# Eindexamen Wiskunde A HAVO 2021 tijdvak 1

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2021/tijdvak-1

## Vraag 6 – Opgave 1 (4 punten)

4p 6 In de tabel is de frequentie van de D-toon afgerond op hele Hz. Bereken op basis van de frequenties van de A-tonen uit de tabel de frequentie van de D-toon. Geef je antwoord in één decimaal. In de figuur wordt op een logaritmische schaalverdeling het bereik van verschillende instrumenten aangegeven. figuur triangel piano piccolo fluit klarinet contrafagot hoorn trompet 10 100 1000 → frequentie (Hz) 10000 ‣‣‣

Wat kun je verwachten: Je berekent een onbekende frequentie van een toon, gegeven de frequenties van andere tonen in een octaaf. Je moet begrijpen dat de relatie tussen tonen en frequenties exponentieel is, niet lineair.

Wat moet je kennen: Je moet het concept van exponentiële groei en groeifactoren kennen. Specifiek, hoe je een groeifactor per stap (toon) berekent als je de groeifactor over meerdere stappen (een octaaf) weet. Je moet ook weten dat een octaaf uit 12 halve tonen bestaat.

Wat moet je kunnen: Je kunt de groeifactor per 12 tonen bepalen uit de gegeven A-tonen. Je kunt vervolgens de groeifactor per individuele toon berekenen door een machtswortel te trekken. Daarna tel je het aantal stappen van de A-toon naar de D-toon en gebruik je de berekende groeifactor om de frequentie van de D-toon te vinden. Je rondt je antwoord correct af op één decimaal.

Waar op letten: Let op dat de relatie tussen toonhoogte en frequentie exponentieel is. Je kunt dus niet zomaar verschillen delen of optellen.
Bereken eerst de groeifactor voor een heel octaaf (12 tonen) met behulp van de twee A-tonen.
Leid uit de groeifactor per 12 tonen de groeifactor per 1 toon af. Dit doe je met een macht.
Tel nauwkeurig het aantal halve tonen van de A-toon (440 Hz) naar de D-toon in de tabel.
Rond je eindantwoord af op één decimaal en vergeet de eenheid (Hz) niet.

Kernbegrippen: exponentiële groei, groeifactor per eenheid, rekenen met machten

Veelgemaakte fouten:
- Lineair verband veronderstellen in plaats van exponentieel (bijv. frequentieverschil delen door 12).
- Verkeerd aantal stappen (tonen) tellen van A naar D.
- Reken- of intoetsfout bij het berekenen van de macht of wortel.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2021/tijdvak-1/vraag/6

## Vraag 7 – Opgave 1 (3 punten)

3p 7 Bereken aan de hand van bovenstaande gegevens, de tabel en de figuur de laagste en de hoogste frequentie die een klarinet kan bereiken. Geef je antwoorden in een geheel aantal Hz. Een klarinettist moet altijd eerst een korte tijd inspelen om de klarinet op een vaste temperatuur van 31 °C te brengen. Als de klarinet koud is, klinken de tonen namelijk lager dan als de klarinet warm is. Dit komt omdat de snelheid van het geluid afhankelijk is van de temperatuur. Dit verband wordt gegeven door de formule: v = 20√(273+T) Hierin is v de snelheid van het geluid (in m/s) en T de temperatuur (in °C). Met de formule kun je bijvoorbeeld berekenen dat bij een temperatuur van 20 °C de snelheid van het geluid ongeveer 342 m/s is. Bij een temperatuur van 31 °C is deze snelheid ongeveer 349 m/s.

Wat kun je verwachten: Je berekent de laagste en hoogste frequentie van een klarinet. Je gebruikt hiervoor informatie uit de tekst, de tabel en de figuur. Je moet begrijpen hoe frequenties zich verhouden binnen octaven en hoe je een logaritmische schaal afleest.

Wat moet je kennen: Je moet weten dat een octaaf hoger een verdubbeling van de frequentie betekent, en een octaaf lager een halvering van de frequentie. Je moet ook de basisprincipes van het aflezen van een logaritmische schaal kennen.

Wat moet je kunnen: Je kunt de relevante frequenties voor de D-toon en A-toon aflezen uit de tabel. Je kunt het bereik van de klarinet aflezen uit de figuur om te bepalen hoeveel octaven je omhoog of omlaag moet rekenen. Je kunt vervolgens de frequenties berekenen door te vermenigvuldigen of te delen met machten van 2. Tot slot rond je je antwoorden af op hele getallen.

Waar op letten: Je leest de start- en eindpunten van het bereik van de klarinet zorgvuldig af in de figuur. Let op de logaritmische schaalverdeling.
Je identificeert de juiste referentiefrequenties voor de D-toon en de A-toon uit de tabel.
Je bepaalt hoeveel octaven je omhoog of omlaag moet rekenen vanaf de referentiefrequenties om binnen het afgelezen bereik te komen. Denk eraan dat 1 octaaf hoger betekent 'keer 2' en 1 octaaf lager betekent 'delen door 2'.
Je voert de berekeningen correct uit, eventueel met je GR.
Je rondt je uiteindelijke antwoorden af op een geheel aantal Hz, zoals gevraagd.

Kernbegrippen: exponentiële groei, octaaf, frequentie, logaritmische schaal aflezen

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd aantal octaven omhoog/omlaag rekenen
- Verkeerd aflezen van de logaritmische schaal
- Vergeten af te ronden op een geheel getal

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2021/tijdvak-1/vraag/7

## Vraag 8 – Opgave 1 (4 punten)

4p 8 Bereken hoeveel graden de temperatuur moet toenemen om de snelheid van het geluid te laten stijgen van 339 m/s naar 349 m/s. Geef je antwoord in een geheel aantal graden. Een toon van de klarinet is te horen als er lucht in de klarinetbuis in trilling gebracht wordt. Door tijdens het spelen gaatjes in de klarinetbuis open of dicht te doen, verandert de lengte L van het gedeelte van de klarinetbuis waarin de lucht trilt. De frequentie van een toon die op een klarinet gespeeld wordt, kun je berekenen met de formule: f = (v)/(4L) Hierin is f de frequentie van de toon (in Hz), v de snelheid van het geluid in de klarinet (in m/s) en L de lengte van het gedeelte van de klarinetbuis waarin de lucht trilt (in m). Els speelt op haar klarinet met de eerder genoemde temperatuur van 31 °C een toon die klinkt met een frequentie van precies 440 Hz. Deze toon had bij het begin van het inspelen op de klarinet met een temperatuur van 20 °C een andere frequentie dan nu de klarinet een temperatuur van 31 °C heeft.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een formule waarin de snelheid van het geluid (v) afhangt van de temperatuur (T). Je moet deze formule gebruiken om de temperatuur te berekenen die hoort bij twee verschillende geluidssnelheden. Daarna bereken je het verschil tussen deze temperaturen.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een vergelijking met een wortel oplost. Ook moet je de stappen kennen om een variabele vrij te maken uit een formule.

Wat moet je kunnen: Je kunt de gegeven formule gebruiken om de temperatuur (T) te berekenen als de geluidssnelheid (v) bekend is. Je kunt een wortelvergelijking oplossen door te kwadrateren en daarna de vergelijking verder op te lossen. Je kunt het verschil tussen twee berekende temperaturen bepalen en correct afronden.

Waar op letten: De vraag geeft een formule voor de snelheid van het geluid (v) in relatie tot de temperatuur (T). Je moet deze formule gebruiken om T te vinden.
Je moet de temperatuur berekenen voor twee verschillende snelheden: 339 m/s en 349 m/s. Dit betekent dat je de vergelijking twee keer moet oplossen.
Let goed op de volgorde van bewerkingen bij het oplossen van de wortelvergelijking. Eerst isoleer je de wortel, dan kwadrateer je beide kanten.
De vraag vraagt om de 'toename' in temperatuur. Dit betekent dat je het verschil tussen de twee berekende temperaturen moet bepalen.
Rond je eindantwoord af op een geheel aantal graden, zoals gevraagd in de vraagtekst. Zorg dat je de eenheid (°C) vermeldt.

Kernbegrippen: vergelijking oplossen, formules met wortels, substitutie in formule

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten het verschil in temperatuur te berekenen en alleen de starttemperatuur (14,3 °C) als antwoord geven.
- Afrondingsfouten bij tussenstappen.
- Incorrect oplossen van de wortelvergelijking, bijvoorbeeld door een fout bij het kwadrateren.
- De eindtemperatuur van 31 °C uit de tekst negeren en proberen een nieuwe eindtemperatuur te berekenen.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2021/tijdvak-1/vraag/8

## Vraag 9 – Opgave 1 (3 punten)

Een toon van de klarinet is te horen als er lucht in de klarinetbuis in trilling gebracht wordt. Door tijdens het spelen gaatjes in de klarinetbuis open of dicht te doen, verandert de lengte L van het gedeelte van de klarinetbuis waarin de lucht trilt. De frequentie van een toon die op een klarinet gespeeld wordt, kun je berekenen met de formule:

f = v / 4L

Hierin is f de frequentie van de toon (in Hz), v de snelheid van het geluid in de klarinet (in m/s) en L de lengte van het gedeelte van de klarinetbuis waarin de lucht trilt (in m).

Els speelt op haar klarinet met de eerder genoemde temperatuur van 31 °C een toon die klinkt met een frequentie van precies 440 Hz. Deze toon had bij het begin van het inspelen op de klarinet met een temperatuur van 20 °C een andere frequentie dan nu de klarinet een temperatuur van 31 °C heeft.
Bereken deze frequentie. Geef je antwoord in een geheel aantal Hz.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag waarbij je een formule moet gebruiken om een onbekende variabele te berekenen. Vervolgens gebruik je die berekende variabele in dezelfde formule, maar met andere beginwaarden, om een nieuwe uitkomst te vinden. Dit is een typische 'twee-stappen-vraag' waarbij je inzicht in de relatie tussen de variabelen moet tonen.

