# Eindexamen Wiskunde A HAVO 2021 tijdvak 2

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2021/tijdvak-2

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Opgave 1

### Vraag 2 – Opgave 1

### Vraag 3 – Opgave 1

### Vraag 4 – Opgave 1

### Vraag 5 – Opgave 1

### Vraag 6 – Opgave 1

### Vraag 7 – Opgave 1

### Vraag 8 – Opgave 1

### Vraag 9 – Opgave 1

### Vraag 10 – Opgave 1

### Vraag 11 – Opgave 1

### Vraag 12 – Opgave 1

### Vraag 13 – Opgave 1

### Vraag 14 – Opgave 1

### Vraag 15 – Opgave 1

### Vraag 16 – Opgave 1

### Vraag 17 – Opgave 1

### Vraag 18 – Opgave 1

### Vraag 19 – Opgave 1

### Vraag 20 – Opgave 1

### Vraag 21 – Opgave 1

### Vraag 22 – Opgave 22

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen HAVO
2021
tijdvak 2
dinsdag 22 juni
13.30 - 16.30 uur


wiskunde A

Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Dit examen bestaat uit 22 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 77 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald
kunnen worden.

Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.

Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.

HA-1024-a-21-2-o

### Pagina 2

FORMULEBLAD

Vuistregels voor de grootte van het verschil van twee groepen

2×2 kruistabel

(a
C
b
d
)
met
phi =
va(a+b)(a+c)(b+d)(c+d)
ad-bc

–
als phi < -0,4 of phi > 0,4, dan zeggen we “het verschil is groot”,
als -0,4 ≤ phi < -0,2 of 0,2 < phi ≤ 0,4, dan zeggen we “het verschil is
middelmatig",
–
als -0,2 ≤ phi ≤ 0,2, dan zeggen we “het verschil is gering”.

Maximaal verschil in cumulatief percentage (max Vcp) (met voor beide
groepen een steekproefomvang n > 100)

–
als max Vcp > 40, dan zeggen we “het verschil is groot”,
–
als 20 < max Vcp ≤ 40, dan zeggen we “het verschil is middelmatig”,
–
als max Vcp ≤ 20, dan zeggen we “het verschil is gering”.

Effectgrootte E =
X1 - X2
1
2
(S1+S2)
met X1 en X2 de steekproefgemiddelden
(X1 ≥ X2), S1 en S2 de steekproefstandaardafwijkingen

–
als E > 0,8, dan zeggen we “het verschil is groot”,
als 0,4 ≤ E ≤ 0,8, dan zeggen we “het verschil is middelmatig”,
–
als E ≤ 0,4, dan zeggen we “het verschil is gering”.

Twee boxplots vergelijken

–
als de boxen1) elkaar niet overlappen, dan zeggen we “het verschil is
groot",
–
als de boxen elkaar wel overlappen en een mediaan van een boxplot
buiten de box van de andere boxplot ligt, dan zeggen we “het verschil is
middelmatig",
–
in alle andere gevallen zeggen we “het verschil is gering”.

noot 1 De 'box' is het interval vanaf het eerste kwartiel tot en met het derde kwartiel.

HA-1024-a-21-2-0
2/17
lees verder

### Pagina 3

```json
{
  "page_type": "theorie",
  "exam_info": {
    "subject": null,
    "year": null,
    "tijdvak": null
  },
  "figures": [],
  "keywords": "betrouwbaarheidsinterval, populatieproportie, steekproefproportie, steekproefomvang, populatiegemiddelde, steekproefgemiddelde, steekproefstandaardafwijking"
}
```

### Pagina 4

Lichamslengte
We bekijken een wiskundig model dat het verband geeft tussen de leeftijd
van Nederlandse jongens en hun (gemiddelde) lengte op die leeftijd.
Dit model gaat uit van drie fases: de kleutertijd (0-3 jaar), de kindertijd
(3-10 jaar) en de puberteit (vanaf 10 jaar). Zie de figuur.
figuur
lengte jongens
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
leefijd t (jaren)
Tijdens de kindertijd neemt de lengte nagenoeg lineair toe. Je kunt dus
voor de kindertijd een formule geven waarbij je de lengte L (in centimeter)
uitdrukt in de leeftijd t (in jaren).
4p
1
Stel deze formule op. Geef de getallen in je formule in één decimaal.
HA-1024-a-21-2-o
4/17
lees verder

