# Eindexamen Wiskunde A HAVO 2008 tijdvak 2

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2008/tijdvak-2

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Opgave 1

### Vraag 2 – Opgave 1

### Vraag 3 – Opgave 1

### Vraag 4 – Opgave 1

### Vraag 5 – Opgave 1

### Vraag 6 – Opgave 1

### Vraag 7 – Opgave 1

### Vraag 8 – Opgave 1

### Vraag 9 – Opgave 1

### Vraag 10 – Opgave 1

### Vraag 11 – Opgave 1

### Vraag 12 – Opgave 1

### Vraag 13 – Opgave 1

### Vraag 14 – Opgave 1

### Vraag 15 – Opgave 1

### Vraag 16 – Opgave 1

### Vraag 17 – Opgave 1

### Vraag 18 – Opgave 1

### Vraag 19 – Opgave 1

### Vraag 20 – Opgave 1

### Vraag 21 – Opgave 1

### Vraag 22 – Opgave 1

### Vraag 23 – Opgave 1

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen HAVO
2008
tijdvak 2
woensdag 18 juni
13.30 - 16.30 uur
wiskunde A1,2
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Dit examen bestaat uit 23 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 85 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord
meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er
bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee redenen, dan
worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
800047-2-052o

### Pagina 2

Ei

Alle eieren die je in de winkel koopt, zijn tegenwoordig voorzien van een code. Het ei op de foto heeft als code 1-NL-4118801. Dit is de IKB-code. (IKB betekent integrale ketenbeheersing.) Hiermee is te achterhalen waar het ei vandaan komt. In tabel 1 zie je hoe de IKB-code is opgebouwd.

foto
[FIGUUR: Een ei met een opgedrukte code '1-NL-4118801']

tabel 1
Houderijsysteem
Land van herkomst
Nummer pluimveebedrijf
Eventueel stalnummer

0 = Biologisch
1 = Vrije uitloop
2 = Scharrel
3 = Kooi

NL = Nederland
BE = België
DE = Duitsland
FR = Frankrijk

5 cijfers:
10000 t/m 99999

2 cijfers: 00 t/m 99

Het ei op de foto is dus een vrije-uitloopei uit Nederland van pluimveebedrijf 41188 met stalnummer 01.
3p 1
Bereken hoeveel verschillende IKB-codes mogelijk zijn.

Het gewicht van een ei is bij benadering normaal verdeeld met een gemiddelde van 61,0 gram. De eieren worden in gewichtsklassen ingedeeld volgens tabel 2.

tabel 2
Klasse
Gewicht

S (small)
minder dan 53,0 gram

M (medium)
van 53,0 gram tot 63,0 gram

L (large)
van 63,0 gram tot 73,0 gram

XL (extra large)
vanaf 73,0 gram

3p 2
De klassenbreedtes van de klassen M en L zijn even groot. Toch zitten er meer eieren in klasse M dan in klasse L.
Leg zonder berekening uit waarom er in klasse M meer eieren zitten dan in klasse L.

800047-2-052o
2
lees verder

### Pagina 3

Verder is bekend dat de standaardafwijking van het gewicht van de eieren
10,0 gram is.
3a (3p) 3 Bereken het percentage eieren in klasse XL.
Door de indeling uit tabel 2 komt 21,2% van de eieren in de lichtste klasse S
terecht. Voor deze eieren krijgen de pluimvee bedrijven de laagste prijs. De
Nederlandse organisatie van pluimveehouders wil daarom de klassengrens van
53,0 gram verlagen, zodat slechts 15% van de eieren in klasse S terechtkomt.
4p 4 Bereken met hoeveel gram deze klassengrens dan verlaagd zou moeten
worden. Geef je antwoord in één decimaal.
800047-2-052o 3 lees verder ►►►

### Pagina 4

Alcoholgehalte
Het drinken van alcoholische consumpties beïnvloedt de rijvaardigheid negatief. Het is in Nederland dan ook verboden om met een alcoholgehalte van meer dan 0,05 een auto te besturen.
Dit alcoholgehalte heet het bloedalcoholgehalte, afgekort $BAG$.
Het $BAG$ is afhankelijk van verschillende factoren:
– de hoeveelheid alcohol die je drinkt;
– je gewicht;
– of je een man of een vrouw bent;
– de tijd die verstreken is na de laatste alcoholconsumptie.
Er zijn formules opgesteld waarmee je vrij nauwkeurig kunt berekenen wat je $BAG$ is. Voor mannen en vrouwen zijn de formules dus verschillend:

$BAG_{man} = 0,01241 \cdot h \cdot p \cdot m^{-1} - 0,017 \cdot t$

$BAG_{vrouw} = 0,01535 \cdot h \cdot p \cdot m^{-1} - 0,016 \cdot t$

Hierin is:
$h$ de hoeveelheid alcoholische drank in cl (centiliter)
$p$ het alcoholpercentage van de drank
$m$ het lichaamsgewicht in kg
$t$ de tijd in uren na de laatste alcoholconsumptie

Als er geen alcohol in het bloed zit, is het $BAG$ nul.

