# Eindexamen Wiskunde A HAVO 2002 tijdvak 2

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2002/tijdvak-2

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Opgave 1

### Vraag 2 – Opgave 1

### Vraag 3 – Opgave 1

### Vraag 4 – Opgave 1

### Vraag 5 – Opgave 1

### Vraag 6 – Opgave 1

### Vraag 7 – Opgave 1

### Vraag 8 – Opgave 1

### Vraag 9 – Opgave 1

### Vraag 10 – Opgave 1

### Vraag 11 – Opgave 1

### Vraag 12 – Opgave 1

### Vraag 13 – Opgave 1

### Vraag 14 – Opgave 1

### Vraag 15 – Opgave 1

### Vraag 16 – Opgave 1

### Vraag 17 – Opgave 1

### Vraag 18 – Opgave 1

### Vraag 19 – Opgave 1

### Vraag 20 – Opgave 1

### Vraag 21 – Opgave 1

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen HAVO
Wiskunde A1,2 (nieuwe stijl)
Hoger
Algemeen
Voortgezet
Onderwijs
20 02
Tijdvak 2
Woensdag 19 juni
13.30-16.30 uur
Voor dit examen zijn maximaal 90 punten te
behalen; het examen bestaat uit 21 vragen.
Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel
punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
Voor de uitwerking van de vragen 5, 16, 17 en 18 is
een bijlage toegevoegd.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of
berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als
deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen,
voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden
gevraagd en je geeft er meer dan twee redenen,
dan worden alleen de eerste twee in de
beoordeling meegeteld.
200028 16
Begin

### Pagina 2

Wereldrecords nattigheid

Wie loopt de 5000 meter in de kortste tijd? Die atleet mag zich wereldrecordhouder op de 5000 meter noemen. Op welke plaats op aarde valt in een regenbuí van 7 uur het meeste water? Die plaats mag zich wereldrecordhouder nattigheid over 7 uur noemen.

De hoeveelheid water van een regenbuí wordt gemeten in inches (1 inch is 2,54 cm). Het regenwater wordt opgevangen in een regenmeter. De hoogte van het water in de regenmeter geeft aan hoeveel regen er gevallen is.
Een aantal wereldrecords nattigheid zijn met punten in figuur 1 weergegeven. Figuur 1 staat op de bijlage. Op de horizontale as staat hoe lang de buí geduurd heeft en op de verticale as staat de hoeveelheid regen. Men heeft langs beide assen een bijzondere schaalverdeling gekozen.

[FIGUUR: Grafiek met op de horizontale as de duur van de bui in minuten, uren en maanden en op de verticale as de hoeveelheid regen in inches. Verschillende meetpunten met locaties en een rechte lijn met de formule R = 16,6 * D^0,475.]

3a (3p) 1 □ Plumb Point in Jamaica is een van de wereldrecordhouders. Hoe lang duurde die regenbuí en hoeveel centimeter regen kwam er naar beneden?

De grafiek komt uit een artikel over regenbuiien. De schrijver van het artikel heeft een lijn getrokken waar geen enkele van deze wereldrecords boven ligt. Het lijkt alsof de regenval dan op deze lijn niet mogelijk is.

Over de punten op deze lijn beweert de schrijver: „De hoeveelheid regen van 100-minutenbuien is ongeveer drie keer zo groot als de hoeveelheid regen van 10-minutenbuien. De hoeveelheid regen van 1000-minutenbuien is weer ongeveer drie keer zo groot als van 100-minutenbuien.”

4p 2 □ Onderzoek of deze beweringen juist zijn.

De schrijver heeft een formule voor de lijn opgesteld:
$R = 16,6 \cdot D^{0.475}$

4p 3 □ Hierin is $R$ de hoeveelheid regen in inches en $D$ de duur van de bui. Onderzoek welke eenheid $D$ in de formule heeft: minuten, uren, dagen of maanden.

200028 16


### Pagina 3

In het voorgaande hebben we bij verschillende regenbuien gelet op de hoeveelheid regen en
de bijbehorende tijd. In verband met overstromingsproblemen (van riolen en dergelijke) is
het van belang om ook te letten op de hoeveelheid regen per minuut. Dit wordt de intensiteit I
van een bui genoemd. In formulevorm:
$$I = \frac{\text{hoeveelheid regen}}{\text{duur van de bui}}$$
Hierbij is de hoeveelheid regen in inches en de duur van de bui in minuten.
2p 4□ Bereken de intensiteit van de regen bui van Füssen in figuur 1.

