# Eindexamen Wiskunde A HAVO 2012 tijdvak 1

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2012/tijdvak-1

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Opgave 2

### Vraag 2 – Opgave 2

### Vraag 3 – Opgave 2

### Vraag 4 – Opgave 2

### Vraag 5 – Opgave 1

### Vraag 6 – Opgave 2

### Vraag 7 – Opgave 1

### Vraag 8 – Opgave 1

### Vraag 9 – Opgave 2

### Vraag 10 – Opgave 2

### Vraag 11 – Opgave 1

### Vraag 12 – Opgave 1

### Vraag 13 – Opgave 1

### Vraag 14 – Opgave 1

### Vraag 15 – Opgave 1

### Vraag 16 – Opgave 2

### Vraag 17 – Opgave 2

### Vraag 18 – Opgave 18

### Vraag 19 – Opgave 19

### Vraag 20 – Opgave 1

### Vraag 21 – Opgave 1

### Vraag 22 – Opgave 2

### Vraag 23 – Opgave 2

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen HAVO
2012
tijdvak 1
woensdag 23 mei
13.30 - 16.30 uur
wiskunde A
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Dit examen bestaat uit 22 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 84 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord kunnen worden.

Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt.

Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft er meer dan twee redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.

HA-1024-a-12-1-o

### Pagina 2

supersize me
In de film Supersize Me besluit de hoofdpersoon, Morgan Spurlock, dertig dagen lang uitsluitend fastfood te eten. Op deze manier krijgt hij elke dag 5000 kcal aan energie binnen.
Eerst wordt Morgan, die aan het begin van het experiment 85 kg weegt, nog miselijk van het eten. In het vervolg van de film went Morgan aan het type voedsel en ten slotte gaat hij het zelfs lekker vinden.

[FIGUUR: De cover van de film Super Size Me met een close-up van Morgan Spurlock die voedsel in zijn mond heeft.]

Diëtisten kunnen de gewichtstoename voorspellen met een rekenmodel. Voor actieve volwassen mannen, zoals Morgan, is er een formule om de energiebehoefte te bepalen om 'op gewicht' te blijven:
$$E_b = 33,6 \cdot G$$
Hierin is $E_b$ de dagelijkse energiebehoefte in kilocalorieën (kcal) en $G$ het gewicht in kg.

Veronderstel dat Morgan een dagelijkse energiebehoefte zou hebben van 5000 kcal om op gewicht te blijven. Dan zou hij volgens bovenstaande formule veel meer wegen dan de 85 kg die Morgan aan het begin van het experiment woog.

3a (4p) 1 Bereken hoeveel kg hij dan meer zou wegen.

In het rekenmodel wordt verder gebruik gemaakt van het gegeven dat elke 7800 kcal te veel een gewichtstoename van 1 kg veroorzaakt.

4p 2 Bereken met behulp van bovenstaande gegevens hoeveel gram Morgan al na één dag zwaarder wordt volgens het rekenmodel.

De gewichtstoename $T$ van Morgan op een bepaalde dag hangt af van zijn energiebehoefte $E_b$ op die dag. Er geldt:
$$T = 0,000128 \cdot (5000 - E_b)$$
Hierin is $T$ de gewichtstoename in kg per dag.

Wanneer deze formule gecombineerd wordt met de formule $E_b = 33,6 \cdot G$, ontstaat een formule van $T$ uitgedrukt in $G$.
Deze nieuwe formule is te herleiden tot de vorm $T = a \cdot G + b$.

4p 3 Bereken $a$ en $b$.

HA-1024-a-12-1-o
2
lees verder ►►►

### Pagina 3

Het rekenmodel kan ook gebruikt worden om een gewichtsafname (een
negatieve gewichtstoename) te voorspellen. Het model kan dan dienen als basis
voor een dieetadvies om af te vallen.

