# Eindexamen Wiskunde A HAVO 2012 tijdvak 2

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2012/tijdvak-2

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Opgave 1

### Vraag 2 – Opgave 2

### Vraag 3 – Opgave 1

### Vraag 4 – Opgave 2

### Vraag 5 – Opgave 1

### Vraag 6 – Opgave 2

### Vraag 7 – Opgave 1

### Vraag 8 – Opgave 1

### Vraag 9 – Opgave 1

### Vraag 10 – Opgave 1

### Vraag 11 – Opgave 1

### Vraag 12 – Opgave 1

### Vraag 13 – Opgave 1

### Vraag 14 – Opgave 1

### Vraag 15 – Opgave 2

### Vraag 16 – Opgave 2

### Vraag 17 – Opgave 2

### Vraag 18 – Opgave 1

### Vraag 19 – Opgave 1

### Vraag 20 – Opgave 1

### Vraag 21 – Opgave 1

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen HAVO
2012
tijdvak 2
woensdag 20 juni
13.30 - 16.30 uur
wiskunde A
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Dit examen bestaat uit 21 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 79 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord kunnen
worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord
meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er
bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee redenen, dan
worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
HA-1024-a-12-2-o

### Pagina 2

Benzineverbruik

John heeft een nieuwe auto gekocht die bekend staat om zijn lage verbruik.
Om te zien of de auto echt zo zuinig is als beweerd wordt, houdt hij van alle tankbeurten bij hoeveel liter hij getankt heeft en hoeveel kilometer hij daarmee gereden heeft. Met deze gegevens berekent hij het gemiddelde benzineverbruik $B$ per tankbeurt in liter per 100 km.
John vindt op het internet dat het benzineverbruik $B$ bij benadering verdeeld is met een gemiddelde van 5,78 liter per 100 km en een standaardafwijking van 0,26 liter per 100 km. In het vervolg gaan we uit van deze gegevens.

[FIGUUR: Een zilverkleurige auto, waarschijnlijk een hybride, geparkeerd.]

4p 1 John verwacht komend jaar 70 keer te tanken.
Bereken bij hoeveel van die 70 tankbeurten het benzineverbruik naar verwachting meer dan 6,0 liter per 100 km zal zijn.

3p 2 John spreekt van een goedkope tankbeurt als het door hem berekende benzineverbruik hoort bij de 10% laagste volgens de gegevens op het internet.
Bereken hoe hoog het benzineverbruik $B$ van een goedkope tankbeurt maximaal mag zijn.

Het benzineverbruik is van verschillende factoren afhankelijk. Een van die factoren is de buitentemperatuur. Zie de figuur op de volgende pagina. Deze figuur is ook op de uitwerkbijlage afgedrukt.
In de figuur is voor een aantal verschillende buitentemperaturen de literafstand $L$ in km uitgezet tegen de snelheid $v$ in km per uur. De literafstand is het aantal kilometer dat met 1 liter benzine gereden kan worden. Hoe groter de literafstand is, des te lager is het verbruik. In de figuur kun je bijvoorbeeld aflezen dat bij een temperatuur van $0$ °C en een snelheid van 100 km per uur de literafstand $L$ ongeveer 19,0 km is en bij 25 °C en dezelfde snelheid ongeveer 22,3 km.

4p 3 Het verband tussen de snelheid $v$ en de literafstand $L$ is vanaf een snelheid van 120 km per uur bij benadering lineair. De drie formules die horen bij de verschillende buitentemperaturen hebben dus de vorm $L = a \cdot v + b$.
Stel de formule op van de literafstand bij een buitentemperatuur van 0 °C bij snelheden vanaf 120 km per uur.

5p 4 John maakt een rit van 75 km bij een buitentemperatuur van 10 °C. Hij rijdt met constante snelheid en verbruikt hierbij 4,4 liter benzine.
Hij wil onderzoeken hoeveel km hij meer kan rijden met dezelfde hoeveelheid benzine en met dezelfde constante snelheid als de buitentemperatuur 25 °C is. Hierbij gebruikt hij de figuur.
Bereken hoeveel km John dan meer kan afleggen. Je kunt hierbij gebruikmaken van de figuur op de uitwerkbijlage.

