# Eindexamen Wiskunde A HAVO 2010 tijdvak 1

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2010/tijdvak-1

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Opgave 1

### Vraag 2 – Opgave 1

### Vraag 3 – Opgave 1

### Vraag 4 – Opgave 1

### Vraag 5 – Opgave 1

### Vraag 6 – Opgave 1

### Vraag 7 – Opgave 1

### Vraag 8 – Opgave 1

### Vraag 9 – Opgave 1

### Vraag 10 – Opgave 1

### Vraag 11 – Opgave 1

### Vraag 12 – Opgave 1

### Vraag 13 – Opgave 1

### Vraag 14 – Opgave 1

### Vraag 15 – Opgave 1

### Vraag 16 – Opgave 1

### Vraag 17 – Opgave 1

### Vraag 18 – Opgave 1

### Vraag 19 – Opgave 1

### Vraag 20 – Opgave 1

### Vraag 21 – Opgave 1

### Vraag 22 – Opgave 1

### Vraag 23 – Opgave 23

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen HAVO
2010
tijdvak 1
dinsdag 18 mei
13.30 - 16.30 uur
wiskunde A

Dit examen bestaat uit 23 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 82 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord kunnen worden.

Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt.

Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee redenen, dan worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.

HA-1024-a-10-1-o

### Pagina 2

Een tenniswedstrijd

De finale in het herenenkelspel van het tennistoernooi Australian Open van 2007
ging tussen de tennissers Roger Federer en Fernando Gonzalez. Roger Federer
won. Hij speelde al negen keer eerder tegen Fernando Gonzalez en al die
wedstrijden won hij.

Wanneer twee spelers met hetzelfde krachtverschil als Federer en Gonzalez
tegen elkaar spelen, is de kans dat de sterkste de wedstrijd wint, gelijk aan 0,94.
We bekijken 10 van dergelijke wedstrijden.

3p 1 Bereken de kans dat de sterkste speler in die 10 wedstrijden 10 keer van de
andere speler wint.

Voor het vervolg van de opgave is het nodig enkele begrippen vast te leggen.

Bij tennis wordt een bal met een racket over een net gespeeld. Bij een wedstrijd
moet de bal binnen de speelhelft van de tegenstander worden geslagen. De
speler die in een slagenwisseling als laatste een geldige slag doet, krijgt een
punt.
De bal wordt in het spel gebracht met een service. De speler die dat mag doen,
heeft de servicebeurt. De speler mag een mislukte service éénmaal overdoen.
Bij een tweede mislukte service is de servicebeurt voorbij en gaat het punt naar
de tegenstander.

Na afloop stonden op teletekst de statistieken van de wedstrijd. In de tabel is
een gedeelte daarvan opgenomen.

tabel

Federer Gonzalez
Totaal aantal servicebeurten 86 127
Aantal eerste services gelukt 50 77
Wint punt nadat eerste service gelukt is 82% 69%
Aantal tweede services gelukt 35 47
Wint punt nadat tweede service gelukt is 80% 49%

HA-1024-a-10-1-0 2 lees verder

### Pagina 3

We kijken naar de servicebeurten van Federer. In de figuur zijn die schematisch
weergegeven. Hierin staan ook percentages die niet in de tabel staan, maar er
wel uit zijn af te leiden. De percentages in de figuur en in de tabel zijn afgerond.
figuur
[FIGUUR: Een boomdiagram dat de uitkomst van de servicebeurt van Federer weergeeft. Er is een hoofdvertakking voor 'Federer serveert'. Deze vertakt naar 'eerste service gelukt' (42%) en 'eerste service mislukt' (58%). Van 'eerste service gelukt' zijn er twee vertakkingen: 'spel gaat door' (82%) wat leidt tot 'punt Federer', en 'spel gaat door' (18%) wat leidt tot 'punt Gonzalez'. Van 'eerste service mislukt' zijn er twee vertakkingen: 'tweede service gelukt' (97%) wat leidt tot 'punt Federer', en 'tweede service mislukt' (3%) wat leidt tot 'punt Gonzalez'.]
4p 2 Leg uit hoe de percentages 42% en 97% in de figuur kunnen worden afgeleid uit
de tabel.
3p 3 Bereken de kans dat Federer het punt wint als hij zelf serveert.
Federer krijgt negen servicebeurten achter elkaar. We kijken naar het mislukken
van de eerste service.
4p 4 Bereken uitgaande van het schema in de figuur de kans dat in deze negen
servicebeurten vijf keer of meer de eerste service mislukt.
Ook voor een servicebeurt van Gonzalez is uit de gegevens van de tabel een
schema af te leiden.
6p 5 Maak voor de situatie dat Gonzalez serveert een vergelijkbaar schema als in
de figuur en bereken daarmee de kans dat Federer het punt wint in de
servicebeurt van Gonzalez.
HA-1024-a-10-1-o 3 lees verder ►►►

