# Eindexamen Wiskunde A HAVO 2014 tijdvak 1

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2014/tijdvak-1

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Opgave 2

### Vraag 2 – Opgave 2

### Vraag 3 – Opgave 2

### Vraag 4 – Opgave 2

### Vraag 5 – Opgave 2

### Vraag 6 – Opgave 1

### Vraag 7 – Opgave 2

### Vraag 8 – Opgave 2

### Vraag 9 – Opgave 1

### Vraag 10 – Opgave 1

### Vraag 11 – Opgave 2

### Vraag 12 – Opgave 2

### Vraag 13 – Opgave 1

### Vraag 14 – Opgave 2

### Vraag 15 – Opgave 2

### Vraag 16 – Opgave 2

### Vraag 17 – Opgave 2

### Vraag 18 – Opgave 2

### Vraag 19 – Opgave 1

### Vraag 20 – Opgave 1

### Vraag 21 – Opgave 1

### Vraag 22 – Opgave 1

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen HAVO
2014
tijd vak 1
woensdag 14 mei
13.30 - 16.30 uur
wiskunde A
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Dit examen bestaat uit 22 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 80 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald
kunnen worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redener worden gevraagd en je geeft er meer dan twee
redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
HA-1024-a-14-1-o

### Pagina 2

Krachtvoer voor melkkoeien

De voeding van een melkkoe bestaat vooral uit ruwvoer, zoals gras en hooi. Om een melkkoe meer melk te laten geven, wordt deze bijgevoerd met krachtvoer. In een onderzoek van het Wageningen University & Research Centre is geexperimenteerd met de hoeveelheid krachtvoer die een koe dagelijks krijgt en de invloed ervan op de melkproductie. De resultaten zijn weergegeven in een toename diagram. Zie de figuur. Je kunt hierin bijvoorbeeld zien dat de melkproductie met 0,93 kg per dag toeneemt als de hoeveelheid krachtvoer toeneemt van 1 naar 2 kg per dag.

[FIGUUR: Een lijn- en punten-grafiek met op de y-as de toename melkproductie (kg/dag) van -0,40 tot 1,10 en op de x-as de hoeveelheid krachtvoer (kg/dag) van 0 tot 15.]

Bij een bepaalde hoeveelheid krachtvoer is de melkproductie van een koe maximaal. Met behulp van het toename diagram kan geschat worden welke hoeveelheid krachtvoer dat is.

3p 1 Bepaal deze hoeveelheid (in kg per dag) met behulp van het toename diagram. Licht je antwoord toe.

HA-1024-a-14-1-o 2 / 11 lees verder ►►►

### Pagina 3

Krachtvoer is duur en daarom zal een melkveehouder zuinig zijn met de
hoeveelheid krachtvoer die hij zijn koeien geeft. De melkveehouder wil de
extra kosten van het krachtvoer wel terugverdienen met de opbrengst van
de extra melkproductie. Op een bepaald moment is de melkprijs € 0,29
per kg en de prijs van krachtvoer € 0,20 per kg.
Een melkveehouder overweegt de hoeveelheid krachtvoer voor een koe te
verhogen van 5 kg per dag naar 6 kg per dag.
3p 2 Laat zien dat dit niet verstandig is. Gebruik het toenamediagram.

De onderzoekers hebben een verband geformuleerd tussen de
hoeveelheid krachtvoer die een koe krijgt en de hoeveelheid melk die zij
produceert. Er geldt:
$$M = -0,04 \cdot V^2 + 1,05 \cdot V + 27,2$$
Hierin is $V$ de hoeveelheid krachtvoer in kg per dag en $M$ de
melkproductie in kg per dag.

Voor de melkveehouder is vooral de winst $W$ in euro per koe per dag
belangrijk. De winstformule bij een melkprijs van € 0,29 per kg en een
krachtvoerprijs van € 0,20 per kg is:
$$W = 0,29 \cdot M - 0,20 \cdot V$$

3p 3 Bereken de winst $W$ wanneer een koe 4 kg krachtvoer per dag krijgt.

Als je de formule van $M$ invult in de formule van $W$, ontstaat de formule
$$W = 0,29 \cdot (-0,04 \cdot V^2 + 1,05 \cdot V + 27,2) - 0,20 \cdot V$$
3p 4 Je kunt deze formule herleiden tot de vorm $W = a \cdot V^2 + b \cdot V + c$.
Laat deze herleiding zien.