Wat moet je kennen: Je moet de gegeven formule f = v / (4L) goed begrijpen en weten hoe de variabelen f (frequentie), v (geluidssnelheid) en L (lengte) met elkaar samenhangen. Je moet ook de waarden van de geluidssnelheid bij de verschillende temperaturen (20 °C en 31 °C) uit de tekst kunnen halen.

Wat moet je kunnen: Je moet een vergelijking kunnen oplossen om een onbekende variabele (L) te vinden. Daarna moet je deze berekende waarde kunnen substitueren in dezelfde formule om een andere variabele (f) te berekenen. Zorg ervoor dat je nauwkeurig rekent en niet te vroeg afrondt, vooral bij tussenstappen.

Waar op letten: Je moet eerst de lengte L van de klarinetbuis berekenen. Deze lengte blijft constant, ongeacht de temperatuur.
Gebruik de gegeven frequentie (440 Hz) en de geluidssnelheid bij 31 °C (349 m/s) om L te vinden.
Rond de berekende waarde van L niet te vroeg af. Gebruik de volledige waarde in je GR voor de volgende stap.
Nadat je L hebt berekend, gebruik je deze L samen met de geluidssnelheid bij 20 °C (342 m/s) om de nieuwe frequentie te berekenen.
Let goed op de eenheid (Hz) en de gevraagde afronding (geheel aantal Hz) voor je eindantwoord.

Kernbegrippen: Formules met meerdere variabelen, Substitutie, Vergelijking oplossen

Veelgemaakte fouten:
- Te vroeg afronden van tussenantwoorden
- Verkeerde waarde voor de geluidssnelheid (v) gebruiken
- Stappen in de berekening door elkaar halen (eerst L berekenen, dan nieuwe f)

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2021/tijdvak-1/vraag/9

## Vraag 10 – Opgave 1 (3 punten)

In Walibi Belgium is de achtbaan Vampire een populaire attractie, die in de zomermaanden een bezettingsgraad van 98% heeft. De Vampire kan iedere vier minuten 80 bezoekers bedienen.
Bereken hoeveel minuten de gemiddelde wachttijd van een bezoeker voor de Vampire in de zomermaanden is.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag waarbij je een formule moet gebruiken of opstellen om een bepaalde waarde te berekenen. Vaak moet je eerst een tussenstap berekenen voordat je de uiteindelijke formule kunt invullen. Let goed op de eenheden en hoe je percentages omzet naar decimale getallen.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je met percentages rekent en hoe je eenheden omrekent (bijvoorbeeld minuten naar seconden of andersom). Je moet ook in staat zijn om een gegeven formule correct in te vullen met de juiste waarden.

Wat moet je kunnen: Je moet de informatie uit de vraag kunnen vertalen naar de juiste variabelen in een formule. Je moet nauwkeurig kunnen rekenen, zowel met hele getallen als met decimalen, en je GR efficiënt kunnen gebruiken voor complexere berekeningen. Je moet ook het resultaat in de juiste eenheid kunnen geven.

Waar op letten: Let goed op de eenheden! De vraag geeft 'minuten' en 'bezoekers', maar de formule voor S (bedieningstijd per bezoeker) kan een andere eenheid vereisen. Zorg dat je consistent bent.
De bezettingsgraad is 98%. Als je deze in een formule invult, moet je deze omzetten naar een decimaal getal. Denk na hoe je dit doet.
De formule voor de wachttijd W bevat een breuk met haakjes in de noemer. Zorg dat je de volgorde van bewerkingen (haakjes eerst!) correct toepast bij het uitrekenen.
Controleer of je alle benodigde tussenstappen hebt berekend voordat je de uiteindelijke formule invult. In dit geval is er een variabele S die je eerst moet bepalen.
Rond je antwoord pas aan het einde af, en let op de gevraagde afronding (bijvoorbeeld 'op 1 decimaal' of 'in helen'). Vergeet niet de eenheid 'minuten' bij je antwoord te vermelden.

Kernbegrippen: formule substitutie, rekenen met variabelen, eenheden omrekenen

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten om minuten om te rekenen naar seconden voor de berekening van S.
- Foutieve berekening van S, bijvoorbeeld deling in de verkeerde volgorde (bezoekers / tijd).
- Rekenfout in de noemer van de breuk voor W, bijvoorbeeld door de haakjes verkeerd uit te werken.
- De bezettingsgraad als percentage (98) gebruiken in plaats van als decimaal getal (0,98).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2021/tijdvak-1/vraag/10

## Vraag 11 – Opgave 1 (4 punten)

Een andere bekende attractie van Walibi Belgium is de Cobra. Deze attractie heeft een bezettingsgraad van 95% (dus r = 0,95) en een bedieningstijd van 6 seconden per bezoeker (dus S = 6).
Op 6 juli 2013 kocht 10% van de bezoekers een voorsteekpas, dus a=0,10.
4p 11 Bereken voor deze dag het verschil in wachttijd bij de Cobra tussen bezoekers zonder voorsteekpas en bezoekers met voorsteekpas. Geef je antwoord in gehele minuten.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag waarbij je gegeven formules moet gebruiken om een situatie te modelleren. Je moet de juiste waarden invullen en vervolgens een verschil berekenen. Het is belangrijk dat je nauwkeurig rekent en goed oplet bij het afronden.

Wat moet je kennen: Je moet de formules voor $W_p$ en $W_z$ kennen of kunnen aflezen (deze zijn vaak gegeven in de context van de vraag of op een formulekaart). Je moet ook weten hoe je percentages omzet naar decimale getallen voor gebruik in formules.

Wat moet je kunnen: Je moet de gegeven waarden correct kunnen invullen in de formules. Je moet nauwkeurig kunnen rekenen met je grafische rekenmachine, vooral bij breuken en complexe noemers. Tot slot moet je het verschil tussen de twee berekende wachttijden kunnen bepalen en dit correct afronden naar gehele minuten.

Waar op letten: Zorg ervoor dat je de juiste waarden voor S, r en a invult in de formules voor $W_p$ en $W_z$. Verwissel deze niet!
Let goed op de rekenvolgorde, vooral bij de noemers van de breuken. Gebruik haakjes op je GR om fouten te voorkomen.
Bereken eerst $W_p$ en $W_z$ afzonderlijk met voldoende decimalen voordat je het verschil berekent.
Vergeet niet om aan het einde het verschil tussen de twee wachttijden te berekenen, dit is wat de vraag vraagt.
Rond je uiteindelijke antwoord pas af op gehele minuten, zoals gevraagd in de vraagtekst. De eenheid is 'minuten'.

Kernbegrippen: Formules invullen, Rekenen met variabelen

Veelgemaakte fouten:
- Formules voor Wp en Wz verwisselen
- Rekenvolgorde fouten in de noemer
- Vergeten het verschil te berekenen
- Foutief afronden

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2021/tijdvak-1/vraag/11

## Vraag 12 – Opgave 1 (4 punten)

Een andere bekende attractie van Walibi Belgium is de Cobra. Deze attractie heeft een bezettingsgraad van 95% (dus r = 0,95) en een bedieningstijd van 6 seconden per bezoeker (dus S = 6).

De wachttijd van de bezoekers zonder voorsteekpas wordt groter als meer bezoekers een voorsteekpas kopen. De directie van Walibi Belgium wil dat de wachttijd van bezoekers zonder voorsteekpas bij de Cobra maximaal 80 minuten is.
Bereken hoeveel procent van de bezoekers dan maximaal een voorsteekpas mag hebben. Geef je antwoord in één decimaal.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een formule die de wachttijd beschrijft en je moet een onbekende variabele in die formule berekenen. Je zult de gegeven waarden in de formule moeten invullen en de resulterende vergelijking oplossen met je grafische rekenmachine.

Wat moet je kennen: Je moet de betekenis van de variabelen in de formule kennen (r, S, a, Wz) en weten hoe je een vergelijking met één onbekende oplost met je GR. Ook moet je weten hoe je een decimaal getal omzet naar een percentage.

Wat moet je kunnen: Je kunt de juiste formule selecteren en de gegeven waarden correct invullen. Je kunt de vergelijking op de juiste manier invoeren in je GR (bijvoorbeeld als Y1 en Y2) en de intersect-functie gebruiken om de oplossing te vinden. Tot slot kun je het gevonden decimale antwoord omzetten naar een percentage en correct afronden.

Waar op letten: Let goed op welke formule je moet gebruiken. Er zijn vaak meerdere formules voor wachttijden, maar de vraag specificeert 'wachttijd van bezoekers zonder voorsteekpas'.
Vul de gegeven waarden voor r, S en de maximale wachttijd (Wz) correct in de formule in. Een kleine fout hier leidt tot een verkeerde vergelijking.
De variabele 'a' die je berekent, is een decimaal getal. De vraag vraagt om een percentage, dus je moet dit decimale getal vermenigvuldigen met 100%.
Rond je uiteindelijke antwoord af op één decimaal, zoals gevraagd. Let op de afrondingsregels.
Controleer of je GR in de juiste modus staat en of je de vergelijking correct hebt ingevoerd om de intersectie te vinden.

Kernbegrippen: formules toepassen, vergelijking opstellen, vergelijking oplossen met GR, procenten

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerde formule gebruiken (Wp in plaats van Wz).
- Reken- of invoerfouten bij het opstellen van de vergelijking.
- Vergeten het antwoord 'a' (een decimaal getal) om te zetten naar een percentage.
- Onjuist afronden (de vraag vereist afronding op één decimaal).

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2021/tijdvak-1/vraag/12

## Vraag 13 – Opgave 1 (3 punten)

Een andere bekende attractie van Walibi Belgium is de Cobra. Deze attractie heeft een bezettingsgraad van 95% (dus r = 0,95) en een bedieningstijd van 6 seconden per bezoeker (dus S = 6).

