# Eindexamen Wiskunde A HAVO 2006 tijdvak 1

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2006/tijdvak-1

## Vragen in dit examen

### Vraag 10 – Opgave 1

### Vraag 11 – Opgave 1

### Vraag 12 – Opgave 1

### Vraag 13 – Opgave 1

### Vraag 14 – Opgave 1

### Vraag 15 – Opgave 1

### Vraag 16 – Opgave 1

### Vraag 17 – Opgave 1

### Vraag 18 – Opgave 1

### Vraag 19 – Opgave 1

### Vraag 20 – Opgave 1

### Vraag 21 – Opgave 1

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

wiskunde A1,2
Examen HAVO
Hoger
Algemeen
Voortgezet
Onderwijs
20 06
Tijdvak 1
Dinsdag 23 mei
13.30 – 16.30 uur
Voor dit examen zijn maximaal 81 punten
te behalen; het examen bestaat uit 21
vragen.
Voor elk vraagnummer is aangegeven
hoeveel punten met een goed antwoord
behaald kunnen worden.
Voor de beantwoording van vraag 10 is een
uitwerkbijlage bijgevoegd.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg
of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend
als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen,
voorbeelden e.d.) dan er worden
gevraagd. Als er bijvoorbeeld twee
redenen worden gevraagd en je geeft
meer dan twee redenen, dan worden
alleen de eerste twee in de beoordeling
meegeteld.
600023-1-490
Begin

### Pagina 2

Verdienen vrouwen minder?

In maart 2003 stond in de Volkskrant een artikel over de inkomensachterstand van
vrouwen op mannen. Deze figuur stond er bij:

[FIGUUR: figuur 1 A toont de gemiddelde inkomens van vrouwen in euro's (x1000) voor de jaren 1990, 1995, 2000. B toont het gemiddelde inkomen van vrouwen als percentage van het gemiddelde inkomen van mannen voor de jaren 1990, 1995, 2000. C toont het gemiddeld uurloon van mannen en vrouwen in euro's voor de jaren 1990, 1997, 1998, 2000.]

3p 1 $\Box$ Toon met een berekening aan dat het gemiddelde jaarinkomen van vrouwen tussen
1990 en 2000 met ruim 39% is toegenomen.

Met behulp van de figuur 1A en 1B kun je het gemiddelde jaarinkomen van de
mannen berekenen. Je weet namelijk het gemiddelde jaarinkomen van de vrouwen
en hoeveel procent dat is van het gemiddelde jaarinkomen van de mannen.
4p 2 $\Box$ Toon met berekeningen aan dat het gemiddelde jaarinkomen van de mannen
tussen 1990 en 2000 met een kleiner percentage is toegenomen dan dat van de
vrouwen.

Met de gegevens van 1990 en 2000 in figuur 1C is het mogelijk twee
berekeningen uit te voeren die tot verschillende conclusies leiden over het
gemiddeld uurloon van vrouwen vergeleken met dat van mannen. De ene
berekening leidt tot de conclusie dat vrouwen in die 10 jaar niet zijn ingelopen op
mannen. De andere berekening leidt tot de conclusie dat vrouwen wel zijn
4p 3 $\Box$ Laat met berekeningen zien hoe deze twee verschillende conclusies getrokken
kunnen worden.

Batterijen

Digitale fotocamera's werken op batterijen. Met standaard alkaline-batterijen kun
je de camera slechts 15 minuten aan laten staan: de gebruikstijd is 15 minuten.
Daarom gebruikt men voor deze camera's batterijen met een grotere gebruikstijd,
meestal Lithium-batterijen of NiMH-batterijen (NiMH staat voor Nikkel Metaal
Hydride).
Robbert fotografeert veel en is daarom geïnteresseerd in batterijen.
Een tijdschrift over fotografie heeft NiMH-batterijen en Lithium-batterijen
onderzocht. Als resultaat vonden de onderzoekers dat de gebruikstijd van beide
soorten bij benadering normaal verdeeld is. Zij publiceerden over deze batterijen
cumulatieve frequentiepolygonen. Zie figuur 2.

