# Eindexamen Wiskunde A HAVO 2022 tijdvak 1

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2022/tijdvak-1

## Vraag 1 – Opgave 1 (3 punten)

Ahmed gebruikt op een bepaald moment een psychrometer. De luchttemperatuur is volgens de gewone thermometer 22 °C, de natte temperatuur is 17 °C.
Bepaal met behulp van de tabel op de uitwerkbijlage de luchtvochtigheid op dat moment.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een tabel met gegevens en een situatiebeschrijving. Je moet de juiste informatie uit de tekst halen, een kleine berekening uitvoeren en vervolgens de tabel correct aflezen om het antwoord te vinden.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een tabel met twee ingangen (rijen en kolommen) correct afleest. Je moet ook begrijpen dat 'luchtvochtigheid' het resultaat is dat je zoekt.

Wat moet je kunnen: Je kunt een temperatuurverschil berekenen. Je kunt de juiste rij en kolom in een tabel identificeren op basis van de berekende en gegeven waarden. Je kunt de bijbehorende waarde in de tabel aflezen.

Waar op letten: Je berekent eerst het verschil tussen de luchttemperatuur en de natte temperatuur. Dit is cruciaal voor het correct aflezen van de tabel.
Je identificeert welke van de berekende of gegeven waarden bij de rijen en welke bij de kolommen van de tabel horen.
Je leest de waarde af op het snijpunt van de juiste rij en kolom.
Je controleert of je de eenheid (procenten) correct noteert in je antwoord.
Je geeft het antwoord in hele procenten, zoals vaak gevraagd bij luchtvochtigheidstabellen.

Kernbegrippen: tabel aflezen, contextueel rekenen

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerde rij of kolom aflezen in de tabel.
- Het temperatuurverschil incorrect berekenen (bijv. optellen i.p.v. aftrekken).
- De gegeven temperaturen direct proberen op te zoeken zonder eerst het verschil te berekenen.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2022/tijdvak-1/vraag/1

## Vraag 2 – Opgave 2 (4 punten)

Op de uitwerkbijlage is een figuur afgedrukt. In die figuur is voor diverse verschillen tussen de luchttemperatuur en de natte temperatuur de grafiek getekend van de luchtvochtigheid, afhankelijk van de luchttemperatuur.
Op een bepaalde dag daalde de luchttemperatuur van 31,5 °C naar 15 °C, maar de luchtvochtigheid bleef de hele dag 60%.
Bepaal met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage hoeveel de natte temperatuur die dag daalde.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag waarbij je informatie uit een complexe grafiek moet aflezen. De grafiek toont het verband tussen drie variabelen: luchttemperatuur, luchtvochtigheid en het verschil tussen luchttemperatuur en natte temperatuur. Je moet twee specifieke punten in de grafiek vinden en de bijbehorende waarden correct interpreteren om een daling te berekenen.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een grafiek met meerdere lijnen correct afleest. Je moet ook begrijpen wat 'luchttemperatuur', 'natte temperatuur' en 'temperatuurverschil' betekenen en hoe deze zich tot elkaar verhouden (luchttemperatuur - natte temperatuur = temperatuurverschil).

Wat moet je kunnen: Je kunt nauwkeurig aflezen in een grafiek, zelfs als de waarden niet precies op de lijnen liggen. Je kunt de afgelezen waarden gebruiken om de natte temperatuur te berekenen voor twee verschillende situaties. Vervolgens kun je het verschil tussen deze twee natte temperaturen bepalen.

Waar op letten: Je leest de luchtvochtigheid (60%) af op de verticale as en de luchttemperatuur (31,5 °C en 15 °C) op de horizontale as. Je zoekt het snijpunt van deze coördinaten met de juiste kromme.
Je identificeert de kromme die hoort bij het temperatuurverschil (luchttemperatuur - natte temperatuur) voor elk van de twee situaties.
Je berekent de natte temperatuur voor beide momenten door het afgelezen temperatuurverschil af te trekken van de luchttemperatuur.
Je berekent de daling van de natte temperatuur door de twee berekende natte temperaturen van elkaar af te trekken.
Je let goed op de eenheden en rondt je eindantwoord correct af, zoals gevraagd.

Kernbegrippen: grafiek aflezen, verbanden tussen drie variabelen, rekenen met temperatuurverschillen

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd aflezen in de grafiek.
- Verwarren van luchttemperatuur, natte temperatuur en het verschil daartussen.
- Een rekenfout maken bij het bepalen van de daling van de natte temperatuur.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2022/tijdvak-1/vraag/2

## Vraag 3 – Opgave 3 (4 punten)

De waarden voor de luchtvochtigheid in de tabel op de uitwerkbijlage zijn afgerond op hele procenten. De luchtvochtigheid kan nauwkeuriger berekend worden met de volgende formule:
L = 100 - (330)/(18+T) · (T-T_nat) \quad (formule 1)
Hierin is L de luchtvochtigheid in %, T de luchttemperatuur en T_nat de natte temperatuur, beide in °C.
Op 4 november 2015 om 10.30 uur 's ochtends was de luchttemperatuur in Almelo 11 °C. Het verschil tussen de luchttemperatuur en de natte temperatuur was op dat moment 3 °C.
Mijke berekent de luchtvochtigheid met de formule. Jaap berekent de luchtvochtigheid met de tabel. Dit geeft twee verschillende uitkomsten.
Bereken hoe groot het verschil tussen deze twee uitkomsten is. Geef je antwoord in twee decimalen.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een formule en een tabel. Je moet een waarde berekenen met de formule en een waarde aflezen uit de tabel. Daarna bereken je het verschil tussen deze twee waarden.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een formule invult met gegeven waarden en hoe je gegevens correct afleest uit een tabel.

Wat moet je kunnen: Je kunt een formule invullen en de uitkomst berekenen. Je kunt de juiste waarde vinden in een tabel door de juiste rij en kolom te selecteren. Je kunt het verschil tussen twee getallen berekenen en correct afronden.

Waar op letten: Je leest de luchttemperatuur (T) en het verschil tussen de luchttemperatuur en de natte temperatuur (T-T_nat) goed af uit de vraagtekst. Deze waarden zijn essentieel voor zowel de formule als de tabel.
Je vult de waarden correct in de formule in. Let goed op de volgorde van bewerkingen (haakjes, delen, vermenigvuldigen, aftrekken).
Je zoekt de juiste rij en kolom op in de tabel om de luchtvochtigheid af te lezen. De tabel geeft de luchtvochtigheid in hele procenten.
Je berekent het verschil tussen de uitkomst van de formule en de afgelezen waarde uit de tabel. Het maakt niet uit welke je van welke aftrekt, zolang het resultaat positief is (absolute waarde).
Je rondt je eindantwoord af op twee decimalen, zoals gevraagd in de vraag. Vergeet niet de eenheid (%) te vermelden.

Kernbegrippen: formule invullen, tabel aflezen, verschil berekenen, afronden

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd aflezen uit de tabel (de tabel is niet meegeleverd, maar dit is een potentieel struikelblok).
- Reken- of invoerfout bij het invullen van de formule.
- Verkeerd afronden van het eindantwoord; de vraag specificeert twee decimalen.
- Vergeten het verschil te berekenen en slechts één van de twee waarden (uit de tabel of uit de formule) als antwoord geven.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2022/tijdvak-1/vraag/3

## Vraag 4 – Opgave 4 (3 punten)

4p 2 Bepaal met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage hoeveel de natte temperatuur die dag daalde. De waarden voor de luchtvochtigheid in de tabel op de uitwerkbijlage zijn afgerond op hele procenten. De luchtvochtigheid kan nauwkeuriger berekend worden met de volgende formule: L = 100 - (330)/(18+T) · (T-T_nat) \quad (formule 1) Hierin is L de luchtvochtigheid in %, T de luchttemperatuur en T_nat de natte temperatuur, beide in °C. Op 4 november 2015 om 10.30 uur 's ochtends was de luchttemperatuur in Almelo 11 °C. Het verschil tussen de luchttemperatuur en de natte temperatuur was op dat moment 3 °C. Mijke berekent de luchtvochtigheid met de formule. Jaap berekent de luchtvochtigheid met de tabel. Dit geeft twee verschillende uitkomsten.

Wat kun je verwachten: Je moet de relatie tussen variabelen in een formule kunnen analyseren en beredeneren hoe een verandering in de ene variabele de andere beïnvloedt. Je krijgt een formule en je moet uitleggen wat er gebeurt met de luchtvochtigheid (L) als de natte temperatuur (T_nat) daalt.

Wat moet je kennen: Je moet de basisprincipes van algebra kennen, met name hoe optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen de uitkomst van een formule beïnvloeden. Je moet ook weten hoe een minteken voor een term de relatie omdraait. Kennis van lineaire verbanden en richtingscoëfficiënten kan je helpen bij een alternatieve redenering.

Wat moet je kunnen: Je kunt een formule analyseren door te kijken naar de structuur en de operatoren. Je kunt redeneren over de impact van een verandering in een variabele op de totale uitkomst van de formule. Je kunt je redenering helder en stapsgewijs opschrijven, zodat duidelijk is hoe je tot je conclusie komt.

Waar op letten: Let goed op het minteken voor de term (330)/(18+T) * (T-T_nat). Dit betekent dat een grotere waarde van deze term leidt tot een kleinere L.
Analyseer eerst wat er gebeurt met de term (T-T_nat) als T_nat kleiner wordt. Bedenk of (T-T_nat) dan groter of kleiner wordt.
Combineer deze observatie met de rest van de formule. Als (T-T_nat) verandert, wat gebeurt er dan met de hele term die van 100 wordt afgetrokken?
Concludeer vervolgens wat dit betekent voor de luchtvochtigheid L. Wordt L groter of kleiner?
Zorg ervoor dat je redenering logisch en stapsgewijs is, zodat je duidelijk uitlegt waarom de luchtvochtigheid daalt (of stijgt).