HA-1024-a-14-1-o 3 / 11 lees verder ►►►

### Pagina 4

FF snel sms'en

Hij is tegenwoordig niet meer weg te denken: de mobiele telefoon. Eind
2001 waren er in Nederland ongeveer 12 miljoen mobiele telefoons. Eind
2009 waren het er al 20 miljoen.

4p 5 In deze periode was er sprake van exponentiële groei.
Bereken met welk percentage het aantal mobiele telefoons jaarlijks
toenam.

Je zou misschien denken dat er eind 2009 ook 20 miljoen mobiele
telefoonnummers bestonden, maar er waren toen veel meer mobiele
telefoonnummers dan mobiele telefoons.
In Nederland beginnen mobiele telefoonnummers met 06, gevolgd door
een van de cijfers 1, 2, 3, 4, 5 of 8. Voor de overige cijfers worden alle
cijfers van 0 tot en met 9 gebruikt. Het telefoonnummer bestaat in totaal
uit tien cijfers.
Eind 2009 was al 82,2% van de beschikbare mobiele telefoonnummers
uitgegeven.
3p 6 Bereken hoeveel mobiele telefoonnummers er in Nederland eind 2009 al
waren uitgegeven.

figuur
[FIGUUR: Een mobiel toetsenbord met cijfers en letters]

De mobiele telefoon wordt vaak gebruikt
om een tekstbericht te schrijven. Lange
tijd hadden mobiele telefoons een
toetsenbord zoals in de figuur. Het
intypen van teksten met zo'n toetsenbord
werkt vaak met het T9-systeem. T9 is
een afkorting van ‘Tekst op 9 toetsen’ 1).
Dit systeem werkt als volgt: wanneer je
een letter wilt typen, dan druk je eenmaal
op de toets waar die letter op staat. Wil je
bijvoorbeeld het woord ‘hoi’ typen, dan gebruik je de drie toetsen
4 (GHI) 6 (MNO) 4 (GHI).
Het T9-systeem zoekt in de ingebouwde woordenlijst naar het woord dat
je zou kunnen bedoelen.

Er wordt met het T9-systeem ingetyp: 945. Dit kan bij elk van de woorden
‘wik’, ‘wil’, ‘wij’ of ‘zij’ horen. Als de mobiele telefoon geen woordenlijst
zou bevatten, zou ook een niet-bestaand woord als ‘ygk’ of ‘xik’ bedoeld
kunnen zijn.
3p 7 Bereken hoeveel woorden, bestaande en niet-bestaande samen, bij 945
horen.

noot 1 Het T9-systeem maakt gebruik van de negen toetsen 2 tot en met 9 en 0.
De 0 wordt gebruikt om een spatie in te voeren.

HA-1024-a-14-1-o 4/11 lees verder >>>>

### Pagina 5

Een woordenlijst op een mobiele telefoon bevat heel veel woorden. Zodra je een toets indrukt, valt een groot deel van de woorden in de woordenlijst af. Bij elke volgende toets vallen er meer woorden af.

We bekijken een model waarbij een mobiele telefoon een woordenlijst bevat van 300 000 woorden. De letters zijn verdeeld over 8 toetsen. Dit houdt in dat bij elk cijfer dat wordt ingetoetst, steeds $\frac{7}{8}$ deel van het overgebleven aantal woorden afvalt. Bij een lang woord blijf je toetsen indrukken totdat het uniciteitspunt bereikt wordt: het punt waarop er slechts één woord van de woordenlijst over is. Bij zo'n lang woord uit de woordenlijst wordt het uniciteitspunt al bereikt voordat het laatste cijfer is ingetoetst.

4p 8 Bereken hoe vaak je in dit model een cijfer moet intoetsen om voor een lang woord uit de woordenlijst het uniciteitspunt te bereiken.