Voor de Cobra kan de formule van de wachttijd voor bezoekers zonder voorsteekpas worden herleid tot:
W_z = (5,7)/(0,10 - … a)
3p 13 Geef deze herleiding. Rond het getal dat op de puntjes moet staan niet af.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een formule met variabelen en je moet deze formule herleiden door gegeven waarden te substitueren en de uitdrukking te vereenvoudigen. Het gaat hierbij om algebraïsche vaardigheden.

Wat moet je kennen: Je moet de basisregels van algebra kennen, zoals het substitueren van waarden in een formule, het vermenigvuldigen van breuken en het uitwerken van haakjes.

Wat moet je kunnen: Je kunt de gegeven waarden (r en S) correct invullen in de algemene formule voor W_z. Je kunt de teller en een deel van de noemer correct uitrekenen. Je kunt de haakjes in de noemer correct uitwerken om tot de gevraagde vorm te komen.

Waar op letten: Let goed op de volgorde van bewerkingen (haakjes eerst, dan vermenigvuldigen/delen).
Controleer je rekenwerk zorgvuldig, vooral bij het uitwerken van de haakjes in de noemer. Een veelvoorkomende fout is om 0,10 * (1 - 0,95a) te vereenvoudigen tot 0,10 - 0,95a in plaats van 0,10 - 0,095a.
Zorg ervoor dat je alle stappen van de herleiding duidelijk opschrijft, dit helpt je om overzicht te houden en eventuele fouten te vinden.
Rond de getallen niet af, zoals expliciet in de vraag staat aangegeven. Werk met de exacte waarden.

Kernbegrippen: formules herleiden, substitutie, algebraïsche vaardigheden

Veelgemaakte fouten:
- Reken- of slordigheidsfouten bij het vereenvoudigen van de breuk.
- Incorrect uitwerken van de haakjes in de noemer, bijvoorbeeld 0,10 * (1 - 0,95a) wordt 0,10 - 0,95a in plaats van 0,10 - 0,095a.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2021/tijdvak-1/vraag/13

## Vraag 16 – Opgave 1 (2 punten)

In de steekproef bedroeg het gemiddelde inkomen van een scholier met een bijbaantje 112 euro per maand. De mediaan was 65 euro. In de figuur zie je drie frequentieverdelingen afgebeeld waarvan er één de frequentieverdeling van het inkomen per maand van een scholier met een bijbaantje in de steekproef weergeeft.

figuur
A B C

Welke van de drie frequentieverdelingen is dat? Licht je antwoord toe.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over frequentieverdelingen en de relatie tussen het gemiddelde en de mediaan. Je moet de vorm van een verdeling kunnen herkennen en koppelen aan de gegeven centrummaten.

Wat moet je kennen: Je moet de definities van het gemiddelde en de mediaan kennen. Je moet ook weten hoe de vorm van een frequentieverdeling (symmetrisch, scheef naar links, scheef naar rechts) de relatie tussen het gemiddelde en de mediaan beïnvloedt.

Wat moet je kunnen: Je moet een frequentieverdeling kunnen interpreteren. Je moet uit de vraagtekst de waarden van het gemiddelde en de mediaan halen. Je moet de vormen van de gegeven frequentieverdelingen kunnen analyseren en bepalen of ze symmetrisch, scheef naar links of scheef naar rechts zijn. Vervolgens koppel je de relatie tussen gemiddelde en mediaan aan de juiste verdelingsvorm.

Waar op letten: Let goed op de waarden van het gemiddelde (112 euro) en de mediaan (65 euro). Wat zegt het feit dat het gemiddelde veel hoger is dan de mediaan over de verdeling?
Bedenk dat bij een symmetrische verdeling het gemiddelde en de mediaan (vrijwel) gelijk zijn.
Herken de verschillende vormen van de frequentieverdelingen: welke is symmetrisch, welke is scheef naar links en welke is scheef naar rechts?
Een verdeling is 'scheef naar rechts' als de 'staart' van de verdeling naar rechts wijst (er zijn relatief veel lage waarden en enkele hoge uitschieters). Dit trekt het gemiddelde omhoog.
Een verdeling is 'scheef naar links' als de 'staart' van de verdeling naar links wijst (er zijn relatief veel hoge waarden en enkele lage uitschieters). Dit trekt het gemiddelde omlaag.

Kernbegrippen: frequentieverdeling, gemiddelde, mediaan, symmetrische verdeling, scheve verdeling, centrummaten

Veelgemaakte fouten:
- Het verschil tussen gemiddelde en mediaan niet kennen.
- Niet weten hoe de vorm van een verdeling (symmetrisch, scheef) de relatie tussen gemiddelde en mediaan beïnvloedt.
- Verkeerd interpreteren van de termen 'scheef naar links' en 'scheef naar rechts'.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2021/tijdvak-1/vraag/16

## Vraag 17 – Opgave 1 (2 punten)

Het Nibud wil het inkomen van scholieren met een bijbaantje ook per onderwijsniveau in kaart brengen. Dat hebben ze gedaan door tabel 2 in hun onderzoeksrapport te zetten.

Deze tabel is gebaseerd op scholieren in de steekproef die 15 of 16 jaar zijn.

Leg uit waarom men niet heeft gekozen voor scholieren in de steekproef die 17 of 18 jaar zijn.

Wat kun je verwachten: Je moet uitleggen waarom een specifieke leeftijdsgroep (15- en 16-jarigen) is gekozen voor een onderzoek naar inkomens van scholieren met een bijbaantje, in relatie tot hun onderwijsniveau. Je moet dus de logica achter de onderzoeksopzet begrijpen en kunnen uitleggen.

Wat moet je kennen: Je moet de kernconcepten van een representatieve steekproef en onderzoeksopzet kennen. Je moet begrijpen hoe de leeftijd van scholieren samenhangt met hun onderwijsniveau en klas.

Wat moet je kunnen: Je moet de informatie uit de vraagtekst en tabel 2 kunnen combineren. Je moet een logische redenering kunnen opbouwen waarom de gekozen leeftijdsgroep essentieel is voor het doel van het onderzoek (inkomen per onderwijsniveau in kaart brengen). Je moet kunnen uitleggen waarom een andere leeftijdsgroep (17- en 18-jarigen) minder geschikt zou zijn.

Waar op letten: Let goed op het doel van het onderzoek: het inkomen van scholieren per onderwijsniveau in kaart brengen.
Kijk naar de onderwijsniveaus en klassen die in tabel 2 worden genoemd. Welke klassen zijn vertegenwoordigd?
Bedenk in welke klassen scholieren van 15-16 jaar zitten en in welke klassen scholieren van 17-18 jaar typisch zitten.
Vraag jezelf af of alle onderwijsniveaus en klassen uit de tabel nog goed vertegenwoordigd zouden zijn als je alleen 17- en 18-jarigen zou nemen.
Zorg dat je uitleg specifiek is en de link legt tussen leeftijd, klas/onderwijsniveau en de representativiteit van de steekproef voor het onderzoek.

Kernbegrippen: representativiteit, steekproef, onderzoeksopzet

Veelgemaakte fouten:
- Niet realiseren dat de leeftijdsgroep gekoppeld is aan de onderwijsniveaus/klassen die vergeleken worden.
- Een te algemeen antwoord geven zonder de link met de klassen te leggen.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2021/tijdvak-1/vraag/17

## Vraag 18 – Opgave 1 (5 punten)

Voor het laatste onderdeel van deze opgave kijken we niet naar het inkomen van scholieren, maar naar een aspect van de uitgaven van scholieren. Dit aspect betreft de vraag hoe vaak scholieren spijt hebben na het doen van een aankoop. Van 1200 aselect gekozen respondenten (600 jongens en 600 meisjes) is bekend hoe vaak zij spijt hebben na het doen van een aankoop. De resultaten zijn weergegeven in een relatieve frequentietabel, zie tabel 3.

5p 18 Onderzoek met behulp van het formuleblad of het verschil tussen jongens en meisjes in hoe vaak zij spijt hebben na het doen van een aankoop gering, middelmatig of groot is.

Wat kun je verwachten: Je moet het verschil tussen twee groepen (jongens en meisjes) beoordelen op basis van categorische data. Je gebruikt hiervoor een van de twee methoden die op je formulekaart staan: het maximaal cumulatief percentageverschil (Max V_cp) of de phi-coëfficiënt. Daarna interpreteer je de uitkomst om te bepalen of het verschil gering, middelmatig of groot is.

Wat moet je kennen: Je moet de definities en berekeningswijzen van het maximaal cumulatief percentageverschil en de phi-coëfficiënt kennen. Ook moet je de vuistregels voor de interpretatie van deze maten kennen (wanneer is het verschil gering, middelmatig of groot). Je weet hoe je een cumulatieve frequentietabel opstelt en hoe je percentages omzet naar absolute aantallen als dat nodig is voor de phi-coëfficiënt.

Wat moet je kunnen: Je kunt een cumulatieve relatieve frequentietabel opstellen uit de gegeven relatieve frequentietabel. Je kunt vervolgens de verschillen tussen de cumulatieve percentages berekenen en het maximale verschil bepalen. Als alternatief kun je een 2x2 kruistabel opstellen met absolute aantallen door categorieën samen te voegen en hiermee de phi-coëfficiënt berekenen. Tot slot kun je de berekende waarde correct interpreteren aan de hand van de vuistregels.

Waar op letten: Let goed op welke methode je kiest: Max V_cp werkt met cumulatieve percentages, de phi-coëfficiënt met absolute aantallen in een 2x2 kruistabel.
Als je kiest voor Max V_cp: vergeet niet de percentages eerst cumulatief te maken per groep voordat je de verschillen berekent. Je berekent het verschil tussen de cumulatieve percentages van jongens en meisjes voor elke categorie.
Als je kiest voor de phi-coëfficiënt: je moet de relatieve frequenties omzetten naar absolute aantallen. Let op dat er 600 jongens en 600 meisjes zijn, niet 1200 per groep.
Voor de phi-coëfficiënt moet je de categorieën 'nooit / zelden' en 'meestal niet' samenvoegen, en 'meestal wel' en 'vaak / altijd' samenvoegen om een 2x2 kruistabel te krijgen.
Zorg dat je de juiste interpretatieregels toepast voor de berekende waarde (bijvoorbeeld: Max V_cp < 20% is gering, phi < 0,2 is gering).