600023-1-490
2
Lees verder

### Pagina 3

figuur 2
gebruiktijd NiMH-batterijen
gebruiktijd Lithium-batterijen
%
%
100
100
80
80
60
60
40
40
20
20
0
0
100
110
120
130
140
150
100
110
120
130
140
150
tijd (min)
tijd (min)
4p 4 [] Welke van deze twee soorten heeft de grootste gemiddelde gebruiktijd? Licht je
antwoord toe.
We zeggen dat een type batterij betrouwbaarder is dan een ander type wanneer de
standaardafwijking van de gebruiktijd kleiner is dan die van dat andere type.
3p 5 [] Welke van de twee typen uit figuur 2 is betrouwbaarder? Licht je antwoord toe.
Robbert gaat regelmatig naar popconcerten en wil dan elk moment digitaal kunnen
vastleggen: zijn camera moet steeds aan staan. Hij heeft daarvoor een nieuw type
batterij gekocht. De gebruiksTijd van zo'n batterij is normaal verdeeld met een
gemiddelde van 155 minuten en een standaardafwijking van 15 minuten.
3p 6 [] Bereken de kans dat de gebruiktijd van de batterij voldoende is voor het hele
popconcert.
Een fabrikant van batterijen maakt reclame met de volgende beweringen:
99% van mijn batterijen heeft een gebruiktijd van meer dan 2 uur.
De helft van mijn batterijen heeft een gebruiktijd van zelfs meer dan $2\frac{1}{2}$ uur.
De fabrikant gaat kennelijk uit van een gemiddelde gebruiktijd van $2\frac{1}{2}$ uur. Ook
van deze batterijen is de gebruiktijd bij benadering normaal verdeeld.
4p 7 [] Bereken de standaardafwijking van de gebruiktijd van deze batterijen. Geef je
antwoord in hele minuten.
NiMH-batterijen lopen langzaam leeg, ook als ze niet worden gebruikt. Het
leeglopen gebeurt exponentieel: elke dag verliest een batterij 4% van zijn energie
als hij niet wordt gebruikt.
5p 8 [] Bereken na hoeveel dagen een volledig opgeladen batterij nog 70% van zijn
energie over heeft. Rond je antwoord af op één decimaal.
600023-1-490
3
Lees verder