HA-1024-a-12-2-o 2 lees verder

### Pagina 3

figuur
Verband tussen literafstand en snelheid bij verschillende buitentemperaturen
[FIGUUR: Grafiek met op de y-as 'literafstand L (km)' van 10 tot 26, en op de x-as 'snelheid v (km/uur)' van 80 tot 170. Drie lijnen worden weergegeven: een gestippelde lijn voor Temp. 25 °C, een doorgetrokken lijn voor Temp. 10 °C, en een streepjeslijn voor Temp. 0 °C.]
Legenda:
— — — Temp. 25 °C
— Temp. 10 °C
- - . Temp. 0 °C
In de figuur kun je zien dat bij een snelheid van 90 km per uur en een temperatuur van 10 °C de literafstand 21,9 km is, en dat deze bij 25 °C 24,3 km is. Met behulp van lineair interpoleren kun je nu de literafstand berekenen bij deze snelheid en een temperatuur van 13 °C.
3p 5 Bereken deze literafstand L.
HA-1024-a-12-2-o 3 lees verder

### Pagina 4

Pig
Pig is een dobbelspelletje dat wordt gespeeld door twee spelers die om de beurt
een aantal keer met een dobbelsteen werpen. Tijdens een beurt gelden de
onderstaande spelregels. Zie tabel 1.

tabel 1

| Je gooit een | Actie |
|---|---|
| 1 | Je beurtscore is 0. Scores uit mogelijk eerdere worpen uit deze beurt vervallen dus. Je totaalscore verandert niet. De beurt gaat naar de tegenstander. |
| 2, 3, 4, 5 of 6 | De score van deze worp wordt bij die van de mogelijk eerdere worpen uit deze beurt opgeteld tot een (voorlopige) beurtscore. Je mag nu kiezen: |
| | stoppen --> een nieuwe totaalscore (de beurtscore wordt opgeteld bij de oude totaalscore); de beurt gaat naar de tegenstander. |
| | doorgaan --> nogmaals werpen. |

Het doel is als eerste op een totaalscore van 100 punten (of meer) uit te komen.
Een mogelijk spelverloop is het volgende.
Speler 1 begint en werpt het rijtje 5-2-2-4 en stopt dan. Hij eindigt deze beurt
met een beurtscore van 13 punten. Speler 2 gaat verder. Deze werpt het rijtje
5-4-3-2-6 en stopt dan met een beurtscore van 20 punten. Speler 1 gaat weer
verder en werpt het rijtje 3-4-1. Hij heeft dan een beurtscore van 0 punten. Zijn
totaalscore blijft 13 punten. De beurt gaat weer naar speler 2 die het rijtje 6-6
werpt en dan stopt, zodat zijn totaalscore 32 wordt. Het spelverloop is hieronder
in tabel 2 weergegeven.

tabel 2

| | Speler 1 | | | Speler 2 | | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| | beurt score | totaal score | | beurt score | totaal score |
| beurt 1 | 5 | 2 | 2 | 4 | stop | 13 | 13 | 5 | 4 | 3 | 2 | 6 | stop | 20 | 20 |
| beurt 2 | 3 | 4 | 1 | | 0 | 13 | 6 | 6 | stop | | 12 | 32 |
| beurt 3 | ... | | | | | | | ... | | | |

Speler 1 werpt in zijn eerste beurt vier keer met een dobbelsteen met als
resultaat het rijtje 5-2-2-4.

3p 6 Bereken hoeveel verschillende rijtes er mogelijk zijn als er vier keer geworpen
wordt in een beurt van dit spel.

Speler 1 uit het spel hierboven heeft tijdens zijn tweede beurt een beurtscore
van 0 punten.

3p 7 Bereken de kans dat een speler die aan een beurt begint, na drie worpen eindigt
met een beurtscore van 0 punten.

HA-1024-a-12-2-o 4 lees verder ►►►

### Pagina 5

Dit is een opgavepagina van een examen, gericht op het vak Wiskunde B. De pagina bevat drie opgaven (8, 9 en 10) die dieper ingaan op waarschijnlijkheidsrekening en besluitvorming binnen een kansspel. Er zijn geen visuele elementen zoals grafieken of tabellen aanwezig, enkel tekstuele beschrijvingen van de casus en de opdrachten.

De wiskundige/wetenschappelijke concepten die centraal staan zijn: verwachtingswaarde, kansberekening en strategieontwikkeling in een spelcontext. Specifieke notaties en formules omvatten fracties (bijv. 3 1/3, 1/6) en algebraïsche expressies met variabelen (bijv. K punten).

Van de student wordt gevraagd in opgave 8 om alle rijtjes te noteren die resulteren in 16 of meer punten na drie worpen. Dit vereist systematisch tellen en het toepassen van de spelregels. In opgave 9 moet de student een berekening uitvoeren om aan te tonen dat de verwachtingswaarde van de winst per worp 3 1/3 is, wat een dieper begrip van verwachtingswaarde vereist. Opgave 10 vraagt de student om het aantal punten K te berekenen waarbij een specifieke strategie (stoppen wanneer de verwachtingswaarde van verlies groter is dan de verwachtingswaarde van winst bij een extra worp) van toepassing is. Dit combineert kansberekening met algebraïsch oplossen en strategisch inzicht. De opgaven zijn opeenvolgend en bouwen op elkaar voort in complexiteit.

