# Eindexamen Wiskunde A HAVO 2009 tijdvak 1

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2009/tijdvak-1

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Opgave 2

### Vraag 2 – Opgave 2

### Vraag 3 – Opgave 1

### Vraag 4 – Opgave 1

### Vraag 5 – Opgave 1

### Vraag 6 – Opgave 2

### Vraag 7 – Opgave 1

### Vraag 8 – Opgave 1

### Vraag 9 – Opgave 2

### Vraag 10 – Opgave 2

### Vraag 11 – Opgave 2

### Vraag 12 – Opgave 12

### Vraag 13 – Opgave 2

### Vraag 14 – Opgave 2

### Vraag 15 – Opgave 1

### Vraag 16 – Opgave 1

### Vraag 17 – Opgave 1

### Vraag 18 – Opgave 2

### Vraag 19 – Opgave 1

### Vraag 20 – Opgave 2

### Vraag 21 – Opgave 1

### Vraag 22 – Opgave 1

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen HAVO
2009
tijd vak 1
dinsdag 19 mei
13.30 - 16.30 uur
wiskunde A
Dit examen bestaat uit 22 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 85 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord
meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er
bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee redenen, dan
worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
923-1024-a-HA-1-o

### Pagina 2

Autobanden

Er bestaan veel verschillende merken autobanden en per merk zijn er banden in allerlei soorten en maten. De diameter van de band hangt af van de diameter van de velg en de hoogte van de band. Banden zijn er ook nog in verschillende breedtes. Zie figuur 1.

figuur 1
[FIGUUR: Illustratie van een autoband met de diameter van de velg, de breedte van de band en de diameter van de band aangegeven.]

Alle belangrijke eigenschappen worden op de zijkant van een band met behulp van een code aangegeven. Zie figuur 2.

figuur 2
[FIGUUR: Detail van de zijkant van een autoband waarop de code 185/65 R 14 86 T is afgedrukt, met pijlen die verwijzen naar de verhouding hoogte/breedte, de breedte in %, de diameter van de velg en het LI-getal.]

Het eerste getal (185) is de breedte van de band in millimeters. Het tweede getal (65) is de verhouding van de hoogte van de band ten opzichte van de breedte van de band in procenten. Het volgende getal (14) is de diameter van de velg in inches (1 inch = 2,54 cm), daarna volgt het LI-getal van de band (86) dat het draagvermogen van de band aangeeft.

In de code op de band kun je de 'bandenmaat' aflezen. De bandenmaat bestaat uit 3 getallen. Voor de band uit figuur 2 is dat 185, 65, 14. Dat betekent voor deze band dat de breedte van de band 185 millimeter is, dat de hoogte van de band 65% van de breedte is en dat de diameter van de velg 14 inch is.

4p 1 Laat met een berekening zien dat de diameter van deze band ongeveer 60 cm is.

923-1024-a-HA-1-o 2 lees verder ►►►


### Pagina 3

Een bepaald soort band is er in verschillende bandenmaten. Zo loopt de breedte
van 145 tot en met 215 mm in stappen van 10 mm, en de verhouding van de
hoogte van de band ten opzichte van de breedte van de band loopt van 65 tot en
met 80 procent in stappen van 5 procent. De banden worden geleverd met een
velgdiameter van 13, 14 en 15 inch.
2 4p
Bereken hoeveel verschillende bandenmaten er van deze soort band zijn.
Het $LI$-getal (van $Load-Index$) geeft het draagvermogen van de band aan.
Het $LI$-getal geeft aan welk gewicht (in kg) de band kan dragen. In tabel 1 staat
voor enkele $LI$-getallen het draagvermogen van de band.
tabel 1
$LI$-getal
Draagvermogen (kg)
65
290
70
335
75
387
80
450
85
515
90
600
95
690
100
800
105
925
3p 3
Op een band staat $LI$-getal 103.
Uitgaande van de tabelwaarden bij $LI$-getal 100 en bij $LI$-getal 105 kun je met
behulp van lineair interpoleren het draagvermogen van deze band berekenen.
Bereken het draagvermogen van deze band.
4p 4
Het verband tussen het $LI$-getal en het draagvermogen is echter niet lineair,
maar exponentieel.
Bereken het draagvermogen van de band met $LI$-getal 103 volgens het
exponentiële verband.
Hoe breder een band, hoe beter de grip op de weg. Hoe hoger een band, hoe
meer comfort. Maar een hogere band gaat ten koste van de stabiliteit. Bij
sportieve auto's wordt daarom gewoonlijk gekozen voor lage, brede banden.
Iemand heeft een auto waarop banden van het type 205/60 R 16 zijn
gemonteerd. Hij wil graag een sportievere uitstraling, en heeft zijn oog laten
vallen op banden 245/45.
De snelheidsmeter vereist dat de diameter van de band hetzelfde blijft. Hij heeft
dus grotere velgen nodig.
5p 5
Bereken de diameter van de grotere velgen in hele inches.
923-1024-a-HA-1-o
3
lees verder

