# Eindexamen Wiskunde A HAVO 2001 tijdvak 1

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2001/tijdvak-1

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Opgave 2

### Vraag 2 – Opgave 2

### Vraag 3 – Opgave 2

### Vraag 4 – Opgave 2

### Vraag 5 – Opgave 2

### Vraag 6 – Opgave 2

### Vraag 7 – Opgave 2

### Vraag 8 – Opgave 1

### Vraag 9 – Opgave 2

### Vraag 10 – Opgave 1

### Vraag 11 – Opgave 2

### Vraag 12 – Opgave 1

### Vraag 13 – Opgave 1

### Vraag 14 – Opgave 2

### Vraag 15 – Opgave 1

### Vraag 16 – Opgave 2

### Vraag 17 – Opgave 1

### Vraag 18 – Opgave 1

### Vraag 19 – Opgave 1

### Vraag 20 – Opgave 1

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Examen HAVO
Wis kunde A 1.2 (nieuwe stijl)
Hoger
Algemeen
Voortgezet
Onderwijs
20 01
Tijdvak 1
Woensdag 23 mei
13.30 – 16.30 uur
Voor dit examen zijn maximaal 90 punten te
behalen; het examen bestaat uit 20 vragen.
Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel
punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
Voor de uitwerking van vraag 7 is een bijlage
toegevoegd.
Als bij een vraag een verklaring, uitleg of
berekening vereist is, worden aan het
antwoord meestal geen punten toegekend als
deze verklaring, uitleg of berekening
ontbreekt.
Geef niet meer antwoorden (redenen,
voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden
gevraagd en je geeft er meer dan twee redenen,
dan worden alleen de eerste twee in de
beoordeling meegeteld.
100016 16
Begin

### Pagina 2

Opgave 1 Misdrijven

Elk jaar worden in Nederland veel misdrijven gemeld. Deze variëren van het stelen van een chocoladereep tot het plegen van een moord.
Misdrijven worden gemeld bij het Openbaar Ministerie (OM). Het OM beslist dan over de (eventuele) vervolging van de daders.
In figuur 1 vind je informatie over misdrijven die in 1996 werden gemeld.

[FIGUUR: Een staafdiagram met op de y-as verschillende soorten misdrijven en op de x-as het aantal seconden per misdrijf. De misdrijven zijn: beschadiging van auto, fietsdiefstal, vernieling, diefstal overige, bedreiging, zakkenrollerij, mishandeling, diefstal uit auto, inbraak, doorrijden na ongeval. De staafjes lopen van links naar rechts op, met de hoogste waarden aan de linkerkant.]

De getallen langs de horizontale as geven voor elke categorie aan hoe snel er gemiddeld tussen twee opeenvolgende meldingen zitten.
Je kunt bijvoorbeeld aflezen dat in 1996 in Nederland (gemiddeld) elke 135 seconden een inbraak werd gemeld.
Let op: 1996 was een schrikkeljaar en had dus 366 dagen.

4p 1
In figuur 1 komt ook de categorie ‘fietsdiefstal’ voor.
Toon aan dat er in 1996 ongeveer 670 000 keer een fietsdiefstal werd gemeld.

3p 2
Als je de staafjes en de getallen in figuur 1 bekijkt, dan zie je:
- van links naar rechts zijn de getallen steeds kleiner;
- van links naar rechts zijn de staafjes steeds langer.
Leg uit hoe uit de getallen kan worden afgeleid dat een langere staaf bij een groter aantal misdrijven hoort.

4p 3
In drie van de 10 categorieën misdrijven komt het woord diefstal voor, namelijk: ‘fietsdiefstal’, ‘diefstal overige’ en ‘diefstal uit auto’.
Je kunt deze drie categorieën samenvoegen tot één (nieuwe) categorie ‘diefstal’.
Je moet dan de drie bijbehorende staafjes vervangen door één (nieuwe) staaf. Onder deze nieuwe staaf ‘diefstal’ moet dan ook weer een getal staan.
Bereken welk getal onder deze nieuwe staaf ‘diefstal’ moet staan.

