# Eindexamen Wiskunde A HAVO 2000 tijdvak 2 > Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/2000/tijdvak-2 ## Vragen in dit examen ### Vraag 1 – Opgave 1 ### Vraag 2 – Opgave 1 ### Vraag 3 – Opgave 2 ### Vraag 4 – Opgave 2 ### Vraag 5 – Opgave 1 ### Vraag 6 – Opgave 1 ### Vraag 7 – Opgave 1 ### Vraag 8 – Opgave 2 ### Vraag 9 – Opgave 1 ### Vraag 10 – Opgave 2 ### Vraag 11 – Opgave 2 ### Vraag 12 – Opgave 1 ### Vraag 13 – Opgave 2 ### Vraag 14 – Opgave 1 ### Vraag 15 – Opgave 2 ### Vraag 16 – Opgave 1 ### Vraag 17 – Opgave 1 ### Vraag 18 – Opgave 2 ### Vraag 19 – Opgave 1 ### Vraag 20 – Opgave 1 ### Vraag 21 – Opgave 21 ## Opgaven (tekst van het examen) ### Pagina 1 Examen HAVO Wiskunde A1,2 Hoger Algemeen Voortgezet Onderwijs 20|00 Tijdvak 2 Woensdag 21 juni 13.30-16.30 uur Dit examen bestaat uit 21 vragen. Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel punten met een goed antwoord behaald kunnen worden. Voor de uitwerking van de vragen 2, 4, 13, 19 en 21 is een bijlage toegevoegd. Als bij een vraag een verklaring, uitleg of berekening vereist is, worden aan het antwoord meestal geen punten toegekend als deze verklaring, uitleg of berekening ontbreekt. Geef niet meer antwoorden (redenen, voorbeelden e.d.) dan er worden gevraagd. Als er bijvoorbeeld twee redener worden gevraagd en je geeft er meer dan twee redeneren, worden alleen de eerste twee in de beoordeling meegeteld. 000014 21 Begin ### Pagina 2 Dit is een examenpagina die betrekking heeft op het wiskundige onderwerp 'Hypotheken'. De pagina bevat zowel tekstuele uitleg als een grafische representatie van financiële concepten. De visuele elementen omvatten een grafiek, figuur 1, die de relatie weergeeft tussen de haalbare hypotheek (H), het jaarinkomen (I) en het rentepercentage (R). De grafiek toont meerdere krommen, elk corresponderend met een specifiek jaarinkomen (I=20, I=40, I=60, I=80, waarbij I vermenigvuldigd wordt met 1000 gulden). Op de verticale as staat de haalbare hypotheek (H, vermenigvuldigd met 1000 gulden) en op de horizontale as de rente (R) in procenten. De krommen hebben een dalend verloop, wat suggereert dat een hoger rentepercentage leidt tot een lagere haalbare hypotheek, gegeven een vast jaarinkomen. De wiskundige/wetenschappelijke concepten die aan bod komen zijn onder andere percentages, verhoudingen, lineaire vergelijkingen (impliciet in de berekening van bijkomende kosten) en het aflezen van functiegrafieken. Van de student wordt gevraagd om eerst een berekening uit te voeren van de koopsom van een huis, gebaseerd op de totale kosten en een gegeven percentage bijkomende kosten (vraag 1). Vervolgens moet de student aan de hand van de grafiek beoordelen of een potentiële hypotheeknemer met een specifiek jaarinkomen en een gevraagd leenbedrag voldoende hypotheek kan krijgen bij een gegeven rentepercentage (vraag 2). De pagina is gestructureerd als een opgave met twee deelvragen, waarbij de tweede vraag een interpretatie van de bijgevoegde figuur vereist. ### Pagina 3 ```json { "description": "Dit is een opgavepagina van een examen, gericht op differentiaalrekening en het analyseren van financiële modellen. De pagina introduceert een wiskundige formule, \\(H = \\frac{6,7 \\cdot I^{1,35}}{R}\\), die de haalbare hypotheek \\(H\\) (in duizenden guldens) relateert aan het jaarinkomen \\(I\\) (in duizenden guldens) en het rentepercentage \\(R\\). De definitie van elke variabele wordt expliciet gegeven.