HA-1024-a-14-1-o 5 / 11 lees verder ► ► ►

### Pagina 6

Bloedpaspoort

Alle sporters die op topniveau presteren,
moeten een biomedisch paspoort hebben.
Dit wordt ook wel een bloedpaspoort
genoemd. Met behulp van dit paspoort
probeert de WADA (World Anti-Doping
Agency) het gebruik van doping op te sporen.
De meeste dopingproducten worden
opgespoord in urine of bloed. Soms zijn de
sporen echter al verdwenen, maar is het
product toch nog werkzaam. Die
werkzaamheid kan dan indirect worden
aangetoond doordat bepaalde waarden in
het bloed erg hoog of juist erg laag zijn.
[FIGUUR: Hand met handschoen die met een pincet een reageerbuisje vasthoudt, met op de achtergrond een rekje met meer buisjes.]

Bij een dopingcontrole wordt het bloed onderzocht op negen verschillende
bloedwaarden, die elk worden uitgedrukt in een getal. De resultaten
hiervan worden genoteerd in het bloedpaspoort.

Deze negen verschillende bloedwaarden staan onder elkaar in een kolom.
Daarachter kunnen de onderzoeksresultaten worden vermeld. De
bloedpaspoorten van verschillende landen zien er niet hetzelfde uit.
3p 9 Bereken op hoeveel verschillende volgordes de bloedwaarden in de kolom
kunnen staan.

Tegenwoordig richt men zich met name op het percentage jonge rode
bloedcellen, de reticulocytwaarde. Bij een volwassene is deze waarde
gemiddeld 1,45. Als de waarde hoger dan 2,5 is, kan er sprake zijn van
recente doping. Een waarde lager dan 0,4 kan wijzen op langer geleden
dopinggebruik. Het is opmerkelijk als de waarde in een korte periode erg
schommelt. Dan verdenkt de WADA de sporter van doping.

We nemen aan dat de reticulocytwaarde bij volwassenen bij benadering
normaal verdeeld is met een gemiddelde van 1,45. Verder geldt dat 90%
van de volwassenen een reticulocytwaarde heeft tussen 0,54 en 2,36.
Met behulp van deze gegevens kan worden berekend dat de
standaardafwijking ongeveer 0,55 is.

4p 10 Bereken de standaardafwijking in drie decimalen nauwkeurig.

HA-1024-a-14-1-o

6 / 11

lees verder ► ► ►


### Pagina 7

In het jaar 2000 heeft de Internationale Schaatsunie het bloedpaspoort
ingevoerd voor volwassen schaatsers.
Van de eerste 11 000 onderzochte bloedmonsters waren er precies drie
met een reticulocytwaarde hoger dan 3,0.
4p 11 Bereken hoeveel dat er meer of minder waren dan je op grond van de
normale verdeling mocht verwachten.

Er doet zich iets merkwaardigs voor: standaard heeft ongeveer 6% van
alle volwassenen een afwijkende (te hoge of te lage) reticulocytwaarde,
als we de WADA-normen hanteren.
De vijf schaatsers van een schaatsploeg ondergaan een dopingcontrole.
De schaatsers hebben geen van allen doping gebruikt. Van alle
schaatsers wordt de reticulocytwaarde in het bloed bepaald.
3p 12 Bereken de kans dat minstens één van de schaatsers van de ploeg een
afwijkende reticulocytwaarde heeft.

Veel sporters vinden de WADA-normen te streng. Volgens hen moeten in
ieder geval de normen voor de reticulocytwaarde worden aangepast,
zodanig dat 99% van de volwassenen een acceptabele reticulocytwaarde
heeft. De bovengrens moet dan hoger worden dan 2,5 en de ondergrens
lager dan 0,4. De groep volwassenen met een te hoge waarde blijft wel
een groot als de groep met een te lage waarde, namelijk elk 0,5%.
4p 13 Bereken de ondergrens en de bovengrens die de WADA volgens deze
sporters zou moeten hanteren.
HA-1024-a-14-1-o 7 / 11 lees verder

