# Eindexamen Wiskunde A HAVO 2005 tijdvak 1

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2005/tijdvak-1

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Opgave 1

### Vraag 2 – Opgave 1

### Vraag 3 – Opgave 1

### Vraag 4 – Opgave 1

### Vraag 5 – Opgave 1

### Vraag 6 – Opgave 1

### Vraag 7 – Opgave 1

### Vraag 8 – Opgave 1

### Vraag 9 – Opgave 1

### Vraag 10 – Opgave 1

### Vraag 11 – Opgave 1

### Vraag 12 – Opgave 1

### Vraag 13 – Opgave 1

### Vraag 14 – Opgave 1

### Vraag 15 – Opgave 1

### Vraag 16 – Opgave 1

### Vraag 17 – Opgave 1

### Vraag 18 – Opgave 1

### Vraag 19 – Opgave 1

### Vraag 20 – Opgave 1

### Vraag 21 – Opgave 1

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

wis-
kunde
A1,2
Examen
HAVO
Hoger
Algemeen
Voortgezet
Onderwijs
20
05
Tijdvak 1
Donderdag 2 juni
13.30 - 16.30 uur
Voor dit examen zijn maximaal 83 punten
te behalen; het examen bestaat uit 21
vragen.
Voor elk vraagnummer is aangegeven
hoeveel punten met een goed antwoord
behaald kunnen worden.
Voor de opgave 'Er zijn nog drie
wachtenden voor u ...' is een bijlage
bijgevoegd.
Voor de uitwerking van vraag 7 is een
uitwerkbijlage bijgevoegd.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg
of berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend
als deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen,
voorbeelden e.d.) dan er worden
gevraagd. Als er bijvoorbeeld twee
redenen worden gevraagd en je geeft
meer dan twee redenen, dan worden
alleen de eerste twee in de beoordeling
meegedeeld.
500017-1-120
Begin

### Pagina 2

Er zijn nog drie wachtenden voor u ...

Een callcenter verleent telefonische diensten voor bedrijven, zoals het opnemen
van bestellingen of het afhandelen van vragen.
Het aantal telefoontjes per telefoontje variëre in een
callcenter. Als je zo’n callcenter belt, kun je soms direct geholpen worden. Het is
ook mogelijk dat je te horen krijgt: “Er zijn nog drie wachtenden voor u”. Er is
dan een rij van wachtenden ontstaan.

Je belt naar een callcenter. De kans $K$ dat je moet wachten, hangt af van het aantal
telefonisten $T$ en van het product $a \cdot g$. In dit product is:
$a$ het gemiddeld aantal telefoontjes per minuut;
$g$ de gemiddelde gespreksduur in minuten.
De kans $K$ dat je moet wachten, vind je in tabel 1. Deze tabel staat vergroot op de
bijlage.

Je ziet dat de tabel maar voor de ‘helft’ is ingevuld. We bekijken in deze opgave
namelijk alleen de situatie dat er meer telefonisten beschikbaar zijn dan er
gemiddeld in gesprek zijn, want anders ontstaat er altijd een rij wachtenden.
Daarom moet gelden $T > a \cdot g$.

tabel 1 De kans $K$ dat een beller moet wachten
[FIGUUR: Tabel met 20 rijen en 20 kolommen. De kolommen zijn genummerd van 1 tot 20 en de rijen zijn genummerd van 1 tot 20. De cellen bevatten getallen tussen 0 en 1. De bovenste rij is gelabeld met 'aantal telefonisten T'. De onderste rij van de tabel, ter hoogte van rij 20, is gelabeld met 'a.g'.]

In callcenter DirectCall zijn ’s ochtends 11 telefontjes aanwezig. Er komen per
minuut gemiddeld 2 telefoontjes binnen. De gespreksduur van die telefoontjes is
gemiddeld 4 minuten.

3p 1 [ ] Laat zien dat de kans dat een beller ’s ochtends moet wachten, ongeveer 0,25 is.

