# Eindexamen Wiskunde A HAVO 2014 tijdvak 2

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2014/tijdvak-2

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Opgave 1

### Vraag 2 – Opgave 2

### Vraag 3 – Opgave 2

### Vraag 4 – Opgave 2

### Vraag 5 – Opgave 2

### Vraag 6 – Opgave 2

### Vraag 7 – Opgave 2

### Vraag 8 – Opgave 1

### Vraag 9 – Opgave 1

### Vraag 10 – Opgave 2

### Vraag 11 – Opgave 2

### Vraag 12 – Opgave 2

### Vraag 13 – Opgave 2

### Vraag 14 – Opgave 1

### Vraag 15 – Opgave 1

### Vraag 16 – Opgave 1

### Vraag 17 – Opgave 1

### Vraag 18 – Opgave 2

### Vraag 19 – Opgave 1

### Vraag 20 – Opgave 2

### Vraag 21 – Opgave 2

### Vraag 22 – Opgave 2

### Vraag 23 – Opgave 2

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen HAVO
2014
tijdvak 2
woensdag 18 juni
13.30 - 16.30 uur
wiskunde A
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Dit examen bestaat uit 22 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald
kunnen worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
HA-1024-a-14-2-o

### Pagina 2

Kunstrijden op de schaats
[FIGUUR: Een zwart-witfoto van Ulrich Salchow, staand in een donker pak, met een lichte achtergrond van een ijshal.]
Ulrich Salchow

Kunstrijden op de schaats werd als olympische
sport voor het eerst beoefend in 1908. Veel
deelnemers waren er niet: bij de mannen streden
slechts zeven kunstschaatsers om de eer. Het
waren Johansson, Salchow en Thorén uit
Zweden, Greig en March uit Groot-Brittannië,
Brokaw uit de Verenigde Staten en Torromé uit
Argentinië.
Ook de beoordeling was nog niet
geprofessionaliseerd. Er waren slechts
vijf jurvleden met een overzichtelijke taak. Ze
moesten, nadat alle deelnemers hun kwaliteiten
hadden laten zien, ieder voor zich een ranglijst
opstellen: welke kunstschaatser is volgens hen
nummer één, wie komt op de tweede plaats, enzovoort.

Een jurylid vond dat de drie Zweedse kunstrijders het best gepresteerd
hadden. Hij plaatste deze schaatsers in zijn top 3, de overige kwamen dus
op de plaatsen 4 tot en met 7.

4p 1 Bereken op hoeveel manieren dit jurylid op deze manier zijn volledige
ranglijst had kunnen invullen.

Om de mate van overeenstemming bij de jurvleden te onderzoeken,
worden de ranglijsten van elk tweetal jurvleden met elkaar vergeleken.

3p 2 Bereken hoeveel keer men zo twee ranglijsten met elkaar moet
vergelijken.

Er kan worden berekend in welke mate de ranglijsten van twee
verschillende jurvleden met elkaar in overeenstemming zijn. Deze mate
van overeenstemming wordt correlatie genoemd. Hoe groter
overeenstemming, hoe groter de correlatie.
In de tabel zie je de ranglijsten van jurvlid 1 en jurvlid 2. Van elke
kunstschaatser is het (positieve) verschil in plaatsing v tussen de ranglijsten
van deze twee jurvleden berekend en ook de kwadraten van deze
verschillen $v^2$. De som van deze kwadraten noemt men $S$.

HA-1024-a-14-2-0
2 / 11
lees verder ►►►


### Pagina 3

tabel
Naam
kunstrijder
Salchow
Johansson
Thorén
Greig
March
Brokaw
Torromé
jurrylid 1
1
2
3
4
5
6
7
jurrylid 2
2
3
1
5
4
7
6
$\nu$
1
1
2
1
1
1
1
$\nu^2$
1
1
4
1
1
1
1
$S = 10$
Vervolgens berekent men de correlatie $C$ met de formule
$$ C = 1 - \frac{6 \cdot S}{n \cdot (n^2 - 1)} $$
Hierin is $n$ het aantal kunstrijders.