\n\nVraag 3 (4 punten) vraagt de student te bewijzen dat de stijging van de hypotheek bij een inkomen van I=100 groter is dan bij I=50, gebruikmakend van de afgeleide dH/dI. Hierbij moet een vereenvoudigde formule \\(H = 1,34 \\cdot I^{1,35}\\) gebruikt worden, die ontstaat wanneer het rentepercentage \\(R=5\\) is. Dit impliceert dat studenten differentiatietechnieken moeten toepassen op machtfuncties en de resultaten moeten interpreteren in de context van de probleemstelling.\n\nVraag 4 (6 punten) introduceert een scenario waarbij iemand met een inkomen van 60.000 gulden (I=60) de haalbare hypotheek bij Bank Y vergelijkt met die bij Bank X. De student wordt gevraagd om een grafiek van Bank Y's hypotheekformule (met I=60) te tekenen op een bijlage (niet afgebeeld op deze pagina). Vervolgens moet op basis van deze grafiek (en impliciet een reeds gegeven grafiek voor Bank X op de bijlage) onderzocht worden bij welke rentepercentages Bank X een hogere hypotheek biedt dan Bank Y. Dit vereist grafische analyse, interpretatie van intersecties van functies en begrip van hoe rentepercentages het hypotheekbedrag beïnvloeden.\n\nSamenvattend test deze pagina het vermogen van studenten om wiskundige formules toe te passen in een realistische financiële context, differentiaalrekening te gebruiken voor het analyseren van veranderingen, en grafische representaties te interpreteren en te construeren voor het vergelijken van verschillende scenario's.", "summary": "Examenpagina met hypotheekformule \\(H = \\frac{6,7 \\cdot I^{1,35}}{R}\\). Vraag 3 vraagt om differentiaalrekening (afgeleide \\(\\frac{dH}{dI}\\)) om stijging van hypothe ### Pagina 4 Dit is een opgavepagina van een examen over waarschijnlijkheidsrekening en speltheorie, getiteld 'Opgave 2 Win-win-situatie'. De pagina introduceert een dobbelspel gespeeld met vier unieke dobbelstenen: rood, blauw, geel en zwart. Visuele elementen omvatten vier grafische diagrammen die de zes zijden van elke dobbelsteen tonen, gerangschikt in een kruisvormige uitsnede (net zoals de vlakken van een fysieke dobbelsteen). Elk vlakje bevat een specifiek numeriek getal. Een tabel met twee kolommen ('Tom' en 'Ik') moet door de student ingevuld worden. Wiskundige/wetenschappelijke concepten die aan bod komen, zijn onder andere het berekenen van gemiddelde waardes en waarschijnlijkheden, zoals de winstkans in een spel. Er wordt specifiek gevraagd naar het kiezen van de dobbelsteen met de hoogst mogelijke gemiddelde worp, het berekenen van conditionele kansen (specifiek één derde en twee-derde winstkans) en het invullen van een beslissingstabel ('spiekbriefje') gebaseerd op optimalisatie van de winstkans. Verder moet een student de kans berekenen op minstens één winst in een reeks van beurten, wat het binomiale kansconcept impliceert. De student moet antwoorden toelichten en berekeningen uitvoeren om de gestelde vragen te beantwoorden. ### Pagina 5 ```json { "description": "Deze pagina maakt deel uit van een examenopgave (Opgave 3) getiteld 'Een productiekostenmodel'. De pagina introduceert een economisch concept van productiekosten en winstoptimalisatie, toegepast op een fabriek die lampen produceert. \n\nVisueel bevat de pagina een grafiek (Figuur 2) die de gemiddelde kosten (GK) en marginale kosten (MK) weergeeft als functies van de productieomvang (x). De y-as is gelabeld als 'kosten', en de x-as als 'productieomvang x'. Er is een horizontale lijn op hoogte 56, die de verkoopprijs per lamp suggereert. Hierbij kruisen de MK- en GK-curven, en de MK-curve snijdt de GK-curve in haar minimum. De GK-curve is U-vormig en de MK-curve stijgt na een initiële daling, snijdend met GK.