# Eindexamen Wiskunde A HAVO 2004 tijdvak 1

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2004/tijdvak-1

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Opgave 1

### Vraag 2 – Opgave 1

### Vraag 3 – Opgave 1

### Vraag 4 – Opgave 1

### Vraag 5 – Opgave 1

### Vraag 6 – Opgave 1

### Vraag 7 – Opgave 1

### Vraag 8 – Opgave 1

### Vraag 9 – Opgave 1

### Vraag 10 – Opgave 1

### Vraag 11 – Opgave 1

### Vraag 12 – Opgave 1

### Vraag 13 – Opgave 1

### Vraag 14 – Opgave 1

### Vraag 15 – Opgave 1

### Vraag 16 – Opgave 1

### Vraag 17 – Opgave 1

### Vraag 18 – Opgave 1

### Vraag 19 – Opgave 1

### Vraag 20 – Opgave 1

### Vraag 21 – Opgave 1

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

wis kunde A1,2
Examen HAVO
Hoger
Algemeen
Voortgezet
Onderwijs
20 04
Tijd vak 1
Woensdag 26 mei
13.30 - 16.30 uur
Voor dit examen zijn maximaal 83 punten te
behalen; het examen bestaat uit 21 vragen.
Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel
punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
Voor de uitwerking van vraag 4 is een
uitwerkbijlage toegevoegd.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of
berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als
deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen,
voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden
gevraagd en je geeft meer dan twee redenen,
dan worden alleen de eerste twee in de
beoordeling meegeteld.
400015-1-120
Begin

### Pagina 2

Vermogens van huishoudens

Onderstaand diagram stond in mei 2001 in de Volkskrant. Het geeft informatie over hoeveel
vermogen of schuld huishoudens in Nederland hebben, uitgesplitst naar de leeftijd van de
hoofdkostwinner in een huishouden.
Volgens figuur 1 zijn er in bijna alle leeftijdsgroepen huishoudens met een schuld.

figuur 1
Aantal huishoudens,
gerangschikt naar leeftijd van de hoofdkostwinner en vermogensklasse

[FIGUUR: Een gestapeld staafdiagram dat het aantal huishoudens weergeeft, gerangschikt naar leeftijd van de hoofdkostwinner. De y-as geeft het aantal huishoudens in duizenden weer, oplopend van 0 tot 800. De x-as toont leeftijdsgroepen van de hoofdkostwinner, beginnend bij 18-22 en eindigend bij 93-94. Elke staaf is gestapeld in verschillende kleuren, die de vermogensklassen in guldens vertegenwoordigen, variërend van negatief (= schuld) tot meer dan 1.000.000.]

vermogensklasse
in guldens
> 1.000.000
250.000-1.000.000
100.000-250.000
50.000-100.000
20.000-50.000
5.000-20.000
0-5.000
negatief (= schuld)

aantal
huishoudens
met schuld
(x1.000)
800
700
600
500
400
300
200
100
0
18-22
23-27
28-32
33-37
38-42
43-47
48-52
53-57
58-62
63-67
69-72
73-77
78-82
83-87
88-92
93-94
leeftijdsgroepen

3p 1 □ In de leeftijdsgroep 23-27 is het aantal huishoudens met een schuld het grootst.
Hoeveel procent van de huishoudens in de leeftijdsgroep van 23-27 heeft een schuld? Licht
je antwoord toe en rond af op een geheel getal.

4p 2 □ We willen weten hoeveel procent van de huishoudens in de leeftijdsgroep 33-37 een
vermogen heeft tussen 100.000 en 250.000 gulden.
Bereken dit percentage. Rond je antwoord af op een geheel getal.

400015-1-12o 2 Lees verder


### Pagina 3

In figuur 1 zijn de vermogensklassen van elke leeftijdsgroep op elkaar gestapeld.
Wij bekijken één leeftijdsgroep preciezer, namelijk de leeftijdsgroep 38-42
jaar. In figuur 2 staan de vermogensklassen van deze leeftijdsgroep niet boven
elkaar.
Boven elke staaf staat het aantal huishoudens in duizendtallen.

