# Eindexamen Wiskunde A HAVO 2019 tijdvak 2

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2019/tijdvak-2

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Opgave 1

### Vraag 2 – Opgave 1

### Vraag 3 – Opgave 1

### Vraag 4 – Opgave 1

### Vraag 5 – Opgave 1

### Vraag 6 – Opgave 1

### Vraag 7 – Opgave 1

### Vraag 8 – Opgave 1

### Vraag 9 – Opgave 1

### Vraag 10 – Opgave 1

### Vraag 11 – Opgave 1

### Vraag 12 – Opgave 1

### Vraag 13 – Opgave 1

### Vraag 14 – Opgave 1

### Vraag 15 – Opgave 1

### Vraag 16 – Opgave 1

### Vraag 17 – Opgave 1

### Vraag 18 – Opgave 18

### Vraag 19 – Opgave 1

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen HAVO
2019
tijdvak 2
dinsdag 18 juni
13.30 - 16.30 uur
wis kunde A
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Dit examen bestaat uit 19 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 70 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald
kunnen worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
HA-1024-a-19-2-o
1/12
lees verder ►►►

### Pagina 2

FORMULEBLAD
Vuistregels voor de grootte van het verschil van twee groepen
2×2 kruistabel $\begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix}$, met $phi = \frac{ad-bc}{\sqrt{(a+b)(a+c)(b+d)(c+d)}}$
– als $phi < -0,4$ of $phi > 0,4$, dan zeggen we "het verschil is groot",
– als $-0,4 \le phi < -0,2$ of $0,2 < phi \le 0,4$, dan zeggen we "het verschil is
middelmatig",
– als $-0,2 \le phi \le 0,2$, dan zeggen we "het verschil is gering".
Maximaal verschil in cumulatief percentage (max $V_{cp}$) (met
steekproefomvang $n > 100$)
– als max $V_{cp} > 40$, dan zeggen we "het verschil is groot",
– als $20 < \text{max } V_{cp} \le 40$, dan zeggen we "het verschil is middelmatig",
– als max $V_{cp} \le 20$, dan zeggen we "het verschil is gering".
Effectgrootte $E = \frac{\overline{X_1} - \overline{X_2}}{\frac{1}{2}(S_1 + S_2)}$, met $\overline{X_1}$ en $\overline{X_2}$ de steekproefgemiddelden
($\overline{X_1} \ge \overline{X_2}$), $S_1$ en $S_2$ de steekproefstandaardafwijkingen
– als $E > 0,8$, dan zeggen we "het verschil is groot",
– als $0,4 < E \le 0,8$, dan zeggen we "het verschil is middelmatig",
– als $E \le 0,4$, dan zeggen we "het verschil is gering".
Twee boxplots vergelijken
– als de boxen1) elkaar niet overlappen, dan zeggen we "het verschil is
groot",
– als de boxen elkaar wel overlappen en een mediaan van een boxplot
buiten de box van de andere boxplot ligt, dan zeggen we "het verschil is
middelmatig",
– in alle andere gevallen zeggen we "het verschil is gering".
noot 1 De 'box' is het interval vanaf het eerste kwartiel tot en met het derde kwartiel.
HA-1024-a-19-2-o
2 / 12
lees verder

### Pagina 3

Betrouwbaarheidsintervallen
Het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de populatieproportie is
$p \pm 2 \cdot \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$, met $p$ de steekproefproportie en $n$ de steekproefomvang.
Het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het populatiegemiddelde is
$\bar{X} \pm 2 \cdot \frac{S}{\sqrt{n}}$, met $\bar{X}$ het steekproefgemiddelde, $n$ de steekproefomvang en
$S$ de steekproefstandaardafwijking.
HA-1024-a-19-2-o
3/12
lees verder ► ► ►