Kernbegrippen: formule-analyse, lineair verband, redeneren met variabelen

Veelgemaakte fouten:
- Verwarring door het minteken in de formule (een grotere aftrek leidt tot een kleiner resultaat)
- Verwarring over de relatie tussen T_nat en de term (27 - T_nat)
- Onjuist interpreteren van de richtingscoëfficiënt (bij de tweede methode)

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2022/tijdvak-1/vraag/4

## Vraag 5 – Opgave 1 (3 punten)

Bepaal het maandgemiddelde van de CO2-concentratie voor de maand september 1990. Gebruik hierbij de figuren op de uitwerkbijlage. Geef je antwoord in één decimaal nauwkeurig.

Wat kun je verwachten: Je moet gegevens uit twee verschillende grafieken combineren om tot het juiste antwoord te komen. Je leest eerst een jaargemiddelde af en daarna een maandelijkse afwijking. Vervolgens combineer je deze twee waarden.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je nauwkeurig waarden afleest van een lijngrafiek, inclusief het inschatten van waarden tussen de roosterlijnen. Je moet ook begrijpen wat 'afwijking van het jaargemiddelde' betekent.

Wat moet je kunnen: Je kunt een specifieke waarde (jaargemiddelde) aflezen uit een grafiek met jaartallen op de x-as. Je kunt een afwijking (maandgemiddelde t.o.v. jaargemiddelde) aflezen uit een andere grafiek met maanden op de x-as. Je kunt deze twee afgelezen waarden correct combineren (optellen of aftrekken) om het uiteindelijke maandgemiddelde te bepalen. Je rondt je antwoord correct af op het gevraagde aantal decimalen.

Waar op letten: Je leest eerst het jaargemiddelde voor 1990 af uit de grafiek die de CO2-concentratie over de jaren toont (Figuur 1). Let goed op de schaalverdeling van de y-as.
Je leest vervolgens de afwijking van het jaargemiddelde voor de maand september af uit de grafiek die de maandelijkse afwijkingen toont (Figuur 2). Let goed op of de afwijking positief of negatief is.
Je combineert de twee afgelezen waarden. Denk goed na of je de afwijking moet optellen of aftrekken van het jaargemiddelde.
Je let op de gevraagde afronding: je antwoord moet in één decimaal nauwkeurig zijn.
Je vermeldt de juiste eenheid (ppm) bij je antwoord.

Kernbegrippen: grafiek aflezen, gegevens combineren

Veelgemaakte fouten:
- Afleesfouten in de grafieken, met name het inschatten van de waarden tussen de roosterlijnen.
- Verkeerd combineren van de twee afgelezen waarden, bijvoorbeeld de afwijking optellen in plaats van aftrekken.
- Niet voldoen aan de gevraagde afronding op één decimaal.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2022/tijdvak-1/vraag/5

## Vraag 6 – Opgave 1 (5 punten)

5p 6 Bereken hoeveel procent de voorspelling afwijkt. Gebruik hierbij de figuur op de uitwerkbijlage. Geef je antwoord als geheel getal. De CO_2-concentratie blijft toenemen. In 2000 was het jaargemiddelde 369,5 ppm, in 2015 was dit opgelopen tot 400,8 ppm. Tibbe vermoedt op basis van figuur 1 dat het jaargemiddelde in de periode 2000–2015 groeide volgens een exponentieel verband en dat de groei zich in de jaren daarna voortzet volgens hetzelfde exponentiële verband. Je kunt dan, uitgaande van bovenstaande gegevens, berekenen in welk jaar het jaargemiddelde voor het eerst hoger dan 500 ppm zal zijn.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over exponentiële groei van CO2-concentratie. Je moet gegevens uit een grafiek aflezen, een voorspelling doen met een groeifactor en vervolgens de procentuele afwijking van die voorspelling berekenen ten opzichte van de werkelijke waarde.

Wat moet je kennen: Je moet het concept van exponentiële groei en de bijbehorende groeifactor kennen. Je moet ook weten hoe je een procentuele verandering of afwijking berekent. Daarnaast is het belangrijk dat je weet hoe je nauwkeurig gegevens uit een lijngrafiek afleest.

Wat moet je kunnen: Je kunt de beginwaarde en een referentiewaarde op een specifiek jaartal aflezen uit de grafiek. Je kunt de groeifactor per jaar bepalen uit een gegeven percentage. Je kunt met deze groeifactor een toekomstige waarde voorspellen. Tot slot kun je de procentuele afwijking berekenen tussen een voorspelde waarde en een werkelijke waarde, en je antwoord correct afronden.

Waar op letten: Je leest de jaargemiddelden in 1970 en 1995 nauwkeurig af uit figuur 1. Let op de schaalverdeling van de verticale as.
Je gebruikt de gegeven jaarlijkse groei van 0,3% om de groeifactor per jaar te bepalen. Let op het verschil tussen een percentage en een groeifactor (1 + percentage/100).
Je berekent de voorspelde CO2-concentratie in 1995 door de beginwaarde in 1970 te vermenigvuldigen met de groeifactor tot de macht van het aantal jaren.
Je berekent de procentuele afwijking. Deel het verschil tussen de voorspelde en de werkelijke waarde door de *werkelijke* waarde (de waarde die je hebt afgelezen in 1995). Vermenigvuldig met 100 om er een percentage van te maken.
Je rondt je uiteindelijke antwoord af op een geheel getal, zoals gevraagd in de vraagtekst.

Kernbegrippen: exponentiële groei, groeifactor, procentuele verandering, grafiek aflezen

Veelgemaakte fouten:
- Incorrect aflezen van de grafiek.
- Verkeerde basis (noemer) gebruiken bij het berekenen van de procentuele afwijking (delen door voorspelde waarde i.p.v. werkelijke waarde).
- Reken- of intoetsfout bij de exponentiële berekening.
- Verwarring tussen percentage (0,3%) en groeifactor (1,003).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2022/tijdvak-1/vraag/6

## Vraag 7 – Opgave 1 (5 punten)

De CO2-concentratie blijft toenemen. In 2000 was het jaargemiddelde 369,5 ppm, in 2015 was dit opgelopen tot 400,8 ppm.
Tibbe vermoedt op basis van figuur 1 dat het jaargemiddelde in de periode 2000–2015 groeide volgens een exponentieel verband en dat de groei zich in de jaren daarna voortzet volgens hetzelfde exponentiële verband. Je kunt dan, uitgaande van bovenstaande gegevens, berekenen in welk jaar het jaargemiddelde voor het eerst hoger dan 500 ppm zal zijn.
Bereken op deze manier in welk jaar het jaargemiddelde voor het eerst hoger dan 500 ppm zal zijn.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over exponentiële groei van CO2-concentratie. Je moet een groeifactor berekenen, een exponentiële formule opstellen en deze oplossen om een toekomstig jaartal te bepalen.

Wat moet je kennen: Je moet het concept van exponentiële groei kennen, inclusief hoe je een groeifactor berekent over een bepaalde periode en hoe je deze omrekent naar een groeifactor per tijdseenheid (bijvoorbeeld per jaar). Ook moet je weten hoe je een exponentiële vergelijking opstelt en oplost.

Wat moet je kunnen: Je kunt een groeifactor berekenen op basis van twee meetpunten. Je kunt een groeifactor omrekenen naar een andere tijdseenheid. Je kunt een exponentiële formule opstellen (N(t) = N_0 * g^t). Je kunt met je GR een exponentiële vergelijking oplossen (bijvoorbeeld met 'intersect' of door een tabel te maken) en de uitkomst correct interpreteren in de context van de vraag, met name bij het afronden naar een jaartal.

Waar op letten: Je berekent eerst de groeifactor over de periode van 15 jaar. Let op dat je de juiste waarden deelt.
Je moet deze groeifactor omrekenen naar een groeifactor per jaar. Denk goed na over de macht die je hiervoor gebruikt.
Je stelt een exponentiële formule op met de beginwaarde, de groeifactor per jaar en de variabele 't' voor het aantal jaren na 2000.
Je lost de vergelijking op met je GR (bijvoorbeeld met de 'intersect'-functie of door een tabel te maken) om 't' te vinden wanneer de concentratie 500 ppm bereikt.
Je interpreteert de uitkomst van 't' correct: als 't' bijvoorbeeld 55,7 is, betekent dit dat de 500 ppm pas in het 56e jaar na 2000 wordt overschreden. Je telt dit op bij het startjaar om het uiteindelijke jaartal te bepalen.

Kernbegrippen: exponentiële groei, groeifactor per tijdseenheid, oplossen exponentiële vergelijking, extrapoleren

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerde berekening groeifactor
- Fout bij omrekenen groeifactor naar andere tijdseenheid
- Foutief afronden van het aantal jaar (naar beneden i.p.v. naar boven)

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2022/tijdvak-1/vraag/7

## Vraag 8 – Opgave 1 (4 punten)

4p 8 Bereken op deze manier in welk jaar het jaargemiddelde voor het eerst hoger dan 500 ppm zal zijn. Wereldwijd worden er afspraken gemaakt met als doel de CO_2-concentratie omlaag te brengen. Veronderstel dat het inderdaad lukt om de CO_2-concentratie na 2015 zodanig te laten dalen dat het jaargemiddelde in 2050 nog maar 350 ppm is. Dan kan er bijvoorbeeld sprake zijn van afname volgens – een lineair verband of – een exponentieel verband. In beide gevallen is het jaargemiddelde in 2015 gelijk en is ook het jaargemiddelde in 2050 gelijk. Echter, een CO_2-concentratie van bijvoorbeeld 375 ppm wordt in het ene geval op een eerder moment bereikt dan in het andere geval.

