# Eindexamen Wiskunde A HAVO 2019 tijdvak 1

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2019/tijdvak-1

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Opgave 1

### Vraag 2 – Opgave 2

### Vraag 3 – Opgave 3

### Vraag 4 – Opgave 4

### Vraag 5 – Opgave 5

### Vraag 6 – Opgave 6

### Vraag 7 – Opgave 7

### Vraag 8 – Opgave 1

### Vraag 9 – Opgave 9

### Vraag 10 – Opgave 10

### Vraag 11 – Opgave 11

### Vraag 12 – Opgave 12

### Vraag 13 – Opgave 13

### Vraag 14 – Opgave 14

### Vraag 15 – Opgave 15

### Vraag 16 – Opgave 1

### Vraag 17 – Opgave 17

### Vraag 18 – Opgave 1

### Vraag 19 – Opgave 19

### Vraag 20 – Opgave 1

### Vraag 21 – Opgave 1

### Vraag 22 – Opgave 1

### Vraag 23 – Opgave 23

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen HAVO
2019
tijdvak 1
donderdag 9 mei
13.30 - 16.30 uur
wiskunde A
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Dit examen bestaat uit 23 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 78 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald
kunnen worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
HA-1024-a-19-1-o

### Pagina 2

FORMULEBLAD

Vuistregels voor de grootte van het verschil van twee groepen

2x2 kruistabel [FIGUUR: 2x2 kruistabel met entries a, b, c, d]

met $phi = \frac{ad-bc}{\sqrt{(a+b)(a+c)(b+d)(c+d)}}$

- als $phi < -0,4$ of $phi > 0,4$, dan zeggen we "het verschil is groot",
- als $-0,4 \le phi < -0,2$ of $0,2 < phi \le 0,4$, dan zeggen we "het verschil is
middelmachtig",
- als $-0,2 \le phi \le 0,2$, dan zeggen we "het verschil is gering".

Maximaal verschil in cumulatief percentage (max $V_{cp}$) (met
steekproefomvang $n > 100$)

- als max $V_{cp} > 40$, dan zeggen we "het verschil is groot",
- als $20 < max V_{cp} \le 40$, dan zeggen we "het verschil is middelmachtig",
- als max $V_{cp} \le 20$, dan zeggen we "het verschil is gering".

Effectgrootte $E = \frac{\overline{X}_1 - \overline{X}_2}{\frac{1}{2}(S_1 + S_2)}$, met $\overline{X}_1$ en $\overline{X}_2$ de steekproefgemiddelden
($\overline{X}_1 \ge \overline{X}_2$), $S_1$ en $S_2$ de steekproefstandaardafwijkingen

- als $E > 0,8$, dan zeggen we "het verschil is groot",
- als $0,4 < E \le 0,8$, dan zeggen we "het verschil is middelmachtig",
- als $E \le 0,4$, dan zeggen we "het verschil is gering".

Twee boxplots vergelijken

- als de boxen¹) elkaar niet overlappen, dan zeggen we "het verschil is
groot",
- als de boxen elkaar wel overlappen en een mediaan van een boxplot
buiten de box van de andere boxplot ligt, dan zeggen we "het verschil is
middelmachtig",
- in alle andere gevallen zeggen we "het verschil is gering".

noot 1 De 'box' is het interval vanaf het eerste kwartiel tot en met het derde kwartiel.

HA-1024-a-19-1-0
2 / 17
lees verder ► ► ►


### Pagina 3

Betrouwbaarheidsintervallen

Het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de populatieproportie is
$p \pm 2\cdot \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}$, met $p$ de steekproefproportie en $n$ de steekproefomvang.

Het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het populatiegemiddelde is
$\\overline{X} \pm 2\cdot \frac{S}{\sqrt{n}}$, met $\\overline{X}$ het steekproefgemiddelde, $n$ de steekproefomvang en $S$ de steekproefstandaardafwijking.