Je kunt narekenen dat de correlatie tussen de ranglijsten van de juryleden
uit het voorbeeld in de tabel ongeveer 0,82 is. Als hun ranglijsten nog
meer zouden overeenstemmen, zou hun correlatie nog groter zijn.
3p 3 Beredeneer aan de hand van de formule hoe groot $C$ tussen de
ranglijsten van twee juryleden maximaal kan zijn.

In dit voorbeeld is $n=7$. Daarmee kan de formule worden geschreven als
$$ C = 1 - \frac{6 \cdot S}{7 \cdot (7^2 - 1)} $$
3p 4 Deze laatste formule kan ook worden geschreven in de vorm $C = a \cdot S + b$.
Hierin zijn $a$ en $b$ getallen.
Geef de waarden van $a$ en $b$.

Ranglijsten die niet erg met elkaar overeenstemmen, hebben een kleine
of zelfs negatieve correlatie. De ranglijsten van jurylid 2 en jurylid 3
hebben een correlatie die kleiner is dan 0,75.
4p 5 Geef in de tabel op de uitwerkbijlage een mogelijke ranglijst voor jurylid 3.
Laat met berekeningen zien dat de correlatie inderdaad kleiner is
dan 0,75.

HA-1024-a-14-2-o
3 / 11
lees verder ► ► ►

### Pagina 4

Park 'N Fly

In de Verenigde Staten komen veel mensen met de auto naar het vliegveld. Ze parkeren hun auto op een parkeerterrein in de buurt. Eén van de parkeerterreinen bij het vliegveld van Minneapolis wordt beheerd door het bedrijf Park 'N Fly. In 2010 had dit terrein 2100 parkeerplaatsen.

[FIGUUR: Een luchtfoto van een groot parkeerterrein vol met auto's, met op de achtergrond een gebouw en parkeerlichten.]

Het normale parkeertarief in 2010 was $ 10 (10 dollar) per dag. Online gekochte parkeerkaarten waren $ 1 per dag goedkoper. In deze opgave gaan we uit van de situatie in 2010 en we nemen aan dat alle klanten die hun parkeerkaart online kopen, komen opdagen. Ook rekenen we alleen met de parkeerprijs per dag.

4p 6 Op een dag zijn 2065 parkeerplaatsen bezet. De totale inkomsten voor het bedrijf zijn die dag $ 20214. Bereken hoeveel klanten die dag hun parkeerkaart online gekocht hebben.

Van maandag tot en met donderdag is het parkeerterrein goed gevuld. Maar op vrijdag en in het weekend zijn er nogal wat lege plaatsen. Het bedrijf wil graag dat deze plaatsen benut worden, desnoods tegen een lager tarief. Er wordt voor vrijdag en het weekend een nieuw tarief geïntroduceerd, het actietarief. De hoogte van het actietarief wordt slechts een paar dagen van tevoren bepaald en parkeerkaarten tegen dit tarief kunnen alleen online gekocht worden.

Uit onderzoek blijkt dat bij een actietarief van $ 6 er 1500 klanten hun auto tegen dit tarief zullen parkeren bij Park 'N Fly. Bij een actietarief van $ 5 zijn dat er zelfs 1700.
4p 7 Stel dat het actietarief wordt bepaald op $ 4,20. Bereken met lineaire extrapoleren, uitgaande van de gegeven waarden, hoeveel klanten hun auto dan tegen dit tarief bij Park 'N Fly zullen parkeren.