Wat kun je verwachten: Je moet een lineair verband opstellen en gebruiken om een toekomstig jaartal te voorspellen. Je krijgt twee punten en moet daarmee de jaarlijkse toename berekenen. Vervolgens gebruik je deze toename om te bepalen wanneer een bepaalde CO2-concentratie wordt bereikt.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een lineaire formule opstelt (y = ax + b) en hoe je de richtingscoëfficiënt (a) berekent. Ook moet je begrijpen wat 'jaargemiddelde' en 'ppm' betekenen in deze context.

Wat moet je kunnen: Je kunt de jaarlijkse toename (richtingscoëfficiënt) berekenen met twee gegeven punten. Je kunt een lineaire formule opstellen en deze gebruiken om een onbekende waarde (in dit geval een jaartal) te vinden. Je rondt het aantal jaren correct af naar boven om het eerste jaar te vinden waarin de drempel wordt overschreden.

Waar op letten: Je gebruikt de gegevens uit de vraagtekst om de twee punten te bepalen die nodig zijn voor het lineaire model. Let goed op welke jaartallen en bijbehorende CO2-concentraties je gebruikt.
Je berekent eerst de toename per jaar. Dit is de richtingscoëfficiënt van je lineaire model. Zorg dat je deze waarde nauwkeurig genoeg opslaat of gebruikt in verdere berekeningen.
Je berekent hoeveel jaar het duurt om van de startwaarde naar de gewenste 500 ppm te komen. Let op dat je de juiste startwaarde gebruikt voor je berekening.
Je telt het berekende aantal jaren op bij het startjaar. Let op de afronding: als je bijvoorbeeld 62,5 jaar berekent, betekent dit dat de 500 ppm pas in het 63e jaar wordt bereikt. Je rondt dus altijd naar boven af om het 'eerste jaar' te vinden.
Je controleert of je antwoord een jaartal is en niet alleen het aantal jaren dat verstreken is.

Kernbegrippen: lineaire groei, lineair extrapoleren, richtingscoëfficiënt, opstellen lineaire formule

Veelgemaakte fouten:
- Verwarren met exponentiële groei (van de vorige vraag)
- Foutief afronden van het aantal jaren (naar beneden i.p.v. naar boven)
- Reken- of intoetsfouten
- Vergeten het startjaar (2000) op te tellen bij het berekende aantal jaren.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2022/tijdvak-1/vraag/8

## Vraag 9 – Opgave 1 (3 punten)

Wereldwijd worden er afspraken gemaakt met als doel de CO2-concentratie omlaag te brengen.
Veronderstel dat het inderdaad lukt om de CO2-concentratie na 2015 zodanig te laten dalen dat het jaargemiddelde in 2050 nog maar 350 ppm is. Dan kan er bijvoorbeeld sprake zijn van afname volgens
– een lineair verband of
– een exponentieel verband.
In beide gevallen is het jaargemiddelde in 2015 gelijk en is ook het jaargemiddelde in 2050 gelijk. Echter, een CO2-concentratie van bijvoorbeeld 375 ppm wordt in het ene geval op een eerder moment bereikt dan in het andere geval.
3p 9 Leg uit, zonder berekeningen te geven, in welk van de twee genoemde gevallen de CO2-concentratie het eerst de waarde 375 ppm bereikt.

Wat kun je verwachten: Je moet de eigenschappen van lineaire en exponentiële verbanden begrijpen en kunnen uitleggen zonder te rekenen. Het gaat hier om het vergelijken van twee dalende functies die door twee dezelfde punten gaan.

Wat moet je kennen: Je moet de basiskenmerken van een lineair verband (constante verandering) en een exponentieel verband (verandering met een groeifactor) kennen. Specifiek voor dalende functies: een lineaire daling heeft een constante daling, terwijl een exponentiële daling een afnemende daling heeft (de daling wordt steeds minder sterk).

Wat moet je kunnen: Je moet in staat zijn om de grafische weergave van een lineair en een exponentieel verband te visualiseren en te vergelijken. Je moet kunnen beredeneren welk verband sneller daalt in het begin, gegeven dat ze op hetzelfde punt beginnen en eindigen.

Waar op letten: Je moet de vraag goed lezen: er staat expliciet 'zonder berekeningen te geven'. Dit betekent dat je je antwoord moet baseren op de theorie en eigenschappen van de verbanden.
Je visualiseert hoe een lineaire grafiek eruitziet bij daling (een rechte lijn) en hoe een exponentiële grafiek eruitziet bij daling (een kromme lijn die steeds vlakker wordt).
Je bedenkt dat beide grafieken door twee vaste punten gaan (2015 en 2050).
Je vergelijkt de 'steilheid' van de grafieken direct na het startpunt (2015). Welke daalt daar het snelst?
Je legt duidelijk uit waarom het ene verband eerder een bepaalde waarde bereikt dan het andere, gebaseerd op de vorm van de grafieken.

Kernbegrippen: lineaire daling, exponentiële daling, grafiekkenmerken, afnemende daling, constante daling

Veelgemaakte fouten:
- Verwarren van de vorm van een exponentiële daling (afnemend dalend) met een lineaire daling (constant dalend).
- Denken dat lineair altijd 'sneller' is.
- Toch berekeningen proberen te maken terwijl de vraag dit expliciet verbiedt.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2022/tijdvak-1/vraag/9

## Vraag 11 – Opgave 1 (2 punten)

2p 11 Ligt de snelheidslimiet op de Noordsingel in de modale klasse? Licht je antwoord toe.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over het aflezen en interpreteren van gegevens uit een frequentietabel. Je moet de modale klasse bepalen en controleren of een specifieke waarde (de snelheidslimiet) in die klasse valt.

Wat moet je kennen: Je moet het concept 'modale klasse' kennen. Dit is de klasse (het interval) met de hoogste frequentie (het grootste aantal waarnemingen).

Wat moet je kunnen: Je moet een frequentietabel kunnen aflezen om de klasse met de hoogste frequentie te vinden. Daarna moet je de snelheidslimiet correct plaatsen in de juiste klasse en vergelijken met de modale klasse.

Waar op letten: Let goed op welke tabel je gebruikt: de vraag gaat over de Noordsingel, dus je gebruikt de tabel 'Borssele Noordsingel'.
Identificeer de modale klasse: dit is de klasse met het grootste 'aantal auto's'. Je zoekt dus naar het hoogste getal in de kolom 'aantal auto's' en de bijbehorende snelheidsinterval.
Verwar de modale klasse (het interval, bijvoorbeeld '41-45 km/uur') niet met de modus (de frequentie zelf, bijvoorbeeld '22 auto's'). De vraag gaat over de klasse.
Bepaal in welke klasse de snelheidslimiet van 30 km/uur valt. Let op de intervallen in de tabel.
Formuleer je antwoord duidelijk: geef eerst de modale klasse, dan in welke klasse de snelheidslimiet valt, en trek tot slot je conclusie.

Kernbegrippen: modale klasse, frequentietabel

Veelgemaakte fouten:
- Verwarren van modale klasse (het interval) met de modus (de frequentie zelf).
- Aflezen uit de verkeerde tabel (Monsterweg in plaats van Noordsingel).
- Onjuiste interpretatie van de vraag, bijvoorbeeld denken dat de limiet zelf de modus moet zijn in plaats van te controleren of de limiet in de modale klasse valt.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2022/tijdvak-1/vraag/11

## Vraag 12 – Opgave 1 (4 punten)

4p 12 Bereken dit 95%-betrouwbaarheidsinterval. Rond de percentages in je antwoord af op gehele getallen. Piet wil een diagram maken met de gegevens van de Monsterweg uit de figuur. Hij overweegt de volgende drie diagrammen: – een boxplot – een spreidingsdiagram (puntenwolk) – een cumulatieve relatieve frequentiepolygoon Hij wil dat uit het diagram af te lezen is hoe groot het percentage van de automobilisten is dat zich aan de snelheidslimiet houdt.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over het berekenen van een betrouwbaarheidsinterval voor een populatieproportie. Je moet gegevens uit een tabel halen en deze gebruiken in de formule voor het 95%-betrouwbaarheidsinterval.

Wat moet je kennen: Je moet de vuistregel voor het 95%-betrouwbaarheidsinterval kennen. Deze formule is p ± 2 * sqrt((p(1-p))/n), waarbij 'p' de steekproefproportie is en 'n' de steekproefomvang. Je moet ook weten hoe je de juiste proportie uit de tabel haalt.

Wat moet je kunnen: Je kunt de relevante gegevens (steekproefproportie en steekproefomvang) uit de tabel aflezen. Je kunt de formule voor het betrouwbaarheidsinterval correct toepassen met je grafische rekenmachine. Je kunt de uitkomst omzetten naar percentages en correct afronden op gehele getallen.

Waar op letten: Lees goed de vraag: het gaat om de Monsterweg, niet de Noordsingel. De snelheidslimiet op de Monsterweg is 50 km/u.
Bepaal eerst de steekproefproportie (p) van de automobilisten die zich aan de snelheidslimiet houden. Dit betekent dat je de auto's telt die 50 km/u of minder rijden.
Identificeer de steekproefomvang (n) uit de tabel. Dit is het totaal aantal auto's op de Monsterweg.
Pas de vuistregel voor het 95%-betrouwbaarheidsinterval correct toe: p ± 2 * sqrt((p(1-p))/n). Let goed op de haakjes bij het invoeren in je GR.
Zet de berekende grenzen van het interval om naar percentages en rond deze af op gehele getallen, zoals gevraagd in de vraag.

