# Eindexamen Wiskunde A HAVO 2004 tijdvak 2

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2004/tijdvak-2

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Opgave 1

### Vraag 2 – Opgave 1

### Vraag 4 – Opgave 1

### Vraag 5 – Opgave 1

### Vraag 7 – Opgave 1

### Vraag 8 – Opgave 1

### Vraag 10 – Opgave 1

### Vraag 11 – Opgave 1

### Vraag 12 – Opgave 1

### Vraag 13 – Opgave 1

### Vraag 14 – Opgave 1

### Vraag 15 – Opgave 1

### Vraag 16 – Opgave 1

### Vraag 17 – Opgave 1

### Vraag 18 – Opgave 1

### Vraag 19 – Opgave 1

### Vraag 20 – Opgave 1

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

wiskunde A1,2
Hoger
Algemeen
Voortgezet
Onderwijs
20 04
Tijdvak 2
Woensdag 23 juni
13.30 - 16.30 uur

Als bij een vraag een verklaring, uitleg of
berekening vereist is, worden aan het
aantal  gegeven  hoeveel
punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
aantal  aangegeven  hoeveel
punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of
berekening vereist is, worden aan het
aantal  aangegeven  hoeveel
punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
aantal  aangegeven  hoeveel
punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of
berekening vereist is, worden aan het
aantal  aangegeven  hoeveel
punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
aantal  aangegeven  hoeveel
punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of
berekening vereist is, worden aan het
aantal  aangegeven  hoeveel
punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
aantal  aangegeven  hoeveel
punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of
berekening vereist is, worden aan het
aantal  aangegeven  hoeveel
punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
aantal  aangegeven  hoeveel
punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of
berekening vereist is, worden aan het
aantal  aangegeven  hoeveel
punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
aantal  aangegeven  hoeveel
punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of
berekening vereist is, worden aan het
aantal  aangegeven  hoeveel
punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
aantal  aangegeven  hoeveel
punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of
berekening vereist is, worden aan het
aantal  aangegeven  hoeveel
punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
aantal  aangegeven  hoeveel
punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of
berekening vereist is, worden aan het
aantal  aangegeven  hoeveel
punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
aantal  aangegeven  hoeveel
punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of
berekening vereist is, worden aan het
aantal  aangegeven  hoeveel
punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
aantal  aangegeven  hoeveel
punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of
berekening vereist is, worden aan het
aantal  aangegeven  hoeveel
punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
aantal  aangegeven  hoeveel
punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of
berekening vereist is, worden aan het
aantal  aangegeven  hoeveel
punten met een goed antwoord beha

### Pagina 2

Buffet per kilo

In Brazilië vind je op plaatsen waar veel mensen snel willen eten restaurants van het type 'buffet per kilo'. Bij zo'n restaurant schep je zelf je bord vol aan een buffet. Je neemt waar je zin in hebt.
Bij de kassa staat een weegschaal. Daar zet je het bord op. De weegschaal meet dan het totale gewicht.
Van dit totale gewicht trekt de weegschaal het gewicht van het bord af. Je betaalt alleen voor het eten dat op je bord ligt. Het maakt dus niet uit of je je bord vol schept met vlees of met salade.
Dit systeem werkt simpel en snel. Het eten in zo'n restaurant is meestal goedkoop en goed.

[FIGUUR: Een foto van een restaurantbord met de tekst "Comendador Grill" en "BUFFET POR QUILO".]

De borden hebben niet alle hetzelfde gewicht. De leverancier van de borden in het restaurant beweerde dat de onderstaande cumulatieve frequentiepolygoon een goed beeld van het gewicht van zijn borden gaf. Zie figuur 1.

figuur 1
cumulatieve
frequentie
(%)
100
80
60
40
20
0
560 580 600 620 640 660 680 700 720
gewicht van de borden (gram)

3p 1 ☐ Hoeveel procent van de borden van deze leverancier was zwaarder dan 660 gram? Licht je antwoord toe.

De restauranthouder heeft nieuwe borden gekocht. Ook deze borden hebben niet alle hetzelfde gewicht. Het gewicht van deze borden is normaal verdeeld met een gemiddelde van 645 gram en een standaardafwijking van 43 gram.

3p 2 ☐ Hoeveel procent van de borden heeft een gewicht groter dan 700 gram? Licht je antwoord toe.

