# Eindexamen Wiskunde A HAVO 2013 tijdvak 2

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2013/tijdvak-2

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Opgave 2

### Vraag 2 – Opgave 1

### Vraag 3 – Opgave 1

### Vraag 4 – Opgave 2

### Vraag 5 – Opgave 2

### Vraag 6 – Opgave 1

### Vraag 7 – Opgave 2

### Vraag 8 – Opgave 1

### Vraag 9 – Opgave 2

### Vraag 10 – Opgave 1

### Vraag 11 – Opgave 2

### Vraag 12 – Opgave 2

### Vraag 13 – Opgave 2

### Vraag 14 – Opgave 1

### Vraag 15 – Opgave 1

### Vraag 16 – Opgave 1

### Vraag 17 – Opgave 1

### Vraag 18 – Opgave 2

### Vraag 19 – Opgave 2

### Vraag 20 – Opgave 1

### Vraag 21 – Opgave 2

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen HAVO
2013
tijdvak 2
woensdag 19 juni
13.30 - 16.30 uur
wiskunde A
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Dit examen bestaat uit 21 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 80 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord kunnen
worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord
meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er
bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee redenen, dan
worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
HA-1024-a-13-2-o

### Pagina 2

Korting

In de handel is het gebruikelijk om korting te geven als een klant veel
exemplaren van een bepaald product bestelt.

Kwantumkorting
Een manier om klanten korting te geven, is de kwantumkorting. Er wordt
dan een procentuele korting gegeven op de kosten van de hele bestelling.
Hierbij geldt: hoe meer exemplaren besteld worden, hoe hoger de korting.
Een klant krijgt bij bedrijf A kwantumkorting op een product met een
stukprijs (de prijs per exemplaar) van 7,50 euro. Het bedrijf geeft
kwantumkorting volgens tabel 1.

tabel 1 Bedrijf A: kwantumkorting
korting op de kosten van
bestelling de hele bestelling in %
tot en met 10 000 exemplaren 0
van 10 001 tot en met 20 000 exemplaren 25
van 20 001 tot en met 50 000 exemplaren 50
vanaf 50 001 exemplaren 70

Bij kwantumkorting kun je soms beter iets meer exemplaren bestellen dan
je nodig hebt, omdat je daarmee in totaal voordeliger uit bent.
3p 1 Geef hier met behulp van tabel 1 een voorbeeld van.

Staffelkorting
Een andere manier om klanten korting te geven is staffelen. Daarbij kan
een klant ook korting krijgen, maar slechts over één of meer gedeelten
van de bestelling. Voor de eerste exemplaren moet een klant de normale
prijs per stuk betalen. Daarna wordt er per volgende hoeveelheid een
steeds lagere prijs per stuk betaald.
Een klant krijgt bij een ander bedrijf, bedrijf B, op hetzelfde product
staffelkorting volgens tabel 2. Hierin zie je dat de eerste 5000
exemplaren
7,50 euro per stuk kosten en dat de volgende 5000 exemplaren 5 euro per
stuk kosten. Daarna neemt stapsgewijs de prijs per stuk nog verder af.

HA-1024-a-13-2-o
2 / 10
lees verder ►►►

### Pagina 3

tabel 2 Bedrijf B: staffelkorting
De exemplaren 1 tot en met 5000 kosten per stuk 7,50
De exemplaren 5001 tot en met 10 000 kosten per stuk 5,-
De exemplaren 10 001 tot en met 20 000 kosten per stuk 3,-
De exemplaren 20 001 tot en met 50 000 kosten per stuk 2,-
De exemplaren 50 001 tot en met 100 000 kosten per stuk 1,50
De exemplaren 100 001 tot en met 200 000 kosten per stuk 1,20

4p 2 Een klant wil een bestelling plaatsen van 45 000 exemplaren.
Onderzoek welk van de bedrijven, A of B, voor deze klant het voordeligst
is.
In het vervolg van deze opgave bekijken we de staffelkorting uitvoeriger.
Het totale bedrag dat betaald moet worden volgens tabel 2 kan worden
uitgezet in een grafiek. Deze grafiek bestaat uit zes verschillende
lijnstukken. In de grafiek is deze grafiek afgebeeld. In de grafiek is x het
aantal bestelde exemplaren en T het totale bedrag in euro.