500017-1-12o 2 Lees verder

### Pagina 3

Voor een beller is de wachttijd belangrijker dan de kans op wachten.
Een wiskundige heeft een formule gemaakt voor de gemiddelde wachttijd in
minuten:
$$gemiddelde \ wachttijd = \frac{K \cdot g}{T - a \cdot g}$$
3p 2 □ Bereken hoe lang een beller 's ochtends gemiddeld moet wachten.
Geef het antwoord in hele seconden.
's Middags zijn er bij DirectCall 14 telefonisten aanwezig. Er komen per minuut
gemiddeld 8 telefoontjes binnen, die gemiddeld 1,5 minuut duren.
Een van de telefonisten doet de volgende uitspraak:
"Als het aantal binnenkomende telefoontjes halveert en het aantal telefonisten
ook, dan verandert de gemiddelde wachttijd niet".
5p 3 □ Onderzoek met behulp van de formule voor de gemiddelde wachttijd of deze
uitspraak juist is.
Bij DirectCall komen 's avonds per minuut gemiddeld 4 telefoontjes binnen, die
elk gemiddeld 3 minuten duren.
DirectCall krijgt veel klachten over de wachttijd 's avonds. Daarom wil de
directie dat er zoveel telefonisten zijn dat de gemiddelde wachttijd kleiner is dan
vijftien seconden.
Je kunt dit aantal telefonisten bepalen door te onderzoeken wanneer $\frac{K \cdot 3}{T - 12} < 0,25$ is.
3p 4 □ Leg dit uit.
5p 5 □ Hoeveel telefonisten zijn er 's avonds minimaal nodig? Licht je antwoord toe.
500017-1-12o
3
Lees verder

### Pagina 4

Geld uit de muur

In Nederland staan ongeveer zevenduizend geldautomaten. Bij deze automaten kun je contant geld opnemen van je betaalrekening.
De geldautomaten verstrekken uitsluitend biljetten van 10, 20 en 50 euro.
De automaat laat je kiezen uit een aantal vaste bedragen of voor de optie 'ander bedrag', waarbij je inderdaad een ander bedrag kunt kiezen.

Wanneer je 60 euro wilt opnemen, kan de geldautomaat dat op verschillende manieren uitkeren. Zo kun je bijvoorbeeld 1 biljet van 50 euro en 1 van 10 euro krijgen.
Dat is één manier.
Maar ook is mogelijk: 3 biljetten van 20 euro of 6 biljetten van 10 euro.

4p 6 □ Op hoeveel verschillende manieren kan de geldautomaat een bedrag van 70 euro
uitkeren? Licht je antwoord toe.

In een bepaalde geldautomaat in Gouda zijn van elke soort voldoende biljetten
aanwezig.
In dat geval geeft de automaat de biljetten volgens de volgende regels:

• Bedragen onder 50 euro:
één of twee biljetten van € 10,
eventueel aangevuld met een biljet van € 20
(bijvoorbeeld 40 euro: $2 \times € 10$ en $1 \times € 20$)

• Bedragen boven 50 euro, die geen veelvoud van 50 euro zijn:
zoveel mogelijk biljetten van € 50,
één of twee biljetten van € 10,
eventueel aangevuld met een biljet van € 20
(bijvoorbeeld 170 euro: $3 \times € 50$ en $2 \times € 10$)

• Bedragen van 50 euro en veelvouden hiervan:
altijd één biljet van € 10 en twee biljetten van € 20,
eventueel aangevuld met biljetten van € 50
(bijvoorbeeld 350 euro: $1 \times € 10, 2 \times € 20$ en $6 \times € 50$)

In tabel 2 staan de bedragen die op tabel 2
zekere dag bij deze geldautomaat in
Gouda zijn opgenomen.

bedrag
in euro
aantal
keer
10
13
20
47
30
2
50
89
60
1
70
48
100
14
120
1
150
12
200
2
250
5
450
1
750
1

5p 7 □ Bereken hoeveel biljetten van € 20 de
geldautomaat op deze dag heeft
uitgekeerd. Gebruik hierbij de tabel op
de uitwerkbijlage.