Als de intensiteit I te hoog is, kunnen er problemen ontstaan met de afvoer van het water.
Een intensiteit van 0,1 blijkt in de praktijk al voor grote problemen te kunnen zorgen.
Punten met gelijke intensiteit liggen in figuur 1 op een rechte lijn.
In de figuur op de bijlage kan de lijn getekend worden die hoort bij $I = 0,1$.
5p 5□ Onderzoek hiermee welke van de buien een intensiteit kleiner dan 0,1 hadden.
200028 16 3 Lees verder

### Pagina 4

Licht in de kas

Veel tuinbouwkassen in Nederland worden ’s nachts verlicht om de groei van de planten te
bevorderen. Om deze kassen te verlichten worden lampen van 600 Watt gebruikt. Per
hectare (10 000 m²) zijn 1000 van die lampen nodig.
Onlangs heeft een tuinder een nieuw systeem van verlichten ontwikkeld. Bij dit systeem
zitten de lampen niet meer vast, maar glijden ze langs rails boven in de kas heen en weer.
De planten worden verlicht zolang de lamp erboven is, daarna staan ze weer in het donker.
Met dit systeem heb je per hectare maar 60 lampen nodig, terwijl de groeibevordering
nauwelijks minder is dan bij de continue verlichting.

Elektriciteit betaal je per kilowattuur (kWh). 1 kWh is de hoeveelheid elektriciteit die een
lamp van 1000 Watt gebruikt als hij één uur brandt. Een lamp van 600 Watt gebruikt in één
uur 0,6 kWh.
Tuinders betalen 4,9 eurocent per kWh.
De lampen branden gemiddeld acht uur per etmaal (1 etmaal = 24 uur).
We houden in deze opgave geen rekening met de extra kosten voor het laten bewegen van
de lampen.
6 ☐ Bereken de jaarlijkse besparing aan elektriciteitskosten voor één hectare met dit nieuwe
systeem.

Een andere tuinder is nieuwsgierig geworden en gaat het systeem in een van zijn kleinere
kassen uitproberen. Hij heeft een kas met een lengte van 40 m.
In figuur 2 staat schematisch een deel van het bovenaanzicht van die kas met bewegende
lampen. De lampen bewegen met een snelheid van 25 meter per uur.

[FIGUUR: Bovenaanzicht van een kas met drie bewegende lampen.]

40 m

figuur 3

In figuur 3 staat een zijaanzicht van één van de lampen. De lamp verlicht de planten over
een lengte van 5 meter.

[FIGUUR: Zijaanzicht van een lamp die planten verlicht.]

lamp
planten

5 m

We gaan ervan uit dat de lampen alle punten in de kas even lang beschijnen.
In de maand oktober branden de lampen acht uur per nacht.
7 ☐ Hoe lang wordt een punt in het midden van de kas verlicht tijdens een nacht in oktober?
Licht je antwoord toe.

200028 16
4
Lees verder


### Pagina 5

In een grote kas bewegen de lampen naast elkaar. Omdat alle lampen een eigen motortje hebben om zich voort te bewegen, kunnen er kleine afwijkingen zitten in de oversteektijden van de lampen. De tijd om de overkant van de kas te bereiken is normaal verdeeld met een gemiddelde van 96 minuten en een standaardafwijking van 50 seconden.
De tuinder wil het liefst dat de lampen naast elkaar heen en weer over de lengte van de kas blijven gaan. Dat is beter voor de planten.
Om ervoor te zorgen dat alle lampen op hetzelfde moment weer teruggaan, worden ze allemaal voorzien van een klok. Die klok zorgt ervoor dat de lampen precies twee minuten na de gemiddelde oversteektijd aan de terugtocht beginnen. Lampen die iets langer over de oversteek hebben gedaan, zijn dus iets korter stil.
Wanneer een lamp meer dan twee minuten langer voor de oversteek nodig heeft, hoeft die niet te wachten. De lamp is te laat en gaat direct terug.
Van de lampen die op tijd vertrekken, komt een deel te laat aan de overkant en gaat dus direct terug.
6p 8 □ Bereken welk percentage van die lampen te laat aankomt.
Het komt naar de zin van de tuinder toch te vaak voor dat een lamp te laat aankomt en dus na de andere lampen weer vertrekt. Hij wil daarom de kans verkleinen dat een lamp te laat aankomt: de kans moet groter zijn dan 0,001.
5p 9 □ Dat kan hij bereiken door de lampen méér dan twee minuten te laten wachten voor zij teruggaan. De kans op het overschrijden van die wachttijd wordt dan kleiner. Hoeveel seconden moeten de lampen dan langer wachten voor ze aan de terugtocht beginnen? Licht je antwoord toe.
200028 16 5 Lees verder