Kernbegrippen: betrouwbaarheidsinterval, steekproefproportie, steekproefomvang, vuistregel 95%-betrouwbaarheidsinterval

Veelgemaakte fouten:
- Incorrect identificeren van de groep die te hard rijdt. De snelheidslimiet is 30 km/u, dus de klassen '21-25' en '26-30' rijden niet te hard.
- Reken- of invoerfout bij het toepassen van de formule voor het betrouwbaarheidsinterval.
- Vergeten de berekende proporties om te zetten naar percentages.
- Incorrect afronden op gehele getallen.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2022/tijdvak-1/vraag/12

## Vraag 13 – Opgave 1 (3 punten)

Piet wil een diagram maken met de gegevens van de Monsterweg uit de figuur. Hij overweegt de volgende drie diagrammen:
– een boxplot
– een spreidingsdiagram (puntenwolk)
– een cumulatieve relatieve frequentiepolygoon
Hij wil dat uit het diagram af te lezen is hoe groot het percentage van de automobilisten is dat zich aan de snelheidslimiet houdt.
Geef voor elk van deze drie diagrammen aan of dat hiervoor geschikt is. Licht je antwoord telkens toe.

Wat kun je verwachten: Je moet de eigenschappen van drie verschillende diagrammen (boxplot, spreidingsdiagram, cumulatieve relatieve frequentiepolygoon) beoordelen. Je legt uit of elk diagram geschikt is om het percentage automobilisten af te lezen dat zich aan de snelheidslimiet houdt.

Wat moet je kennen: Je moet de basiskenmerken en het doel van een boxplot, een spreidingsdiagram en een cumulatieve relatieve frequentiepolygoon kennen. Je moet ook weten wat een snelheidslimiet inhoudt in de context van de gegevens.

Wat moet je kunnen: Je kunt de geschiktheid van een diagram beargumenteren op basis van de informatie die je eruit kunt aflezen. Je kunt uitleggen waarom een bepaald diagram wel of niet geschikt is voor een specifieke vraagstelling.

Waar op letten: Let op de specifieke vraag: 'hoe groot het percentage van de automobilisten is dat zich aan de snelheidslimiet houdt'. Dit betekent dat je een percentage onder of gelijk aan een bepaalde waarde moet kunnen aflezen.
Bedenk wat een boxplot precies weergeeft: de mediaan, kwartielen en uiterste waarden. Kan je hieruit een willekeurig percentage aflezen?
Overweeg waarvoor een spreidingsdiagram wordt gebruikt: om het verband tussen twee kwantitatieve variabelen te visualiseren. Heb je hier twee variabelen die je tegen elkaar uitzet?
Denk na over de cumulatieve relatieve frequentiepolygoon: wat betekent 'cumulatief' en 'relatief frequentie'? Wat kun je hiermee aflezen op de y-as?
Zorg ervoor dat je toelichting per diagram specifiek is en direct antwoord geeft op de vraag waarom het wel of niet geschikt is voor het aflezen van het gevraagde percentage.

Kernbegrippen: boxplot, spreidingsdiagram, cumulatieve relatieve frequentiepolygoon, statistische diagrammen, representatie van data

Veelgemaakte fouten:
- Verwarren van de eigenschappen van de verschillende diagrammen.
- Niet specifiek genoeg zijn in de toelichting waarom een diagram wel/niet geschikt is.
- Denken dat een boxplot alle percentages kan weergeven, terwijl het alleen de kwartielen (25%, 50%, 75%) toont.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2022/tijdvak-1/vraag/13

## Vraag 14 – Opgave 1 (4 punten)

Voor de Monsterweg wordt onderzocht of een groter deel van de automobilisten zich aan de snelheidslimiet houdt als er matrixborden langs de weg worden geplaatst die de maximumsnelheid aangeven. Zie de foto.

foto

In het eerdere onderzoek (situatie zonder matrixborden) van VVN hielden 111 van de 169 automobilisten op de Monsterweg zich aan de snelheidslimiet.
In het vervolgonderzoek, waarin er matrixborden geplaatst waren, hielden 183 van de 213 automobilisten zich aan de snelheidslimiet.
In de twee onderzoeken is het deel van de automobilisten dat zich aan de snelheidslimiet houdt dus verschillend.

Bepaal met behulp van het formuleblad of dit verschil gering, middelmatig of groot is.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een situatie met twee groepen en twee uitkomsten (wel/niet aan de limiet houden). Je moet het verschil tussen deze groepen kwantificeren en interpreteren met behulp van een statistische maat uit je formuleblad.

Wat moet je kennen: Je moet de phi-coëfficiënt en de bijbehorende vuistregels van je formuleblad kennen. Je moet ook weten hoe je een kruistabel opstelt op basis van gegeven data.

Wat moet je kunnen: Je moet de gegevens uit de vraag kunnen omzetten naar een 2x2 kruistabel. Je moet de formule voor de phi-coëfficiënt correct kunnen toepassen met de waarden uit je kruistabel. Tot slot moet je de berekende phi-waarde kunnen interpreteren aan de hand van de vuistregels op je formuleblad om te bepalen of het verschil gering, middelmatig of groot is.

Waar op letten: Je moet eerst de gegevens organiseren in een 2x2 kruistabel. Let goed op dat je de juiste aantallen in de cellen plaatst (bijvoorbeeld het aantal dat zich NIET aan de limiet houdt, moet je zelf berekenen).
Je gebruikt de formule voor de phi-coëfficiënt van je formuleblad. Zorg dat je de juiste formule kiest; er staan meerdere verschilmaten op het formuleblad.
Je vult de vier waarden (a, b, c, d) uit je kruistabel correct in de formule van de phi-coëfficiënt in. Een fout hierin leidt tot een verkeerde uitkomst.
Je berekent de waarde van phi nauwkeurig, vaak op 2 of 3 decimalen. Let op de volgorde van bewerkingen (haakjes, wortel, vermenigvuldigen, delen).
Je interpreteert de absolute waarde van de berekende phi-coëfficiënt met behulp van de vuistregels op je formuleblad om te bepalen of het verschil gering, middelmatig of groot is.

Kernbegrippen: phi-coëfficiënt, kruistabel, verschilmaten, associatiematen

Veelgemaakte fouten:
- De totalen van de groepen gebruiken in de kruistabel in plaats van de aantallen die zich wel/niet aan de limiet houden.
- De verkeerde formule van het formuleblad gebruiken, bijvoorbeeld max Vcp.
- De berekende waarde van de phi-coëfficiënt verkeerd interpreteren (bijvoorbeeld de grenzen voor gering/middelmatig/groot verwarren).
- Reken- of invoerfouten bij het berekenen van de phi-coëfficiënt.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2022/tijdvak-1/vraag/14

## Vraag 16 – Opgave 1 (4 punten)

4p 16 Bereken het verschil in totale jaarlijkse kosten tussen deze twee mogelijkheden als de bestelkosten per bestelling 1800 euro zijn. Er is een bepaalde bestelhoeveelheid waarbij de totale jaarlijkse kosten minimaal zijn: dit is de zogenaamde optimale bestelhoeveelheid. Deze kan berekend worden met de volgende formule: (27 000)/(q) · B = 60q \quad (formule 2) Hierin is q de optimale bestelhoeveelheid en B de bestelkosten per bestelling in euro's. De fabrikant wil de totale jaarlijkse kosten minimaliseren en bestelt dus de optimale bestelhoeveelheid.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over het berekenen van kosten op basis van gegeven formules en scenario's. Je moet verschillende waarden invullen in formules en vervolgens een verschil berekenen.

Wat moet je kennen: Je moet de betekenis van de variabelen in de formules goed begrijpen. Je moet weten hoe je een formule invult met de juiste getallen en hoe je vervolgens een verschil berekent tussen twee uitkomsten.

Wat moet je kunnen: Je kunt de optimale bestelhoeveelheid (q) berekenen voor de twee gegeven scenario's (1 keer bestellen en 10 keer bestellen). Je kunt de berekende q-waarden correct invullen in de formule voor de totale jaarlijkse kosten (TK). Je kunt nauwkeurig rekenen met grote getallen en het verschil tussen de twee totale kosten berekenen.

Waar op letten: Let goed op het verschil tussen 'aantal bestellingen' en 'bestelhoeveelheid (q)'. De formule voor TK gebruikt q, niet het aantal bestellingen.
Zorg ervoor dat je de juiste waarde voor B (bestelkosten per bestelling) gebruikt, deze staat in de vraagtekst.
Voer de berekeningen nauwkeurig uit, vooral met de grote getallen. Gebruik je GR om rekenfouten te voorkomen.
Bereken eerst de totale kosten voor het ene scenario en dan voor het andere scenario, voordat je het verschil bepaalt.
Vergeet niet de eenheid (euro) bij je eindantwoord te vermelden.