100016 16 2 Lees verder

### Pagina 3

Bij veel gemelde misdrijven is er geen verdachte aangewezen. Is er geen verdachte,
dan komt er ook geen strafzaak.
In 1996 werden er door het OM 242 100 strafzaken afgehandeld. In figuur 2 vind je
informatie over de manier waarop die afhandeling plaatsvond.

figuur 2 Afhandeling strafzaken in 1996
[FIGUUR: Tabel met de afhandeling van strafzaken in 1996. De kolommen zijn: Vonnis in de rechtszaal, Strafzaken (totaal 242 100), Afhandeling door het OM zelf. De rijen daaronder zijn: Schuldig (123 200), Niet schuldig (9 300), Transactie door geldboete (62 200) (Hierbij legt het OM zelf een geldboete op.), Sepot (47 400) (Hierbij is er geen rechtszaak en ook geen geldboete.). Daaronder staan de percentages voor Geldboete (39%), Celstraf (35%), Taakstraf (15%), Ontzegging rijbevoegdheid (11%).]

4p 4 Bereken hoeveel procent van alle 242 100 strafzaken tot een geldboete leidde.

Het aantal strafzaken dat het OM met een transactie afhandelt, groeit elk jaar fors.
In 1990 werden 50 000 strafzaken met een transactie afgehandeld. In 1996 waren dat
er al 62 200.
Neem aan dat het aantal strafzaken dat met een transactie werd afgehandeld elk jaar
met hetzelfde percentage groeide.
5p 5 Bereken dit percentage.

100016 16 3 Lees verder

### Pagina 4

Opgave 2 Verwarming
Om een kamer goed te kunnen verwarmen, moet de verwarmingsradiator voldoende
capaciteit hebben. Een grote kamer heeft natuurlijk een radiator met een grotere
capaciteit nodig dan een kleine kamer.
De verwarmingsinstallateur bepaalt aan de hand van onderstaande tabel hoe groot de
capaciteit van een radiator moet zijn. De inhoud van een kamer (vertrek) wordt
gegeven in m³ en de capaciteit van een radiator in Watt.
tabel 1
[FIGUUR: Tabel met de benodigde capaciteit in Watt per m³ voor vertrekken met 1, 2 of 3 buitenmuren, onderverdeeld naar inhoud kleiner dan 50 m³, van 50 m³ tot 150 m³, en groter dan 150 m³.]
Uit tabel 1 lees je bijvoorbeeld af dat voor een kamer van 40 m³ op de tweede
verdieping met twee buitenmuren een radiator met een capaciteit van
$40 \times 40 = 1600$ Watt nodig is.
Iemand heeft nog de oude radiator die geschikt was om de kinderkamer te verwarmen.
Hij vraagt zich af of deze radiator geschikt is voor de vernieuwde badkamer.
De kinderkamer van 30 m³ was op de begane grond en had één buitenmuur.
De badkamer op de eerste verdieping is wel kleiner, de inhoud is maar 24 m³, maar er
zijn twee buitenmuren. En in een badkamer moet het iets warmer zijn dan in andere
vertrekken: volgens tabel 1 is daarvoor 20% extra capaciteit nodig.
Heeft de oude radiator voldoende capaciteit? Licht je antwoord toe.
5p 6
Vaak worden grafieken gebruikt in plaats van tabellen. De installateur kan dan direct
aflezen hoeveel capaciteit een radiator moet hebben. Het is mogelijk om met behulp
van tabel 1 zulke grafieken te maken. In figuur 3 is een deel van de grafiek getekend
voor vertrekken met 1 buitenmuur op de begane grond. De grafiek is getekend voor
een inhoud kleiner dan 150 m³. De figuur staat ook op de bijlage.
100016 16
4
Lees verder

### Pagina 5

figuur 3
capaciteit
in Watt
12000
11000
10000
9000
8000
7000
6000
5000
4000
3000
2000
1000
0
0 25 50 75 100 125 150 175 200
inhoud in m3
[FIGUUR: Grafiek met op de x-as 'inhoud in m3' van 0 tot 200 en op de y-as 'capaciteit in Watt' van 0 tot 12000. Een rechte lijn loopt vanaf ongeveer (0, 2000) naar (100, 7000) en vervolgens lijkt de lijn af te buigen naar een kleiner tempo van stijgen.]

4p 7
In de figuur ontbreekt het deel voor vertrekken met een inhoud tussen 150 en 200 m³.
Teken in de figuur op de begane grond dat ontbrekende deel van de grafiek voor vertrekken
met één buitenmuur op de begane grond.

