# Eindexamen Wiskunde A HAVO 2008 tijdvak 1

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2008/tijdvak-1

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Opgave 1

### Vraag 2 – Opgave 1

### Vraag 3 – Opgave 1

### Vraag 4 – Opgave 1

### Vraag 5 – Opgave 1

### Vraag 6 – Opgave 1

### Vraag 7 – Opgave 1

### Vraag 8 – Opgave 1

### Vraag 9 – Opgave 1

### Vraag 10 – Opgave 1

### Vraag 11 – Opgave 1

### Vraag 12 – Opgave 1

### Vraag 13 – Opgave 1

### Vraag 14 – Opgave 1

### Vraag 15 – Opgave 1

### Vraag 16 – Opgave 1

### Vraag 17 – Opgave 1

### Vraag 18 – Opgave 1

### Vraag 19 – Opgave 1

### Vraag 20 – Opgave 1

### Vraag 21 – Opgave 1

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen HAVO
2008
tijdvak 1
woensdag 28 mei
13.30 - 16.30 uur
wiskunde A1,2
Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.
Dit examen bestaat uit 21 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 80 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord kunnen
worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord
meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er
bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee redenen, dan
worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.
800023-1-052o

### Pagina 2

Suikerbieten

Een fabriek verwerkt alle geoogste suikerbieten uit de omgeving tot suiker. Voor
het plannen van de productie wil de fabriek graag een goede schatting hebben
van de oogst aan suikerbieten.
De oogst blijkt vooral afhankelijk te zijn van de totale hoeveelheid neerslag in de
maanden april tot en met september. Bij erg veel of erg weinig neerslag in deze
maanden is de oogst kleiner.
In figuur 1 zie je gegevens over neerslag en oogst in de periode 1997 tot en met
2004. In deze periode bleef het totale oppervlak dat gebruikt werd voor de
verbouw van suikerbieten ongewijzigd.

figuur 1

[FIGUUR: Een scatterplot met op de y-as 'S (ton)' van 50.000 tot 350.000 en op de x-as 'N (mm)' van 0 tot 250. De punten zijn gelabeld met jaartallen: 1997, 1998, 1999, 2000, 2001, 2002, 2003, 2004.]

In de figuur is $N$ de totale hoeveelheid neerslag in de maanden april tot en met
september en $S$ de omvang van de suikerbieten oogst.
De neerslag $N$ is in millimeter, de omvang van de suikerbieten oogst $S$ is in ton
(1 ton = 1000 kg).
Je kunt in de figuur bijvoorbeeld aflezen dat in het jaar 1997 in de maanden april
tot en met september bijna 200 mm neerslag viel en dat er in dat jaar 90 000 ton
suikerbieten werd geoogst.

In de periode april tot en met september 2004 viel er meer neerslag dan in die
periode in 2003.

3p 1 Bereken hoeveel procent meer neerslag er viel.

3p 2 Bereken de omvang van de gemiddelde oogst in de periode 1997 tot en met
2004.

800023-1-052o 2 lees verder ►►►


### Pagina 3

Er blijkt bij benadering een kwadratisch verband te bestaan tussen $S$ en $N$. Je
kunt dat ook in figuur 2 zien: de punten liggen bij benadering op een parabool.

figuur 2

[FIGUUR: Een grafiek met op de y-as S (ton) van 50.000 tot 350.000, en op de x-as N (mm) van 0 tot 250. Een parabool loopt door de punten 1998, 2001, 2002, 2003, 1999, 2004, 2000, 1997.]

Het verband wordt gegeven door de formule:
$S = -39,5N^2 + 9450N - 245000$

4p 3 Als de oogst groter is dan 150 000 ton, moet de fabriek uitzendkrachten inhuren.
Bereken met behulp van de formule hoeveel millimeter neerslag er dan gevallen
moet zijn.

5p 4 Op grond van de formule kun je voorspellen wanneer de oogst maximaal is.
Stel de afgeleide van $S$ op en bereken met behulp van die afgeleide bij welke
hoeveelheid neerslag de oogst maximaal is.

800023-1-052o 3 lees verder ► ► ►
Voor alle eindexamens, zie ook www.ssileiden.nl. Voor de perfecte voorbereiding op je eindexamen, zie www.ssileiden.nl. Pagina: 1389

### Pagina 4

Citotoets

Veel kinderen maken in het laatste jaar van de basisschool de Citotoets. De
uitslag wordt gebruikt bij de keuze voor het type voortgezet onderwijs.