HA-1024-a-19-1-o
3 / 17
lees verder

### Pagina 4

Stil asfalt
Wie naast een snelweg woont, heeft bijna altijd
te maken met overlast door de
geluidsintensiteit van het verkeer. De laatste
jaren probeert men deze overlast te beperken,
onder andere door het aanleggen van
zogenaamd stil asfalt.
Met de volgende formule kan de
geluidsintensiteit I worden berekend als
bekend is hoeveel decibel (dB) geluid er wordt geproduceerd.
$I = 10^{0,1d-9}$
Hierin is d de hoeveelheid geproduceerd geluid in dB en is I de
geluidsintensiteit in milliwatt per m².
Een weggedeelte wordt opnieuw geasfalteerd, waarbij het oude asfalt
wordt vervangen door stil asfalt. De hoeveelheid geproduceerd geluid
daalt daardoor van 80 dB naar 74 dB.
4p 1
Bereken met hoeveel procent de geluidsintensiteit afneemt. Geef je
antwoord in hele procenten.
Uit metingen blijkt dat de hoeveelheid geproduceerd geluid op stil asfalt
door de jaren heen stijgt. Dit komt onder andere door slijtage van het
asfalt. In de figuur zijn de resultaten van een aantal metingen
weergegeven.
figuur
80
d
(dB)
78
76
74
72
0
12
24
36
48
60
72
84
t (maanden na aanleg van stil asfalt)
HA-1024-a-19-1-0
4/17

### Pagina 5

```json
{
  "page_type": "opgaven",
  "exam_info": {},
  "figures": [],
  "keywords": "meetgegevens, lijn, formule, dB, maanden, constant getal, geluidsintensiteit, milliwatt, planning, stil asfalt"
}
```

### Pagina 6

Homeopathische middelen
Homeopathische middelen worden
gemaakt uit grondstoffen die worden
gehaald uit planten, dieren of mineralen.
Uit deze grondstoffen wordt allereerst een
basisstof gemaakt, de zogenoemde
oertinctuur.
Oertinctuur is echter nog niet geschikt
voor gebruik. Daarvoor moet deze een
aantal keren verdund worden. Na deze verdunningen ontstaat dan een
homeopathisch middel dat gereed is voor gebruik.
Voor het verdunnen worden verschillende verdunningsreeksen gebruikt.
Zie de tabel.
tabel
D-reeks
verdunningen van 1 : 10
C-reeks
verdunningen van 1 : 100
LM-reeks
verdunningen van 1 : ...
Om aan te geven in welke verdunningen een oertinctuur ondergaan heeft,
voegt men aan de Latijnse naam van het homeopathische middel een
letter en een getal toe. Zo bestaat bijvoorbeeld het middel Arnica D3.
De toevoeging D3 geeft aan dat de oertinctuur Arnica driemaal een
verdunning van 1 : 10 heeft ondergaan. Het homeopathisch middel
Arnica D3 bestaat dus voor 1/1000e deel uit de oertinctuur Arnica.
3p 4
Bereken welk deel van het homeopathisch middel Sulphur C6 uit de
oertinctuur Sulphur bestaat.
[FIGUUR: Een afbeelding van een bloem met bladeren, een bruine glazen fles en witte pillen.]

### Pagina 7

Naast de D-reeks zijn er ook de C-reeks en de LM-reeks.
In de C-reeks is er sprake van verdunningen waarin bij elke
verdunningsstap de hoeveelheid oertinctuur in het middel 99% minder
wordt.
In de LM-reeks is er sprake van verdunningen waarin bij elke
verdunningsstap de hoeveelheid oertinctuur in het middel 99,998% minder
wordt.
3p
5
Bereken welk getal er in de tabel op de puntjes moet komen te staan.
In de D-reeks wordt het percentage oertinctuur in een homeopathisch
middel bij elke verdunning tien keer zo klein. Er geldt dus:
P=100 (1)
n
Hierin is P het percentage oertinctuur in een homeopathisch middel in de
D-reeks en n het aantal verdunningen dat de oertinctuur ondergaan heeft.
Je kunt de formule van P herleiden tot de volgende formule:
P = 102-n
3p
6
Geef deze herleiding.
Iemand beweert dat de verdunning van de hoeveelheid
oertinctuur in Arnica montana D12 gelijk is aan de verhouding
van het volume van één waterdruppel tot het volume van
20 olympische zwembaden.
Een waterdruppel bevat ongeveer 0,05 milliliter en een olympisch
zwembad heeft een inhoud van ongeveer 2,5 miljoen liter water.
4p
7
Laat zien dat de bewering klopt.
HA-1024-a-19-1-0
7/17
lees verder ► ► ►