Een man met een gewicht van 91 kg krijgt van een diëtiste het advies om af te
vallen tot een gewicht van 75 kg. Ze adviseert hem om iedere dag slechts
2520 kcal aan energie te consumeren.

De diëtiste geeft hem een tabel mee die gebaseerd is op het rekenmodel. Zie de
tabel. In de tabel is $t$ de tijd in maanden vanaf het moment dat de man dagelijks
2520 kcal aan energie consumeert, $G$ het gewicht van de man in kg en $A$ het
aantal kg dat hij nog moet afvallen.

[FIGUUR: Tabel met kolommen t, G, A en rijen met waarden voor t van 0 tot 6 en bijbehorende G en A waarden.]

In de tabel is bijvoorbeeld af te lezen dat de man, wanneer hij zich aan het
dieetadvies houdt, na drie maanden een gewicht $G$ heeft van 85,9 kg.
Dat is 10,9 kg boven het gewenste gewicht van 75 kg, dus het aantal nog af te
vallen kg $A$ is 10,9.
Uit de tabel blijkt dat $A$ bij benadering exponentieel afneemt. Hierbij hoort de
formule:

$$A = 16 \cdot 0,88^t \text{ (met } t \text{ in maanden)}$$

De man houdt zich nauwgezet aan het dieetadvies.

3p 4 Bereken het gewicht van de man na acht maanden.

4p 5 Bereken na hoeveel maanden de man 12 kg is afgevallen.

HA-1024-a-12-1-o 3 lees verder ►►►

### Pagina 4

Tai Sai

[FIGUUR: Drie dobbelstenen op een houten ondergrond.]

Tai Sai is een dobbelspel dat veel in casino's wordt gespeeld. Het spel komt oorspronkelijk uit China. Tai Sai betekent zoiets als 'Groot Klein'. Het wordt gespeeld met drie verschillend gekleurde dobbelstenen die op een speeltafel worden gegooid. Vervolgens wordt de som van de ogen van de dobbelstenen bepaald.

4p 6 Bereken hoeveel verschillende mogelijkheden er zijn waarbij de som van de ogen 6 is.

De speler kan inzetten op Tai (Groot) of Sai (Klein).
Bij Tai gokt de speler erop dat de som van de ogen van de drie dobbelstenen
11, 12, 13, 14, 15, 16 of 17 is.
Bij Sai gokt de speler erop dat de som van de ogen 4, 5, 6, 7, 8, 9 of 10 is.
Volgens de spelregels win je niets als er drie keer een 1 of drie keer een 6 gegooid wordt.

De uitkomst van een worp kan Tai, Sai of geen van beide zijn.
De kans op Tai is even groot als de kans op Sai. De kans op Tai is $\frac{107}{216}$.

4p 7 Toon aan dat de kans op Tai inderdaad $\frac{107}{216}$ is.

3p 8 Een speler speelt het spel 30 keer en gokt elke keer op Tai.
Bereken de kans dat er precies 15 van de 30 keer Tai wordt gegooid.

5p 9 Een andere speler speelt het spel 25 keer en gokt elke keer op Tai.
Hij zet elk spel 10 euro in. Dat kost hem dus in totaal 250 euro. ledere keer als hij goed heeft gegokt, krijgt hij 20 euro. Als hij fout heeft gegokt, krijgt hij niets.
Bereken de kans dat deze speler na 25 keer spelen meer dan 250 euro aan uitbetaling heeft ontvangen.