Kernbegrippen: verschilmaten, maximaal cumulatief percentageverschil, phi-coëfficiënt, kruistabel, cumulatieve frequentietabel, relatieve frequentietabel

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten de percentages cumulatief te maken voordat het verschil wordt berekend.
- Een rekenfout maken bij het omzetten van percentages naar absolute aantallen (bijvoorbeeld het totale aantal van 1200 gebruiken in plaats van 600 per groep).
- De 2x2 kruistabel voor de phi-coëfficiënt incorrect opstellen door de verkeerde categorieën samen te voegen.
- De interpretatieregels voor Max V_cp (gering < 20%) of phi (gering < 0,2) niet kennen of verkeerd toepassen.

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2021/tijdvak-1/vraag/18

## Vraag 19 – Opgave 1 (4 punten)

Op 1 januari 2010 kostte een postzegel 44 cent. Op 1 januari 2014 was de prijs gestegen tot 64 cent. Veronderstel dat in de periode 2010-2014 de postzegelprijs exponentieel groeide.
Bereken met de bovengenoemde gegevens uit 2010 en 2014 het jaarlijkse groeipercentage van de postzegelprijs. Geef je antwoord in één decimaal.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over exponentiële groei, waarbij je een jaarlijks groeipercentage moet berekenen op basis van twee meetpunten over een langere periode. Je moet de groeifactor over die periode bepalen en deze vervolgens omrekenen naar een jaarlijkse groeifactor en een percentage.

Wat moet je kennen: Je moet het verschil kennen tussen lineaire en exponentiële groei. Je moet weten hoe je een groeifactor berekent over een bepaalde periode en hoe je deze omrekent naar een groeifactor per jaar. Ook moet je weten hoe je een groeifactor omzet naar een groeipercentage.

Wat moet je kunnen: Je kunt de groeifactor over een periode berekenen door de eindwaarde te delen door de beginwaarde. Je kunt deze groeifactor vervolgens omrekenen naar een groeifactor per jaar door de juiste macht te gebruiken. Tot slot kun je de jaarlijkse groeifactor omzetten naar een groeipercentage en dit correct afronden.

Waar op letten: Je berekent eerst de totale groeifactor over de periode van 2010 tot 2014. Let op dat dit een periode van 4 jaar is.
Je moet de totale groeifactor omrekenen naar een jaarlijkse groeifactor. Dit doe je met een macht, niet door te delen.
Je zet de jaarlijkse groeifactor om naar een groeipercentage. Vergeet niet dat een groeifactor van 1,05 een groei van 5% betekent.
Je rondt het uiteindelijke groeipercentage af op één decimaal, zoals gevraagd in de vraag.
Je controleert of je antwoord logisch is in de context van de vraag. Een groeifactor van 1 betekent geen groei, een groeifactor groter dan 1 betekent groei.

Kernbegrippen: exponentiële groei, groeifactor per periode, omrekenen groeifactor naar groeipercentage

Veelgemaakte fouten:
- verwarring exponentiële en lineaire groei
- groeifactor niet omrekenen naar percentage
- verkeerde tijdsperiode

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2021/tijdvak-1/vraag/19

## Vraag 21 – Opgave 1 (2 punten)

In de tabel zie je voor 2015 en 2016 onder andere het aantal bezorgde brieven/kaarten en de bijbehorende opbrengst. Dit is het totale bedrag dat aan postzegels is verkocht dat op al die brieven/kaarten is geplakt. De opbrengst in 2016 was lager dan die in 2015, ondanks de verhoging van de postzegelprijs van € 0,69 naar € 0,73.

Voor het versturen van brieven/kaarten tot 20 gram heb je 1 postzegel nodig. Voor het versturen van brieven/kaarten vanaf 20 gram tot 50 gram moet je 2 postzegels plakken, en vanaf 50 tot 100 gram 3 postzegels. Neem aan dat op alle brieven/kaarten maximaal 3 postzegels zijn geplakt.

21 Leg met behulp van de tabel uit dat op een deel van de brieven/kaarten in 2015 meer dan 1 postzegel moet zijn geplakt.

Wat kun je verwachten: Je moet een logische redenering opzetten en deze onderbouwen met gegevens uit de tabel. Je berekent een hypothetische situatie en vergelijkt die met de werkelijke situatie om je conclusie te trekken.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je gegevens uit een tabel afleest en hoe je deze gebruikt in een berekening. Je moet ook begrijpen wat 'opbrengst' betekent in deze context.

Wat moet je kunnen: Je kunt de relevante gegevens uit de tabel voor 2015 selecteren. Je kunt een berekening uitvoeren om de opbrengst te bepalen als er maar één postzegel per brief/kaart zou zijn. Je kunt deze berekende opbrengst vergelijken met de werkelijke opbrengst en hieruit een geldige conclusie trekken. Je kunt je redenering helder en volledig opschrijven.

Waar op letten: Let goed op de eenheden in de tabel: 'aantal stuks' en 'opbrengst' zijn in miljoenen, terwijl de 'postzegelprijs' in centen staat. Zorg dat je consistent rekent, bijvoorbeeld alles in euro's of alles in centen.
Je moet een 'als-dan'-redenering opzetten. Begin met een aanname (bijvoorbeeld: 'als op alle brieven 1 postzegel zou zitten...').
Vergelijk je berekende waarde met de werkelijke waarde uit de tabel. Het verschil tussen deze twee waarden is cruciaal voor je uitleg.
Zorg dat je conclusie direct volgt uit je berekening en vergelijking. Je moet uitleggen waarom de werkelijke situatie alleen kan kloppen als er meer dan één postzegel is gebruikt.
Toon al je berekeningen duidelijk, ook al zijn ze eenvoudig. Dit is belangrijk voor het verkrijgen van punten.

Kernbegrippen: Tabel aflezen, Contextueel rekenen, Logisch redeneren

Veelgemaakte fouten:
- Eenheden verwarren (centen en euro's)
- Berekening niet tonen
- Onjuiste conclusie trekken uit de berekening

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2021/tijdvak-1/vraag/21

## Vraag 22 – Opgave 1 (3 punten)

Neem aan dat in 2016 op 88% van de brieven/kaarten 1 postzegel werd geplakt en op de overige brieven/kaarten 2 of 3 postzegels.
Je kunt dan met behulp van de tabel de volgende vergelijking opstellen om het aantal brieven/kaarten met 2 postzegels te berekenen:
0,73 ⋅ 1947,44 + 1,46x + 2,19 ⋅ (265,56 - x) = 1877
Hierin is x het aantal brieven/kaarten met 2 postzegels in miljoenen.

22 Leg met berekeningen uit hoe je aan de getallen 1947,44 en 1,46 en 2,19 en 265,56 in deze vergelijking kunt komen.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vergelijking voorgeschoteld en je moet uitleggen hoe de verschillende getallen in die vergelijking zijn berekend. Dit betekent dat je de context en de gegevens uit de bijbehorende tabel goed moet begrijpen en koppelen aan de wiskundige termen.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je percentages berekent en hoe je deze toepast op een totaal aantal. Ook moet je de informatie uit een tabel kunnen halen en correct interpreteren.

Wat moet je kunnen: Je kunt de relevante gegevens uit de tabel en de vraagtekst selecteren. Je kunt percentages omzetten naar decimale getallen en deze gebruiken in berekeningen. Je kunt de betekenis van elk getal in de vergelijking herleiden tot de oorspronkelijke context.

Waar op letten: Je leest de vraag goed: je hoeft de vergelijking NIET op te lossen, maar je moet uitleggen hoe de getallen in de vergelijking tot stand komen.
Je let goed op de eenheden in de tabel en de vraagtekst (miljoenen stuks, miljoenen euro's, centen per postzegel).
Je gebruikt de juiste gegevens uit de tabel, specifiek die van het jaar 2016, zoals het aantal stuks en de postzegelprijs.
Je berekent het aantal brieven/kaarten met 1 postzegel door het gegeven percentage toe te passen op het totale aantal stuks.
Je berekent de kosten voor 2 en 3 postzegels door de postzegelprijs te vermenigvuldigen met het aantal postzegels.

Kernbegrippen: Procenten, Lineaire vergelijking opstellen, Context naar wiskunde vertalen

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerd omgaan met eenheden (miljoenen, euro's, centen)
- Foutief omrekenen van percentage naar groeifactor
- De vraag verkeerd lezen en de vergelijking oplossen in plaats van de getallen verklaren

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2021/tijdvak-1/vraag/22

## Vraag 23 – Opgave 1 (3 punten)

3p 23 Bereken het percentage brieven/kaarten met 2 postzegels in 2016. Geef je antwoord in hele procenten. Let op: de laatste vraag van dit examen staat op de volgende pagina.

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vergelijking die je moet oplossen. De oplossing van deze vergelijking is een aantal, dat je vervolgens moet omrekenen naar een percentage van het totaal.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een lineaire vergelijking oplost en hoe je een percentage berekent. Ook moet je de context van de vraag goed begrijpen, namelijk wat de verschillende onderdelen van de vergelijking voorstellen.

Wat moet je kunnen: Je kunt een lineaire vergelijking met één onbekende oplossen, eventueel met behulp van je grafische rekenmachine. Je kunt een deel van een totaal omrekenen naar een percentage en dit correct afronden.