### Pagina 4

China's defensie-uitgaven

China ontwikkelt zich in hoog tempo tot grootmacht, ook op het militaire vlak. Het Pentagon, het Amerikaanse Ministerie van Defensie, houdt de Chinese defensie-uitgaven nauwlettend in de gaten. In figuur 1 staan de Chinese defensie-uitgaven volgens China zelf en volgens twee schattingen van het Pentagon, een hoge en een lage. Duidelijk is te zien dat het Pentagon uitgaat van veel hogere defensie-uitgaven dan China opgeeft.

figuur 1
[FIGUUR: Lijnendiagram met op de y-as "bedrag in miljarden dollars" en op de x-as "tijd" van '94 tot '05. Drie lijnen: gestippelde lijn met de tekst "hoge schatting werkelijke uitgaven", stippellijn met de tekst "lage schatting werkelijke uitgaven", en een doorlopende lijn met de tekst "uitgaven volgens China".]

In figuur 1 is te zien dat de hoge schatting van de uitgaven vanaf 1994 tot 1999 (nagenoeg) lineair toenam van 37 miljard dollar tot 56 miljard dollar. Stel dat deze lineaire toename ook na 1999 was doorgegaan.

3p 6 Bereken hoe groot de hoge schatting van de uitgaven dan in 2003 zou zijn geweest.

Volgens het Pentagon namen de defensie-uitgaven in de periode van 2001 tot 2005 exponentieel toe. De hoge schatting steeg van 65 miljard dollar in 2001 tot 93 miljard dollar in 2005.

4p 7 Bereken het jaarlijkse groeipercentage dat het Pentagon als uitgangspunt nam voor de hoge schatting (in deze periode). Geef je antwoord in één decimaal nauwkeurig.

In 2005 was de lage schatting 65 miljard dollar en de hoge 93 miljard dollar, een verschil van 28 miljard dollar. Voor de jaren na 2005 voorspelde het Pentagon dat de defensie-uitgaven exponentieel zouden blijven toenemen. Voor de lage schatting (in deze periode) ging het Pentagon uit van een jaarlijkse groei van 8,5% en voor de hoge schatting van 9,5%.

5p 8 Bereken in welk jaar het verschil tussen de lage en de hoge schatting voor het eerst meer dan 50 miljard dollar zal zijn.

HA-1024-a-10-1-o 4 lees verder ►►►


### Pagina 5

Volgens de Chinezen zelf valt het allemaal wel mee. Ze geven toe dat hun
defensie-uitgaven jaarlijks stijgen: van 8 miljard dollar in 1994 tot 29 miljard
dollar in 2005. Maar zij wijzen erop dat de defensie-uitgaven als percentage van
het bruto nationaal product, het bnp, sinds 1994 vrijwel steeds gedaald zijn. Zie
figuur 2.

figuur 2 Defensie-uitgaven als percentage van het bnp

[FIGUUR: Liggende staafdiagram met op de y-as de opmerking "% van bruto nationaal product" en waarden van 7 tot 12, en op de x-as de jaren '94 tot '05 met pijltje en de opmerking "tijd". De grafiek toont een dalende lijn.]

Dat een stijging van de defensie-uitgaven toch als een daling kan worden
gepresenteerd, komt doordat de economie in China razendsnel groeit en het bnp
dus ook.

5p 9 Met behulp van bovenstaande gegevens en figuur 2 is voor 1994 en 2005 het
    bnp van China te berekenen.
    Bereken met hoeveel procent het bnp van China in 2005 is gestegen is ten
    opzichte van 1994.

HA-1024-a-10-1-o 5 lees verder ➢➢➢

### Pagina 6

Gastransport

In ons land wordt heel veel aardgas verbruikt, onder andere voor het verwarmen
van huizen en andere gebouwen.
Bij koud weer wordt er meer gas verbruikt dan bij warm weer.
Als het zeer koud is, kan het voorkomen dat er zoveel gas wordt gevraagd, dat
het gasleidingnetwerk die hoeveelheid niet meer kan transporteren doordat de
leidingen niet voldoende groot zijn. De maximale capaciteit van het netwerk is
dan bereikt; er kan niet voldoende gas worden geleverd.

foto
[FIGUUR: Close-up van een gaskookplaat met één brander zichtbaar.]

