# Eindexamen Wiskunde A HAVO 1999 tijdvak 2

> Openbaar eindexamen. Bekijk en oefen het examen: https://slimmeexamens.nl/examens/havo/wiskunde-a/1999/tijdvak-2

## Vragen in dit examen

### Vraag 1 – Opgave 1

### Vraag 2 – Opgave 2

### Vraag 3 – Opgave 1

### Vraag 4 – Opgave 1

### Vraag 5 – Opgave 1

### Vraag 6 – Opgave 1

### Vraag 7 – Opgave 1

### Vraag 8 – Opgave 1

### Vraag 9 – Opgave 1

### Vraag 10 – Opgave 1

### Vraag 11 – Opgave 1

### Vraag 12 – Opgave 1

### Vraag 13 – Opgave 1

### Vraag 14 – Opgave 14

### Vraag 15 – Opgave 15

### Vraag 16 – Opgave 1

### Vraag 17 – Opgave 1

### Vraag 18 – Opgave 1

### Vraag 19 – Opgave 1

### Vraag 20 – Opgave 20

### Vraag 21 – Opgave 21

## Opgaven (tekst van het examen)

### Pagina 1

Wiskunde A
Examen HAVO en VHBO

Hoger
Algemeen
Voortgezet
Onderwijs

Vooropleiding
Hoger
Beroeps
Onderwijs

19 99

HAVO Tijd vak 2
VHBO Tijd vak 3
Dinsdag 22 juni
13.30-16.30 uur

Dit examen bestaat uit 21 vragen.
Voor elk vraagnummer is aangegeven hoeveel
punten met een goed antwoord behaald kunnen
worden.
Voor de uitwerking van de vragen 3 en 11 is een
bijlage toegevoegd.

Als bij een vraag een verklaring, uitleg of
berekening vereist is, worden aan het
aantal\ antwoorden (redenen,
voorbeelden c.q. ) dan er worden gevraagd.
Als er bijvoorbeeld twee redenen worden
gevraagd en je geeft meer dan twee redenen,
worden alleen de eerste twee in de
beoordeling meegeteld.

900012 12
Begin

### Pagina 2

Opgave 1 Veldkrekels

Onderstaande tekst is ontleend aan het Brabants Dagblad van 28 mei 1997.
„De veldkrekel is een toonkunsenaar. Moeiteloos sjirpt hij een hoge C. Het tempo
van de roepzang is afhankelijk van het weer. Bij fris weer laat de veldkrekel gemiddeld
één sjirp per seconde horen, bij warm weer wel gemiddeld vijf, met alle variaties
daartussen. Sterker, de veldkrekel kan eigenlijk wel als een thermometer gebruikt
worden.
De onderzoeker M. Duijm heeft daar eens een berekening voor uitgedokterd. Het
rekenvoorschrift luidt: neem het gemiddelde aantal sjirpen per vijf seconden, tel er
zeven bij op, en je weet de temperatuur in graden Celsius.
Midas Dekkers ontwceert hanteert een rekenvoorschrift waarbij je moet uitgaan van het
gemiddeld aantal sjirpen per minuut. Je trekt er veertig van af, deelt de uitkomst door
zeven en telt er tien bij op."

Stel dat een krekel op een zeker moment gemiddeld 2,4 sjirpen per seconde maakt. Als
we met de twee rekenvoorschriften de temperatuur op dat moment berekenen, vinden
we twee heel verschillende uitkomsten.
Hoeveel graden verschil die uitkomsten? Licht je antwoord toe.

Stel voor M. Duijm de formule op die de temperatuur $t$ (in °C) uitdrukt in het
gemiddeld aantal sjirpen $n$ per seconde.

In figuur 1 is een grafiek van het rekenvoorschrift van Midas Dekkers getekend. Deze
figuur staat ook op de bijlage.
[FIGUUR: Grafiek met op de y-as de temperatuur in °C, oplopend van 0 tot 50, en op de x-as het gemiddelde aantal sjirpen per seconde, oplopend van 0 tot 5. Een rechte lijn loopt van ongeveer (0.5, 8) naar (5, 34).]
$n$ = gemiddeld aantal sjirpen per sec.

Voor het verschil dat bij vraag 1 gevonden is, is een eenvoudige verklaring: niet alle
krekels sjirpen hetzelfde. Het rekenvoorschrift van Duijm geldt voor de veldkrekel,
terwijl Dekkers het heeft over de sneeuwboomkrekel. Bij alle soorten krekel sjirpen
de mannetjes om wijfjes te lokken. De wijfjes herkennen hun eigen soort aan de
sjirpsnelheid, dus aan het aantal sjirpen per seconde.