500017-1-12o 4 Lees verder


### Pagina 5

Het aantal biljetten van 10 euro dat per dag uit deze automaat gehaald wordt, is bij benadering normaal verdeeld met een gemiddelde van 326 en een standaardafwijking van 41. De geldautomaat wordt dagelijks (ook op zon- en feestdagen) aangevuld tot 400 biljetten van 10 euro.
Het kan natuurlijk gebeuren dat alle biljetten van 10 euro op zijn voordat de automaat weer wordt aangevuld.
3p 8 □ Bereken op hoeveel dagen van een jaar dat naar verwachting zal gebeuren.

Ook het aantal biljetten van 50 euro dat per dag uit deze automaat gehaald wordt, is bij benadering normaal verdeeld. Het gemiddelde aantal dagelijks uitgekeerde biljetten is 140 en de standaardafwijking is 20. Op 1,5% van de dagen is dat niet voldoende.
4p 9 □ Bereken de standaardafwijking van het dagelijks aantal uitgekeerde biljetten van 50 euro. Rond af op één decimaal.

Het aantal geldopnames en de grootte van de opgenomen bedragen variëren van geldautomaat tot geldautomaat. Het maakt natuurlijk uit waar de geldautomaat staat. Zo zal een geldautomaat in een stadscentrum dagelijks meer geldopnames hebben dan een geldautomaat in een dorp met weinig inwoners.
In figuur 1 staan twee boxplots die betrekking hebben op de opgenomen bedragen op een zekere dag bij twee geldautomaten in twee verschillende steden.

[FIGUUR: Boxplots van opgenomen bedragen voor geldautomaat I en geldautomaat II, met schaal van 0 tot 500 euro.]

Hieronder staan drie uitspraken over deze boxplots.
a Bij geldautomaat II is er die dag in totaal meer geld opgenomen dan bij geldautomaat I.
b Het kleinste en het grootste bedrag dat die dag bij beide geldautomaten zijn opgenomen zijn hetzelfde.
c Bij geldautomaat I worden relatief meer kleine bedragen opgenomen dan bij geldautomaat II.
5p 10 □ Geef van elke uitspraak aan of deze af te leiden is uit figuur 1. Licht je antwoorden toe.
500017-1-12o 5 Lees verder

### Pagina 6

Dvd-spelers bestellen
Een winkelier verkoopt per jaar 1200 dvd-spelers, gelijkmatig over het jaar gespreid.
Eén groothandel levert die dvd-spelers aan de winkelier. Elke keer als de
groothandel een bestelling aflevert, is de voorraad precies op.
Voor iedere bestelling rekent de groothandel 400 euro bestelkosten, onafhankelijk
van het aantal bestelde dvd-spelers.
Het in voorraad houden van een dvd-speler kost de winkelier 16 euro per jaar.
Er is niet genoeg magazijnruimte om alle 1200 dvd-spelers in één keer te bestellen.
Dat is ook duur, want zou het betekenen dat er in dat jaar een gemiddelde voorraad
zou zijn van $\frac{1}{2}\times 1200=1200$ dvd-spelers. Dat zou $1\times 400 + \frac{1}{2}\times 1200 \times 16 = 10000$ euro
kosten voor het bestellen en in voorraad houden.
Het lijkt goedkoper als de winkelier vaker per jaar een kleiner aantal dvd-spelers
bestelt.
De winkelier overweegt om 100 dvd-spelers per maand te bestellen.
3p 11 $\Box$ Bereken op de hierboven beschreven manier de totale kosten per jaar voor het
bestellen en in voorraad houden.
Het aantal dvd-spelers dat de winkelier per keer bestelt, noemen we $x$. De winkelier
bestelt elke keer evenveel dvd-spelers.
De totale kosten in euro per jaar voor het bestellen en in voorraad houden van de
dvd-spelers noemen we $K$.
Met de volgende formule kan de winkelier $K$ berekenen:
$$ K = \frac{480000}{x} + 8x $$
5p 12 $\Box$ Leid deze formule af uit de gegevens over bestelkosten en voorraadkosten van de
1200 dvd-spelers.
[FIGUUR: Grafiek met op de y-as K oplopend tot 10000, met een pijl naar boven en het label K. Op de x-as 1200 met een pijl naar rechts en het label x. De grafiek toont een curve die begint hoog aan de linkerkant, daalt naar een minimum en stijgt dan weer.]
figuur 2
In figuur 2 staat de grafiek van $K$. Hierin lees je bijvoorbeeld af dat bij $x=1200$
de waarde $K=10000$ hoort: als de 1200 dvd-spelers in één keer worden besteld,
zijn de kosten voor bestellen en in voorraad houden 10000 euro.
De formule voor $K$ is ook te schrijven als $K=480000 \cdot x^{-1} + 8x$.
5p 13 $\Box$ Stel de afgeleide van $K$ op en toon met behulp van die afgeleide aan dat
de kosten $K$ minimaal zijn bij een bestelling van 245 dvd-spelers per keer.
500017-1-12o 6 Lees verder