### Pagina 4

Kieviten
De kievit is een weidevogel. Het aantal kieviten in Nederland neemt af. Dit
komt onder andere door intensivering van de landbouw en door
uitbreiding van het stedelijk gebied.
We maken in deze opgave onderscheid tussen de aantallen broedende en
niet-broedende kieviten.
[FIGUUR: Een foto van een kievit in een weiland]
In de periode 1990-2010 nam het aantal broedende kieviten elk jaar
met 3% af.
4p 1
Bereken met hoeveel procent het aantal broedende kieviten in de periode
1990-2010 is afgenomen. Geef je antwoord in hele procenten.
Na 2010 nam het aantal broedende kieviten in Nederland elk jaar met 5%
af. Neem aan dat deze afname zo doorgaat.
4p 2
Bereken in welk jaar het aantal broedende kieviten voor het eerst minder
dan de helft zal zijn van het aantal in 2010.
HA-1024-a-19-2-o
4 / 12
lees verder

### Pagina 5

In de figuur zie je het aantal kieviten voor een aantal jaren weergegeven.
Hierbij gaat het om een ander deel van de populatie, namelijk de
niet-broedende kieviten. In de figuur is ook de trendlijn getekend. Dit is de
lijn die zo goed mogelijk bij de punten past.
figuur
niet-broedende kieviten
aantal
140 000
120 000
100 000
80 000
60 000
40 000
20 000
0
1975 1980 1985 1990 1995 2000 2005 2010 2015
- jaar
Er is een jaar waarin het aantal niet-broedende kieviten het meest afwijkt
van de trendlijn.
4p 3
Bereken voor dat jaar hoeveel procent het aantal niet-broedende kieviten
afwijkt van de trendlijn. Geef je antwoord in hele procenten.
Vanaf het jaar 2000 neemt het aantal niet-broedende kieviten ongeveer
lineair af. Neem aan dat deze afname na het jaar 2015 op dezelfde wijze
doorgaat.
4p 4
Bereken met behulp van de bovenstaande gegevens het aantal
niet-broedende kieviten in het jaar 2021. Geef je antwoord in een geheel
aantal duizendtallen.
HA-1024-a-19-2-o
5/12
leest verder ► ► ►

### Pagina 6

```json
{
  "page_type": "opgaven",
  "exam_info": {
    "subject": "Slaaponderzoek",
    "year": null,
    "tijdvak": null
  },
  "figures": [
    "Actogram met tijdsaanduiding van 12 tot 12, met daarin twee lijnen: 'tijd doorgebracht in bed' en 'echte slaaptijd'",
    "Spreidingsdiagram met op de y-as 'Tuit (uur)' van 3 tot 9 en op de x-as 'Tin (uur)' van 20 tot 2, met daarin verschillende datapunten"
  ],
  "keywords": "slaaponderzoek, San, actogram, slaap, kunstmatig licht, bevolkingsgroepen, Afrika, spreidingsdiagram, tijdstip, uitwerkbijlage"
}
```