HA-1024-a-12-1-o 4 lees verder ►►►

### Pagina 5

Bij het spel Tai Sai kan een speler ook inzetten op Wu (Vijf). Hierbij wordt het
aantal vijven geteld dat gegooid wordt met de drie dobbelstenen.
In tabel 1 staan de mogelijkheden die zich hierbij kunnen voordoen.

tabel 1
| aantal vijven | uitbetaling bij inzetten op Wu |
|---|---|
| 0 | niets (inzet kwijt) |
| 1 | twee keer de inzet |
| 2 | drie keer de inzet |
| 3 | dertien keer de inzet |

Een speler zet 10 euro in en wil onderzoeken bij welke gok, Wu of Tai, de
verwachtingswaarde voor de uitbetaling het hoogst is.
Daartoe heeft hij in tabel 2 en tabel 3 de (nog onvolledige) kansverdelingen voor
zijn uitbetaling gemaakt. De kansverdelingen staan ook op de uitwerkbijlage.

tabel 2
| | Wu | | |
|---|---|---|---|
| uitkomst | geen vijven | één vij(f) | twee vijven | drie vijven |
| uitbetaling | 0 | | | 130 |
| kans | $\frac{125}{216}$ | | | $\frac{1}{216}$ |

tabel 3
| | Tai | |
|---|---|---|
| uitkomst | geen Tai | wel Tai |
| uitbetaling | | 20 |
| kans | | $\frac{107}{216}$ |

5p 10 Onderzoek bij welke gok, Wu of Tai, de verwachtingswaarde van de uitbetaling
het hoogst is. Geef de berekeningen en gebruik hierbij de uitwerkbijlage.

HA-1024-a-12-1-o 5 lees verder ►►►

### Pagina 6

Bloeiperiode

In Zuid-Engeland onderzoekt men sinds 1950 de lengte van de bloeiperiode van
paddenstoelen.
Na vele duizenden waarnemingen bij 315 verschillende paddenstoelsoorten
hebben Britse onderzoekers geconcludeerd dat er sinds 1980 een duidelijke
verandering van de gemiddelde lengte van de bloeiperiode zichtbaar is.
Zie figuur 1.

figuur 1 Bloeiperiode paddenstoelen

[FIGUUR: Grafiek met op de y-as maanden van augustus tot december en op de x-as jaren van 1945 tot 2005. Er zijn twee lijnen getekend, die de begin bloei en eind bloei representeren. Er is een pijl getekend die de bloeiperiode aanduidt.]

Van 1950 tot 1980 bleef de lengte van de bloeiperiode ongeveer gelijk. Daarna
is deze in de periode van 1980 tot 2005 toegenomen van 30 tot 83 dagen.
In deze opgave neenen we aan dat de lengte van de bloeiperiode sinds 1980
exponentieel toeneemt.

4p 11 Bereken met de gegevens van 1980 en 2005 het jaarlijkse groeipercentage
vanaf 1980 in twee decimalen nauwkeurig.

Vanaf 1980 is de lengte van de bloeiperiode bij benadering te beschrijven met
de formule:
$B=30 \cdot 1,042^t$
Hierin is $B$ de lengte van de bloeiperiode in dagen en $t$ de tijd in jaren vanaf
1980.

3p 12 De lengte van de bloeiperiode is van 1980 tot 2005 ruimschoots verdubbeld.
Bereken in hoeveel jaar de bloeiperiode twee keer zo lang wordt.

HA-1024-a-12-1-o 6 lees verder ►►►


### Pagina 7

Bij de lengte van de bloeiperiode, zoals die aangegeven is in figuur 1, kun je een
toenamediagram tekenen. In figuur 2 staan drie toenamediagrammen, waarvan
er één goed past bij de bloeiperiode tussen 1950 en 2005.

figuur 2
[FIGUUR: Drie grafieken met staafjes. Grafiek A heeft 10 staafjes die oplopen en daarna weer afnemen. Grafiek B heeft 7 staafjes die laag zijn en daarna een piek hebben, gevolgd door lage staafjes. Grafiek C heeft 5 staafjes die oplopen en daarna een piek hebben, gevolgd door lage staafjes.]