### Pagina 6

Het loket
Wij brengen heel wat tijd wachtend door: in de rij voor de kassa van de supermarkt, in de
rij voor het loket in het postkantoor of 'in de wacht' aan de telefoon. Deze opgave gaat over
wachttijden bij een loket.

Een postkantoor met één loket gaat op een ochtend open. Kort na elkaar komen zeven
klanten binnen.
We meten van deze klanten het aankomsttijdstip en de bedieningstijd in seconden.
De bedieningstijd is de tijd die nodig is om de klant te helpen.
Het tijdstip van openen noemen we $ t = 0 $.
De tijden van deze zeven klanten staan in tabel 1.

tabel 1
|       | 1   | 2  | 3   | 4   | 5  | 6   | 7   |
|-------|-----|----|-----|-----|----|-----|-----|
| aankomsttijdstip (seconden) | 55  | 87 | 111 | 151 | 163 | 183 | 196 |
| bedieningstijd (seconden) | 43  | 36 | 34  | 20  | 6  | 14  | 26  |

Je ziet dat klant 1 op $ t = 55 $ seconden binnenkomt. Zij wordt direct geholpen, staat
43 seconden aan het loket en is dus klaar op $ t = 98 $ seconden. Intussen is klant 2 binnen
gekomen. Zij moet wachten tot klant 1 klaar is. Op dat tijdstip gaat haar bedieningstijd in.

5p 10 □ Welke van de zeven klanten heeft het langst moeten wachten voor zij aan de beurt was?
Licht je antwoord toe.

We kunnen het binnenkomen, wachten en geholpen worden van klanten in het postkantoor
ook in een schema weergeven. In figuur 4 is de situatie weergegeven van negen klanten van
het postkantoor op een andere ochtend.

figuur 4
[FIGUUR: Een gestapeld staafdiagram met drie rijen. De bovenste rij, "tweede wachtende", heeft drie staven genummerd 2, 7 en 9. De middelste rij, "eerste wachtende", heeft staven genummerd 3, 8 en 6. De onderste rij, "aan het loket", heeft staven genummerd 1, 4, 5 en 8, 9. De horizontale as is de tijd in seconden, met markeringen op 38, 79, 96, 115, 134, 147, 185, 231, 263, 288, 310, 319, 340, 356, 369, 390, 451, 494. Er is een pijl met de tekst "tijd in sec".]

Het tijdstip van aankomst en vertrek van iedere klant staat op de horizontale as.
In ieder blokje staat het nummer van de klant.
Klant 1 komt op $ t = 38 $ seconden binnen en wordt direct geholpen. Klant 2 komt op $ t = 79 $
seconden binnen en moet even wachten tot klant 1 klaar is.
Als klant 4 binnenkomt op $ t = 134 $ seconden wordt klant 2 nog steeds geholpen, zodat klant
4 achter klant 3 in de rij moet aansluiten.
Op deze manier is van alle negen klanten het verblijf in het postkantoor in beeld gebracht.

5p 11 □ Hoe lang hebben de negen klanten gemiddeld gewacht tot ze geholpen werden? Licht je

### Pagina 7

Wiskundigen hebben een model opgesteld voor wachtrijen bij een loket. Uit dat model volgt de volgende formule voor de gemiddelde wachttijd:
$$W = \frac{A}{C \cdot (C - A)}$$
* $W$ is de gemiddelde wachttijd in uren;
* $A$ is het aantal klanten dat gemiddeld per uur bij het loket komt;
* $C$ is het aantal klanten dat gemiddeld per uur bediend kan worden.

Bij een loket is de gemiddelde bedieningstijd één minuut. Elke tien minuten komen er gemiddeld acht mensen.

4p 12 $\Box$ Bereken de gemiddelde wachttijd in minuten.

Het model geeft ook een formule voor de tijd die men gemiddeld voor een loket verblijft, dus de wachttijd en de bedieningstijd samen.
$$V = \frac{1}{C - A}$$
* $V$ is de gemiddelde verblijfstijd in uren: wachttijd plus bedieningstijd;
* $A$ is het aantal klanten dat gemiddeld per uur bij het loket komt;
* $C$ is het aantal klanten dat gemiddeld per uur bediend kan worden.