### Pagina 7

Van deelnemer San-19 is de spreidingsbreedte van $T_{in}$ ... keer zo groot
als de spreidingsbreedte van $T_{uit}$.
3p
6
Bereken welk getal er op de puntjes moet staan. Je kunt hierbij
gebruikmaken van de figuur op de uitwerkbijlage. Geef je antwoord in
één decimaal.
Op grond van figuur 2 trekken de onderzoekers de volgende twee
conclusies:
I Er lijkt bij deelnemer San-19 geen verband te zijn tussen $T_{in}$ en $T_{uit}$.
II De verdeling van de tijdstippen $T_{in}$ lijkt bij deelnemer San-19 niet op
een normale verdeling.
4p
7
Geef bij elke conclusie een geldig argument dat de onderzoekers gebruikt
zouden kunnen hebben ter onderbouwing van die conclusie.
Niet alle tijd die in bed wordt doorgebracht is echte slaaptijd. Vaak is er
tijd nodig om in slaap te komen of blijft iemand 's morgens nog even
liggen na het wakker worden. Uit metingen bij deelnemer San-19 is
gebleken dat hij om daadwerkelijk 8 uur te slapen, 9 uur in bed moet
liggen.
4p
8
Onderzoek in hoeveel van de gemeten nachten deelnemer San-19 zich
aan de stelregel 'minstens 8 uur slaap per nacht' gehouden heeft. Gebruik
de figuur op de uitwerkbijlage.
Het onderzoek is eenmaal in de zomer en eenmaal in de winter
uitgevoerd. Van elke deelnemer aan het onderzoek is zowel van de
zomerperiode als van de winterperiode de gemiddelde echte slaaptijd
berekend. Deze gemiddelde slaaptijden van alle deelnemers zijn
weergegeven in twee boxplots. Zie figuur 3.
figuur 3
zomer
winter
5
6
7
8
→ slaaptijd (uren)
De onderzoekers trekken op basis van dit onderzoek de volgende twee
conclusies:
I Bij de deelnemers aan het onderzoek is het verschil tussen de echte
slaaptijd in de zomerperiode en de slaaptijd in de winterperiode groot.
II Bij de deelnemers aan het onderzoek is de slaaptijd in de zomer
gemiddeld 53 minuten korter dan de slaaptijd in de winter.
4p
9
Leg bij elk van deze twee conclusies uit of je die wel of niet kunt trekken
op grond van figuur 3. Gebruik waar mogelijk een vuistregel van het
formuleblad.
HA-1024-a-19-2-o
7/12
lees verder

### Pagina 8

Bandbreedte
Het internet wordt steeds intensiever gebruikt. Daarom stijgt de vraag naar snellere internetverbindingen die grotere hoeveelheden data (digitale
informatie) per tijdseenheid kunnen verwerken.
De bedrijven die dit mogelijk moeten maken, de providers, proberen door
middel van onderzoek de groeiende vraag naar sneller internet te
voorspellen. Een van de onderzochte zaken is de downloadsnelheid¹),
aangegeven in Mbit/s (megabit per seconde).
Bij elke internetverbinding beperkt de bandbreedte de snelheid. De
bandbreedte van een verbinding is de maximale hoeveelheid data die
verwerkt kan worden per tijdseenheid.
In figuur 1 is voor drie datahoeveelheden $D$ (in Mbit) het verband
weergegeven tussen de verwerkingstijd $T$ (in seconden) en de
bijbehorende bandbreedte $B$ (in Mbit/s) bij het downloaden. Deze figuur
staat vergroot afgedrukt op de uitwerkbijlage.
figuur 1
$B$
(Mbit per seconde)
1000
900
800
700
600
500
400
300
200
100
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10
$T$ (seconden)
$D=1000$
$D=500$
$D=100$
Bij een bandbreedte van 300 Mbit/s duurt het langer om 1000 Mbit te
downloaden dan 500 Mbit.
3p 10 Bepaal hoeveel seconden langer. Je kunt hierbij gebruikmaken van de
figuur op de uitwerkbijlage. Geef je antwoord in één decimaal.
In figuur 1 zie je voor $D = 1000$ het omgekeerd evenredig verband tussen
$B$ en $T$ getekend.
3p 11 Stel bij deze waarde van $D$ een formule op waarbij je $B$ uitdrukt in $T$. Je
kunt hierbij gebruikmaken van de figuur op de uitwerkbijlage. Licht je
antwoord toe.
noot 1 Downloaden is het binnenhalen van digitale informatie van een andere computer.
HA-1024-a-19-2-o
8/12
lees verder