Voor de restauranthouder is het natuurlijk het meest eerlijk als de weegschaal het gemiddelde gewicht van de borden van het totale gewicht aftrekt. Dat heeft als nadeel dat de helft van de klanten teveel betaalt; hun bord is zwaarder dan het gemiddelde gewicht van de borden. Zoveel ontevreden klanten wil de eigenaar niet hebben.
De eigenaar wil dat slechts 15% van de nieuwe borden zwaarder is dan het gewicht dat de weegschaal aftrekt.

4p 3 ☐ Bereken hoeveel gram de weegschaal dan moet aftrekken van het totale gewicht. Geef je antwoord als een geheel getal.

400036-2-12o 2 Lees verder

### Pagina 3

Sparen, sparen of sparen
Nederland is een echt spaarland. Jaarlijks worden er miljarden euro's gestort op
spaarrekeningen.
Er zijn verschillende soorten spaarrekeningen. In deze opgave bekijken we er drie:
de groeirekening, de depositorekening en de renteKlimrekening.
We storten op elk van de drie spaarrekeningen een bedrag van 10 000 euro dat voor een
periode van 10 jaar op de spaarrekening blijft staan.

Groeirekening
De groeirekening is de bekendste soort. Het rentepercentage op deze rekening is 3,5% per
jaar.
Het is een 'rente op rente'-rekening: na een jaar wordt de rente bijgeschreven op de
rekening, zodat het volgende jaar rente wordt berekend over een hoger bedrag, enzovoort.
Na elk jaar wordt het bedrag op de rekening dus hoger. Het bedrag G dat na t jaar op de
groeirekening staat, kun je berekenen met de formule:
$$G=10000 \cdot 1,035^t$$
Het bedrag op de groeirekening is na 10 jaar nog niet verdubbeld. Maar als je de rekening
nog langer laat doorlopen, komt er een jaar dat het bedrag op de rekening voor het eerst
twee keer zo hoog is geworden. Het bedrag is dan zelfs nog iets hoger dan 20 000 euro.
4p 4 □ Bereken na hoeveel jaar dat is.

Depositorekening
De depositorekening is een spaarrekening met een rentepercentage van 4,0% per jaar.
De rente over elk jaar is 400 euro. Dat bedrag wordt steeds bijgeschreven op een aparte
betaalrekening. Op de betaalrekening krijg je geen rente, zodat het bedrag op de
betaalrekening lineair toeneemt.

Een rente van 4,0% lijkt gunstiger dan een rente van 3,5%. Toch heb je na tien jaar bij de
depositorekening in totaal minder rente gekregen dan bij de groeirekening.
Een bank introduceert een nieuwe depositorekening die in tien jaar evenveel rente oplevert
4p 5 □ als de groeirekening.
Bereken het rentepercentage per jaar van die nieuwe depositorekening. Geef je antwoord in
één decimaal.

Renteklimrekening
De renteKlimrekening is een soort depositorekening. Ook hier wordt jaarlijks de rente
bijgeschreven op een aparte betaalrekening die geen rente oplevert.
Bij de renteKlimrekening wordt het rentepercentage elk jaar hoger.
In tabel 1 kun je aflezen welke bedragen er na t jaar sparen op de renteKlimrekening R en op
de betaalrekening B staan.

tabel 1
<table>
<thead>
<tr>
<td>$t$</td>
<td>0</td>
<td>1</td>
<td>2</td>
<td>3</td>
<td>4</td>
<td>5</td>
<td>6</td>
<td>7</td>
<td>8</td>
<td>9</td>
<td>10</td>
</tr>
</thead>
<tbody>
<tr>
<td>$R$</td>
<td>10 000</td>
<td>10 000</td>
<td>10 000</td>
<td>10 000</td>
<td>10 000</td>
<td>10 000</td>
<td>10 000</td>
<td>10 000</td>
<td>10 000</td>
<td>10 000</td>
<td>10 000</td>
</tr>
<tr>
<td>$B$</td>
<td>0</td>
<td>300</td>
<td>615</td>
<td>950</td>
<td>1310</td>
<td>17