### Pagina 5

```json
{
  "page_type": "opgaven",
  "exam_info": {
    "subject": null,
    "year": null,
    "tijdvak": null
  },
  "figures": [],
  "keywords": "puberteit, lengte, jongens, meisjes, formule, leeftijd, groei, centimeters, maximaal, lengteverschil"
}
```

### Pagina 6

```json
{
  "page_type": "opgaven",
  "exam_info": {
    "subject": "Veiligheidsmonitor",
    "year": null,
    "tijdvak": null
  },
  "figures": [
    "Tabel 1 met stellingen over de woonomgeving en het percentage respondenten dat het (helemaal) eens is."
  ],
  "keywords": "leefbaarheid, woonomgeving, criminaliteit, politie, Veiligheidsmonitor, enquête, steekproef, betrouwbaarheidsinterval, rapportcijfer, standaardafwijking"
}
```

### Pagina 7

tabel 2

geslacht
gemiddelde
rapportcijfer
marge
(afgerond)
man
7,4
0,0
vrouw
7,4
0,0

herkomst
autochtoon
7,5
0,0
westers allochtoon
7,4
0,0
niet-westers allochtoon
7,0
0,0

gehele steekproef
7,4
0,0

Doordat alle groepen behoorlijk groot zijn, is de bijbehorende marge
telkens heel klein. In tabel 2 zie je dat voor elke groep de marge, afgerond
op één decimaal, gelijk is aan 0,0.

Neem aan dat de helft van de respondenten man was.
Bereken hoe groot de standaardafwijking van de gegeven rapportcijfers
van de groep mannen maximaal was. Geef je antwoord in één decimaal.

5p 5

Als je kijkt naar de uitsplitsing naar herkomst en je berekent het
gemiddelde van de cijfers 7,5 en 7,4 en 7,0 dan kom je uit op 7,3.
Dit komt niet overeen met het gemiddelde rapportcijfer van 7,4 van de
gehele steekproef.

Geef hiervan de oorzaak.

2p 6

HA-1024-a-21-2-o
7 / 17
lees verder ► ► ►

### Pagina 8

De respondenten gaven ook aan of zij wel of geen sociale overlast
ervaren. Denk hierbij bijvoorbeeld aan overlast door dronken mensen op
straat, drugsgebruik of rondhangende jongeren. De resultaten zijn in
tabel 3 in vijf groepen uitgesplitst naar de mate van stedelijkheid van de
woonplaats van de respondenten.
tabel 3
mate van
stedelijkheid
aantal
respondenten
aantal dat sociale
overlast ervaart
zeer sterk
25 222
4590
sterk
27 581
3751
matig
19 219
1768
weinig
19 496
1267
niet
19 482
1052
We bekijken nu de groep respondenten van wie de woonplaats zeer sterk
stedelijk is en de groep respondenten van wie de woonplaats niet stedelijk
is.
Tussen deze twee groepen is er verschil in het wel of niet ervaren van
sociale overlast.
3p
7
Bereken met behulp van het formuleblad of dit verschil groot, middelmatig
of gering is.
HA-1024-a-21-2-o
8/17
lees verder

### Pagina 9

Ga verder op de volgende pagina.


H A - 1024 - a - 21 - 2 - o

9 / 17

lees verder


### Pagina 10

Verdubbelingstijd van geld

In plaats van geld sparen, kun je ook geld beleggen. Dit brengt wel een
risico met zich mee: het kan niet alleen winst opleveren, maar ook verlies.
Iemand stort eenmalig een bedrag in een beleggingsfonds. We gaan er in
deze opgave van uit dat dit bedrag exponentieel groeit. Het percentage
waarmee het bedrag jaarlijks groeit is het rendement.

3p 8

Bereken de verdubbelingstijd in jaren als het rendement gelijk is
aan 1,5%. Geef je antwoord in twee decimalen.

In de tabel staat de verdubbelingstijd V in jaren voor enkele
rendementen P in procenten.

tabel

P
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
V
35,00
28,07
23,45
20,15
17,67
15,75
14,21

Het lukt Jan niet om de verdubbelingstijd bij een rendement van 2,9%
precies te berekenen. Hij besluit gebruik te maken van lineair interpoleren
en de waarden in de tabel. Zo zal hij een benadering van de
verdubbelingstijd vinden.

4p 9

Bereken de benadering van de verdubbelingstijd in jaren die hij op deze
manier vindt. Geef je antwoord in twee decimalen.