[FIGUUR: Staafdiagram met de titel "Vermogen in guldens in de leeftijdsgroep 38-42". De x-as toont vermogensklassen variërend van "met schuld" tot "> 1.000.000". De y-as toont het aantal huishoudens (x 1.000) van 0 tot 200. Verschillende staven tonen de aantallen huishoudens per vermogensklasse.]

Van deze leeftijdsgroep is het volgende bekend:
• als een huishouden een schuld heeft, dan bedraagt die schuld gemiddeld 17 000 gulden;
• als een huishouden een vermogen heeft van meer dan 1 000 000 gulden dan bedraagt dat
vermogen gemiddeld 3 000 000 gulden.

5p 3 Bereken het gemiddelde vermogen van de huishoudens in deze leeftijdsgroep.
Rond het antwoord af op duizenden guldens.

400015-1-12o 3 Lees verder


### Pagina 4

Balpennen
Een afdeling van een schrijfwarenfabriek maakt balpennen. Elke maand worden er ongeveer
100 000 balpennen gemaakt, maar de fabriek kan er meer produceren. Daarom laat de
bedrijfsleider onderzoek of het verstandig is de productie op te voeren.
De bedrijfswiskundige komt met de volgende formules voor de totale opbrengst en de totale
kosten per maand:
$TO = 0,79q - 0,0000113q^2$
$TK = 11600 + 17,9q^{0,68}$
Hierin is:
* $q$ het aantal geproduceerde pennen per maand.
* $TO$ de totale opbrengst in euro en
* $TK$ de totale kosten in euro.
Beide formules gelden voor een productie tot 500 000 pennen per maand.
De winst $W$ is de totale opbrengst verminderd met de totale kosten, dus $W = TO - TK$.

6p 4 Teken in de figuur op de uitwerkbijlage de grafieken van $TO$ en $TK$, en geef op de $q$-as aan
bij welke aantallen balpennen er winst wordt gemaakt.

3p 5 Bereken hoeveel de winst $W$ stijgt als de productie wordt opgevoerd van 100 000 naar
200 000 pennen. Rond je antwoord af op honderden euro's.

De bedrijfsleider stelt de productie voorlopig vast op 200 000 balpennen per maand.
Hij zou de productie verder kunnen opvoeren, misschien levert dat nog meer winst op.
Daartoe laat hij de bedrijfswiskundige de formule voor de winst uitschrijven:
$W = 0,79q - 0,0000113q^2 - 11600 - 17,9q^{0,68}$

4p 6 Stel de formule van de afgeleide $\frac{dW}{dq}$ op.

De bedrijfsleider wil de winst zo groot mogelijk maken.
Als de productie toeneemt van 200 000 tot 240 000 balpennen per maand neemt $\frac{dW}{dq}$ af van
ongeveer 0,09 tot ongeveer 0,02.
Op grond van deze informatie over $\frac{dW}{dq}$ zal de bedrijfsleider besluiten de productie wel of
niet te verhogen van 200 000 tot 240 000 balpennen.
3p 7 Wat zal de bedrijfsleider besluiten? Licht je antwoord toe.

400015-1-12o 4 Lees verder

### Pagina 5

Franse Bank
foto
[FIGUUR: Hand die dobbelstenen gooit]
In Portugal kun je in een casino het
dobbelspel Franse Bank (Banca Francesa)
spelen.
De deelnemers zetten ieder een geldbedrag in,
waarna de spelleider met drie dobbelstenen
gooit. Men kijkt naar het totale aantal ogen
dat gegooid is. Dit aantal noemt men Total.

5p 8 Bereken de kans dat Total gelijk is aan 5.
Rond je antwoord af op drie decimalen.