HA-1024-a-14-2-o 4 / 11 lees verder ► ► ►

### Pagina 5

Het bedrijf vraagt zich af hoeveel kaartjes er tegen het actietarief verkocht
kunnen worden. Want voor de klanten die tegen het normale tarief
parkeren, wil men voldoende parkeerplaatsen beschikbaar houden.
Het aantal klanten dat tegen het normale tarief de auto op vrijdag
parkeert, is bij benadering normaal verdeeld met een gemiddelde
van 820. Op een kwart van de vrijdagenzijn er minder dan 800 klanten
die tegen het normale tarief parkeren.
4p 8 Bereken hiermee de bijbehorende standaardafwijking.
Er zijn dus twee soorten parkeerplaatsen:
standaardparkeerplaatsen, gereserveerd voor klanten die het normale
tarief betalen;
actietariefparkeerplaatsen, deze worden verkocht tegen het actietarief.
Het aantal klanten dat op zaterdagen tegen het normale tarief parkeert, is
bij benadering normaal verdeeld met een gemiddelde van 610 en een
standaardafwijking van 24.
Het bedrijf wil op zaterdagen zó veel standaardparkeerplaatsen
reserveren, dat de kans dat er op een zaterdag meer klanten tegen het
normale tarief komen parkeren dan er standaardparkeerplaatsen
4p 9 gereserveerd zijn, hoogstens 0,1 is.
Bereken hoeveel standaardparkeerplaatsen het bedrijf dan moet
reserveren.
HA-1024-a-14-2-0
5/11
lees verder ► ► ►

### Pagina 6

Deze examenpagina is een opgavepagina gericht op het analyseren van kwantitatieve gegevens over huwelijksjubilea in Nederland. De pagina bevat een inleidende tekst over historische trouwcijfers en de toename van huwelijksjubilea over de jaren 2000 en 2010. Visuele elementen omvatten een zwart-wit foto van een ouder echtpaar aan tafel, waarschijnlijk ter illustratie van een huwelijksjubileum, en een horizontale staafdiagram (figuur 1). De staafdiagram visualiseert 'Aantal huwelijksjubilea' voor de jaren 2000 (lichtgrijze staven) en 2010 (donkergrijze staven) voor verschillende jubileumduren: 12,5 jaar, 25 jaar, 40 jaar, 50 jaar en 60 jaar. De x-as geeft het aantal paren weer (×1000) en de y-as de duur van het jubileum in jaren. De legenda duidt de jaartallen aan. Er worden twee vraagstukken gesteld: vraag 10 vraagt om een berekening van het aantal paren dat in 2000 minstens 40 jaar gehuwd was, wat vraagt om het interpreteren van de verstrekte tekstinformatie (een 40% toename ten opzichte van het jaar 2000 voor 40+ jaar gehuwden in 2010). Vraag 11 vereist het interpreteren van de staafdiagram om de procentuele afname van het aantal 25-jarige huwelijksjubilea tussen 2000 en 2010 te berekenen. Beide vragen vereisen wiskundige vaardigheden zoals percentages berekenen en het aflezen en interpreteren van grafieken en tekstuele data.

### Pagina 7

3p 12 In 1970 trouwden zoals gezegd 124 000 paren. In 1980 traden 90 000 paren in het huwelijk. Veronderstel dat er bij deze paren in verhouding evenveel huwelijken minstens 40 jaar zullen standhouden als bij de paren die in 1970 in het huwelijk traden. Bereken hoeveel 40-jarige huwelijksjubilea men dan in het jaar 2020 mag verwachten.

In figuur 2 is te zien hoeveel huwelijkssluitingen er in de jaren 1950 tot en met 2009 waren.

[FIGUUR: Een lijngrafiek met op de x-as de jaren van 1950 tot 2009 en op de y-as het aantal huwelijkssluitingen in duizendtallen, oplopend van 60 tot 130. De grafiek toont een lijn die op en neer gaat, met een stijgende trend in de vroege jaren, een piek rond 1970, en daarna een dalende trend met fluctuaties.]

Vanaf ongeveer 1988 lijkt er een dalende trend te zijn in het aantal huwelijkssluitingen. In de grafiek is een trendlijn getekend. De formule van deze lijn is van de vorm $A = a \cdot t + b$. Hierin is $A$ het aantal gesloten huwelijken in duizendtallen en $t$ de tijd in jaren met $t = 0$ in 1988.

4p 13 Bereken $a$ en $b$.

Het percentage huwelijken dat minstens 40 jaar standhoudt, is bij huwelijken die in 1970 zijn gesloten ongeveer even groot als bij huwelijken die in 1960 zijn gesloten. Dit kun je met behulp van de figuren 1 en 2 nakerekenen. De vraag is of dat ook voor de andere jubilea geldt. Een onderzoeker stelt het volgende: “Als we kijken naar het aantal echtparen dat in 2000 en 2010 het 25-jarig huwelijksjubileum vierde, dan zien we een opvallende verandering. Het lijkt erop dat het percentage huwelijken dat 25 jaar standhoudt, in deze 10 jaar is gedaald.”

