# Eindexamen Wiskunde A HAVO 2007 tijdvak 2

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2007/tijdvak-2

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Opgave 1

### Vraag 2 – Opgave 1

### Vraag 3 – Opgave 1

### Vraag 4 – Opgave 1

### Vraag 5 – Opgave 1

### Vraag 6 – Opgave 1

### Vraag 7 – Opgave 1

### Vraag 8 – Opgave 1

### Vraag 9 – Opgave 1

### Vraag 10 – Opgave 1

### Vraag 11 – Opgave 1

### Vraag 12 – Opgave 1

### Vraag 13 – Opgave 1

### Vraag 14 – Opgave 1

### Vraag 15 – Opgave 15

### Vraag 16 – Opgave 16

### Vraag 17 – Opgave 17

### Vraag 18 – Opgave 1

### Vraag 19 – Opgave 1

### Vraag 20 – Opgave 1

### Vraag 21 – Opgave 1

### Vraag 22 – Opgave 1

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen HAVO
2007
tijdvak 2
woensdag 20 juni
13.30 - 16.30 uur
wiskunde A1,2

Bij dit examen hoort een uitwerkbijlage.

Dit examen bestaat uit 22 vragen.
Voor dit examen zijn maximaal 80 punten te behalen.
Voor elk vraagnummer staat hoeveel punten met een goed antwoord kunnen
worden.

Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord
meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt.

Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er
bijvoorbeeld twee redenen worden gevraagd en je geeft meer dan twee redenen, dan
worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld.

700047-2-052o

### Pagina 2

Sprintsnelheid

Een hardloopster is gespecialiseerd op de 100 meter. Bij dit atletiekonderdeel moet je zo snel mogelijk je topsnelheid halen en die dan proberen vast te houden tot de finish.

Haar trainer heeft haar sprint laten onderzoeken met behulp van supersnelle camera's.
In figuur 1 is het verband tussen de snelheid en de afgelegde afstand in een grafiek weergegeven. Je vindt figuur 1 ook op de uitwerkbijlage.

figuur 1
[FIGUUR: Grafiek met op de y-as 'snelheid in km/u' van 0 tot 40 en op de x-as 'afgelegde afstand in meter' van 0 tot 100. De grafiek toont een curve die snel stijgt, een piek bereikt rond 20 meter, en daarna langzaam daalt.]

4p 1 Teken in figuur 2 op de uitwerkbijlage het toenamediagram dat past bij de grafiek van figuur 1. Neem als stapgrootte 20 meter.

Op verzoek van de trainer heeft een wiskundige een formule gemaakt die goed past bij de grafiek in figuur 1. Die formule is:

$$ v = \frac{100\,800\cdot\sqrt{x}}{(x+90)^2} $$

In deze formule is $v$ de snelheid in kilometer per uur en $x$ de afgelegde afstand in meter.

700047-2-052o 2 lees verder ►►►

### Pagina 3

In figuur 1 zie je dat de maximale snelheid ongeveer 38 km per uur is en de snelheid bij de finish ongeveer 28 km per uur.

2p 2 Bereken met welke snelheid de hardloopster volgens de formule de finish passeert. Geef je antwoord in één decimaal.

3p 3 Bereken de hoogste snelheid die de hardloopster bereikt volgens de formule. Geef je antwoord in één decimaal.

In de grafiek zie je dat de snelheid tijdens een gedeelte van de sprint hoger dan 35 km per uur is.

5p 4 Bereken met behulp van de formule hoeveel meter de hardloopster aflegt met een snelheid die hoger is dan 35 km per uur.

700047-2-052o 3 lees verder ►►►

### Pagina 4

Huiswerk

Uit onderzoek is gebleken dat leerlingen in de eerste klas van het voortgezet
onderwijs gemiddeld ruim 8 uur per week aan huiswerk besteden. De meeste tijd
besteden zij aan de vakken wiskunde, Engels en Nederlands.
Daarnaast besteden meisjes meer tijd aan huiswerk dan jongens.
De tijd in uren die leerlingen per week aan hun huiswerk besteden, noemen we
de huiswerktijd.
In figuur 2 zijn de resultaten van het onderzoek weergegeven.

figuur 2
[FIGUUR: Staafdiagrammen met twee rijen. De bovenste rij toont de huiswerktijd van meisjes verdeeld over intervallen: 0-<4, 4-<6, 6-<8, 8-<10, 10-<12, 12-<16. De onderste rij toont de huiswerktijd van jongens verdeeld over intervallen: 0-<4, 4-<6, 6-<8, 8-<10, 10-<12, 12-<16. Onder de staafdiagrammen staat een schaal van 0 tot 100 met pijlen, met daaronder de tekst: percentage leerlingen verdeeld naar huiswerktijd.]