### Pagina 4

```json
{
  "description": "Dit is een examenpagina (waarschijnlijk wiskunde A of economie) over de kosten van productie, specifiek voor het vak 'Verpakkingen'. De pagina bevat opgaven die voortbouwen op de gepresenteerde informatie. \n\nVisuele elementen omvatten: \n*   **Figuur 3**: Een lijngrafiek die de *totale kosten (TK)* in duizenden euro's weergeeft als functie van het aantal geproduceerde verpakkingen (*q*) in duizendtallen. De grafiek start bij een positieve intercept op de y-as (vaste kosten) en vertoont een toenemend stijgende trend, wat duidt op schaalvoordelen en later schaalnadelen of toenemende marginale kosten. \n*   **Figuur 4**: Vier staafdiagrammen (A, B, C, D) die de *toename ΔTK* (verandering in totale kosten) uitzetten tegen *q*. Deze diagrammen visualiseren de marginale kosten of de veranderingen per eenheid product, wat essentieel is voor het begrijpen van differentiatie.\n\nWiskundige/wetenschappelijke concepten die aan bod komen zijn: \n*   **Grafiekinterpretatie**: Aflezen van waarden, herkennen van trends (stijgend, dalend, convex, concaaf). \n*   **Toenamediagrammen (ΔTK)**: Begrip van hoe de verandering in een functie (*ΔTK*) zich verhoudt tot de oorspronkelijke functie (*TK*). Dit is een voorbereiding op het concept van de afgeleide. \n*   **Marginale kosten (MK)**: Definitie als verandering in totale kosten, en later als de afgeleide van de totale kostenfunctie (*MK = TK'*). \n*   **Kostenfunctie**: Een concrete kubische polynoom (*TK = 0,12q³ - 1,77q² + 9,2q + 3,25*) die de totale kosten beschrijft. \n*   **Differentiatie**: Het bepalen van de afgeleide van de kostenfunctie om de marginale kostenfunctie te vinden. \n*   **Optimalisatie**: Het vinden van het minimum van de marginale kostenfunctie, door de afgeleide daarvan nul te stellen of met behulp van de grafiek.\n\nVan de student wordt gevraagd: \n*   **Opgave 9**: Het identificeren van het correcte toenamediagram (Figuur 4) dat past bij de totale kostenfunctie (Figuur 3) en dit antwoord motiveren. Dit vereist inzicht in

### Pagina 5

Hypotheek aflossen
De meeste mensen die een huis kopen,
lenen daarvoor geld bij een bank. Zo'n
lening wordt een hypotheek genoemd.
Er zijn verschillende hypotheekvormen.
In deze opgave gaat het over een
aflossingsvrije hypotheek. Je leent bij een
bank voor 30 jaar een bedrag. Over dat
bedrag betaal je elk jaar hypotheekrente
aan de bank, maar je betaalt niets terug
van het geleende bedrag.
Na afloop van de 30 jaar betaal je het
bedrag in één keer terug. Daar moet je
dus voor sparen in die 30 jaar.

foto

[FIGUUR: Een model van een huis met een dak, ramen, deuren en een kleine tuin.]

Mevrouw Everts heeft lang geleden een huis van 250 000 euro gekocht. Ze heeft
een aflossingsvrije hypotheek van 250 000 euro met een looptijd van 30 jaar tegen
een rentepercentage van 5,4% per jaar.
Van de belastingdienst krijgt ze elk jaar een deel van de betaalde hypotheekrente
terug. Hoeveel je terugkrijgt, hangt af van je inkomen. Mevrouw Everts krijgt
30% van de betaalde hypotheekrente terug.

3p 12 □ Bereken voor mevrouw Everts hoeveel euro de jaarlijkse hypotheekrente na
belastingteruggave bedraagt.

Voordat zij het huis kocht, had ze 40 000 euro gespaard. Dit bedrag heeft ze in een
(belastingvrij) beleggingsfonds gestort. Zij hoopt dat dit bedrag na 30 jaar tot
50 000 euro is gegroeid, zodat ze in één keer het geleende bedrag kan aflossen.
Bovendien het percentage waarmee de 40 000 euro dan per jaar moet toenemen,
uitgaande van exponentiële groei.

5p 13 □ Bereken het percentage waarmee de 40 000 euro dan per jaar moet toenemen,
uitgaande van exponentiële groei.

Stel dat mevrouw Everts 10 000 euro zal erven op 1 januari 2007.
Haar hypotheek loopt op 1 januari 2015 af: dan moet ze dus nog 8 jaar
hypotheekrente betalen en daarna de schuld aflossen. Zij twijfelt tussen de
volgende twee mogelijkheden:

• Sparen:
Ze zet de 10 000 euro op een spaarrekening met een jaarrente van 3,2%. Na 8 jaar
staat er 12 865,82 euro op deze spaarrekening.
Haar schuld bij de bank blijft 250 000 euro.

• Aflossen:
Ze verlaagt de schuld bij de bank tot 240 000 euro.
Omdat de schuld nu 10 000 euro minder is, betaalt ze jaarlijks minder
hypotheekrente. Dit hypotheekrentevoordeel stort ze ieder jaar op een
spaarrekening.
Het saldo op deze rekening wordt gegeven door de formule:
$saldo = 11 812,5 \cdot (1,032^t - 1)$, met $t$ in jaren vanaf 1 januari 2007

3p 14 □ Geef mevrouw Everts een advies wat voor haar voordeliger is met de 10 000 euro:
sparen of aflossen.

600023-1-490 5 Lees verder


### Pagina 6

Daniël
In figuur 5 zie je Daniël achter twee
vazen met ballen.
Hij begint met 100 rode ballen in vaas A
en met 100 groene ballen in vaas B.
Uit beide vazen pakt hij tegelijk met zijn
ogen dicht een bal en doet die in de
andere vaas.
Zo blijven er in beide vazen dus wel
100 ballen, maar dus niet meer alleen
rode ballen in vaas A.
Daniël kan dit proces, het tegelijk aselect
uit de twee vazen een bal pakken en in
de andere vaas doen, zo vaak herhalen
als hij wil.
We noemen dit proces een wisseling,
omdat twee ballen van vaas wisselen.

In figuur 6 zie je wat er kan gebeuren.
figuur 5
[FIGUUR: Een jongen kijkt naar twee potten, waaruit hij met gesloten ogen ballen haalt en in de andere pot doet.]