Een installatiebureau gebruikt formules om de benodigde capaciteit uit te rekenen.
Onderstaande formule is voor vertrekken met één buitenmuur op de begane grond.
De formule geldt voor vertrekken waarvan de inhoud niet groter is dan 200 m³.
$C = -0,12 \cdot I^2 + 70 \cdot I + 315$ met $I$ de inhoud in m³ en $C$ de capaciteit in Watt

De afgeleide van deze formule is ook alleen geldig voor vertrekken met een inhoud
van hoogstens 200 m³.
6p 8
Toon aan met behulp van de afgeleide dat bij vertrekken met grotere inhoud
• de capaciteit steeds toeneemt, en
• die toename minder sterk is.

100016 16
5
Lees verder

### Pagina 6

Opgave 3 De kleurenblinde en de glasbak
Ongeveer een half miljoen Nederlanders is kleurenblind. Een kleurenblind ziet
(bijna) geen verschil tussen (bepaalde) kleuren.
Gekleurde flessen zijn groen of bruin. Sommige kleurenblinden zien geen verschil
tussen groen en bruin. Zij staan met hun lege flessen voor de glasbak en weten niet of
ze een gekleurde fles in het gat voor groen glas of in het gat voor bruin glas moeten
gooien.
tekening
[FIGUUR: Schematische tekening van een glasbak met drie ingangen gelabeld 'wit', 'groen', 'bruin' en een grotere rechthoekige opening met het label 'GLASBAK'.]
GLASBAK
Peter is kleurenblind. Hij kan de groene en de bruine flessen niet van elkaar
onderscheiden. Als Peter met zijn lege flessen bij de glasbak komt, gooit hij de witte
flessen altijd in het juiste gat. Bij een gekleurde fles kiest hij aselect tussen het gat
voor groen en het gat voor bruin. De kans dat een groene of bruine fles in het goede
gat terechtkomt is dus 0,5.
Peter brengt 100 lege flessen naar de glasbak. De helft van zijn flessen is van wit glas.
Bij de andere helft zijn zowel groene als bruine flessen.
3a 9
Laat zien dat naar verwachting 75 van de 100 flessen in het goede gat terechtkomen.
100016 16
6
Lees verder

### Pagina 7

Uit vraag 9 volgt: de kans dat een fles in het goede gat terechtkomt is 75% als Peter
de witte flessen altijd goed gooit en bij elke gekleurde fles aselect kiest tussen het gat
voor groen en het gat voor bruin.
Uit onderzoek is gebleken dat van de flessen in de glasbak 50% wit, 40% groen en
10% bruin is. Neem aan dat dit ook voor de flessen van Peter geldt.
Je kunt het gooien van de flessen in de glasbak weergeven met een boomdiagram.
Zie figuur 4.

[FIGUUR: Een boomdiagram met twee hoofdtakken voor 'FLES' (wit en glasbak). De tak voor 'glasbak' splitst verder in de kleuren groen en bruin. De takken van het diagram tonen waarschijnlijkheden.]

Peter kan de kans dat hij een fles in het goede gat gooit, hoger krijgen dan 75%.
Hij gooit de witte flessen allemaal in het goede gat. Hij concludeert uit het onderzoek
dat van de gekleurde flessen $\frac{4}{5}$ deel groen en $\frac{1}{5}$ deel bruin is. In die verhouding gaat hij
de gekleurde flessen in de gaten gooien. Elke gekleurde fles heeft dan kans $\frac{4}{5}$ om in het
gat voor groen terecht te komen en kans $\frac{1}{5}$ om in het gat voor bruin terecht te
komen.

10 (4p) Bereken voor deze werkwijze de kans dat een willekeurige fles in het goede gat
terechtkomt.

11 (5p) Er bestaan nog betere werkwijzen voor Peter. In zo’n werkwijze is de kans dus nog
groter dat een fles in het goede gat terechtkomt.
Geef een voorbeeld van zo’n werkwijze en toon aan dat deze beter is.