### Pagina 8

Van score naar cijfer
Als je examen hebt gedaan, ben je vaak erg benieuwd naar het cijfer.
Thuis kijk je op internet welke vragen je goed had en hoeveel scorepunten
je daarmee verdiend zou hebben. Maar welk cijfer hoort daarbij?
Vanaf het jaar 2000 wordt bij veel vakken dezelfde formule gebruikt om
het cijfer te berekenen. Deze zogenaamde hoofdfomule luidt:
$$C = 9 \cdot \frac{S}{L} + N$$
In deze formule is C het cijfer, S het aantal behaalde scorepunten,
L het maximaal te behalen aantal scorepunten bij het examen en N de
normeringsterm.
Er geldt: S en L zijn gehele getallen en N is een getal met één decimaal,
minimaal 0,0 en maximaal 2,0. C wordt afgerond op één decimaal.
Bij normeringsterm $N=1,0$ wordt aan de volgende voorwaarden voldaan:
- een leerling die geen enkel scorepunt heeft behaald, krijgt het cijfer 1;
- een leerling die alle scorepunten heeft behaald, krijgt het cijfer 10;
- een leerling die precies de helft van het aantal scorepunten heeft
behaald, krijgt het cijfer 5,5.
4p 14 Laat met de hoofdfomule zien dat bij $N=1,0$ voor elke waarde van $L$ aan
alle drie de voorwaarden voldaan is.
Afhankelijk van de moeilijkheidsgraad van een examen wordt de
normeringsterm N vastgesteld. Normaal gesproken geldt $N=1,0$, maar
als een examen erg moeilijk was, wordt bijvoorbeeld gekozen voor
$N=1,6$. Zo'n examen is dan 0,6 'opgewaardeerd'.
Een te gemakkelijke examen kan worden 'afgewaardeerd', dat wil zeggen:
naar beneden worden bijgesteld. In dat geval is N kleiner dan 1,0.
Als een examen wordt op- of afgewaardeerd, is er wel een probleem: het
cijfer zou hoger dan 10 of lager dan 1 kunnen worden en dat mag niet.
Bij een examen met $L=75$ en $N=1,8$ zou je al een 10 kunnen halen
terwijl je niet alle scorepunten hebt behaald.
4p 15 Bereken hoeveel scorepunten je maximaal mag missen om toch een 10 te
halen bij het gebruik van de hoofdfomule.
HA-1024-a-14-1-o 8/11 lees verder ►►►

### Pagina 9

Het hiervoor besproken probleem wordt als volgt opgelost. Eerst worden de grafieken getekend van de hoofdformule bij $N = 0,0$ en $N = 2,0$. Daarna worden de grafieken getekend behorend bij de onderstaande vier formules

(1) $C = 1 + S \cdot \frac{9}{L} \cdot 0,5$ (3) $C = 10 - (L-S) \cdot \frac{9}{L} \cdot 0,5$
(2) $C = 1 + S \cdot \frac{9}{L} \cdot 2$ (4) $C = 10 - (L-S) \cdot \frac{9}{L} \cdot 2$

Hoewel de grafieken van al deze formules in feite uit losse punten bestaan, gaan we er in deze opgave van uit dat ze rechte lijnen zijn. Op de uitwerkbijlage staat de figuur voor een examen met $L = 80$.

4p 16 Formule (4) is bij $L = 80$ te herleiden tot de vorm $C = a \cdot S + b$. Geef deze herleiding en bepaal hiermee de waarden van $a$ en $b$.

Als de normeringsterm $N$ bekend is, wordt de grafiek van de hoofdformule bij deze $N$ in de figuur getekend. Het cijfer wordt berekend met de hoofdformule. Dit mag echter alleen bij scores waarvan de grafiek binnen het grijze gebied ligt. Voor sommige heel lage of heel hoge scores ligt de grafiek van de hoofdformule echter buiten het grijze gebied. In dat geval wordt de formule van de dichtstbijzijnde grafiek (1), (2), (3) of (4) gebruikt om het juiste cijfer te bepalen. Op deze manier wordt ervoor gezorgd dat het laagste cijfer altijd 1 en het hoogste cijfer altijd 10 is. Als voorbeeld is in de figuur op de uitwerkbijlage de hoofdformule met $N = 1,5$ getekend. Je ziet dat voor heel lage scores formule (2) moet worden gebruikt.

Een leerling heeft een examen met $L = 80$ gemaakt. De normeringsterm is nog niet bekend.
3p 17 Bepaal met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage vanaf welke score deze leerling zeker is van het cijfer 5,5 of hoger.