Iedere deelnemer krijgt een overzicht van de scores op de toets. In figuur 3 zie
je het overzicht van Kim en haar uiteindelijke 'Standaardscore'.

figuur 3
Resultaten
Aantal opgaven
Aantal goed
Percentielscore
100
73
54
Taal
60
48
59
Rekenen-
Wiskunde
40
23
27
Studievaar-
digheden
90
52
21
Wereld-
oriëntatie
290
196
38
Totaal
Standaardscore
536

De standaardscore is gebaseerd op drie van de vier categorieën, namelijk Taal,
Rekenen-Wiskunde en Studievaardigheden (in totaal 200 opgaven).
Er is een lineair verband tussen het totaal aantal goed beantwoorde opgaven
van deze drie categorieën en de standaardscore. Bij 0 opgaven goed is de
standaardscore 500, bij alle 200 opgaven goed is de standaardscore 550.
Zoals je ziet in figuur 3 had Kim 144 opgaven goed in de eerste drie categorieën
($73 + 48 + 23$), wat haar een standaardscore van 536 opleverde.
De standaardscore wordt afgerond op een geheel getal.

4p
5
Bereken de standaardscore van Tarik.

Arno heeft in de categorie Rekenen-Wiskunde 52 opgaven goed beantwoord en
in de categorie Studievaardigheden 33. Zijn standaardscore is daarmee 541.
Er zijn verschillende scores in de categorie Taal mogelijk, waarbij Arno's
standaardscore afgerond wordt op 541.

5p
6
Geef alle mogelijke scores die Arno in de categorie Taal kan hebben gehad.
Licht je antwoord toe.

Ga er in de volgende twee vragen van uit dat de scores voor elke categorie bij
benadering normaal verdeeld zijn.

In de Citotoets van 2004 zaten 100 opgaven in de categorie Taal. Kim had er
daarvan 73 goed. In figuur 3 staat dat haar percentielscore 54 is. Deze
percentielscore van 54 betekent dat 54% van alle kinderen 73 opgaven of
minder goed had.

4p
7
Van de Citotoets van 2004 is bekend dat in de categorie Studievaardigheden
het aantal goed beantwoorde opgaven gemiddeld 27,6 was met een
standaardafwijking van 6,6. Anneke had in deze categorie 21 opgaven goed.
Bereken de percentielscore van Anneke.

800023-1-052o
4
lees verder ► ► ►

Voor alle eindexamens, zie ook www.ssl-leiden.nl. Pagina: 1390

### Pagina 5

Kim had 48 opgaven goed in de categorie Rekenen-Wiskunde. Dat gaf een
percentielscore van 59.
Voor Rekenen-Wiskunde was de standaardafwijking 8,4.
4p 8 Bereken het gemiddelde aantal goed beantwoorde opgaven bij Rekenen-
Wiskunde. Rond je antwoord af op een geheel getal.

In figuur 4 zie je de cumulatieve frequentiepolygoon van de standaardscore op
de Citotoets van 2004. Deze figuur staat ook op de uitwerkbijlage.

figuur 4
[FIGUUR: Cumulatieve frequentiepolygoon met op de y-as 'cumulatief percentage' van 0 tot 100 en op de x-as 'standaardscore' van 500 tot 550. De curve stijgt vanaf linksonder naar rechtsboven.]
cumulatief
percentage
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
500 505 510 515 520 525 530 535 540 545 550
- standaardscore

5p 9 Teken op de uitwerkbijlage met behulp van figuur 4 een boxplot van de
standaardscores op de Citotoets van 2004. Op de uitwerkbijlage staat al een
schaalverdeling voor je boxplot.

800023-1-052o 5 lees verder ▶ ▶ ▶

### Pagina 6

Olie
Er wordt door mensen veel olie verbruikt. Gelukkig wordt er nog regelmatig
nieuwe olie gevonden, maar ooit zal de olie opraken.
Onder de reserves verstaan we de hoeveelheid olie die naar schatting nog uit
de grond gehaald kan worden.
Onder de consumptie verstaan we de hoeveelheid olie die echt gebruikt wordt.
Hoeveelheden olie worden uitgedrukt in vaten. Eén vat bevat 159 liter olie.
3p 10
In 2003 was de olieconsumptie in de Verenigde Staten 20071000 vaten per
dag. In 2003 had de Verenigde Staten ongeveer 293 miljoen inwoners.
Bereken de olieconsumptie in de Verenigde Staten in 2003 in liter per inwoner
per dag.
Aan het eind van 2003 waren de reserves in de hele wereld 1147,7 miljard
vaten. Als de wereldconsumptie per dag steeds gelijk zou blijven aan die van
2003, dan zouden deze reserves 41 jaar later helemaal verbruikt zijn: er is dan
geen olie meer.
Bereken hoeveel vaten olie er per dag in de wereld geconsumeerd werden in
2003. Geef je antwoord in miljoenen.
3p 11
De grootte van de reserves verandert voortdurend, omdat er enerzijds olie vanaf
gaat voor de consumptie en er anderzijds nog steeds nieuwe olievelden worden
gevonden. Oliemaatschappijen letten daarom op de zogenaamde R/C-ratio,
ofwel de verhouding tussen de reserves (R) en de consumptie (C) per jaar.
Figuur 5 geeft voor een aantal jaren zowel de R/C-ratio (in jaren, linkeras) als
de consumptie (in duizenden vaten per dag, rechteras).
figuur 5
R/C-ratio
(jaren)
consumptie
(duizenden vaten
per dag)
1981 1983 1985 1987 1989 1991 1993 1995 1997 1999 2001 2003
Legenda:
R/C-ratio
consumptie
In figuur 5 is te zien dat in de periode 1999-2003 de R/C-ratio ongeveer gelijk
is gebleven.
Zijn de reserves in deze periode toegenomen of afgenomen? Verklaar je
antwoord.
3p 12
800023-1-052o