In figuur 2 kun je bijvoorbeeld zien dat ongeveer 27 procent van de jongens
minstens 6 uur maar minder dan 8 uur per week aan huiswerk besteedt.

3p 5 Hoeveel procent van de meisjes besteedt 8 uur of meer per week aan het
huiswerk? Licht je antwoord toe.

De gemiddelde huiswerktijd van de leerlingen in de eerste klas is ruim 8 uur.
Meisjes blijken gemiddeld meer dan 8 uur aan hun huiswerk te besteden. Met
behulp van de klassenmiddens kun je het gemiddelde voor de jongens schatten.
Toon met behulp van een berekening met de klassenmiddens aan dat de
gemiddelde huiswerktijd van de jongens minder dan 8 uur is.

Docenten vinden dat leerlingen ongeveer 9 uur per week aan hun huiswerk
zouden moeten besteden.
Ga ervan uit dat de huiswerktijd van de meisjes bij benadering normaal verdeeld
is met een gemiddelde van 8,8 uur en een standaardafwijking van 3,2 uur.
Bereken met deze gegevens hoeveel procent van de meisjes minstens 9 uur per
week aan huiswerk besteedt.

De huiswerktijd van de jongens is bij benadering ook normaal verdeeld. Het
gemiddelde is 7,5 uur. Verder zien we in figuur 2 dat 30 procent van hen minder
dan 6 uur per week aan huiswerk besteedt.
Bereken met behulp van deze normale verdeling de standaardafwijking van de
huiswerktijd van de jongens.

4p 6

3p 7

4p 8

700047-2-052o 4 lees verder ►►►

### Pagina 5

Men heeft een soortgelijk onderzoek gedaan onder studenten. Daarbij is gekeken naar de tijd die mannelijke en vrouwelijke studenten thuis aan hun studie besteden. Het onderzoek wijst uit dat vrouwen per week meer tijd aan 'huiswerk' besteden dan mannen. De spreiding in huiswerk tijd bij de mannen is kleiner dan bij de vrouwen. Bij beide is hier bij benadering ook weer sprake van een normale verdeling. Vier leerlingen kregen de opdracht om in één figuur van zowel de mannelijke als de vrouwelijke studenten een verdeling van de tijd aan te geven die de studenten thuis aan hun studie besteden. Het resultaat van deze opdracht staat in figuur 3.
figuur 3
[FIGUUR: Twee grafieken boven elkaar. De linkerboven grafiek toont twee klokvormige curven, waarvan er één een hogere piek heeft en verder naar links op de x-as geplaatst is, en de andere curve lager en breder is. De rechterboven grafiek toont eveneens twee klokvormige curven, waarvan er één een lagere piek heeft en verder naar rechts op de x-as geplaatst is, en de andere curve hoger en smaller is. Beide grafieken hebben "tijd" op de x-as.]
I II
[FIGUUR: Twee grafieken boven elkaar, vergelijkbaar met de bovenste rij. De linkeronder grafiek toont twee klokvormige curven. De ene curve heeft een hoge, smalle piek die naar links verschoven is. De andere curve is breder en de piek ligt meer naar het midden en is iets naar rechts verschoven ten opzichte van de eerste curve. De rechteronder grafiek toont twee klokvormige curven, waarvan de linker curve laag en breed is en de rechter curve hoog en smal met de piek verder naar rechts op de x-as. Beide grafieken hebben "tijd" op de x-as.]
III IV
4p 9 Eén van de bovenstaande figuren past het best bij de gegevens over de studenten. Welke figuur is dat? Licht je antwoord toe.
700047-2-052o 5 lees verder