Jans benadering van de verdubbelingstijd bij een rendement van 2,9%
komt hoger uit dan de precieze verdubbelingstijd. Ook bij elk ander
rendement kom je met lineaire interpolatie hoger uit.

3p 10

Laat dit zien met behulp van een schets.

Er lijkt sprake te zijn van een omgekeerd evenredig verband tussen
P en V. Toch is er niet precies sprake van een omgekeerd evenredig
verband.

2p 11

Toon aan dat er inderdaad niet precies sprake is van een omgekeerd
evenredig verband.

HA-1024-a-21-2-0
10/17
lees verder ► ►►


### Pagina 11

In het boek Mijn vermogen van de Consumentenbond staat een
eenvoudige vuistregel om de verdubbelingstijd bij een gegeven
rendement te schatten:

“Deel het getal 69 door het rendement. De uitkomst is het aantal jaren dat
nodig is om het vermogen te verdubbelen."

Het verschil tussen de verdubbelingstijd uit de tabel en de
verdubbelingstijd volgens de vuistregel blijkt niet zo heel groot te zijn.
Bereken bij een rendement van 3,0% het verschil tussen de
verdubbelingstijd uit de tabel en die volgens de vuistregel. Geef je
antwoord in gehele maanden.

Met de vuistregel in het kader boven vraag 12 kun je de verdubbelingstijd
schatten bij een gegeven rendement. Sommige mensen willen een
vuistregel hebben om het omgekeerde te doen: zij willen weten welk
rendement nodig is bij een gegeven verdubbelingstijd.
Geef een vuistregel in woorden om het rendement te schatten bij een
gegeven verdubbelingstijd in jaren.

3p
12
2p
13
HA-1024-a-21-2-o
11/17
le es verder

### Pagina 12

Online dating met wiskunde

Sommige mensen proberen een nieuwe relatie te vinden door gebruik te
maken van een datingsite. Veel datingsites gebruiken wiskundige
technieken om te bepalen in hoeverre twee personen bij elkaar passen.
Daarvoor moeten de deelnemers vragenlijsten invullen. Hierin geven zij
hun wensen aan, verdeeld over verschillende onderwerpen zoals
opleidingsniveau, leeftijd en rookgedrag van de partner.

Voor elk van de verschillende onderwerpen wordt een score berekend. De
score op een onderwerp noemt men de aantrekkingskracht op dit
onderwerp. Deze score is minimaal 0 (geen aantrekkingskracht) en
maximaal 10 (maximale aantrekkingskracht); het hoeft geen geheel getal
te zijn.

Om de aantrekkingskracht op het onderwerp 'leeftijd' te berekenen wordt
formule 1 gebruikt voor personen die het liefst een even oude partner
hebben:
$A = 10^{1-c\cdot L^2}$ (formule 1)
Hierin is $A$ de aantrekkingskracht op het onderwerp 'leeftijd', $L$ het
leeftijdsverschil in jaren en $c$ een positief getal dat afhangt van hoe
vervelend iemand het vindt als de partner toch wat in leeftijd verschilt.

Elsemieke van 35 jaar heeft het liefst een even oude partner. Voor haar
geldt $c = 0,02$. Elsemieke heeft de keuze uit twee mogelijke partners: een
partner van 32 jaar en een partner van 37 jaar. Je kunt nu voor Elsemieke
het verschil berekenen in aantrekkingskracht op het onderwerp 'leeftijd'
tussen deze twee mogelijke partners.
3p 14 Bereken dit verschil. Geef je antwoord in één decimaal.

Voor Madeleine, die ook het liefst een partner heeft die even oud is, geldt
$c = 0,03$, dus
$A = 10^{1-0,03\cdot L^2}$ (formule 2)
Naarmate het leeftijdsverschil groter wordt, wordt voor Madeleine de
aantrekkingskracht op het onderwerp 'leeftijd' kleiner. Je kunt
beredeneren dat formule 2 daarmee in overeenstemming is.
3p 15 Geef deze redenering zonder getallen in te vullen of een schets/tekening
van de grafiek van $A$ te maken.

3p 16 Voor Madeleine is het verband tussen $L$ en $A$ niet exponentieel.
Laat dit met berekeningen zien.