### Pagina 4

Hebben is schieten?
De regels omtrent het in bezit mogen hebben van vuurwapens zijn per land
verschillend. Deze regels staan natuurlijk ook wel eens ter discussie.
Tegenstanders van vuurwapenbezit beweren dat hoe makkelijker mensen aan
vuurwapens kunnen komen, hoe meer die gebruikt worden.
Voorstanders van vuurwapenbezit zeggen altijd dat het niet de wapens zijn die
doden, maar de mensen. Zij vinden dat mensen vrij moeten zijn om een
vuurwapen aan te schaffen, omdat meer vuurwapens niet betekent dat er dan
ook meer gebruik van wordt gemaakt.
Het vuurwapenbezit en het aantal dodelijke slachtoffers door vuurwapens is in
een aantal landen onderzocht. De onderzoeksresultaten zie je in figuur 1.

figuur 1

aantal sterfgevallen
door vuurwapens $S$
(per 100 000 inwoners)
[FIGUUR: Een scatterplot met op de y-as het aantal sterfgevallen door vuurwapens (S) per 100.000 inwoners, oplopend van 0 tot 16. Op de x-as het aantal vuurwapens (V) per 1000 inwoners, oplopend van 0 tot 50. Er is een trendlijn zichtbaar die de positieve correlatie tussen S en V aangeeft. Verschillende landen zijn als punten weergegeven: Japan, Australië, België, Frankrijk, Nederland GB, Duitsland, Spanje, Nieuw-Zeeland, Canada, Noorwegen en Verenigde Staten, Finland.]

Figuur 1 geeft het verband weer tussen het jaarlijks aantal sterfgevallen door
vuurwapens $S$ (per 100 000 inwoners) en het aantal vuurwapens $V$ (per 1000
inwoners). Behalve de gegevens van een aantal landen is in figuur 1 ook een
trendlijn getekend. Voor landen op de trendlijn is er sprake van een evenredig
verband tussen $S$ en $V$.

4p 6 Geef een argument dat voorstanders uit deze figuur kunnen halen en geef een
argument dat tegenstanders uit de figuur kunnen halen.

923-1024-a-HA-1-o

### Pagina 5

Nederland heeft ongeveer 16 miljoen inwoners, de Verenigde Staten ongeveer
295 miljoen.
5p 7 Bereken met behulp van figuur 1 hoeveel keer zo groot het jaarlijks aantal
sterfgevallen door vuurwapens in de Verenigde Staten is vergeleken met
Nederland.

In 2005 heeft de bevolking van Brazilië zich in een referendum uitgesproken
tegen het beperken van de verkoop van vuurwapens. En dat terwijl er in dit land
met 180 miljoen inwoners jaarlijks zo'n 40 000 mensen sterven door
vuurwapengebruik.
5p 8 Ga ervan uit dat Brazilië op de trendlijn ligt, zodat je gebruik kunt maken van het
evenredige verband tussen $S$ en $V$.
Bereken met behulp van dit evenredige verband het totaal aantal vuurwapens in
Brazilië.

923-1024-a-HA-1-o
5
lees verder ► ► ►


### Pagina 6

Motivatietest

Waarschijnlijk heb je wel eens een vragenlijst ingevuld om te bepalen hoe
gemotiveerd je bent voor bijvoorbeeld je schoolwerkzaamheden.
In zo’n vragenlijst kun je aangeven in hoeverre je het met een aantal stellingen
over dit onderwerp eens bent. Je antwoorden kunnen variëren van ‘helemaal
mee eens’ tot ‘helemaal mee oneens’. De antwoorden die je geeft worden
omgezet in een score en die bepaalt hoe je motivatie is, bijvoorbeeld ‘iets boven
gemiddeld’. De aldus verkregen scores zijn bij benadering normaal verdeeld.
De scores zijn in negen categorieën verdeeld, van ‘zeer zwak’ tot ‘zeer sterk’.
De categorieën zijn een halve standaardafwijking breed (behalve de buitenste
twee), waarbij het gemiddelde in het midden van de 5e categorie ligt. Zie
figuur 1.
In figuur 1 staat $m$ voor het gemiddelde en $s$ voor de standaardafwijking.
Aan je score kun je zien in welke categorie je zit, en daarmee weet je hoe
gemotiveerd je bent.