### Pagina 6

Pitotbuis
Voor de piloot van een vliegtuig is de
'air speed' heel belangrijk. Dit is de
snelheid van het vliegtuig ten opzichte
van de omringende lucht. Deze snelheid
wordt gemeten met pitotbuizen: kleine
buisvormige uitsteeksels aan de romp of
vleugel van een vliegtuig. Zie de foto.
Een eenvoudige versie van een pitotbuis
is een gebogen buis met een vloeistof
erin, zie de figuur. De werking is als volgt.
Het vliegtuig vliegt naar rechts, zodat aan de rechterkant lucht de buis instroomt
en daar de vloeistof wegdrukt, zie de figuur. De vloeistof in de linkerbuis komt
dan hoger te staan. De hoogte van de vloeistof in de linkerbuis ten opzichte van
de rechterbuis kan worden gemeten. Een hogere snelheid geeft een grotere
hoogte.
foto
pitotbuis
figuur
snelheid v
lucht inlaat
h
Je kunt met zo'n buis ook de snelheid van je auto bepalen op een windstille dag.
Het enige wat je daarvoor nodig hebt, is een met water gevulde doorzichtige
plastic buis die je tot een pitotbuis vormt. Het uiteinde van de luchtinlaat wordt
buiten de auto in de rijrichting geplaatst.
Een natuurkundedocent heeft op deze manier de hoogte h in cm gemeten bij
verschillende snelheden v in km per uur. De resultaten staan in de tabel.
tabel
snelheid v (in km/uur)
hoogte h (in cm)
0
20
40
60
80
100
120
0
0,2
0,8
1,7
3,0
4,7
6,8
4p 11
Teken in het assenstelsel op de uitwerkbijlage het toenamediagram bij deze
gegevens.
HA-1024-a-12-2-0
6

### Pagina 7

De natuurkundedocent weet dat er een kwadratisch verband tussen $h$ en $v$ bestaat. Dit verband is van de volgende vorm
$h = a \cdot v^2$
3p 12 Hierin is $h$ de hoogte in cm en $v$ de snelheid van de auto in km per uur. Bereken met behulp van de tabel de waarde van $a$.
Het verband tussen $h$ en $v$ is natuurlijk al langer bekend. Volgens natuurkundige wetten geldt in dit geval
$v^2 = 2116 \cdot h$
In de rest van deze opgave gaan we uit van dit verband.
4p 13 De natuurkundedocent heeft nog een andere auto, daarvan is de snelheidsmeter onbetrouwbaar. Hij maakt met deze auto een rit waarbij hij met zijn pitotbuis een hoogte meet van 7,2 cm. Met dit gegeven en het natuurkundige verband kan hij zijn werkelijke snelheid berekenen.
De (onbetrouwbare) snelheidsmeter geeft een snelheid van 110 km per uur aan. Bereken hoeveel procent de snelheid op zijn snelheidsmeter afwijkt van de snelheid volgens het natuurkundige verband.
Hieronder staan vijf verbanden ($a$ t/m $e$) tussen $h$ en $v$.
a $h = \frac{v^2}{2116}$
b $v = 2116 \cdot \sqrt{h}$
c $\frac{v^2}{h} = 2116$
d $h \cdot v^2 = 2116$
e $v = 46 \cdot \sqrt{h}$
5p 14 Geef bij al deze verbanden aan of het verband $v^2 = 2116 \cdot h$ eruit kan worden afgeleid. Als dit mogelijk is, laat dan de afleiding zien.
HA-1024-a-12-2-o 7 lees verder