De deelnemers kunnen inzetten op Ases,
Pequeno of Grande:
• Ases: Je wint als Total gelijk is aan 3;
• Pequeno: Je wint als Total gelijk is aan 5, 6 of 7;
• Grande: Je wint als Total gelijk is aan 14, 15 of 16.

De uitbetaling gaat als volgt:
tabel 1
| Total           | Ases           | Pequeno       | Grande       |
| --------------- | -------------- | ------------- | -------------- |
| 3               | 62 keer de inzet | 0             | 0              |
| 5, 6 of 7       | 0              | 2 keer de inzet | 0              |
| 14, 15 of 16    | 0              | 0             | 2 keer de inzet |

Bijvoorbeeld:
Als Total gelijk is aan 14 en je hebt ingezet op Grande, dan krijg je 2 keer je inzet
uitbetaald. Als je hebt ingezet op Ases of Pequeno, dan ben je je inzet kwijt aan het casino.

Als Total gelijk is aan 4, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 17 of 18 wint of verliest niemand. Er gebeurt
dan niets met de inzetten en de spelleider gooit de dobbelstenen opnieuw.
In tabel 2 zie je de kansverdeling die bij Total hoort.

tabel 2
| Total | 3 | 5, 6 of 7 | 14, 15 of 16 | 4, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 17 of 18 |
| ----- | - | --------- | ------------ | --------------------------------- |
| kans  | $\frac{1}{216}$ | $\frac{31}{216}$ | $\frac{31}{216}$ | $\frac{153}{216}$ |

5p 9 Bereken de kans dat er bij de zesde keer gooien iets met de inzetten gebeurt. Rond je
antwoord af op drie decimalen.

Omdat je in dit spel dus alleen iets wint of verliest wanneer het Ases, Pequeno of Grande
wordt, is voor de deelnemers eigenlijk alleen de kansverdeling uit tabel 3 van belang.

tabel 3
| gebeurtenis | Ases | Pequeno | Grande |
| ----------- | ---- | ------- | ------ |
| kans        | $\frac{1}{63}$ | $\frac{31}{63}$ | $\frac{31}{63}$ |

3p 10 Leg uit hoe men aan de kansen in tabel 3 komt.

Op een avond gaat Celia 100 keer een euro inzetten bij Franse Bank. Ze twijfelt of ze
100 keer gaat inzetten op Ases of 100 keer gaat inzetten op Grande.
Ze wil zoveel mogelijk uitbetaald krijgen.

5p 11 Welk advies zou je haar willen geven? Licht je advies toe.

400015-1-12o 5 Lees verder
Voor alle eindexamens, zie ook www.sslexamens.nl. Voor

### Pagina 6

Goudvissen
foto
[FIGUUR: Een close-up van een goudvis in een ronde glazen kom.]
Bij goudvissen doet zich een bijzonder verschijnsel voor. Een goudvis in een kleine
vissenkom blijft kleiner dan een goudvis die in een grote vissenkom leeft.
De grootste lengte $L$ die een goudvis in een kom kan bereiken, hangt af van de hoeveelheid
water in de kom. Het verband wordt beschreven met de formule:
$L = 2,6 \cdot V^{0,47}$
Hierin is $L$ de grootste lengte van de goudvis (in centimeter) en $V$ de hoeveelheid water in
de vissenkom (in liter).

3p 12
Een goudvis kan in een kom met 8 liter water een bepaalde lengte bereiken. Deze goudvis
kan een grotere lengte bereiken als hij zou leven in een kom van 13 liter.
Bereken hoeveel procent langer hij dan kan worden. Rond je antwoord af op een geheel
getal.