In het vervolg van deze opgave is de gemiddelde bedieningstijd twee minuten. Je krijgt dan voor $V$ de formule:
$$V = \frac{1}{30 - A}$$
3p 13 $\Box$ Bereken het aantal klanten dat gemiddeld per uur bij het loket komt als de gemiddelde verblijfstijd zes minuten is.

De afgeleide functie van $V$ is:
$$V' = \frac{1}{(30 - A)^2}$$
3p 14 $\Box$ Bereken $V'(25)$ en leg uit wat de betekenis van dit getal is voor de gemiddelde verblijfstijd.

200028 16 7 Lees verder

### Pagina 8

Domino
foto
[FIGUUR: Foto van meerdere dominostenen, met stippen die getallen voorstellen.]
Een dominospel bestaat uit 28 stenen. Op de foto staan er enkele afgebeeld. Op beide
helften van elke steen staat met ogen een getal aangegeven van nul tot en met zes. Op de
onderkanten van de stenen staat niets: als je alle stenen omkeert, zie je niet dat ze
verschillend zijn.
In figuur 5 staan alle 28 stenen afgebeeld.
figuur 5
grootste aantal ogen
0 1 2 3 4 5 6
0
1
kleinste
aantal 3
ogen
4
5
6
Je ziet dat er maar één steen met een 5 en een 3 is. Die steen noemen we de 5-3.
Een steen met op beide helften hetzelfde aantal ogen, zoals de 0-0, noemen we een dubbele.
Figuur 5 staat ook op de bijlage.
Jorik en Sanne gaan domino spelen. Ze leggen alle stenen omgekeerd op tafel. Ze weten
niet welke steen waar ligt. Ze pakken ieder zes stenen. Degene met de hoogste dubbele
begint het spel door die hoogste dubbele op tafel te leggen.
Jorik pakt als eerste zes stenen. Hij vraagt zich af hoe groot de kans is dat hij geen dubbele
pakt.
4p 15 Bereken de kans dat Jorik geen dubbele pakt.
200028 16 8 Lees verder

### Pagina 9

Als Jorik en Sanne allebei geen dubbele hebben gepakt, mag degene beginnen die de
hoogste 'zes' heeft. Het eerst dus de 6-5 maar anders de 6-4, de 6-3, enzovoort.
Als ze beiden zelfs geen steen met een zes hebben, mag degene met de hoogste 'vijf'
beginnen, enzovoort.

Jorik zegt dat hij geen dubbele heeft en dat zijn hoogste steen de 6-3 is. Nu pakt Sanne haar
zes stenen.
6p 16 $\Box$ Bereken de kans dat Sanne als eerste een steen mag neerleggen. Je kunt hierbij gebruik
maken van de figuur op de bijlage.

Nadat ze allebei zes stenen hebben gepakt, blijkt Jorik met die 6-3 toch de hoogste steen te
hebben. Jorik legt die 6-3 op tafel. Dan is Sanne aan de beurt.
Sanne mag een steen tegen de 6-3 aanleggen, als ze een steen heeft met een 6 of een 3 erop.
Heeft ze die niet, dan moet ze net zo vaak een nieuwe steen van de stapel op tafel pakken
tot ze een steen heeft waar een 6 of een 3 op staat. Die steen mag ze dan tegen de 6-3
op tafel aanleggen. En dan is Jorik weer aan de beurt.
Een speler mag zowel aan de linkerkant als aan de rechterkant tegen de stenen op tafel een
steen aanleggen, zolang hij maar een 0 tegen een 0, een 1 tegen een 1, een 2 tegen een 2,
enzovoort, legt.
Wie als eerste geen stenen meer heeft, heeft het spel gewonnen.

Na een paar beurten ligt er op tafel een rij stenen als in figuur 6.
[FIGUUR: Een rij van vier dominostenen. De eerste steen van links is 3-3. De tweede steen is 5-3. De derde steen is 5-0. De vierde steen is 0-0.]
figuur 6

Jorik is begonnen met de 6-3, de tweede steen van links. Daar zijn vijf stenen bij gekomen:
aan de linkerkant de 3-2 en aan de rechterkant de 6-0, de 5-0, de 5-2 en de 4-2. Tot nu toe
heeft geen van de twee spelers een steen van de stapel hoeven pakken.