### Pagina 9

Er is ook onderzoek gedaan naar de te verwachten groei van de
hoeveelheid data die een huishouden per dag uploadt
1).
In figuur 2 zie je de voorspelde gemiddelde hoeveelheden van vier
groepen huishoudens. De verticale as heeft een logaritmische schaal. Op
de horizontale as is elk jaar in 12 maanden verdeeld. Figuur 2 staat
vergroot op de uitwerkbijlage.
figuur 2 gemiddelde uploadhoeveelheid per huishouden per dag
1 000 000
Mbit
vo
per dag
100 000
ve
10 000
do
1000
ac
100
0
2014
2015
2016
2017
2018
2019
jaar
vo = voorlopers (intensief internetgebruik)
ve = vernieuwers (meer dan gemiddeld internetgebruik)
do = doorsneegebruikers (normaal internetgebruik)
ac = achterblijvers (gering internetgebruik)
In figuur 2 zie je dat de gemiddelde uploadhoeveelheid per huishouden
per dag voor alle groepen huishoudens in de loop der jaren toeneemt.
De achterblijvers hebben later dan de doorsneegebruikers een
gemiddelde uploadhoeveelheid van 900 Mbit per huishouden per dag.
3p
12
Bepaal hoeveel jaar en maanden dit later is. Je kunt hierbij gebruikmaken
van de figuur op de uitwerkbijlage.
Een lezer van het onderzoeksrapport beweert:
"Het jaarlijkse groeicpercentage van de gemiddelde uploadhoeveelheid per
huishouden per dag van de achterblijvers is lager dan dat van de
vernieuwers."
5p
13
Onderzoek of deze lezer gelijk heeft. Je kunt hierbij gebruikmaken van de
figuur op de uitwerkbijlage.
noot 1 Uploaden is het verzenden van digitale informatie naar een andere computer.
HA-1024-a-19-2-0
9/12
lees verder ►►►

### Pagina 10

Nierfunctie
Kreatinine is een afbraakproduct dat door de nieren uit het bloed wordt
gefilterd. De hoeveelheid kreatinine in het bloed geeft aan hoe goed de
nieren functioneren. Hoe kleiner de hoeveelheid kreatinine in het bloed,
des te beter de nierfunctie.
Om een nauwkeuriger beeld van het functioneren van de nieren te krijgen,
moet rekening worden gehouden met de lichaamsbouw en de leeftijd van
de persoon die onderzoek wordt.
In veel gevallen wordt hiervoor de GFR (Glomerular Filtration Rate, de
filtratiesnelheid van de nieren in milliliter per minuut) berekend. Er
bestaan hiervoor meerdere formules.
Een daarvan is formule 1. Deze formule is voor mannen en vrouwen
verschillend.
formule 1
mannen
vrouwen
$GFR=\frac{(140-L)\cdot G}{0,81\cdot K}$
$GFR=0,85\cdot \frac{(140-L)\cdot G}{0,81\cdot K}$
Hierin is $L$ de leeftijd van de patiënt in jaren, $G$ het lichaamsgewicht in kg
en $K$ de hoeveelheid kreatinine in micromol per liter.
Thomas en Julia zijn een tweeling van 45 jaar. Ze laten een onderzoek
doen naar het functioneren van hun nieren.
Thomas is een man, hij weegt 78 kg. Julia is een vrouw, ze weegt 69 kg.
Bij beiden is de hoeveelheid kreatinine in het bloed 95 micromol per liter.
Bereken hoe groot het verschil is tussen de $GFR$ van Thomas en de $GFR$
van Julia. Geef je antwoord in een geheel aantal milliliter per minuut.
3p 14
Nicolien is een vrouw. Ze laat ieder jaar de waarde van haar $GFR$
bepalen. Neem aan dat haar lichaamsgewicht gelijk blijft. De waarden van
haar $GFR$ worden in de loop der jaren groter.
Berenedeneer, zonder getallenvoorbeelden te gebruiken, met behulp van
formule 1 dat de nierfunctie van Nicolien beter wordt.
3p 15
Voor mannen van 40 jaar en een gewicht van 80 kg is formule 1 te
herleiden tot een formule van de vorm $GFR = \dots \cdot K^{\dots}$, waarbij er op de
puntjes getallen staan.
Geef deze herleiding en geef daarbij de getallen die op de puntjes komen
te staan in gehelen.
3p 16
HA-1024-a-19-2-o
10/12
lees verder

### Pagina 11

Een andere formule die vaak gebruikt wordt, is formule 2. Ook deze formule is voor mannen en vrouwen verschillend.

formule 2

mannen vrouwen
$GFR = 32 788 \cdot K^{-1,154} \cdot L^{-0,203}$ $GFR = 24 329 \cdot K^{-1,154} \cdot L^{-0,203}$

Hierin is $L$ de leeftijd van de patiënt in jaren en $K$ de hoeveelheid creatinine in micromol per liter.