figuur 1

[FIGUUR: Een klokvormige curve, typisch voor een normale verdeling, met verticale lijnen die verschillende standaardafwijkingen vanaf het gemiddelde ($m$) aangeven. De x-as is gelabeld met waarden zoals $m-1,75s$, $m-1,25s$, $m-0,75s$, $m-0,25s$, $m$, $m+0,25s$, $m+0,75s$, $m+1,25s$, $m+1,75s$. Daaronder een tabel met 9 categorieën, die percentages en omschrijvingen bevatten.]

| | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| | 4% | 7% | 12% | 17% | 20% | 17% | 12% | 7% | 4% |
| | zeer zwak | zwak | ruim onder gemiddeld | iets onder gemiddeld | gemiddeld | iets boven gemiddeld | ruim boven gemiddeld | sterk | zeer sterk |

In de figuur kun je bijvoorbeeld zien dat je in categorie 7 zit als je score meer
dan 0,75 keer, maar minder dan 1,25 keer de standaardafwijking boven het
gemiddelde zit. Je scoort dan ‘ruim boven gemiddeld’.

923-1024-a-HA-1-o | 6 | lees verder ►►►

### Pagina 7

In deze opgave bekijken we een vragenlijst over motivatie, waarbij de
gemiddelde score $7,8$ is en de standaardafwijking $3,4$. Dus $m = 7,8$ en $s = 3,4$.

3p 9 Bas heeft bij deze vragenlijst een score van $4,2$.
In welke categorie zit Bas? Licht je antwoord toe.

3p 10 In figuur 1 staat dat $7%$ van de scores in categorie $8$ ligt. Dit percentage is
afgerond.
Bereken dit percentage in één decimaal.

Met behulp van figuur $1$ is na te gaan welke score je minstens moet hebben om
in de categorieen $8$ of $9$ te komen. Je zit dan bij de beste $11%$.
Welke score je minstens moet hebben om bij de beste $20%$ te zitten, kun je niet
uit figuur $1$ halen. Je kunt deze score wel berekenen.
4p 11
Bereken deze score.

In verband met een item van een actualiteitenprogramma over de motivatie voor
school onder de schooljeugd wordt aan $25$ willekeurige scholieren gevraagd om
de vragenlijst over dit onderwerp in te vullen. Uit figuur $1$ is te herleiden dat de
kans dat een willekeurige leerling ‘zwak’ of ‘zeer zwak’ scoort gelijk is aan $0,11$.

3p 12
Bereken de kans dat geen van deze scholieren ‘zwak’ of ‘zeer zwak’ scoort.

4p 13
Bereken de kans dat $6$ of meer leerlingen ‘zwak’ of ‘zeer zwak’ scoren.

923-1024-a-HA-1-o
lees verder ►►►

### Pagina 8

Volumes
Een opgeblazen papieren zak heeft, net als een kussen, een speciale vorm. Pas in 2004 is er een formule gevonden waarmee het volume van die vorm kan worden berekend. Van een platte rechthoekige zak of kussen noemen we de kortste zijde $a$ (in dm) en de langste zijde $b$ (in dm). Zie figuur 1. Het volume $V$ (in liter) van de opgeblazen zak of het kussen kan dan berekend worden met de formule:
figuur 1
[FIGUUR: Een afbeelding van een kussen.]
$$ V = a^3 \cdot (0,142 \cdot 0,1^r + 0,318 \cdot r - 0,142) $$
Hierin is $r$ de verhouding tussen de zijden: $r = \frac{b}{a}$.

3p 14 Een bedkussen heeft afmetingen van 4 dm bij 6 dm. Bereken het volume van dit kussen.
3p 15 Voor een vierkant kussen met zijden $a$ kan bovenstaande formule vereenvoudigd worden tot $V = 0,1902 \cdot a^3$. Toon dit aan.
5p 16 Een kussen met een kortste zijde van 3,5 dm heeft hetzelfde volume als een vierkant kussen van 5 bij 5 dm. Bereken de langste zijde van dat kussen.