Bij welke temperatuur kan het veldkrekelvrouwtje geen verschil horen tussen een
veldkrekelmannetje en een sneeuwboomkrekelmannetje? Licht je antwoord toe. Je
kunt daarbij de figuur op de bijlage gebruiken.

900012 12 2 Lees verder

### Pagina 3

Opgave 2 Beton
Bij het bouwen van wegen, bruggen en gebouwen worden grote hoeveelheden beton
gebruikt. Om de stevigheid van dat beton te keuren, voert men drukproeven uit.
Daartoe maakt men uit een partij beton een aantal kubussen. Deze kubussen worden
een voor een onder een pers gezet. De druk op de kubus wordt geleidelijk opgevoerd,
net zo lang tot de kubus begint te vervormen. Zie figuur 2. De grootste druk voordat
het vervormen begint, noemt men de druksterkte. Deze wordt uitgedrukt in Newton
per vierkante millimeter (N/mm²). Een druksterkte van ten minste $25 \text{ N/mm}^2$ noemt
men voldoend groot.

[FIGUUR: Schematische weergave van een beton kubus voor en na de drukproef.]
voor de proef na de proef

Een aannemer gebruikt beton waarvan de kubussen een gemiddelde druksterkte
hebben van $28 \text{ N/mm}^2$. Er wordt aangenomen dat deze druksterkte normaal verdeeld
is met een standaardafwijking van $2,6 \text{ N/mm}^2$.
5p 4 Bereken welk percentage van zijn kubussen een voldoende grote druksterkte zal hebben.

Het is gewenst dat minstens $95%$ van de kubussen een voldoende grote druksterkte
heeft. Anders zou het risico van afkeuren te groot zijn. Door het productieproces
zorgvuldiger uit te voeren blijft de druksterkte normaal verdeeld met gemiddelde
$28 \text{ N/mm}^2$, maar wordt de standaardafwijking kleiner.
Nu blijkt dat $95%$ van de kubussen een voldoende grote druksterkte heeft.
5p 5 Bereken de nieuwe standaardafwijking van de druksterkte.

De betonkeurders gebruiken verschillende wijzen van keuren. Zo kent men de
methode 'serie van 6' en ook de methode 'serie van 12'.
Bij 'serie van 6' wordt een zestal willekeurige kubussen gekozen. De partij beton
alleen goedgekeurd als alle zes kubussen een druksterkte hebben van ten minste
$25 \text{ N/mm}^2$.
Bij 'serie van 12' kiest men 12 willekeurige kubussen. De partij wordt goedgekeurd als
er ten hoogste één kubus een druksterkte van minder dan $25 \text{ N/mm}^2$ heeft.

Voor een keuring zijn 12 kubussen gekozen. Men gebruikt de methode 'serie van 12'
en constateert de volgende meetwaarden (in $\text{N/mm}^2$):
$27, 27, 32, 24, 32, 28, 29, 28, 24, 29, 32$
5p 6 Uiteraraard wordt deze partij beton op grond van 'serie van 12' afgekeurd.
Bereken de kans dat deze partij beton op grond van 'serie van 6' wel goedgekeurd
zou hebben, als de zes kubussen willekeurig uit deze 12 waren gekozen.

Aannemers zijn niet erg gelukkig met deze testmethodes. Zij beweren dat beide
keuringsmethodes niet even streng zijn en pleiten voor een andere aanpak.
Voor een bepaald type beton geldt dat $95%$ van alle kubussen die vervaardigd kunnen
worden, een druksterkte heeft van ten minste $25 \text{ N/mm}^2$. Een willekeurig gekozen
kubus heeft dus een kans van $95%$ op de druksterkte groot genoeg is.
5p 7 Bij welke keuringsmethode ('serie van 6' of 'serie van 12') is de kans het grootst dat

### Pagina 4

Opgaaf 3 Erfpacht

Huiseigenaren bezitten meestal het huis én de grond waarop het staat. Soms echter is
de eigenaar van de grond een ander dan de eigenaar van het huis. De huiseigenaar
huurt dan de grond van de grondeigenaar. Dit wordt *erfpacht* genoemd: het erf wordt
gepacht, gehuurd dus.

De huurprijs van een stuk grond wordt meestal voor een groot aantal jaren vastgesteld.
Aan het einde van zo'n periode moet een nieuwe huurprijs worden bepaald. De nieuwe
huurprijs wordt gebaseerd op de taxatiewaarde van het stuk grond. De taxatiewaarde
is de waarde waarop het stuk grond getaxeerd ofwel geschat wordt. Hoe hoger de
taxatiewaarde, hoe hoger de huur.