100016 16 7 Lees verder

### Pagina 8

Opgave 4 Schoenveters
[FIGUUR: Een foto van een schoen met vetergaten en veters.]
De meeste schoenen worden met veters dichtgemaakt. De schoen heeft dan twee rijen
gaatjes waar een veter doorheen gehaald moet worden. Als je daarna een knoop legt
in de overblijvende stukken, zit de schoen dicht.
In deze opgave bekijken we drie manieren om schoenveters te rijgen: Amerikaans
(zigzag), Europees (recht) en Schoenverkoper (snel). Zie figuur 5.
[FIGUUR: Een schematische weergave van drie manieren om schoenveters te rijgen: Amerikaans (zigzag), Europees (recht), en Schoenverkoper (snel). Er wordt ook een maat "4 cm" en een variabele "d" aangegeven.]
Amerikaans
Europees
Schoenverkoper
4p 12 $\Box$
Voor schoenen met drie paar gaatjes is er iets bijzonders aan de hand: twee van de
drie manieren van rijgen geven hetzelfde resultaat.
Maak voor elk van de drie manieren van rijgen een schets, zoals in figuur 5, en laat
daarmee zien welke twee manieren hetzelfde resultaat geven.
Bij elk van de drie genoemde manieren van rijgen hoort een formule voor de
benodigde veterlengte. Daarbij laten we het deel van de veter waar de knoop in komt
buiten beschouwing, omdat dat deel voor elke manier van rijgen even lang is.
Voor de veterlengte $l$ gelden dan de volgende formules.
Amerikaans:
$l = 4 + 2(n-1) \cdot \sqrt{d^2 + 16}$
Europees:
$l = 4(n-1) + 2\sqrt{d^2 + 16} + (n-2) \cdot \sqrt{4d^2 + 16}$
Schoenverkoper:
$l = 4(n-1) + (n-1) \cdot \sqrt{d^2 + 16} + \sqrt{(n-1)^2 \cdot d^2 + 16}$
100016 16
8
Lees verder

### Pagina 9

Hierbij is $n$ het aantal paren gaaltjes en $d$ de afstand tussen de opeenvolgende gaaltjes.
De veterlengte $l$ en de afstand $d$ zijn in centimeters. Voor de formules is de afstand
tussen de linker- en rechtergaatjes op 4 cm gesteld. De formules gelden voor schoenen
met ten minste twee paar gaatjes.

5p 13
Ga uit van een schoen met acht paar gaatjes, waarbij de afstand tussen de
opeenvolgende gaaltjes 1,8 cm is.
Bereken het verschil in veterlengte $l$ tussen de manieren Europees en Schoenverkoper.

Een fabrikant maakt een model schoenen in de maten 38 tot en met 45. Om de veters
te rijgen gebruikt hij de Amerikaanse manier.
Voor schoenmaat 38 geldt $n = 6$ en $d = 1,5$. De totale afstand tussen het eerste paar en
het laatste paar vetergaatjes is dan 7,5 cm.
Bij een grotere schoenmaat moet die afstand $9$ cm worden. Daarvoor kan de fabrikant
kiezen uit twee mogelijkheden:
I één paar vetergaatjes erbij.
II geen paar vetergaatjes erbij, maar de afstand $d$ vergroten.
Bereken het verschil in veterlengte $l$ tussen beide mogelijkheden.

Na aanleiding van het resultaat van vraag 14 besluit de fabrikant het model in elke
maat met 6 paar vetergaatjes te maken (dus $n = 6$). Voor de fabrikant wordt de
formule dan:

Amerikaans:
$l = 4 + 10\sqrt{d^2 + 16}$

Om de stevigheid rond de voet te garanderen bij grotere schoenmaten maakt de
fabrikant de afstand tussen de vetergaatjes volgens tabel 2.

[FIGUUR: Tabel 2 met Schoenmaat in de eerste kolom en $d$ (in cm) in de tweede kolom.
Schoenmaten: 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45.
Afstanden $d$: 1,5, 1,6, 1,7, 1,8, 1,9, 2,0, 2,1, 2,2.]

4p 15
Voor een fatsoenlijke knoop is bij dit type schoen ten minste 42 cm extra veter nodig.
Onderzoek bij welke schoenmaten je een veter van 90 cm kunt gebruiken. Licht je
antwoord toe.

Voor de andere twee manieren om schoenveters te rijgen, luiden de formules voor de
veterlengte van schoenmodellen met zes paar vetergaatjes ($n = 6$) als volgt:

Europees:
$l = 20 + 2\sqrt{d^2 + 16} + 4\sqrt{4d^2 + 16}$

Schoenverkoper:
$l = 20 + 5\sqrt{d^2 + 16} + \sqrt{25d^2 + 16}$

De fabrikant wil zo kort mogelijke veters in de schoenen doen, want kortere veters
zijn goedkoper. Daarbij zijn er drie mogelijke manieren van rijgen: Amerikaans,
Europees en Schoenverkoper.