HA-1024-a-21-2-o
12/17
lees verder

### Pagina 13

Harry heeft zich ingeschreven bij datingsite MatchingMe. Deze site
gebruikt de aantrekkingskracht op tien onderwerpen (zoals ‘leeftijd’ en
‘rookgedrag’) om voor elke mogelijke partner één eindscore te berekenen.
Hoe hoger de eindscore, hoe aantrekkelijker de persoon in zijn geheel
wordt gevonden.
MatchingMe twijfelt tussen twee formules om de eindscore $E$ te
berekenen:
$E=\frac{1}{10}(A_{1}+A_{2}+A_{3}+A_{4}+A_{5}+A_{6}+A_{7}+A_{8}+A_{9}+A_{10})$
(formule 3)
$E=(A_{1} \cdot A_{2} \cdot A_{3} \cdot A_{4} \cdot A_{5} \cdot A_{6} \cdot A_{7} \cdot A_{8} \cdot A_{9} \cdot A_{10})^{\frac{1}{10}}$
(formule 4)
Hierin zijn $A_{1}$ tot en met $A_{10}$ de aantrekkingskrachten op de tien
onderwerpen.
Harry ziet Bianca op MatchingMe. Haar leeftijd vindt hij perfect, omdat zij
even oud is als hij. Maar Bianca rookt en dat vindt hij erg onaantrekkelijk.
De aantrekkingskracht op het onderwerp ‘rookgedrag’ is daarom 0.
Bij het gebruik van een van de twee formules zal blijken dat Bianca zeker
3p
17
geen geschikte partner voor Harry is.
Bij welke van de twee formules is dat het geval? Licht je antwoord toe met
een berekening.
In de tabel zie je hoe voor Harry de aantrekkingskracht van twee andere
vrouwen, Lizette en Sarah, op elk van de tien onderwerpen is. Ook zie je
de standaardafwijking van de scores van Lizette.
tabel
$A_{1}$
$A_{2}$
$A_{3}$
$A_{4}$
$A_{5}$
$A_{6}$
$A_{7}$
$A_{8}$
$A_{9}$
$A_{10}$
standaard-
afwijking
Lizette
1
1
1
1
1
9
9
9
9
9
4
Sarah
5
5
5
5
5
5
5
5
5
5
...
Neem aan dat MatchingMe formule 4 gebruikt om de eindscore $E$ te
bepalen.
3p
18
Laat zien dat degene met de kleinste standaardafwijking in het geheel de
aantrekkelijkste is voor Harry.
HA-1024-a-21-2-o
13/17
lees verder

### Pagina 14

Bevolkingsgroei
De afgelopen eeuwen is het aantal mensen op aarde sterk toegenomen.
Sinds enkele decennia is deze toename aan het afnemen.
Een mogelijke verklaring voor het afnemen van de toename is het feit dat
het gemiddelde aantal kinderen per vrouw in de loop der tijd kleiner is
geworden. Zo kregen vrouwen in 1965 gedurende hun leven gemiddeld
5,0 kinderen, in 2018 was dat aantal afgenomen tot 2,4 kinderen.
Neem aan dat in de periode 1965-2018 het gemiddelde aantal kinderen
per vrouw afnam volgens een exponentieel verband en dat die afname
zich daarna op dezelfde wijze voortzet.
4p 19 Bereken het gemiddelde aantal kinderen per vrouw in 2035. Geef je
antwoord in één decimaal.
In figuur 1 zie je de groei van de wereldbevolking sinds 1950 en een
voorspelling voor de rest van de eenentwintigste eeuw.
figuur 1
wereld-
bevolking
(in miljarden)
12
11
10-
9-
8-
7-
6-
5-
4-
3-
2-
1-
0
1950 1975 2000 2025 2050
→ jaar
2075 2100
In figuur 2 zie je het jaarlijkse aantal geboorten wereldwijd, inclusief een
voorspelling tot 2050.
figuur 2
aantal
geboorten
(in miljoenen)
150
140
130
120
110
100
90
80
0
1950 1975 2000 2025 2050
→ jaar
HA-1024-a-21-2-o
14/17
lees verder ►►►