Een grondeigenaar, die vele stukken grond in erfpacht verhuurt, heeft vier van zijn
stukken grond laten taxeren. De oppervlaktes van deze stukken bedragen $627 \text{ m}^2$,
$1270 \text{ m}^2$, $1752 \text{ m}^2$ en $3785 \text{ m}^2$.
Aan de hand van de taxatiewaarde van een stuk grond kan de waarde per $\text{m}^2$ worden
uitgerekend. In figuur 3 staan die bedragen voor de vier getaxeerde stukken grond.
De taxatiewaarde van een stuk grond is altijd een bedrag in gehele duizendtallen.

[FIGUUR: Een grafiek met op de x-as 'oppervlakte in m$^2$' met de waarden 0, 627, 1270, 1752, 3785 en op de y-as 'waarde per m$^2$ in guldens' met de waarden 279, 236, 199, 105.]

figuur 3

2p 8 [ ] Hoe groot is de taxatiewaarde van het stuk grond van $1270 \text{ m}^2$? Licht je antwoord toe.

De grondeigenaar berekent met behulp van figuur 3 de waarde per $\text{m}^2$ van elk van zijn
overige stukken grond als volgt:
* Een stuk grond met een oppervlakte kleiner of gelijk aan $627 \text{ m}^2$ heeft een waarde
van $f 279,-$ per $\text{m}^2$.
* De waarde per $\text{m}^2$ van een stuk grond met een oppervlakte tussen $627 \text{ m}^2$ en $1270 \text{ m}^2$
wordt berekend door middel van lineaire interpolatie in figuur 3. De waarde per $\text{m}^2$
wordt *naar beneden* afgerond op een geheel aantal guldens.
Deze berekeningswijze wordt ook gebruikt bij stukken grond met een oppervlakte
tussen $1270 \text{ m}^2$ en $1752 \text{ m}^2$ en tussen $1752 \text{ m}^2$ en $3785 \text{ m}^2$.
* Een stuk grond met een oppervlakte groter of gelijk aan $3785 \text{ m}^2$ heeft een waarde
van $f 105,-$ per $\text{m}^2$.
Aan de hand van de zo berekende waarde per $\text{m}^2$ wordt de taxatiewaarde van het stuk
grond bepaald en afgerond op gehele duizendtallen.

5p 9 [ ] In figuur 3 is het verband tussen oppervlakte en waarde per $\text{m}^2$ als een rechte lijn
tussen de punten ($627$, $279$) en ($3785$, $105$) weergegeven.
Is

### Pagina 5

Twee buren huren allebei een stuk grond van deze grondeigenaar. De oppervlaktes
van deze stukken grond zijn vrijwel gelijk: 1180 m² en 1181 m². Ze verwachten dat de
taxatiewaarde van het grootste stuk grond hetzelfde is als die van het kleinste stuk, of
iets hoger. Maar als ze de berekende taxatiewaarden van beide stukken grond
vergelijken, ontdekken ze iets merkwaardigs.
8p 10 Leg met behulp van berekeningen uit wat er merkwaardig is aan deze twee
taxatiewaarden.

Bij het volgende houden we geen rekening meer met het afronden van de waarde
per m² en de gewoonte om de taxatiewaarde voor het stuk grond op gehele
duizendtallen af te ronden.
Voor de stukken met een oppervlakte van 1752 m² tot 3785 m² kan de taxatiewaarde
met behulp van de volgende formule bepalen:

$W = -0,046 \cdot Opp^2 + 280 \cdot Opp$

Hierbij is $Opp$ de oppervlakte in m² van het betreffende stuk grond en $W$ de
taxatiewaarde ervan in guldens.

Een huiseigenaar die een stuk grond met een oppervlakte van 3043 m² in erfpacht
heeft van deze grondeigenaar, is het absoluut niet eens met de wijze van taxatie van de
grond. Hij start een juridische procedure en probeert de vreemde manier van taxeren
aan te tonen door de grafiek van bovenstaande formule te tekenen.
6p 11 Teken die grafiek in de figuur op de bijlage en leg uit hoe de huiseigenaar hiermee zijn
standpunt kan verduidelijken.