Jorik is nu aan de beurt. Hij heeft nog drie stenen: de 1-0, de 5-1 en de 6-1. Hij kan geen
van die stenen aanleggen, want hij heeft geen 2 en geen 4. Sanne bekijkt haar drie stenen en
zegt dat zij één van die stenen wel kan aanleggen.
Jorik moet dus een steen van de stapel op tafel pakken.
4p 17 $\Box$ Bereken de kans dat hij die steen kan aanleggen. Je kunt hierbij gebruik maken van de
figuur op de bijlage.

Jorik vraagt zich af: als alle dominostenen omgekeerd op tafel liggen en ik pak er
willekeurig twee stenen uit, hoe groot is dan de kans dat die twee stenen op elkaar
aansluiten?
Sanne legt uit dat het dan verschil maakt of de eerste steen die je pakt een dubbele is of
juist niet. Immers, als je de 4-4 pakt, dan sluiten daar alleen 'vieren' op aan. Maar als je de
3-3 pakt, dan sluiten daar alle 'vieren' en alle 'drieën' op aan.
6p 18 $\Box$ Bereken hoe groot de kans is dat twee aselect gepakte stenen op elkaar aansluiten. Je kunt
hierbij gebruik maken van de

### Pagina 10

Brandstofverbruik

In de jaren tachtig heeft men in de Verenigde Staten een vliegtuigje gebouwd dat zonder een tussenstop om de wereld kon vliegen.
Het speciaal geconstrueerde vliegtuigje vloog met een constante snelheid in 288 uur rond de aarde.
Vóór de vlucht van het vliegtuigje had men een aantal wiskundige modellen opgesteld voor de brandstofvoorraad $B$. Die hangt natuurlijk af van het aantal gevlogen uren $t$.
Bij elk van die modellen ging men ervan uit dat het vliegtuigje met 5600 liter brandstof vertrekt en dat er na 288 uur vliegen nog 10% van deze totale brandstofvoorraad aanwezig is voor onvoorziene omstandigheden.

Model 1

4p 19 ▢ Stel voor dit model een formule op voor de brandstofvoorraad $B$ (in liters) per uur constant is.

Model 2
Het gewicht van het vliegtuigje (zonder brandstof) is veel lager dan het gewicht van de 5600 liter brandstof. Tijdens de vlucht wordt het gewicht van 'vliegtuig plus brandstof' steeds kleiner. Het vliegtuig zal daarom tijdens de vlucht steeds minder brandstof gaan verbruiken. Het tweede model houdt daar rekening mee.
Bij dit model hoort de formule:
$$B = 5600 \cdot 0,99204^t$$
Hierbij is $B$ de brandstofvoorraad in liters na $t$ uren vliegen.
De grafiek die hoort bij dit model staat in figuur 7.

[FIGUUR: Grafiek met op de y-as B (liters) en op de x-as t (uren). De curve begint bij B=6000 bij t=0 en daalt langzaam.]

Zoals je ook in de grafiek kunt zien, wordt de brandstofvoorraad voortdurend kleiner.
De afgeleide $\frac{dB}{dt}$ van de formule voor $B$ geeft aan hoe de brandstofvoorraad verandert.
Deze afgeleide wordt gegeven door:
$$ \frac{dB}{dt} = -44,75 \cdot 0,99204^t $$
Volgens model 2 is het brandstofverbruik (in liters per uur) na 24 uur vliegen ongeveer 17% lager dan aan het begin van de vlucht.

6p 20 ▢ Toon dit aan met behulp van de afgeleide.

200028 16 10 Lees verder

### Pagina 11

Model 3
Dit model is een aanvulling op het tweede model. Hierbij gaat men ervan uit dat na 288 uur
vliegen het brandstofverbruik niet meer verandert. Zie figuur 8. Het gewicht van de 560
liter brandstof die er nog over is, is nog maar klein vergeleken met het gewicht van het
vliegtuig.
figuur 8
[FIGUUR: Grafiek met op de y-as B (liter brandstof) en op de x-as t (uren). De grafiek toont een dalende lijn, beginnend bij ongeveer (0, 6000) en eindigend bij (288, 0).]
3p 21 Bereken met behulp van de afgeleide $ \frac{dB}{dt} $ hoeveel uur het vliegtuigje nog door kan vliegen
na 288 uur.

Einde
200028 16
11