### Pagina 15

Hoewel de wereldbevolking toeneemt, is het jaarlijks aantal geboorten de
afgelopen jaren redelijk stabiel. Het geboortecijfer, het aantal geboorten
per jaar per 1000 mensen, neemt dus af.
3p 20
De figuren 1 en 2 staan vergroot op de uitwerkbijlage.
Bereken met behulp van de figuren op de uitwerkbijlage hoe groot het
geboortecijfer in het jaar 2020 was. Geef je antwoord als een geheel
getal.
Het sterftecijfer is het aantal overledenen per jaar per 1000 mensen.
De sterke bevolkingsgroei van de afgelopen 100 jaar kan verklaard
worden door het feit dat mensen langer zijn gaan leven door verbeterde
levensomstandigheden. Hierdoor is het sterftecijfer gedaald, waardoor er
minder mensen stierven dan er geboren werden.
Men verwacht echter over een aantal jaren wel weer een lichte toename
van het sterftecijfer. In de tabel zie je voor de jaren 2060 en 2080 de
verwachte geboortecijfers en sterftecijfers.
tabel
jaar
2060
2080
geboortecijfer
14,0
12,8
sterftecijfer
9,8
10,6
5p 21
Neem aan dat het geboortecijfer vanaf 2060 lineair afneemt en het
sterftecijfer vanaf 2060 lineair toeneemt.
Bereken in welk jaar de bevolkingsgroei dan naar verwachting zal
stoppen.

### Pagina 16

Regenpijpen: dunne of dikke?
Regenwater dat op een dak valt, komt in de dakgoot terecht en daarna in
verticale regenpijpen. Zie figuur 1.
figuur 1
[FIGUUR: Een zwart-witafbeelding van een schuur met dakgoten en regenpijpen. De dakgoten lopen over de lengte van het dak, en de regenpijpen hangen verticaal naar beneden.]
Ook bij hevige regenval moet het water goed afgevoerd kunnen worden.
Je kunt daarvoor bijvoorbeeld meerdere regenpijpen plaatsen en/of kiezen
voor dikkere regenpijpen.
Om te berekenen hoe groot de hoeveelheid regen is die de regenpijpen
per dakdeel moeten kunnen afvoeren, gebruikt men de volgende formule:
H = 1,8 · A · f
Hierin is H de hoeveelheid af te voeren regen in liters/minuut,
A de oppervlakte van het dakdeel in m² en f een factor die afhangt van de
hellingshoek van het dakdeel.
In de tabel staat de factor f voor verschillende hellingshoeken.
tabel
hellingshoek van het dakdeel
factor f
0°-45°
46°-60°
61°-85°
86°-90°
1
0,8
0,6
0,3
Boer Pietersma heeft een schuur gebouwd met afmetingen zoals
aangegeven in figuur 2. De twee dakdelen, met hellingshoeken van 70°
en 30°, zijn rechthoekig van vorm. De dikke verticale lijnstukken stellen
regenpijpen voor, maar het ligt nog niet vast hoeveel regenpijpen er
moeten komen. De grijze lijnstukken zijn de dakgoten.
HA-1024-a-21-2-o
16 / 17
lees verder ▶ ► ►

### Pagina 17

figuur 2 voorbeeld met 2 regenpijpen links en 3 regenpijpen rechts

[FIGUUR: Schematische weergave van een schuur met afmetingen en regenpijpen.]

Legenda:
regenpijp
dakgoot

Petersma moet kiezen voor ofwel allemaal dunne regenpijpen ofwel
allemaal dikke regenpijpen. De dunne pijpen hebben een diameter van
70 mm, de dikke hebben een diameter van 100 mm. Een dunne pijp kost
€ 9 per meter, een dikke kost € 13 per meter.

Je kunt uitrekenen hoeveel water één regenpijp per minuut kan afvoeren.
Deze hoeveelheid water heet de capaciteit van de regenpijp. De dikke
pijpen hebben uiteraard een grotere capaciteit dan de dunne. Je kunt de
capaciteit van een pijp berekenen met de volgende formule:
$C=0,02 \cdot D^{2}$
Hierin is $D$ de diameter (in mm) en $C$ de capaciteit (in liters/minuut).

Er is nog een voorschrift waarmee rekening gehouden moet worden. Om
het regenwater via de dakgoot snel genoeg af te kunnen voeren, zijn er
eisen aan het minimale aantal regenpijpen:
- Bij gebruik van dunne pijpen geldt: voor elke 10 m dakgoot moet
minimaal één pijp worden aangesloten.
- Bij gebruik van dikke pijpen geldt: voor elke 20 m dakgoot moet
minimaal één pijp worden aangesloten.

9p 22 Petersma houdt zich aan de genoemde voorschriften en wil regenpijpen
kiesen die zorgen voor de laagste kosten: ofwel allemaal dunne ofwel
allemaal dikke.
Onderzoek welk type pijp Petersma dan moet kiezen: het dunne type of
het dikke type.

Bronvermelding
Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen
behorende correctievoorschrift, dat na afloop van het examen wordt gepubliceerd.
HA-1024-a-21-2-o
17 / 17
einde