### Pagina 7

De consumptie van olie is niet op het niveau van 2003 gebleven.
Eind 2003 heeft men geprobeerd voorspellingen te doen over het tijdstip waarop
er geen olie meer is. Er zijn toen twee situaties vergeleken: één waarin de
consumptie lineair toeneemt, en één waarin de consumptie exponentieel
toeneemt.
Lineaire toename van de consumptie
De olieconsumptie in de hele wereld in het jaar 2003 bedroeg 28,02 miljard
vaten. Dat was 0,54 miljard vaten meer dan in 2002.
Neem aan dat er vanaf 2003 elk jaar 0,54 miljard vaten méér worden
geconsumeerd, ofwel de jaarlijkse consumptie neemt lineair toe.
Met de volgende formule is dan de cumulatieve olieconsumptie vanaf 2004
$TC_{lin}$ (in miljarden vaten) te berekenen.
$TC_{lin} = 28,29n + 0,27n^2$
met $n = 1$ in 2004, $n = 2$ in 2005, enzovoort.
Je kunt dus, door $n = 3$ in te vullen in deze formule, berekenen dat er in de jaren
2004, 2005 en 2006 samen 87,3 miljard vaten zijn geconsumeerd.
We nemen aan dat er geen nieuwe reserves meer worden gevonden. We
moeten het dus doen met de 1147,7 miljard vaten aan oliëreserves die we eind
2003 nog hadden.
4p 13 Bereken hoeveel jaar na 2003 de reserves helemaal verbruikt zijn.
Exponentiële toename van de consumptie
In de jaren vóór 2003 steeg de jaarlijkse olieconsumptie in China nagenoeg
exponentieel. De Chinese regering verwachtte dat de olieconsumptie
exponentieel zou blijven toenemen en in de volgende 10 jaar zou verdubbelen
van 6,1 miljoen vaten per dag naar 12,2 miljoen vaten per dag.
4p 14 Bereken met hoeveel procent per jaar de jaarlijkse olieconsumptie dan
toeneemt.
Het was niet zo vreemd om te veronderstellen dat in de hele wereld de jaarlijkse
olieconsumptie na 2003 exponentieel zou toenemen.
De consumptie was 28,02 miljard vaten in het jaar 2003. Dit was 1,97% hoger
dan in 2002.
Neem aan dat de olieconsumptie vanaf 2003 elk jaar met 1,97% toeneemt.
Met de volgende formule is dan de cumulatieve olieconsumptie vanaf 2004
$TC_{exp}$ (in miljarden vaten) te berekenen.
$TC_{exp} = 1450,43 \cdot (1,0197^n - 1)$
met $n = 1$ in 2004, $n = 2$ in 2005, enzovoort.
We weten al dat eind 2003 de reserves 1147,7 miljard vaten waren. We nemen
aan dat na 2003 ieder jaar 15,8 miljard vaten worden toegevoegd aan de
reserves.
5p 15 Bereken hoeveel jaar na 2003 de reserves helemaal verbruikt zijn.
800023-1-052o
7
lees verder

### Pagina 8

Niemand ontkomt aan de bril

Ruim de helft van alle Nederlanders heeft een bril of contactlenzen. Het gebruik
neemt nog steeds toe, want de bevolking vergrijst en boven de 60 jaar heeft
bijna iedereen een bril of contactlenzen.

In figuur 6 zie je per leeftijdscategorie het percentage brildragers en het
percentage contactlensdragers. In de figuur zijn de klassenmiddens vermeld.
Zo kun je bijvoorbeeld aflezen dat 15,8% van de mensen uit de leeftijdscategorie
10 tot 20 jaar (klassenmidden 15) een bril draagt en 7,5% contactlenzen.

figuur 6 brillen en contactlenzen naar leeftijdscategorie
[FIGUUR: Lijnendiagram met op de y-as "percentage" van 0 tot 100, en op de x-as "leeftijd in jaren" van 0 tot 85. Er zijn twee lijnen: een doorgetrokken lijn met vierkante punten die het percentage brildragers weergeeft, en een gestippelde lijn met vierkante punten die het percentage contactlensdragers weergeeft. De hoogste percentages bevinden zich bij de oudere leeftijdsgroepen voor brillen en de midden leeftijdsgroepen voor contactlenzen.]