figuur
[FIGUUR: Een grafiek met de y-as gelabeld 'totale bedrag T (euro)' met waarden van 0 tot 350000, en de x-as gelabeld 'aantal bestelde exemplaren x' met waarden van 0 tot 200000. De grafiek toont een gebroken lijn die bestaat uit zes lijnstukken, beginnend bij (0,0), met punten rond (5000, 37500), (10000, 50000), (20000, 80000), (50000, 170000), (100000, 220000), en eindigend met een stijgende lijn.]

Bij de verschillende delen van de grafiek horen formules van de vorm
$T = a \cdot x + b$.
4p 3 Stel met de gegevens van tabel 2 de formule op voor T bij een bestelling
van 5001 tot en met 10 000 exemplaren.

HA-1024-a-13-2-o 3/10 lees verder

### Pagina 4

De grafiek met de verschillende lijnstukken kan benaderd worden door
een vloeiende kromme. Bij deze kromme hoort de formule:
$$ T_{\text{benaderd}} = 260 \cdot x^{0.59} $$
Hierin is $T_{\text{benaderd}}$ het totale (benaderde) bedrag in euro en $x$ het aantal
bestelde exemplaren.
De prijs per stuk die betaald moet worden voor de exemplaren 10 001 tot
en met 20 000 kan met behulp van het differentiequotient $\frac{\Delta T_{\text{benaderd}}}{\Delta x}$ op
het interval van 10 001 tot en met 20 000 benaderd worden.
5p 4 Bereken hoeveel de prijs per stuk volgens deze benadering afwijkt van de
stukprijs zoals gegeven in tabel 2.
Bij elke bestelling kan met behulp van de formule van $T_{\text{benaderd}}$ de
gemiddelde prijs per stuk berekend worden. Daarvoor moet het totale
bedrag $T_{\text{benaderd}}$ gedeeld worden door het aantal bestelde exemplaren $x$.
Een klant wil zoveel exemplaren bestellen, dat de gemiddelde prijs per
4p 5 stuk 2,75 euro is.
Onderzoek hoeveel exemplaren deze klant moet bestellen. Rond het
antwoord af op duizendtallen.
HA-1024-a-13-2-o 4 / 10 lees verder ► ► ►

### Pagina 5

Veiligheid in de luchtvaart
Hoewel er geregeld ernstige vliegtuigongelukken in de burgerluchtvaart
gebeuren, is vliegen toch zeer veilig te noemen. Analyse van de gegevens
laat zien dat er in de afgelopen veertig jaar maar weinig
vliegtuigongelukken waren, variërend van 0 tot 10 per maand wereldwijd.
Ook blijken de aantallen ongelukken per maand onafhankelijk van elkaar
te zijn: het aantal vliegtuigongelukken in een bepaalde maand heeft geen
enkele invloed op het aantal vliegtuigongelukken in de volgende maand.
Het gemiddelde aantal vliegtuigongelukken per maand bleef door de jaren
heen vrijwel gelijk.

Er bestaat een formule waarmee de kans $P$ op $n$ vliegtuigongelukken in
een maand berekend kan worden:
$$P = \frac{m^n}{n!} \cdot 2,7183^{-m}$$
Hierin is $m$ het gemiddelde aantal vliegtuigongelukken per maand.

Over de afgelopen veertig jaar is het gemiddelde aantal
vliegtuigongelukken per maand 3,93. We gaan ervan uit dat dit
gemiddelde in de nabije toekomst hetzelfde blijft.

Bovenstaande formule is met het gemiddelde $m = 3,93$ te schrijven als:
$$P = 0,0196 \cdot \frac{3,93^n}{n!}$$

3p 6 Laat zien hoe deze formule ontstaat uit de eerste formule.
4p 7 Bereken met behulp van de tweede formule de kans dat er in januari 2015
drie of vier vliegtuigongelukken zullen gebeuren.