Een gasleverancier heeft onderzocht hoe de hoeveelheid te leveren gas afhangt
van de buitentemperatuur.
Uit dat onderzoek blijkt dat er altijd een vaste hoeveelheid gas gebruikt wordt
voor koken, douchen en dergelijke. Deze constante hoeveelheid is 5,5% van de
maximale capaciteit van het netwerk (het constante deel).
De hoeveelheid gas die wordt gebruikt voor het verwarmen van huizen en
andere gebouwen, is afhankelijk van de buitentemperatuur (het temperatuurafhankelijke deel).
In deze opgave bekijken we het percentage van de maximale capaciteit van het
netwerk dat gebruikt wordt voor het gastransport. Dit percentage $P$ wordt
gegeven door de volgende formule. Hierin is $T$ de buitentemperatuur in ${ }^{\circ} \mathrm{C}$.

$$ P = 5,5 + \frac{18-T}{30} \cdot 94,5 $$

3p 10 Bereken deze buitentemperatuur.

De formule is niet meer bruikbaar boven een bepaalde buitentemperatuur,
omdat het percentage altijd minstens 5,5 is.

3p 11 Toon dit met behulp van de formule aan.

HA-1024-a-10-1-o
6
lees verder ▶▶▶

### Pagina 7

De gasleverancier komt dus in de problemen op dagen dat de buitentemperatuur
lager is dan $-12$ $^\circ$C.
Volgens het KNMI gebeurt dat niet vaak. Zij hebben elk jaar op alle 90 dagen
van de winterperiode de temperatuur gemeten. Uit hun gegevens blijkt dat in de
afgelopen 100 jaar in totaal op slechts 21 dagen de buitentemperatuur lager was
dan $-12$ $^\circ$C.
Hiermee kunnen we de kans schatten dat op een willekeurige dag in de
winterperiode de buitentemperatuur lager is dan $-12$ $^\circ$C.
2p 12 Schat deze kans door middel van een berekening.

De formule voor $P$ kun je herleiden tot de bekende vorm:
$$P = a \cdot T + b$$
3p 13 Bereken $a$ en $b$.

HA-1024-a-10-1-o 7 lees verder ► ► ►

### Pagina 8

Kogelwerende vesten

Militairen en leden van arrestatieteams dragen soms kogelwerende vesten.
Deze vesten moeten zo goed mogelijk kogels opvangen zonder dat de drager
verwondingen oploopt, maar ze mogen niet zo zwaar en stug zijn dat de drager
daardoor belemmerd wordt in zijn bewegingen. Deze vesten worden gemaakt
van kunststoffen.

Om kogelwerende vesten van een bepaalde kunststof te testen, worden er
kogels op af gevuurd met verschillende snelheden. Men kijkt of de kogel door het
vest is gedrongen. De testresultaten zijn verwerkt in de figuur.

figuur
[FIGUUR: Een grafiek met op de y-as de doordringkans in procenten (van 0 tot 100) en op de x-as de afvuursnelheid van de kogel in m/s (van 340 tot 540). De grafiek toont een S-vormige curve die begint bij een lage doordringkans bij lagere snelheden en stijgt naar een hoge doordringkans bij hogere snelheden.]

In de figuur kun je bijvoorbeeld aflezen dat van de kogels met een
afvuursnelheid van 450 m/s er 80% door het vest heen gaan. Je kunt ook
zeggen: “Wanneer een kogel afgevuurd wordt met een snelheid van 450 m/s is
de kans 0,8 dat die door het vest heen gaat.”

Een arrestatieteam overweegt de aanschaf van deze vesten. In een test worden
series van vijf schoten op een vest afgevuurd. De afvuursnelheid van de kogels
is 420 m/s.

4p 14 De kans dat er in een serie van vijf schoten geen enkele kogel door het vest
dringt, is ongeveer 0,17.
Toon dat met een berekening aan.

3p 15 In elke serie is de kans dus 0,17 dat er geen enkele kogel door het vest dringt.
De test bestaat uit acht series.
Bereken de kans dat er in drie van de acht series geen enkele kogel door het
vest dringt.