[FIGUUR: blanco pagina met een grafiek op de bijlage]

900012 12 5 Lees verder


### Pagina 6

Opgave 4 Aanpassing rotonde

Bij en op rotondes vinden verkeersstellingen plaats om de doorstroming van het verkeer te meten. Zo zien we in matrix A de doorstroming tijdens de ochtendspits op een rotonde waar een viertal wegen P, Q, R en S op uitkomt. Zie figuur 4. De getallen in de matrix geven steeds aan welk deel van de motorvoertuigen dat vanaf de ene weg de rotonde op komt er bij de andere weg weer af gaat. Zo betekent het getal 0,32 in de tweede rij bijvoorbeeld dat 32% van de voertuigen die vanaf R de rotonde op rijden, de rotonde bij Q verlaat.

[FIGUUR: Schematische weergave van een rotonde met vier toegangswegen P, Q, R en S.]

van
P Q R S
A = naar
$P \quad 0 \quad 0,12 \quad 0,44 \quad 0,43$
$Q \quad 0,42 \quad 0 \quad 0,32 \quad 0,26$
$R \quad 0,37 \quad 0,84 \quad 0 \quad 0,31$
$S \quad 0,21 \quad 0,04 \quad 0,24 \quad 0$

4p 12 Leg uit waarom wel voor elke kolom van A moet gelden dat de som van de getallen gelijk is aan 1, maar dat dit voor de rijen niet zo hoeft te zijn.

In tabel 1 staan nog wat gegevens over deze rotonde tijdens de ochtendspits.

tabel 1
aankomst op rotonde vanaf | aantal voertuigen
---|---
P | 512
Q | 309
R | 791
S | 231
totaal | 1843

4p 13 Bereken de verschillende aantallen motorvoertuigen die bij P, Q, R en S de rotonde weer verlaten.

De gemeente wil de verkeerssituatie bij de rotonde veranderen. Vlakbij de rotonde is namelijk een gevaarlijke driesprong van weg R met de wegen U en T. Deze gevaarlijke situatie wordt opgeheven door weg R te vervangen door twee nieuwe wegen R1 en R2. Dan komen er op de rotonde niet vier, maar vijf wegen uit. In figuur 5 zijn de oude en de nieuwe situatie in beeld gebracht.

### Pagina 7

figuur 5
oude situatie
[FIGUUR: Schema van een rotonde met ingangen P, Q, S en een uitgang R, waarbij R opsplitst in twee wegen U en T.]
gevaarlijke driesprong
nieuwe situatie
[FIGUUR: Schema van een rotonde met ingangen P, Q, S en uitgangen R1, R2.]
Matrix B beschrijft de doorstroming op de gevaarlijke driesprong. Matrix B is op dezelfde manier opgebouwd als matrix A.
matrix B
$B = \text{naar} \begin{pmatrix} R & T & U \\ 0 & 0,63 & 0,84 \\ T & 0,59 & 0 & 0,16 \\ U & 0,41 & 0,37 & 0 \end{pmatrix}$
Men neemt aan dat de verkeersstroom die uit $T$ (oude situatie) via $R$ op de rotonde terechtkomt zich verdeelt over de richtingen $P, Q$ en $S$ volgens de verhoudingen van matrix $A$. Zo gaat bijvoorbeeld van het verkeer dat vanaf $T$ via $R$ de rotonde op rijdt ook 32% naar $Q$. Voor de verkeersstroom uit $U$ wordt dezelfde veronderstelling gemaakt.
3p 14 $\square$ Toon aan dat ongeveer 28% van de voertuigen uit $T$ de rotonde bij $P$ verlaat.
De afdeling Verkeer van de gemeente stelt voor de nieuwe situatie een doorstromingsmatrix $C$ op. Men gebruikt daarbij de gegevens uit matrix $A$ en uit matrix $B$. Hieronder zie je deze matrix $C$ gedeeltelijk ingevuld.
matrix C
$C = \text{naar} \begin{pmatrix} P & Q & R_1 & R_2 & S \\ 0 & 0,12 & 0,28 & & 0,43 \\ Q & 0,42 & 0 & & 0,26 \\ R_1 & 0,22 & 0,50 & & 0,18 \\ R_2 & 0,15 & 0,34 & & 0,13 \\ S & 0,21 & 0,04 & & 0 \end{pmatrix}$
In de kolom van $R_1$ staat alleen het getal 0,28, maar de vier getallen eronder ontbreken.
4p 15 $\square$ Bereken deze vier ontbrekende getallen.
900012 12 7 Lees verder

### Pagina 8

Opgave 5 Haviken

Tot in het begin van deze eeuw werd er ijverig jacht gemaakt op de havik. Rond de jaren veertig zag de havik kans zich uit te breiden. Als gevolg van het toenemende gebruik van insecticiden en ontsmettingsmiddelen bereikte het aantal haviken aan het eind van de jaren zestig een dieptepunt. Het verbod op enkele van deze middelen zorgde ervoor dat vanaf het begin van de jaren zeventig het aantal haviken weer toenam. In figuur 6 zien we de aantallen haviken zoals die vanaf 1966 in Zudwest-Drenthe vastgesteld werden.

figuur 6

ZW-Drenthe
[FIGUUR: Een staafdiagram met op de x-as de jaren van 1970 tot 1990 en op de y-as het aantal haviken van 0 tot 50.]