Kernbegrippen: formule invullen, kostenberekening, variabelen substitueren

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerde waarde voor q invullen (aantal bestellingen i.p.v. bestelhoeveelheid)
- Reken- of intoetsfouten bij grote getallen

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2022/tijdvak-1/vraag/16

## Vraag 17 – Opgave 1 (4 punten)

Er is een bepaalde bestelhoeveelheid waarbij de totale jaarlijkse kosten minimaal zijn: dit is de zogenaamde optimale bestelhoeveelheid. Deze kan berekend worden met de volgende formule:
(27 000 / q) · B = 60q (formule 2)
Hierin is q de optimale bestelhoeveelheid en B de bestelkosten per bestelling in euro's.
De fabrikant wil de totale jaarlijkse kosten minimaliseren en bestelt dus de optimale bestelhoeveelheid.
Bereken hoeveel keer per jaar de fabrikant dan een bestelling moet plaatsen als de bestelkosten per bestelling 1800 euro zijn.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een formule waarin je een gegeven waarde moet invullen. Daarna moet je de vergelijking oplossen om een variabele te vinden. Tot slot gebruik je deze variabele om het uiteindelijke antwoord te berekenen.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een vergelijking met een onbekende in de noemer oplost, eventueel met behulp van je grafische rekenmachine. Ook moet je de betekenis van de variabelen in de formule goed begrijpen.

Wat moet je kunnen: Je kunt een gegeven waarde correct invullen in een formule. Je kunt een vergelijking van de vorm (a)/(x) * b = cx oplossen. Je kunt het resultaat van je berekening gebruiken om de uiteindelijke vraag te beantwoorden.

Waar op letten: Let goed op welke variabele je moet invullen in de formule. In dit geval is dat B.
Zorg ervoor dat je de vergelijking correct invoert in je GR om q op te lossen. Je kunt dit doen door beide kanten van het =-teken als aparte functies (Y1 en Y2) in te voeren en het snijpunt te bepalen.
Controleer of je de juiste variabele hebt gevonden. De vraag is niet 'wat is q?', maar 'hoeveel keer per jaar moet de fabrikant een bestelling plaatsen?'.
Vergeet niet de laatste stap: het aantal bestellingen berekenen met de gevonden waarde van q.
Geef je antwoord in de juiste eenheid, namelijk 'aantal keer per jaar'.

Kernbegrippen: Vergelijking oplossen, Formule toepassen, Variabelen interpreteren

Veelgemaakte fouten:
- Antwoord geven op de verkeerde vraag (q i.p.v. aantal bestellingen)
- Vergeten de totale hoeveelheid te delen door de bestelhoeveelheid

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2022/tijdvak-1/vraag/17

## Vraag 18 – Opgave 1 (4 punten)

Formule 2 is te herleiden tot de vorm q=a·√(B), waarin a een getal is.
Laat deze herleiding zien en geef a als geheel getal.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een formule die je moet herleiden naar een specifieke vorm. Je moet algebraïsche stappen uitvoeren om variabelen te isoleren en uiteindelijk een wortel te trekken.

Wat moet je kennen: Je moet de basisregels van algebra kennen, zoals het wegwerken van breuken, het isoleren van variabelen en het trekken van wortels. Je moet ook weten hoe je getallen afrondt naar een geheel getal.

Wat moet je kunnen: Je kunt een formule stap voor stap herleiden. Je kunt een variabele isoleren door aan beide kanten van de vergelijking dezelfde bewerkingen uit te voeren. Je kunt de wortel uit een getal trekken met je GR en dit correct afronden.

Waar op letten: Je begint met het wegwerken van de breuk door beide kanten van de vergelijking te vermenigvuldigen met de noemer (q).
Je zorgt ervoor dat alle termen met 'q' aan één kant van de vergelijking komen te staan en de rest aan de andere kant.
Je isoleert q^2 door te delen door de coëfficiënt die ervoor staat.
Je trekt de wortel uit beide kanten om q te vinden. Vergeet niet dat sqrt(A*B) gelijk is aan sqrt(A) * sqrt(B).
Je rondt de numerieke waarde voor 'a' af naar een geheel getal, zoals gevraagd in de vraag.

Kernbegrippen: formules herleiden, algebraïsche vaardigheden, variabelen isoleren

Veelgemaakte fouten:
- rekenfouten bij het delen van 27000/60
- vergeten de wortel te trekken uit 450
- incorrect afronden van √450 naar een geheel getal

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2022/tijdvak-1/vraag/18

## Vraag 19 – Opgave 1 (3 punten)

3p 19 Stel dat Bolt en Powell bovengenoemde tijden met constante snelheid in dezelfde race hadden gelopen. Bereken hoeveel meter Powell dan nog te gaan had op het moment dat Bolt finishte. Geef je antwoord in twee decimalen. De tijd die een sprinter loopt, hangt ook af van de wind die tijdens de sprint waait. Bij rugwind krijgt de sprinter als het ware een duwtje in de rug en zal hij een snellere tijd lopen. De Engelse wiskundige Barrow heeft voor het geval van rugwind de volgende formule afgeleid: Z = 1,03M - 0,03M · \left(1 - (W · M)/(100)\right)^2 Hierin is M de tijd (in seconden) die gelopen wordt met rugwindsnelheid W (in meters per seconde) en Z de tijd (in seconden) die gelopen wordt zonder wind. Een geregistreerde tijd mag alleen als record tellen als de rugwindsnelheid niet groter is dan 2,0 meter per seconde. Toen Bolt in Berlijn zijn wereldrecord van 9,58 seconden liep, was de rugwindsnelheid 0,9 meter per seconde.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over het vergelijken van snelheden en afstanden van twee sprinters. Je moet de basisformule voor snelheid (afstand = snelheid * tijd) toepassen om een resterende afstand te berekenen.

Wat moet je kennen: Je moet de relatie tussen afstand, snelheid en tijd kennen. Ook moet je weten hoe je met verhoudingen werkt om afstanden of tijden te vergelijken.

Wat moet je kunnen: Je kunt de snelheid van een sprinter berekenen. Je kunt vervolgens met deze snelheid en een gegeven tijd de afgelegde afstand bepalen, of juist de resterende afstand berekenen. Je kunt nauwkeurig rekenen met decimalen en correct afronden.

Waar op letten: Let goed op welke tijden bij welke sprinter horen. Bolt finisht in 9,58 seconden, Powell in 9,74 seconden.
Bereken eerst de snelheid van Powell. De afstand is 100 meter.
Je kunt op twee manieren de resterende afstand berekenen: ofwel het tijdsverschil vermenigvuldigen met de snelheid van Powell, ofwel de afstand die Powell heeft afgelegd in 9,58 seconden berekenen en deze van 100 meter aftrekken.
Voorkom afrondingsfouten door met voldoende decimalen te rekenen in je tussenstappen. Rond pas op het einde af.
Vergeet niet de eenheid (meter) bij je eindantwoord te vermelden en op twee decimalen af te ronden zoals gevraagd.

Kernbegrippen: snelheid, afstand, tijd, verhoudingen

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerde verhouding opstellen
- Afrondingsfouten bij tussenantwoorden
- Vergeten de resterende afstand te berekenen (i.p.v. de afgelegde afstand)

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2022/tijdvak-1/vraag/19

## Vraag 20 – Opgave 1 (5 punten)

20 keer 1350. De fabrikant betaalt een prijs van 2000 euro per motorblok. Daarnaast betaalt de fabrikant voor iedere bestelling bestelkosten. Na levering worden de motorblokken door de fabrikant in een opslagruimte geplaatst totdat ze nodig zijn. Het lijkt misschien handig om elk jaar alle motorblokken in één keer te bestellen, omdat de fabrikant dan maar één keer bestelkosten hoeft te betalen. De fabrikant heeft dan echter wel een grotere opslagruimte nodig en dat kost geld. Bestelt hij meerdere keren per jaar een kleinere hoeveelheid, dan kan hij een kleinere opslagruimte gebruiken en is hij dus minder geld kwijt aan opslag. Het aantal motorblokken is dus bij elke bestelling even groot. Dit aantal heet de bestelhoeveelheid q. Ongeacht de bestelhoeveelheid worden er per bestelling steeds dezelfde bestelkosten B (in euro's) gerekend. De totale jaarlijkse kosten (in euro's) voor de fabrikant bestaan uit: – de kosten van alle motorblokken (ofwel 27000 · 2000 = 54 000000); – de totale bestelkosten ((27 000)/(q) · B); – de kosten voor opslag: bij deze fabrikant 60q. Hierin is q de bestelhoeveelheid en B de bestelkosten per bestelling (in euro's).

Wat kun je verwachten: Je krijgt een context over de kosten van een fabrikant die motorblokken bestelt. Je moet een formule gebruiken en een vergelijking oplossen met je grafische rekenmachine (GR). Dit is een typische vraag waarbij je goed moet opletten welke waarden je waar invult en in welke volgorde je de stappen uitvoert.

Wat moet je kennen: Je moet de gegeven formule kunnen interpreteren en de variabelen correct kunnen toewijzen. Je moet ook weten hoe je een vergelijking oplost met je GR, met name door de intersect-functie te gebruiken.

Wat moet je kunnen: Je moet de formule correct kunnen toepassen door de juiste waarden in te vullen. Je moet een tussenresultaat kunnen berekenen en dit resultaat vervolgens gebruiken in een nieuwe vergelijking. Je moet de stappen voor het oplossen van een vergelijking met je GR duidelijk kunnen beschrijven en de uitkomst correct kunnen afronden.

Waar op letten: Let goed op de volgorde van de berekeningen: je moet eerst de waarde van Z berekenen met de gegeven M en W, voordat je deze Z-waarde gebruikt om de nieuwe M te vinden.
Zorg ervoor dat je de juiste waarden voor de wind (0,9 m/s en 2,0 m/s) op de juiste plaats in de formule invult. Het verwisselen van deze waarden is een veelvoorkomende valkuil.
Gebruik je GR om de vergelijking op te lossen. Beschrijf duidelijk welke functies je gebruikt (bijvoorbeeld Y1=... en Y2=... en dan intersect).
Rond je eindantwoord correct af op twee decimalen en vermeld de eenheid (seconden).
Controleer of je de variabele M en Z niet verwisselt in de verschillende stappen van de berekening.