Waar op letten: Je moet eerst de gegeven vergelijking oplossen om de waarde van 'x' te vinden. Dit is het aantal brieven/kaarten met 2 postzegels in miljoenen.
Let goed op de eenheden: 'x' is in miljoenen. Het totale aantal brieven/kaarten in 2016 (uit de tabel) is ook in miljoenen, dus je kunt deze direct gebruiken voor de percentageberekening.
Voor de percentageberekening gebruik je het totale aantal brieven/kaarten in 2016. Zoek dit getal op in de tabel.
Vergeet niet om je antwoord om te zetten naar een percentage door te vermenigvuldigen met 100%.
Rond je uiteindelijke antwoord af op hele procenten, zoals gevraagd in de vraagtekst.

Kernbegrippen: lineaire vergelijking oplossen, percentage berekenen, contextuele problemen

Veelgemaakte fouten:
- Vergeten om het aantal x om te rekenen naar een percentage
- Foutief afronden (moet op hele procenten)
- Verkeerde totaalwaarde gebruiken voor de percentageberekening

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2021/tijdvak-1/vraag/23

## Vraag 24 – Opgave 1 (6 punten)

6p 24 Onderzoek met behulp van bovenstaande gegevens en aannames met welk percentage de totale emissie van fijnstof door het wegvervoer in 2014 is gedaald ten opzichte van 1990. Geef je antwoord in hele procenten.

Wat kun je verwachten: Je moet de totale fijnstofemissie voor twee verschillende jaren berekenen en vervolgens de procentuele daling bepalen. Dit vereist het combineren van gegevens uit de tekst en het toepassen van zowel lineaire als exponentiële groeimodellen.

Wat moet je kennen: Je moet de formules voor procentuele verandering kennen. Je moet ook weten hoe je een lineaire afname en een exponentiële afname berekent. Begrijp het verschil tussen een groeifactor en een percentage.

Wat moet je kunnen: Je moet de benodigde gegevens uit de vraagtekst en eventuele bijlagen kunnen halen. Je moet de emissie voor personen- en goederenvervoer apart kunnen berekenen voor 1990 en 2014. Je moet de totale emissie voor beide jaren kunnen optellen. Tot slot moet je de procentuele daling correct kunnen berekenen en afronden.

Waar op letten: Bereken eerst de totale emissie voor het startjaar (1990) en het eindjaar (2014) afzonderlijk. Dit zijn twee belangrijke tussenstappen.
Let goed op de tijdsduur: van 1990 tot 2014 zijn er 24 jaar verstreken, niet 25. Dit is cruciaal voor de exponentiële en lineaire berekeningen.
Voor het personenvervoer is er sprake van een lineaire afname per jaar. Voor het goederenvervoer is er een procentuele afname per jaar, wat een exponentieel model betekent. Zorg dat je de juiste groeifactor gebruikt (bijvoorbeeld 9% afname betekent een groeifactor van 0,91).
Gebruik de formule voor procentuele verandering correct: ((oud - nieuw) / oud) * 100%.
Rond pas aan het einde van de berekening af op hele procenten. Tussentijds afronden kan leiden tot een onnauwkeurig eindantwoord.

Kernbegrippen: Procentuele verandering, Lineair model, Exponentieel model, Samengestelde berekening

Veelgemaakte fouten:
- Verkeerde tijdsduur (25 ipv 24 jaar)
- Fout in lineaire afname berekening
- Fout in exponentiële afname berekening (groeifactor 0.09 ipv 0.91)
- Verkeerde formule voor procentuele verandering
- Tussentijds afronden

Meer: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2021/tijdvak-1/vraag/24

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Opgave 1

Wat kun je verwachten: Je krijgt een tekst over gezichtsscherpte (visus) en een tabel die de Snellenkaart voorstelt. Je moet informatie uit de tekst en de tabel combineren om de scores van twee personen te bepalen en vervolgens een verhouding te berekenen.

Wat moet je kennen: Je moet begrijpen hoe je informatie uit een tabel afleest en hoe je deze relateert aan de beschrijving in de tekst. Je moet ook snappen hoe verhoudingen werken en wat 'keer zo dichtbij' betekent in deze context.

Wat moet je kunnen: Je moet de juiste scores voor Klaas en Lidy uit de tabel aflezen op basis van de gegeven regels die ze wel/niet kunnen lezen. Vervolgens moet je de betekenis van de S-score interpreteren om te bepalen hoe je de verhouding berekent die aangeeft hoeveel keer dichterbij de ene persoon moet staan dan de andere. Je berekent deze verhouding correct.

Waar op letten: Lees de tekst heel nauwkeurig om te bepalen welke regel bij welke persoon hoort. Let op de woorden 'nog wel lezen' en 'niet meer'.
Gebruik de tabel om de bijbehorende S-score (de breuk) voor Klaas en Lidy te vinden. Schrijf deze scores duidelijk op.
Interpreteer de betekenis van de S-score: de tekst legt uit wat een hogere of lagere S-score betekent voor de kijkafstand. Dit is cruciaal voor de uiteindelijke verhouding.
Denk goed na over de vraag: 'hoeveel keer dichterbij moet Klaas staan dan Lidy'. Dit betekent dat je de scores in de juiste volgorde moet delen om de correcte verhouding te krijgen.
Zorg ervoor dat je antwoord de juiste eenheid heeft, namelijk 'keer zo dichtbij'.

### Vraag 2 – Opgave 1

Wat kun je verwachten: Je krijgt een context over gezichtsscherpte (visus) en een formule die de score S relateert aan een andere variabele M. Je moet deze formule gebruiken om M te berekenen voor gegeven S-waarden.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je een exponentiële vergelijking oplost met behulp van logaritmen. Specifiek, hoe je een vergelijking van de vorm a = b^x omzet naar x = log_b(a) of met de log-knop op je GR.

Wat moet je kunnen: Je moet de gegeven S-waarden correct invullen in de formule. Vervolgens moet je de vergelijking die ontstaat, oplossen voor M met behulp van je grafische rekenmachine. Je moet ook correct afronden.

Waar op letten: Je moet de juiste S-waarden uit de tekst halen die horen bij Klaas en Lidy.
Je vult de S-waarden in de formule S = 10^-M in.
Je moet de exponentiële vergelijking die ontstaat, oplossen voor M. Denk eraan dat 10^-M hetzelfde is als 1/(10^M).
Je kunt de logaritme gebruiken om de vergelijking op te lossen. Als S = 10^-M, dan is -M = log(S).
Let goed op het minteken voor de M bij het oplossen van de vergelijking.
Rond je antwoord af op het gevraagde aantal decimalen.

### Vraag 3 – Opgave 1

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over gezichtsscherpte (visus) en verschillende manieren om dit te meten. Je moet een gegeven formule gebruiken om een score te berekenen en deze score vervolgens interpreteren in de context van een keuringseis.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe je exponentiële formules gebruikt en hoe je waarden invult (substitueert) in een formule. Ook moet je begrijpen hoe je een berekende waarde vergelijkt met een grenswaarde om een conclusie te trekken.

Wat moet je kunnen: Je kunt de juiste formule kiezen uit de gegeven formules. Je kunt de ETDRS-letterscore (E) correct invullen in formule 2. Je kunt de berekening nauwkeurig uitvoeren met je grafische rekenmachine. Tot slot kun je de berekende visusscore (S) vergelijken met de keuringseis en een duidelijke conclusie formuleren.

Waar op letten: Let goed op welke formule je moet gebruiken. Er zijn twee formules gegeven, maar slechts één is relevant voor de ETDRS-letterscore.
Zorg ervoor dat je de juiste waarde voor E (ETDRS-letterscore) invult in de formule. Deze waarde vind je in de vraagtekst.
Voer de berekening van de exponent (E-85)/50 nauwkeurig uit, eventueel in stappen, om rekenfouten te voorkomen.
Rond je antwoord pas op het einde af, maar gebruik tussendoor voldoende decimalen voor de nauwkeurigheid.
Vergeet niet de uiteindelijke conclusie te trekken: wordt Janne wel of niet goedgekeurd? Dit is vaak een belangrijk onderdeel van de vraag.

### Vraag 4 – Opgave 1

Wat kun je verwachten: Je krijgt twee formules die de gezichtsscherpte beschrijven met verschillende maten (S, M en E). Je moet uitleggen hoe een verandering in de ene maat (M) uiteindelijk een andere maat (E) beïnvloedt, door de formules te interpreteren.

Wat moet je kennen: Je moet weten hoe exponentiële functies werken en hoe een negatieve exponent de uitkomst beïnvloedt. Ook moet je begrijpen hoe je verbanden tussen variabelen in formules kunt redeneren.

Wat moet je kunnen: Je kunt de gegeven formules S = 10^-M en S = 10^((E-85)/50) interpreteren. Je kunt een logische redenering opbouwen die de keten van oorzaak en gevolg volgt, beginnend bij een verandering in M en eindigend bij de impact op E.

Waar op letten: Je moet de relatie tussen de variabelen M, S en E begrijpen. Hoe beïnvloedt een verandering in de ene variabele de andere?
Let goed op de mintekens in de exponenten. Een minteken kan de richting van het verband omdraaien.
Je moet de redenering stap voor stap opbouwen. Begin bij de gegeven verandering (M wordt groter) en werk via S naar E.
Gebruik geen getallenvoorbeelden, tenzij dit expliciet gevraagd wordt. Je moet de algemene relatie uitleggen.
Zorg ervoor dat je uitleg logisch en volledig is, zodat duidelijk wordt hoe de ene verandering de andere veroorzaakt.

### Vraag 5 – Opgave 1

Wat kun je verwachten: Je krijgt twee formules die een verband beschrijven tussen verschillende maten voor gezichtsscherpte. Je moet deze formules combineren en herschrijven om een nieuwe formule af te leiden. Dit vereist inzicht in hoe je exponentiële vergelijkingen kunt manipuleren en algebraïsche stappen correct uitvoert.

Wat moet je kennen: Je moet de eigenschappen van machten en exponenten kennen. Ook moet je weten hoe je een vergelijking stap voor stap kunt herschrijven om een variabele te isoleren. Dit omvat het correct toepassen van bewerkingen (optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen) aan beide zijden van de vergelijking.