Veel goudvissen zwemmen hun rondjes in
een bolvormige vissenkom.
[FIGUUR: Een doorsnede van een bol met de waterhoogte h en de middelpunt M aangegeven.]
De hoeveelheid water $V$ in een bolvormige
vissenkom hangt af van de straal $r$ van de bol
en van de waterhoogte $h$. Zie figuur 3. $M$ is
het middelpunt van de bol.
Tabel 4 geeft voor een aantal waarden van $r$
en $h$ de hoeveelheid water $V$ in een
bolvormige vissenkom.

tabel 4
de hoeveelheid water $V$ (in l) in een bolvormige vissenkom
waterhoogte $h$
(in cm)
straal $r$ van de bol (in cm)
10
15
20
25
30
5
0,65
1,05
1,44
1,83
2,23
10
2,09
3,67
5,24
6,81
8,38
15
3,53
7,07
10,60
14,14
17,67
20
10,47
16,76
23,04
29,32
25
13,09
22,91
32,73
42,54
30
28,27
42,41
56,55
35
32,07
51,31
70,56
40
58,64
83,78

3p 13
In tabel 4 staan 31 waarden van $V$. Slechts een klein deel hiervan heeft betrekking op
half volle vissenkommen. We noemen een kom half vol als hij precies tot het middelpunt $M$
met water is gevuld.
Welke waarden van $V$ uit tabel 4 betreffen een half volle kom met meer dan 15 liter water?
Licht je antwoord toe.

400015-1-12o
6
Lees verder

### Pagina 7

We bekijken de rij getallen voor $h = 15$. Zie tabel 5.
tabel 5
| r   | 10   | 15   | 20   | 25    | 30    |
|-----|------|------|------|-------|-------|
| V   | 3,53 | 7,07 | 10,60| 14,14 | 17,67 |

Er is bij die getallen sprake van een lineair verband tussen $V$ en $r$.
Dat verband kunnen we schrijven als: $V = a \cdot r + b$.
4p 14 $\Box$ Bereken $a$ en $b$. Rond je antwoord af op twee decimalen.

Voor een vissenkom met een bepaalde grootte kunnen we het verband opstellen tussen de
waterhoogte $h$ en de grootste lengte $L$ die de goudvis kan bereiken. Dit verband is:

$$L = 2,6 \cdot (0,00105 \cdot h^2 - (60 - h))^{0,47}$$

In de formule zijn $L$ en $h$ beide in centimeters en is $h$ kleiner dan 40.
We stellen die kom vullen met zoveel water dat een goudvis daarin een grootste lengte van
10 cm kan bereiken.
3p 15 $\Box$ Bereken de waterhoogte in die vissenkom. Rond je antwoord af op één decimaal.

400015-1-12o 7 Lees verder

### Pagina 8

Rozen in de kas
Veel bloemen worden in kassen gekweekt.
In het jaar 2000 werd er ongeveer 3850 hectare (ha) kasgrond voor bloemen gebruikt.
Hiervan werd 25% gebruikt voor rozen.
Die 25% noemen wij het aandeelpercentage van de rozen. Zie figuur 4.
figuur 4
Snijbloemen in kassen in het jaar 2000
[FIGUUR: Cirkeldiagram met de volgende onderdelen: overige 30%, rozen 25%, chrysanten 21%, lelies 7%, gerbera's 6%, fresia's 6%, orchideeën 5%]
De totale oppervlakte aan kasgrond voor bloemen was in het jaar 2000 groter dan in het jaar
1999. De totale oppervlakte nam met 2,7% toe tot 3850 ha in het jaar 2000.
In deze periode nam de oppervlakte aan kasgrond voor rozen met slechts 10 ha toe.
5p 16
Bereken het aandeelpercentage van de rozen in 1999. Rond je antwoord af op één decimaal.
In het jaar 1980 kweekten 1150 bedrijven rozen.
In het jaar 2000 was dit aantal teruggelopen tot 800 bedrijven.
Ondanks de afname van het aantal bedrijven is de teelt van rozen in kassen in die 20 jaar
toch toegenomen. Zie figuur 5. Dat betekent dat per bedrijf de gemiddelde oppervlakte aan
kasgrond voor rozen sterk gegroeid is.
figuur 5
Totale oppervlakte aan kasgrond voor rozen (in ha)
[FIGUUR: Lobbegrafiek die de totale oppervlakte aan kasgrond voor rozen (in ha) weergeeft van 1980 tot 2000. De y-as loopt van 0 tot 1200, met tussenstappen van 200. De x-as loopt van 1980 tot 2000, met tussenstappen van 5 jaar.]
4p 17
Bereken met hoeveel procent de gemiddelde oppervlakte (kasgrond voor rozen) per
bedrijf is toegenomen in de periode 1980 tot 2000. Geef je antwoord in gehele procenten.
400015-1-12o
8
Lees verder