### Pagina 6

Vliegen en zwemmen

Uit biologisch onderzoek blijkt dat vogels, vleermuizen en insecten op een vergelijkbare manier met hun vleugels bewegen als vissen met hun staartvin. Onderzoekers hebben een verband ontdekt tussen de slagfrequentie (het aantal slagen per seconde van de vleugels of staartvin), de slaggrootte (de afstand tussen de uiterste staartvin- of vleugelstanden tijdens een slag, zie figuur 4) en de kruissnelheid (de gemiddelde snelheid).

figuur 4
De slaggrootte van een vleermuis
[FIGUUR: Twee silhouetten van een vleermuis, één zijdelings en één van boven, met pijlen die de spanwijdte aanduiden en de aanduiding $d=0,26$ m.]
$d = 0,26$ m

Voor dieren als vissen, dolfijnen, vogels en insecten is het verband hetzelfde. Er geldt namelijk:
$$ \frac{f \cdot d}{v} = 0,3 $$
Dit wordt wel de formule van Strouhal genoemd.
In deze formule is:
- $f$ de slagfrequentie (het aantal slagen per seconde van de vleugels of staartvin);
- $d$ de slaggrootte (in meter);
- $v$ de kruissnelheid (in meter per seconde).

[FIGUUR: Een foto van een kolibrie die in de lucht hangt met gespreide vleugels.]
De kolibrie is een klein vogeltje dat vliegt met een hoge slagfrequentie.
Een kolibrie heeft een slaggrootte van 8 cm en een kruissnelheid van 13,5 meter per seconde.

3p 10 Toon aan dat een kolibrie een slagfrequentie van ruim 50 heeft.

700047-2-052o
6
lees verder

### Pagina 7

De tuimelaar (een dolfijnensoort) heeft een
kruissnelheid van 15 meter per seconde.
Voor de tuimelaar kan $f$ worden uitgedrukt
in $d$:
$f = \frac{4,5}{d}$

3p 11 Laat zien hoe deze formule ontstaat uit de formule van Stroohal.
De formule van $f$ is ook te schrijven als:
$f = 4,5 \cdot d^{-1}$

4p 12 Tijdens de groei van de tuimelaar groeit ook zijn staartvin. Daardoor wordt zijn
slag­grootte groter en bereikt hij met een kleiner aantal slagen per seconde de
kruissnelheid van 15 meter per seconde.
Toon dit met behulp van de afgeleide aan.

De gewone huisvlieg is ook onderzocht. De slaggrootte van de huisvlieg is
kleiner dan die van de vleermuis (zie figuur 5). De punten in figuur 5 geven de
hoogte aan van het uiteinde van de vleugels van de vlieg tijdens de vlucht.
In figuur 5 is ruim $3\frac{1}{2}$ slag te zien. Als je weet hoe lang één slag duurt, kun je
natuurlijk uitrekenen hoeveel slagen er in één seconde passen en heb je precies
de slagfrequentie gevonden.

[FIGUUR: Grafiek met op de x-as 'tijd (in seconden)' en op de y-as een golvende lijn met punten. De x-as loopt van 0 tot 0,030 met intervallen van 0,005. De y-as heeft twee horizontale stippellijnen en een pijl gemarkeerd met 'd' aan de rechterkant.]

figuur 5

5p 13 Verder is gegeven dat de slaggrootte van een huisvlieg 6,5 mm is.
Bereken de kruissnelheid van de huisvlieg. Licht je antwoord toe.
700047-2-052o
7