Wat moet je kunnen: Je moet de twee gegeven formules aan elkaar gelijk kunnen stellen, omdat ze beide de score S uitdrukken. Vervolgens moet je de exponentiële termen kunnen elimineren door de inverse bewerking toe te passen. Daarna isoleer je de variabele E door middel van algebraïsche stappen, zoals het wegwerken van breuken en het verplaatsen van termen naar de andere kant van het gelijkteken.

Waar op letten: Let goed op de mintekens en plustekens bij het verplaatsen van termen. Een term die je naar de andere kant van het gelijkteken verplaatst, verandert van teken.
Als je een breuk wilt wegwerken, vermenigvuldig je beide zijden van de vergelijking met de noemer van de breuk.
Zorg ervoor dat je alle stappen nauwkeurig en systematisch uitvoert om rekenfouten te voorkomen.
Controleer na elke stap of de vergelijking nog steeds klopt en of je de juiste algebraïsche regels hebt toegepast.
Het doel is om E uit te drukken in M, dus E moet uiteindelijk alleen aan één kant van het gelijkteken staan.

### Vraag 14 – Opgave 1

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over het berekenen van een betrouwbaarheidsinterval voor een populatieproportie. Je moet de juiste formule toepassen en nauwkeurig rekenen.

Wat moet je kennen: Je moet de formule voor het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor een populatieproportie kennen. Ook moet je weten wat een steekproefproportie en een populatieproportie zijn.

Wat moet je kunnen: Je kunt de steekproefproportie berekenen. Je kunt de formule voor het betrouwbaarheidsinterval correct invullen en de grenzen berekenen. Je rondt de getallen in je antwoord correct af op twee decimalen en geeft het interval in de juiste notatie.

Waar op letten: Je berekent eerst de steekproefproportie (p-dakje) door het aantal scholieren met een bijbaantje te delen door het totale aantal scholieren in de steekproef.
Je gebruikt de vuistregel voor het 95%-betrouwbaarheidsinterval: p-dakje ± 2 * sqrt((p-dakje * (1 - p-dakje)) / n).
Je let goed op de afronding: de getallen in je antwoord moeten in twee decimalen worden gegeven.
Je geeft je antwoord in de correcte intervalnotatie, bijvoorbeeld [ondergrens; bovengrens].
De tabel met gemiddeld aantal uren is afleidende informatie; je gebruikt deze niet voor deze specifieke vraag.

### Vraag 15 – Opgave 1

Wat kun je verwachten: Je moet twee manieren beschrijven om het verschil tussen twee groepen te vergelijken, specifiek havo bovenbouw en vwo bovenbouw, op basis van het aantal gewerkte uren. Je moet ook aangeven welke extra informatie je nodig hebt voor elke methode.

Wat moet je kennen: Je moet de verschillende statistische methoden kennen om groepen te vergelijken, zoals de effectgrootte, het vergelijken van boxplots, en het maximale cumulatieve percentageverschil. Je moet ook weten welke statistische maten bij deze methoden horen, zoals standaardafwijking, kwartielen, en frequentieverdelingen.

Wat moet je kunnen: Je moet de juiste statistische methoden kunnen selecteren die geschikt zijn voor het vergelijken van groepen. Je moet ook kunnen bepalen welke specifieke data (zoals standaardafwijking, kwartielen, of frequentietabellen) nodig zijn om deze methoden toe te passen, verdergaand dan alleen het gemiddelde.

Waar op letten: Je moet twee verschillende manieren beschrijven, niet slechts één.
Voor elke manier moet je expliciet aangeven welke *extra* informatie je nodig hebt, naast de gemiddelden die al in tabel 1 staan.
Denk goed na over welke statistische maten (zoals standaardafwijking, kwartielen) horen bij welke vergelijkingsmethode (zoals effectgrootte, boxplots).
De vraag vraagt om methoden die je met behulp van het formuleblad kunt toepassen, dus denk aan de concepten die daarop staan.
Let op dat de gemiddelden uit de tabel alleen niet voldoende zijn om een diepgaande uitspraak te doen over het *verschil* tussen de groepen; je hebt meer spreidingsmaten of verdelingsinformatie nodig.

### Vraag 20 – Opgave 1

Wat kun je verwachten: Je krijgt een vraag over een lineaire afname van het aantal brieven/kaarten. Je moet gegevens uit een grafiek aflezen en daarmee een voorspelling doen voor de toekomst (extrapoleren).

Wat moet je kennen: Je moet weten wat een lineaire afname betekent en hoe je de afname per jaar berekent. Je moet ook begrijpen hoe je een trend doortrekt naar de toekomst.

Wat moet je kunnen: Je moet nauwkeurig waarden kunnen aflezen uit een grafiek. Je moet de richtingscoëfficiënt (de afname per jaar) kunnen berekenen. Daarna moet je deze afname gebruiken om een toekomstige waarde te voorspellen. Je moet ook correct afronden op het gevraagde aantal decimalen.

Waar op letten: Lees de waarden voor 2010 en 2016 heel precies af uit de grafiek. Er is een kleine marge toegestaan, maar probeer zo nauwkeurig mogelijk te zijn.
Bereken de afname per jaar. Let goed op het aantal jaren tussen 2010 en 2016. Is dit 6 of 7 jaar?
Bepaal het aantal jaren dat je de trend moet doortrekken vanaf 2016 naar 2020. Dit is niet hetzelfde als het totale aantal jaren vanaf 2010.
Voer de berekening stap voor stap uit en gebruik de niet-afgeronde waarde van de afname per jaar in je vervolgberekening om afrondingsfouten te voorkomen.
Rond je eindantwoord pas op het allerlaatste moment af op één decimaal en vermeld de juiste eenheid (miljard brieven/kaarten).

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen HAVO
2021
tijdvak 1
woensdag 26 mei
13.30 - 16.30 uur
wis kunde A
Dit examen bestaat uit 24 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 81 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald
kunnen worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Geeft niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
HA-1024-a-21-1-o

### Pagina 2

FORMULEBLAD
Vuistregels voor de grootte van het verschil van twee groepen

2×2 kruistabel
$
(\begin{array}{cc}a & b \\ c & d\end{array})$
met $phi = \frac{ad-bc}{\sqrt{(a+b)(a+c)(b+d)(c+d)}}$

– als $phi < -0,4$ of $phi > 0,4$, dan zeggen we "het verschil is groot",
– als $-0,4 \le phi < -0,2$ of $0,2 < phi \le 0,4$, dan zeggen we "het verschil is
middelmatig",
– als $-0,2 \le phi \le 0,2$, dan zeggen we "het verschil is gering".

Maximaal verschil in cumulatief percentage (max $V_{cp}$) (met voor beide
groepen een steekproefomvang $n > 100$)

– als max $V_{cp} > 40$, dan zeggen we "het verschil is groot",
– als $20 < max V_{cp} \le 40$, dan zeggen we "het verschil is middelmatig",
– als max $V_{cp} \le 20$, dan zeggen we "het verschil is gering".

Effectgrootte $E = \frac{\overline{X_1} - \overline{X_2}}{\frac{1}{2}(S_1 + S_2)}$ met $\overline{X_1}$ en $\overline{X_2}$ de steekproefgemiddelden
($\overline{X_1} \ge \overline{X_2}$), $S_1$ en $S_2$ de steekproefstandaardafwijkingen

– als $E > 0,8$, dan zeggen we "het verschil is groot",
– als $0,4 < E \le 0,8$, dan zeggen we "het verschil is middelmatig",
– als $E \le 0,4$, dan zeggen we "het verschil is gering".

Twee boxplots vergelijken

– als de boxen¹ niet elkaar overlappen, dan zeggen we "het verschil is
groot",
– als de boxen elkaar wel overlappen en een mediaan van een boxplot
buiten de box van de andere boxplot ligt, dan zeggen we "het verschil is
middelmatig",
– in alle andere gevallen zeggen we "het verschil is gering".

noot 1 De 'box' is het interval vanaf het eerste kwartiel tot en met het derde kwartiel.

HA-1024-a-21-1-0
2/16
lees verder ►►►

### Pagina 3

Betrouwbaarheidsintervallen
Het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de populatieproportie is
$p \pm 2\cdot \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$, met $p$ de steekproefproportie en $n$ de steekproefomvang.
Het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het populatiegemiddelde is
$\bar{X} \pm 2\cdot \frac{S}{\sqrt{n}}$, met $\bar{X}$ het steekproefgemiddelde, $n$ de steekproefomvang en
$S$ de steekproefstandaardafwijking.
HA-1024-a-21-1-o
3 / 16
lees verder ► ► ►

### Pagina 4

Visus
Om te bepalen hoe goed iemands ogen functioneren, wordt vaak
gebruikgemaakt van de Snellenkaart. De letters op deze kaart moeten
vanaf een afstand van 20 feet (ongeveer 6 meter) worden gelezen.
Zie de figuur.
figuur
1
20/200
2
20/100
3
20/70
4
20/50
5
20/40
6
20/30
7
20/25
8
20/20
9
20/15
10
20/13
11
20/10
De visus is een maat voor de gezichtsscherpte. Deze maat kan met
behulp van de Snellenkaart worden uitgedrukt in een score S. Iemand met
normaal functionerende ogen kan de letters op regel 8 nog wel lezen,
maar de letters op regel 9 niet meer. Bij normaal functionerende ogen
hoort een score $S=\frac{20}{20}=1$. Als een persoon nog kleinere letters kan
lezen, dan is de score S groter dan 1. Bij de onderste regel 11 hoort
bijvoorbeeld de score $S=\frac{20}{10}=2$.
Iemand met $S=0,5$ moet alles van tweemaal zo dichtbij bekijken om
hetzelfde op de Snellenkaart te kunnen zien als iemand met $S=1$.
Iemand met $S=0,1$ moet tienmaal zo dichtbij staan, enzovoort.
Klaas en Lidy laten hun visus meten. Klaas kan regel 2 nog wel lezen,
maar regel 3 niet meer. Lidy kan regel 7 nog wel lezen, maar regel 8 niet
meer.
3p
1
Bereken hoeveel keer zo dicht Klaas bij de Snellenkaart moet staan als
Lidy om hetzelfde te kunnen lezen als Lidy.
HA-1024-a-21-1-o
4/16
lees verder