De kans op precies vijf vliegtuigongelukken in een bepaalde maand is
ongeveer 0,15.
3p 8 Bereken hiermee de kans dat er in de eerste drie maanden van 2015
maandelijks precies vijf vliegtuigongelukken zullen gebeuren.

De kans dat er in een bepaalde maand geen enkel vliegtuigongeluk zal
gebeuren is vrij klein, namelijk ongeveer 0,02.
4p 9 Bereken de kans dat er in 2015 alleen in de maanden januari en februari
geen enkel vliegtuigongeluk zal gebeuren, en in elk van de overige
maanden wel minstens één vliegtuigongeluk.

HA-1024-a-13-2-o 5 / 10 lees verder ► ► ►

### Pagina 6

Paracetamol

Paracetamol is een veelgebruikte pijnstiller, die in tabletvorm te koop is.
Voor volwassenen zijn er tabletten die 500 mg paracetamol bevatten. Op
de bijsluiter staat onder andere het volgende vermeld.

Dosering
Volwassenen: één of twee tabletten van
500 mg per keer, maximaal zes tabletten
per 24 uur.

[FIGUUR: Een blisterverpakking met paracetamoltabletten.]

Aanwijzingen voor het gebruik
De tabletten moeten met een ruime
hoeveelheid water ingenomen worden. Het toedieningsinterval moet
minstens 4 uur bedragen.

Na het innemen van een tablet wordt de 500 mg paracetamol via maag en
darmen bijna volledig in het bloed opgenomen. We gebruiken in deze
opgave het volgende wiskundige model voor de opname van paracetamol
in het bloed. Tien minuten na het innemen van een tablet is de helft van
de paracetamol opgenomen in het bloed. De andere helft zit dan nog in
maag en darmen. Van de achtergebleven paracetamol in maag en
darmen wordt in de volgende tien minuten weer de helft opgenomen in het
bloed. Ook daarna wordt iedere tien minuten de helft van de paracetamol
die nog in maag en darmen zit, opgenomen in het bloed.

4p 10 Een volwassene neemt om 9.00 uur één tablet van 500 mg in.
Laat met een berekening zien dat na één uur ongeveer 492 mg
paracetamol in het bloed is opgenomen.

De laatste 8 mg paracetamol in maag en darmen wordt niet in het bloed
opgenomen. We gaan er verder in ons model van uit dat na ongeveer een
uur de hoeveelheid paracetamol in het bloed door afbraak in de lever
weer begint af te nemen.
Hierbij past de volgende formule:

$$ P = 492 \cdot 0,84^{(t-1)}, \text{ met } t \ge 1 $$

Hierin is $P$ de hoeveelheid paracetamol in het bloed in mg en $t$ de tijd in
uren nadat de tablet is ingenomen.

HA-1024-a-13-2-o
6 / 10
lees verder

### Pagina 7

Het pijnstillend effect is merkbaar zolang de hoeveelheid paracetamol in het bloed meer is dan $200$ mg$^{1)}$. Als de hoeveelheid paracetamol onder de $200$ mg zakt, is het pijnstillend effect niet meer merkbaar: de tablet is uitgewerkt.
Een volwassene die om $9.00$ uur een tablet heeft ingenomen, zal merken dat deze tablet in de loop van de middag is uitgewerkt.
$4p$ $11$ Bereken op welk moment de tablet is uitgewerkt. Geef je antwoord in uren en minuten nauwkeurig.

Een volwassene heeft veel last van pijn en neemt volgens het voorschrift elke vier uur een tablet in. In de figuur kun je voor een periode van $12$ uur per tablet de hoeveelheid paracetamol aflezen die op een bepaald moment in het bloed opgenomen is. De figuur staat vergroot op de uitwerkbijlage.

figuur
[FIGUUR: Grafiek met op de y-as 'hoeveelheid paracetamol in het bloed (mg)' van 0 tot 1000 en op de x-as 'tijd (uren)' van 0 tot 12. Er zijn drie grafieklijnen getekend, die de hoeveelheid paracetamol na inname van respectievelijk tablet 1, tablet 2 en tablet 3 weergeven.]