### Pagina 8

```json
{
  "description": "Dit is een opgavepagina van een examen, getiteld (vertaald) 'Meer dan één prijs...'. De pagina behandelt concepten binnen de kansrekening, specifiek gerelateerd aan loterijen. Visueel bevat de pagina een bovenbalk met de titel en twee afbeeldingen van witte auto's van het merk 'AURIS' met een decoratieve strik, wat de context van prijzen (auto's als bonusprijzen) visueel ondersteunt. \n\nDe opgave introduceert de Quebec Super Lotto, waarbij 500 bonusprijzen (auto's) worden verloot uit 2,4 miljoen unieke lotnummers. De computer trekt 500 nummers, waarbij het mogelijk is dat nummers meermaals getrokken worden. Het verhaal van Antonio Gallardo, die met één lot twee auto's won doordat zijn nummer tweemaal in de lijst van 500 winnende nummers voorkwam, dient als inleiding.\n\nDe wiskundige/wetenschappelijke concepten draaien om kansrekening, met name het berekenen van kansen op herhaalde trekkingen. De eerste vraag, opgave 15 (4 punten), vraagt de student de kans te berekenen dat Antonio's nummer twee of meer keer getrokken wordt, gegeven een enkelvoudige trekkingskans van 1/2.400.000 over 500 trekkingen.\n\nHet vervolg van de opgave gaat dieper in op de kans dat lotnummers twee of meer keer worden getrokken. Dit wordt benaderd door eerst de kans te berekenen dat *alle* getrokken nummers verschillend zijn, aan de hand van een vereenvoudigd voorbeeld. Opgave 16 (3 punten) vraagt de student om met een berekening aan te tonen dat de kans dat alle vijf getrokken nummers (uit een lijst van 100) verschillend zijn, ongeveer 0,9035 bedraagt. Dit impliceert het gebruik van variaties of permutaties of het product van complementaire kansen (zonder herhalingen) in de kansrekening. De student wordt dus gevraagd complexe kansberekeningen uit te voeren en te onderbouwen.",
  "summary": "Examenpagina over kansrekening en loterijtrekkingen. Bevat foto's van auto's. Vraagt student om kansen te berekenen op meermalige trekkingen in de Quebec Super Lotto. Kernconcepten: kans op herhaling, kans op allemaal verschillende nummers, permutaties, combinaties. Opgaven 15 (4p) en

### Pagina 9

Dit is een opgavepagina van een examen, onderdeel van een wiskundig of statistisch examen, gericht op kansrekening. De pagina bevat geen visuele elementen zoals grafieken of tabellen, maar wel een wiskundige formule, namelijk: `p = 0,6065 ^ (1/n * (x^2 - x))`. Deze formule beschrijft de benaderde kans `p` dat alle getrokken nummers verschillend zijn, waarbij `n` staat voor het totaal aantal lottonummers en `x` voor het aantal keren dat een nummer getrokken wordt. De pagina definieert de variabelen binnen de formule duidelijk. Studenten worden gevraagd om met behulp van de gegeven formule twee berekeningen uit te voeren. Opgave 17 vraagt om de afwijking te berekenen tussen de met de formule berekende kans `p` en de werkelijke kans in een specifieke situatie (100 lottonummers, 5 trekkingen). Opgave 18 vraagt om de kans te berekenen dat in een scenario vergelijkbaar met de Quebec Super Lotto van 1982, twee of meer lottonummers twee of meer keer een prijs vallen, opnieuw met behulp van de formule. Dit vereist inzicht in en toepassing van de gegeven kansformule en concepten van kansberekening.

### Pagina 10

Radioactieve stoffen

In ziekenhuizen wordt veel gebruikgemaakt van radioactieve stoffen.
Bij het radioactieve verval van deze stoffen komt straling vrij. Deze straling
wordt onder andere gebruikt voor diagnose en behandeling van ziekten.
Patiënten krijgen een injectie met een geringe hoeveelheid radioactieve stof.
Daarna kijkt de arts met een speciale camera waar de stof zich in het lichaam
concentreert.

Om een scan van de botten te maken, wordt een patiënt ingespoten met de
radioactieve stof Technetium-99m (Tc-99m).
Tc-99m heeft een halveringstijd van 6 uur. Dat wil zeggen dat telkens na 6 uur
de helft van de radioactieve stof verdwenen is. Deze halveringstijd is lang
genoeg om het medische onderzoek uit te voeren en kort genoeg om de patiënt
na het onderzoek niet in het ziekenhuis te hoeven houden.

4p 19 Bereken hoeveel procent van de radioactieve stof Tc-99m 24 uur na toediening
nog in het lichaam van de patiënt aanwezig is.

Vanwege de korte halveringstijd is het voor
een ziekenhuis onmogelijk om Tc-99m in
voorraad te hebben. In het ziekenhuis wordt
hiervoor eenmaal per week een
technetiumkoe afgeleverd. Zie de foto.
Deze 'koe' is eigenlijk een container met
Molybdeen-99 (Mo-99). Tc-99m ontstaat bij
het radioactieve verval van Mo-99, dat een
veel langere halveringstijd heeft.
Uit de koe kan een week lang op elk
gewenst moment Tc-99m worden
'gemolken'. Dit is voldoende voor vele
tientallen patiënten.

[FIGUUR: Een foto die de 'technetiumkoe' toont, een container met daarin een buisje met radioactief materiaal.]

foto

Een container wordt gevuld met Mo-99. Het exponentiële radioactieve verval van
Mo-99 is dusdanig dat na precies 7 dagen nog 17,3% van de stof over is.
Op grond van dit gegeven kun je vaststellen dat de hoeveelheid Mo-99 ieder uur
met ongeveer 1,04% afneemt.

5p 20 Laat met een berekening zien dat dit klopt.

4p 21 Bereken met behulp van de genoemde 1,04% na hoeveel uur de hoeveelheid
Mo-99 in de container gehalveerd is.

HA-1024-a-12-2-o 10 einde