### Pagina 7

Een bestelling van 245 dvd-spelers per keer is wel mogelijk, maar is onhandig voor de groothandel. De groothandel wil liever op vaste tijden leveren, bijvoorbeeld eens per maand of eens per twee maanden. Als de winkelier per een geheel aantal maanden bestelt, krijgt hij van de groothandel 10% korting op de bestelkosten.
5p 14 Welke manier is voor de winkelier het voordeligst? Licht je antwoord toe met een berekening.
500017-1-12o 7 Lees verder

### Pagina 8

De Notenclub

Op de Vlaamse en de Nederlandse televisie is heel vaak het programma $de$ $Notenclub$ uitgezonden, een spel met muziek. In dat programma moeten twee teams de titel van een zin raden aan de hand van één zin uit de tekst. De zin bestaat uit zes woorden. Die woorden zijn in het begin niet te zien, maar worden tijdens het spel één voor één zichtbaar. Tussendoor wordt door de teams gezongen.

Twee van de zes woorden staan op een rood vak. Vier woorden staan op een blauw vak.
Bij de start van een ronde staan er zes vakken met de getallen 1 tot en met 6. Het woord en de kleur van het vak kun je niet zien. Zie figuur 3.

[FIGUUR: Zes genummerde vakken, van 1 tot en met 6.]

De twee rode en de vier blauwe vakken kunnen in elk spel een andere volgorde hebben.

3p 15 Hoeveel verschillende volgordes zijn mogelijk met twee rode en vier blauwe vakken? Licht je antwoord toe.

Een team kiest één van de getallen 1, 2, 3, 4, 5 of 6. Er verschijnt een woord in het gekozen vak en dit vak kleurt rood of blauw.
Het vak is rood: de beurt gaat naar het andere team.
Het vak is blauw: het team zingt een lied waarin het gevonden woord voorkomt. Het team houdt de beurt en kiest nog een getal uit de overgebleven mogelijkheden.

Zodra een team de zin herkent en de songtitel raadt, is de ronde afgelopen. In deze opgave gaan we ervan uit dat een team altijd de titel van de song raadt wanneer er vier blauwe vakken zijn gekozen en niet eerder of later. We nemen verder aan dat het kiezen van de getallen 1 tot en met 6 aselect gebeurt.

3p 16 Een team begint. Het is mogelijk dat dit team wint, omdat de teamleden achter elkaar de vier blauwe vakken kiezen. Bereken de kans op deze gebeurtenis.

Team A en team B spelen tegen elkaar.
Team A begint.
Team A kiest vak 4. Hier verschijnt het woord "love" in een blauw vak. Ze zingen een lied en kiezen daarna vak 2. Daar verschijnt het woord "my" in een rood vak. Zie figuur 4.