5p 14 Ga met berekeningen na of deze onderzoeker gelijk heeft. Gebruik hierbij de figuren 1 en 2.

HA-1024-a-14-2-0 7/11

### Pagina 8

Trein op tijd

Marleen gaat na de zomervakantie naar een school in een andere stad.
Ze moet daarvoor de trein nemen. Elke school dag moet ze om 8:30 uur
op school zijn. Ze bekijkt de dienstregeling en ziet dat een trein om
8:20 uur op het station vlak bij school aankomt. Zelfs als de trein
maximaal drie minuten vertraging heeft, kan ze nog op tijd op school
komen. Bij grotere vertraging is ze te laat. Ze kan een trein eerder
nemen,
maar dan is ze meestal 30 minuten te vroeg op school.
In het jaar 2009 reed 86,6% van de treinen op tijd. De trein is volgens
de
Nederlandse Spoorwegen (NS) op tijd als de vertraging maximaal
drie minuten is. Neem aan dat de kans dat de trein van Marleen op tijd
is
iedere dag gelijk is aan 0,866.

3p 15 Laat met een berekening zien dat de kans dat Marleen in één week met
vijf lesdagen steeds op tijd op school zal zijn, kleiner is dan 50%.

Als een leerling in een schooljaar 9 of meer keren zonder goede reden te
laat is gekomen, moet de school dit melden aan Bureau Leerplicht.
Marleen neemt elke dag de trein die volgens de dienstregeling om
8:20 uur aankomt. Ze komt alleen te laat door een vertraagde trein.

Veronderstel dat een schooljaar 38 lesweken heeft met elk vijf lesdagen.
De schoolleiding bekijkt halverwege het schooljaar welke leerlingen
moeten worden gemeld bij Bureau Leerplicht. De kans dat Marleen wordt
gemeld, is behoorlijk groot.

5p 16 Bereken de kans dat Marleen na 19 weken al 9 of meer keren te laat is
gekomen.

HA-1024-a-14-2-o 8 / 11 lees verder

### Pagina 9

Marleen schrikt hiervan. Omdat ze vindt dat ze toch een redelijk reisplan
heeft, vraagt Marleen aan haar school wat soepeler te zijn. De school
geeft toe, ze mag voortaan maximaal één dag per week te laat komen.
Ze kan nu dus officieel 0, 1, 2, 3 of 4 dagen per week te laat komen. Als
ze bijvoorbeeld in een week 3 dagen te laat zou komen, wordt ze officieel
2 dagen als te laat geregistreerd.
Van het aantal keren dat Marleen nu in één week officieel te laat komt,
wordt een tabel gemaakt. Zie de tabel.

tabel
Aantal keren per week officieel te laat

| aantal | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|---|
| kans | 0,864 | 0,117 | 0,018 | 0,001 | 0,000 |

4p 17 Toon met berekeningen aan dat de kansen bij de aantallen 0 en 1,
afgerond op drie decimalen, gelijk zijn aan 0,864 en 0,117.

3p 18 Met behulp van de tabel kan worden berekend dat Marleen naar
verwachting ongeveer één keer per 6 weken officieel te laat zal zijn.
Voer deze berekening uit.

HA-1024-a-14-2-0 9/11 lees verder ► ► ►

### Pagina 10

Pas op je hoofd!
Veel headbangers zijn na een bezoek aan een
concert versuft of verward. Twee Australische
artsen hebben onderzoek gedaan naar deze
klachten. Ze hebben het headbangem (met het
hoofd van voor naar achter meezwiepen op de
muziek) en de verkregen hoofletsels
bestudeerd. Het blijkt dat de kans op
hoofletsel toeneemt met het tempo van de muziek, uitgedrukt in beats
per minute (bpm), en met de grootte van de hoek die het zwiepende hoofd
maakt. De resultaten van hun onderzoek vind je in de figuur.