3p 13 Geef met een toelichting aan welk toenamediagram het juiste is.
HA-1024-a-12-1-0 7 lees verder ►►►

### Pagina 8

Reactiesnelheid
Het themanummer van het blad Psychologie Magazine was in 2008 geheel
gewijd aan De Man. Het nummer bevatte verschillende testjes waarmee je kon
bepalen hoe mannelijk of vrouwelijk je bent. Een van de testjes ging over
reactiesnelheid, een punt waarop mannen en vrouwen nogal verschillen.

figuur 1

[FIGUUR: Twee handen die een liniaal vasthouden. Eén hand houdt de liniaal bovenaan vast met duim en wijsvinger, de andere hand houdt de liniaal onderaan vast met duim en wijsvinger. De tekst eronder geeft "start test" en "einde test" aan.]

tabel 1

| gemiddelde vang- afstand (cm) | reactietijd (millisecon den) | gemiddelde vang- afstand (cm) | reactietijd (millisecon den) |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 16 | 181 |
| 2 | 64 | 18 | 192 |
| 4 | 90 | 20 | 202 |
| 6 | 111 | 22 | 212 |
| 8 | 128 | 24 | 221 |
| 10 | 143 | 26 | 230 |
| 12 | 156 | 28 | 239 |
| 14 | 169 | 30 | 247 |

Voor deze test zijn twee personen nodig en één liniaal.
Persoon 1 houdt de liniaal bovenaan vast en persoon 2 houdt duim en wijsvinger
rond het 0-streepje (niet vastpakken). Persoon 1 laat de liniaal los en persoon 2
pakt de liniaal zo snel mogelijk met duim en wijsvinger. Zie figuur 1.
Het afgelezen aantal cm op de liniaal wordt de vanafgstand genoemd. Na vijf
pogingen wordt de gemiddelde vanafgstand berekend. In tabel 1 is deze
gemiddelde vanafgstand omgerekend naar reactietijd.

De 18-jarige Henry doet de test en haalt de volgende resultaten: 16,2 cm,
17,2 cm, 16,1 cm, 16,7 cm en 16,8 cm. Hij berekent zijn gemiddelde
vanafgstand en bepaalt daarna met behulp van lineair interpoleren in tabel 1 zijn
reactietijd.

4p 14 Laat zien dat Henry zo op een reactietijd van ongeveer 184 milliseconden
uitkomt.

Uit een Amerikaans onderzoek onder mannen en vrouwen tussen de 15 en
30 jaar kwam naar voren dat de reactietijd, volgens deze test bepaald, normaal
verdeeld is. Zie tabel 2.

tabel 2 reactietijd (milliseconden)

|  | gemiddelde | standaardafwijking |
|---|---|---|
| mannen | $m=178$ | $s=14$ |
| vrouwen | $m=195$ | $s=18$ |

4p 15 Henry ziet dat volgens dit onderzoek veel mannen sneller zijn dan hij.
Bereken hoeveel procent van de mannen sneller is dan Henry met zijn reactietijd
van 184 milliseconden.

HA-1024-a-12-1-o
8
lees verder ►►►

### Pagina 9

Tabel 1 is gemaakt met de formule $R=100 \cdot \sqrt{\frac{A}{4,9}}$.
Hierin is $R$ de reactietijd in milliseconden en $A$ de gemiddelde vangsafstand in cm.
*In het vervolg van deze opgave gebruiken we deze formule in plaats van tabel 1.*

6p 16 Bereken wat de gemiddelde vangsafstand van een man maximaal mag zijn om tot de 5% snelste mannen te behoren.

5p 17 Twee willekeurige vrouwen tussen de 15 en 30 jaar doen de test. Bereken de kans dat zij allebei een reactietijd hebben die sneller is dan de gemiddelde reactietijd van mannen.