4p 16
Is er een manier van rijgen die voor alle schoenmaten van tabel 2 het goedkoopst is?
Zo ja, welke? Licht je antwoord toe.

100016 16
Lees verder

### Pagina 10

Opgave 5 Casino
Holland Casino exploiteert in Nederland een aantal casino's. Elk jaar brengt zij verslag
uit over de resultaten van het afgelopen jaar. Onderstaande figuur 6 is gebaseerd op
cijfers uit het jaarverslag over 1995.
figuur 6
Aantal bezoekers (x1000) per casino
Gemiddelde uitgaven in guldens per bezoeker
f50 f100 f150
Amsterdam
176
Valkenburg
Schiphol
146
831
Amsterdam
Breda
172
166
Nijmegen
Rotterdam
159
Zandvoort Scheveningen
157
294
Groningen
427
281
290
383
Eindhoven
155
Rotterdam Nijmegen
639
411
Zandvoort
145
Scheveningen
137
Schiphol
29
Totaal aantal bezoekers: 4348 000
In deze figuur lezen we onder andere dat Nederlands grootste casino, in
Amsterdam, dat jaar 831 000 bezoekers trok. Zij gaven daar gemiddeld 176 gulden uit.
Dat is vrij veel, want in heel Nederland was het gemiddelde ongeveer 153 gulden.
Toon aan met behulp van de gegevens in figuur 6 dat het Nederlandse gemiddelde
inderdaad ongeveer 153 gulden was.
5p 17
In het weekend is het in de casino's het drukst. Ruim 22% van alle bezoekers komt op
zaterdag. We gaan er van uit dat het bezoekersaantal op zaterdag van het Amsterdamse
casino normaal verdeeld is met een gemiddelde van 3500 bezoekers en een
standaardafwijking van 350 bezoekers.
Als er meer dan 3000 bezoekers zijn, noemt de bedrijfsleiding het gezellig druk.
Bereken hoeveel zaterdagen in een jaar het naar verwachting gezellig druk is in het
Amsterdamse casino. Neem aan dat het jaar 52 zaterdagen heeft.
5p 18
100016 16
10
Lees verder

### Pagina 11

Figuur 7 komt uit het jaarverslag over 1998 van Holland Casino.
Omzet en kosten
(index 1994 = 100)
[FIGUUR: Een staafdiagram met op de y-as de jaren 1994 tot en met 1998 en op de x-as een schaal van 0 tot 160. Twee gestapelde staven per jaar, de grijze voor omzet en de zwarte voor kosten. De staaf voor 1994 eindigt bij 100 voor zowel omzet als kosten. De andere jaren laten een stijging zien van zowel omzet als kosten.]
Legenda:
omzet
kosten
1998
1997
1996
1995
1994
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160
'Index 1994 = 100' betekent dat alle bedragen vergeleken zijn met de bedragen van
1994.
Zo heeft de omzet in 1996 het indexcijfer 118. De omzet in 1996 was dus 118% van
die in 1994. De omzet steeg tussen 1994 en 1996 dus met 18%.
Uit figuur 7 zou je kunnen concluderen dat de kosten sterker stijgen dan de omzet.
Dat zou geen goede ontwikkeling zijn. De winst is immers de omzet min de kosten.
Geef een getallenvoorbeeld waarmee je laat zien dat het met de gegevens uit figuur 7
toch mogelijk is dat de winst in de periode 1994–1998 gestegen is.
4p 19
In het casino kun je onder andere spelen aan de roulettetafels. Bij dit spel brengt de
bankhouder (de croupier) een ronde schijf aan het draaien waarop 37 genummerde
vakjes zitten. De vakjes zijn genummerd van 0 tot en met 36. Dan werpt hij een klein
balletje in tegenen-gestelde richting langs de rand van de schijf. Na enige tijd valt het
balletje in één van de 37 vakjes. Het nummer van dat vakje is het winnende getal.
Voor elk van de 37 vakjes is de kans dat het balletje daarin valt gelijk.
Hans speelt op een avond de hele tijd alleen op het getal 7, want dat is zijn geluksgetal.
Als de 7 niet wint, vindt hij dat niet zo erg. Maar als het balletje wel een keer in het
vakje met nummer 7 valt, is zijn hele avond goed. Die avond draait de roulette
250 keer.
4p 20
Bereken de kans dat het balletje die avond ten minste één keer in het vakje met
nummer 7 valt.
Einde
100016 16
11