\n\nDe wiskundige/wetenschappelijke concepten omvatten:\n* **Gemiddelde Kosten (GK):** Beschreven door de formule GK = 0,002x² – 0,6x + 73 + 500x⁻¹, waar x het aantal geproduceerde lampen is. Dit is een functie van x.\n* **Marginale Kosten (MK):** Beschreven door de formule MK = 0,006x² – 1,2x + 73. Dit is eveneens een functie van x.\n* **Totale Kosten:** Afgeleid uit de gemiddelde kosten (Totale Kosten = GK * x).\n* **Opbrengst:** De verkoopprijs per lamp (f 56,-) vermenigvuldigd met het aantal verkochte lampen (56x).\n* **Winst:** Gedefinieerd als Opbrengst - Totale Kosten.\n* **Optimalisatie:** Het vinden van productieniveaus (x) voor minimale gemiddelde kosten en maximale winst.\n\nVan de student wordt gevraagd:\n* **Opgave 9:** Bereken de totale kosten bij een productie van 125 lampen, gebruikmakend van de gegeven GK-formule.\n* **Opgave 10:** Bereken de winst bij een productieomvang (x) van 155 lampen, waarbij wordt vermeld dat hier de gemiddelde kosten minimaal zijn en MK en GK elkaar snijden. Dit vereist het berekenen van totale opbrengst en totale kosten.\n* **Opgave 11:** Bereken het aantal geproduceerde ### Pagina 6 Dit is een examentekstpagina uit een wiskunde- of natuurwetenschappelijk examen, specifiek Opgave 4 over 'Hamieten'. De pagina introduceert hamieten als schelpjes en legt uit hoe verschillende soorten kunnen worden onderscheiden aan de hand van kenmerken van de 'mond' van de hamiet. Visueel bevat de pagina drie figuren: Figuur 3 toont een algemene schematische tekening van een hamiet met aanduidingen voor 'mond', 'buikzijde' en 'rugzijde'. Figuur 4 zoomt in op de mond van een hamiet en introduceert de variabelen H (hoogte) en B (breedte). Wetenschappelijke concepten draaien om het classificeren van hamieten op basis van de verhouding Q = H/B. Er wordt onderscheid gemaakt tussen 'ronde mond', 'iets ovale mond' en 'echt ovale mond', waarbij een 'ronde mond' gedefinieerd is door 0.95 <= Q <= 1.05. De student wordt gevraagd om de minimale mondbreedte te berekenen voor een hamiet met een ronde mond, gegeven een mondhoogte van 25.0 mm. Figuur 5 is een spreidingsdiagram (scatterplot) dat waarden van H uitzet tegen B voor een aantal hamieten, waarbij elke stip een individuele hamiet voorstelt. Dit diagram wordt waarschijnlijk gebruikt voor verdere analyse in volgende opgaven (aangezien de pagina eindigt met 'Lees verder'). ### Pagina 7 ```json { "description": "Deze examenpagina is een opgavepagina met vraagstukken die gericht zijn op het analyseren en classificeren van 'hamietensoorten' op basis van visuele kenmerken en statistische gegevens. De pagina bevat visuele elementen, waaronder twee figuren: 'figuur 6' die het 'vooraanzicht' en 'zijaanzicht' van een hamiet toont (met een cirkel met een horizontale lijn, gelabeld H, en een geribbelde structuur, eveneens gelabeld H, respectievelijk). Daarnaast is er 'tabel 1' die verschillende 'Soorten' hamieten relateert aan bereiken van een kenmerk 'Q' en een aantal 'N' (ribben). \n\nDe wiskundige/wetenschappelijke concepten omvatten statistiek, met name een normale verdeling (vraag 14), en het interpreteren en toepassen van gegevens uit tabellen. Het concept 'Q-waarde' en 'N-waarde' worden geïntroduceerd als classificatiekenmerken voor hamieten, waarbij 'Q' de vorm van de mond (rond, iets ovaal, echt ovaal) beschrijft en 'N' het aantal ribben is. \n\nVan de student wordt gevraagd om: \n1. Door middel van arcering op een bijlage aan te geven waar 'ronde monden' liggen (vraag 13).