[FIGUUR: Twee glazen, één gevuld met een transparante vloeistof en één met rode wijn.]

5a (4p) Een man van 79 kg drinkt op een avond 3 flesjes bier van elk 30 cl, met een alcoholpercentage van 5% (dus $p=5$).
Toon aan dat er ongeveer 4 uur en 10 minuten na de laatste alcoholconsumptie geen alcohol meer in zijn bloed zit.

5b (5p) Een man en een vrouw hebben tijdens een etentje samen een fles rode wijn van 75 cl leeggedronken. Die wijn bevatte 12,5% alcohol. De man van 85 kg heeft uiteindelijk 45 cl van de wijn op en de vrouw van 68 kg 30 cl. Ze dronken tegelijk hun laatste slok wijn op.
Na deze laatste slok willen ze zo snel mogelijk naar huis. Ze willen hierbij niet het verbod overtreden om een auto te besturen met een $BAG$ van meer dan 0,05.

6 (5p) Wie mag als eerst de auto besturen? Licht je antwoord toe.

900047-2-052o
lees verder ▶ ▶ ▶

### Pagina 5

In de rest van de opgave gaan we uit van mannen die direct na de laatste
alcoholconsumptie (willen) autorijden. De formule wordt dan:
$BAG_{man} = 0,01241 \cdot h \cdot p \cdot m^{-1}$

3p 7 Een jonge man wil weten hoeveel hij kan drinken om meteen daarna nog steeds
te mogen autorijden zonder het verbod te overtreden. De man weegt 83 kg en
drinkt flesjes bier met een alcoholpercentage van 5. In een flesje zit 30 cl bier.
Hoeveel flesjes bier mag de man dan volgens de wettelijke norm maximaal
drinken? Licht je antwoord toe.

Onderzoek wijst uit dat bij $BAG = 0,09$ het risico op een ongeval twee keer zo
groot is als bij een $BAG$ van 0. Dit kun je aflezen uit de grafiek in figuur 1. Op de
verticale as is de risico-index aangegeven, waarbij het risico op een ongeval bij
$BAG = 0$ op 1 is gesteld. Bij $BAG = 0,09$ is de risico-index $2 \times$ dus $100%$ groter.
Uit de grafiek blijkt dat de risico-index vanaf een $BAG$ van 0,08 fors toeneemt en
dus ook het risico op een ongeval.

figuur 1
[FIGUUR: Een grafiek met op de horizontale as de BAG (van 0 tot 0,16) en op de verticale as de risico-index (van 0 tot 16). De grafiek toont een curve die vanaf BAG=0 stijgt en na BAG=0,08 steiler omhoog gaat.]

Een man van 85 kg heeft zojuist 6 glaasjes jenever op met een
alcoholpercentage van 40. In elk glaasje zit 3 cl jenever. Hij vraagt zich af hoe
de risico-index toeneemt wanneer hij nog een glaasje neemt.
4p 8 Bereken met hoeveel procent de risico-index dan toeneemt. Licht je werkwijze
toe.

Bij een vaste hoeveelheid drank geldt: hoe zwaarder men is, hoe lager het $BAG$.
Voor mannen die 75 cl wijn drinken met 12,5% alcohol geldt de formule:
$BAG_{man} = 11,634 \cdot m^{-1}$

4p 9 Stel de afgeleide op en toon met behulp van die afgeleide aan dat hier
inderdaad geldt: hoe zwaarder, hoe lager het $BAG$.

800047-2-052o
le es verder

### Pagina 6

De Antarctische pelsrob

Op eilandjes in de buurt van Antarctica leven
weer grote populaties van de Antarctische
pelsrob. Dat is bijzonder want ze waren bijna
uitgeroeid. In het begin van de 19e eeuw is er
namelijk zeer veel op deze robben gejaagd
vanwege hun pels.
Heel lang werd er geen enkel exemplaar
gesignaleerd, maar zo’n veertig jaar geleden
werd er een kleine populatie ontdekt. De
natuurlijke groei van deze populatie is gevolgd.
Over de aantallen van deze populatie gaat deze opgave.