Kernbegrippen: Formule toepassen, Vergelijking oplossen met GR, Twee-staps berekening

Veelgemaakte fouten:
- Variabelen M en Z verwisselen
- Windstiltetijd (Z) niet als tussenstap berekenen en direct de nieuwe wind invullen
- Gegevens (0,9 m/s en 2,0 m/s) verkeerd invullen of verwisselen
- Verkeerde vergelijking opstellen voor de GR, bijvoorbeeld door 9,58 te gebruiken in plaats van de berekende Z-waarde

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2022/tijdvak-1/vraag/20

## Vraag 21 – Opgave 1 (6 punten)

6p 21 Onderzoek hoe hoog de AOW-uitkering per persoon in 2023 moet zijn, zodat het totaalbedrag aan AOW-uitkeringen in 2023 hetzelfde is als het totaalbedrag aan AOW-uitkeringen in 2012. noot 1 Deze gehele opgave is gebaseerd op gegevens zoals die in 2016 bekend waren.

Wat kun je verwachten: Je moet een complexe berekening uitvoeren waarbij je verschillende stappen combineert. Je berekent eerst een totaalbedrag in een startjaar, projecteert vervolgens de bevolkingsgroei naar een toekomstig jaar, en berekent dan de individuele uitkering op basis van een vast totaalbedrag en een veranderend aantal ontvangers.

Wat moet je kennen: Je moet het concept van exponentiële groei en de bijbehorende groeifactor kennen. Ook moet je weten hoe je met percentages en grote getallen (miljoenen) rekent. Je begrijpt hoe een totaalbedrag verdeeld wordt over een aantal personen.

Wat moet je kunnen: Je kunt de groeifactor berekenen uit een percentage. Je kunt exponentiële groei toepassen over een aantal jaren. Je kunt het aantal AOW-gerechtigden in verschillende jaren berekenen. Je kunt een totaalbedrag delen door een aantal personen om de uitkering per persoon te vinden. Je kunt nauwkeurig rekenen met grote getallen en tussentijds niet afronden.

Waar op letten: Let goed op het aantal jaren voor de exponentiële groei. Van 2012 naar 2023 zijn er 11 jaar verstreken (2023 - 2012).
Zorg ervoor dat je de groeifactor correct berekent uit het gegeven groeipercentage. Een groei van 0,44% betekent een groeifactor van 1 + (0,44)/(100).
Rond tussentijdse berekeningen niet af. Gebruik de volledige getallen die je GR geeft om de nauwkeurigheid van je eindantwoord te bewaren.
Vergeet niet dat de totale bevolking groeit en het percentage AOW-gerechtigden ook verandert. Beide factoren beïnvloeden het uiteindelijke aantal AOW-gerechtigden in 2023.
De vraag vraagt om de AOW-uitkering 'per persoon' in euro's. Zorg dat je antwoord in de juiste eenheid en afronding is.

Kernbegrippen: exponentiële groei, procentuele verandering, groeifactor, rekenen met grote getallen, verhoudingen

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd aantal jaren voor de exponentiële groei (2023 - 2012 = 11, niet 10 of 12).
- Vergeten de bevolkingsgroei mee te nemen en alleen rekenen met de veranderende percentages AOW-gerechtigden.
- Rekenfouten met de grote getallen (miljoenen).
- Tussentijds afronden kan leiden tot een onnauwkeurig eindantwoord.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2022/tijdvak-1/vraag/21

## Vragen in dit examen

### Vraag 10 – Opgave 1

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over de representativiteit van een steekproef. Je moet uitleggen waarom een steekproef niet representatief is en hoe je dit kunt verbeteren.

Wat moet je kennen: Je moet het concept 'representativiteit' kennen. Een representatieve steekproef is een goede afspiegeling van de hele populatie waarover je iets wilt zeggen. Je moet ook weten welke factoren de representativiteit kunnen beïnvloeden, zoals het tijdstip, de locatie of de methode van dataverzameling.

Wat moet je kunnen: Je moet kunnen analyseren waarom een gegeven steekproef mogelijk niet representatief is. Je moet ook concrete en logische suggesties kunnen doen om de representativiteit van een steekproef te verbeteren.

Waar op letten: Lees goed de context van de 'eerste' steekproef. Waar en wanneer is deze gehouden?
Bedenk waarom de gekozen methode of het tijdstip van de steekproef een vertekend beeld kan geven van de werkelijkheid.
Je moet zowel uitleggen *waarom* de steekproef niet representatief is, als *hoe* je dit kunt verbeteren. Zorg dat je beide onderdelen beantwoordt.
Wees specifiek in je uitleg. Zeg niet alleen 'de steekproef is te klein', maar leg uit *waarom* de omvang of de methode een probleem is in deze specifieke situatie.
De tabel met snelheidsmetingen die in de vraagtekst staat, hoort bij de *nieuwe* representatieve steekproeven en is niet relevant voor het beantwoorden van deze vraag over de *eerste* steekproef.

### Vraag 15 – Opgave 1

Wat kun je verwachten: Je krijgt een context over bestellingen en kosten. Je moet een formule opstellen voor de totale bestelkosten, waarbij je de gegeven variabelen en getallen correct gebruikt. Je moet goed begrijpen wat elke variabele voorstelt.

Wat moet je kennen: Je moet de basisprincipes van het opstellen van formules kennen, waarbij je een context vertaalt naar een wiskundige uitdrukking. Je moet weten hoe je een totaalbedrag berekent op basis van een aantal en een prijs per eenheid.

Wat moet je kunnen: Je kunt de totale jaarlijkse hoeveelheid (27000) en de bestelhoeveelheid per keer (q) gebruiken om het aantal bestellingen te bepalen. Je kunt dit aantal vervolgens vermenigvuldigen met de kosten per bestelling (B) om de totale bestelkosten uit te drukken in een formule.

Waar op letten: Let goed op het verschil tussen de totale jaarlijkse hoeveelheid (27000) en de hoeveelheid per bestelling (q). Dit zijn twee verschillende concepten.
De vraag vraagt om een formule, dus gebruik geen getallenvoorbeelden om je antwoord te onderbouwen.
Denk na over de eenheden: als je kosten in euro's per bestelling hebt, en je vermenigvuldigt met het aantal bestellingen, wat is dan de eenheid van je uiteindelijke antwoord?
Zorg ervoor dat je de logische stappen volgt: eerst het aantal bestellingen bepalen, daarna de totale kosten berekenen.

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen HAVO
2022
tijdvak 1
vrijdag 13 mei
13.30 - 16.30 uur

wiskunde A

Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Achter het correctievoorschrift is een aanvulling op het correctievoorschrift opgenomen.

Dit examen bestaat uit 21 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 77 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald
kunnen worden.

Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.

Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.

HA-1024-a-22-1-0

### Pagina 2

FORMULEBLAD
Vuistregels voor de grootte van het verschil van twee groepen
2x2 kruistabel
(a b)
(c d)
met phi = ad-bc
V
(a+b)(a+c)(b+d)(c+d)
waarin a, b, c en d absolute aantallen zijn.
- als phi < -0,4 of phi > 0,4, dan zeggen we "het verschil is groot",
- als -0,4 ≤ phi < -0,2 of 0,2 < phi ≤ 0,4, dan zeggen we "het verschil is
middelmatig",
- als -0,2 ≤ phi ≤ 0,2, dan zeggen we "het verschil is gering".
Maximaal verschil in cumulatief percentage (max Vcp)
(met voor beide groepen een steekproefomvang n>100)
- als max Vcp > 40, dan zeggen we "het verschil is groot",
- als 20 < max Vcp ≤ 40, dan zeggen we "het verschil is middelmatig",
- als max Vcp ≤ 20, dan zeggen we "het verschil is gering".
Effectgrootte E = X1-X2
2
(S1+S2)
met X1 en X2 de steekproefgemiddelden
(X1 = X2), S1 en S2 de steekproefstandaardafwijkingen
- als E > 0,8, dan zeggen we "het verschil is groot",
- als 0,4 < E ≤ 0,8, dan zeggen we "het verschil is middelmatig",
- als E ≤ 0,4, dan zeggen we "het verschil is gering".
Twee boxplots vergelijken
- als de boxen') elkaar niet overlappen, dan zeggen we "het verschil is
groot",
- als de boxen elkaar wel overlappen en een mediaan van een boxplot
buiten de box van de andere boxplot ligt, dan zeggen we "het verschil is
middelmatig",
- in alle andere gevallen zeggen we "het verschil is gering".
noot 1 De 'box' is het interval vanaf het eerste kwartiel tot en met het derde kwartiel.
HA-1024-a-o
2/13
lees verder ►►►

### Pagina 3

Betrouwbaarheidsintervallen

Het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de populatieproportie is
$p \pm 2\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$, met $p$ de steekproefproportie en $n$ de steekproefomvang.

Het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het populatiegemiddelde is

$\bar{X} \pm 2\cdot\frac{S}{\sqrt{n}}$, met $\bar{X}$ het steekproefgemiddelde, $n$ de steekproefomvang en
$S$ de steekproefstandaardafwijking.




HA-1024-a-o
3 / 13
lees verder
Voor alle eindexamens, zie www.alleeindexamens.nl. Voor de perfecte voorbereiding op je eindexamen, zie ook www.sslileiden.nl.