\n2. Een percentage te berekenen van hamieten met een 'ronde mond' op basis van een normale verdeling en dit antwoord toe te lichten (vraag 14).\n3. De grenswaarde van 'Q' te bepalen waarboven men spreekt van 'echt ovaal', gebaseerd op een gegeven percentage en een normale verdeling (vraag 15).\n4. Een hamiet te classificeren op basis van 'Q' en 'N' (afgeleid van de figuren) met behulp van de gegeven tabel (vraag 16).\n5. Een voorbeeld te geven van een combinatie van 'Q' en 'N' waarden die tot onduidelijkheid leidt bij de classificatie, wat betekent dat het tot meerdere soorten kan behoren (vraag 17).\n\nDe vragen vereisen zowel kwalitatieve interpretatie als kwantitatieve berekeningen en tabelanalyses. ", "summary": "Examenpagina met opgaven over hamietensoortclassificatie. Bevat 'figuur 6' (vooraanzicht/zijaanzicht hamiet) en 'tabel 1' (Q-waarde, N-waarde bereiken per soort). Concepten: normale verdeling ### Pagina 8 Dit is een examenpagina met opgave 5, getiteld 'Kalm aan en rap een beetje', waarin wiskundige concepten zoals grafieken en lineaire groei worden toegepast op een praktijkprobleem. De pagina bevat een beschrijvende tekst die de context schetst van wachtrijen voor kaartverkoop voor een voorstelling van Herman Finkers. Het voornaamste visuele element is 'figuur 7', een stijgende kromme grafiek die het aantal wachtenden (A, op de y-as) uitzet tegen het tijdstip in uren (tijdstip (in uren), op de x-as). De grafiek toont een niet-lineaire groei in de vroege uren, die na 8 uur vrijwel lineair wordt. De tekst benoemt specifieke punten op de grafiek: 271 wachtenden om 8 uur en 455 wachtenden om 9 uur. Studenten worden gevraagd om berekeningen uit te voeren op basis van lineaire groei (vraag 18) en om een tijdstip te bepalen op basis van kaartverkoop en wachttijden, met gebruik van de grafiek (vraag 19). Er is ook een scenario geschetst voor het minimaliseren van wachttijd voor het kopen van kaartjes, gerelateerd aan het openingsuur van de kassa en de verwerking per uur. De pagina is onderdeel van een examen, getuige de 'Lees verder' indicatie en de algemene lay-out. ### Pagina 9 Dit is een opgavepagina van een examen, gericht op het analyseren en toepassen van een wiskundig model voor wachttijden. De pagina bevat geen visuele elementen zoals grafieken of tabellen, maar verwijst expliciet naar een grafiek op een bijlage die nodig is voor de laatste vraag. De kern van de opgave is de formule \(W_t = 10 - t + \frac{1}{100}A_t\), waarbij \(W_t\) de wachttijd in uren is op aankomsttijdstip \(t\), en \(A_t\) het aantal mensen dat op tijdstip \(t\) in de rij staat. Het tijdsinterval \(t\) loopt van 2,5 uur (half drie 's nachts) tot 10 uur (10.00 uur 's morgens). De opgave omvat wiskundige concepten zoals functies, variabelen, afgeleiden (impliciet in de hellinginterpretatie van de groei van \(A_t\)), en het optimaliseren van een functie (minimaliseren van wachttijd). De student wordt gevraagd om de formule te verklaren en de betekenis van de afzonderlijke termen \(10 - t\) en \(\frac{1}{100}A_t\) uit te leggen. Vervolgens moet de student, met een hintsysteem dat een minimale wachttijd koppelt aan een helling van 100 wachtenden per uur in de grafiek van \(A_t\), bepalen wat het optimale aankomsttijdstip is om de wachttijd te minimaliseren, waarbij deze analyse gebaseerd moet zijn op de grafiek in de bijlage. De pagina test conceptueel begrip, mathematisch modelleren en grafische interpretatie.