Sinds 1966 is tussenpauzen het aantal pups (jonge pelsrobben) geteld. In
figuur 1 zijn deze aantallen met bolletjes weergegeven.

foto
[FIGUUR: Een foto van een zeehond met jongen op rotsen.]

figuur 1
[FIGUUR: Een lijngrafiek met de titel 'aantal pups' op de y-as en 'jaar' op de x-as. De grafiek toont een logistische groeicurve met datapunten.]
aantal
pups
10000
8000
6000
4000
2000
0
0
6
12
18
24
30
36
→ jaar

De bolletjes liggen bij benadering op de grafiek waarbij de volgende formule
hoort:
$$N = \frac{9300}{(1+0,769^{(t-25)})}$$
Hierin is $N$ het aantal pups en $t$ de tijd in jaren, met $t = 0$ op 1 januari 1966.

800047-2-052o
6
lees verder ► ► ►

### Pagina 7

Op 1 januari 2002 werden er 8577 pups geteld.
De formule geeft voor 1 januari 2002 een aantal dat daar iets van afwijkt.
10 Bereken hoeveel procent het aantal volgens de formule afwijkt van het getelde
aantal.
11 Bereken met de formule in welk jaar het aantal pups voor het eerst groter is dan
9250.
Op 1 januari 1966 werden er 12 pups geteld. Op 1 januari 1991, 25 jaar later,
werden er 4650 pups geteld. Tussen die jaren was er bij benadering sprake van
exponentiële groei van het aantal pups.
12 Bereken met hoeveel procent per jaar het aantal pups in deze periode is
gegroeid.
Op 1 januari 1991 werden er 4650 pups geteld. Op $t = 25$ is de grafiek het
steilst. De hellingscoëfficiënt is daar dus het grootst. Figuur 1 staat ook op de
uitwerkbijlage.
13 Leg uit wat de hellingscoëfficiënt zegt over het aantal pups.
14 Onderzoek hoe groot de hellingscoëfficiënt van de grafiek op $t = 25$ is. Je mag
hierbij de figuur op de uitwerkbijlage gebruiken.
800047-2-052o 7 lees verder

### Pagina 8

Erupties
Vulkanen kunnen heel lang niet-actief zijn. Dan zijn er geen erupties
(uitbarstingen). Tijdens een actieve periode van een vulkaan zijn er wel erupties.
Bij een eruptie komt er gesmolten steen, gas en as uit de vulkaan. Dat duurt een
tijdje. Daarna is de vulkaan weer rustig, totdat de volgende eruptie begint.

We bekijken in deze opgave één actieve periode van één vulkaan. De actieve
periode start bij de eerste eruptie.
Wetenschappers hebben tijdens deze actieve periode gemeten:
- hoe lang iedere eruptie duurt: de eruptieduur;
- hoe lang de vulkaan rustig is tot de volgende eruptie begint: de tussentijd tot
de eerstvolgende eruptie.
Tijdens deze actieve periode was de langste tijd tussen twee erupties
108 minuten. Na de allerlaatste eruptie was de vulkaan weer lange tijd rustig.
De eruptieduur is gemeten in tienden van een minuut nauwkeurig en de
tussentijd in gehele minuten. De metingen zijn verwerkt in figuur 1. De
eruptieduur $E$ staat langs de horizontale as, de tussentijd tot de eerstvolgende
eruptie $T$ staat langs de verticale as.

figuur 1
[FIGUUR: Scatterplot met op de horizontale as $E$ (minuten) van 0 tot 6 en op de verticale as $T$ (minuten) van 40 tot 110. Er zijn veel datapunten zichtbaar.]
Het meest linkse punt in de figuur hoort bijvoorbeeld bij een eruptie die
0,8 minuut duurde en waarna de vulkaan 49 minuten rustig was.

800047-2-052o 8 lees verder

### Pagina 9

In deze actieve periode zijn er 184 erupties geweest. De eerste 183 zijn weergegeven in figuur 1. De allerlaatste eruptie van deze actieve periode duurde 1,7 minuut.

2p 15
De allerlaatste eruptie van een actieve periode kan niet in zo’n figuur worden weergegeven.
Geef hiervoor de verklaring.

We bekijken alleen de gegevens uit figuur 1 en laten de 184e eruptie buiten beschouwing.
Je kunt de gemiddelde duur van de 183 erupties schatten met behulp van de onderstaande klassenindeling (tabel 1). Bij een aantal klassen zijn de frequenties al gegeven.

tabel 1
eruptieduur $E$ (in minuten, afgerond op tienden) | $0 – 0,9$ | $1 – 1,9$ | $2 – 2,9$ | $3 – 3,9$ | $4 – 4,9$ | $5 – 5,9$
---|---|---|---|---|---|---
frequentie | 1 | 34 |  | 92 | 9

5p 16
Bereken de gemiddelde eruptieduur met behulp van de klassenindeling.