### Pagina 4

De psychrometer
Lucht bevat waterdamp. Hoeveel waterdamp er in de lucht zit, varieert.
De (relatieve) luchtvochtigheid is een percentage dat aangeeft hoe
vochtig de lucht is. Dit ligt tussen 0% (zeer droge lucht) en 100%
(verzadigde lucht).
De luchtvochtigheid kan worden gemeten met een psychrometer. Dit is
een apparaatje met twee thermometers. De ene thermometer is een
gewone thermometer: deze meet de luchttemperatuur. De andere
thermometer heeft een natte kous om het vloeistofreservoir. Zie de foto.
foto
[FIGUUR: Een psychrometer met twee thermometers. Eén thermometer is zichtbaar met een natte kous om het reservoir.]
Door de psychrometer rond te draaien, verdampt water uit de natte kous.
Daardoor koelt de kous af en zal de thermometer met de natte kous een
lagere temperatuur aangeven dan de luchttemperatuur. We noemen deze
temperatuur de natte temperatuur.
Met de luchttemperatuur én het verschil tussen de luchttemperatuur en de
natte temperatuur kun je de luchtvochtigheid bepalen. Hiervoor gebruik je
de tabel die op de uitwerkbijlage staat.
3p
1
Ahmed gebruikt op een bepaald moment een psychrometer. De
luchttemperatuur is volgens de gewone thermometer 22 °C, de natte
temperatuur is 17 °C.
Bepaal met behulp van de tabel op de uitwerkbijlage de luchtvochtigheid
op dat moment.
HA-1024-a-o
4/13
lees verder ►►►

### Pagina 5

Op de uitwerkbijlage is een figuur afgedrukt. In die figuur is voor diverse
verschillen tussen de lucht temperatuur en de natte temperatuur de grafiek
getekend van de luchtvochtigheid, afhankelijk van de lucht temperatuur.

Op een bepaalde dag daalde de lucht temperatuur van 31,5 °C naar 15 °C,
maar de luchtvochtigheid bleef de hele dag 60%.
4p 2
Bepaal met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage hoeveel de natte
temperatuur die dag daalde.

De waarden voor de luchtvochtigheid in de tabel op de uitwerkbijlage zijn
afgerond op hele procenten. De luchtvochtigheid kan nauwkeuriger
berekend worden met de volgende formule:
L = 100-
330
18+T
(T-Tnat)
(formule 1)
Hierin is L de luchtvochtigheid in %, T de lucht temperatuur en Tnat de
natte temperatuur, beide in °C.

Op 4 november 2015 om 10.30 uur 's ochtends was de lucht temperatuur
in Almelo 11 °C. Het verschil tussen de lucht temperatuur en de natte
temperatuur was op dat moment 3 °C.
Mijke berekent de luchtvochtigheid met de formule. Jaap berekent de
luchtvochtigheid met de tabel. Dit geeft twee verschillende uitkomsten.
4p 3
Bereken hoe groot het verschil tussen deze twee uitkomsten is. Geef je
antwoord in twee decimalen.

Als de lucht temperatuur 27 °C is, dan is formule 1 te vereenvoudigen tot
L=100-
330
45
(27-Tnat)
(formule 2)
Er geldt: hoe lager de natte temperatuur is, des te lager is de
luchtvochtigheid. Dit kan beredeneerd worden aan de hand van formule 2.
3p 4
Geef deze redenering, zonder getallen in te vullen of een schets of
tekening van de grafiek van L te maken.

HA-1024-a-o
5/13
lees verder ►►►

### Pagina 6

CO₂-concentratie in de atmosfeer
Vanaf 1959 heeft Charles David Keeling de CO₂-concentratie in de
atmosfeer gemeten. Deze metingen laten zien dat de CO₂-concentratie in
de atmosfeer in de loop van de jaren flink is toegenomen. In figuur 1 zijn
voor de periode 1959–2015 de jaargemiddelden van de CO₂-concentratie
weergegeven. De gebruikte eenheid van de CO₂-concentratie is ppm
(parts per million): het aantal CO₂-deeltjes per miljoen luchtdeeltjes.
Figuur 1 staat vergroot afgedrukt op de uitwerkbijlage.
figuur 1
CO₂-concentratie
410
(ppm)
400
390
380
370
360
350
340
330
320
310
300
1960
1970
1980
1990
2000
2010
2020
Het blijkt dat de CO₂-concentratie elk jaar volgens hetzelfde patroon om
het jaargemiddelde schommelt. In figuur 2 kun je aflezen hoeveel het
maandgemiddelde van de CO₂-concentratie afwijkt van het
jaargemiddelde. Figuur 2 staat ook afgedrukt op de uitwerkbijlage.
figuur 2
CO₂-concentratie
+3
(ppm)
+2
+1
jaargemiddelde
-1
-2
-3
jan
feb
mrt
apr
mei
jun
jul
aug
sep
okt
nov
dec
3p
5
Bepaal het maandgemiddelde van de CO₂-concentratie voor de maand
september 1990. Gebruik hierbij de figuren op de uitwerkbijlage. Geef je
antwoord in één decimaal nauwkeurig.
HA-1024-a-o
6 / 13
lees verder ►►►

### Pagina 7

Keeling schatte in 1970 op grond van zijn meetgegevens over de periode
1959-1970 dat het jaargemiddelde van de CO2-concentratie vanaf 1970
jaarlijks met 0,3% zou toenemen. Daarmee voorspelde hij hoe hoog het
jaargemiddelde van de CO2-concentratie in 1995 zou zijn. Die
voorspelling wijkt een beetje af van het werkelijke jaargemiddelde van het
jaar 1995.
5p 6 Bereken hoeveel procent de voorspelling afwijkt. Gebruik hierbij de figuur
op de uitwerkbijlage. Geef je antwoord als geheel getal.
De CO2-concentratie blijft toenemen. In 2000 was het jaargemiddelde
369,5 ppm, in 2015 was dit opgelopen tot 400,8 ppm.
Tibbe vermoedt op basis van figuur 1 dat het jaargemiddelde in de
periode 2000-2015 groeide volgens een exponentieel verband en dat de
groei zich in de jaren daarna voortzet volgens hetzelfde exponentiële
verband. Je kunt dan, uitgaande van bovenstaande gegevens, berekenen
in welk jaar het jaargemiddelde voor het eerst hoger dan 500 ppm zal zijn.
5p 7 Bereken op deze
manier in welk jaar het jaargemiddelde voor het eerst
hoger dan 500 ppm zal zijn.
Marritt is het niet eens met Tibbe: zij vermoedt dat er vanaf het jaar 2000
geen sprake is van exponentiële groei, maar van lineaire groei. Je kunt
dan, uitgaande van de jaargemiddelden van 2000 en 2015 en met behulp
van lineair extrapoleren, berekenen in welk jaar het jaargemiddelde voor
het eerst hoger dan 500 ppm zal zijn.
4p 8 Bereken op deze manier in welk jaar het jaargemiddelde voor het eerst
hoger dan 500 ppm zal zijn.
Wereldwijd worden er afspraken gemaakt met als doel de
CO2-concentratie omlaag te brengen.
Veronderstel dat het inderdaad lukt om de CO2-concentratie na 2015
zodanig te laten dalen dat het jaargemiddelde in 2050 nog maar 350 ppm
is. Dan kan er bijvoorbeeld sprake zijn van afname volgens
– een lineair verband of
– een exponentieel verband.
In beide gevallen is het jaargemiddelde in 2015 gelijk en is ook het
jaargemiddelde in 2050 gelijk. Echter, een CO2-concentratie van
bijvoorbeeld 375 ppm wordt in het ene geval op een eerder moment
bereikt dan in het andere geval.
3p 9 Leg uit, zonder berekeningen te geven, in welk van de twee genoemde
gevallen de CO2-concentratie het eerst de waarde 375 ppm bereikt.
HA-1024-a-o
7/13
lees verder

### Pagina 8

Snelheidsovertredingen
In veel dorpen geldt een snelheidslimiet van 30 of 50 km/uur. Niet elke
automobilist houdt zich hieraan en dit kan onveilige situaties opleveren.
Daarom kan iedereen onveilige verkeerssituaties melden bij Veilig
Verkeer Nederland (VVN). Als men bij VVN het vermoeden heeft dat het
om een gegronde melding gaat, dan gaan vrijwilligers op pad om de
snelheid van passerende automobilisten te meten.
Vanuit het dorp Borssele is zo'n melding binnengekomen over de
Monsterweg. Vervolgens is op een dinsdagochtend tussen 7 en 9 uur op
deze weg de snelheid van 250 passerende automobilisten gemeten.
Aan de hand van de resultaten van deze steekproef wil men een uitspraak
doen over het percentage automobilisten dat in een willekeurige week op
deze weg te hard rijdt.
2p
10
Leg uit waarom deze steekproef waarschijnlijk niet representatief is en
geef aan hoe dat verbeterd kan worden.
Er wordt een nieuwe steekproef op de Monsterweg gehouden die wel
representatief is. Op deze weg, waar de snelheidslimiet 50 km/uur is, is
de snelheid van 169 auto's gemeten.
Ook wordt er een representatieve steekproef gehouden op de Noordsingel
in Borssele. Op deze weg, waar de snelheidslimiet 30 km/uur is, is de
snelheid van 100 auto's gemeten.
De resultaten van de twee steekproeven zijn weergegeven in de figuur.
figuur
ZONE
Borssele
Noordsingel
snelheid
(km/uur)
aantal auto's
tot 21
2
21-25
7
26-30
14
31-35
17
36-40
22
41-45
18
46-50
15
51-55
4
56-60
61-65
66-70
*****
91-95
totaal:
1
100
ZONE
Borssele
Monsterweg
snelheid
(km/uur)
aantal auto's
tot 21
21-25
2
26-30
4
31-35
15
36-40
44
41-45
46
46-50
26
51-55
19
56-60
9
61-65
4
66-70
totaal:
169
2p
11
Ligt de snelheidslimiet op de Noordsingel in de modale klasse? Licht je
antwoord toe.
HA-1024-a-o
8/13
lees verder