HA-1024-a-10-1-o 8 lees verder ►►►


### Pagina 9

Om verschillende typen kogelwerende vesten te vergelijken, kijkt men naar de $V_{50}$. Dit is de afvuursnelheid van kogels waarbij 50% van de kogels door het vest heen dringt.
2p 16 Is een vest met een hogere $V_{50}$ beter of slechter? Licht je antwoord toe.
Bij het testen van de kogelwerende vesten gebruikt men een speciaal hiervoor ontwikkeld vuurwapen, waarbij men de afvuursnelheid kan instellen.
Als men de afvuursnelheid instelt op 350 m/s dan blijkt de werkelijke afvuursnelheid van de kogels bij benadering normaal verdeeld te zijn met een gemiddelde van 350 m/s en een standaardafwijking van 5,8 m/s.
3p 17 Bereken hoeveel procent van de kogels bij deze instelling een afvuursnelheid heeft van meer dan 360 m/s.
Naarmate de afvuursnelheid hoger wordt ingesteld, blijkt de spreiding van de werkelijke afvuursnelheid van de kogels groter te worden.
Bij het instellen van een afvuursnelheid van 490 m/s is de werkelijke afvuursnelheid van de kogels bij benadering normaal verdeeld met een gemiddelde van 490 m/s. Verder heeft 90% van de kogels een afvuursnelheid tussen de 480 en 500 m/s.
4p 18 Bereken de standaardafwijking van de afvuursnelheid bij deze instelling. Geef je antwoord in één decimaal nauwkeurig.
HA-1024-a-10-1-0 9 lees verder

### Pagina 10

Brandstofverbruik

Vliegen kost veel brandstof. Een flink deel van de totale kosten van een vlucht
bestaat uit brandstofkosten. Voor vliegmaatschappijen is het dus interessant om
zuintge vliegtuigen te gebruiken.
Om het brandstofverbruik van verschillende typen vliegtuigen te kunnen
vergelijken, kijkt men naar het brandstofverbruik per kilometer per passagier.
Men gaat er daarbij van uit dat alle plaatsen (stoelen) in het vliegtuig bezet zijn.
Dit brandstofverbruik per kilometer per passagier wordt brandstofverbruik per
$ \text{skm} $ (stoelkilometer) genoemd en wordt uitgedrukt in gram.

3p 19 Een vliegtuig met 210 stoelen heeft voor een vlucht van 4500 km 26 325 kg
brandstof verbruikt.
Ga met een berekening na dat het brandstofverbruik per skm voor dit vliegtuig
tijens deze vlucht bijna 28 gram is.

Ook kan men brandstof besparen door zo weinig mogelijk brandstof voor de
vlucht mee te nemen. Als bij een vliegtuig de brandstoftanks helemaal vol zijn,
gebruikt het vliegtuig veel meer brandstof dan wanneer de tanks halfvol zijn. Het
vliegtuig is dan immers veel zwaarder.
Een vliegtuig neemt dan ook altijd precies de hoeveelheid brandstof mee die
voldoende is voor de lengte van de vlucht.

In de figuur is voor een bepaald type vliegtuig het brandstofverbruik per skm
uitgezet tegen de vluchtlengte in km.

figuur
[FIGUUR: Grafiek met op de y-as "brandstofverbruik per skm (gram)" van 15 tot 45, en op de x-as "vluchtlengte (km)" van 0 tot 10000.]

HA-1024-a-10-1-o 10 lees verder

### Pagina 11

In het vervolg van deze opgave gaan we uit van het type vliegtuig uit de figuur.
Dit type heeft 524 stoelen aan boord.

Het vliegtuig begint aan een vlucht van 9000 km.

4p 20 Bereken hoeveel kg brandstof dit vliegtuig meeneemt voor deze vlucht.

Wanneer er mogelijkheden zijn voor een tussenlanding kan dat voordelig zijn,
want voor kortere vluchten is het brandstofverbruik per skm lager doordat er
minder brandstof meegenomen hoeft te worden.
Bij de vlucht van 9000 km zou bijvoorbeeld na elke 3000 km een tussenlanding
gemaakt kunnen worden. Als de vliegmaatschappij daartoe besluit, hoeft het
vliegtuig bij elk vertrek maar voor 3000 km aan brandstof mee te nemen.

21 Bereken hoeveel procent het vliegtuig op deze manier aan brandstof per skm
kan besparen.

Voor het vliegtuig kan het verband tussen het brandstofverbruik en de
vluchtlengte worden uitgedrukt in de volgende formule:

$$ B = \frac{0.001 \cdot L^2 + 25 \cdot L + 16500}{L} $$

Hierin is $B$ het brandstofverbruik per skm in gram en $L$ de vluchtlengte in km.

4p 22 Bereken met de formule voor welke vluchtlengtes het brandstofverbruik per skm
38 gram is.

Een vliegmaatschappij die veel lange afstanden vliegt met dit type vliegtuig, wil
natuurlijk weten hoe groot de optimale vluchtlengte is. De optimale vluchtlengte
is de vluchtlengte waarbij het brandstofverbruik per skm minimaal is.

3p 23 Onderzoek met de GR hoe groot de optimale vluchtlengte is.

HA-1024-a-10-1-o* 11 einde ■