### Pagina 8

Tientjes
‘Tientjes' is een gokspel voor twee personen. Eén persoon is de speler, de
ander is de bank.
Er zijn vijf kaarten die aan één zijde met een getal bedrukt zijn: drie met het
getal $-10$ en twee met het getal $+10$.
Bij het begin van het spel schudt de bank deze kaarten en legt ze van links naar
rechts naast elkaar op tafel met de getallen naar beneden.
De drie kaarten met het getal $-10$ en de twee kaarten met het getal $+10$
kunnen in verschillende volgordes liggen.
3p 14 Bereken dit aantal verschillende volgordes.
Het spel gaat als volgt:
De speler kiest één kaart en draait die om.
Voor de afrekening worden de volgende spelregels gebruikt:
– als er $-10$ op de kaart staat, moet de speler 10 euro betalen aan de bank;
– als er $+10$ op de kaart staat, ontvangt hij 10 euro van de bank.
De gekozen kaart wordt weggelegd. De speler besluit of hij stopt of doorgaat.
Als hij doorgaat, kiest hij weer een kaart en draait die om. Daarna volgt een
afrekening volgens dezelfde regels als bij de eerste kaart en wordt de gedraaide
kaart weggelegd.
Iedere keer als de speler een kaart heeft omgedraaid en er is afgerekend, kan
hij stoppen of een volgende kaart omdraaien. Er kunnen natuurlijk hoogstens
vijf kaarten omgedraaid worden.
Speler Renske heeft de volgende strategie:
– Ze stopt met omdraaien als ze in het spel voor de tweede keer een kaart
met $-10$ heeft omgedraaid. Dan weet ze namelijk zeker dat ze niet meer met
winst kan eindigen.
– Ze stopt ook als ze voor de tweede keer een kaart met $+10$ heeft
omgedraaid. Daarna kan haar winst immers alleen maar kleiner worden.
Zij heeft alle mogelijkheden van haar strategie op een kladblaadje voor zich
liggen. Op dat blaadje heeft ze bij elk mogelijk spelverloop opgeschreven wat
het eindresultaat is als ze stopt. Zo betekent eindresultaat $+10$ een winst van
10 euro en eindresultaat $-20$ houdt in dat Renske 20 euro heeft verloren. Zie
figuur 6. In deze figuur zijn ook enkele kansen gegeven.
de uitwerkbijlage.
700047-2-052o 8 lees verder ►►►

### Pagina 9

figuur 6
[FIGUUR: Een boomdiagram dat de mogelijke uitkomsten van een spel weergeeft. De eerste vertakking heeft kansen $\frac{2}{5}$ en $\frac{3}{5}$. De volgende vertakkingen hebben kansen $\frac{1}{4}$ en $\frac{3}{4}$, en zo verder. De eindresultaten zijn $+20$, $+10$, $-10$ en $-20$.]

tabel 1
| Eindresultaat | -20 | -10 | +10 | +20 |
|---|---|---|---|---|
| Kans | $\frac{3}{10}$ | $\frac{4}{10}$ |  | $\frac{1}{10}$ |

In deze tabel staat dat de kans op eindresultaat $-10$ gelijk is aan $\frac{4}{10}$.

4p 15 Toon dit aan. Je mag hierbij de figuur op de uitwerkbijlage gebruiken.

3p 16 Toon met behulp van de verwachtingswaarde aan dat Renske met haar strategie per spel gemiddeld 6 euro zal verliezen.

Marlies heeft een andere strategie dan Renske. Nadat Marlies een kaart heeft omgedraaid, draait ze alleen een volgende kaart om als ze op verlies staat. Ook zij heeft een blaadje voor zich liggen. Zie figuur 7. Ook deze figuur staat op de uitwerkbijlage.

figuur 7
[FIGUUR: Een boomdiagram dat de mogelijke uitkomsten van Marlies' strategie weergeeft. De eerste vertakking heeft een kans van $\frac{1}{4}$ en leidt tot $+10$. De tweede vertakking heeft een kans van $\frac{3}{4}$ en leidt tot $-10$. Vervolgens zijn er verdere vertakkingen met eindresultaten $+10$, $0$, $-10$.]

We vergelijken de strategie van Marlies met die van Renske. We weten dat Renske naar verwachting 6 euro per spel verliest. Om te onderzoeken of de strategie van Marlies beter is, kunnen we kijken of bij Marlies de verwachtingswaarde van het eindresultaat per spel hoger is.

6p 17 Onderzoek of de strategie van Marlies beter is. Je mag voor het berekenen van de kansen de figuur op de uitwerkbijlage gebruiken.

700047-2-052o

### Pagina 10

Kookpunthoogtemeter

Voor bergbeklimmers is het belangrijk te weten op welke hoogte ze zich
bevinden. Daarvoor gebruiken ze tegenwoordig hoogtemeters die de hoogte met
behulp van de luchtdruk meten. Immers, hoe hoger je komt, hoe lager de
luchtdruk.