[FIGUUR: Vakken met nummers en woorden. Vak 1 heeft een nummer, vak 2 heeft 'my', vak 3 heeft een nummer, vak 4 heeft 'love', vak 5 heeft een nummer, vak 6 heeft een nummer.]

500017-1-12o 8 Lees verder


### Pagina 9

Omdat vak 2 rood is, gaat de beurt nu naar team B.
Er is één rood en één blauw vak gekozen. Dus zijn er nog drie blauwe vakken en
één rood vak over. Als team B nu het rode vak zou kiezen, wint team A.
Ook als team B niet meteen het rode vak kiest, kan team A de ronde nog winnen.
Als team B bijvoorbeeld eerst een blauw vak kiest en daarna een rood vak, wint
team A ook.
Zo zijn er verschillende mogelijkheden met team A als winnaar van de ronde.
5p 17 Bereken de kans dat team A deze ronde wint.
500017-1-12o 9 Lees verder

### Pagina 10

De Wet van Moore

Het Amerikaanse bedrijf Intel is een zeer grote producent van computerchips.
Gordon Moore was in 1968 een van de oprichters van het bedrijf.
Deze opgave gaat over het aantal transistoren in een computerchip. (Een transistor
is een elektronische schakeling.)
In 1965 deed Moore daar een voorspelling over:
“Het aantal transistoren in een computerchip zal tussen 1965 en 1975 exponentieel
groeien.”
Moore heeft meer dan dertig gekregen: de voorspelling is zelfs tot het jaar 2000
uitgekomen! Zijn voorspelling is men de Wet van Moore gaan noemen.

In tabel 3 zie je hoeveel transistoren er in de chips van Intel zitten. Ook zie je in
welk jaar die chips op de markt zijn gebracht.

[FIGUUR: Tabel 3 met kolommen 'introductiejaar', 'naam chip' en 'aantal transistoren'. Rijen met jaartallen van 1971 tot 2000 en corresponderende chipnamen en aantallen transistors.]

In de tabel zie je dat het aantal transistoren tussen 1971 en 1972 met 250
toeneemt.
Stel dat het aantal transistoren in de jaren daarna lineair toe zou nemen met 250
per jaar.
3p 18 In welk jaar zou dan het aantal van 5000 transistoren per chip zijn bereikt? Licht
je antwoord toe.

In werkelijkheid was de toename dus exponentieel. Zo is in de periode van 1971
tot 2000 het aantal transistoren per chip toegenomen van 2250 tot 42 miljoen.
3p 19 Bereken hiermee de groeifactor per jaar in vier decimalen nauwkeurig.

500017-1-12o 10 Lees verder


### Pagina 11

De Wet van Moore in formulevorm is:
$A = 2250 \cdot 1,404^t$
Hierin is $A$ het aantal transistoren per chip en $t$ de tijd in jaren met $t=0$ in 1971.

In figuur 5 is een rechte lijn getekend die weergegeven is als stippellijn. Dit is de grafiek van $A$. Merk op dat de schaalverdeling op de verticale as logaritmisch is. In figuur 5 staat ook de grafiek getekend van de gegevens uit tabel 3.

[FIGUUR: Grafiek met op de y-as het aantal transistoren (logaritmische schaal: 1000, 10000, 100000, 1000000, 100000000) en op de x-as het jaar (van 1970 tot 2000). Een stippellijn geeft een rechte trend weer, terwijl een doorgetrokken lijn met bolletjes de werkelijke data punten weergeeft.]

In de figuur hoort het derde punt van boven bij de Pentium II-chip uit het jaar 1997. Het is duidelijk zichtbaar dat het aantal transistoren in deze chip nogal afwijkt van de voorspelling volgens de Wet van Moore.
4p 20 $\square$ Bereken hoeveel procent dit aantal afwijkt van de voorspelling volgens de formule van de Wet van Moore.

Met behulp van de formule kunnen we voorspellen wanneer er 1 miljard transistoren in een computerchip zitten.
4p 21 $\square$ Bereken hoeveel jaar na 1971 dit het geval is.

Einde