### Pagina 9

4p 18 [FIGUUR: Een vierkantje.] Er worden miljarden rozen per jaar geteeld in Nederland. Ze worden verkocht op lengte, waarbij de langere rozen meer geld opbrengen. Een rozenkwekerij heeft een grote kas vol rozenstruiken van dezelfde soort. De lengte waarop de stelen afgesneden kunnen worden is normaal verdeeld met een gemiddelde van 74 cm en een standaardafwijking van 12 cm. Hoeveel procent van de rozen van deze struiken zal een lengte hebben van meer dan 100 cm? Licht je antwoord toe en rond af op één decimaal.

Vierkeuzetoetsen
Deze opgave gaat over het geven van cijfers voor toetsen die alleen uit vierkeuzevragen bestaan. Er zijn verschillende manieren om het aantal goed beantwoorde vragen om te zetten in een cijfer.

Eerste manier
Bij een toets die uit 40 vierkeuzevragen bestaat, wordt het cijfer als volgt bepaald:
• je krijgt een 1 als je geen enkele vraag goed hebt;
• je krijgt een 10 als je alle vragen goed hebt;
• het deel van de negen punten bovenop die 1 is evenredig met het aantal goed beantwoorde vragen.
3p 19 [FIGUUR: Een vierkantje.] Bereken voor deze manier het cijfer als je 60% van de vragen goed beantwoord hebt. Geef je antwoord in één decimaal nauwkeurig.

Tweede manier
Je kunt bij een toets met meerkeuzevragen door te gokken een aantal vragen goed beantwoorden, ook al weet je niets van de leerstof.
Bij deze tweede manier wordt er bij het bepalen van het cijfer rekening gehouden met het gokken van antwoorden.
Een toets bestaat uit 40 vierkeuzevragen. Men gebruikt nu de volgende formule om het cijfer te bepalen:
$C = 0,3 \cdot G - 2$
Hierin is $C$ het cijfer en $G$ het aantal goed beantwoorde vragen. Als $C$ lager dan 1 uitkomt, wordt het cijfer een 1.

4p 20 [FIGUUR: Een vierkantje.] Stel dat iemand bij de toets de juiste antwoorden weet van 20 vragen. De antwoorden van de overige 20 vragen gokt hij. Welk cijfer zal hij naar verwachting krijgen? Licht je antwoord toe.

Algemeen
Tot nu toe ging het over toetsen met 40 vierkeuzevragen. Zo’n toets kan ook een ander aantal vragen hebben. De volgende formule is dan handig:
$C = 12 \cdot \frac{G}{V} - 2$
In deze formule is
• $C$ het cijfer. Als $C$ lager dan 1 uitkomt, wordt het cijfer een 1;
• $G$ het aantal goed beantwoorde vragen;
• $V$ het aantal vragen van de toets.

Een klasgenoot van Arina moet een toets inhalen. Hij vraagt aan Arina uit hoeveel vragen de toets bestond. Arina herinnert zich dat niet meer. Zij weet nog wel dat zij er 42 goed had met als resultaat een 7,7.
4p 21 [FIGUUR: Een vierkantje.] Bereken het aantal vragen van deze toets.

Einde
400015-1-12o
9