Toen Francisco José de Caldas in 1791 het Andesgebergte overstak, was er
geen hoogtemeter. Hij bedacht er zelf een: hij kookte water in een pannetje en
mat de temperatuur op het moment dat het water begon te borrelen en kwam op
die manier de hoogte te weten.

Op zeespiegel (op 0 meter hoogte) is de luchtdruk 1013 millibar en kookt water
bij $100$ °C. Kom je hoger, dan daalt de luchtdruk, maar gaat ook het kookpunt
(de temperatuur waarbij water begint te borrelen) van water omlaag. Zo kookt
water op de top van de Mount Everest ($8850$ meter) al rond de $70$ °C. Het
kookpunt van water is dus een maat voor de hoogte.

In figuur 8 zie je hoe de hoogte $H$, de luchtdruk $P$ en het kookpunt $T$ met elkaar
samenhangen. De drie schaalverdelingen zijn lineair. Figuur 8 staat ook op de
uitwerkbijlage.

figuur 8

[FIGUUR: Grafiek met op de y-as de kookpunt $T$ (in °C) van 95 tot 100, en op de x-as de luchtdruk $P$ (in millibar) van 820 tot 1020. Een rechte lijn loopt van het punt waar $P$ ongeveer 845 millibar is en $T$ 95 °C, naar het punt waar $P$ 1013 millibar is en $T$ 100 °C. De hoogte $H$ (in meter) is ook op de x-as aangegeven met een omgekeerde schaal, van 1800 meter bij 820 millibar tot 0 meter bij 1020 millibar. Er zijn twee punten aangegeven op de lijn: punt $K$ en punt $N$.]

In figuur 8 is punt $K$ getekend: bij een hoogte van $1530$ meter is de luchtdruk
$845$ millibar en het kookpunt $95$ °C. Ook punt $N$ is getekend ($H = 0$ meter,
$P = 1013$ millibar en $T = 100$ °C).

700047-2-052o
10
lees verder

### Pagina 11

Thijs is op vakantie in de Duitse Eifel. Hij wil met de methode van De Caldas weten op welke hoogte hij zit. Hij kookt water en meet de temperatuur. Het water kookt bij $98,1 \ ^{\circ}\text{C}$.
3p 18 Op welke hoogte zit Thijs? Geef in de figuur op de uitwerking aan hoe je je antwoord bent gekomen.
Tot 2 km hoogte gebruiken bergbeklimmers verschillende vuistregels.
Een vuistregel voor het verband tussen hoogte en luchtdruk is:

bij elke stijging van 100 meter neemt de luchtdruk met 11 millibar af

3p 19 Onderzoek of deze vuistregel in overeenstemming is met figuur 8.
Met behulp van figuur 8 kun je ook een vuistregel maken voor het verband tussen de hoogte en het kookpunt. Ook deze begint met: bij elke stijging van 100 meter ...
3p 20 Geef deze vuistregel. Licht je werkwijze toe.
In figuur 8 is duidelijk te zien dat er (tot een hoogte van 2 km) sprake is van een lineair verband tussen het kookpunt $T$ en de luchtdruk $P$.
5p 21 Stel een formule op voor dit verband. Gebruik daarbij de punten $K$ en $N$.
Het lineaire model dat hierboven gebruikt werd, is maar een benadering. In werkelijkheid is het verband tussen de luchtdruk en de hoogte exponentieel. Het is bekend dat boven op de Mount Everest (8850 meter) de luchtdruk nog maar een derde is van de luchtdruk op zeeniveau, dus zo'n 340 millibar. De eerder genoemde vuistregel geldt niet voor zulke grote hoogtes.
De exponentiële afname van de luchtdruk kunnen we beschrijven met de formule:
$$P = 1013 \cdot 0,98^h$$
Hierin is $P$ de luchtdruk in millibar en $h$ de hoogte in honderden meters.
Tot een hoogte van 2 km gebruikt men vaak voor het gemak, zoals ook uit de vuistregel bij vraag 19 blijkt, een lineair verband tussen de luchtdruk en de hoogte. Dit lineaire model wijkt dan niet veel af van het werkelijke exponentiële model. In punt $K$ is volgens het lineaire model de luchtdruk 845 millibar.
3p 22 Bereken hoeveel procent die 845 afwijkt van de waarde in het punt $K$ volgens de exponentiële formule.
700047-2-052o* 11 einde ■