### Pagina 8

Examenanalyse
Ieder jaar worden de resultaten van de examens door Cito geanalyseerd.
In deze opgave bekijken we de resultaten van twee examens havo 2014
eerste tijdvak, namelijk het examen filosofie en het examen Engels.
Het examen filosofie werd door ongeveer 1500 kandidaten gemaakt.
Cito heeft de resultaten van 950 kandidaten binnengekregen en
geanalyseerd. De resultaten van de analysegroep staan in figuur 1 en in
de tabel op de uitwerkbijlage.
figuur 1
examen havo filosofie 2014 eerste tijdvak
frequentie
80
70
60
50
40
30
20
10
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
15
20
25
30
35
40
44
aantal scorepunten
Voor het examen filosofie konden maximaal 44 scorepunten behaald
worden. Zowel in de figuur als in de tabel op de uitwerkbijlage kun je zien
dat de twee zwakste kandidaten in de analysegroep slechts 1 scorepunt
behaalden en dat de beste kandidaat 40 scorepunten behaalde.
Het examen filosofie had een gemiddelde score van 22,5 met een
standaardafwijking van 6,9. We bekijken de zwakste kandidaten in de
analysegroep, met een score die meer dan tweemaal de
standaardafwijking lager ligt dan het gemiddelde.
Als de scores normaal verdeeld zouden zijn, zou je met behulp van een
vuistregel van de normale verdeling kunnen berekenen hoeveel
kandidaten met zo'n score er in de analysegroep waren. De scores zijn
echter niet normaal verdeeld. Het aantal kandidaten met zo'n lage score
in de analysegroep blijkt toch ongeveer gelijk te zijn aan het aantal dat je
op grond van de normale verdeling zou verwachten.
4p 8 Toon dit aan.
HA-1024-a-19-1-o
8 / 17
lees verder ►►►

### Pagina 9

Van het examen Engels, dat door ruim 56 000 kandidaten is gemaakt, zijn de resultaten van 45 813 kandidaten geanalyseerd. Deze resultaten staan in figuur 2 en ook in de tabel op de uitwerkbijlage. Voor dit examen konden maximaal 47 scorepunten behaald worden. De gemiddelde score was 35,6 en de standaardafwijking 5,7.

figuur 2

[FIGUUR: histogram met op de x-as 'aantal scorepunten' van 0 tot 47, en op de y-as 'frequentie' van 0 tot 4000]

examen havo Engels 2014 eerste tijdvak

4p 9 Door gebruik te maken van figuur 2 en de tabel voor Engels op de uitwerkbijlage kun je berekenen hoe groot het verschil is tussen de modus en de mediaan van het aantal scorepunten voor het examen Engels.
Bereken dit verschil. Licht je werkwijze toe.

3p 10 Voor het examen filosofie behaalde 22,8% van de kandidaten in de analysegroep een onvoldoende (een cijfer lager dan 5,5).
Laat zien dat het percentage onvoldoendes voor het examen Engels iets meer dan de helft daarvan was.

3p 11 Bereken het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het percentage kandidaten met een onvoldoende voor filosofie. Geef de grenzen in één decimaal.

3p 12 Een Cito-medewerker wil de samenhang tussen de scores van de examens filosofie en Engels onderzoeken. Zij vraagt zich af of een hoge score voor filosofie ook een hoge score voor Engels betekent.
Welke grafische weergave is daarvoor het meest geschikt en welke extra informatie is nodig om die grafische weergave te kunnen maken?

HA-1024-a-19-1-o
9/17
lees verder ► ► ►

### Pagina 10

Ga verder op de volgende pagina.