### Pagina 4

Het verdelen van de pot
Alex (A) en Benno (B) spelen een spel tegen elkaar over een aantal ronden. De winnaar van
een ronde krijgt een punt. De verliezer doet twee euro in de pot. Degene die het eerst zes
punten heeft, wint het spel en krijgt de inhoud van de pot.
Ze hebben het spel al vaak gespeeld en zijn er even goed in. Ze hebben beiden in elke ronde
een kans van $\frac{1}{2}$ om die ronde te winnen.
De laatste keer hebben ze het spel moeten afbreken bij een stand van 5-4 voor Alex.
3p 8 Op hoeveel manieren kan de stand van 5-4 worden bereikt? Licht je antwoord toe.
Als het spel voortijdig wordt afgebroken, moet het geld dat dan in de pot zit tussen Alex en
Benno worden verdeeld. De verdeling gebeurt volgens de verhouding van de kansen van de
spelers om het hele spel te winnen. Degene die op het moment van afbreken vóór staat,
heeft een grotere kans om het hele spel te winnen en daardoor recht op een groter deel van
de pot. Als Alex op het moment van afbreken bijvoorbeeld kans $\frac{5}{8}$ heeft om het hele spel te
winnen, krijgt hij $\frac{5}{8}$ deel van de pot en Benno dus $\frac{3}{8}$ deel.
Bij de stand 5-4 zijn er voor Alex twee mogelijkheden om het hele spel te winnen:
• Alex wint de eerstvolgende ronde en daarmee het spel, omdat het dan 6-4 is.
• Benno wint eerst één ronde, de stand dan 5-5, en daarna wint Alex en wordt het 6-5.
4p 9 Toon aan dat Alex 13,50 euro krijgt als het spel wordt afgebroken bij de stand 5-4 voor
Alex.
Het komt wel vaker voor dat een spel voortijdig wordt afgebroken.
Zo was het in de kerstvakantie een keer 3-5 in het voordeel van Benno op het moment van
afbreken.
Benno doorziet de situatie en tekent het volgende boomdiagram (zie figuur 2):
[FIGUUR: Een boomdiagram met de volgende paden: 3-5 -> A (4-5) -> A (5-5) -> A (6-5); 3-5 -> A (4-5) -> B (4-6); 3-5 -> B (3-6) -> A (4-6); 3-5 -> B (3-6) -> B (3-7). De eindpunten zijn 6-5, 4-6, 4-6, 3-7.]
De mogelijke verlopen van een tussenstand van 3-5
figuur 2
Benno zegt: “Bij de stand 3-5 win ik altijd de pot, behalve als Alex drie ronden achter
elkaar wint.”
3p 10 Toon aan dat Benno bij de stand 3-5 een kans van $\frac{7}{8}$ heeft om het spel te winnen.
400036-2-12o
4
Lees verder

### Pagina 5

Benno vraagt zich ook af hoe de pot moet worden verdeeld als er bij een stand van 3-4
wordt afgebroken. Het uitrekenen hiervan lijkt lastiger. Hij redeneert daarbij
alsof die in de
kerstvakantie, want dan is de stand 3-5. Als Alex de volgende ronde wint, staan we
gelijk, want dan is het 4-4. We hebben dan ieder een kans van $\frac{1}{2}$ om het spel te winnen.”
Zie het boomdiagram in figuur 3.
figuur 3
[FIGUUR: Boomdiagram begint bij stand 3-4. Vanaf 3-4 splitst het pad naar A (resulterend in stand 4-5) en B (resulterend in stand 3-5). Vanaf 4-5 splitst het pad naar A (resulterend in stand 5-5, wat leidt tot 6-5) en B (resulterend in stand 4-6). Vanaf 3-5 splitst het pad naar A (resulterend in stand 4-5, wat leidt tot 4-6) en B (resulterend in stand 3-6).]
4-4 even grote kans om het spel te winnen
4p 11 Bereken welk bedrag Benno uit de pot moet krijgen als ze het spel afbreken bij de stand
3-4.
400036-2-12o 5 Lees verder

### Pagina 6

Tienkamp en zevenkamp

Bij atletiek houdt men zich bezig met hardlopen, hoogspringen, speerwerpen, enzovoort.
Voor veelzijdige atleten is er bij mannen de tienkamp en bij vrouwen de zevenkamp.
Daarbij doen de deelnemers aan tien, respectievelijk zeven onderdelen mee. Iedere prestatie
wordt omgerekend in punten.

• De looponderdelen zijn: hardlopen over verschillende afstanden en hordelopen.
De prestatie, de benodigde tijd, wordt in seconden weergegeven.
Hoe korter de tijd, hoe meer punten.