[FIGUUR: Grafiek met op de x-as muziek tempo t (bpm) van 80 tot 180, en op de y-as hoofletselscriterium H van 135 tot 1200. Er zijn vier lijnen getekend: een horizontale lijn bij categorie 3 (1050), een horizontale lijn bij categorie 2 (800), een horizontale lijn bij categorie 1 (520), en een horizontale lijn bij categorie 0 (135). Verder zijn er drie gestippelde lijnen getekend die toenemen met t en H, corresponderend met hoeken van 75°, 90°, 105° en 120°.]

In de figuur kun je bijvoorbeeld aflezen dat een headbanger die bij een
muziektempo van 160 bpm met een hoek van 105° met zijn hoofd zwiept
een hoofletselscriterium heeft van ongeveer 400.
Het hoofletselscriterium is een maat voor de krachten die bij headbangen
op het hoofd werken.

Met $H_n$ wordt het hoofletselscriterium bij een hoek van $n$ graden
aangeduid. Bij de grafieken in de figuur kunnen bijpassende formules voor
$H_n$ worden opgesteld. Van drie grafieken zijn voor een muziek tempo $t$
vanaf 80 bpm de formules gegeven
$H_{45} = 2,2 \cdot 1,04^{(t-80)}$, $H_{75} = 6,8 \cdot 1,04^{(t-80)}$ en $H_{105} = 17,4 \cdot 1,04^{(t-80)}$.

3p 19 Bepaal hoeveel het hoofletselscriterium toeneemt als de hoek waarmee
het hoofd zwiept toeneemt van 75° naar 105°.

HA-1024-a-14-2-0 10 / 11 lees verder ►►►

### Pagina 11

De formule voor het headbangen met een hoek van $120^{\circ}$ is niet gegeven.
Ook voor deze hoek is er sprake van een exponentieel verband. In de
figuur kun je aflezen dat bij een muziektempo van 130 bpm $H_{120} = 200$ en
bij een muziektempo van 180 bpm $H_{120} = 1200$.
3p 20 Bereken voor $H_{120}$ de groeifactor per bpm in drie decimalen nauwkeurig.

De onderzoekers hebben het hoofdletselcriterium in vier gebieden
onderverdeeld (zie figuur):
– categorie 0: geen hoofdletsel;
– categorie 1: hoofdpijn, duizeligheid;
– categorie 2: bewusteloos, tot één uur;
– categorie 3: bewusteloos, één tot zes uur.
De grenzen tussen de categorieën 0, 1, 2 en 3 worden gegeven bij een
hoofdletselcriterium van respectievelijk 135, 520 en 900.
De eerdergenoemde headbanger die bij een muziektempo van 160 bpm
met een hoek van $105^{\circ}$ met zijn hoofd zwiept, valt met zijn
hoofdletselcriterium in categorie 1 en zal dus last hebben van hoofdpijn
en/of duizeligheid.

Bij headbangen met een hoek van $45^{\circ}$ hoeft men zich geen zorgen te
maken om eventueel hoofdletsel. Met een muziektempo tussen de 80 en
180 bpm zit men dan altijd in categorie 0 omdat het hoofdletselcriterium
onder de 135 blijft.
Het muziektempo kan zelfs nog iets verhoogd worden zonder dat er
hoofdletsel optreedt.
3p 21 Bereken met behulp van de formule van $H_{45}$ vanaf welk muziektempo er
hoofdletsel optreedt bij headbangen met een hoek van $45^{\circ}$.

Uit de figuur kun je het volgende afleiden: hoe hoger het muziektempo,
des te kleiner moet de hoek waarmee het hoofd zwiept worden om geen
hoofdletsel te krijgen.
Dit kun je beter in beeld krijgen door een grafiek te maken waarbij je de
hoek uitzet tegen het muziektempo bij een vast hoofdletselcriterium
van 135.
4p 22 Teken met behulp van alle informatie die je uit de figuur kunt halen zo'n
grafiek op de uitwerkbijlage. Geef duidelijk aan hoe je de grafiek gemaakt
hebt.

HA-1024-a-14-2-o 11/11 einde