HA-1024-a-19-1-o

10 / 17

lees verder ►►►


### Pagina 11

```json
{
  "page_type": "opgaven",
  "exam_info": {
    "subject": "vaknaam indien zichtbaar",
    "year": "examenjaar indien zichtbaar",
    "tijdvak": "1 of 2 indien zichtbaar"
  },
  "figures": [
    "Twee auto's op een weg, met pijlen die de lengte van de auto en de veilige afstand aangeven."
  ],
  "keywords": "file voorkomen, auto's, afstand, snelheid, formule, wegdek"
}
```

### Pagina 12

Wegbeheerder Rijkswaterstaat heeft voor een bepaald stuk snelweg een formule opgesteld voor het maximale aantal auto's dat in een bepaalde tijd over dit stuk snelweg kan rijden, de zogenaamde capaciteit $C$. Deze formule luidt:

$C = \frac{1000v}{4,5+0,09v+0,0035v^2}$

In deze formule is $v$ de snelheid in km per uur en $C$ de capaciteit in aantal auto's per uur.

3p 16 Het blijkt dat volgens de formule de grootste waarde van $C$ op dit stuk
snelweg bereikt wordt bij een vrij lage snelheid.
Bereken bij welke snelheid hiervan sprake is. Geef je antwoord in hele km
per uur.

Als er meer automobilisten van dit stuk snelweg gebruik willen maken dan
volgens de capaciteit $C$ mogelijk is, ontstaat er een file. Dit kan
voorkomen worden als iedereen tijdig zijn snelheid aanpast.

Op matrixborden boven de snelweg geeft Rijkswaterstaat dan een
maximumsnelheid aan (in hele km per uur). Dit is de hoogste snelheid die
voorkomt dat een file ontstaat.

4p 17 Op dit stuk snelweg moet in de avondspits de capaciteit minimaal
2500 auto's per uur zijn om een file te voorkomen.
Bereken welke maximumsnelheid Rijkswaterstaat in deze situatie op de
matrixborden aangeeft.

HA-1024-a-19-1-o
12 / 17
lees verder

### Pagina 13

Rijkswaterstaat heeft op dit stuk snelweg gedurende één maandagmorgen
metingen verricht en bijgehouden hoeveel auto's er passeerden. In de
tabel zie je de resultaten gedurende één uur. Op dit stuk snelweg is een
maximumsnelheid van 130 km per uur toegestaan.
tabel
tijdsinterval
aantal
auto's
tijdsinterval
aantal
auto's
tijdsinterval
aantal
auto's
7.00-7.05 uur
73
7.20-7.25 uur
174
7.40-7.45 uur
235
7.05-7.10 uur
104
7.25-7.30 uur
198
7.45-7.50 uur
267
7.10-7.15 uur
142
7.30-7.35 uur
220
7.50-7.55 uur
282
7.15-7.20 uur
189
7.35-7.40 uur
224
7.55-8.00 uur
265
We nemen aan dat het aantal auto's per tijdsinterval gelijkmatig over het
tijdsinterval verdeeld is. Je kunt dan met behulp van de formule van C
bij benadering vaststellen vanaf welk moment de automobilisten vanwege
de capaciteit een lagere snelheid dan 130 km per uur moesten gaan
aanhouden.
3p 18 Bereken binnen welk tijdsinterval de automobilisten voor het eerst een
lagere snelheid moesten gaan aanhouden.
HA-1024-a-19-1-o
13 / 17
lees verder

### Pagina 14

Pasteurisatie
Sommige levensmiddelen kunnen langer houdbaar worden gemaakt door
ze te verhitten. Door verhitting zullen de meeste bacteriën in deze
levensmiddelen afsterven. Hoe langer er wordt verhit, hoe meer bacteriën
er afsterven.
Bij een bepaald type worst is in figuur 1 het aantal levende bacteriën per
gram worst uitgezet tegen de verhittingstijd in minuten. Daarbij is de
verhittingstemperatuur 70 °C. In deze figuur, die vergroot op de
uitwerkbijlage staat, is op de verticale as een logaritmische
schaalverdeling gebruikt.
figuur 1
aantal levende
bacteriën
per gram
worst
↑
109
108
107
106
105
104
103
102
101
100
0
1
2
3
4
5
6
verhittingstijd (minuten)
In figuur 1 kun je bijvoorbeeld aflezen dat er bij aanvang van de verhitting
300 000 000 levende bacteriën per gram worst aanwezig zijn. Na
6 minuten verhitting is dit aantal gedaald tot 300.
3p 19 Bepaal na hoeveel minuten verhitting 90% van de bacteriën is
afgestorven. Je kunt hierbij de uitwerkbijlage gebruiken.
Vaak worden worsten veel langer dan een paar minuten verhit. Als een
verhitting onder de 100 °C heeft plaatsgevonden, noemt men dit
pasteurisatie. De onderzoeksorganisatie TNO heeft richtlijnen opgesteld
voor het pasteurisatieproces. Hiermee kan een slager die zelf worst
maakt, bepalen welke verhittingstemperatuur en verhittingstijd nodig zijn.
In figuur 2 zie je de verhittingstemperaturen en verhittingstijden van
worsten met diameters d van 40 tot en met 140 mm met tussenstappen
van 20 mm. Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage.
HA-1024-a-19-1-o
14/17
lees verder