In figuur 6 is te zien dat gedurende de periode 1970-1982 het aantal haviken steeds sneller toeneemt.
Men kan het aantal haviken gedurende deze periode vrij goed met exponentiële groei beschrijven.
5p 16 $\square$ Stel een formule op die deze exponentiële groei beschrijft tussen de jaren 1970 en 1982. Neem hierbij de tijd $t$ in jaren met $t = 0$ in 1970.

Vogelonderzoekers hebben een groep van 34 haviken gedurende 17 jaar gevolgd. In tabel 2 zie je de resultaten.
De telling begon in de lente waarin deze 34 haviken zijn geboren. In de kolom ,,in leven" staat het aantal exemplaren dat in het begin van dat levensjaar in leven was. In de kolom ,,sterfte" staat het aantal haviken dat in de loop van dat levensjaar is gestorven.

tabel 2
| jaar | in leven | sterfte |
|---|---|---|
| 0-1 | 34 | 14 |
| 1-2 | 20 | 8 |
| 2-3 | 12 | 5 |
| 3-4 | 7 | 2 |
| 4-5 | 5 | 1 |
| 5-6 | 4 | 1 |
| 6-7 | 3 | 0 |
| 7-8 | 3 | 0 |
| 8-9 | 3 | 0 |
| 9-10 | 3 | 0 |
| 10-11 | 3 | 0 |
| 11-12 | 3 | 1 |
| 12-13 | 2 | 0 |
| 13-14 | 2 | 1 |
| 14-15 | 1 | 0 |
| 15-16 | 1 | 0 |
| 16-17 | 1 | 1 |

900012 12
8
Lees verder

### Pagina 9

4p 17
Uit de tabel blijkt dat een groot deel van de pasgeboren haviken het eerste levensjaar
niet overleefde.
Onderzoek of er onder de eerste tien levensjaren een jaar was waarin een nog groter
deel van de haviken overleed.

4p 18
Veronderstel dat de sterfte binnen een jaar gelijkelijk over dat jaar verdeeld is. Dan
kan van deze 34 haviken worden berekend hoe lang ze gemiddeld leefden.
Bereken hoe lang de haviken gemiddeld hebben geleefd. Geef je antwoord in
maanden nauwkeurig.

2p 19
De onderzoekers hoopten dat deze groep haviken, ondanks het vrij kleine aantal, min
of meer representatief zou zijn voor alle haviken in Nederland. In dat geval konden ze
op basis van hun waarnemingen algemene uitspraken doen over haviken.
Leg uit waarom deze groep nooit werkelijk representatief kan zijn. Gebruik hierbij
gegevens uit tabel 2.

Bij iedere populatie kan men zich afvragen of deze in zijn bestaan bedreigd wordt. Dit
voortbestaan hangt af van geboorte- en sterftecijfers. Om de populatie op peil te
houden, is er elk jaar een minimaal aantal jonge vogels nodig.
De Duitse bioloog Mebs heeft de volgende formule ontworpen:

$$f = \frac{2m}{(1-q)(1-m)}$$

waarbij
$f$ = het minimale aantal jongen per havikenpaar dat gemiddeld per jaar nodig is om de
populatie op peil te houden;
$q$ = het sterftecijfer van de eerstejaarsvogels;
$m$ = het sterftecijfer van de oudere vogels.

Uit recent onderzoek blijkt dat in Nederland al een aantal jaren 41,2% van de haviken
in hun eerste levensjaar sterft. Dus $q = 0,412$. Het sterftecijfer van de oudere vogels
bleek de laatste jaren 0,286 te zijn en het gemiddeld aantal jongen per havikenpaar
0,94 per jaar.

3p 20
Blijft de Nederlandse populatie haviken op peil? Licht je antwoord toe.

De sterfte onder oudere haviken kan veranderen, onder andere door wijzigingen in het
jachtbeleid. Stel dat per jaar nog steeds 41,2% van de eerstejaarshaviken sterft en het
gemiddeld aantal jongen per ouderpaar 0,94 blijft.
6p 21
Bereken hoeveel procent van de oudere haviken dan elk jaar maximaal mag sterven
om de havenkenstand op peil te houden.

Einde
900012 12 9