijn met
$A=760$ liggen de isolijnen ongeveer even ver van elkaar.
Voor $A=760$ en $S$ tussen 6 en 7 geldt daarom dat het verband tussen $V$
en $S$ lineair is.
4p 20 Stel een formule op die $V$ uitdrukt in $S$ voor $A=760$ en $S$ tussen 6 en 7. Je
kunt hierbij gebruikmaken van de figuur op de uitwerkbijlage.
HA-1024-a-22-2-o
17/18
lees verder

### Pagina 18

Woningtekort

In het rapport 'Cijfers over wonen en bouwen 2016' van het Ministerie van
Binnenlandse Zaken staan voorspellingen van de woningbehoefte en de
woningvoorraad in Nederland.

Volgens deze voorspellingen zal in 2025 de woningbehoefte gelijk zijn
aan 8 334 000 woningen.
De woningvoorraad is in 2025 gelijk aan 8 148 000 woningen.

Er is in 2025 dus een woningtekort van 186 000 woningen. Als je berekent
hoe groot dit tekort is als percentage van de woningvoorraad, dan krijg je
het relatieve woningtekort. In 2025 is dit gelijk aan 2,3%, want:
$ \frac{8334000 - 8148000}{8148000} \cdot 100% = 2,3% $

In de tabel zie je ook voorspellingen voor het jaar 2030.

tabel







woningenbehoefte

woningenvoorraad

woningtekort

relatieve woningtekort


2025
8 334 000
8 148 000
186 000
2,3%

2030
8 511 000
8 335 000
176 000
2,1%

Veronderstel dat men het woningtekort wil terugdringen, zodat in het jaar
2040 het relatieve woningtekort 1% is.

Neem het volgende aan:
- De woningbehoefte groeit van 2025 tot 2030 jaarlijks met een vast
percentage. Na 2030 blijft dit met hetzelfde percentage doorgroeien.
- De woningvoorraad neemt vanaf 2030 toe met een constant aantal
woningen per jaar.
8p 21 Bereken met welk constant aantal woningen per jaar de woningvoorraad
vanaf 2030 moet toenemen zodat het relatieve woningtekort in 2040 gelijk
is aan 1%. Geef je antwoord in gehele duizendtallen.

Bronvermelding
Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen
behorende correctievoorschrift, dat na afloop van het examen wordt gepubliceerd.

HA-1024-a-22-2-0
18/18
einde