Formule 2 geeft de $GFR$ voor patiënten die een gewicht hebben dat past bij hun lengte. Het voordeel van deze formule is dat het lichaamsgewicht niet nodig is in de berekening.

Klaas is een man van 33 jaar met een gewicht dat past bij zijn lengte. De hoeveelheid creatinine in zijn bloed is 95 micromol per liter. Formule 1 en formule 2 geven bij Klaas precies dezelfde uitkomst.
4p 17 Bereken het gewicht van Klaas. Geef je antwoord in gehele kg.

Bij de $GFR$-waarden berekend met formule 2, is door de NVKC 1) de volgende tabel opgesteld.

tabel

GFR
nierfunctie
≥ 60 normaal
30 - < 60 matige afname
15 - < 30 ernstige afname
< 15 uitval nierfunctie

Bij Jiska, een vrouw van 56 jaar, wordt een normale nierfunctie geconstateerd. Haar $GFR$ is berekend met formule 2. Bereken hoeveel creatinine Jiska maximaal in haar bloed heeft. Geef je antwoord in een geheel aantal micromol per liter.
4p 18

Let op: de laatste vraag van dit examen staat op de volgende pagina.

noot 1 Nederlandse Vereniging voor Klinische Chemie en Laboratoriumgeneeskunde

HA-1024-a-19-2-o
11 / 12
lees verder ►►►


### Pagina 12

Elektrisch rijden

In 2016 telde Nederland ongeveer 8,1 miljoen personenauto's. De meeste
personenauto's rijden op benzine of diesel. Het aantal personenauto's dat
op lpg (gas) rijdt, neemt de laatste jaren af.
Elektrische en hybride personenauto's
1)
nemen juist toe in aantal. Hun
gezamenlijk aandeel was in 2016 met ongeveer 2,6% nog betrekkelijk
klein.
Uit het rapport 'Maak elektrisch rijden groot: acht acties voor doorbraak bij
particulieren' kan worden afgeleid dat er een ambitie bestaat om het
gezamenlijk aandeel elektrische en hybride personenauto's in 2020 op ten
minste 5,2% te krijgen.
Om de ontwikkelingen in kaart te brengen, is onderstaande tabel
beschikbaar. Hierin staat informatie over het aantal personenauto's in
Nederland.
tabel aantal personenauto's (× 1000)
type
2012
2016
benzine of diesel
7482
7725
lpg (gas)
203
165
elektrisch en hybride gezamenlijk
70
211
totaal
7755
8101
We nemen aan dat in de periode 2012-2016 gold:
1 het aantal personenauto's dat op benzine of diesel reed, nam jaarlijks
met hetzelfde aantal toe;
2 het aantal personenauto's dat op lpg (gas) reed, nam jaarlijks met
hetzelfde aantal af;
3 het gezamenlijk aantal elektrische en hybride personenauto's nam
jaarlijks met hetzelfde percentage toe.
Het is de vraag of de hierboven genoemde ambitie gehaald wordt als de
groei bij elk van de drie bovenstaande punten zich na 2016 op dezelfde
wijze blijft voortzetten.
6p
19
Onderzoek, gebruikmakend van bovenstaande gegevens en aannames,
of het gezamenlijk aandeel elektrische en hybride personenauto's in 2020
ten minste 5,2% zal zijn.
noot 1 Elektrische auto's rijden volledig op een elektromotor, hybrides hebben zowel een
elektromotor als een verbrandingsmotor.
HA-1024-a-19-2-0
12/12
einde