Ook voor vuilniszakken bestaat er een formule om het volume te berekenen. Een volle vuilniszak wordt bovenaan dichtgeknoopt en krijgt daardoor ook een bijzondere vorm. Zie de foto hiernaast.
Het volume $V$ (in liter) wordt berekend met:
[FIGUUR: Een afbeelding van een volle vuilniszak met afmetingen a, b en x aangegeven.]
$$ V = a^3 \cdot \left( \frac{b - x}{3,142 \cdot a} - 0,159 \right) $$
Hierin zijn $a$ en $b$ de kortste en de langste zijde (in dm) van een platte, rechthoekige vuilniszak en is $x$ de hoogte van de knoopstrook (in dm).

4p 17 Een vuilniszak met een korte zijde van 6 dm en een knoopstrook van 0,5 dm heeft een volume van 52 liter. Bereken de lange zijde $b$ van de vuilniszak.

923-1024-a-HA-1-o
8
lees verder

### Pagina 9

Voor vuilniszakken met een korte zijde van 5 dm en een lange zijde van 7,5 dm
is het volume lineair afhankelijk van de knoopstrook $x$.
De formule voor het volume van een vuilniszak is dus te schrijven in de vorm
$V=p \cdot x+q$.
18 Herleid de formule tot deze vorm.
Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.
923-1024-a-HA-1-o
9
lees verder

### Pagina 10

D atingshow

In een datingshow op televisie maken drie jongens (Richard, Sander en Tim) en drie meisjes (Kathy, Lisa en Maaike) kennis met elkaar. Tijdens de show geven ze antwoord op allerlei vragen van de presentator. Op deze manier komen ze iets over elkaar te weten. Na beantwoording van de vragen kiest elke jongen één meisje en elk meisje één jongen, zonder te laten zien wie ze kiezen. Na afloop worden de keuzes bekendgemaakt en wanneer een jongen en een meisje elkaar hebben gekozen, hebben ze een kort, luxueus reisje gewonnen om elkaar (nog) beter te leren kennen.

In deze opgave gaan we ervan uit dat de jongens en de meisjes willekeurig kiezen, dus ieder heeft een even grote kans om gekozen te worden. Dan is de kans dat een jongen een bepaald meisje kiest dus $\frac{1}{3}$.

Maaiike is bang dat alle televisiekijkers zien dat ze door niemand wordt gekozen. Ze vraagt zich af hoe groot de kans is dat minstens één van de drie jongens haar kiest.

4p 19 Bereken deze kans.

De organisator van de datingshow moet de kosten van de show in de gaten houden. De luxueus reisjes zijn erg duur. Toch is het mogelijk dat er in de show drie reisjes worden gewonnen, omdat er drie ‘stelletjes’ zijn die elkaar gekozen hebben. Dit kan op verschillende manieren gebeuren. Eén daarvan is: Richard en Kathy kiezen elkaar, Sander en Lisa kiezen elkaar en Tim en Maaike kiezen elkaar.

3p 20 Schrijf alle mogelijke manieren op waarbij er precies drie stelletjes gevormd worden.

Het kost de organisatie elke keer 4000 euro wanneer er door een stelletje een reisje wordt gewonnen.
Je kunt berekenen hoe groot de kans is dat er in de show stelletjes worden gekozen. Deze kansen staan in tabel 1.

[FIGUUR: Tabel met 2 rijen en 4 kolommen. De eerste rij bevat de tekst "aantal stelletjes" en de getallen 0, 1, 2, 3. De tweede rij bevat de tekst "kans" en de breuken 156/729, 423/729, 144/729, 6/729.]

tabel 1

aantal stelletjes | 0 | 1 | 2 | 3
------- | -------- | -------- | -------- | --------
kans | $\frac{156}{729}$ | $\frac{423}{729}$ | $\frac{144}{729}$ | $\frac{6}{729}$

4p 21 Bereken de verwachtingswaarde van het bedrag dat de organisatie per show kwijt is aan reisjes.

Het is gunstig voor de kijkcijfers als er in elke show één of meer stelletjes worden gevormd. In tabel 1 zie je dat dit niet altijd het geval is.

4p 22 Bereken de kans dat in de eerste drie shows van het seizoen in totaal slechts één stelletje wordt gevormd.

923-1024-a-HA-1-o* 10 einde