• De springonderdelen zijn: verspringen, hoogspringen en voor de mannen ook
polsstokhoogspringen.
De prestatie, de gesprongen afstand of hoogte, wordt in centimeters weergegeven.
Hoe groter de afstand of hoogte, hoe meer punten.

• De werponderdelen zijn: kogelstoten, speerwerpen en voor de mannen ook discuswerpen.
De prestatie, de gegooide afstand, wordt in meters weergegeven.
Hoe groter de afstand, hoe meer punten.

Degene die in totaal de meeste punten heeft behaald, wint de tienkamp of zevenkamp.
Om het aantal punten voor een atleet te berekenen, gebruikt men de volgende formules:

- voor de looponderdelen:
aantal punten = $a \cdot (b - M)^c$
- voor de spring- en werponderdelen:
aantal punten = $a \cdot (M - b)^c$

Hierin is $M$ de prestatie bij een onderdeel.
Bij elk onderdeel horen andere positieve waarden voor $a$, $b$ en $c$.
De uitkomsten van de formules worden altijd naar beneden afgerond op een geheel getal.

Tussen de haakjes zijn de formules voor de looponderdelen anders van vorm dan de
formules voor de spring- en werponderdelen: ($b - M$) is anders dan ($M - b$).

3p 12 Waarom zijn bij de looponderdelen en bij de spring- en werponderdelen formules van
verschillende vorm nodig?

De formule voor de mannen bij de 400 meter hardlopen luidt:
aantal punten = $1,53775 \cdot (82 - M)^{1,81}$

Een tienkamper loopt de 400 meter in 68,15 seconden.
5p 13 Onderzoek of hij meer punten behaalt als hij 0,04 seconde sneller loopt.

400036-2-12o 6 Lees verder

### Pagina 7

De atleten van de tienkamp en zevenkamp zijn vooral veelzijdig. Zij blinken zelden uit in
één van de onderdelen. Tijdens de tienkamp en de zevenkamp wordt dan ook nooit een
wereldrecord op een onderdeel gevestigd.
Het wereldrecord verspringen bijvoorbeeld wordt verbeterd wanneer verspringen een apart
onderdeel is, want dan doen de echte specialisten mee.
De formules om een prestatie bij verspringen om te rekenen naar tien/zevenkamp­
punten zijn:
• mannen: aantal punten = $0,14354 \cdot (M - 220)^{1,40}$
• vrouwen: aantal punten = $0,188807 \cdot (M - 210)^{1,41}$
Hierin is $M$ de gesprongen afstand in centimeters.
Het wereldrecord verspringen bij de mannen is 895 cm. Daarbij hoort een bepaald aantal
punten. Als je het wereldrecord verspringen bij de vrouwen ook omrekent in
tien/zevenkamp­punten, dan blijkt dat de uitkomst bij de vrouwen precies één punt meer is
dan bij de mannen.
5p 14 $\Box$ Bereken het wereldrecord verspringen bij de vrouwen. Geef je antwoord in hele
centimeters.

Kroketten in de kantine
Op veel scholen worden er in de kantine kroketten verkocht.
Een leverancier van kroketten heeft voor de beheerder van een kantine uitgezocht dat voor
de verkoop van de kroketten in de kantine de volgende formules gelden:
$TO = 70 \cdot q$
$TK = 1,1 \cdot q^{1,65} + 1830$
Hierin is:
• $TO$ de totale opbrengst in eurocent per dag;
• $TK$ de totale kosten in eurocent per dag;
• $q$ het aantal verkochte kroketten per dag.

5p 15 $\Box$ Stel een formule op voor de afgeleide van $TK$, bereken de waarde van de afgeleide bij
300 verkochte kroketten en leg uit wat de betekenis is van dit getal.

Er worden in de kantine maximaal 400 kroketten per dag verkocht.
De winst kun je berekenen met de formule $W = TO - TK$.

3p 16 $\Box$ Bereken de winst als er op een dag 200 kroketten worden verkocht. Rond het antwoord af
op gehele euro's.

Er is een minimum aantal kroketten dat per dag verkocht moet worden om op de verkoop
van de kroketten geen verlies te lijden.
3p 17 $\Box$ Bereken hoeveel kroketten er per dag minstens verkocht moeten worden.

Hoewel de kantinebeheerder niet naar maximale winst streeft, is hij toch nieuwsgierig naar
het aantal verkochte kroketten waarbij de winst maximaal is.
4p 18 $\Box$ Bij welk aantal is dit het geval? Licht je antwoord toe.