### Pagina 5

Er zijn meerdere maten voor de gezichtsscherpte. Voorbeelden hiervan
zijn de logMAR-schaal¹) en de ETDRS-letterscore²).
Het verband tussen de score S volgens de Snellenkaart en de score M op
de logMAR-schaal wordt gegeven door formule 1. Voor het verband
tussen de score S en de ETDRS-letterscore E geldt formule 2:
$S = 10^{-M}$ (formule 1)
$S = 10^{\frac{E-85}{50}}$ (formule 2)
De Wereldgezondheidsorganisatie noemt mensen met een score S tussen
0,05 en 0,3 slechtziend.
Welke scores van M op de logMAR-schaal komen overeen met de scores
$S = 0,05$ en $S = 0,3$? Geef je antwoorden in één decimaal.
3p
2
Het Centraal Bureau Rijvaardigheidsbewijzen (CBR) stelt als keuringseis
dat S minimaal 0,5 moet zijn. Janne heeft een ETDRS-letterscore van 75.
Wordt Janne goedgekeurd door het CBR? Licht je antwoord toe met een
berekening.
3p
3
Aan de hand van formule 1 en formule 2 kan beredeneerd worden dat als
M groter wordt, E kleiner zal worden.
Geef deze redenering, zonder gebruik te maken van getallenvoorbeelden.
3p
4
Door de twee formules te combineren, kan het volgende verband tussen
M en E worden afgeleid:
$-M = \frac{E-85}{50}$
Leid hieruit een formule af waarbij E wordt uitgedrukt in M.
3p
5
noot 1 logMAR = Logarithm of the Minimum Angle of Resolution
noot 2 ETDRS = Early Treatment Diabetic Retinopathy Study
HA-1024-a-21-1-o
5 / 16

### Pagina 6

Klarinet
Een klarinet is een houten
blaasinstrument. Alle mogelijke
tonen die op het instrument kunnen
worden gespeeld, worden samen het
bereik genoemd. Het bereik van een
klarinet is bijna vier octaven. Een
octaaf bestaat uit 12 opeenvolgende
toonafstanden. Zie de tabel.
Elke voorafgaande of opeenvolgende octaaf heeft dezelfde namen voor
de tonen in dat octaaf.
De frequentie van een toon wordt gegeven in hertz (Hz), dit is het aantal
trillingen per seconde. Bij een hogere toon hoort een hogere frequentie.
Als je eenzelfde toon één octaaf hoger speelt, wordt de frequentie twee
keer zo groot. Er bestaat een exponentieel verband tussen de frequenties
en de tonen in de tabel: van elke volgende toon neemt de frequentie met
een vast percentage toe. In de tabel zie je van enkele tonen de
frequenties.
tabel Voorbeeld van een octaaf
toon
frequentie
(Hz)
A
440
Bes
B
C
Des
587
D
Es
E
F
Ges
G
As
A
880
4p
6
In de tabel is de frequentie van de D-toon afgerond op hele Hz.
Bereken op basis van de frequenties van de A-tonen uit de tabel de
frequentie van de D-toon. Geef je antwoord in één decimaal.
In de figuur wordt op een logaritmische schaalverdeling het bereik van
verschillende instrumenten aangegeven.
figuur
triangel
piano
piccolo
fluit
klarinet
contra
hoorn
trompet
fagot
10
100
1000
10000
→ frequentie (Hz)
HA-1024-a-21-1-o
6/16
lees verder

### Pagina 7

De laagste toon die een klarinet kan laten horen is een D. De hoogste toon is een A.
3p 7 Bereken aan de hand van bovenstaande gegevens, de tabel en de figuur
de laagste en de hoogste frequentie die een klarinet kan bereiken. Geef je
antwoorden in een geheel aantal Hz.
Een klarinettist moet altijd eerst een korte tijd inspelen om de klarinet op
een vaste temperatuur van 31 °C te brengen. Als de klarinet koud is,
klinken de tonen namelijk lager dan als de klarinet warm is. Dit komt
omdat de snelheid van het geluid afhankelijk is van de temperatuur. Dit
verband wordt gegeven door de formule:
$v=20\sqrt{273+T}$
Hierin is $v$ de snelheid van het geluid (in m/s) en $T$ de temperatuur (in °C).
Met de formule kun je bijvoorbeeld berekenen dat bij een temperatuur van
20 °C de snelheid van het geluid ongeveer 342 m/s is. Bij een
temperatuur van 31 °C is deze snelheid ongeveer 349 m/s.
4p 8 Bereken hoeveel graden de temperatuur moet toenemen om de snelheid
van het geluid te laten stijgen van 339 m/s naar 349 m/s. Geef je
antwoord in een geheel aantal graden.
Een toon van de klarinet is te horen als er lucht in de klarinetbuis in trilling
gebracht wordt. Door tijdens het spelen gaatjes in de klarinetbuis open of
dicht te doen, verandert de lengte $L$ van het gedeelte van de klarinetbuis
waarin de lucht trilt. De frequentie van een toon die op een klarinet
gespeeld wordt, kun je berekenen met de formule:
$f = \frac{v}{4L}$
Hierin is $f$ de frequentie van de toon (in Hz), $v$ de snelheid van het geluid
in de klarinet (in m/s) en $L$ de lengte van het gedeelte van de klarinetbuis
waarin de lucht trilt (in m).
Als speelt op haar klarinet met de eerder genoemde temperatuur van
31 °C een toon die klinkt met een frequentie van precies 440 Hz. Deze
toon had bij het begin van het inspelen op de klarinet met een
temperatuur van 20 °C een andere frequentie dan nu de klarinet een
temperatuur van 31 °C heeft.
3p 9 Bereken deze frequentie. Geef je antwoord in een geheel aantal Hz.
HA-1024-a-21-1-o
7 / 16
lees verder

### Pagina 8

De voorsteekpas 1)
In de zomermaanden worden pretparken druk bezocht. De wachttijden
voor de attracties kunnen dan sterk oplopen. De wachttijd voor een
attractie kan berekend worden met de formule:
W =
2(1-r)
Hierin is W de gemiddelde wachttijd van een
willekeurige bezoeker in minuten en r de
bezettingsgraad van de attractie (0 < r < 1).
Als voor de bezettingsgraad bijvoorbeeld geldt
dat r = 0,85, betekent dit dat gemiddeld 85% van
de plaatsen in de attractie bezet is.
S is de bedieningstijd per bezoeker in seconden.
Als bijvoorbeeld een attractie elke 10 minuten
100 bezoekers kan bedienen, geldt:
600 seconden
S = 6 (
100 bezoekers
). 
In Walibi Belgium is de achtbaan Vampire een populaire attractie, die in
de zomermaanden een bezettingsgraad van 98% heeft. De Vampire kan
iedere vier minuten 80 bezoekers bedienen.
3p 10 Bereken hoeveel minuten de gemiddelde wachttijd van een bezoeker voor
de Vampire in de zomermaanden is.
In de zomer van 2013 introduceerde Walibi Belgium een zogenoemde
voorsteekpas. Met deze pas kan een bezoeker voorrang krijgen bij de
attracties. Daardoor zal de wachttijd voor een bezoeker zonder deze pas
langer worden.
Er zijn nu twee formules voor de wachttijd voor een attractie, namelijk een
formule voor de gemiddelde wachttijd W
p
in minuten van een bezoeker
met de voorsteekpas en een formule voor de gemiddelde wachttijd W,
minuten van een bezoeker zonder voorsteekpas:
Z
W
r.S
2(1-a-r)
en W
= r.S
2(1-r)(1-a.r)
Hierin is a het gedeelte van de bezoekers met een voorsteekpas
(0 < a < 1).
noot 1 'Voorsteken' is een Vlaams woord voor 'inhaken, voordringen'.
HA-1024-a-21-1-o
8/16
lees verder

### Pagina 9

Een andere bekende attractie van Walibi Belgium is de Cobra. Deze attractie heeft een bezettingsgraad van 95% (dus r = 0,95) en een bedieningstijd van 6 seconden per bezoeker (dus S = 6).

Op 6 juli 2013 kocht 10% van de bezoekers een voorsteekpas, dus
a = 0,10.
4p 11 Bereken voor deze dag het verschil in wachttijd bij de Cobra tussen
bezoekers zonder voorsteekpas en bezoekers met voorsteekpas. Geef je
antwoord in gehele minuten.

De wachttijd van de bezoekers zonder voorsteekpas wordt groter als meer
bezoekers een voorsteekpas kopen.
De directie van Walibi Belgium wil dat de wachttijd van bezoekers zonder
voorsteekpas bij de Cobra maximaal 80 minuten is.
4p 12 Bereken hoeveel procent van de bezoekers dan maximaal een
voorsteekpas mag hebben. Geef je antwoord in één decimaal.

Voor de Cobra kan de formule van de wachttijd voor bezoekers zonder
voorsteekpas worden herleid tot:
5,7
Wz= 0,10-a
3p 13 Geef deze herleiding. Rond het getal dat op de puntjes moet staan niet af.