A
B
figuur 6
na twee wisselingen
begin
100 R
A
100 G
B
na één wisseling
99 R
1 G
A
1 R
99 G
B
99 R
1 G
A
1 R
99 G
B
100 R
A
100 G
B
Links staat de beginsituatie: 100 rode ballen in vaas A en 100 groene ballen in
vaas B.
Na één wisseling zit er uiteraard 1 groene bal in vaas A en 1 rode in vaas B. Met
andere woorden, de kans op 99 rode ballen in vaas A na één wisseling is gelijk
aan 1.
Bij de tweede wisseling kunnen er drie situaties ontstaan, in de figuur aangegeven
met P, Q en R.
4p 15 [ ] Situatie R is bijzonder: na de tweede wisseling is de beginsituatie terug.
Beschrijf wat er bij de tweede wisseling moet zijn gebeurd en toch de kans
hierop gelijk is aan 0,0001.
600023-1-490
6
Lees verder

### Pagina 7

Situatie Q is ook bijzonder. Hoewel er een tweede wisseling heeft plaatsgevonden,
is het aantal rode en groene ballen in de vazen hetzelfde als vóór die tweede
wisseling.
5p 16 Beschrijf wat er hier bij de tweede wisseling is gebeurd en toon aan dat de kans
hierop gelijk is aan 0,0198.
We zien in figuur 6 dat er na twee wisselingen 98, 99 of 100 rode ballen in vaas A
zitten. We willen de verwachtingswaarde van het aantal rode ballen in vaas A na
twee wisselingen berekenen.
In tabel 1 staat een gedeeltelijk ingevulde kansverdeling.
[FIGUUR: Tabel met twee rijen en vier kolommen. De eerste kolom bevat de tekst "tabel 1" en "kans". De tweede kolom bevat de tekst "aantal rode ballen in vaas A na twee wisselingen". De derde kolom bevat de getallen "98" en "0,0198". De vierde kolom bevat de getallen "99" en "0,0001". De vijfde kolom bevat het getal "100".]
3p 17 Bereken de verwachtingswaarde van het aantal rode ballen in vaas A na twee
wisselingen. Geef het antwoord in 2 decimalen.
Stel dat Daniël twintig keer begint met 100 rode ballen in vaas A en 100 groene in
4p 18 Bereken de kans dat minstens één keer na de twee wisselingen situatie Q is
ontstaan.
600023-1-49o
7
Lees verder

### Pagina 8

Onderwijs

De OESO (Organisatie voor Economische Samenwerking en Ontwikkeling) doet
jaarlijks onderzoek naar de onderwijsuitgaven van de landen die bij deze
organisatie zijn aangesloten.
In figuur 7 is voor deze landen af te lezen hoeveel geld de overheid uitgeeft per
leerling per jaar in het voortgezet onderwijs.

[FIGUUR: Spreidingsdiagram met op de horizontale as het bruto binnenlands product per hoofd van de bevolking (B) en op de verticale as de uitgaven per leerling per jaar in euro (U). Verschillende landen zijn weergegeven als punten, waaronder HUN, MEX, POL, GRC, KOR, CZE, PRT, ESP, IRL, FIN, UKM, SWE, ITA, DEU, AUS, CHE, AUT, DNK, NOR. Een rechte lijn loopt door de punten. De assen lopen van 0 tot 30000 voor B en van 0 tot 10000 voor U.]

Op de horizontale as staat $B$, het bruto binnenlands product (bbp) per hoofd van de
bevolking in euro. Verticaal staat $U$, de uitgaven per leerling per jaar in euro.
Nederland staat in de figuur met NET aangegeven.

3p 19 In Nederland zijn de uitgaven per leerling per jaar voor alle schoolsoorten in het
voortgezet onderwijs (mbo, havo en vwo) ongeveer gelijk. Een havo-leerling
behaalt het diploma gemiddeld in 5,4 jaar.
Bereken hoeveel geld de Nederlandse overheid gemiddeld uitgeeft aan de
havo-opleiding van een leerling die een havo-diploma behaalt.

In figuur 7 is een lijn getrokken die zo goed mogelijk bij de punten past.
Een land dat op de lijn ligt en een bbp van 10 000 euro heeft, zou dan 2400 euro
per leerling per jaar uitgeven. Een land op de lijn met een bbp van 25 000 euro zou
dan 7200 euro per leerling per jaar uitgeven.
De USA ligt op die lijn en heeft met 36 800 euro het hoogste bbp van alle landen.
Door deze hoge waarde van $B$ is de USA niet zichtbaar in figuur 7.

5p 20 Stel een vergelijking van de lijn op en bereken daarmee de uitgaven per leerling
per jaar in de USA.

600023-1-490 8 Lees verder


### Pagina 9

Dit is een examenpagina met een opgave over statistiek. De pagina bevat een tekstuele introductie van het probleem, een tabel (tabel 2) en een specifieke vraag (vraag 21). 

De tekst introduceert de context: 30.600 havo-leerlingen behaalden hun diploma, met een uitsplitsing hoe lang ze erover deden. Het vermeldt expliciet dat 918 leerlingen er 7 jaar over deden. De overige 29.682 leerlingen deden er 5 of 6 jaar over, waarbij het aantal dat er 5 jaar over deed wordt aangeduid met de variabele N.

Visueel element: Tabel 2 presenteert deze gegevens gestructureerd. De eerste kolom 'aantal jaren waarin het diploma behaald is' bevat de waarden 5, 6 en 7. De tweede kolom 'aantal leerlingen' toont N voor 5 jaar, 29682 - N voor 6 jaar, en 918 voor 7 jaar. Een accolade naast de tabel geeft aan dat het totaal aantal leerlingen voor 5 en 6 jaar samen 29682 is, wat de reeds genoemde context verduidelijkt.

De wiskundige concepten die aan bod komen zijn: gemiddelde berekening, het werken met variabelen (N), en het opstellen van een vergelijking op basis van gegeven informatie. De opgave vermeldt dat het gemiddelde aantal jaren 5,4 jaar is.

Van de student wordt gevraagd om de waarde van N te berekenen, wat neerkomt op het oplossen van een vergelijking met behulp van de formule voor het gewogen gemiddelde. Dit vereist het combineren van de informatie uit de tekst en de tabel.