$4p$ $12$ Teken in de figuur op de uitwerkbijlage de grafiek van de totale hoeveelheid paracetamol in het bloed.

Bij flinke pijn mag een volwassene twee tabletten tegelijk innemen in plaats van één. Ook als er twee tabletten tegelijk ingenomen worden, geldt dat na ongeveer een uur de meeste paracetamol in het bloed opgenomen is. Het lichaam breekt de hoeveelheid paracetamol in het bloed wel wat langzamer af: iedere minuut wordt de hoeveelheid paracetamol in het bloed $0,2%$ minder.
$4p$ $13$ Bereken met hoeveel procent de hoeveelheid paracetamol in het bloed per uur afneemt.

noot $1$ We gaan hierbij uit van een volwassene met gemiddelde lengte en gewicht.

HA-1024-a-13-2-o $7$ / $10$ lees verder ►►►

### Pagina 8

5p 14 Volgens de fabrikant is de hoeveelheid paracetamol in een tablet bij benadering normaal verdeeld met een gemiddelde van 500 mg en een standaardafwijking van 2,2 mg. Een apotheker controleert bij 25 tabletten of er in iedere tablet voldoende paracetamol zit. Een tablet die tussen 495 en 505 mg paracetamol bevat, keurt hij goed.
Bereken de kans dat de apotheker alle tabletten goedkeurt, aangenomen dat de informatie van de fabrikant juist is.

Hog
Hog is een dobbelspelletje dat wordt gespeeld door twee spelers die om de beurt één keer gooien met zoveel dobbelstenen als ze maar willen. Dat aantal dobbelstenen mag elke beurt wisselen.
Eerst wordt er geloot wie er mag beginnen. De speler die aan de beurt is, gooit met de dobbelstenen. De score van deze beurt wordt berekend door de som van de ogen te bepalen. Maar pas op: als er met één of meer van de dobbelstenen een 1 is gegooid, dan is de score 0 punten. De speler telt het behaalde aantal punten op bij de score van zijn vorige beurten. Wie het eerst 100 punten (of meer) heeft, heeft gewonnen.
Hieronder zie je wat één van de spelers in zijn eerste drie beurten heeft gegooid met de daarbij behorende puntenverloop.

foto's
beurt 1
[FIGUUR: Vier dobbelstenen op een tafel. De zichtbare ogen zijn 4, 2, 6 en 1.]
score 13 punten
totaal 13+0 = 13 punten

beurt 2
[FIGUUR: Tien dobbelstenen op een tafel. Zes witte dobbelstenen en vier gekleurde dobbelstenen (rood, blauw, groen, geel). De zichtbare ogen variëren van 1 tot 6.]
score 0 punten
totaal 13+0 = 13 punten

beurt 3
[FIGUUR: Vijf dobbelstenen op een tafel. Drie witte dobbelstenen en twee gekleurde dobbelstenen (rood, groen). De zichtbare ogen zijn 1, 2, 6, 3 en 4.]
score 19 punten
totaal 13+19 = 32 punten

Het gooien van tweemaal een 3, eenmaal een 2 en eenmaal een 5 met vier verschillend gekleurde dobbelstenen, zoals in beurt 1, kan op verschillende manieren gebeuren: je kunt bijvoorbeeld met de rode dobbelsteen een 2 gooien, maar ook met de witte dobbelstenen.
4p 15 Bereken het aantal manieren waarop je met vier verschillend gekleurde dobbelstenen tweemaal een 3, eenmaal een 2 en eenmaal een 5 kunt gooien.

HA-1024-a-13-2-o
8 / 10
lees verder ►►►

### Pagina 9

Als je met meer dobbelstenen gooit, kun je hogere scores halen, maar de
kans op 0 punten wordt ook groter.
De kans op 0 punten in een beurt waarin met $n$ dobbelstenen wordt gegooid,
$P_n(0)$, kan worden berekend met de volgende formule:

$$ P_n(0) = 1 - \left(\frac{5}{6}\right)^n $$

Iemand wil met veel dobbelstenen gooien in de hoop veel punten te behalen,
maar wel zodanig dat de kans op 0 punten kleiner is dan 0,5.
3p 16 Bereken met hoeveel dobbelstenen er dan maximaal gegooid kan worden.