Je kunt op een soortgelijke manier voor de 183 erupties de gemiddelde duur van de tussentijd $T$ schatten. Het blijkt dat de tussentijd gemiddeld ongeveer 73 minuten bedraagt.

4p 17
Toon aan dat deze actieve periode van de vulkaan langer heeft geduurd dan een week.

In figuur 2 is een lijn getrokken die zo goed mogelijk bij de metingen past.

[FIGUUR: Scatterplot met op de horizontale as E (minuten) van 0 tot 6, en op de verticale as T (minuten) van 40 tot 110. Er is een lijn getrokken die de punten zo goed mogelijk benadert.]

4p 18
Deze lijn gaat door de punten (2, 56) en (5, 90).
Met behulp van deze lijn kun je bij een gegeven eruptieduur een grove schatting maken voor de tussentijd die je daarbij kunt verwachten.
Stel een formule op die bij deze lijn hoort.

800047-2-052o

### Pagina 10

Bierkenners vallen door de mand

Je kent ze waarschijnlijk wel, die jongens met een uitgesproken mening over
hun favoriete biermerk. Ze willen alleen dát merk; de rest is bocht. Maar wat
bleek in een biertest van de Consumentenbond? Het gaat voor een belangrijk
deel om het imago; bijna niemand herkent zijn favoriete merk.

Bij de biertest worden vijf flesjes bier van vijf verschillende merken naast elkaar
gezet.
3p 19 Bereken het aantal volgordes waarin de vijf flesjes naast elkaar gezet kunnen
worden.

De vijf flesjes staan geopend en zonder etiket naast elkaar. De twaalf
deelnemers aan de test weten om welke vijf merken het gaat. Een ervan is hun
favoriete merk, maar ook de andere merken hebben ze wel eens gedronken. Ze
moeten proberen bij ieder flesje het juiste merk te noemen.
Geen van de twaalf biermannen is in staat bij alle vijf flesjes het juiste merk te
noemen. En maar liefst zeven van de twaalf deelnemers herkennen geen enkel
merk. In tabel 1 staan nog meer uitkomsten van deze test.

tabel 1
Aantal goed
Aantal
bierkenners
0
1
2
3
4
5
7
...
1
1
...
0

4p 20 Vind de twee ontbrekende getallen van tabel 1 en bereken hoeveel de
deelnemers er gemiddeld goed hadden.

Wanneer je gokt, is de kans dat je géén van de vijf biermerken 'herkent'
ongeveer 0,3667.
Als twaalf mensen zo'n test doen en bij elk flesje gokken, kun je de kans
berekenen dat iedereen alles fout raadt. Die kans is erg klein.
3p 21 Bereken deze kans.

800047-2-0520
10
lees verder

### Pagina 11

We kijken naar een iets eenvoudiger situatie. Er zijn nu geen vijf maar vier flesjes van vier verschillende merken: A, B, C en D. En we gaan ervan uit dat er geen biermerken worden herkend, maar dat er wordt gegokt. Om de kans te berekenen dat geen enkel merk goed wordt geraden, is het handig om alle Gokmogelijkheden systematisch in een tabel te verzamelen. In tabel 2 staat het begin van zo’n tabel. Deze tabel staat ook op de uitwerkbijlage. De vier flesjes staan in de volgorde A, B, C, D naast elkaar. Zie tabel 2.

tabel 2
[FIGUUR: Tabel met kolommen: Gokmogelijkheid, biermerk A, biermerk B, biermerk C, biermerk D, aantal goed. Rijen bevatten de cijfers 1, 2, 3, 4 en ... met daaronder de biermerken die goed geraden zijn en het aantal goed geraden merken.]

In Gokmogelijkheid 1 worden alle vier biermerken goed gegokt. Je hebt er dus 4 goed.
Bij de Gokmogelijkheden 2 en 3 zijn twee biermerken goed en bij Gokmogelijkheid 4 is slechts één merk goed geraden.

5p 22 Vul de tabel op de uitwerkbijlage verder in en laat met behulp van die tabel zien dat bij gokken de kans op 0 goed gelijk is aan 0,375.

Bij het gokken van vier biermerken kun je de verwachtingswaarde van het aantal goed geraakte merken dat je goed raadt berekenen. Voordat je deze verwachtingswaarde kunt berekenen, moet je eerst de overige kansen in de kansverdeling uit tabel 3 berekenen.

tabel 3
[FIGUUR: Tabel met rij headers: Aantal goed geraden kans, en kolommen met nummers 0, 1, 2, 3, 4. De rij bevat de waarde 0,375 onder de kolom 0.]

4p 23 Stel de volledige kansverdeling op en bereken daarmee de verwachtingswaarde van het aantal goed geraden merken.

800047-2-052o* 11 einde ■