### Pagina 15

figuur 2
verhittingstijd
(minuten)
400
350
300
250
200
150
100
50
0
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
→ verhittingstemperatuur (°C)
d=140
d=120
d=100
d=80
d=60
d=40
4p
20
In de figuur op de uitwerkbijlage kun je aflezen dat een worst met een
diameter van 100 mm bij een verhittingstemperatuur van 80 °C een
verhittingstijd van 145 minuten nodig heeft.
Een veelgebruikte verhittingstemperatuur is 75 °C.
Tek een het rooster op de uitwerkbijlage met behulp van figuur 2
een grafiek waarin de verhittingstijd is uitgezet tegen de diameter bij een
verhittingstemperatuur van 75 °C.
In plaats van figuur 2 gebruiken sommige slagers ook wel formules om de
verhittingstijd te berekenen. Bij een verhittingstemperatuur van 78 °C
berekent men de verhittingstijd V dan met de formule:
V = 0,7d +0,0089d²
Hierin is V de verhittingstijd in minuten en d de diameter van de worst
in mm.
3p
21
Bereken met de formule de verhittingstijd van een worst met een diameter
van 4,5 cm bij een verhittingstemperatuur van 78 °C. Geef je antwoord in
hele minuten.
4p
22
Een slager maakt worsten met verschillende diameters en kiest bij het
pasteuriseren altijd voor een verhittingstemperatuur van 78 °C. Hij wil het
pasteurisatieproces niet langer dan 2,5 uur laten duren.
Bereken met de formule welke diameter deze worsten maximaal mogen
hebben. Geef je antwoord in hele mm.
HA-1024-a-19-1-0
15/17
lees verder ►►►

### Pagina 16

Autodiefstal
Elk jaar wordt een percentage van de auto's in Nederland gestolen. Dit
percentage is aan het begin van deze eeuw flink gedaald. In de figuur is
voor de jaren 1995 tot en met 2013 zowel het percentage gestolen
personenauto's (kromme) als het aantal gestolen personenauto's
(staafdiagram) weergegeven.
figuur gestolen personenauto's Nederland 1995-2013
percentage
0,60
0,55
0,50
0,45
0,40
0,35
0,30
0,25
0,20
0,15
0,10
0,05
0,00
1995
1996
1997
1998
1999
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
jaar
aantal
30 000
27 500
25 000
22 500
20 000
17 500
15 000
12 500
10 000
7500
5000
2500
0
In de figuur is te zien dat in de laatste weergegeven jaren het percentage
gestolen personenauto's ongeveer gelijk aan 0,15% bleef.
Ook als dit de volgende jaren zo zou blijven, dan nog neemt het aantal
gestolen personenauto's toe, omdat het aantal personenauto's in
Nederland toeneemt. In de tabel is voor een aantal jaren het aantal
personenauto's in Nederland weergegeven.
HA-1024-a-19-1-0
16/17
lees verder

### Pagina 17

tabel
jaar
aantal personenauto's
in Nederland (in
miljoenen)
2001
6,55
2004
6,90
2007
7,24
2010
7,59
2013
7,93
23
6p
Uit de tabel is af te leiden dat het aantal personenauto's bij benadering
lineair toeneemt. Neem aan dat de komende jaren het percentage
gestolen personenauto's blijft zoals in 2013 en dat het aantal
personenauto's lineair blijft toenemen zoals in de tabel.
Bereken in welk jaar er voor het eerst weer meer personenauto's gestolen
zullen worden dan in 2005.
HA-1024-a-19-1-o
17/17
einde