Een andere leerling heeft het examen heel goed gemaakt: van de maximaal 80 te behalen scorepunten heeft hij er 77 behaald. Omdat het examen erg gemakkelijk blijkt te zijn, geldt $N = 0,4$.
Met behulp van de figuur op de uitwerkbijlage en de gegeven formules kan het cijfer van deze leerling worden berekend.
4p 18 Onderzoek welk cijfer deze leerling krijgt. Laat zien hoe je de figuur op de uitwerkbijlage hierbij hebt gebruikt.

HA-1024-a-14-1-o 9 / 11 lees verder ► ► ►

### Pagina 10

Wat zeg je?

Een veelgehoorde klacht is: "Ik hoor je wel, maar ik versta je niet." Je
hoort nog wel dát er iets gezegd wordt, maar je hersenen moeten hard
werken om te verstaan wát er precies gezegd wordt. Dit wordt een
versta-probleem genoemd.
Niet alleen ouderen, ook heel wat jongeren hebben versta-problemen.
Sinds een paar jaar is er een test waarmee je kunt bepalen of je
versta-problemen hebt. Bij deze test krijg je 10 woorden te horen met
achtergrondlawaai. Je moet op het antwoordformulier aangeven welk
woord je gehoord hebt. Per woord zijn er vier keuzemogelijkheden.

3p 19 Bereken op hoeveel verschillende manieren je het antwoordformulier kunt
invullen.

Aan de hand van het resultaat van de test kun je bepalen hoe goed je in
een lawaaiige omgeving kunt verstaan wat er gezegd wordt. Er geldt:

– Geen problemen: 8 of meer goede antwoorden.
Verstaanbaarheid in lawaai is in orde.

– Het grijze gebied: 6 of 7 goede antwoorden.
In een lawaaiige omgeving kun je niet altijd verstaan wat er gezegd
wordt. Gesprekken volgen kan moeilijk zijn.

– Serieuze versta-problemen: 5 of minder goede antwoorden.
Je mist veel woorden in een gesprek. Het volgen van een
groepsgesprek is nagenoeg onmogelijk geworden.

In de test is bij elk woord één van de vier keuzemogelijkheden 'niet
verstaan'. Miranda vraagt zich af: stel dat je bij geen enkel van de
10 woorden kiest voor 'niet verstaan', maar telkens willekeurig kiest uit de
overige 3 mogelijkheden. Hoe groot is dan de kans dat de test als uitslag
geeft dat je serieuze versta-problemen hebt?
4p 20 Bereken deze kans.

HA-1024-a-14-1-o 10 / 11 lees verder ►►►

### Pagina 11

In België werd de versta-test in 2009 door een grote groep Vlamingen van
16 jaar en ouder gemaakt. Een deel van de resultaten is verwerkt in de
figuur.

figuur
[FIGUUR: Grafiek met op de y-as "P (%)" van 0 tot 100 en op de x-as "l (jaar)" van 0 tot 90. De grafiek toont een dalende trendlijn en een golvende lijn die de data representeert. Er zijn rasters zichtbaar op de grafiek.]

Eén van de uitkomsten was te verwachten: naarmate de leeftijd vordert,
wordt het percentage mensen zonder versta-problemen kleiner.
Deze trend is aangegeven in de figuur: er is bij benadering een lineair
verband tussen het percentage mensen $P$ zonder versta-problemen en de
leeftijd $l$.

5p 21 Stel de formule op van de in de figuur getekende trendlijn.

Je zou verwachten dat de trend ook geldt voor jonge mensen: hoe jonger,
des te hoger het percentage zonder versta-problemen. Dit blijkt echter
niet zo te zijn, zoals je ook in de figuur kunt zien. Er zijn veel meer
jongeren met versta-problemen dan je zou verwachten.
Hoogstwaarschijnlijk komt dit door het veelvuldig luisteren naar muziek via
mp3-spelers, telefoons en dergelijke door deze groep.
Julia schrijft een artikel over versta-problemen bij jongeren in de
schoolkrant, voorzien van de figuur. Zij wil de volgende zin schrijven:
"Het aantal 17-jarigen met versta-problemen is ... keer zo groot als het
aantal dat je op grond van de trendlijn zou verwachten."
Op de plaats van de puntjes moet een geheel getal komen te staan.

5p 22 Bereken dit getal.

HA-1024-a-14-1-o 11 / 11 einde