### Pagina 9

De situatie op de Noordsingel is zorgwekkend: er waren maar weinig
automobilisten die zich aan de snelheidslimiet hielden. Men wil het
95%-betrouwbaarheidsinterval berekenen van het percentage
automobilisten op de Noordsingel dat te hard rijdt.
4p 12 Bereken dit 95%-betrouwbaarheidsinterval. Rond de percentages in je
antwoord af op gehele getallen.
Piet wil een diagram maken met de gegevens van de Monsterweg uit de
figuur. Hij overweegt de volgende drie diagrammen:
– een boxplot
– een spreidingsdiagram (puntenwolk)
– een cumulatieve relatieve frequentiepolygoon
Hij wil dat uit het diagram af te lezen is hoe groot het percentage van de
automobilisten is dat zich aan de snelheidslimiet houdt.
3p 13 Geef voor elk van deze drie diagrammen aan of dat hiervoor geschikt is.
Licht je antwoord telkens toe.
Voor de Monsterweg wordt onderzocht of een groter deel van de
automobilisten zich aan de snelheidslimiet houdt als er matrixborden
langs de weg worden geplaatst die de maximumsnelheid aangeven. Zie
de foto.
foto
[FIGUUR: Een mobiele matrixbordeninstallatie met daarop de tekst "50"]
In het eerdere onderzoek (situatie zonder matrixborden) van VVN hielden
111 van de 169 automobilisten op de Monsterweg zich aan de
snelheidslimiet. In het vervolgonderzoek, waarin er matrixborden
geplaatst waren, hielden 183 van de 213 automobilisten zich aan de
snelheidslimiet.
4p 14 In de twee onderzoeken is het deel van de automobilisten dat zich aan de
snelheidslimiet houdt dus verschillend.
Bepaal met behulp van het formuleblad of dit verschil gering, middeldig
of groot is.
HA-1024-a-o
9 / 13
lees verder ►►►

### Pagina 10

Motorblokken bestellen
Een fabrikant produceert jaarlijks
27 000 auto's van een bepaald type.
De fabrikant bestelt de 27 000
motorblokken die hiervoor nodig zijn bij een
leverancier. De fabrikant kan deze 27 000
motorblokken in één keer bestellen of over
meerdere bestellingen verdelen. Het aantal
motorblokken is bij elke bestelling even
groot. Zo kan de fabrikant bijvoorbeeld
5 keer 5400 motorblokken bestellen of
20 keer 1350.
De fabrikant betaalt een prijs van 2000 euro per motorblok. Daarnaast
betaalt de fabrikant voor iedere bestelling bestelkosten. Na levering
worden de motorblokken door de fabrikant in een opslagruimte geplaatst
totdat ze nodig zijn. Het lijkt misschien handig om elk jaar alle
motorblokken in één keer te bestellen, omdat de fabrikant dan maar één
keer bestelkosten hoeft te betalen. De fabrikant heeft dan echter wel een
grotere opslagruimte nodig en dat kost geld. Bestelt hij meerdere keren
per jaar een kleinere hoeveelheid, dan kan hij een kleinere opslagruimte
gebruiken en is hij dus minder geld kwijt aan opslag.
Het aantal motorblokken is dus bij elke bestelling even groot. Dit aantal
heet de bestelhoeveelheid q. Ongeacht de bestelhoeveelheid worden er
per bestelling steeds dezelfde bestelkosten B (in euro's) gerekend.
De totale jaarlijkse kosten (in euro's) voor de fabrikant bestaan uit:
– de kosten van alle motorblokken (ofwel 27 000·2000 = 54 000 000);
– de totale bestelkosten (q 27 000
27 000
B);
q
– de kosten voor opslag: bij deze fabrikant 60q.
Hierin is q de bestelhoeveelheid en B de bestelkosten per bestelling (in
euro's).
2p 15 Leg uit, zonder een getallenvoorbeeld te gebruiken, waarom de totale
bestelkosten gelijk zijn aan
27 000
q
B.
HA-1024-a-o
10 / 13
lees verder

### Pagina 11

De fabrikant berekent de totale jaarlijkse kosten $TK$ in euro's dus met de
volgende formule:

$TK = 54​000​000 + \frac{27​000}{q} \cdot B + 60q$

(formule 1)

In plaats van alle 27​000 motorblokken voor een heel jaar in 1 keer te
bestellen kan de fabrikant er ook voor kiezen om ze in 10 keer te
bestellen.
4p 16 Bereken het verschil in totale jaarlijkse kosten tussen deze twee
mogelijkheden als de bestelkosten per bestelling 1800 euro zijn.

Er is een bepaalde bestelhoeveelheid waarbij de totale jaarlijkse kosten
minimaal zijn: dit is de zogenaamde optimale bestelhoeveelheid. Deze
kan berekend worden met de volgende formule:

$\frac{27​000}{q} \cdot B = 60q$

(formule 2)

Hierin is $q$ de optimale bestelhoeveelheid en $B$ de bestelkosten per
bestelling in euro's.

De fabrikant wil de totale jaarlijkse kosten minimaliseren en bestelt dus de
optimale bestelhoeveelheid.
4p 17 Bereken hoeveel keer per jaar de fabrikant dan een bestelling moet
plaatsen als de bestelkosten per bestelling 1800 euro zijn.

4p 18 Formule 2 is te herleiden tot de vorm $q=a\cdot \sqrt{B}$, waarin $a$ een getal is.
Laat deze herleiding zien en geef $a$ als geheel getal.

### Pagina 12

Sprinten met rugwind
Op 16 augustus 2009 verbrak Usain Bolt op de wereldkampioenschappen
atletiek in Berlijn het wereldrecord op de 100 meter sprint door een tijd te
lopen van 9,58 seconden. Het wereldrecord van de vorige
wereldrecordhouder, Asafa Powell, was 9,74 seconden.
Stel dat Bolt en Powell bovengenoemde tijden met constante snelheid in
dezelfde race hadden gelopen.
3p
19
Bereken hoeveel meter Powell dan nog te gaan had op het moment dat
Bolt finishte. Geef je antwoord in twee decimalen.
De tijd die een sprinter loopt, hangt ook af van de wind die tijdens de
sprint waait. Bij rugwind krijgt de sprinter als het ware een duwtje in de
rug en zal hij een snellere tijd lopen. De Engelse wiskundige Barrow heeft
voor het geval van rugwind de volgende formule afgeleid:
$Z = 1,03M - 0,03M \cdot (1-\frac{W \cdot M}{100})^{2}$
Hierin is $M$ de tijd (in seconden) die gelopen wordt met
rugwindsnelheid $W$ (in meters per seconde) en $Z$ de tijd (in seconden) die
gelopen wordt zonder wind.
Een geregistreerde tijd mag alleen als record tellen als de
rugwindsnelheid niet groter is dan 2,0 meter per seconde. Toen Bolt in
Berlijn zijn wereldrecord van 9,58 seconden liep, was de rugwindsnelheid
0,9 meter per seconde.
5p
20
Bereken met behulp van de formule welke tijd Bolt gehaald zou hebben
als de rugwindsnelheid 2,0 meter per seconde was geweest. Geef je
antwoord in twee decimalen.
HA-1024-a-o
12 / 13
lees verder

### Pagina 13

AOW-uitkering
1)
Alle inwoners van Nederland ontvangen op basis van de Algemene
Ouderdomswet (AOW) vanaf een bepaalde leeftijd (de AOW-leeftijd) een
uitkering van de overheid: de AOW-uitkering. Tot en met 2012 was de
AOW-leeftijd 65 jaar. Wanneer iemand de AOW-leeftijd heeft bereikt,
noemt men hem of haar AOW-gerechtigd. In deze opgave nemen we aan
dat iedere AOW-gerechtigde dezelfde AOW-uitkering ontvangt. In 2012
was deze uitkering 10 980 euro per persoon per jaar.
Het aantal ouderen in Nederland neemt toe. Als de Algemene
Ouderdomswet niet verandert, zal het jaarlijkse totaalbedrag aan
AOW-uitkeringen toenemen. Daarom wordt de AOW-leeftijd sinds 2013
met stappen verhoogd. Iemand stelt voor om bovendien de AOW-uitkering
per persoon te verlagen, zodat het totaalbedrag aan AOW-uitkeringen in
2023 hetzelfde is als het totaalbedrag aan AOW-uitkeringen in 2012. Om
de hoogte van deze nieuwe AOW-uitkering te berekenen, nemen we het
volgende aan:
– Het aantal inwoners is gedurende elk jaar constant.
– In 2012 was dit aantal inwoners 16,7 miljoen.
– Sinds 2012 neemt het aantal inwoners elk jaar toe met 0,44%.
Verder nemen we aan:
– Het aantal AOW-gerechtigden is gedurende elk jaar een constant
percentage van het aantal inwoners van Nederland.
– In 2012 was dit percentage 16,2%.
– In 2023 is dit percentage 17,7%.
6p 21
Onderzoek hoe hoog de AOW-uitkering per persoon in 2023 moet zijn,
zodat het totaalbedrag aan AOW-uitkeringen in 2023 hetzelfde is als het
totaalbedrag aan AOW-uitkeringen in 2012.
noot 1 Deze gehele opgave is gebaseerd op gegevens zoals die in 2016 bekend waren.
Bronvermelding
Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen
behorende correctievoorschrift, dat na afloop van het examen wordt gepubliceerd.
HA-1024-a-o
13 / 13
einde