400036-2-12o
7
Lees verder

### Pagina 8

KIX

De KIX (KlantIndex) is een streepjescode die gebruikt wordt om post machinaal te sorteren. Steeds meer bedrijven drukken op poststukken onder het adres de KIX af. Deze bedrijven krijgen daarvoor een korting op de verzendkosten.

Een adres wordt in Nederland volledig bepaald door de postcode en het huisnummer. De KIX bestaat daarom uit 4 cijfers en 2 letters voor de postcode en daarachter het aantal cijfers dat nodig is voor het huisnummer. In figuur 4 zie je twee voorbeelden van een KIX.

[FIGUUR: Een barcode met de cijfers 3, 2, 2, 4, B, C, 1, 0, 8 eronder.]

figuur 4

In figuur 4 staan als voorbeeld de KIX van postcode 3224 BC met huisnummer 6 en van postcode 3224 BC met huisnummer 108.
In de KIX heeft elk cijfer en elke letter een eigen symbool. Er wordt daarbij geen onderscheid gemaakt tussen hoofdletters en kleine letters. De letters B en b krijgen dus hetzelfde symbool.

Elk symbool bestaat uit vier verticale strepen. Zie figuur 5.

[FIGUUR: Vier verticale strepen, waarbij de linker, middelste en rechter streep uit twee delen bestaan: een bovenste wit deel en een onderste zwart deel. De tweede streep van links bestaat uit een bovenste wit deel en een onderste zwart deel. De termen 'boven', 'midden' en 'onder' staan ernaast.]

figuur 5

Het middelste stuk van elke streep is altijd zwart. Boven zijn er vier stukken en onder zijn er vier stukken. Elk van die acht stukken kan wit of zwart zijn. Zo zijn er veel verschillende symbolen te maken, waarbij het niet uitmaakt hoeveel van de vier bovenste en de vier onderste stukken zwart zijn gemaakt.

4p 19 ☐ Bereken het aantal verschillende symbolen dat op die manier is te maken.

Bij een KIX-symbool zijn van de vier bovenste stukken precies twee zwart. Ook van de vier onderste stukken zijn er precies twee zwart.
Bijvoorbeeld: de 3 heeft symbool
|.||, de B (of b) heeft symbool
|.||.
Zoals je bij de laatste streep van de 3 ziet, mag een streep ook helemaal zwart zijn, als er maar in totaal twee stukken *boven* en twee stukken *onder* zwart zijn.

4p 20 ☐ Hoeveel verschillende KIX-symbolen zijn er op deze manier te maken? Licht je antwoord toe.

Bij elk adres hoort een huisnummer. Huisnummers beginnen nooit met een 0.
Bij sommige adressen komt na het huisnummer een toevoeging, zoals bij het huisnummer 6A. Soms staat er zelfs een heel woord bij: 73 boven. Bij zo'n toevoeging wordt de KIX na het huisnummer aangevuld met eerst de letter X en daarna de letter(s) en of cijfer(s) die nodig zijn voor de toevoeging.

400036-2-12o 8 Lees verder


### Pagina 9

De KIX is door het huisnummer (zie figuur 4) en door een eventuele toevoeging niet altijd
even lang. We vatten dit samen in tabel 3.

tabel 3
altijd soms
postcode huisnummer het scheidingsteken een toevoeging
4 cijfers en 2 letters maximaal 5 cijfers X maximaal 6 tekens
(letters en/of cijfers)
vaste lengte variabele lengte vaste lengte variabele lengte

In figuur 6 staan twee voorbeelden van een KIX met 9 symbolen:

figuur 6 bij het adres: Dorsvlegel 108, 3224 BC HELLEVOETSLUIS
hoort KIX: 3224BC108
in symbolen: [FIGUUR: Een reeks verticale streepjes en puntjes die een barcode-achtige structuur vormen]

bij het adres: Wethouder Hekkingstraat 9A, 1234 HV JUINEN
hoort KIX: 1234HV9XA
in symbolen: [FIGUUR: Een reeks verticale streepjes en puntjes die een barcode-achtige structuur vormen]

De postcode 6801 MG vormt het begin van een KIX van 9 symbolen. Er zijn aan de
6p 21 O
6 symbolen van de postcode dus nog 3 symbolen toegevoegd.
Hoeveel verschillende mogelijkheden zijn er om bij postcode 6801 MG een correcte KIX
van 9 symbolen te maken? Licht je antwoord toe.

Einde

400036-2-12o
9