Vanaf de leeftijd van 30 jaar neemt de gemiddelde reactietijd toe: oudere mensen reageren gemiddeld genomen trager dan jonge mensen. In sommige situaties kan dat tot problemen leiden. Om bijvoorbeeld veilig te kunnen deelnemen aan het verkeer moet je niet al te traag reageren. Niet alleen de gemiddelde reactietijd neemt toe, ook de standaardafwijking verandert. Zie tabel 3. Hierin is $t$ de leeftijd in jaren, met $t \geq 30$.

tabel 3 reactietijd (milliseconden)
|       | gemiddelde                      | standaardafwijking               |
|-------|---------------------------------|---------------------------------|
| mannen | $m = 178 + 1,2 \cdot (t - 30)$ | $s = 14 + 0,3 \cdot (t - 30)$ |

Uit de gegevens van tabel 3 volgt dat $m + s = 147 + 1,5 \cdot t$.

3p 18 Laat dit met een berekening zien.

De uitdrukking $m-s$ speelt een rol bij een vuistregel van de normale verdeling. Zie figuur 2. Je kunt bijvoorbeeld aflezen dat tussen de grenzen $m-s$ en $m+s$ 68% ligt.

[FIGUUR: Een klokvormige curve die de normale verdeling weergeeft. Er zijn verticale lijnen op $m-s$, $m$ en $m+s$. De gebieden onder de curve worden aangeduid met percentages: 16% links van $m-s$, 34% tussen $m-s$ en $m$, en 34% tussen $m$ en $m+s$, en 16% rechts van $m+s$.]

3p 19 Bereken vanaf welke leeftijd 16% van de mannen een reactietijd heeft van meer dan 250 milliseconden.

figuur 2

Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.

HA-1024-a-12-1-o 9 lees verder

### Pagina 10

Vogeltrek
Vogels die jaarlijks op een andere plaats overwinteren en na de winter terugkeren naar hun broedgebied, worden trekvogels genoemd.
Onderzoekers houden jaarlijks de terugkeerdatum van diverse soorten trekvogels bij. Deze terugkeerdatum is sinds 1980 bij vrijwel alle trekvogelsoorten steeds vroeger geworden.
[FIGUUR: Een zwart-wit foto van een vogel in vlucht, met de tekst 'gierzwaluw' eronder.]
Uit Engels onderzoek blijkt bijvoorbeeld dat vanaf 1980 de terugkeerdatum van de gierzwaluw per 10 jaar 3 dagen vroeger wordt.
In 1980 keerde de gierzwaluw op 2 mei terug.
3p 20
Bereken op welke datum de gierzwaluw in 2020 zal terugkeren als deze trend zich voortzet.
Om voorspellingen voor de toekomst te kunnen doen, wordt een model opgesteld dat deze trend beschrijft. In dit model houden we geen rekening met schrikkeljaren. De dagen van het jaar worden genummerd: 1 januari krijgt dagnummer 1 en 31 december dus dagnummer 365.
Het dagnummer waarop de gierzwaluw in het model terugkeert, noemen we $A$.
Bij de datum 2 mei hoort dagnummer $A = 122$. Zoals eerder vermeld, wordt de terugkeerdatum van de gierzwaluw per 10 jaar 3 dagen vroeger.
We noemen de tijd in jaren $t$, met $t = 0$ in 1980.
Er kan een lineaire formule worden opgesteld waarin $A$ wordt uitgedrukt in $t$.
3p 21
Stel deze formule op.
In Engeland wordt de gierzwaluw ook wel de honderddagenvogel genoemd, omdat hij gemiddeld 100 dagen in het land verblijft voordat hij weer naar zijn wintergebied vertrekt. Uit hetzelfde onderzoek blijkt dat deze verblijfsduur sinds 1980 ook verandert. Deze wordt elke 10 jaar ongeveer 0,6 dag vroeger. Samen met het vroeger worden van de terugkeerdatum leidt dit ertoe dat de verblijfsduur langer wordt.
Ga ervan uit dat in 1980 de verblijfsduur 100 dagen is.
4p 22
Bereken in welk jaar de gierzwaluw dan voor het eerst meer dan 115 dagen in Engeland verblijft als de genoemde trends zich voortzetten.
HA-1024-a-12-1-o
10
einde ■