Legenda:
- bril
-- lenzen

Bril en contactlenzen worden ook wel gezichtshulpmiddelen genoemd.
In deze opgave gaan we ervan uit dat er geen mensen zijn die zowel een bril als
contactlenzen dragen. Verder nemen we aan dat als je eenmaal een
gezichtshulpmiddel gebruikt, je dat voor de rest van je leven gebruikt. Er zijn wel
mensen die overstappen van een bril naar contactlenzen en omgekeerd. Tot slot
gaan we ervan uit dat de percentages die bij de leeftijdscategorie horen door
de jaren heen niet veranderen.

De leeftijdscategorie ‘30 tot 40 jaar’ bevat ongeveer even veel mensen als de
leeftijdscategorie ‘40 tot 50 jaar’.
3p 16 Toon aan dat 20,8% van de mensen tussen de 40 en 50 jaar voor het eerst
gebruik gaat maken van een gezichtshulpmiddel.

800023-1-052o
8 lees verder
Voor alle eindexamens, zie ook www.ssl-leiden.nl. Pagina: 1394

### Pagina 9

In figuur 7 staat de leeftijdsopbouw van de totale Nederlandse bevolking in 2005.
figuur 7
[FIGUUR: Horizontale staafdiagram met leeftijdsgroepen op de y-as en aantallen op de x-as. De leeftijdsgroepen zijn: >90, 80-90, 70-80, 60-70, 50-60, 40-50, 30-40, 20-30, 10-20, 0-10. De bijbehorende aantallen zijn: 77.639, 495.934, 1.037.591, 1.501.599, 2.227.579, 2.509.444, 2.505.504, 1.962.279, 1.989.415, 1.998.542.]
5p 17 Bereken met behulp van figuur 6 en figuur 7 hoeveel méér mensen met een gezichtshulpmiddel er zijn in de leeftijdscategorie '30 tot 40 jaar' dan in de leeftijdscategorie '20 tot 30 jaar'. Rond je antwoord af op een honderdtal.
De schoolartsen in Nederland controleren alle 14-jarige scholieren op hun gezondheid. Ze controleren ook de ogen van de scholieren. Van de scholieren die op dat moment nog geen gezichtshulpmiddel hebben, ziet 5% zo slecht dat bril of contactlenzen nodig zijn.
Er werden 50 leerlingen van 14 jaar oud willekeurig aangewezen die naar de schoolarts moeten. Ze hebben allemaal nog geen gezichtshulpmiddel.
3p 18 Bereken de kans dat geen van die 50 leerlingen een gezichtshulpmiddel nodig heeft.
Let op: de laatste vragen van dit examen staan op de volgende pagina.
800023-1-052o
9
lees verder

### Pagina 10

Figuur 8 komt je misschien bekend voor. Het is een poster met een eenvoudige
ogentest. Elke rij heeft vijf of zes cirkels met één opening.
Als je omlaag gaat, worden de cirkels steeds kleiner.
Bij de ogentest sta je op 5 meter afstand van de poster. Je kijkt met één oog. De
arts wijst steeds een cirkel aan en jij moet zeggen waar de opening zit: boven,
onder, links of rechts.
Hoe lager de rij die je nog kunt ‘lezen’, hoe beter je oog.

figuur 8
[FIGUUR: Een raster van cirkels met openingen. De eerste rij heeft drie cirkels. De tweede rij heeft drie cirkels. De derde rij heeft drie cirkels. De vierde rij heeft drie cirkels.]

In elke cirkel kan de opening dus boven, onder, links of rechts zitten.
Het is niet nodig dat alle mogelijke openingen in één rij voorkomen. Dus een rij
met bijvoorbeeld alle zes openingen boven mag ook.
3p 19 Bereken hoeveel verschillende rijen van zes cirkels mogelijk zijn.

We bekijken rijen van zes cirkels, waarbij vier cirkels de opening boven en twee
cirkels de opening rechts hebben.
20 Bereken hoeveel van zulke rijen er mogelijk zijn.

Bram doet de ogentest. De arts gaat als volgt te werk: hij wijst eerst een cirkel in
de bovenste rij aan en vraagt waar de opening zit. Wanneer Bram het juiste
antwoord geeft, gaat hij een rij lager.
Bram ziet heel slecht en kan de bovenste rij cirkels al niet ‘lezen’. Hij gokt
daarom steeds waar de opening zit.
4p 21 Bereken de kans dat Bram pas in de vijfde rij in de fout gaat.

800023-1-0520* 10 einde ■