HA-1024-a-21-1-o
9/16
lees verder

### Pagina 10

Nibud Scholierenonderzoek
Het Nibud Scholierenonderzoek brengt het financiële gedrag van
scholieren in het voortgezet onderwijs in kaart.
De populatie van dit onderzoek bestaat uit alle vmbo-, havo- en vwo-
scholieren in de leeftijd van 12 tot en met 18 jaar. Van een aselecte
steekproef van 3260 scholieren uit de populatie zijn gegevens
beschikbaar gekomen via online vragenlijsten. We gaan ervan uit dat
deze steekproef representatief is.
3p 14 1530 scholieren in de steekproef hebben een bijbaantje.
Bereken het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de populatieproportie
scholieren met een bijbaantje. Geef de getallen in je antwoord in twee
decimalen.
In het rapport staat een tabel met informatie over het gemiddeld aantal
uren per week dat een scholier met een bijbaantje werkt (zie tabel 1).
tabel 1 Bijbaan: gemiddeld aantal uren per week
onderwijsniveau en klas
bijbaan (uren per week)
vmbo bovenbouw (klas 3 en 4)
9
havo / vwo (klas 3)
6
havo bovenbouw (klas 4 en 5)
8
vwo bovenbouw (klas 4, 5 en 6)
6
Als je met behulp van het formuleblad een uitspraak wilt doen over het
verschil tussen het bovenbouwscholieren met een bijbaantje en vwo
bovenbouwscholieren met een bijbaantje in het aantal uren dat zij werken,
dan heb je meer informatie of misschien wel heel andere informatie nodig
dan die in tabel 1 staat.
4p 15 Beschrijf twee manieren om met behulp van het formuleblad een uitspraak te
doen over dit verschil tussen deze twee groepen, en geef voor beide
manieren aan welke informatie je dan (extra) nodig hebt.
HA-1024-a-21-1-o
10 / 16
lees verder

### Pagina 11

In de steekproef bedroeg het gemiddelde inkomen van een scholier met
een bijbaantje 112 euro per maand. De mediaan was 65 euro. In de figuur
zie je drie frequentieverdelingen afgebeeld waarvan er één de
frequentieverdeling van het inkomen per maand van een scholier met een
bijbaantje in de steekproef weergeeft.
figuur
A
B
C
2p 16 Welke van de drie frequentieverdelingen is dat? Licht je antwoord toe.
Het Nibud wil het inkomen van scholieren met een bijbaantje ook per
onderwijsniveau in kaart brengen. Dat hebben ze gedaan door tabel 2 in
hun onderzoeksrapport te zetten.
tabel 2 Bijbaan: inkomen (in euro) per maand van 15- en 16-jarigen
onderwijsniveau en klas
gemiddelde
mediaan
vmbo bovenbouw (klas 3 en 4)
149
107
havo / vwo (klas 3)
93
65
havo bovenbouw (klas 4 en 5)
181
142
vwo bovenbouw (klas 4, 5 en 6)
130
101
Deze tabel is gebaseerd op scholieren in de steekproef die 15 of 16 jaar
zijn.
2p 17 Leg uit waarom men niet heeft gekozen voor scholieren in de steekproef
die 17 of 18 jaar zijn.
HA-1024-a-21-1-0
11 / 16
lees verder

### Pagina 12

Voor het laatste onderdeel van deze opgave kijken we niet naar het
inkomen van scholieren, maar naar een aspect van de uitgaven van
scholieren. Dit aspect betreft de vraag hoe vaak scholieren spijt hebben
na het doen van een aankoop. Van 1200 aselect gekozen respondenten
(600 jongens en 600 meisjes) is bekend hoe vaak zij spijt hebben na het
doen van een aankoop. De resultaten zijn weergegeven in een relatieve
frequentietabel, zie tabel 3.
tabel 3 Spijt na het doen van een aankoop
jongens
meisjes
totaal
nooit / zelden
16%
8%
12%
meestal niet
65%
61%
63%
meestal wel
19%
29%
24%
vaak / altijd
0%
2%
1%
5p 18
Onderzoek met behulp van het formuleblad of het verschil tussen jongens
en meisjes in hoe vaak zij spijt hebben na het doen van een aankoop
gering, middelmatig of groot is.
HA-1024-a-21-1-o
12/16
lees verder

### Pagina 13

Ga verder op de volgende pagina.

HA-1024-a-21-1-o
13/16
lees verder ‣►►

### Pagina 14

Postzegels
Mensen sturen steeds minder brieven en kaarten. Postzegels zijn in
Nederland de afgelopen jaren flink duurder geworden. Elk jaar op
1 januari wordt de prijs zo nodig aangepast.
In de figuur zie je de postzegelprijs (in centen) en het aantal
brieven/kaarten (in miljarden) dat bezorgd werd in de jaren 2005-2016.
figuur
8
brieven/kaarten
(miljard)
7
6
5
4
39 ct
3
2
2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016
73 ct
69 ct
64 ct
54 ct
50 ct
46 ct
44 ct
44 ct
Je kunt in de figuur bijvoorbeeld aflezen dat op 1 januari 2007 de
postzegelprijs 44 cent was en dat er in het jaar 2007 4,8 miljard
brieven/kaarten werden bezorgd.
Op 1 januari 2010 kostte een postzegel 44 cent. Op 1 januari 2014 was de
prijs gestegen tot 64 cent. Veronderstel dat in de periode 2010-2014 de
postzegelprijs exponentieel groeide.
4p 19 Bereken met de bovengenoemde gegevens uit 2010 en 2014 het jaarlijkse
groeipercentage van de postzegelprijs. Geef je antwoord in één decimaal.
HA-1024-a-21-1-o
14 / 16
lees verder

### Pagina 15

In de periode 2010-2016 nam het aantal brieven/kaarten dat jaarlijks werd
bezorgd bij benadering lineair af. Er werd in 2016 voorspeld dat deze
afname zich nog een aantal jaren op deze manier zou voortzetten.
4p 20 Bereken met de aantallen uit 2010 en 2016 hoeveel miljard
brieven/kaarten er in 2020 volgens deze voorspelling bezorgd zouden
worden. Geef je antwoord in één decimaal.
In de tabel zie je voor 2015 en 2016 onder andere het aantal bezorgde
brieven/kaarten en de bijbehorende opbrengst. Dit is het totale bedrag dat
aan postzegels is verkocht dat op al die brieven/kaarten is geplakt. De
opbrengst in 2016 was lager dan die in 2015, ondanks de verhoging van
de postzegelprijs van € 0,69 naar € 0,73.
tabel
jaar
aantal stuks
(in miljoenen)
opbrengst
(in miljoenen euro's)
postzegelprijs
(cent)
2015
2401
1961
69
2016
2213
1877
73
Voor het versturen van brieven/kaarten tot 20 gram heb je 1 postzegel
nodig. Voor het versturen van brieven/kaarten vanaf 20 gram tot 50 gram
moet je 2 postzegels plakken, en vanaf 50 tot 100 gram 3 postzegels.
Neem aan dat op alle brieven/kaarten maximaal 3 postzegels zijn geplakt.
2p 21 Leg met behulp van de tabel uit dat op een deel van de brieven/kaarten in
2015 meer dan 1 postzegel moet zijn geplakt.
Neem aan dat in 2016 op 88% van de brieven/kaarten 1 postzegel werd
geplakt en op de overige brieven/kaarten 2 of 3 postzegels.
Je kunt dan met behulp van de tabel de volgende vergelijking opstellen
om het aantal brieven/kaarten met 2 postzegels te berekenen:
0,73 · 1947,44 + 1,46 · x + 2,19 · (265,56 – x) = 1877
Hierin is x het aantal brieven/kaarten met 2 postzegels in miljoenen.
3p 22 Leg met berekeningen uit hoe je aan de getallen 1947,44 en 1,46 en 2,19
en 265,56 in deze vergelijking kunt komen.
3p 23 Bereken het percentage brieven/kaarten met 2 postzegels in 2016. Geef
je antwoord in hele procenten.
Let op: de laatste vraag van dit examen staat op de volgende pagina.
HA-1024-a-21-1-o
15 / 16
lees verder

### Pagina 16

Fijnstofemissie
In het rapport Transport en Mobiliteit
2016 van het Centraal Bureau voor de
Statistiek staat informatie over de
fijnstofemissie (dit is de hoeveelheid
fijnstof die vrijkomt) door het vervoer
over de weg, uitgesplitst naar
personenvervoer en goederenvervoer.
Deze hoeveelheid wordt bepaald
door het aantal gereden kilometers
te vermenigvuldigen met de
fijnstofemissie per gereden kilometer.
In 1990 was het aantal gereden kilometers door het personenvervoer
103 200 miljoen en door het goederenvervoer 16 800 miljoen. In 2014 is
het aantal gereden kilometers voor het personenvervoer twee keer zo
groot geworden als in 1990 en het aantal gereden kilometers voor het
goederenvervoer drie keer zo groot. Ondanks de toename van het aantal
gereden kilometers is de totale fijnstofemissie door het wegvervoer in
2014 aanzienlijk minder dan in 1990. Dit komt vooral door het gebruik van
betere motoren.
Er moet worden onderzocht met hoeveel procent de totale emissie van
fijnstof door het wegvervoer in de periode 1990 tot en met 2014 is
gedaald. Daarvoor moeten bovenstaande gegevens over het aantal
gereden kilometers en onderstaande aannames over de fijnstofemissie
per gereden kilometer worden gebruikt.
In 1990 kwam er gemiddeld genomen bij het personenvervoer per
gereden kilometer 0,08 gram fijnstof vrij. Voor het goederenvervoer was
dit toen 0,58 gram. In de periode 1990 tot en met 2014 daalde de
fijnstofemissie bij het personenvervoer elk jaar met 0,003 gram per
gereden kilometer. In dezelfde periode daalde de fijnstofemissie per
gereden kilometer bij het goederenvervoer met 9% per jaar.
6p
24
Onderzoek met behulp van bovenstaande gegevens en aannames met
welk percentage de totale emissie van fijnstof door het wegvervoer in
2014 is gedaald ten opzichte van 1990. Geef je antwoord in hele
procenten.
Bronvermelding
Een opsomming van de in dit examen gebruikte bronnen, zoals teksten en afbeeldingen, is te vinden in het bij dit examen
behorende correctievoorschrift, dat na afloop van het examen wordt gepubliceerd.
HA-1024-a-21-1-0
16 / 16
einde