Voor een beurt waarin met twee dobbelstenen, bijvoorbeeld een rode en een
blauwe, wordt gegooid, is na te gaan hoe groot de verwachtingswaarde van
de score van die beurt is.
Op de uitwerkbijlage staat een tabel waarin de mogelijke scores van de beurt
kunnen worden ingevuld. Je ziet bijvoorbeeld dat de score 0 is als met de
rode dobbelsteen 1 en met de blauwe 6 is gegooid.
5p 17 Vul de tabel op de uitwerkbijlage in en bereken daarmee de
verwachtingswaarde van de score van een beurt waarin met twee
dobbelstenen wordt gegooid.

Voor een beurt waarin met een willekeurig aantal dobbelstenen wordt
gegooid, kun je de verwachtingswaarde van de score berekenen met de
formule:
$$ E = 4n \cdot \left(\frac{5}{6}\right)^n $$
Hierin is $n$ het aantal dobbelstenen waarmee wordt gegooid.
Als je bij Hog streeft naar een zo groot mogelijke verwachtingswaarde van de
score per beurt, dan kun je met deze formule onderzoeken met welk aantal
3p 18 dobbelstenen je het beste kunt gooien.
Bij welk aantal dobbelstenen is de verwachtingswaarde van de score
maximaal? Licht je antwoord toe.

Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.
HA-1024-a-13-2-o 9 / 10 lees verder ► ► ►

### Pagina 10

Hoe hard kun je rijden?
Halverwege het jaar 2010 werd besloten om de
maximumsnelheid op de snelweg - waar dat mogelijk
is - te verhogen van 120 naar 130 km per uur. Er
kwam kritiek op het besluit. In de media werd gemeld
dat bij een verhoging naar 130 km per uur
automobilisten pas bij 139 km per uur een boete
zouden krijgen.
De meetapparatuur van de verkeerspolitie kan de
snelheid van een auto niet exact meten. Daarom wordt
een foutmarge gehanteerd.
[FIGUUR: Een rond verkeersbord met een rode rand en een witte achtergrond. In het midden staat het getal '130' in zwarte cijfers. Op de achtergrond is een weg en een auto te zien.]
Stel dat een automobilist rijdt met een snelheid van $\nu$ km per uur.
De snelheid die dan gemeten wordt, is bij benadering normaal verdeeld
met een gemiddelde van $\nu$ km per uur en een standaardafwijking van
$0,0095 \cdot \nu$ km per uur.

De kans dat iemand ten onrechte een boete krijgt waar een maximum van
130 km per uur geldt, moet heel klein zijn, namelijk maximaal 0,0001.
Stel dat iemand 130 km per uur rijdt. De standaardafwijking van de
gemeten snelheid is dan 1,235.
3p 19 Bereken vanaf welke snelheid een boete gegeven wordt.

In werkelijkheid wordt op wegen met een maximumsnelheid van 130 km
per uur de boete pas bij een gemeten snelheid van 139 km per uur
gegeven.

Van 20 automobilisten die allemaal precies 138 km per uur rijden, waar de
maximumsnelheid 130 km per uur is, wordt onafhankelijk van elkaar de
snelheid gemeten.
4p 20 Bereken hoeveel van hen naar verwachting een boete zullen krijgen.

Om op zijn werk te komen, rijdt Johan een stuk over de A32 waar een
maximumsnelheid van 130 km per uur geldt.
Op dat stuk rijdt hij altijd 139 km per uur omdat hij denkt dat hij dan nog
geen boete zal krijgen.
Ga ervan uit dat de kans dat een automobilist bij 139 km per uur op deze
weg een boete krijgt bij een snelheidsmeting 0,5 is.
De afgelopen 10 werkdagen is zijn snelheid elke dag één keer gemeten.
3p 21 Bereken de kans dat dit minder dan 5 boetes op zal leveren.

HA-1024-a-13-2-o
10 / 10
einde ■